Download - ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

Transcript
Page 1: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΔρ. Μάριος Τρίγκας

Ph.D. Δασικής Οικονομικής – Οικονομικής Καινοτομίας

Επιχειρήσεων

[email protected] 2310 992697 6974287874 Marios Trigkas

Page 2: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Προκειμένου για τον προγραμματισμό των επί μέρους έργων υποδομής (π.χ. έργων διάνοιξης του δάσους) ή της προμήθειας μέσων παραγωγής (π.χ. μηχανημάτων), που η διάρκεια ζωής τους είναι μεγαλύτερη του ενός έτους, αντιμετωπίζονται κατά κανόνα περισσότερες της μιας εναλλακτικές λύσεις.

Σχεδόν ολόκληρο το οικοδόμημα της μεθοδολογίας σύγκρισης των εναλλακτικών αυτών λύσεων για επιλογή της καλύτερης, μέσα από τη δυναμική τους θεώρηση10, στηρίζεται στην ισοδυναμία οικονομικών μεγεθώνπου προκύπτουν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές.

Η ισοδυναμία αυτή περνάει μέσα από τις εξής έννοιες των οικονομικών μαθηματικών: · ανατοκισμός · προεξόφληση · πρόσοδοι και δαπάνες · κεφαλαιοποίηση προσόδων και δαπανών · επιτόκιο ανατοκισμού, προεξοφλήσεως, κεφαλαιοποιήσεως.

Page 3: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

Ανατοκισμός ενός κεφαλαίου Κ0 για ορισμένο χρονικό διάστημα (π.χ. n), αποτελούμενο από επί μέρους ίσες μεταξύ τους χρονικές περιόδους (π.χ. έτη), ονομάζεται η εύρεση ενός νέου κεφαλαίου Κn, που στο τέλος του χρόνου των n ετών θα αντιπροσωπεύει την αξία που προκύπτει αν το αρχικό κεφάλαιο Κ0

τοκισθεί μέχρι το τέλος της πρώτης περιόδου με ένα επιτόκιο p, οι αντίστοιχοι τόκοι προστεθούν στο αρχικό κεφάλαιο, οπότε το άθροισμα αυτό αποτελεί το νέο κεφάλαιο που θα τοκισθεί τη δεύτερη περίοδο, και η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται n φορές, μέχρι το τέλος του χρονικού διαστήματος n.

Τέλος 1ου έτους: Κ0+Κ0・ 0,0p = Κ0(1 + 0,0p) = K0・ 1,0pΤέλος 2ου : Κ0≫ ・ 1,0p + (Κ0・ 1,0p)・ 0,0p = Κ0.1,0p(1 + 0,0p) = Κ0・ 1,0p2

Τέλος ... :..............................................≫Τέλος ... :..............................................≫Τέλος n : K0≫ ・ l,0p n-1 +(K0・ l,0p n-1 )・ 0,0p = K0・ l,0p n-1 (1+0,0p) == K0・ l,0pn = Kn (1α)Δηλ. Κn = Κ0・ 1,0pn

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Page 4: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

Η αντίστροφη προς τον ανατοκισμό πορεία ονομάζεται προεξόφληση, τα Κ0 και Κη διατηρούν σ' αυτή τον ίδιο χαρακτηρισμό, ενώ το p ονομάζεται ποσοστό προεξοφλήσεως ή προεξοφλητικό επιτόκιο.

Έτσι, για την περίπτωση ενσωμάτωσης των τόκων στο τοκιζόμενο κεφάλαιο στο τέλος κάθε έτους, η αρχική (ή σημερινή) αξία Κ0 δίνεται από τον μαθηματικό τύπο:

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Page 5: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

Κεφαλαιοποίηση ονομάζεται ο υπολογισμός της αξίας που αντιπροσωπεύουν κάποια ορισμένη χρονική στιγμή περισσότερες της μιας πρόσοδοι ή δαπάνες.

Πρόσοδοι και δαπάνες είναι δυνατό να προκύπτουν πριν ή μετά ή και πριν και μετά από τη χρονική στιγμή, για την οποία γίνεται η κεφαλαιοποίηση.

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Page 6: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

Διάγραμμα ροής δαπανών και προσόδων ορισμένου πλήθους κατά τη διάρκεια ορισμένου

χρονικού διαστήματος

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ Τούτο γίνεται φανερό στην περίπτωση, αν η

κεφαλαιοποίηση γίνει αντίστοιχα για τα χρονικά σημεία Α2 ή 0 ή Α1,.

Η κεφαλαιοποίηση στη συγκεκριμένη χρονική στιγμή γίνεται με τη βοήθεια του ανατοκισμού κάθε μιας προσόδου ή δαπάνης που προκύπτει πριν, με τηβοήθεια της προεξοφλήσεως κάθε μιας προσόδου ή δαπάνης που προκύπτει μετά τη στιγμή αυτή και με άθροιση των αποτελεσμάτων του ανατοκισμού καιτης προεξοφλήσεως.

Το άθροισμα αυτό ονομάζεται αντίστοιχα κεφαλαιακή≪ αξία προσόδων και κεφαλαιακή αξία δαπανών , το ≫ ≪ ≫δε χρησιμοποιούμενο επιτόκιο, επιτόκιο ≪κεφαλαιοποιήσεως . ≫

Αν την ίδια χρονική στιγμή προκύπτουν πρόσοδοι και δαπάνες, είναι φανερό ότι μπορεί κανείς να προβείστην κεφαλαιοποίηση των διαφορών τους.

Page 7: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

Στην περίπτωση των ίσων περιοδικών προσόδων ή δαπανών (ετησίων και μη, ορισμένου ή απείρου πλήθους) η κεφαλαιοποίησή τους μέσα από τον ανατοκισμό ή την προεξόφληση οδηγεί σε συγκεκριμένους μαθηματικούς τύπους, που ονομάζονται μαθηματικοί τύποι κεφαλαιοποιήσεως . ≪ ≫

Οι τύποι αυτοί προκύπτουν από το γεγονός, ότι το άθροισμα των προσόδων ή δαπανών, που ανατοκίσθηκαν ή προεξοφλήθηκαν σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, αποτελεί άθροισμα όρων αύξουσας ή φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, ορισμένου ή απείρου πλήθους και επομένως, για κάθεσυγκεκριμένη περίπτωση, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι σχετικοί μαθηματικοί τύποι, που δίνουν το άθροισμα των όρων της προόδου.

Όταν η κεφαλαιοποίηση γίνεται στην αρχή ενός χρονικού διαστήματος, η κεφαλαιακή αξία ονομάζεται και ≪αρχική (ή σημερινή) αξία των μελλοντικών≫ προσόδων. Προκειμένου για προσόδους ή δαπάνες ορισμένου πλήθους και κεφαλαιοποίηση στο τέλος του χρονικού διαστήματος, κατά το οποίο προκύπτουν, η κεφαλαιακή αξία ονομάζεται ≪τελική αξία των προσόδων ή≫ δαπανών.

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Page 8: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

Κεφαλαιοποίηση ίσων ετησίων αειφορικών προσόδων

Κεφαλαιοποίηση ίσων ετησίων προσόδων ορισμένου πλήθους n

Ετήσιες πρόσοδοι ύψους r προκύπτουν στο τέλος κάθε έτους και για χρονικό διάστημα n ετών, με επιτόκιο p%.

n

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Page 9: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Οι ετήσιες πρόσοδοι ύψους r προκύπτουν στην αρχή κάθε έτους

PPP

Prn

n

0,1*0,1.0,0

)10,1(

PP

Prn

n

0,1*0,0

)10,1(

Page 10: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

ΑΣΚΗΣΗ 1Δίνεται το ποσό των 100.000 €. Ζητείται η αξία που αντιπροσωπεύει αυτό μετά από 8 έτη (Ρ=6%).

Λύση

Κn = Κο x 1,0Ρn = 100.000 x 1,068 = 100.000 x 1,594 = 159.400 €.

Αντίστροφα, το ποσό των 159.400 €. που θα εισπραχθεί μετά από 8 έτη, με επιτόκιο 6%, αντιπροσωπεύει σήμερα αξία 100.000 €.

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Page 11: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 2Να γίνει σύγκριση της αξίας αγοράς ενός αλυσοπρίονα που έχει 5.000 €. στις 31.12.2000 και 10.000 € στις 31.12.2012. Δίδεται ότι το μέσο ετήσιο επιτόκιο είναι Ρ=5%.

ΛύσηΒρίσκουμε στην αρχή την αξία των 10.000 € την ίδια ημερομηνία της αξίας των 5.000 €, ήτοι στις 31.12.2000 (12 έτη προγενέστερα). Αυτή είναι:

Στη συνέχεια συγκρίνουμε των ποσό των 5.000 € με αυτό των 4.969.69 € (που ισοδυναμεί το ποσό των 10.000 € πριν από 12 έτη) και βρίσκουμε ότι η αξία του αλυσοπρίονα αυτού είναι φθηνότερη στις 31.12.2012.

Page 12: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Μία δασική εκμετάλλευση σκοπεύει μετά από 10 έτη να αντικαταστήσει κάποιο μηχάνημά της. Για το σχηματισμό λοιπόν του απαραίτητου κεφαλαίου επενδύει 10.000 € για την αγορά κρατικών ομολόγων τα οποία θα αποφέρουν ετήσιο τόκο 4% ανατοκιζόμενα κάθε τρίμηνο για 4 έτη, και στη συνέχεια ετήσιο τόκο 5% ανατοκιζόμενα κάθε 6 μήνες για τα επόμενα 6 έτη. Να βρεθεί το κεφάλαιο που θα σχηματιστεί στο τέλος των 10 ετών.

ΛύσηΣτο παραπάνω πρόβλημα για τριμηνιαίο επιτόκιο θα χρησιμοποιηθεί το ισοδύναμο του ετήσιου, δηλ. 4:4=1%, ενώ για εξαμηνιαίο επιτόκιο θα χρησιμοποιηθεί το 5:2=2,5%.Στο τέλος των πρώτων 4 ετών θα έχει συγκεντρωθεί το ποσό:Κn = Κο x 1,0Ρn = 10.000 x 1,0116 = 10.000 x 1,172579 = 11.725,79 €.Το n=16 διότι τα 4 έτη αποτελούνται από 16 τρίμηνα.Στο τέλος των 6 επόμενων ετών θα συγκεντρωθεί το ποσό: Κn = Κο x 1,0Ρn = 11.725,79 x 1,02512 = 11.725,79 x 1,344889 = 15.769,88 €.Το n=12 διότι τα 6 έτη αποτελούνται από 12 εξάμηνα.

Page 13: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Δύο δασικοί συνεταιρισμοί καταθέτουν σε διαφορετικές χρονικές περιόδους στην Τράπεζα, με το ίδιο ετήσιο επιτόκιο 12% (ανατοκιζόμενα κάθε μήνα) τα παρακάτω χρηματικά ποσά. Ο πρώτος 10.000 € στις 1/4/2007 και ο δεύτερος 10.500 € στις 1/3/2008. Να βρεθεί ποιος από τους δύο θα εισπράξει μεγαλύτερο ποσό στις 31/12/2011.

ΛύσηΟ πρώτος καταθέτει τα χρήματά του για διάστημα 3 ετών και 9 μηνών, ήτοι 45 μηνών, ο δε δεύτερος για διάστημα 2 ετών και 10 μηνών, ήτοι 34 μηνών.Το μηνιαίο επιτόκιο είναι 12% : 12 = 1%.Ο πρώτος θα εισπράξει στις 31/12/2011: Κ1 = Κο1 x 1,0Ρn = 10.000 x 1,0145 = 10.000 x 1,564811 = 15.648,11 €.Ο δεύτερος θα εισπράξει στις 31/12/2011: Κ2 = Κο2 x 1,0Ρn = 10.500 x 1,0134 = 10.800 x 1,402577 = 15.147,83 €.Άρα ο πρώτος συνεταιρισμός θα εισπράξει στις 31/12/201 μεγαλύτερο ποσό.

Page 14: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

ΑΣΚΗΣΗ 6Σε μια δασική επιχείρηση που προτίθεται να αγοράσει ένα μηχάνημα υπολογισμού πυκνότητας του ξύλου, προσφέρονται δύο τύποι μηχανημάτων με τις ίδιες δυνατότητες, τα ίδια τεχνικά χαρακτηριστικά και το ίδιο κόστος λειτουργίας. Η διάρκεια ζωής τους είναι 10 έτη και το επιτόκιο 6%. Η εταιρία Α προσφέρει το μηχάνημά της “μετρητοίς” αντί 4.000 €. Η εταιρία Β προσφέρει το δικό της αντί 10 ίσων ετήσιων δόσεων των 540 €. Ποιου μηχανήματος την προμήθεια πρέπει να προτείνει στο διευθυντή της επιχείρησης ο αρμόδιος δασολόγος; Οι ετήσιες δόσεις θα καταβάλλονται στο τέλος κάθε έτους.

ΛύσηΓια να βρεθεί ποια από τις δύο περιπτώσεις είναι η πιο συμφέρουσα πρέπει η σύγκριση των τιμών αγοράς των δύο μηχανημάτων να γίνει την αυτή χρονική στιγμή. Θεωρητικά είναι το ίδιο αν η σύγκριση γίνει στην αρχή του πρώτου έτους ή στο τέλος του δέκατου έτους ή σε οποιαδήποτε άλλη χρονική στιγμή. Συνήθως χρησιμοποιείται σύγκριση στην αρχή του πρώτου έτους. 1. ΚοΑ = 4.000 €

Ήτοι η προμήθεια του μηχανήματος της εταιρίας Β είναι συμφερότερη, διότι το ποσό των 3.974,45 €, σημερινό ισοδύναμο των 10 ετήσιων δόσεων των 540 €, άμεσα συγκρινόμενο με το ποσό των 4.000 €. είναι μικρότερο αυτού.

.€45,974.306,1.06,0

)106,1.(540

0,1.0,0

)10,1(10

10

n

n

pp

prK

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ – ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ - ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Page 15: ΔΑΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι_ΑΣΚΗΣΕΙΣ_ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΚΕΦ 14

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΑΣ