Θέμα: «Μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς αμιγούς και απλού συναγωνισμού δύο μικροβιακών πληθυσμών σε διάταξη δύο συζευγμένων χημοστατών.»

Γάκη ΑλεξάνδραΧημικός Μηχανικός Π.Π.

Υπεύθυνος καθηγητής: Σ.Παύλου

Παρουσίαση Διατριβής ΜΔΕ

ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2006

Πρόλογος• Χρήση μικτών καλλιεργειών μικροοργανισμών σε

πολλές βιομηχανικές διεργασίες. • Ο συναγωνισμός (Fredrickson & Stephanopoulos,

1981) είναι η πιο κοινή μικροβιακή αλληλεπίδραση • Αμιγής και απλός συναγωνισμός• Προσομοίωση εργαστηριακά σε ένα χημοστάτη.• Βασικό ερώτημα: μπορούν οι συναγωνιζόμενοι

πληθυσμοί να συνυπάρξουν και υπό ποιες συνθήκες;

Χημοστάτης

• Ρυθμός αραίωσης, D

• Ειδικός ρυθμός ανάπτυξης, μ

• Περιοριστικό συστατικό

•V

•Υγρή Τροφοδοσία F•ΕΞΟΔΟΣ

ΑΕΡΙΩΝ

•ΥΠΕΡΧΕΙΛΙΣΗ

•(ΒΙΟΜΑΖΑ)

•F

•ΑΕΡΙΑ

•V

•Υγρή Τροφοδοσία F•ΕΞΟΔΟΣ

ΑΕΡΙΩΝ

•ΥΠΕΡΧΕΙΛΙΣΗ

•(ΒΙΟΜΑΖΑ)

•F

•ΑΕΡΙΑ

Μοντέλα ανάπτυξης• Μοντέλο Monod (1942)

μm: μέγιστος ειδικός ρυθμός ανάπτυξης

K : σταθερά κορεσμού ή σταθερά Michaelis

• Μοντέλο Andrews

s

ss m

)(

K’: η σταθερά παρεμπόδισης μmax=μ*/(1+2√(Κ/Κ’))

'

)(2

K

ss

ss

Ανασκόπηση θεωρητικών μελετών για τον απλό και αμιγή συναγωνισμό

Συνθήκες Μελετητές Συμπέρασμα

● Ένας χημοστάτης, στείρα τροφοδοσία, σταθερές λειτουργικές συνθήκες.

Powell (1958) μοντέλο Monod

Aris & Humphrey (1977) μοντέλο Andrews

Συνύπαρξη μόνο για διακριτές τιμές του ρυθμού αραίωσης, όταν οι καμπύλες του ειδικού ρυθμού ανάπτυξης τέμνονται.

● Δύο συζευγμένοι χημοστάτες, βαθμοστάτης, στείρα τροφοδοσία, σταθερές λειτουργικές παράμετροι.

Stephanopoulos & Fredrickson (1979)

Kung & Baltzis (1987)

Jager et al. (1987)

Smith & Tang (1989) μοντέλο Monod

Lenas et al (1998) * μοντέλο Andrews

Συνύπαρξη σε μόνιμη και υπό συνθήκες*, σε περιοδική κατάσταση για μια σχετικά ευρεία περιοχή των παραμέτρων λειτουργίας, όταν οι καμπύλες του ειδικού ρυθμού ανάπτυξης τέμνονται.

Συνθήκες Μελετητές Συμπέρασμα

● Ένας χημοστάτης, μη στείρα τροφοδοσία, σταθερές λειτουργικές παράμετροι.

A.Ajbar & K.Alhumazi,

Διπλωματική εργασία Α.Θεοδώρου (2005)

- Μοντέλο Andrews

Συνύπαρξη σε μόνιμη και υπό συνθήκες*, σε περιοδική κατάσταση, για μια σχετικά ευρεία περιοχή των παραμέτρων λειτουργίας, όταν οι καμπύλες του ειδικού ρυθμού ανάπτυξης τέμνονται.

Αντικείμενο Διατριβής

Μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς αμιγoύς και απλού συναγωνισμού δύο μικροβιακών πληθυσμών σε δύο συζευγμένους χημοστάτες, καθώς μεταβάλλεται το σχετικό μέγεθός τους και ο βαθμός σύζευξής τους.

Εξέταση της επίδρασης στη δυναμική του συστήματος της ύπαρξης μικροοργανισμών στο ρεύμα τροφοδοσίας των δύο χημοστατών.

Περιγραφή συστήματος

2 συζευγμένοι CSTR

F2c

F2e

F2f , S2f , C12f , C22fF1f , S1f , C11f ,C21f

F1e V1 V2

F1c

Ισοζύγια μάζας• Ισοζύγια μάζας για τον 1ο χημοστάτη

111111111122111

111 )()( csVcFFcFcFdt

dcV cecff

211212111222211

211 )()( csVcFFcFcFdt

dcV cecff

2112

21111

111112211

11 )(

1)(

1)( cs

Ycs

YVsFFsFsF

dt

dsV cecFf

εισροή εκροή παραγωγή

• Ισοζύγια παροχών: F2f + F1c = F2e + F2c

F1f + F2c = F1e + F1c

• Ισοζύγια μάζας για τον 2ο χημοστάτη

222222222211222

222 )()( csVcFFcFcFdt

dcV cecff

122121222111122

122 )()( csVcFFcFcFdt

dcV cecff

2222

21221

122221122

22 )(

1)(

1)( cs

Ycs

YVsFFsFsF

dt

dsV cecFf

Παραδοχές1. Αμελητέος ο ενδογενής μεταβολισμός.2. Κατανάλωση υποστρώματος μόνο για τη σύνθεση

βιομάζας.3. Όχι προσκόλληση κυττάρων στα τοιχώματα του

χημοστάτη.4. Παρεμποδιστική δράση του υποστρώματος σε μεγάλες

συγκεντρώσεις – χρήση μοντέλου Andrews. 5. Περίπτωση βαθμοστάτη (Lovitt & Wimpenny, 1981):

Ρυθμός ροής στην είσοδο=ρυθμός ροής στην έξοδο: F1e=F1f, F2e=F2f

Ίσοι ρυθμοί επικοινωνίας μεταξύ των δύο αντιδραστήρων: F1c=F2c

ΑδιαστατοποίησηΜεταβλητές

Παράμετροι

Ειδικοί ρυθμοί ανάπτυξης πληθυσμών

Χ- πληθ:

Υ- πληθ:

Παραδοχή βαθμοστάτη v=u1

1mt , 11

1

s

ii K

cx

,

12

2

s

ii K

cy

,

1s

ii K

sz

11

1

s

ifif K

cx

,

12

2

s

ifif K

cy

,

1s

ifif K

sz

2

1

m

m

, 1

2

s

s

K

K ,

j

sj K

K

1

11 m

ifi V

Fu

,

11

1

m

e

V

Fv

,

11

1

m

c

V

Fr

,

2

1

V

V

2

11)(

zz

zzf

22

)(zz

zzg

Εξισώσεις

11112111 )()( xzfxruxrxu

d

dxf

11112111 )()( yzgyruyryu

d

dyf

1111112111 )()()( yzgxzfzruzrzu

d

dzf

2222122

2 )()( xzfxruxrxud

dxf

2222122

2 )()( yzgyruyryud

dyf

2222221222 )()()( yzgxzfzruzrzu

d

dzf

Μέθοδος● Εξέταση δυναμικής συστήματος με χρήση μεθόδων της

θεωρίας διακλαδώσεων

1. Περιγραφή συστήματος μέσω ενός συστήματος Σ.Δ.Ε

2. Εύρεση μονίμων καταστάσεων συστήματος xs

f(xs;p)=0

3. Γραμμικοποίηση γύρω από μια Μ.Κ και υπολογισμός ιδιοτιμών Iακωβιανού πίνακα

4. Εύρεση διακλαδώσεων μονίμων καταστάσεων.

ddx

f(x,t;p) xE Rn pE Rm

J (xs)=xsxx

pxf

);(

5. Υπολογισμός περιοδικών λύσεων.

6. Υπολογισμός χαρακτηριστικών πολλαπλασιαστών (πολ/στές Floquet) των περιοδικών λύσεων (οριακών κύκλων).

7. Εύρεση διακλαδώσεων οριακών κύκλων

8. Κατασκευή λειτουργικού διαγράμματος

9. Μελέτη ευστάθειας περιοδικών λύσεων.

Qx

ptxf

dt

dQ

);,(

Q(0)=I

Διακλαδώσεις

Μόνιμης κατάστασης

Μία πραγματική ιδιοτιμή

τέμνει τον άξονα των

φανταστικών

Ένα ζεύγος συζυγών

μιγαδικών τέμνει τον άξονα

των φανταστικών

Διακλάδωση

Οριακού σημείου

Μετακρίσιμη

διακλάδωση

Διακλάδωση Hopf:

υπερκρίσιμη,

υποκρίσιμη

Εμφάνιση νέων

σημείων ισορροπίας

Εμφάνιση περιοδικών

τροχιών

Αλλαγή χαρ/ρα Σ.Ι.

Τοπικές Διακλαδώσεις συστημάτων με μεταβολή μίας παραμέτρου

Διακλαδώσεις

Οριακού κύκλου

Ένας πραγματικός

πολ/στής τέμνει το μοναδιαίο

κύκλο στο 1

Ένας πραγματικός

πολ/στής τέμνει το μοναδιαίο

κύκλο στο -1

Ένα ζεύγος συζυγών

μιγαδικών τέμνει το μοναδιαίο

κύκλο υπό γωνία

φ/2π≠1, ½,1/3, 1/4

Μετακρίσιμη

διακλάδωση

Διακλάδωση

Διπλασιασμού περιόδου:

υπερκρίσιμη, υποκρίσιμη

Διακλάδωση

Neimark

Εμφάνιση νέων

περιοδικών τροχιών

Εμφάνιση νέων

περιοδικών τροχιώνΕμφάνιση Τόρου

Διακλάδωση Οριακού σημείου

Αλλαγή χαρ/ρα Ορ.Κύκλου

Ολικές διακλαδώσεις

• Δεν υπάρχει μεταβολή της ευστάθειας σημείων ισορροπίας ή οριακών κύκλων

• Υπάρχει μια ολική μεταβολή της εικόνας του χώρου των φάσεων. Ετεροκλινής σύνδεση: αλληλεπίδραση της ευσταθούς

και της ασταθούς πολλαπλότητας δύο σαγματικών σημείων.

Ομοκλινής σύνδεση: αλληλεπίδραση της ευσταθούς και της ασταθούς πολλαπλότητας του ίδιου σαγματικού σημείου.

Εμφάνιση οριακού κύκλουΕμφάνιση φαινομένου πολυευστάθειας

Λογισμικά• XPPAUT

Ένα εργαλείο για την προσομοίωση και ανάλυση δυναμικών συστημάτων (Bard Ermentrout).

Επίλυση διαφορικών εξισώσεων, εξισώσεων διαφορών, υστέρησης, συναρτησιακών, εξισώσεων οριακών τιμών και στοχαστικών εξισώσεων.

Μέσω του AUTO:Εντοπίζει κλάδους μονίμων καταστάσεων και τα σημεία

διακλάδωσηςΚάνει δύο-παραμέτρων συνέχιση διακλαδώσεων

M.Κ-τύπου: οριακού σημείου και σημείου Ηopf Οριακών κύκλων-τύπου: οριακού σημείου-LP,

διπλασιασμού περιόδου-PD και Neimark-TR. Δεν μπορεί να κάνει δύο-παραμέτρων συνέχιση

μετακρίσιμων διακλαδώσεων μονίμων ή περιοδικών καταστάσεων.

Δεν εντοπίζει ολικές διακλαδώσεις.

Λογισμικά• MATLAB/MATCONT (2002)

Πακέτο συνέχισης του Matlab με μια GUI για την αριθμητική μελέτη παραμετρικών μη γραμμικών ΣΔΕ.

Επιτρέπει τον υπολογισμό καμπυλών: ισορροπίας, οριακών σημείων, σημείων Hopf, οριακών

κύκλων, διακλαδώσεων τύπου οριακού σημείου, διπλασιασμού περιόδου, τόρου, σημείων διακλαδώσεως οριακών κύκλων και σημείων ισορροπίας.

Είναι δυνατός ο προσδιορισμός διακλαδώσεων συνδιάστασης-2 (cusp, Bogdanov-Takens, generalized Hopf, zero-Hopf, double Hopf) σε καμπύλες συνέχισης οριακού σημείου και καμπύλες Hopf.

Διάγραμμα διακλαδώσεων M.K για στείρα τροφοδοσία

L

Norm

Διάγραμμα διακλαδώσεων περιοδικών λύσεων για μη στείρα τροφοδοσία

Χ1

L

Παράμετροι συστήματος

Κατηγορία Αδιάστατες παράμετροι

Πλήθος

Μοντέλο ανάπτυξης α, β, γ1, γ2 4

Λειτουργία –

μη στείρα τροφοδοσία

u1, u2, x1f, x2f, y1f, y2f, z1f, z2f, r

9

Λειτουργία –

στείρα τροφοδοσία

u1, u2, z1f, z2f, r 5

Αντιδραστήρες λ 1

Μη στείρα τροφοδοσία 14

Στείρα τροφοδοσία 10

Επιλογή σταθερών παραμέτρων• Προϋπόθεση συνύπαρξης σε ευσταθή περιοδική

κατάσταση σε ένα χημοστάτη. Οι καμπύλες των ειδικών ρυθμών ανάπτυξης (μοντέλο

Andrews) πρέπει να τέμνονται με αντίθετη κλίση (διπλ. Α.Θεοδώρου 2005): α=0.9, β=0.25, γ1=0.5, γ2=1.0

Επιλογή τιμών παραμέτρων λειτουργίας από το λειτουργικό διάγραμμα U vs yf για ένα χημοστάτη (διπλ. Α.Θεοδώρου 2005): x1f=0.01, y1f=0.1, z1f=6, u1=0.4095

• Ίδιες συνθήκες τροφοδοσίας και στους δύο χημοστάτες:

x1f=x2f, y1f=y2f, z1f=z2f, u1=u2

Καμπύλες ειδικών ρυθμών ανάπτυξης

0 2 4 6 8 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f,g

z

F G

Παράμετροι μοντέλου Andrews: α=0.9, β=0.25, γ1=0.5, γ2=1.0

Λειτουργικό Διάγραμμα U vs Yf για 1 χημοστάτη

Περιοχή Αριθμός και χαρ/ρας Μ.Κ, i+j=3

Ι S - -

ΙΙ S,S SP -

ΙΙΙ S,S,S SP,SP -

ΙV S,S SP,SP UN ή UF

S:ευσταθής κόμβος ή εστία, SP:σαγματικό σημείο, UN:ασταθής κόμβος, UF:ασταθής εστία.

LP

LP

HP

Λειτουργικό Διάγραμμα U vs yf για ένα αντιδραστήρα, xf=0.01, zf=6

0.398

0.400

0.402

0.404

0.406

0.408

0.410

0.412

0.414

0.416

0.418

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12yf

U

yfHPa yfLPa UhomTest Uhom

ΙΙΙ IV

II

περιοχή ύπαρξης ευσταθούς οριακού κύκλου

II

Αποτελέσματα

• 2 Λειτουργικά διαγράμματα Μ.Κ ως προς τις παραμέτρους {L,R}: Παρουσία μικροοργανισμών στην τροφοδοσία Υπό στείρα τροφοδοσία

• Πίνακες ευστάθειας Μ.Κ• Εύρεση διακλαδώσεων περιοδικών

λύσεων

• Δυνατότητα εμφάνισης μόνο συνύπαρξης σε μόνιμη και ενδεχομένως σε περιοδική, οιονεί περιοδική ή και χαοτική κατάσταση.

• Βρέθηκαν συνολικά 21 διακλαδώσεις Μ.Κ, εκ των οποίων 15 διακλαδώσεις οριακού σημείου και 6 διακλαδώσεις Hopf.

• Κατασκευάστηκε πίνακας ευστάθειας Μ.Κ για κάθεμία από τις 138 περιοχές του λειτουργικού διαγράμματος.

• Αναγνωρίστηκαν συνολικά 84 διαφορετικά σχήματα ευστάθειας, με 1 έως και 7 ευσταθείς Μ.Κ συνύπαρξης.

Μη στείρα τροφοδοσία

Λειτουργικό Διάγραμμα βαθμοστάτη για μη στείρα τροφοδοσία

lp5a

lp6blp8b

lp9

lp11a

lp14b

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

L

R

lp1a lp2a lp3a lp4a lp5a lp6a lp7a lp8a

lp9 lp10a lp11a lp12a lp13a lp14a lp15a hp4a

hp4b hp5a hp3a hp2a hp6a hp1a

Σταθερές λειτουργικές παράμετροι: u1=u2=0.4095, x1f=x2f=0.01, y1f=y2f=0.1, z1f=z2f=6

• Οι διακλαδώσεις Hopf Μ.Κ (hp4, hp3) συνδέονται με την ύπαρξη ευσταθούς οριακού κύκλου.

• Η διακλάδωση hp4 σηματοδοτεί την καταστροφή ενός οριακού κύκλου που δημιουργείται μέσω μιας ολικής διακλάδωσης ομοκλινούς σύνδεσης.

• Η διακλάδωση hp3 είναι αποτέλεσμα της σύζευξης των δύο χημοστατών, καθώς υφίσταται για R>0.00034, ενώ όλες οι άλλες διακλαδώσεις Ηopf ξεκινούν από R=0.

Δημιουργία Οριακού Κύκλου μέσω ομοκλινούς σύνδεσης και καταστροφή μέσω της hp4

L=0.99442 L=0.99524

L=0.995913 L=0.99803

Διακλάδωση Hopf hp4: L=0.99608, R=0.002

Συνέχιση διακλάδωσης Hopf Μ.Κ-hp3

R~0.00036

R~0.0014

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.62 0.67 0.72 0.77 0.82 0.87 0.92 0.97 1.02

L

R

hp3a

hp3b

Συνέχιση ως προς L των περιοδικών λύσεων από την hp3

3.6

3.7

3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

0.996 1.001 1.006 1.011

L

Max

X1

Bifurc hp3 Bifurc lpc1 Bifurc tr1 Bifurc pd3b

Bifurc pd3a Bifurc tr2b

TR2b

PD3a

R=0.0008

3.8

3.82

3.84

3.86

3.88

3.9

1.013 1.0132 1.0134 1.0136 1.0138 1.014

L

Max

X1

LPC1

TR1PD3b

PD3a

R=0.0008

R=0.0008

Συνέχιση διακλαδώσεων περιοδικών λύσεων - hp3.

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.9994 0.9996 0.9998 1 1.0002 1.0004 1.0006 1.0008 1.001

L

R

hp3a hp3b ns2a ns2b lpc2a lpc2b pd1a pd1b lpc3a lpc3b FPD GPD

R1 CH CPC FNS R2

Δημιουργία ευσταθούς τόρου

4.00 4.01 4.02 4.03 4.04 4.05 4.06 4.07 4.08 4.09 4.10

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

1.55

1.60 R=0,0008, L=1,0005

ευσταθής αναλλοίωτος κύκλος

ασταθής εστία

y2

x1

R=0.0008, L=1.0005

Τομή z1=1.2.

Διακλάδωση διπλασιασμού περιόδου

0.003

0.005

0.007

0.009

0.011

0.013

0.015

0.999 1 1.001 1.002 1.003 1.004

L

R

hp3a hp3b pd1a pd1b pd1c pd1d lpc3a lpc3b homA homB

Οριακοί κύκλοι μεταξύ διαδοχικών διπλασιασμών περιόδου

• Πιθανοί τύποι μονίμων καταστάσεων: Ολική έκπλυση x1=x2=y1=y2=0

Έκπλυση του πληθυσμού Χ, x1=x2=0, y1>0,y2>0

Έκπλυση του πληθυσμού Υ, y1=y2=0, x1>0,x2>0

Συνύπαρξη των δύο πληθυσμών, x1>0,x2>0,y1>0,y2>0

• Προσδιορίστηκαν συνολικά 23 διακλαδώσεις Μ.Κ, εκ των οποίων 6 μετακρίσιμες, 13 οριακού σημείου και 4 διακλαδώσεις Hopf Μ.Κ.

• Κατασκευάστηκαν 3 πίνακες ευστάθειας Μ.Κ.

Στείρα τροφοδοσία

Λειτουργικό Διάγραμμα βαθμοστάτη υπό στείρα τροφοδοσία

lp10a

lp9a

lp8alp11alp6a

lp5b lp4blp3a

lp2a

hp4b

hp2a

bp1abp2a

bp3b

bp4b

bp78a

bp5clp13

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

L

R

lp10b lp9b lp8b lp11a lp6b lp7a lp5a lp4a lp3a

lp2a lp2b lp1b lp12b hp4b hp3b hp2b hp1b bp1b

bp2a bp3a bp4a bp5a bp78b bp5c lp13

z1f=z2f=6, u1=u2=0.4095

• Φαινόμενο πολυευστάθειας• Σε μία περιοχή γύρω από το L=1 (ίδιοι

χημοστάτες) και για μικρούς βαθμούς σύζευξης (R<0.005) υπάρχουν έως 9 ευσταθείς Μ.Κ: ολική έπλυση 2 καταστάσεις επικράτησης του πληθυσμού Χ 3 καταστάσεις επικράτησης του πληθυσμού Υ 2 καταστάσεις συνύπαρξης των δύο πληθυσμών

• Από τις 4 διακλαδώσεις Ηopf, τρεις (hp1, hp2, hp4) οδηγούν στη δημιουργία ευσταθών οριακών κύκλων.

• Καταστροφή οριακού κύκλου μέσω ολικής διακλάδωσης ομοκλινούς σύνδεσης.

Δημιουργία και καταστροφή οριακού κύκλου γύρω από την hp1

L=0.9777 L=0.9776

L=0.9775 L=0.97748

Hp1: L=0.97763, R=0.002

Συμπεράσματα• Η σύζευξη δύο χημοστατών δημιουργεί τις απαραίτητες

συνθήκες χωρικής ανομοιογένειας για συνύπαρξη 2 πληθυσμών υπό συναγωνισμό, όταν οι καμπύλες των ειδικών ρυθμών ανάπτυξής τους τέμνονται.

• Προϋπόθεση για συνύπαρξη σε περιοδική κατάσταση είναι αντίθετες κλίσεις στο σημείο τομής.

• Η ύπαρξη μικροοργανισμών στην τροφοδοσία προκαλεί φαινόμενα οιονεί περιοδικότητας και διπλασιασμού περιόδου.

• Υπό στείρα και μη τροφοδοσία είναι έντονη η πολυευστάθεια και τα περιοδικά φαινόμενα, έτσι κάποιος έλεγχος θα πρέπει να εφαρμόζεται στο βαθμό σύξευξης R για δεδομένο μέγεθος αντιδραστήρων, για επίτευξη ευσταθούς συνύπαρξης σε μόνιμη ή περιοδική κατάσταση.