ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΜΕΤΑΛΛΑ

Κατά την Κλασσική Μηχανική τα ελεύθερα ηλεκτρόνια των στερεών μπορούν να έχουν οποιαδήποτε τιμή ενέργειας.

Αντιθέτως, στην Κβαντομηχανική οι λύσεις των εξισώσεων Schrodinger επιβάλλουν περιορισμούς στις τιμές αυτές.

Η απαγορευτική αρχή του Pauli επιτρέπει την κατάληψη μιας κατάστασης (θέση, ορμή) από ένα φερμιόνιο.

Κάθε κατάσταση περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση ψ(x) η οποία μπορεί να δώσει πληροφορία για οποιοδήποτε μετρήσιμο μέγεθος.

Η έκφραση │ψ(x)│2 δίνει την πιθανότητα κατά τη μέτρηση να παρατηρηθεί το σωμάτιο στη θέση μεταξύ x+dx.

ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER

Η συνάρτηση ψ(x) προκύπτει από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης Schrodinger, η οποία έχει την εξής μορφή:

όπου Ε η ολική ενέργεια και V η δυναμική ενέργεια του σωμάτιου στην αντίστοιχη θέση.Η γενική λύση της εξίσωσης Schrodinger είναι της μορφής:

ΘΕΩΡΗΜΑ FLOQUET-BLOCHΑποδεικνύεται ότι οι λύσεις της εξίσωσης

Schrödinger σε περιοδικό δυναμικό ικανοποιούν το θεώρημα Floquet-Bloch.

Εξειδικευμένο στη μία διάσταση το θεώρημα αυτό λέει ότι οι λύσεις χαρακτηρίζονται από έναν κυματαριθμό k που παίρνει τιμές:

Για πολύ μεγάλο αριθμό κυψελίδων N του κρυστάλλου, όπως φαίνεται από την παραπάνω εξίσωση, ο κυματαριθμός παίρνει πρακτικά συνεχείς τιμές.

Οι κυματοσυναρτήσεις Floquet-Bloch αν μετατοπιστούν κατά μία κυψελίδα (περίοδο) αλλάζουν μόνο κατά έναν παράγοντα ek. Δηλαδή, εφαρμόζοντας το θεώρημα Floquet-Bloch μπορούμε από τις λύσεις της εξίσωσης Schrödinger να βρούμε τη λύση σε οποιοδήποτε σημείο.

rkikk erUr

)()(

Θεώρημα Bloch:

Περιοδικό πλέγμα

: Συνάρτηση Bloch

: Περιοδική Συνάρτηση

(περίοδος = μοναδιαία κυψελίδα)

NaL

Lxx

)()(

k

k

U

ΘΕΩΡΗΜΑ FLOQUET-BLOCH

2 kk

H ισότητα των δύο καταστάσεων έχει ως αποτέλεσμα την ισότητα των αντίστοιχων ενεργειών:

Απόδειξη:

Μονοδιάστατο μοντέλο:

Μήκος αλυσίδας: L=N α)()( Lxx Συνθήκη

:Πυκνότητα φορτίου:

2)()( xex 22

)()( xex ρ περιοδική:

Ομοίως: )()()2( 2 xxx

)()()( xxex i

Ν φορές: N

in

e

2

1 n=0,1…N-1

kL

n 2L

nk

2ή κυματαριθμός

Τελικά: )()( xeax ika )()( xenax iknaή

Γενικά: )()( reRr Rkik

Συνθήκη Bloch

R: Άνυσμα πλέγματος Bravais

Αποδεκτή λύση της δ.ε. Schrödinger

33

32

2

21

1

1 222b

N

nb

N

nb

N

nk

Σε τρισδιάστατη μορφή:

321

321

b

321

132

b321

213

bΌπου:

111 NL 222 NL 333 NL και:

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ FERMI-DIRAC

Η EF καλείται ενέργεια Fermi

f(E) = πιθανότητα κατάληψης της ενεργειακής στάθμης E από ένα ηλεκτρόνιο given

kTEE

EfFexp1

1)(

Γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας Fermi-Dirac f(E,Τ) των ηλεκτρονίων σε ένα στερεό.

ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΖΩΝΩΝ

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

Ένα άτομο Li

2p

2s

1s

Ατομικό δυναμικόΑτομικό δυναμικό

Η ενέργεια των ηλεκτρονίων είναι κβαντισμένη

Η ενέργεια των ηλεκτρονίων είναι κβαντισμένη

Διακριτές ενεργειακές στάθμες

Διακριτές ενεργειακές στάθμες

Τι θα συμβεί εάν πλησιάσουμε ένα δεύτερο άτομο;Τι θα συμβεί εάν πλησιάσουμε ένα δεύτερο άτομο;

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

Ένα άτομο

2p

2s

1s

Δύο άτομα

2p

2s

1s

Το ατομικό δυναμικό μεταβάλλεταιΤο ατομικό δυναμικό μεταβάλλεται

Κάθε διακριτή ενεργειακή στάθμη έχει διαχωριστεί σε δύο

Κάθε διακριτή ενεργειακή στάθμη έχει διαχωριστεί σε δύο

Η διαφορά ενέργειας των δύο σταθμών γίνεται τόσο μεγαλύτερη όσο τα άτομα πλησιάζουν

Η διαφορά ενέργειας των δύο σταθμών γίνεται τόσο μεγαλύτερη όσο τα άτομα πλησιάζουν

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

Ένα άτομο

2p

2s

1s

Δύο άτομα

2p

2s

1s

Η απόσταση των δύο σταθμών είναι τόσο μεγαλύτερη όσο ασθενέστερα είναι «δεμένα» τα

ηλεκτρόνια με το άτομο

Η απόσταση των δύο σταθμών είναι τόσο μεγαλύτερη όσο ασθενέστερα είναι «δεμένα» τα

ηλεκτρόνια με το άτομο

Ένα άτομο

2p

2s

1s

Δύο άτομα

2p

2s

1s

Αύξηση του αριθμού των ατόμων συνεπάγεται αύξηση του αριθμού των ενεργειακών σταθμών Αύξηση του αριθμού των ατόμων συνεπάγεται

αύξηση του αριθμού των ενεργειακών σταθμών

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

Ένα άτομο

2p

2s

1s

Δύο άτομα

2p

2s

1s

Στερεό

2p

2s

1s

Κάθε ομάδα χωριστών ενεργειακών σταθμών ονομάζεται ενεργειακή ζώνη. Οι ζώνες διαχωρίζονται μεταξύ τους από ενεργειακά χάσματα, δηλαδή απαγορευμένες τιμές ενέργειες στις οποίες δεν μπορούν να υπάρξουν ελεύθεροι φορείς.

Σε συνθήκες Τ=0 K, η ζώνη που είναι πλήρης καλείται ζώνη σθένους και τα ηλεκτρόνια δεν συμμετέχουν στην αγωγιμότητα του στερεού, αφού δεν υπάρχουν διαθέσιμες ενεργειακές καταστάσεις, που μπορούν να τις καταλάβουν υπό την επίδραση εξωτερικού πεδίου. Η αμέσως επόμενη ζώνη που είναι κενή ή μερικώς πληρωμένη, είναι γνωστή ως ζώνη αγωγιμότητας

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

Στερεό

2p

2s

1s

Ενεργειακή ζώνη

Στα στερεά σχηματίζονται ενεργειακές ζώνες Στα στερεά σχηματίζονται ενεργειακές ζώνες

16

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

Στερεό

2p

2s

1s

Στα στερεά σχηματίζονται ενεργειακές ζώνες Στα στερεά σχηματίζονται ενεργειακές ζώνες

Ενεργειακή ζώνη

Οι ενεργειακές περιοχές που διαχωρίζουν τις ενεργειακές ζώνες ονομάζονται ενεργειακά χάσματα

Οι ενεργειακές περιοχές που διαχωρίζουν τις ενεργειακές ζώνες ονομάζονται ενεργειακά χάσματα

Οι ιδιότητες των στερεών εξαρτώνται μεταξύ άλλων από τον τρόπο που έχουν καταληφθεί οι ζώνες από τα ηλεκτρόνια

Οι ιδιότητες των στερεών εξαρτώνται μεταξύ άλλων από τον τρόπο που έχουν καταληφθεί οι ζώνες από τα ηλεκτρόνια

17

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

ΜονωτήςΜονωτήςΠλήρως κατειλημμένες

ζώνεςΠλήρως κατειλημμένες

ζώνες

Άδεια ζώνηΆδεια ζώνη

18

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

Μία ή περισσότερες ενεργειακές ζώνες είναι εν μέρει κατειλημμένες

Μία ή περισσότερες ενεργειακές ζώνες είναι εν μέρει κατειλημμένες

ΜονωτήςΜονωτής ΜέταλλοΜέταλλο

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

ΜονωτήςΜονωτής ΜέταλλοΜέταλλο

Ζώνες σχεδόν πλήρως κατειλημμένεςΖώνες σχεδόν πλήρως κατειλημμένες

ΗμιαγωγόςΗμιαγωγός

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

ΜονωτήςΜονωτής ΜέταλλοΜέταλλο

Ενεργειακό χάσμα

ΗμιαγωγόςΗμιαγωγός

Ενεργειακό χάσμα

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

ΜονωτήςΜονωτής ΜέταλλοΜέταλλο ΗμιαγωγόςΗμιαγωγός

Ενεργειακό χάσμα

Οι μονωτές παρουσιάζουν μεγάλο ενεργειακό χάσμαΟι μονωτές παρουσιάζουν μεγάλο ενεργειακό χάσμα

Ενεργειακό χάσμα

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

ΜονωτήςΜονωτής ΜέταλλοΜέταλλο ΗμιαγωγόςΗμιαγωγός

Ενεργειακό χάσμα

Οι ημιαγωγοί παρουσιάζουν μικρότερο ενεργειακό χάσμαΟι ημιαγωγοί παρουσιάζουν μικρότερο ενεργειακό χάσμα

Ενεργειακό χάσμα

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

ΜονωτήςΜονωτής ΜέταλλοΜέταλλο

Ζώνη αγωγιμότηταςΖώνη αγωγιμότητας

ΗμιαγωγόςΗμιαγωγός

Ενεργειακό χάσμα

Ενεργειακό χάσμα

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

ΜονωτήςΜονωτής ΜέταλλοΜέταλλο ΗμιαγωγόςΗμιαγωγός

Ενεργειακό χάσμα

Ζώνη αγωγιμότηταςΖώνη αγωγιμότητας Ζώνη σθένουςΖώνη σθένους

Ενεργειακό χάσμα

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

ΜέταλλοΜέταλλο

Ζώνη αγωγιμότητας

Ελεύθερα ηλεκτρόνια ή

ηλεκτρόνια αγωγιμότητας

Ελεύθερα ηλεκτρόνια ή

ηλεκτρόνια αγωγιμότητας

Κινούνται σχεδόν «ελεύθερα» μέσα στο μέταλλο με ενέργειες που αντιστοιχούν στη ζώνη αγωγιμότηταςΚινούνται σχεδόν «ελεύθερα» μέσα στο μέταλλο με

ενέργειες που αντιστοιχούν στη ζώνη αγωγιμότητας

26

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

ΜέταλλοΜέταλλο

Ελεύθερα ηλεκτρόνια ή

ηλεκτρόνια αγωγιμότητας

Ελεύθερα ηλεκτρόνια ή

ηλεκτρόνια αγωγιμότητας

Κινούνται σχεδόν «ελεύθερα» μέσα στο μέταλλο με ενέργειες που αντιστοιχούν στη ζώνη αγωγιμότηταςΚινούνται σχεδόν «ελεύθερα» μέσα στο μέταλλο με

ενέργειες που αντιστοιχούν στη ζώνη αγωγιμότητας

Η ενέργεια Fermi είναι η ενέργεια των ηλεκτρονίων στην ανώτερη κατειλημμένη ενεργειακή στάθμη στους 0οΚ

Η ενέργεια Fermi είναι η ενέργεια των ηλεκτρονίων στην ανώτερη κατειλημμένη ενεργειακή στάθμη στους 0οΚ

Ζώνη αγωγιμότητας

Μοντέλο ενεργειακών ζωνώνΜοντέλο ενεργειακών ζωνών

ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟΥ ΧΑΣΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ

Το ενεργειακό χάσμα στους ημιαγωγούς εξαρτάται από τη θερμοκρασία. Όταν αυτή αυξάνεται το χάσμα μικραίνει. Αυτή η συμπεριφορά μπορεί να κατανοηθεί καλύτερα αν σκεφθούμε ότι, λόγω της θερμικής ενέργειας, αυξάνει το πλάτος των ατομικών ταλαντώσεων και ως εκ τούτου, αυξάνει η απόσταση μεταξύ των ατόμων. Μια αύξηση των διατομικών αποστάσεων, ελαττώνει το δυναμικό που βλέπουν τα ηλεκτρόνια του κρυσταλλικού στερεού και αυτό με τη σειρά του μικραίνει το ενεργειακό χάσμα. Επίσης, μια απευθείας διαμόρφωση των διατομικών αποστάσεων, όπως για παράδειγμα να τοποθετήσουμε τον κρύσταλλο σε σύστημα εφελκυσμού, επιφέρει ανάλογα αποτελέσματα. Η εξάρτηση του ενεργειακού χάσματος από τη θερμοκρασία, δίνεται από την πειραματική σχέση: