Download - ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript
Page 1: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Page 2: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ(ΑΛΓΕΒΡΑ, ΣΕΛ. 174-196)

1. Ορισμοί

2. Αλγεβρικό Συμπλήρωμα

3. Τιμή ορίζουσας

4. Βασικές ιδιότητες οριζουσών

5. Συστήματα εξισώσεων

Page 3: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

•Τάξη ορίζουσας λέγεται ο αριθμός των στοιχείων μιας γραμμής. Για παράδειγμα η ορίζουσα a, που βλέπετε πιο πάνω, είναι τάξης 4.

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

•Ορίζουσα λέγεται μια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες με τη μορφή ενός τετραγωνικού πίνακα.

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a aa =

a a a a

a a a a•Η ορίζουσα τοποθετείται μεταξύ δύο κατακόρυφων γραμμών όπως αυτές που χρησιμοποιούμε για τις απόλυτες τιμές.

•Τα περιεχόμενα μιας ορίζουσας λέγονται στοιχεία της ορίζουσας.

•Κάθε ορίζουσα έχει μια και μόνο τιμή. Ο υπολογισμός της τιμής ορίζουσας, θα αναλυθεί αργότερα .

Πριν όμως προχωρήσουμε, θα δώσουμε μερικούς ορισμούς.

Page 4: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Page 5: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ

Παράδειγμα: Το στοιχείο a22 της ορίζουσας a βρίσκεται στη 2η γραμμή και 2η στήλη, τις οποίες διαγράφουμε.

•Αλγεβρικό συμπλήρωμα D(aij) του στοιχείου aij, που βρίσκεται στη γραμμή i και στήλη j λέγεται η ορίζουσα που προκύπτει αν διαγράψουμε ολόκληρη τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου αυτού.Πρόσημο του αλγεβρικού συμπληρώματος είναι το (–1)i+j

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Παρατηρούμε ότι το αλγεβρικό συμπλήρωμα κάθε στοιχείου είναι ορίζουσα τάξης

μικρότερης κατά 1 της τάξης της αρχικής ορίζουσας.

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a aa =

a a a a

a a a a

Ισχύει i=j=2. Συνεπώς το πρόσημο είναι (-1)2+2=+1

Άρα το στοιχείο a22 έχει το αλγεβρικό συμπλήρωμα D(a22 ):

11 13 14

22 31 33 34

41 43 44

a a a

D(a ) = + a a a

a a a

Page 6: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΣΚΗΣΗ:

Να υπολογισθεί το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου a34.

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a aa =

a a a a

a a a a

ΛΥΣΗ:

i=3, j=4, i+j=7

(-1)i+j=(-1)7=-1 (Πρόσημο ελάσσονος ορίζουσας το -)

Η ορίζουσα θα προκύψει μετά τη διαγραφή της γραμμής 3 και της στήλης 4

11 12 13

34 21 22 23

41 42 43

a a a

D(a ) = - a a a

a a a

Page 7: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Page 8: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γράφουμε την ορίζουσα σε μορφή αθροίσματος γινομένων των στοιχείων μιας γραμμής της επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα, που όλα θα είναι τάξης ν-1. Έτσι θα έχουμε πλέον ν ορίζουσες τάξης ν-1.

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων όλων των στοιχείων μιας γραμμής (ή μιας στήλης) επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a aa =

a a a a

a a a a Η διαδικασία για τον υπολογισμό της τιμής μιας ορίζουσας ν τάξης είναι:

Επαναλαμβάνουμε τον υποβιβασμό της τάξης των οριζουσών, μέχρι να καταλήξουμε σε ν! ορίζουσες τάξης 1.

Κάθε μία ορίζουσα τάξης ν-1 τη γράφουμε σε μορφή αθροίσματος γινομένων των στοιχείων μιας γραμμής της επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα, που όλα θα είναι τάξης ν-2. Έτσι θα έχουμε πλέον ν•(ν-1) ορίζουσες τάξης ν-2.

Page 9: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου.

a = a11 = a11

Page 10: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου.

Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής:

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

Page 11: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου.

Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής:

1.Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

Page 12: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου.

Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής:

1.Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

a11 a12

a21 a22D(a11) = (-1)1+1• = 1•a22

Page 13: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου.

Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής:

1.Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

a11 a12

a21 a22D(a11) = (-1)1+1• = 1•a22

a11 a12

a21 a22D(a12) = (-1)1+2• = -1•a21

Page 14: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου.

Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής:

1.Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα

2.Εκφράζουμε την ορίζουσα σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

a11 a12

a21 a22D(a11) = (-1)1+1• = 1•a22

a11 a12

a21 a22D(a12) = (-1)1+2• = -1•a21

a= a11•D(a11) +a12•D(a12) = a11•a22 - a12•a21

Page 15: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου.

Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής:

1.Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα

2.Εκφράζουμε την ορίζουσα σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

a11 a12

a21 a22D(a11) = (-1)1+1• = 1•a22

a11 a12

a21 a22D(a12) = (-1)1+2• = -1•a21

a= a11•D(a11) +a12•D(a12) = a11•a22 - a12•a21

= a11•a22 - a12•a21

Page 16: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου.

Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής:

1.Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα

2.Εκφράζουμε την ορίζουσα σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

a11 a12

a21 a22D(a11) = (-1)1+1• = 1•a22

a11 a12

a21 a22D(a12) = (-1)1+2• = -1•a21

a= a11•D(a11) +a12•D(a12) = a11•a22 - a12•a21

= a11•a22 - a12•a21

Παρατηρούμε ότι τελικά η τιμή ορίζουσας 2ης τάξης ισούται με τη

διαφορά των γινομένων των στοιχείων των διαγωνίων της.

ΣΗΜ. Χρησιμοποιώ κόκκινη διαγράμμιση για το θετικό

γινόμενο και πράσινη για το αρνητικό.

Page 17: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΣΚΗΣΗ: Να.υπολογισθεί η τιμή της ορίζουσας:

2 -2-1 -4

a =

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

ΛΥΣΗ:

2 -2

a = = 2 (-4) - (-2) (-1) = -10-1 -4

Page 18: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.

a11 a12 a13

a = a21 a22 a23

a31 a32 a33

Page 19: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.

Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus:

1.Γράφουμε την ορίζουσαa11 a12 a13

a = a21 a22 a23

a31 a32 a33

Page 20: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.

Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus:

1.Γράφουμε την ορίζουσα

2.Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες

a11 a12 a13 a11 a12

a = a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

a11 a12 a13

a = a21 a22 a23

a31 a32 a33

Page 21: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.

Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus:

1.Γράφουμε την ορίζουσα

2.Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες

3.Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με κόκκινη διαγράμμιση και τα προσθέτουμε.

a11 a12 a13 a11 a12

a = a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

a = a11•a22•a33 + a12•a23•a31 + a13•a21•a32

Page 22: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.

Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus:

1.Γράφουμε την ορίζουσα

2.Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες

3.Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με κόκκινη διαγράμμιση και τα προσθέτουμε.

4.Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με πράσινη διαγράμμιση και τα αφαιρούμε.

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

a11 a12 a13 a11 a12

a = a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

a = a11•a22•a33 + a12•a23•a31 + a13•a21•a32

- a31•a22•a13 - a32•a23•a11 - a33•a21•a12

Page 23: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.

Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus:

1.Γράφουμε την ορίζουσα

2.Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες

3.Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με κόκκινη διαγράμμιση και τα προσθέτουμε.

4.Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με πράσινη διαγράμμιση και τα αφαιρούμε.

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

a11 a12 a13 a11 a12

a = a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

a = a11•a22•a33 + a12•a23•a31 + a13•a21•a32

- a31•a22•a13 - a32•a23•a11 - a33•a21•a12

Το άθροισμα γινομένων που προκύπτει είναι η τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης

Page 24: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

ΑΣΚΗΣΗ:

Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης με τον κανόνα Sarrus:

1 1 21 2 -11 1 -1

a =

ΛΥΣΗ:

1 1 2 1 1

a = 1 2 -1 1 2 =

1 1 -1 1 1

1× 2 × (-1) + 1× (-1)×1 + 2 ×1×1

-1× 2 × 2 - 1× (-1)×1 - (-1)×1×1=

-2 - 1+ 2 - 4 +1+1= -3

Page 25: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΤΙΜΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

5ης ΤΑΞΗΣ

Page 26: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Θέμα: Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:

3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Page 27: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Θέμα: Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:

Επιλέγω την 1η γραμμή για να αναπτύξω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Page 28: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Θέμα: Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:

Επιλέγω την 1η γραμμή για να αναπτύξω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.ΣΚΕΠΤΙΚΟ:Ο αριθμός γραμμής παραμένει σταθερός i =1. Ο αριθμός στήλης αυξάνει κατά 1, αρχίζοντας από j=1. Επομένως το άθροισμα (i+j) αρχίζει από 2 και αυξάνει συνέχεια κατά 1. Συνεπώς οι δυνάμεις του (-1) είναι άρτιες και περιττές και εναλλάσσονται διαρκώς. Οι άρτιες δυνάμεις του (-1) μου δίνουν 1 και οι περιττές –1. Τα πρόσημα επομένως εναλλάσσονται αρχίζοντας από το + για το 1ο στοιχείο της 1ης γραμμής.

3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Page 29: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Θέμα: Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:

Επιλέγω την 1η γραμμή για να αναπτύξω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.ΣΚΕΠΤΙΚΟ:Ο αριθμός γραμμής παραμένει σταθερός i =1. Ο αριθμός στήλης αυξάνει κατά 1, αρχίζοντας από j=1. Επομένως το άθροισμα (i+j) αρχίζει από 2 και αυξάνει συνέχεια κατά 1. Συνεπώς οι δυνάμεις του (-1) είναι άρτιες και περιττές και εναλλάσσονται συνέχεια Οι άρτιες δυνάμεις του (-1) μου δίνουν 1 και οι περιττές –1. Τα πρόσημα επομένως εναλλάσσονται αρχίζοντας από το + για το 1ο στοιχείο της 1ης γραμμής.

Για κάθε στοιχείο της γραμμής, λοιπόν, σημειώνω το πρόσημο που θα έχει στο τελικό άθροισμα.

3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Page 30: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

Page 31: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Page 32: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Page 33: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Page 34: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Page 35: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Page 36: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

Page 37: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

1 0 2 -22 0 -1 -4

+3 1 2 2 -21 3 -2 -1

Page 38: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

1 0 2 -22 0 -1 -4

+3 1 2 2 -21 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

-2 1 2 2 -22 3 -2 -1

Page 39: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

1 0 2 -22 0 -1 -4

+3 1 2 2 -21 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

-2 1 2 2 -22 3 -2 -1

1 1 2 -22 2 -1 -4

+(-1) 1 1 2 -22 1 -2 -1

Page 40: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

1 0 2 -22 0 -1 -4

+3 1 2 2 -21 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

-2 1 2 2 -22 3 -2 -1

1 1 2 -22 2 -1 -4

+(-1) 1 1 2 -22 1 -2 -1

1 1 0 -22 2 0 -4

-3 1 1 2 -22 1 3 -1

Page 41: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

1 0 2 -22 0 -1 -4

+3 1 2 2 -21 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

-2 1 2 2 -22 3 -2 -1

1 1 2 -22 2 -1 -4

+(-1) 1 1 2 -22 1 -2 -1

1 1 0 -22 2 0 -4

-3 1 1 2 -22 1 3 -1

1 1 0 22 2 0 -1

+(-2) 1 1 2 22 1 3 -2

Page 42: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

Συνεχίζω αναπτύσσοντας κάθε ορίζουσα σε άθροισμα 4 οριζουσών 3ης τάξης. κ.ο.κ.

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

1 0 2 -22 0 -1 -4

+3 1 2 2 -21 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

-2 1 2 2 -22 3 -2 -1

1 1 2 -22 2 -1 -4

+(-1) 1 1 2 -22 1 -2 -1

1 1 0 -22 2 0 -4

-3 1 1 2 -22 1 3 -1

1 1 0 22 2 0 -1

+(-2) 1 1 2 22 1 3 -2

Page 43: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ο κλασσικός τρόπος υπολογισμού της τιμής μιας ορίζουσας ν βαθμού μας οδηγεί σε ν!

πολλαπλασιασμούς, πράγμα πολύ χρονοβόρο.

Page 44: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ο κλασσικός τρόπος υπολογισμού της τιμής μιας ορίζουσας ν βαθμού μας οδηγεί σε ν!

πολλαπλασιασμούς, πράγμα πολύ χρονοβόρο.

Τώρα θα εξετάσουμε μερικές ιδιότητες των οριζουσών που θα μας φανούν χρήσιμες

και θα μειώσουν το χρόνο υπολογισμού της τιμής μιας ορίζουσας.

Page 45: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Page 46: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

•Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν αντικαταστήσω τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) με το άθροισμα (ή τη διαφορά) των στοιχείων αυτών και των αντίστοιχων στοιχείων (ή και πολλαπλάσιων) μιας άλλης γραμμής (ή στήλης) :

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

a =

Page 47: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

•Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν αντικαταστήσω τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) με το άθροισμα (ή τη διαφορά) των στοιχείων αυτών και των αντίστοιχων στοιχείων (ή και πολλαπλάσιων) μιας άλλης γραμμής (ή στήλης) :

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

a =

a11+2a12 a12 a13 a14 a15 a16

a21+2a22 a22 a23 a24 a25 a26

a31+2a32 a32 a33 a34 a35 a36

a41+2a42 a42 a43 a44 a45 a46

a51+2a52 a52 a53 a54 a55 a56

a61+2a62 a62 a63 a64 a65 a66

=

Page 48: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

•Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν κατατάξω όλα τα στοιχεία των γραμμών σε στήλες και αντίστροφα.

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

a =

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

Page 49: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

•Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν κατατάξω όλα τα στοιχεία των γραμμών σε στήλες και αντίστροφα.

a11 a21 a31 a41 a51 a61

a12 a22 a32 a42 a52 a62

a13 a23 a33 a43 a53 a63

a14 a24 a34 a44 a54 a64

a15 a25 a35 a45 a55 a65

a16 a26 a36 a46 a56 a66

=

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

a =

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

Page 50: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

•Η ορίζουσα αλλάξει πρόσημο αν αλλάξω δύο γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους.

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

a =

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

Page 51: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

•Η ορίζουσα αλλάξει πρόσημο αν αλλάξω δύο γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους.

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

a =

a11 a15 a13 a14 a12 a16

a21 a25 a23 a24 a22 a26

a31 a35 a33 a34 a32 a36

a41 a45 a43 a44 a42 a46

a51 a55 a53 a54 a52 a56

a61 a65 a63 a64 a62 a66

= -

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

Page 52: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

Οι ιδιότητες των οριζουσών μας δίνουν το δικαίωμα να προσθέτουμε γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους έτσι ώστε να πετύχουμε τον μηδενισμό αρκετών στοιχείων μιας γραμμής (ή στήλης).

Στη συνέχεια αναπτύσσουμε την ορίζουσα ως προς τη γραμμή (ή στήλη) που έχει τα περισσότερα μηδενικά στοιχεία.

Αυτό θα μας οδηγήσει σε υπολογισμό λιγότερων ελασσόνων οριζουσών.

Page 53: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

Οι ιδιότητες των οριζουσών μας δίνουν το δικαίωμα να προσθέτουμε γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους έτσι ώστε να πετύχουμε τον μηδενισμό αρκετών στοιχείων μιας γραμμής (ή στήλης).

Στη συνέχεια αναπτύσσουμε την ορίζουσα ως προς τη γραμμή (ή στήλη) που έχει τα περισσότερα μηδενικά στοιχεία.

Αυτό θα μας οδηγήσει σε υπολογισμό λιγότερων ελασσόνων οριζουσών.

Η αντικατάσταση μιας γραμμής με το άθροισμά της με το πολλαπλάσιο μιας άλλης συμβολίζεται όπως φαίνεται στα παραδείγματα που ακολουθούν.

Page 54: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

Οι ιδιότητες των οριζουσών μας δίνουν το δικαίωμα να προσθέτουμε γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους έτσι ώστε να πετύχουμε τον μηδενισμό αρκετών στοιχείων μιας γραμμής (ή στήλης).

Στη συνέχεια αναπτύσσουμε την ορίζουσα ως προς τη γραμμή (ή στήλη) που έχει τα περισσότερα μηδενικά στοιχεία.

Αυτό θα μας οδηγήσει σε υπολογισμό λιγότερων ελασσόνων οριζουσών.

Η αντικατάσταση μιας γραμμής με το άθροισμά της με το πολλαπλάσιο μιας άλλης συμβολίζεται όπως φαίνεται στα παραδείγματα που ακολουθούν.

Γ3=Γ3-Γ1 : αντικαθιστώ την γραμμή 3 με τη διαφορά της 1ης από την 3η γραμμή

Page 55: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Οι ιδιότητες των οριζουσών μας δίνουν το δικαίωμα να προσθέτουμε γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους έτσι ώστε να πετύχουμε τον μηδενισμό αρκετών στοιχείων μιας γραμμής (ή στήλης).

Στη συνέχεια αναπτύσσουμε την ορίζουσα ως προς τη γραμμή (ή στήλη) που έχει τα περισσότερα μηδενικά στοιχεία.

Αυτό θα μας οδηγήσει σε υπολογισμό λιγότερων ελασσόνων οριζουσών.

Η αντικατάσταση μιας γραμμής με το άθροισμά της με το πολλαπλάσιο μιας άλλης συμβολίζεται όπως φαίνεται στα παραδείγματα που ακολουθούν.

Γ3=Γ3-Γ1 : αντικαθιστώ την γραμμή 3 με τη διαφορά της 1ης από την 3η γραμμή

Σ1=Σ1+2Σ4 : αντικαθιστώ τη στήλη 1 με τό άθροισμα της 1ης με το διπλάσιο της 4ης

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

Page 56: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

Page 57: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Θέμα: Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:

Εφαρμόζοντας τις παραπάνω ιδιότητες στην ορίζουσα του θέματος, μπορούμε να προχωρήσουμε με την εξής μέθοδο:

3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -4

1 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Page 58: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

3 2-3 -1 3 -21 1-1 0 2 -22 2-2 0 -1 -41 1-1 2 2 -22 1-2 3 -2 -1

=

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -22 -1 3 -2 -1

=

Πρώτα αφαιρώ την 1η από τη 2η στήλη: Σ2=Σ2-Σ1

Θέμα: Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:

Εφαρμόζοντας τις παραπάνω ιδιότητες στην ορίζουσα του θέματος, μπορούμε να προχωρήσουμε με την εξής μέθοδο:

3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -4

1 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Page 59: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2

2-3 -1+1 3+1 -2-3 -1+2

=

Κατόπιν αφαιρώ την 1η από τη 5η γραμμή: Γ5=Γ5-Γ1

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -22 -1 3 -2 -1

=

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

=

Page 60: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2

2-3 -1+1 3+1 -2-3 -1+2

=

Κατόπιν αφαιρώ την 1η από τη 4η γραμμή: Γ4=Γ4-Γ1

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -22 -1 3 -2 -1

=

Βλέπουμε ότι η στήλη 2 έχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο. Συνεπώς θα έχουμε μόνο μια ορίζουσα 4ης τάξης να υπολογίσουμε.

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

=

Page 61: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2

2-3 -1+1 3+1 -2-3 -1+2

=

Κατόπιν αφαιρώ την 1η από τη 4η γραμμή: Γ4=Γ4-Γ1

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -22 -1 3 -2 -1

=

Βλέπουμε ότι η στήλη 2 έχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο. Συνεπώς θα έχουμε μόνο μια ορίζουσα 4ης τάξης να υπολογίσουμε.

Εκτός αυτού και οι ορίζουσες 3ης τάξης, που θα προκύψουν στη συνέχεια των υποβιβασμών, έχουν ήδη μηδενικά στοιχεία, όπως φαίνεται στη στήλη 3.

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

=

Page 62: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-1 4 -5 1

=

Αναπτύσσω την ορίζουσα ως προς τη 2η στήλη. Το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο είναι το –1 (i=1η γραμμή, j=2η στήλη, άρα i+j=3, συνεπώς (–1)3=-1), (-1)(-1)= 1.

Page 63: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-1 4 -5 1

=

Στην ορίζουσα 4ης τάξης εφαρμόζω την πράξη: Γ4=Γ4-2Γ3

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2

-1-2 4-4 -5-4 1+4

=

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-3 0 -9 5

=

Αναπτύσσω την ορίζουσα ως προς τη 2η στήλη. Το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο είναι το –1 (i=1η γραμμή, j=2η στήλη, άρα i+j=3, συνεπώς (–1)3=-1), (-1)(-1)= 1.

Page 64: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-1 4 -5 1

=

Στην ορίζουσα 4ης τάξης εφαρμόζω την πράξη: Γ4=Γ4-2Γ3

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2

-1-2 4-4 -5-4 1+4

=

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-3 0 -9 5

=

Η δεύτερη στήλη περιέχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο, άρα θα αναπτύξουμε ως προς τη στήλη 2 και θα έχουμε μόνο μια ορίζουσα 3ης τάξης.

Αναπτύσσω την ορίζουσα ως προς τη 2η στήλη. Το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο είναι το –1 (i=1η γραμμή, j=2η στήλη, άρα i+j=3, συνεπώς (–1)3=-1), (-1)(-1)= 1.

Page 65: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-1 4 -5 1

=

Στην ορίζουσα 4ης τάξης εφαρμόζω την πράξη: Γ4=Γ4-2Γ3

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2

-1-2 4-4 -5-4 1+4

=

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-3 0 -9 5

=

Η δεύτερη στήλη περιέχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο, άρα θα αναπτύξουμε ως προς τη στήλη 2 και θα έχουμε μόνο μια ορίζουσα 3ης τάξης.

Τέλος, η τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης θα υπολογισθεί με τον κανόνα Sarrus.

Αναπτύσσω την ορίζουσα ως προς τη 2η στήλη. Το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο είναι το –1 (i=1η γραμμή, j=2η στήλη, άρα i+j=3, συνεπώς (–1)3=-1), (-1)(-1)= 1.

Page 66: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΣΚΗΣΗ: Η παραπάνω ισότητα είναι η τελευταία στην ακολουθία του θέματός μας.

1. Να δημιουργήσετε το αλγεβρικό συμπλήρωμα του μη μηδενικού στοιχείου της δεύτερης στήλης.

2. Να συνεχίσετε την ισότητα

3. Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης με τον κανόνα Sarrus.

4. Να υπολογίσετε την τελική τιμή της αρχικής ορίζουσας

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-3 0 -9 5

=

Page 67: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

a =

ΑΣΚΗΣΗ: Να δημιουργήσετε μια ορίζουσα που κάθε στοιχείο της θα είναι το άθροισμα των δεικτών των στοιχείων της παρακάτω ορίζουσας.

Μόνο με πράξεις μεταξύ των γραμμών (ή στηλών) να αποδείξετε ότι η τιμή της είναι μηδέν (0).

ΥΠΟΔΕΙΞΗ: Μετά από κατάλληλες πράξεις πρέπει όλα τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) να είναι μηδέν (0).

Page 68: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

2 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

a =

Page 69: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

2 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

a =

Γ2-Γ1

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

=

Page 70: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γ5-Γ4

2 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

a =

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

=

Γ2-Γ1

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 101 1 1 1 1 17 8 9 10 11 12

=

Page 71: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γ5-Γ4 Γ5-Γ2

2 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

a =

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 101 1 1 1 1 17 8 9 10 11 12

=

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

=

Γ2-Γ1

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 100 0 0 0 0 07 8 9 10 11 12

=

Page 72: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γ5-Γ4 Γ5-Γ2

2 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

a =

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 101 1 1 1 1 17 8 9 10 11 12

=

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

=

Γ2-Γ1

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 100 0 0 0 0 07 8 9 10 11 12

=

Η γραμμή 5 έχει μόνο μηδενικά στοιχεία, άρα a=0.

Page 73: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε ότι πάντα μια ορίζουσα υποβιβάζεται σε μία μόνο ορίζουσα μικρότερης τάξης.

Η απόδειξη να γίνει για την ορίζουσα:

5 7 12 -8 -2-3 1 7 4 35 9 -6 -4 39 8 2 7 -5-6 3 2 8 4

a =

Page 74: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

5 7 12 -8 -2-3 1 7 4 35 9 -6 -4 39 8 2 7 -5-6 3 2 8 4

a =

0 -2 18 -4 -5-3 1 7 4 35 9 -6 -4 39 8 2 7 -5-6 3 2 8 4

Γ1-Γ3

0 -2 18 0 -5-3 1 7 2 35 9 -6 -22 39 8 2 -9 -5-6 3 2 2 4

Σ4-2Σ2

0 -2 0 0 -5-3 1 16 2 35 9 75 -22 39 8 74 -9 -5-6 3 29 2 4

Σ3+9Σ2

0 -2 0 0 0-3 1 16 2 0,55 9 75 -22 -19,59 8 74 -9 -25-6 3 29 2 -3,5

Σ5-2,5Σ2

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Η μοναδική ορίζουσα μικρότερης τάξης περιέχει στοιχεία που προσθέτουν δυσκολία

στον υπολογισμό των γινομένων.

Αυτό όμως αντισταθμίζεται με το γεγονός ότι έχουμε μόνο 1 ορίζουσα αντί για 5

Page 75: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε ότι η τιμή της παρακάτω ορίζουσας είναι ίση με μηδέν (0).

1 3 -1 2

4 1 6 1a =

3 9 -3 6

3 2 1 4

ΛΥΣΗ

Παρατηρούμε ότι η 3η γραμμή είναι το τριπλάσιο της 1ης γραμμής.

Page 76: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε ότι η τιμή της παρακάτω ορίζουσας είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου της.

11 12 13 14

22 23 24

33 34

44

a a a a

0 a a aa =

0 0 a a

0 0 0 a

Page 77: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε ότι η τιμή της παρακάτω ορίζουσας είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου της.

11 12 13 14

22 23 24

33 34

44

a a a a

0 a a aa =

0 0 a a

0 0 0 a

Αναπτύσσοντας ως προς την 1η στήλη, θα έχω μόνο μια ορίζουσα 3ης τάξης.

Αναπτύσσοντας και πάλι ως προς την 1η στήλη, θα έχω μόνο μια ορίζουσα 2ης τάξης.

11 12 13 14

22 23 24

33 34

44

a a a a

0 a a aa =

0 0 a a

0 0 0 a

22 23 24

11 33 34

44

a a a

= a 0 a a

0 0 a

33 3411 22

44

a a= a a

0 a 11 22 33 44= a a a a

11 22 33 44a = a a a a

Θέλω να αποδείξω ότι:

Page 78: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ορίζουσες τέτοιας μορφής λέγονται τριγωνικές.

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε ότι κάθε ορίζουσα μπορεί να μετατραπεί σε τριγωνική.

11 12 13 14

22 23 24

33 34

44

a a a a

0 a a aa =

0 0 a a

0 0 0 a

Page 79: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΣΚΗΣΗ 2: Να λύσετε και να διερευνήσετε την εξίσωση:

a x a

f(x) = 1 1 1 = 0

b x 1

ΑΣΚΗΣΗ 3: Να λύσετε και να διερευνήσετε την εξίσωση:

a x a

f(x) = 1 1 1 = 0

x b 1

ΑΣΚΗΣΗ 1: Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας:

i j k

A = 3 1 1

-2 -1 1

Page 80: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

n1 1 n2 2 nn n n

a x + a x + ... + a x = b

a x + a x + ... + a x = b

.....

a x + a x + ... + a x = b

Ένα σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους έχει μία λύση όταν η ορίζουσα των συντελεστών είναι διάφορη του 0.

Αυτά τα συστήματα ονομάζονται συστήματα Cramer

Η λύση ενός συστήματος Cramer είναι:

......

11

22

nn

Ax =

AA

x =A

Ax =

A

όπου Α είναι η ορίζουσα των συντελεστών και Α1, Α2, ... , Αn είναι οι ορίζουσες που προκύπτουν από την Α, αν στη θέση των συντελεστών κάθε αγνώστου θέσουμε τους σταθερούς όρους.

Page 81: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x + 2x - x = 0

4x + x + x = -1

-3x + 2x - x = 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να λυθεί το σύστημα:

Οι ορίζουσες Α1,Α2,Α3 είναι:

31 21 2 3

AA 6 1 A -6 1 -6 1x = = = - x = = = x = = =

A -12 2 A -12 2 A -12 2

Η ορίζουσα Α των συντελεστών είναι: 1 2 -1

A = 4 1 1 = -12 0

-3 2 -1

1 2 3

2 -1 1 -1 1 2

A = 1 1 = 6 A = 4 1 = -6 A =

0 0 0

-1 -1 -1

2

4 1 = -6

2 -1 -3 - -3 2-2 21

Συνεπώς η λύση του συστήματος είναι:

Page 82: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

1 4

x + x - x - x = -1

2x + x + x - x = 7

-x - 2x + x = -1

x + x = 3

ΑΣΚΗΣΗ: Να λυθεί το σύστημα:

Page 83: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΕΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1

Page 84: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

(ΒΙΒΛΙΟ: ΑΛΓΕΒΡΑ, ΣΕΛ. 15-37)

Page 85: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

1. Εισαγωγή2. Διανύσματα3. Άλγεβρα Διανυσμάτων4. Εσωτερικό Γινόμενο5. Εξωτερικό Γινόμενο

Page 86: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Οτιδήποτε στη φύση μπορεί να μετρηθεί και να καταταγεί αποτελεί φυσικό μέγεθος.

Τα φυσικά μεγέθη δεν είναι τίποτα άλλο από μια αντιστοίχιση των ιδιοτήτων υλικών σωμάτων ή ενεργειακών ποσοτήτων με κάποιο σώμα αριθμών ή μαθηματικό χώρο.

Βαθμωτά Μεγέθη

Φυσικά Μεγέθη

Βαθμωτό είναι ένα φυσικό μέγεθος, για την περιγραφή του οποίου αρκεί ο προσδιορισμός του μέτρου (πραγματικός αριθμός και μονάδα μέτρησης).

Διανυσματικά Μεγέθη

Διανυσματικό είναι ένα φυσικό μέγεθος, για την περιγραφή του οποίου χρειάζεται ο προσδιορισμός του μέτρου (πραγματικός αριθμός και μονάδα μέτρησης) και της διεύθυνσης (γωνία κατά την οποία εφαρμόζεται).

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Page 87: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ποια από τα παρακάτω είναι φυσικά μεγέθη;

Ηλεκτρισμός Βάρος Υγρασία Μάζα Μήκος Αυτοκίνητο Χρώμα

Ποια από τα παρακάτω είναι βαθμωτά μεγέθη;

Θερμοκρασία Χρόνος Όγκος Ταχύτητα Πλήθος

Ποια από τα παρακάτω είναι διανυσματικά μεγέθη;

Μήκος Απόσταση Θερμότητα

Άσκηση

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Page 88: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Page 89: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ο αναλυτικός συμβολισμός των διανυσμάτων γίνεται με ελληνικούς ή λατινικούς χαρακτήρες πάνω από τους οποίους τοποθετείται ένα μικρό οριζόντιο βέλος.

Συμβολισμός διανυσμάτων

Η γραφική απεικόνιση ενός διανύσματος γίνεται με ένα βέλος μήκους ίσου με το μέτρο και ίδιας διεύθυνσης με εκείνη του διανύσματος.

a

a, b, Pa, b, P

Το μέτρο των διανυσμάτων συμβολίζεται με τον τελεστή της απόλυτης τιμής.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σε μερικές βιβλιογραφίες, για την παράσταση διανύσματος χρησιμοποιείται έντονη γραφή (χωρίς βέλος πάνω από το σύμβολο), ενώ για την παράσταση του μέτρου διανύσματος αρκεί η χρήση του συμβόλου του.

, ,a b P

, ,a b P

Page 90: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Page 91: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Για τη θεμελίωση της άλγεβρας διανυσμάτων, δηλαδή των νόμων που ορίζουν την εκτέλεση πράξεων σε αυτά, είναι απαραίτητος ο ορισμός δύο πολύ βασικών διανυσμάτων: του μοναδιαίου και του μηδενικού διανύσματος.

Άλγεβρα διανυσμάτων

Μοναδιαίο είναι ένα διάνυσμα όταν το μέτρο του είναι ίσο με 1

Μηδενικό είναι ένα διάνυσμα όταν το μέτρο του είναι ίσο με 0

1a I a

0 0a a

Page 92: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα a υπάρχει ένα μόνο μοναδιαίο διάνυσμα με την ίδια διεύθυνση. Το μοναδιαίο αυτό διάνυσμα είναι ίσο με:

Ίσα διανύσματαΔύο διανύσματα είναι ίσα εάν έχουν ίσα μέτρα και την ίδια διεύθυνση

ab

Αντίθετα διανύσματαΔύο διανύσματα είναι αντίθετα εάν έχουν ίσα μέτρα, αλλά αντίθετη διεύθυνση

Το αντίθετο διάνυσμα είναι το μηδενικό στοιχείο της πρόσθεσης.

ab

Άλγεβρα διανυσμάτων

aI

a

Page 93: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ακτινωτά διανύσματαΔύο διανύσματα λέγονται ακτινωτά ή διανυσματικές ακτίνες, όταν οι αρχές τους συμπίπτουν.

Επάλληλα διανύσματαΔύο διανύσματα λέγονται επάλληλα ή διαδοχικά, όταν το τέλος του πρώτου αποτελεί αρχή του δεύτερου.

ab

a

b

Άλγεβρα διανυσμάτων

Page 94: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Άθροισμα διανυσμάτωνΆθροισμα διανυσμάτων λέγεται το αποτέλεσμα της πρόσθεσής τους.

Το Άθροισμα δύο επάλληλων διανυσμάτων, είναι διάνυσμα, το οποίο έχει ίδια αρχή με το πρώτο και ίδιο τέλος με το δεύτερο διάνυσμα.

ab

bac

Το Άθροισμα δύο ακτινωτών διανυσμάτων, είναι διάνυσμα ίσο με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που ορίζουν τα διανύσματα, με αρχή την ίδια με τα αρχικά.

a

b

bac

Άλγεβρα διανυσμάτων

Page 95: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαφορά διανυσμάτωνΔιαφορά διανυσμάτων λέγεται το αποτέλεσμα της αφαίρεσής τους.

Η Διαφορά δύο ακτινωτών διανυσμάτων, είναι διάνυσμα με αρχή το τέλος του δεύτερου και τέλος το τέλος του πρώτου.

a

b

bac

ΆσκησηΧρησιμοποιώντας τον ορισμό αθροίσματος επάλληλων διανυσμάτων να αποδείξετε τον παραπάνω ορισμό.

Άλγεβρα διανυσμάτων

Page 96: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γινόμενο διανύσματος με βαθμωτό

Γινόμενο διανύσματος με ένα βαθμωτό μέγεθος είναι ένα νέο διάνυσμα με μέτρο ίσο με το γινόμενο του βαθμωτού επί το μέτρο του διανύσματος και διεύθυνση ίδια ή αντίθετη με αυτήν του διανύσματος, εξαρτώμενη από το πρόσημο του βαθμωτού μεγέθους.

a

0)(λaλr

a

0)(κaκs

Το γινόμενο διανύσματος επί το μηδέν (0), είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Δύο παράλληλα διανύσματα έχουν λόγο ένα πραγματικό αριθμό.

Page 97: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ανάλυση διανυσμάτων

Κάθε διάνυσμα μπορεί να αναλυθεί σε 2 άλλα διανύσματα αρκεί να ορισθούν οι διευθύνσεις τους.

Κατ’ επέκταση μπορεί να αναλυθεί σε 3, 4, κ.ο.κ. διανύσματα γνωστών διευθύνσεων.

ab

dbad

a

b

d

c

cbad

Page 98: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα

Τρία μοναδιαία διανύσματα λέγονται ορθογώνια όταν είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους. Κάθε τριάδα ορθογώνιων διανυσμάτων ορίζει ένα τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

i

j

k

x

y

z

Page 99: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

i

j

k

x

y

z

a

Συνιστώσες διανυσμάτων

Κάθε διάνυσμα μπορεί πάντα να αναλυθεί σε τρία διανύσματα παράλληλα προς τα ορθογώνια διανύσματα ενός συστήματος συντεταγμένων.

zayaxaa

a=a +a +ax y z

a =σ ixxa =σ jyy

a =σ kzza=σ i+σ j+σ kx y z

Οι πραγματικοί αριθμοί σx, σy, σz λέγονται συνιστώσες του διανύσματος a.

Το διάνυσμα μπορεί να γραφεί a = (σx, σy, σz )

xa

ya

za

Page 100: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Σημείωση

Στο εξής θα χρησιμοποιούμε κόκκινο για διανύσματα και μαύρο για τις συνιστώσες.

Συνιστώσες διανυσμάτων

Κάθε διάνυσμα μπορεί πάντα να αναλυθεί σε τρία διανύσματα παράλληλα προς τα ορθογώνια διανύσματα ενός συστήματος συντεταγμένων.

i

j

k

x

y

z

a

xa

ya

za

Οι πραγματικοί αριθμοί σx, σy, σz λέγονται συνιστώσες του διανύσματος a.

Το διάνυσμα μπορεί να γραφεί a = (σx, σy, σz )

Page 101: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Άθροισμα – Διαφορά διανυσμάτων από τις Συνιστώσες

Κάθε διάνυσμα a μπορεί πάντα να γραφεί a = (σx, σy, σz )

Οι πραγματικοί αριθμοί σx, σy, σz λέγονται συνιστώσες του διανύσματος a.

Όταν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων τότε η αναλυτική έκφραση της πρόσθεσης και αφαίρεσης είναι:

Άσκηση

Να υπολογίσετε το άθροισμα a+b και τη διαφορά a-b των διανυσμάτων:

, ,

, , , ,

x y z

x y z x x y y z z

a a a a

b b b b c a b a b a b

c a b

2, 1,3 (2,2,2)a b

Page 102: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Μέτρο διανυσμάτων από τις Συνιστώσες

Κάθε διάνυσμα a μπορεί πάντα να γραφεί a = (ax, ay, az )

Οι πραγματικοί αριθμοί ax, ay, az λέγονται συνιστώσες του διανύσματος a.

Όταν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων τότε η αναλυτική έκφραση του μέτρου του είναι:

Άσκηση

Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων:

2 2 2x y za a a a

(1,2,3) (1,2, 3)a b

Page 103: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Page 104: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Εσωτερικό γινόμενο

Εσωτερικό (ή βαθμωτό) γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος ίσο με το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων επί το συνημίτονο της περιεχόμενης γωνίας. Η πράξη συμβολίζεται με μια κουκίδα μεταξύ των διανυσμάτων.

φ

a

b

m a b a b

Page 105: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων από τις Συνιστώσες

Όταν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων τότε η αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου είναι:

Άσκηση

Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων:

μ= =σ τ +σ τ +σ τx x ya b y z z ,

, ,

= σ σ , σx y z

= τ τ τx y z

a

b

(3, 1,4)

(2,2,2)

a

b

3 2 1 2 4 2 16m a b

Page 106: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Page 107: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1: Το πρόσημο του ημιτόνου θα είναι και το πρόσημο του εξωτερικού γινομένου, άρα θα καθορίζει τη φορά του.

Εξωτερικό γινόμενο

Εξωτερικό (ή διανυσματικό) γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των δύο διανυσμάτων, με μέτρο ίσο με το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων επί το ημίτονο της περιεχόμενης γωνίας. Η πράξη συμβολίζεται με το x.

φ

a

b

c a b a= × = bsin φc=axb

Page 108: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Εξωτερικό γινόμενο

Εξωτερικό (ή διανυσματικό) γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των δύο διανυσμάτων, με μέτρο ίσο με το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων επί το ημίτονο της περιεχόμενης γωνίας. Η πράξη συμβολίζεται με το x.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2: Το μέτρο του εξωτερικού γινομένου είναι ίσο με το εμβαδό του παραλληλογράμμου των διανυσμάτων.

φ

a

b

c a b a= × = bsin φc=axb

Page 109: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων από τις Συνιστώσες

Όταν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων σε ένα σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων i,j,k τότε η αναλυτική έκφραση του εξωτερικού γινομένου είναι:

( , , )

( , , )

x y z

x y z

x y z

x y z

i j ka a a a

b b b ba b a a a

b b b

Page 110: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων από τις Συνιστώσες

Άσκηση

Να υπολογίσετε το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων:

(3, 1,4)

(2,2,2)

a

b

i j k

-1 4 3 4 3 -1c =3 -1 4 = i- j+ k=-10i+2j+8k

2 2 2 2 2 22 2 2

Λύση

Page 111: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΕΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2

Page 112: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Page 113: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

(ΑΛΓΕΒΡΑ, ΣΕΛ. 41-120)

Page 114: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1. Εξίσωση ευθείας2. Απόσταση σημείου από ευθεία3. Εμβαδόν τριγώνου

Page 115: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Εξίσωση ευθείας

Όπως είναι γνωστό, δύο σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) ορίζουν μια ευθεία. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β είναι:

1 2 1

1 2 1

y - y y - y=

x - x x - x

Ο λόγος της διαφοράς των συντεταγμένων δύο σημείων μιας ευθείας λέγεται συντελεστής διεύθυνσης λ.

2 1

2 1

y - yλ =

x - x

Όπως παρατηρούμε στο σχήμα, ο συντελεστής διεύθυνσης λ είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας φ που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x.

y

Α

Β

xx1

y1

x2

y2

φ

φ

λ = TanφΔηλαδή:

Page 116: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Εξίσωση ευθείας

Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) είναι:

1 2 1

1 2 1

y - y y - y=

x - x x - x

Ευθεία που διέρχεται από σημείο Α(x1,y1) και έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ περιγράφεται από την εξίσωση:

1

1

y - y= λ

x - x

Ευθεία που διέρχεται από σημείο Α(x1,y1) και είναι παράλληλη σε διάνυσμα r(xr,yr) περιγράφεται από την εξίσωση:

1 r

1 r

y - y y=

x - x x

Page 117: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Εξίσωση ευθείας

Παράλληλες ευθείες σχηματίζουν την ίδια γωνία με τον άξονα x. Συνεπώς έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.

1 2 1 2ε ε λ = λ

x

y

φ φ

ε1 ε2

Κάθετες ευθείες σχηματίζουν γωνίες με τον άξονα x με διαφορά 90ο. Συνεπώς οι συντελεστές διεύθυνσης έχουν τη σχέση:

1 2 12

-1ε ε λ =

λ

y

φ90ο+φ

ε1

ε2

x

Page 118: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας

Μια εξίσωση ευθείας μπορεί πάντα να μετασχηματισθεί στη μορφή:

Ax +By +Γ = 0

Η παραπάνω λέγεται Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας

Page 119: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας

Μετασχηματίζοντας την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία, καταλήγουμε στην εξίσωση:

Η παραπάνω εξίσωση είναι της μορφής:

1 2 11 2 1 2 1 1

1 2

1 2 2 1 1 2 1 1

1

2 1

y - y y - y= y - y x - x = y - y x

y - y + x - x + x - x y +

- xx - x

y - y

x

y

x -

xx = 0

Ax +By +Γ = 0

όπου:

1 2

2 1

1 2 1 2 1 1

Α = y - y

Β = x - x

Γ = x - x y + y - y x

2 1

2 1

y - y -Αλ = =

x - x ΒΠαρατηρούμε ότι:

Page 120: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Αν η αρχική εξίσωση ευθείας ήταν της μορφής:

1

1

y - y= λ

x - x

καταλήγουμε στη γενική της μορφή: Ax +By +Γ = 0

όπου: 1 1

Α = -λ

Β = 1

Γ = λx - y

Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας

τότε, κάνοντας τις πράξεις,

11 1

11 1

y - y= λ y - y = λ x - -λx + y + λx -x

- xy

x= 0

-Αλ =

ΒΠαρατηρούμε και πάλι ότι:

Page 121: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Απόσταση σημείου από ευθεία

Δίνεται ευθεία ε και σημείο Μ εκτός αυτής.Ζητείται η απόσταση d του σημείου Μ από την ευθεία ε.Η εξίσωση της ευθείας είναι:

Αx +Βy +Γ = 0

Και ο συντελεστής διεύθυνσης:

Αλ = -

ΒΑπό το σημείο Μ θεωρούμε την κάθετο ΜΝ στην ευθεία ε. Έστω (x1,y1) και (x2,y2) οι συντεταγμένες των Μ και Ν αντίστοιχα. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΜΝ είναι:

1 2

1 2

y - yλ' =

x - x

Επειδή η ΜΝ είναι κάθετη στην ευθεία ε, πρέπει:

1 2 1 2 1 2

1 2

y - y x - x y - yAλ λ' = -1 - = -1 =

B x - x A B

yM

ε

x

N

d

-1

λ = λ λ' = -1λ'

Αντικαθιστώντας τα λ, λ’, παίρνουμε τη σχέση:

Page 122: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Απόσταση σημείου από ευθεία

Εκτελώντας κατάλληλες πράξεις παίρνουμε:

1 2 1 2x - x y - y=

A B

Το σημείο Ν βρίσκεται στην ευθεία ε, άρα ικανοποιεί την εξίσωση:

2 2Αx +Βy +Γ = 0

Αντικαθιστώντας το Γ στην εξίσωση (1) έχουμε κατά σειρά:

1 2 1 2 1 12 2

x - x y - y Ax +By +Γ= =

A B A +B

2 2Γ = -Αx -Βy

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 22 2 2 2

x - x y - y Ax - Ax By -By Ax +By - Ax -By= = = =

A B A B A +B(1)

2 2 2

2 2 2

1 2 1 2 1 1

2 2

x - x + y - y Ax +By +Γ=

A +B A +B

2 2 2

2 2 2 1 2 1 2 1 1

2 2

x - x y - y Ax +By +Γ= =

A B A +B

22 2 1 1

1 2 1 2 2 2

Ax +By +Γx - x + y - y =

A +B

Page 123: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Απόσταση σημείου από ευθεία

Η απόσταση d του σημείου Μ από την ευθεία ε είναι ίση με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΜΝ

yM

ε

x

N

d

22 2 1 1

1 2 1 2 2 2

Ax +By +Γx - x + y - y =

A +B(2)

22 2 1 1

1 2 1 2 2 2

Ax +By +Γd = x - x + y - y =

A +B

2 2

1 2 1 2d = MN = x - x + y - y (3)

Από τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουμε τελικά:

1 1

2 2

Ax +By +Γd =

A +B

Page 124: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Page 125: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Εμβαδόν τριγώνου

Αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες τριών σημείων:

1 1 2 2 3 3A(x ,y ) B(x ,y ) C(x ,y )

τότε το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι:

1 1

2 2

3 3

y x 11

(ABC) = y x 12

y x 1

1. Για αριστερόστροφη διάταξη των σημείων

Α

C

B

Α C

B

1 1

2 2

3 3

x y 11

(ABC) = x y 12

x y 1

2. Για δεξιόστροφη διάταξη των σημείων

Page 126: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Εμβαδόν τριγώνου

ΑΣΚΗΣΗ: Δίνονται οι συντεταγμένες τριών σημείων:A(10,1) B(13,8) C(18,3)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ABC

Α C

B

1 10 11 1 1

(ABC) = 8 13 1 = 1 13 - 18 - 8 10 - 18 + 3 10 - 13 = -5 + 64 + -9 = 252 2 2

3 18 1

ΛΥΣΗ

Page 127: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΕΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3

Page 128: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Page 129: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

(ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΣΕΛ. 117-323)

Page 130: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

1. Παράγωγος συνάρτησης

2. Ακρότατα συναρτήσεων

3. Παράγωγος ανώτερης τάξης

4. Μελέτη συνάρτησης

5. Απροσδιόριστες μορφές – Κανόνας Hospital

Page 131: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Παράγωγος συνάρτησης

O x

y f(x)Έστω y = f(x) μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής x, και έστω x0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης.

Σε κάθε μεταβολή Δx του x στην περιοχή του x0 αντιστοιχεί μια μεταβολή Δy της συνάρτησης.

y=f( x) , x∈A0x ∈A

0 00 0

0 0

x=x f( x ) Δy=f( x +Δx)-f( x )

x=x +Δx f( x +Δx)

x0+Δx

f(x0+Δx)

x0

f(x0)

Page 132: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Παράγωγος συνάρτησης

Μέση ποσοστιαία μεταβολή της συνάρτησης στο διάστημα [x0 , x0 + Δx] λέγεται το πηλίκο:

0 0f( x +Δx)-f( x )Δy=

Δx Δx

Παράγωγος f’(x) της συνάρτησης f(x) στο σημείο x0 λέγεται η στιγμιαία μεταβολή της στο σημείο αυτό, δηλαδή:

0 0lim limx x

0 00 0

f( x +Δx)-f( x )Δy=

Δx Δx' 'f (x )= f (x )

O x

y f(x)

x0 x0+Δx

f(x0)

f(x0+Δx)φ

=Tan φ

=Tan θ

θ

Page 133: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πλευρικές παράγωγοι συνάρτησης

Παράγωγος f’+(x) από δεξιά της συνάρτησης f(x) στο σημείο x0 λέγεται η στιγμιαία μεταβολή της στο σημείο αυτό, όταν Δx >0, δηλαδή:

0limx

0 00

f( x +Δx)-f( x )=

Δx'+f (x )

Παράγωγος f’-(x) από αριστερά της συνάρτησης f(x) στο σημείο x0 λέγεται η στιγμιαία μεταβολή της στο σημείο αυτό, όταν Δx <0 δηλαδή:

0limx

0 00

f( x +Δx)-f( x )=

Δx'-f (x )

O x

y f(x)

x0 x0+Δx

f(x0)

f(x0+Δx)

x0+Δx

f(x0+Δx)

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι παράγωγοι από δεξιά f’+(x) και από αριστερά f’-(x) σε ένα σημείο x0 λέγονται πλευρικές παράγωγοι στο x0 .

Page 134: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Παράγωγος συνάρτησης

Μια συνάρτηση έχει παράγωγο στο σημείο x0 αν υπάρχουν και οι δύο πλευρικές παράγωγοι και είναι ίσες.

0 0 0' ' '+ -f (x )=f (x )=f (x )

O x

y f(x)

x0 x0+Δx

f(x0)

f(x0+Δx)

x0+Δx

f(x0+Δx)Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β) όταν έχει παράγωγο για κάθε σημείο x του διαστήματος αυτού.

Δx→0 Δx→0

Δy f( x+Δx)-f( x)f'( x)=lim =lim , x ( a,b)

Δx Δx

Page 135: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου

Η παράγωγος στη θέση x0 είναι η κλίση της ευθείας y=g(x) που εφάπτεται της καμπύλης στο σημείο (x0 , f(x0)), δηλαδή:

f’(x0) = Tan θ

O x

y

f(x)

θ

Όταν η παράγωγος είναι θετική, η συνάρτηση είναι αύξουσα.

Όταν η παράγωγος είναι αρνητική η συνάρτηση είναι φθίνουσα.

Page 136: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Εξίσωση εφαπτόμενης ευθείας

f(x)

g(x)

θ

x0

Η εξίσωση της ευθείας y=g(x) εφαπτόμενης της καμπύλης f(x) στο σημείο (x0 , f(x0)), δίνεται από τη σχέση:

0 0 0

0

0

0

0 0

0 0 0

g( x)-g( x )εφθ=

x-x

εφθ=f'( x ) ⇒

g( x )=f( x )

g

g( x)=f'( x

( x)-f( x )=f'( x )( x-x

)( x-x )

+f( x

)

)

O x

y

x

Page 137: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Εξίσωση κάθετης ευθείας

h(x)

90+θ

Η εξίσωση της ευθείας y=h(x) κάθετης της καμπύλης f(x) στο σημείο (x0 , f(x0)), δίνεται από τη σχέση:

0

0

0

0 0

0 0

0 00

0

h( x)-h( x )εφ( 90+θ)=

x-x

1εφ( 90+θ)=- ⇒

εφθ

εφθ=f'( x )

h( x )=f( x )

1h( x)-f( x )=

1h( x)=- ( x-x )+f( x )

f'(

- ( x-x )f

)

⇒x )

x

'(

f(x)

g(x)

θ

x0O x

y

Page 138: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων

Συναρτήσεις Παράγωγοι

f(x)=c (σταθερά) f’(x)=0

f(x)=x f’(x)=1

f(x)=xn f’(x)=nxn-1

f(x)=sin x f’(x)=cos x

f(x)=cos x f’(x)=-sin x

f(x)=ex f’(x)=ex

f(x)=ln x f’(x)=x-1

Page 139: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Βασικοί κανόνες παραγώγισης

Συναρτήσεις Παράγωγοι

f(x)=d(x)+g(x) f’(x)= d’(x)+g’(x)

f(x)= d(x)•g(x) f’(x)= d’(x)•g(x)+ d(x)•g’(x)

f(x)= c•d(x) f’(x)=c•d’(x)

f(x)= (d(x))n f’(x)=n•(d(x))n-1• d’(x)

f(x)=ln d(x) f’(x)=d’(x) •(d(x))-1

f(x)=logcd(x) f’(x)=d’(x)•(d(x))-1•(ln c)-1

f(x)=cd(x) f’(x)=cd(x) •d’(x)•ln c

f(x)= d(g(x)) f’(x)=d’g(x)•g’(x)

f(x)=d-1(x) f’(x)= (d’(x)) –1

Page 140: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Υπολογισμός παραγώγων

Εφαρμογή: Να υπολογισθεί η παράγωγος της συνάρτησης:

4f(x) = 2x

Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) είναι:

Η συνάρτηση είναι γινόμενο σταθεράς επί συνάρτηση:

Η παράγωγος της g είναι:

4όπου

f(x) = 2 g(x)

g(x) = x

'4 3g'(x) = x = 4x

3 3

f(x) = 2 g(x)

f'(x) = 2 g'(x) = 2 4x = 8x

Page 141: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Υπολογισμός παραγώγων

Εφαρμογή: Να υπολογισθεί η παράγωγος πολυωνυμικής συνάρτησης:

4 3 2f(x) = 2x + x +3x +5x +1

Η παράγωγος του αθροίσματος συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων:

4

3

2

g = 2x

h = x

i = 3x f(x) = g+h+ j+i+k

j = 5x

k = 1

3 2

f'(x) = g' +h' + j' +i' +k' =

8x +3x +6x +5

' '4 4 3 3

'3 2

' '2 2

'

'

g' = 2x = 2 x = 2 4x = 8x

h' = x = 3x

i' = 3x = 3 x = 3 2x = 6x

j' = 5x = 5 x' = 5 1= 5

k' = 1 = 0

Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα συναρτήσεων:

Οι παράγωγοι των επιμέρους συναρτήσεων είναι:

Page 142: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Υπολογισμός παραγώγων

Εφαρμογή: Να υπολογισθεί η παράγωγος πηλίκου συναρτήσεων:

g(x)f(x) =

h(x)Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο συναρτήσεων:

Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= [d(x)]n τότε f’(x)=n•[d(x)]n-1• d’(x)

Συνεπώς για την συνάρτηση h-1 :

Οπότε έχουμε τελικά:

-1g 1f = = g = g h

h h

22 ' ' '-1h = -1 h h = - h h

Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= d(x)•e(x)

τότε f’(x)= d’(x)•e(x)+ d(x)•e’(x) '' '

' -1 -1 -1f = g h = g h g h

2

'

2

' '

'

' -1' -1 'f = g h = g h - g h h

g h- g hf =

h

Page 143: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Υπολογισμός παραγώγων

Άσκ. 1, σελ.208: Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:3 4(1) y = (3x - x +1)

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι της μορφής:

4

3όπου

y = (d)

d = 3x - x +1

Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= (d(x))n τότε f’(x)=n•(d(x))n-1• d’(x)

Συνεπώς για την συνάρτηση y έχουμε:4 3y' = [(d) ]' = 4d d'

Υπολογίζουμε την παράγωγο της d(x): 3 2(d)' = (3x - x +1)' = 3 - 3x

Οπότε έχουμε τελικά:3 3 2y' = 4(3x - x +1) (3 - 3x )

Page 144: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Υπολογισμός παραγώγων

Άσκ. 1, σελ.208: Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:5

x(2) y =

1+ xΗ συνάρτηση είναι της μορφής:

5

όπου

y = (d)

x d =

1+ x

Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= (d(x))n τότε f’(x)=n•(d(x))n-1• d’(x)

Συνεπώς για την συνάρτηση y:

4

2

5 4

x 1y'

y' = [(d) ]'

= 51+ x

= 5d d

1+ x

'

Η συνάρτηση d(x) είναι πηλίκο συναρτήσεων. Άρα η παράγωγός της είναι:

'

2 2

' xd = =

1+ x

x'(1+ x) - x(1+ x)' 1=

1+ x 1+ x

Page 145: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ακρότατα συναρτήσεων

f(x)

O x

yΌταν η παράγωγος σε ένα σημείο x0 είναι f’(x0)=0 τότε στο σημείο αυτό η συνάρτηση έχει ένα τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο.

Πράγματι, η εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σημείο αυτό θα είναι:

0 0 0

0

g(x)=f'(x ) (x-x )+f(x )=

f(x ) (σταθ.)

Άρα η ευθεία θα είναι παράλληλη στον άξονα x ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Για να βρούμε όλα τα

τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης αρκεί να βρούμε τις ρίζες της παραγώγου της.

Page 146: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Παράγωγοι ανώτερης τάξης

Η παράγωγος f’(x) μιας συνάρτησης f(x) είναι επίσης μια συνάρτηση. Επομένως μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγό της.

Αυτή θα τη συμβολίζουμε με 2 τόνους, δηλαδή f’’(x) και θα την ονομάζουμε δεύτερη παράγωγο της f(x).

Κατ’ ακολουθία, μπορούμε να υπολογίσουμε την τρίτη, τέταρτη κ.ο.κ. παραγώγους της αρχικής συνάρτησης.

Οι παράγωγοι ανώτερης τάξης συμβολίζονται με ένα εκθέτη σε παρένθεση, π.χ.

f(3)(x) = τρίτη παράγωγοςf(5)(x) = πέμπτη παράγωγος

κ.ο.κ.

Page 147: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

-2 -1 1 2 3

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

Μελέτη συνάρτησης

3 2f(x) = x - 2x - x +2

Έστω η συνάρτηση f(x):

Η πρώτη παράγωγος g(x) είναι:

2g(x) = f'(x) = 3x - 4x -1

Και η δεύτερη παράγωγος h(x) είναι:

h(x) = f''(x) = g'(x) = 6x - 4

με ρίζες : x1= -0.215, x2 = 1.549

με ρίζα : x = 0.667

Page 148: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

-2 -1 1 2 3

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

Μελέτη συνάρτησης

Μεταξύ των δύο ριζών της η πρώτη παράγωγος g(x) είναι αρνητική, ενώ στα υπόλοιπα τμήματά της είναι θετική.

Συνεπώς η συνάρτηση f(x) θα είναι φθίνουσα στο διάστημα (-0.215,1.549)και αύξουσα στα υπόλοιπα διαστήματα.

Στο σημείο -0.215 η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και στο σημείο 1.549 τοπικό ελάχιστο.

Page 149: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

-2 -1 1 2 3

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

Μελέτη συνάρτησης

Στο σημείο 0.667 η δεύτερη παράγωγος h(x) είναι ίση με 0. Συνεπώς το σημείο αυτό είναι σημείο καμπής της συνάρτησης f(x).

Αριστερά του 0.667 η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική, επομένως η συνάρτηση f(x) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω.

Δεξιά του 0.667 η δεύτερη παράγωγος είναι θετική, συνεπώς η f(x) στρέφει τα κοίλα προς τα άνω.

Page 150: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΕΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

Page 151: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ