Download - Σημειώσεις υπόγειας υδραυλικής

Transcript

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ Υ∆ΡΑΥΛΙΚΗΣ Ακαδ. Έτος 2006 - 2007

Παναγιώτης Ν Παπανικολάου, PhD

ΜΑΡΤΙΟΣ 2007

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ..............................................................................................................1

1.1 Πρακτικά προβλήµατα..................................................................................... 1 1.2 Χαρακτηριστικά εδαφών ή εδαφικός σκελετός ............................................... 1 1.3 Χαρακτηρισµός εδαφών .................................................................................. 2 1.4 Πορώδες ........................................................................................................... 3 1.5 Από τι αποτελείται το υπόγειο νερό................................................................. 3 1.6 Κατηγοριοποίηση εδαφικού νερού κατά LEBEDEV ...................................... 4 1.7 Ζώνες νερού του εδάφους ................................................................................ 4

2. ΠΕΙΡΑΜΑ ΚΑΙ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ DARCY ...............................................................6 2.1 Πείραµα Darcy................................................................................................. 7 2.2 Συντελεστής γεωµετρικής διαπερατότητας ..................................................... 8 2.3 Περιοχή ισχύος του Νόµου Darcy ................................................................... 9 2.4 Συντελεστής (σχετικής) διαπερατότητας Κ (υδραυλική αγωγιµότητα)......... 11 2.5 ∆ιαπερατόµετρα ............................................................................................. 12 2.6 Παραδείγµατα ................................................................................................ 13 2.7 Άλυτες ασκήσεις ............................................................................................ 16

3. ∆ΙΚΤΥΟ ΡΟΗΣ .....................................................................................................17 3.1 Μιγαδικό δυναµικό ........................................................................................ 19 3.2 Οριακές συνθήκες .......................................................................................... 19 3.3 Υπολογισµός της ταχύτητας διήθησης σε δίκτυο ροής ................................. 21

4. ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ........................................................................23 4.1 Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών ...................................................... 23 4.2 Προσδιορισµός του δυναµικού Φ από οριακές συνθήκες κοντά σε καµπύλα

όρια - οριακή συνθήκη Dirichlet (κυρίως για ροή στα όρια δεξαµενών). ..... 26 4.3 Προσδιορισµός του Φ από οριακές συνθήκες κοντά σε καµπύλα όρια - οριακή

συνθήκη Neumann (κυρίως για ροή σε αδιαπέρατα όρια). ........................... 27 5. ΡΟΗ ΣΕ Υ∆ΡΟΦΟΡΟ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ.....................................................................31

5.1 Ιδιότητες εδαφών. .......................................................................................... 31 5.2 Τάσεις σε ένα εδαφικό στοιχείο υπό πίεση.................................................... 31 5.3 Ειδική αποθηκευτικότητα (specific storage) και συντελεστής

αποθηκευτικότητας (storage coefficient)....................................................... 32 5.4 Εξίσωση συνέχειας ........................................................................................ 34 5.5 Πηγάδι σε υδροφόρο υπό πίεση..................................................................... 36 5.6 Μιγαδική ανάλυση για πηγάδια υπό πίεση .................................................... 37 5.7 Πεδίο ταχυτήτων γύρω από ένα πηγάδι. ........................................................ 39 5.8 Σύστηµα δύο πηγαδιών. ................................................................................. 40 5.9 Μέθοδος των εικόνων .................................................................................... 45 5.10 Παροχή πηγαδιού σε υδροφορέα υπό πίεση. ................................................. 51 5.11 Πηγάδι σε υδροφορέα υπό πίεση µε οµοιόµορφη ροή. ................................. 55 5.12 Τάφρος σε υδροφορέα υπό πίεση. ................................................................. 57

6. ΡΟΗ ΣΕ Υ∆ΡΟΦΟΡΟ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ .......................................58 6.1 Παραδοχές Dupuit-Forchheimer (Προσεγγιστικό µαθηµατικό οµοίωµα

Boussinesq) .................................................................................................... 58 6.2 Πηγάδι σε υδροφορέα µε ελεύθερη επιφάνεια .............................................. 61 6.3 Παροχή πηγαδιού σε υδροφορέα µε ελεύθερη επιφάνεια. ............................ 62 6.4 Σύστηµα πηγαδιών σε υδροφορέα µε ελεύθερη επιφάνεια. .......................... 62 6.5 Τάφρος σε υδροφορέα µε ελεύθερη επιφάνεια.............................................. 67

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.............................................................................................................70

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 0. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΙΓΑ∆ΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ......................................................71

0.1 Ιδιότητες των µιγαδικών αριθµών.................................................................. 71 0.2 Συζυγής µιγαδικού αριθµού ........................................................................... 72 0.3 Γεωµετρική παράσταση µιγαδικού αριθµού.................................................. 72 0.4 Πολική µορφή ενός µιγαδικού αριθµού......................................................... 72 0.5 Eκθετική µορφή µιγαδικού αριθµού .............................................................. 73 0.6 Εκθετική συνάρτηση...................................................................................... 73 0.7 Λογάριθµος µιγαδικού αριθµού ..................................................................... 73 0.8 n-οστή ρίζα µιγαδικού αριθµού ..................................................................... 73 0.9 Παράγωγος µιας συνάρτησης ........................................................................ 74 0.10 Αναλυτική συνάρτηση. .................................................................................. 74 0.11 Εξισώσεις των Cauchy - Riemann. ................................................................ 74

1. ΡΟΪΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ∆ΥΝΑΜΙΚΟΥ (2-D)............................75 2. Ανάλυση 2-D αστρόβιλου πεδίου ροής µε µιγαδικές συναρτήσεις.......................77 3. Εφαρµογές της µιγαδικής ανάλυσης στην επίλυση 2-D αστρόβιλων πεδίων ροής.77

3.1 Οµοιόµορφη οριζόντια ροή............................................................................ 77 3.2 Οµοιόµορφη κατακόρυφη ροή....................................................................... 77 3.3 Οµοιόµορφη ροή υπό γωνία. ......................................................................... 78

4. ΠΗΓΗ (SOURCE), ΚΑΤΑΒΟΘΡΑ (SINK) ΚΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟΣ (VORTEX). .....78 4.1 Πηγή και καταβόθρα...................................................................................... 78 4.2 Στρόβιλος εντάσεως Γ. .................................................................................. 80 4.3 Ροή σε γωνία. ................................................................................................. 81 4.4 ∆ίπολο. ........................................................................................................... 82

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

1 2ο ΕΠΕΑΕΚ

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ορισµός: Υπόγεια Υδραυλική είναι κλάδος της υδραυλικής που µελετά την κίνηση του νερού µέσα στο έδαφος. Αποτελεί ένα τµήµα της µελέτης της ροής υγρών, αέριων ή µειγµάτων µέσα από πορώδη υλικά.

1.1 Πρακτικά προβλήµατα Προβλήµατα µε πρακτικό ενδιαφέρον που σχετίζονται µε την υπόγεια υδραυλική απαντώνται σε

(α) Φράγµατα

• ∆ιήθηση νερού µέσα από τον πυρήνα χωµάτινου φράγµατος

• Ευστάθεια φράγµατος βαρύτητας

• Παροχή που διηθείται κάτω απ’ αυτά – αναπτυσσόµενες πιέσεις και κατανοµή ταχυτήτων

(β) Υδρεύσεις: Υπόγεια ροή προς γεωτρήσεις

(γ) Αποστραγγιστικά έργα: έγγειες βελτιώσεις, µείωση της στάθµης του υδροφόρου κάτω από τις ρίζες των φυτών

(δ) Εξόρυξη πετρελαίου / αστάθεια διεπιφάνειας διφασικών ροών

(ε) ∆ιασπορά ουσιών σε πορώδες µέσο

(ζ) ∆ιείσδυση θαλασσινού νερού σε εδάφη λόγω υπεραντλήσεων

(η) Φίλτρα άµµου ή ενεργού άνθρακα, στα διυλιστήρια νερού

κλπ.

Έδαφος ή εδαφικός σκελετός Υπόγειο Νερό (συνιστώσες)

Νόµος Darcy (1856)

1.2 Χαρακτηριστικά εδαφών ή εδαφικός σκελετός Έδαφος: Ορίζεται σαν ένα συνεχές µέσο µε πολλαπλά σωληνίδια (αλληλοσυνδεόµενα διάκενα ) µέσα στα οποία µπορεί να πραγµατοποιηθεί ροή ρευστού

∆ιακρίνουµε δύο είδη εδαφών

• Τα ΑΜΜΩ∆Η και

• Τα ΑΡΓΙΛΛΩ∆Η

- ΑΜΜΩ∆Η εδάφη: αποτελούνται από στρογγυλευµένα σωµατίδια, ή γωνιώδη που στραγγίζουν εύκολα, δεν διογκώνονται ή συρρικνώνονται κάτω από την επίδραση υγρασίας και παρουσιάζουν µικρό τριχοειδής δυναµικό.

- ΑΡΓΙΛΛΩ∆Η εδάφη: Συντίθεται από µικροσκοπικά στερεά σωµατίδια µε πλακοειδές σχήµα. Η επιφάνεια των στερεών σωµατιδίων είναι σηµαντικά µεγαλύτερη από την αντίστοιχη αµµωδών εδαφών, πράγµα που εξηγεί την

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

2 2ο ΕΠΕΑΕΚ

επίδραση σηµαντικών µοριακών δυνάµεων µεταξύ αργιλικών στερεών και νερού. Είναι πρακτικά αδιαπέρατα, συρρικνώνονται και διογκώνονται σηµαντικά κάτω από µεταβολές υγρασίας και κατέχουν µεγάλο τριχοειδές δυναµικό.

Κοκκοµετρική ανάλυση: Μας δίνει τη σύνθεση του εδάφους όσον αφορά στο µέγεθος (διάµετρο) των κόκκων του εδαφικού υλικού. ∆ίδεται από την κοκκοµετρική καµπύλη που προσδιορίζεται µε κοσκίνισµα ενός εδαφικού δείγµατος.

Χαρακτηριστικές διάµετροι:

50d … κόσκινο παρακρατεί 50%

10d … ενεργή διάµετρος (κόσκινο παρακρατεί 90%)

1.3 Χαρακτηρισµός εδαφών Το µέγεθος του κόκκου του εδαφικού υλικού προσδιορίζει τον τύπο του εδάφους. Σε γενικές γραµµές τα εδάφη µε λεπτόκκοκα υλικά χαρακτηρίζονται ως αργιλικά, ενώ στα αµµώδη ο κόκκος είναι τουλάχιστον µια τάξη µεγέθους µεγαλύτερος. Στον πίνακα που ακολουθεί χαρακτηρίζουµε τα εδάφη ανάλογα µε το µέγεθος του κόκκου. Χαρακτηρισµός d (mm)

Αργιλικά < 0.005

Ιλυώδη • µικρά

• µεγάλα

0.005-0.01

0.01-0.05

Αµµώδη • λεπτόκοκα

• µεσαία

• χονδρόκοκκα

0.05-0.25

0.25-0.5

0.5-2.0

Χαλικώδη • λεπτόκοκα

• µεσαία

• χονδρόκοκκα

2-4

4-10

10-20

Χάλικες 20-60

Κροκάλες > 60

d (mm)

διέλευση %

0.01 0.1 1 10

100

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

3 2ο ΕΠΕΑΕΚ

1.4 Πορώδες Ορισµός: Για δείγµα εδάφους όγκου V µε όγκο κενών nV , σαν πορώδες χαρακτηρίζεται ο λόγος

n n=

• Οι διατοµές των πόρων ποικίλλουν από cm32 − έως µερικά µικρά. Πρακτικά. τα διάκενα έχουν διάσταση κλάσµατος του χιλιοστού.

• Παράδειγµα: Έστω ότι το έδαφος αποτελείται από σφαίρες. Το πορώδες εξαρτάται από τη διάταξη των σφαιρικών κόκκων, π.χ.

(α) Κυβική διάταξη 476.06

=−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

−=

=π

πnddV

(β) Ροµβοειδής διάταξη 26.0621 =−= πn

• Στα φυσικά εδάφη. το πορώδες κυµαίνεται ευρέα όρια π.χ.

Έδαφος n

Χαλαρή άµµος 0.46

Πυκνή οµοιόµορφη άµµος 0.34

Μαλακή άργιλος 0.55

Σκληρή άργιλος 0.37

Μαλακή-οργανική- άργιλος 0.75

Μαλακός µπετονίτης 0.84

Χαλίκια (2-20mm) 0.30-0.40

Άµµοι (0.05-2mm) 0.30-0.45

Αµµώδης πηλός 0.35-0.45

Πηλός 0.35-0.50

Αργιλώδη εδάφη 0.60-0.80

1.5 Από τι αποτελείται το υπόγειο νερό

• Τα µόρια του νερού που περιβάλλουν τους κόκκους του εδάφους υπόκεινται σε µεγάλες ελκτικές δυνάµεις που τα συγκρατούν προσκολληµένα εκεί. Οι δυνάµεις είναι µεγαλύτερες από την βαρύτητα και το νερό δεν µπορεί να αποµακρυνθεί ούτε µε φυγοκέντριση. Τα µόρια αυτά σχηµατίζουν το ΣΤΕΓΑΝΑ ΠΡΟΣΚΟΛΛΗΜΕΝΟ ΝΕΡΟ.

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

4 2ο ΕΠΕΑΕΚ

• Το στρώµα αυτό έχει πάχος µερικών δεκάδων µορίων, συνδέει δε και προσανατολίζει (ηλεκτρικά) τα µόρια του περιβάλλοντος νερού που αποκαλείται ΧΑΛΑΡΑ ΠΡΟΣΚΟΛΛΗΜΕΝΟ ΝΕΡΟ.

• Η διάκριση µεταξύ των δύο παραπάνω κατηγοριών είναι δυσχερής.

1.6 Κατηγοριοποίηση εδαφικού νερού κατά LEBEDEV 1. Ατµοί νερού. Καλύπτουν τα διάκενα του εδάφους και µεταφέρονται από περιοχές µε

υψηλή πίεση σε περιοχές χαµηλότερης πίεσης.

2. Υγροσκοπικό νερό. Το νερό που υγροποιείται στην επιφάνεια των κόκκων. όταν ΞΗΡΟ Ε∆ΑΦΟΣ έλθει σε επαφή µε ΥΓΡΟ ΑΕΡΑ. Οι κόκκοι απορροφούν νερό και ο εδαφικός όγκος αυξάνει µέχρι κάποιο µέγεθος που αντιστοιχεί στη µέγιστη επίδραση υγροσκοπικότητας (άµµοι 1%, πηλός έως 7%, άργιλοι έως 17% του συνολικού όγκου των στερεών).

3. Προσκολληµένο (επιδερµικό) νερό. Σχηµατίζεται στους κόκκους κάτω από την επίδραση µοριακών δυνάµεων. ∆εν αποχωρίζεται µε φυγοκέντριση. Παγώνει στους

Co5.1− και εξαφανίζεται µε ξήρανση.

4. Νερό βαρύτητας. Το ελεύθερο νερό που δεν υπόκειται σε µοριακές ελκτικές δυνάµεις αλλά στην βαρύτητα.

5. Νερό τριχοειδούς. Αυτό που γεµίζει διάκενα και σχηµατίζει επιφάνεια µε µηνίσκο. Έχει ηλεκτροχηµική προέλευση.

Όταν το νερό βρύτητας ή υπόγειο νερό γεµίσει όλο το πορώδες (πλην µερικών διάκενων µε αέρα), µπορεί να κινηθεί κάτω από την επίδραση της βαρύτητας. Η κατακόρυφη αυτή κίνηση του νερού λέγεται ∆ΙΗΘΗΣΗ ή ΚΑΤΕΙΣ∆ΥΣΗ. Το υπόγειο νερό κινείται προς κάθε κατεύθυνση µέσα στο έδαφος. Η κίνησή του οφείλεται στη βαρύτητα όταν ο υδροφόρος έχει ελεύθερη επιφάνεια (είναι ελεύθερος). Σε περίπτωση όµως που ο υδροφόρος είναι περιορισµένος ανάµεσα σε αδιαπέρατες στρώσεις, τότε η κίνηση του νερού εξαρτάται από την κλίση της πίεσης.

1.7 Ζώνες νερού του εδάφους Οι ζώνες του εδαφικού νερού φαίνονται στο παρακάτω σχήµα και διακρίνονται σε: (1) Ανώτερη ζώνη ή ζώνη εδαφικού νερού φθάνει σε βάθος από την επιφάνεια του εδάφους όσο και οι ρίζες των φυτών. (2) Ενδιάµεση ζώνη ή ζώνη διήθησης είναι η ζώνη µέσα στην οποία η κίνηση του νερού γίνεται κατακόρυφα µέχρις ότου φθάσει την (3) ζώνη κορεσµού, όπου το υπόγειο νερό κινείται λόγω κλίσεων της πίεσης. (4) Η ζώνη τριχοειδούς είναι υπερκείµενη της κορεσµένης ζώνης και έχει πάχος από µερικά εκατοστά (αµµώδη εδάφη) έως µερικά µέτρα (αργιλώδη εδάφη), η δε πίεση στη ζώνη

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

5 2ο ΕΠΕΑΕΚ

αυτή είναι αρνητική, γεγονός που οφείλεται στη τριχοειδή ανύψωση του νερού. ∆ιαχωρίζεται από την κορεσµένη ζώνη στη στάθµη µηδενική πίεσης ή µε άλλα λόγια στην ελεύθερη επιφάνεια ενός πηγαδιού, πιεζοµέτρου ή γεώτρησης.

Με βάση τις κατηγορίες νερού και τις ζώνες του εδάφους. θα ήταν χρήσιµο να ορίσουµε ένα δεύτερο πορώδες. το λεγόµενο ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟ ΠΟΡΩ∆ΕΣ

εV είναι ο όγκος των διάκενων όπου το νερό µπορεί να κινηθεί λόγω βαρύτητας ή µε διαφορά πίεσης. Στο εV δεν περιλαµβάνεται ο όγκος του προσκολληµένου νερού πάσης φύσεως.

VVnn = ... πορώδες (1)

VVεε = … αποτελεσµατικό πορώδες (2)

σV

Ve n= ... δείκτης πόρων (Vσ = όγκος στερεάς φάσης) (3)

(1), (3) ⇒n1

n−

=e ; e

• Αργιλώδη χαρακτηρίζονται τα εδάφη µε n<ε

• Αµµώδη χαρακτηρίζονται τα εδάφη µε n≅ε

Αδιαπέρατο στρώµα

Εδαφική επιφάνεια

ΥΠΟΓΕΙΟ ΝΕΡΟ

Τριχοειδές νερό

Προσκολληµένο και νερό βαρύτητας (που διηθείται)

Ζώνη εδαφικού νερού

Ενδιάµεση ζώνη

Ζώνη τριχοειδούς

Ζώνη αερισµού

Ζώνη κορεσµού

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

6 2ο ΕΠΕΑΕΚ

2. ΠΕΙΡΑΜΑ ΚΑΙ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ DARCY

Μικροσκοπική θεώρηση – κατανοµή ταχυτήτων στη µικροκλίµακα των πόρων

Μακροσκοπική θεώρηση – προσδιορισµός µέσης ταχύτητας και αντίστασης κατά τη ροή.

Έστω κύλινδρος ύψους Η. διατοµής S και ( )zS p το εµβαδό των πόρων στη διατοµή σε

απόσταση z από τον πυθµένα.

Έστω ( ) ( )zm

SzS

m p ==

Για τον κύλινδρο. η µέση τιµή του mm, θα είναι

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ===H H

HdzzSdzzS

SHdzzm

0 00 v111

Αλλά ο ολικός όγκος των διάκενων είναι ( )dzzSH

p∫0 , ενώ ο όγκος του κυλίνδρου είναι

∀=SH . Εποµένως n=m .

Εάν διέρχεται παροχή Q κατακόρυφα από τον κύλινδρο, ορίζουµε σαν φαινοµενική ταχύτητα ή ταχύτητα διήθησης V της ροής το πηλίκο της παροχής διηρηµένης µε το εµβαδόν της διατοµής S.

Η πραγµατική όµως ταχύτητα u είναι pS

Qu =

Εποµένως, η πραγµατική ταχύτητα σχετίζεται µε την ταχύτητα διήθησης µε την εξίσωση

nVunSuunSSVQ p =⇒=== .

z z

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

7 2ο ΕΠΕΑΕΚ

2.1 Πείραµα Darcy

Μετά από δοκιµές ο Darcy (1854) παρατήρησε ότι η παροχή που διέρχεται µέσα από το πορώδες µέσο σε συνθήκες µόνιµης ροής είναι ανάλογη του εµβαδού διατοµής S και της διαφοράς πιέσεων εισόδου εξόδου ∆p, ενώ είναι αντιστρόφως ανάλογη του µήκους ∆L του δείγµατος, δηλαδή

Lhh

KSQ

hhQL

∆−

=⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

−∝∆

∝

• Ο συντελεστής αναλογίας Κ ονοµάζεται συντελεστής σχετικής διαπερατότητας, εξαρτάται από το πορώδες και έχει διαστάσεις ταχύτητας.

• Όµως 11

1 zg

ph +=

ρ και 2

22 z

h +=ρ

, δηλαδή η ενεργειακή στάθµη είναι συνάρτηση

της ατµοσφαιρικής πίεσης και του υψόµετρου.

• Το νερό κινείται από περιοχές υψηλότερης σε περιοχές χαµηλότερης ενεργειακής στάθµης. Η ενεργειακή στάθµη στο πορώδες µέσο είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας. που λόγω του µικρού της µεγέθους ο όρος της κινητικής ενέργειας gV 2/2 αµελείται.

• Μικραίνοντας τα ∆L και ∆h = h1 – h2, η εξίσωση του Darcy γράφεται σε διαφορική µορφή ως εξής

dldhKue −= ;

SQue = .

• Στην παραπάνω εξίσωση ο λόγος Jdldh

=− ονοµάζεται κλίση της γραµµής

∆L

p2/ρg

Επίπεδο αναφοράς (z = 0)

p1/ρg

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

8 2ο ΕΠΕΑΕΚ

ενέργειας και ταυτίζεται µε την κλίση της πιεζοµετρικής γραµµής ενώ eu είναι η ταχύτητα διήθησης

Ο Νόµος του Darcy αποφεύγει τις τεράστιες δυσκολίες ανάλυσης της ροής µε βάση τις εξισώσεις των Navier- Stokes, εισάγοντας έννοιες ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Συγκεκριµένα

• Συσχετίζει την ταχύτητα διήθησης (φαινοµενική κατά βάση) µε άλλα υδραυλικά στοιχεία.

• Θεωρεί µέση τιµή της eu , παρά την υδροδυναµική της τιµή.

• Ισχύει για συγκεκριµένη κατεύθυνση, την κατεύθυνση του σωλήνα.

Σε περίπτωση που ο συντελεστής Κ µπορεί να θεωρηθεί σταθερός προς όλες τις κατευθύνσεις (ισότροπο και οµογενές έδαφος / µέσο)

O νόµος του Darcy γράφεται ως

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

∂∂

−=

∂∂

−=

∂∂

−=

zhKw

yhKv

xhKu

ή hK∇−=v

Θα µπορούσαµε να πούµε ότι ο νόµος του Darcy συνιστά το µακροσκοπικό στατιστικό ισοδύναµο των εξισώσεων Navier-Stokes µέσα από πορώδες µέσο.

Η πραγµατική ‘µέση’ ταχύτητα κίνησης του νερού στο πορώδες µέσο είναι

nuu =α

όπου n είναι το πορώδες του εδαφικού υλικού.

2.2 Συντελεστής γεωµετρικής διαπερατότητας Οι εξισώσεις Navier-Stokes σε δύο διαστάσεις γράφονται ως (DeWiest)

unx

pzu

111∇⋅

ρµ

+∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

και

vgzp

zvv

xvu

tv 2

22 n1

nnn1

∇+−∂∂

−=∂∂

+∂∂

ρµ

Θεωρούµε την κλίµακα µήκους L που είναι ένα χαρακτηριστικό µέγεθος (π.χ. το µέγεθος των πόρων d) και την αδιάστατη σταθερά παράµετρο C, τέτοιες ώστε οι στατιστικές µέσες τιµές των παραπάνω εξισώσεων µε τις ακόλουθες (διαστατικά σωστές) παραδοχές

222 11

CLu

Cu −=−=∇ και 22

2 11dv

CLv

Cv −=−=∇

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

9 2ο ΕΠΕΑΕΚ

και την υπόθεση ότι οι συνιστώσες της ταχύτητας γράφονται ως

∂∂

−=φ και

∂∂

−=φ ,

µετασχηµατίζουν τις εξισώσεις Navier-Stokes ως εξής

xdCxp

zxxtx ∂∂

+∂∂

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

−φ

ρµ

ρφφφ

zdCg

zxztz ∂∂

+−∂∂

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

−φ

ρµ

ρφφφ

2 .

Ολοκληρώνοντας τις παραπάνω εξισώσεις για µρ, σταθερά ως προς x και z αντίστοιχα και καταλήγουµε στην ίδια σχέση που είναι

( )tFdC

gzpzxt

=−++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

− 2

2 n21

ρµφ

ρφφφ

Σε µόνιµη ροή 0/ =∂∂ tφ και για αµελητέους αδρανειακούς όρους, δηλαδή

022

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

zxφφ

έχουµε ότι

( ) == FtF σταθερά.

Εποµένως,

Fzgpgk +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ρµρφ , (F = σταθερά)

2ndCk = όπου [ ] 2Lk = .

Αλλά από το νόµο του Darcy

( ) zgphhhu +=Φ−∇=Κ−∇=∇Κ−=ρ

;

Οπότε

νρµµρ

µρ gkgkgkgkK ====

Ο συντελεστής k ορίζεται ως συντελεστής γεωµετρικής διαπερατότητας, (ή εσωτερική διαπερατότητα – intrinsic permeability), και εξαρτάται µόνο από τα χαρακτηριστικά του πορώδoυς υλικού, πορώδες και σχήµα πόρων.

2.3 Περιοχή ισχύος του Νόµου Darcy Από τα παραπάνω ο νόµος του Darcy εκφράζει µακροσκοπικά τις εξισώσεις Navier- Stokes µε τη βασική προϋπόθεση ότι η ροή είναι στρωτή και ως εκ τούτου οι

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

10 2ο ΕΠΕΑΕΚ

αδρανειακοί όροι µπορούν να αµεληθούν. Εξάλλου η γραµµική συσχέτιση της ταχύτητας και της κλίσης της γραµµής ενέργειας (και πιεζοµετρικής γραµµής) είναι χαρακτηριστικό της στρωτής ροής.

Έστω ότι έχουµε ένα σωλήνα διαµέτρου d γεµάτο από πορώδες υλικό όπως π.χ. άµµο. Όταν η ροή είναι στρωτή τότε ο συντελεστής τριβών είναι αντιστρόφως ανάλογος του αριθµού Reynolds ℜ , δηλαδή

νudf =ℜ

ℜ∝ ;1 .

Τότε η κλίση των γραµµικών απωλειών (κατά Darcy – Weisbach) είναι

udg

uudg

udg

udfJ ∝==

ℜ∝=

2221

2 2

22 νν .

Όµως από το Νόµο του Darcy

KuJKJ

dxdhKu −=⇒−=−=

που είναι σχέση ανάλογη µε την παραπάνω. Εάν τώρα κατασκευάσουµε το διάγραµµα γραµµικών απωλειών f, σαν συνάρτηση του ℜ , (µεταβάλλοντας την παροχή) καταλήγουµε στο σχήµα που ακολουθεί

Ο νόµος του Darcy όπως φαίνεται από το παραπάνω σχήµα είναι εξαιρετικά ακριβής για Re < 0.02 και αποδεκτός για Re < 0.1. Βέβαια, τα όρια ισχύος του εξαρτώνται από τον ορισµό της χαρακτηριστικής κλίµακας µήκους που θα χρησιµοποιηθεί για τον καθορισµό

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

11 2ο ΕΠΕΑΕΚ

του ℜ και την ταχύτητα διήθησης. Για παράδειγµα εάν ορίσουµε σαν d τη µέση διάµετρο των κόκκων του πορώδους υλικού και eu τη µέση φαινοµενική ταχύτητα (διήθησης), τότε

vdue=ℜ

όπου v είναι το κινηµατικό ιξώδες του νερού. Βασικό κριτήριο για στρωτή ροή είναι ο παραπάνω αριθµός του Reynolds να είναι µικρός, συγκεκριµένα

• Η κρίσιµη τιµή του ℜ για την οποία έχουµε µετάβαση από στρωτή σε τυρβώδη ροή είναι µεταξύ 1 και 12.

• Ικανοποιητικά µπορούµε να θεωρήσουµε ότι για στρωτή ροή 1<ℜ .

• Στο εξής, θα θεωρούµε στρωτή ροή για

110 <=ℜvdu

όπου u είναι η ταχύτητα διήθησης και d10 η χαρακτηριστική διάµετρος των κόκκων.

• Για µεγαλύτερους αριθµούς ℜ και η µετάβαση σε τυρβώδη ροή δεν ισχύει ο Darcy αλλά κάποιος πιθανά τετραγωνικός νόµος όπως

nbuauJ += ; =n 1 έως 2

dldhJ −= .

2.4 Συντελεστής (σχετικής) διαπερατότητας Κ (υδραυλική αγωγιµότητα) Ορίζουµε ως συντελεστή (σχετικής) διαπερατότητας Κ

µρgk

vgkK ==

όπου k είναι ο συντελεστής γεωµετρικής (φυσικής) διαπερατότητας. Σηµειώνουµε ότι:

• Ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας Κ είναι συνάρτηση του µεγέθους και σχήµατος των κόκκων, του µεγέθους και σχήµατος των διάκενων και των ιδιοτήτων του υγρού ρ και µ.

• Έχουν γίνει προσπάθειες συσχετισµού του Κ και της γεωµετρίας των κόκκων χωρίς ιδιαίτερη όµως επιτυχία.

• Για σταθερή θερµοκρασία και δεδοµένη δοµή εδαφικού υλικού ο συντελεστής Κ παραµένει σταθερός

• Ο συντελεστής Κ µετριέται µε τα διαπερατόµετρα (που είναι συσκευές σαν αυτή του Darcy).

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

12 2ο ΕΠΕΑΕΚ

2.5 ∆ιαπερατόµετρα

∆ιακρίνουµε δύο τύπους. (α) Τα διαπερατόµετρα σταθερού φορτίου (σχήµα αριστερά), για τα οποία ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας υπολογίζεται από τη σχέση

AQK∆

= ,

όπου ∆h … διαφορά στάθµης εισόδου – εξόδου L … ύψος του δείγµατος Α … εµβαδόν διατοµής του δείγµατος. (β) Τα διαπερατόµετρα µεταβλητού φορτίου (σχήµα δεξιά), για τα οποία ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας υπολογίζεται από τη σχέση

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

AtLK lnα ,

όπου ∆ho … αρχική διαφορά στάθµης εισόδου – εξόδου τη χρονική στιγµή t = 0 ∆ht … διαφορά στάθµης εισόδου – εξόδου τη χρονική στιγµή t L … ύψος του δείγµατος Α … εµβαδόν διατοµής του δείγµατος. α … εµβαδόν διατοµής του σωλήνα φόρτισης

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

13 2ο ΕΠΕΑΕΚ

2.6 Παραδείγµατα Παράδειγµα 2.1. Στο εργαστήριο, το πείραµα του Darcy χρησιµοποιείται για τον προσδιορισµό του συντελεστή σχετικής διαπερατότητας Κ, ενός δείγµατος από άµµο. Το µήκος του δείγµατος είναι 0.20m, και η κυκλική εγκάρσια διατοµή 0.001m2. Η διαφορά πιεζοµετρικού φορτίου στα άκρα του κυλινδρικού δείγµατος είναι 0.25m και η ποσότητα του νερού που περνάει σε 5 λεπτά είναι 75x10-6m3.

(α) Υπολογίστε το Κ.

(β) Το παραπάνω πείραµα έγινε µε νερό θερµοκρασίας 20οC (κινηµατικό ιξώδες νερού ν=10-6m3/s). Ποιο θα ήταν το Κ και η παροχή νερού, αν στο πείραµα είχε χρησιµοποιηθεί νερό 5ο C (κινηµατικό ιξώδες νερού ν=1.52x10-6m3/s);

Απάντηση

(α) Ισχύει

sec1025

sec6051075 3

836 mx

xmxq −

−

== και sec

1025001.0

sec/1025 52

38 mxm

mxAqu −

−

=== .

Όµως

sec102

20.025.0 412 mxK

mmK

LhhK

LhKu −=⇒

−−=

∆∆

−=

(β) Για Τ = 20οC, ν = 10-6 m2/sec

Για Τ = 5οC, ν = 1.52x10-6 m2/sec

Επίσης ισχύει ότι Κ = kg/ν, όπου k είναι η γεωµετρική διαπερατότητα, ανεξάρτητη από το ιξώδες ν.

Εποµένως

Κ1 = kg/ν1 και Κ2 = kg/ν2

απ’ όπου προκύπτει ότι

22211

νννν

=⇒==KK

gKk ,

εποµένως

sec/10316.1)20()5( 4

112 mxCTKCTK oo −====

νν .

Από τις σχέσεις Darcy όµως για τις δύο θερµοκρασίες διαιρώντας κατά µέλη έχουµε

212

KKqq

=⇒== ,

δηλαδή

sec/10643.1)20()5( 37

212 mx

KKCTqCTq oo −==== .

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

14 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Παράδειγµα 2.2. ∆ιαπερατόµετρο µε σταθερή διατοµή S και µήκος L αποτελείται από δύο διαδοχικά δείγµατα µε υδραυλικές αγωγιµότητες Κ1 και Κ2.

(α) Εάν η παροχή Q που διέρχεται για δεδοµένες τις στάθµες h1 και h2 είναι γνωστή, να προσδιορίσετε τα µήκη των δύο δειγµάτων καθώς και την πιεζοµετρική στάθµη στο σηµείο επαφής τους.

(β) Να γίνει εφαρµογή για τα ακόλουθα δεδοµένα: Q = 0.10 l/min, Κ1 = 10-4 m/s, K2 = 5x10-4 m/s, h1 = 3.0 m, h2 = 0.75 m, L = 1.00 m και S = 0.0025 m2.

Υπόδειξη: Να χρησιµοποιήσετε το νόµο του Darcy και το θεώρηµα συνέχειας.

Απάντηση

(α) Έστω ότι τα µήκη των δύο τµηµάτων είναι L1 και L2 τότε

L1 + L2 = L (1)

Εφαρµόζοντας την εξίσωση συνέχειας έχουµε ότι

Q1 = Q2 = Q (2)

και από το νόµο του Darcy, εάν θεωρήσουµε ότι η πιεζοµετρική στάθµη στο σηµείο επαφής των δύο δειγµάτων είναι h,

Q Q K Sh h

L1 11

= =−

(3)

Q Q K Sh h

L2 22

= =−

. (4)

Αντικαθιστώντας το µήκος L1 στην εξίσωση (3) από την εξίσωση (1), οι εξισώσεις (3) και (4) γίνονται Q L L K S h h( ) ( )− = −2 1 1 (3α)

QL K S h h2 2 2= −( ) . (4α)

Οι εξισώσεις (3α) και (4α) αποτελούν ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους τα h και L2. Από την επίλυσή του προκύπτει ότι

hQL S K h K h

S K K=

− −−

( )( )

1 1 2 2

2 1

και LK S h h

Q22 2=

−( ).

Εποµένως L1 = L - L2.

K1 K2

h1 h2 h

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

15 2ο ΕΠΕΑΕΚ

(β) Εφαρµογή: Q = 0.10 l/min = 1.667x10-6 m3/s,

)10105(0025.0)75.010500.310)(0025.0()00.1(10667.1

446

−−

−−−

=xx

xxxxh = 1.855 m.

L x xx2

5 10 0 0025 1855 0 751667 10

=−−

−

. ( . . )

.= 0.83 m

και εποµένως

L1 = 1.00 - 0.83 = 0.17 m.

Παράδειγµα 2.3. (α) Να υπολογίσετε την ανά µονάδα πλάτους παροχή προς την τάφρο δεξιά, για τη δεδοµένη γεωλογική τοµή του σχήµατος. ∆εδοµένα: Κ1=10-3m/s, Κ2=10-4 m/s, Κ3 = 5x10-4m/s, d = 4m, d1 = 20m, d2 = 10m, d3 = 20m, h1 = 10m, h4 = 6m.

(β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διήθησης.

(γ) Να υπολογίσετε την πιεζοµετρική στάθµη στις κατακόρυφες διεπιφάνειες ανάµεσα στις στρώσεις.

Απάντηση

(α) Από την εξίσωση συνέχειας προκύπτει ότι η ανά µοναδα πλάτους παροχή είναι ίδια σε όλες τις στρώσεις, δηλαδή

3,2,1;)1(321 ==∆⇒∆

×=⇒=== idK

qdHLHdKqqqqq

ii .

Εποµένως για κάθε µια από τις στρώσεις έχουµε

dKqdhh

121 =−

dKqdhh

232 =−

dKqdhh

343 =− ,

όπου και προσθέτοντας κατά µέλη προκύπτει

Κ1 Κ2 Κ3

d1 d d

h4 Αδιαπέρατο

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

16 2ο ΕΠΕΑΕΚ

( )

smmx

Kddhhq

dqhh

i i

//1010520

1010

10204)610( 34

443

141

−−

−−−

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++××−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⇒=− ∑∑

(β) Η ταχύτητα διήθησης είναι

./000025.0//40001.0

13 smsmm

mdqu ==×

(γ) Η πτώση της πιεζοµετρικής στάθµης ανά στρώση προκύπτει από το νόµο του Darcy όταν γνωρίζουµε την παροχή, από τη σχέση

3,2,1; ==∆⇒∆

= idK

qdH

dKqi

ii .

Για την πρώτη στρώση ∆Η1 = 0.50m. Για τη δύτερη στρώση ∆Η2 = 2.50m. Για την τρίτη στρώση ∆Η3 = 1.00m.

Στη διεπιφάνεια µεταξύ πρώτης και δεύτερης στρώσης η πιεζοµετρική στάθµη θα είναι 10-0.50 = 9.50m, µεταξύ δεύτερης και τρίτης στρώσης 9.50-2.50 = 7.00m, η δε µεταβολή της πίεσης µέσα σε κάθε στρώση είναι γραµµική.

2.7 Άλυτες ασκήσεις 1. (α) Να δείξετε ότι το πορώδες σφαιρών ίδιας ακτίνας σε ροµβοειδή διάταξη δίδεται

από τη σχέση 26.0621 =−= πn .

(β) Ποιο είναι το πορώδες ανάµεσα σε κυλίνδρους ίσων ακτινών (1) όταν βρίσκονται σε κυβική και (2) σε ροµβοειδή διάταξη;

Κυβική διάταξη Ροµβοειδής διάταξη

2. Σε διαπερατόµετρο µεταβλητού φορτίου να δείξετε ότι

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

AtLK lnα .

3. Να προσδιορίσετε τη σχέση που συνδέει το πορώδες ενός δείγµατος άµµου n, µε τη µέση πυκνότητα του δείγµατος (bulk density) ρb και την πυκνότητα τον κόκκων (particle density) ρs. Να υπολογίσετε το πορώδες άµµου για την οποία ρb = 1.42gr/cc και ρs = 2.68gr/cc.

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

17 2ο ΕΠΕΑΕΚ

3. ∆ΙΚΤΥΟ ΡΟΗΣ

Σε ένα διδιάστατο (2-D) πεδίο ροής µε συνάρτηση δυναµικού Φ οι συνιστώσες της ταχύτητας προκύπτουν από τις σχέσεις

u∂Φ∂

= και y

v∂Φ∂

= όπου ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−=Φ z

gphKhρ

; (1)

Από την εξίσωση συνέχειας προκύπτει

00 2

=∂Φ∂

+∂Φ∂

⇒=∂∂

+∂∂

yxyv

xu ⇔ 02 =Φ∇ (2)

που είναι η γνωστή εξίσωση του Laplace.

Ορίζουµε τη ροϊκή συνάρτηση Ψ έτσι ώστε

u∂Ψ∂

−= και x

u∂Ψ∂

= (3)

Η εξίσωση συνέχειας τότε γράφεται

022

=∂∂Ψ∂

+∂∂Ψ∂

−yxyx

(4)

που ισχύει εξ ορισµού. Από τις σχέσεις (1) και (3)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂Ψ∂

=∂Φ∂

∂Ψ∂

−=∂Φ∂

xyv

yxu

Σχέσεις Cauchy- Riemann (5)

Εποµένως

022

≡∂∂Φ∂

−∂∂Φ∂

=∂Ψ∂

+∂Ψ∂

yxyxyx

Η εξίσωση του Laplace ισχύει εκ ταυτότητας και για την Ψ .

02 ≡Ψ∇ (6)

Έστω v η ταχύτητα, εφαπτόµενη στην τροχιά ΑΒυλικού σηµείου P . Τότε

0tan =−⇒== udyvdxdxdy

uv θ

∴(3),(7) 0=∂Ψ∂

+∂Ψ∂

⇒ dyy

dxx

ή dΨ = 0.

∆ηλαδή, κατά µήκος µιας γραµµής ροής =Ψ σταθερά!

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

18 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Η παροχή που διέρχεται ανάµεσα σε δύο γραµµές ροής 1Ψ και 2Ψ είναι Ε⋅= dVq

όπου ( ) jviuvuv +== ,

και dyjdxid +=Ε

( ) vdxudyvdxdyuq +−=+−=

Ψ=∂Ψ∂

+∂Ψ∂

= ddxx

dyy

Ολοκληρώνοντας

∫∫∫Ψ

Ψ− Ψ−Ψ=Ψ=

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

==2

121 ddy

ydx

xqQ

∆ηλαδή η παροχή ρευστού που περνάει από γραµµή ανάµεσα σε δύο γραµµές ροής 1Ψ και 2Ψ είναι

1221 Ψ−Ψ=−Q . (9)

Το γεγονός όµως ότι ισχύουν οι σχέσεις Cauchy-Riemann σηµαίνει ότι οι γραµµές ίσου δυναµικού, δηλαδή οι γραµµές όπου

0=∂Φ∂

+∂Φ∂

=Φ dyy

dxx

d (Φ = σταθερό),

είναι κάθετες στις γραµµές ροής επειδή

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

∂Φ∂

=∂Φ∂

=+=Φ

vdyudxd

dxdy

−= θθ

cottan

1−=−=

Ψ⊥Φ∴

Εποµένως, οι γραµµές ίσου δυναµικού Φ και αυτές µε ίσο Ψ (ροϊκές) αποτελούν ένα δίκτυο γραµµών κάθετων µεταξύ τους (εφόσον φυσικά το υλικό το πορώδες είναι οµογενές και ισότροπο, Κ = σταθερό).

Άλλη απόδειξη ότι Ψ⊥Φ . Το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων ∇Φ και ∇Ψ είναι

( ) ( ) =Ψ∇Φ∇ o ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Ψ∂

+∂Ψ∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

+∂Φ∂ j

yyxx ∂Ψ∂

∂Φ∂

+∂Ψ∂

∂Φ∂

( ) ( ) 0=−=+−= uvuvuvvu

Το σύνολο των ισορροϊκών και ισοδυναµικών γραµµών ονοµάζεται δίκτυο ροής

Ψ = Ψ1

V 1

Ψ = Ψ2

Φ = C1 Ψ = C2

u v θ

-uθ

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

19 2ο ΕΠΕΑΕΚ

3.1 Μιγαδικό δυναµικό

Ορίζουµε το µιγαδικό δυναµικό ψϕ iw += , τότε

0222 =∇+∇=∇ ψϕ iw (10)

που σηµαίνει ότι η συνάρτηση w ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace.

3.2 Οριακές συνθήκες

1. Αδιαπέρατο τοίχωµα :

0=∂Ψ∂

=∂Φ∂

tn, =Ψ σταθερό, δηλαδή =ΑΒ γραµµή ροής στο επάνω σχήµα.

C D

E FG

Φ = Φ1

Φ = Φ2

Φ = Φ3

Ψ = Ψ1

Ψ = Ψ2

Ψ = Ψ3

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

20 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Επίσης 1,2,…..8 και 9,10 γραµµές ροής στο αδιαπέρατο φράγµα από σκυρόδεµα δίπλα µε τις κουρτίνες σιµεντενέσεων ή διαφράγµατα 2-3 και 5-6.

2. Όρια ταµιευτήρων (C-D-A-1, F-E-B-2)

==+⇒−= 11 )( hzg

pzhgp MM ρ

ρ σταθερό

παντού στην περιοχή C-D-A-1 και εποµένως στη γραµµή από τα σηµεία C,D,M,A,1. ∆ηλαδή κατά µήκος της γραµµής AD

=Κ−=Φ 1h σταθερό

Όµοια στην περιοχή F-E-B-2 και εποµένως κατά µήκος της γραµµής EB

=Κ−=Φ 2h σταθερό

3. Επιφάνεια διήθησης GE

Οι GE δεν είναι ισορροϊκές ή ισοδυναµικές επιφάνειες (γραµµές)

=Κ+Φ⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Κ−=Κ−=Φ zz

h a

ρ σταθερά (pa = 0)

4. Ελεύθερη επιφάνεια ( )DG

=Κ+Φ⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Κ−=Κ−=Φ zz

h a

ρ σταθερά (pa = 0).

• ∆ιάφορες συνθήκες εισόδου – εξόδου όπως έχει κατηγοριοποιήσει ο Casagrande.

1 2

4 5

7 8

Αδιαπέρατο

9 10

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

21 2ο ΕΠΕΑΕΚ

3.3 Υπολογισµός της ταχύτητας διήθησης σε δίκτυο ροής

Η ταχύτητα στο σηµείο Α δίνεται από τη σχέση

u∆∆

≈∆∆

≅Αψϕ

Η παροχή q∆ ανάµεσα από τις δύο γραµµές ροής είναι

nuq ∆∆∆

=∆⋅=∆ Αφ .

Παράδειγµα 3.1. ∆ίνεται το δυναµικό πεδίο ροής

Φ =+

−x y z

2 22

(α) Mπορεί να αποτελέσει δυναµικό πεδίου ταχυτήτων σε πορώδες µέσο;

(β) Προσδιορίστε τη µορφή της γραµµής ροής που διέρχεται από το σηµείο x=1, y=1, z=1.

Υπόδειξη: Προσδιορίστε δύο εξισώσεις της γραµµής ροής, ξεκινώντας από τη διαφορική της εξίσωση

dxu

dyv

dzw

= = .

Απάντηση

(α) Το πεδίο ταχυτήτων της ροής είναι

u =∂Φ∂

v =∂Φ∂

w 2−=∂Φ∂

Όµως από την εξίσωση συνέχειας έχουµε

0211 =−+=∂∂

+∂∂

Εποµένως, το Φ µπορεί να αποτελέσει την εξίσωση δυναµικού ενός πεδίου ταχυτήτων σε πορώδες µέσο.

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

22 2ο ΕΠΕΑΕΚ

(β) Ισχύει

zdz

ydy

xdx

wdz

vdy

udx

2−==⇒==

απ’ όπου µε ολοκλήρωση προκύπτει

1lnln Cyxy

dyx

dx+=⇒= ∫∫

'2ln

21ln

2Czx

zdz

xdx

+−=⇒=−= ∫∫

και από τις παραπάνω σχέσεις

1Cyx= (1)

και

22 Czx = (2)

Από τη σχέση (1) για (x,y) = (1,1) προκύπτει C1=1 και από τη σχέση (2) για (x,z) = (1,1) προκύπτει C2=1.

Εποµένως, η γραµµή ροής που διέρχεται από το σηµείο (1,1,1) περιγράφεται από τις εξισώσεις x = y και x2z = 1.

Παράδειγµα 3.2. ∆ίνεται η συνιστώσα u=4x2+3y2-1 της ταχύτητας διδιάστατου πεδίου ροής σε ισότροπο και οµογενές πορώδες µέσο.

Να προσδιορίσετε την απλούστερη δυνατή έκφραση της συνιστώσας v της ταχύτητας.

Απάντηση

Σε διδιάστατο πεδίο ροής ισχύει η εξίσωση συνέχειας

0=∂∂

+∂∂

απ’ όπου µε αντικατάσταση της µερικής παραγώγου της ταχύτητας u, ∂u/∂x = 8x προκύπτει ότι

xyv 8−=∂∂ .

Ολοκληρώνοντας )(8 xfxyv +−= .

Η απλούστερη εποµένως µορφή της ταχύτητας v είναι Cxyv +−= 8

όπου C = σταθερά.

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

23 2ο ΕΠΕΑΕΚ

4. ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ

4.1 Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών Έστω µια συνάρτηση Φ(x,y) µονοσήµαντη και πεπερασµένη στην περιοχή R του επιπέδου x-y. Τα αναπτύγµατα σε σειρά Taylor της συνάρτησης Φ(x,y) ως προς x και y είναι

)(

!3!2),(),( 4

hOx

hyxyhx +∂Φ∂

+∂Φ∂

+Φ=+Φ (4.1)

)(

!3!2),(),( 4

hOx

hyxyhx +∂Φ∂

−∂Φ∂

+∂Φ∂

−Φ=−Φ (4.2)

)(!3!2

),(),( 43

kOy

kyxkyx +∂Φ∂

+∂Φ∂

+Φ=+Φ (4.3)

)(!3!2

),(),( 43

kOy

kyxkyx +∂Φ∂

−∂Φ∂

+∂Φ∂

−Φ=−Φ (4.4)

Πρόσθεση των εξισώσεων (1) και (2) κατά µέλη δίνει

)(),(2),(),( 4

22 hO

xhyxyhxyhx +

∂Φ∂

+Φ=−Φ++Φ

απ’ όπου προκύπτει ότι

[ ] )(),(),(2),(1 2

hOyhxyxyhxhx

+−Φ+Φ−+Φ=∂Φ∂

. (4.5) Παρόµοια προκύπτει

[ ] )(),(),(2),(1 222

kOkyxyxkyxky

+−Φ+Φ−+Φ=∂Φ∂ . (4.6)

Αφαιρώντας τις εξισώσεις (1) και (2) κατά µέλη έχουµε

)(2),(),( 3hO

xhyhxyhx +∂Φ∂

=−Φ−+Φ

απ’ όπου προκύπτει ότι

[ ] )(),(),(

21 2hOyhxyhxhx

+−Φ−+Φ=∂Φ∂

. (4.7) Παρόµοια

[ ] )(),(),(21 2kOkyxkyxky

+−Φ−+Φ=∂Φ∂ . (4.8)

Η διακριτοποίηση της περιοχής µελέτης γίνεται µε τη χρήση ορθογωνικού κανάβου µε οριζόντια και κάθετη ισοδιάσταση h και k αντίστοιχα. Για την περιοχή µελέτης του σχήµατος παρακάτω ορίζουµε το δυναµικό του σηµείου (x,y) = (ih,jk) που αντιστοιχεί στη στήλη h και τη γραµµή k του κανάβου ως

jijkihyx ,),(),( Φ=Φ=Φ . Εποµένως οι πρώτες και δεύτερες µερικές παράγωγοι µπορούν να γραφτούν ως

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

24 2ο ΕΠΕΑΕΚ

[ ]jijijiji

hx ,1,,122,

21−+ Φ+Φ−Φ=

∂

Φ∂

[ ]1,,1,22,

21−+ Φ+Φ−Φ=

∂

Φ∂jijiji

[ ] [ ] [ ]jijijijijiji

hhhx ,1,,,1,1,1, 11

−+−+ Φ−Φ=Φ−Φ=Φ−Φ=∂Φ∂

[ ] [ ] [ ]1,,,1,1,1,, 11

−+−+ Φ−Φ=Φ−Φ=Φ−Φ=∂Φ∂

jijijijijijiji

kkky (4.9)

Για την επίλυση της εξίσωσης του Laplace,

=∂Φ∂

+∂Φ∂

yx αντικαθιστώντας τις παραγώγους 2ης τάξης από τις εξισώσειις 4.5 και 4.6 έχουµε ότι

( ) 0)1(2 ,2

1,1,2

,1,1 =Φ+−Φ+Φ+Φ+Φ −+−+ jijijijiji rr (4.10) όπου r = h/k είναι ο λόγος των βηµάτων του κανάβου. Όταν r = 1 (h = k)

04 ,1,1,,1,1 =Φ−Φ+Φ+Φ+Φ −+−+ jijijijiji . (4.10α) Με τις σχέσεις που προκύπτουν από τις οριακές συνθήκες Dirichlet και Neumann, κατασκευάζουµε τις εξισώσεις των κόµβων κοντά στα όρια. Προκύπτει ένα σύστηµα n-εξισώσεων µε n-αγνώστους τα Φ1, Φ2, ..., Φn, που λύνεται µε µια από τις γνωστές µεθόδους (π.χ. Gauss-Seidel, κλπ). Παράδειγµα 4.1 Στο τετραγωνικό δίκτυο που έχει σχεδιαστεί σ’ ένα υπόγειο πεδίο ροής είναι γνωστή η τιµή του δυναµικού στον κόµβο 1, οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων στα σηµεία Α και C και η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας στο σηµείο D. Με βάση τις τιµές αυτές να υπολογίσετε τις τιµές του δυναµικού στους κόµβους 2, 3 και 4 καθώς και την κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας στο σηµείο Β.

i,j i+1,ji-1,j

i,j+1

i,j-1

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

25 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Απάντηση Ισχύει ότι

u∆∆Φ

= και y

v∆∆Φ

εποµένως

hu AA +Φ=Φ⇒

Φ−Φ= 12

(1)

hv DD −Φ=Φ⇒

Φ−Φ= 14

(2)

hu CC +Φ=Φ⇒

Φ−Φ= 43

, Φ4 είναι γνωστό (3)

CDA

CDAB uuu

hhuhuhu

hv −+=

−−Φ−+Φ=

Φ−Φ=

)( 1132

(4)

Παράδειγµα 4.2 Στο τετραγωνικό δίκτυο που έχει σχεδιαστεί σ’ ένα υπόγειο πεδίο ροής, είναι γνωστή η τιµή του δυναµικού στους κόµβους 4, 5, 6 και 9, η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας στο σηµείο Α και η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας στο σηµείο Β. Με βάση τις τιµές αυτές να υπολογίσετε τις τιµές του δυναµικού στους κόµβους 2, 7 και 8 καθώς και τις οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσες της ταχύτητας στα σηµεία C και D αντίστοιχα.

h h

1 2 3

5 6

7 8 9

h1 2

A B

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

26 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Απάντηση Ισχύει ότι

u∆∆Φ

= και y

v∆∆Φ

εποµένως

hu AA −Φ=Φ⇒

Φ−Φ= 98

(1)

hv BB −Φ=Φ⇒

Φ−Φ= 47

(2)

86952

864528642

)(4

)(44

Φ−Φ−−Φ−Φ=Φ

⇒Φ+Φ+Φ−Φ=Φ⇒Φ+Φ+Φ+Φ

=Φ

hu A

(3)

)(

)( 494978BA

BAC vu

hhhvhu

hu −−

Φ−Φ=

−Φ−−Φ=

Φ−Φ=

(4)

hhu

hv A

D)( 9585 −Φ−Φ

=Φ−Φ

= (5)

4.2 Προσδιορισµός του δυναµικού Φ από οριακές συνθήκες κοντά σε καµπύλα όρια - οριακή συνθήκη Dirichlet (κυρίως για ροή στα όρια δεξαµενών).

Η τιµή της συνάρτησης Φ στο όριο C είναι δεδοµένη, Φ = Φο (οριακή συνθήκη Dirichlet). Όµως, δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τα σηµεία 2 και 3 για να υπολογίσουµε τι; 1η και 2η παράγωγο στο σηµείο 0, επειδή δεν γνωρίζουµε την τιµή του Φ στα σηµεία αυτά. Εποµένως, θα παρεµβάλλουµε τις παραγώγους στο σηµείο 0 µε βάση τις τιµές του Φ στα σηµεία Α, Β, 1 και 4. Αναπτύσσοντας το Φ σε σειρά Taylor γύρω από το σηµείο 0 έχουµε ότι Άξονας x:

...

!2 20

221

10 +∂Φ∂

+∂Φ∂

−Φ=Φx

hAθθ

0Αk

hθ1

kθ2

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

27 2ο ΕΠΕΑΕΚ

...

!2 20

220

01 +∂Φ∂

+∂Φ∂

+Φ=Φx

Από την επίλυση του παραπάνω συστήµατος των δύο εξισώσεων προκύπτουν οι 1η και 2η διακριτοποιηµένες παράγωγοι στο σηµείο 0 στη διεύθυνση x

[ ]02

112

111

0 )1()1(

1Φ−−Φ−Φ

+−

=∂Φ∂

θθθθ Ahx

(4.11)

και

[ ])1()1(

21011

1122

θθθθ

+Φ−Φ+Φ+

=∂Φ∂

Ahx. (4.12)

Όµοια εργαζόµενοι στη διεύθυνση y έχουµε

...!2 2

022

020 +

∂Φ∂

+∂Φ∂

+Φ=Φy

kBθ

...!2 2

022

004 +

∂Φ∂

+∂Φ∂

−Φ=Φy

απ’ όπου προκύπτουν

[ ]422

220

0 )1()1(

1Φ−−Φ−Φ

∂Φ∂

θθθθ Bky

(4.13)

[ ]422022

220

)1()1(

2Φ++Φ−Φ

∂Φ∂

θθθθ Bky

(4.14)

Αντικαθιστώντας στις παραπάνω σχέσεις θ1 = θ2 = 1 καταλήγουµε στις 1η και 2η παραγώγους για εσωτερικό σηµείο.

4.3 Προσδιορισµός του Φ από οριακές συνθήκες κοντά σε καµπύλα όρια - οριακή συνθήκη Neumann (κυρίως για ροή σε αδιαπέρατα όρια).

Ως γνωστόν, η συνθήκη Neumann στο όριο προκαθορίζει την παράγωγο του Φ κάθετα σε αυτό, δηλαδή

f=∂Φ∂ε

, γνωστή συνάρτηση.

1 C

0Α

θ2

θ1Νέο όριο υδροφορέα ακριβώς

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

28 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Από το παραπάνω σχήµα στα σηµεία Ν1 και Ν2 έχουµε γνωστές τις παραγώγους

)( 11 NfN =

∂Φ∂ε

και )( 22 NfN =

∂Φ∂ε

Από τα τρίγωνα 01Β και 02Α έχουµε ότι

111

cos/1)(

θε kBNf BBN Φ−Φ

=Φ−Φ

==∂Φ∂

και

222

cos/2)(

θε hANf AAN Φ−Φ

=Φ−Φ

==∂Φ∂

Όµως µε παρεµβολή

110

01 tantan/0 θ

θ hk

==Φ−ΦΦ−Φ

και

220

02 tantan/0 θ

θ kh

==Φ−ΦΦ−Φ

Από τις παραπάνω σχέσεις, λύνοντας ως προς ΦΑ και ΦΒ έχουµε

02222

tan1tan)(cos

Φ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+Φ+−=Φ θθ

θ kh

khNfh

DA και

01111

tan1tan)(cos

Φ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+Φ+−=Φ θθ

θ hk

hkNfk

CB .

Με τα ΦΑ και ΦΒ γνωστά, µπορώ να γράψω τις πεπερασµένες διαφορές για τους κόµβους εντός των ορίων της περιοχής µελέτης. Στην περίπτωση αδιαπέρατου τοιχώµατος f(N1) = f(N2) = 0 και τα ΦΑ και ΦΒ παίρνουν τη µορφή

022 tan1tan Φ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+Φ=Φ θθ

DA και (3.15)

011 tan1tan Φ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+Φ=Φ θθ

CB . (3.16)

Παράδειγµα 4.3 Για τετραγωνικό κάναβο να υπολογίσετε δυναµικό στο σηµειο 2 του σχήµατος εάν το δυναµικό στα σηµεία 1, 3 και 4 είναι αντίστοιχα Φ1 = 0.8Kh, Φ4 = 0.68Kh, και Φ3 = 0.6Kh. Το κεκλιµένο όριο του υδροφορέα είναι αδιαπέρατο.

4 α

1 α

θ=15ο

A’ε

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

29 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Απάντηση Επεκτείνοντας τον κάναβο µέσα στο αδιαπέρατο σχηµατισµό (σηµείο Α), φέρουµε την κάθετο από το σηµείο Α στην αδιαπέρατη επιφάνεια, που τέµνει το τµήµα 12 στο σηµείο Α’. Από την συνθήκη Neumann έχουµε ότι

AAAA

AAΦ=Φ⇒=

Φ−Φ⇒=∂Φ∂ '

' 0'

0/ ε .

Εποµένως, το δυναµικό του σηµείου Α’ προκύπτει από γραµµική παρεµβολή ως oo

AAo

oA A 15tan)15tan1(15tan15tan

122'

12'21

2' Φ+−Φ=Φ=Φ⇒===Φ−ΦΦ−Φ

αα .

Επίσης, το δυναµικό στο σηµείο 2 είναι (πεπερασµένες διαφορές)

4431

2AΦ+Φ+Φ+Φ

=Φ .

Απαλοίφοντας το ΦΑ από τις δύο παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι ( )

Kho

702.015tan3

15tan1 4312 =

+Φ+Φ++Φ

=Φ.

Παράδειγµα 4.4 Στο τετραγωνικό δίκτυο που έχει σχεδιαστεί σ’ ένα υπόγειο πεδίο ροής, είναι γνωστό το δυναµικό στους κόµβους 4 και 2 (Φ4 και Φ2 αντίστοιχα) η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας vB στο σηµείο Β και η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας uC. Με βάση τις τιµές αυτές να υπολογίσετε τις τιµές του δυναµικού στους κόµβους 5, 3, 6, 9 και 8 (Φ5, Φ3, Φ6, Φ9 και Φ8 αντίστοιχα) καθώς και την οριζόντια uE και κατακόρυφη vD συνιστώσα της ταχύτητας στα σηµεία E και D αντίστοιχα. Απάντηση Το 3 – 6 – 9 είναι αδιαπέρατο όριο. Εποµένως un = ∂Φ/∂n = 0, δηλαδή,

32 Φ=Φ

65 Φ=Φ

98 Φ=Φ

Επίσης ( ) hyvB // 74 Φ−Φ=∆∆Φ= , εποµένως

hvB−Φ=Φ 47 . ( ) hxuC // 78 Φ−Φ=∆∆Φ= ,

εποµένως

h h

1 2 3

5 6

7 8 9

Αδιαπέρατο όριο

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

30 2ο ΕΠΕΑΕΚ

hvhuhu BCC −Φ+=Φ+=Φ 478 . Επίσης

4485428642

5Φ+Φ+Φ+Φ

=Φ+Φ+Φ+Φ

=Φ ,

απ’ όπου προκύπτει

3842

5Φ+Φ+Φ

=Φ

023 =Φ−Φ

hvD

85 Φ−Φ= .

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

31 2ο ΕΠΕΑΕΚ

5. ΡΟΗ ΣΕ Υ∆ΡΟΦΟΡΟ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ

5.1 Ιδιότητες εδαφών. Σε ένα εδαφικό στοιχείο µε πορώδες n, ορίζουµε τα ακόλουθα µεγέθη

Sy ... ειδική απόδοση (specific yield ή effective porocity)

Sr ... ειδική κατακράτηση (specific retention)

που σχετίζονται µεταξύ τους µε τη σχέση S n Sy r= − . (5.1)

Οι παραπάνω παράµετροι είναι φυσικά αδιάστατες, εξαρτώνται δε από τα χαρακτηριστικά του ρευστού που ρέει µέσα από το δεδοµένο εδαφικό στοιχείο. Για παράδειγµα, τα Sr, Sy θα είναι διαφορετικά εάν το ρευστό είναι πετρέλαιο απ’ ότι εάν είναι νερό. Η φυσική σηµασία των παραπάνω παραµέτρων είναι η εξής: Sy είναι το ποσοστό του νερού που αποµακρύνεται µε βαρύτητα από ένα κορεσµένο τµήµα ενός εδαφικού στοιχείου, είναι δε µικρότερο από το πορώδες n. Sr είναι το ποσοστό του ρευστού που κατακρατείται χωρίς να µπορεί να το αποµακρύνει η βαρύτητα από ένα κορεσµένο εδαφικό στοιχείο, είναι δε ίσο µε τη διαφορά της του πορώδους και της ειδικής απόδοσης.

5.2 Τάσεις σε ένα εδαφικό στοιχείο υπό πίεση.

Η ορθή τάση σt πάνω στο αδιαπέρατο κάλυµµα του υδροφόρου υπό πίεση οφείλεται (1) στις δυνάµεις που αναπτύσσονται ανάµεσα στους κόκκους του εδαφικού υλικού και ονοµάζεται τάση του εδάφους σz και (2) στην πίεση του νερού των πόρων p, ισχύει δε σ σ σ σt z z tp p= + ⇒ = − . (5.2)

Εποµένως, η µεταβολή της ορθής τάσης σz µεταβάλλοντας την πίεση p θα είναι d dpzσ = − , (5.3)

δηλαδή, σε περίπτωση κατά την οποία η πίεση των πόρων (η πιεζοµετρική στάθµη) µειώνεται κατά dp, η αντίστοιχη τάση σz αυξάνεται κατά -dp. Η αύξηση αυτή της τάσης προκαλεί τη συµπύκνωση του υλικού (κυρίως στην κατακόρυφη διεύθυνση) και στην

σz+p

Έδαφος

Αδιαπέρατο

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

32 2ο ΕΠΕΑΕΚ

εδαφοµηχανική αυτή η συµπύκνωση αναφέρεται µε τον όρο στερεοποίηση (consolidation). Είναι προφανές ότι η στερεοποίηση λαµβάνει χώρα ταχύτατα σε εδάφη αµµώδη (µε µεγάλη υδραυλική αγωγιµότητα Κ), ενώ είναι ένα πολύ βραδύ φαινόµενο σε αργιλικά εδάφη.

5.3 Ειδική αποθηκευτικότητα (specific storage) και συντελεστής αποθηκευτικότητας (storage coefficient).

Θεωρούµε ένα κορεσµένο εδαφικό στοιχείο µέ όγκο ∆x ∆y ∆z. Η µάζα του ρευστού που περιέχεται σε αυτό είναι m = ρ n ∆x ∆y ∆z.

Ενδιαφερόµαστε για τον όγκο νερού που απελευθερώνεται από µοναδιαίο όγκο εδάφους όταν το ύψος πίεσης των πόρων µειωθεί κατά µία µονάδα.

H διαφορική µεταβολή της µάζας του ρευστού dm είναι (διαφορίζοντας κατά παράγοντες και υποθέτοντας ότι ο υδροφόρος παραµορφώνεται µόνον κατά την κατακόρυφη διεύθυνση)

( ) ( )dm d n z n zd x y dm dm x y= + = +ρ ρ( )∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆1 2 . (5.4)

Η µεταβολή της µάζας dm1 οφείλεται στη µεταβολή του πορώδους διατηρώντας την πυκνότητα ρ σταθερή (συµπιεστότητα εδαφικού υλικού), ενώ η µεταβολή dm2 οφείλεται στη µεταβολή της πυκνότητας του νερού διατηρώντας τον όγκο των πόρων σταθερό (συµπιεστότητα νερού).

Η µεταβολή του όγκου των πόρων από την κατακόρυφη συµπίεση ανά µονάδα όγκου των πόρων και ανά µονάδα µεταβολής της τάσης του εδάφους σz, ονοµάζεται συµπιεστότητα του όγκου των πόρων αp και ορίζεται από τη σχέση

ασp

zn zd n z

d n zd n z

dp= − =

1 1∆

∆∆

∆( ) ( ) , (5.5)

θεωρώντας ότι η συνολική ορθή κατακόρυφη τάση είναι σταθερή, απ’ όπου προκύπτει ότι dm n z dpp1 = ρα ∆ . (5.6)

Η συµπιεστότητα του νερού β µπορεί να εκφραστεί µε τη σχέση

β = −1

VdVdpw

w , (5.7)

θεωρώντας τη µάζα τού νερού σταθερή. Η µεταβολή εποµένως της πυκνότητας του νερού σαν συνάρτηση της µεταβολής του όγκου θα είναι

dpVdV

dVdVd

w ρβρρρρ

=−=⇒−= . (5.8)

H µεταβολή εποµένως της µάζας του νερού λόγω συµπιεστότητας ανά µονάδα επιφάνειας είναι

dpzndm ρβ∆=2 (5.9)

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

33 2ο ΕΠΕΑΕΚ

και η συνολική µεταβολή της µάζας του νερού ανά µονάδα όγκου του υδροφόρου είναι

( )dpnzyx

dmp βαρ +=

∆∆∆. (5.10)

Στην πράξη, η µεταβολή στην αποθηκευτικότητα του νερού, µετριέται σε όγκο παρά σε µάζα, και εποµένως διαιρώντας και τα δύο µέλη της παραπάνω εξίσωσης µε την πυκνότητα προκύπτει η σχέση

( )dVx y z

n dpwp∆ ∆ ∆

= +α β , (5.11)

όπου dVw είναι η µεταβολή του όγκου του νερού στο στοιχείο του εδάφους που οφείλεται στη συνδυασµένη συµπιεστότητα του νερού και εδάφους. Οι υδραυλικοί µηχανικοί επίσης χρησιµοποιούν το ύψος της πιεζοµετρικής γραµµής h = z + p/ρg, παρά την πίεση p. Εποµένως, dp = ρ g dh και η παραπάνω εξίσωση γράφεται

( )SdVx y z dh

g nsw

p= = +∆ ∆ ∆

1 ρ α β (5.12)

όπου ορίζουµε

Ss ... ειδική αποθηκευτικότητα (specific storage)

που είναι ο όγκος του νερού που απελευθερώνεται ανά µονάδα όγκου του υδροφόρου όταν µειωθεί το ύψος πίεσης κατά µία µονάδα και έχει διαστάσεις L-1.

Έστω ότι έχουµε ένα υδροφόρο υπό πίεση πάχους b. Ο συντελεστής αποθηκευτικότητας (storage coefficient) S ορίζεται από τη σχέση S = Ss b (5.13)

και είναι µια αδιάστατη παράµετρος του υδροφόρου.

Παράδειγµα 5.1 Να προσδιορίσετε την ειδική αποθηκευτικότητα και το συντελεστή αποθηκευτικότητας ενός υδροφόρου πάχους b = 40m, που έχει πορώδες n = 0.32. Να υποθέσετε ότι β = 4.8x10-9 m2/N, αp = 4.4x10-8 m2/N. Απάντηση Ss = ρ g n (αp + β) = 1000 x 9.81 x 0.32 x (4.8 + 44)x 10-9 m-1 = 1.53 x 10-4 m-1.

S = Ss b = 6.13 x 10-3.

Παράδειγµα 5.2 O µέσος όγκος ενός υδροφόρου υπό πίεση είναι 3 x 107 m3/Km2. O συντελεστής αποθηκευτικότητας που προέκυψε από αντλητική δοκιµή σε σηµείο όπου το πάχος του υδροφόρου είναι b = 50m, είναι 3.4 x 10-3. Να προσδιορίσετε τον όγκο του νερού που προκύπτει ανά Km2, όταν ελαττωθεί η µέση πίεση κατά 25 m. Απάντηση

Ss = S / b = (3.4 x 10-3)/(50 m) = 6.8 x 10-5 m-1.

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

34 2ο ΕΠΕΑΕΚ

( )SdVx y z dh

dV S x y z dh

x m x m Km mx m Km

w s= ⇒ =

− −

∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

68 10 3 10 2551 10

5 1 7 3 2

4 3 2

. ( / ). / .

5.4 Εξίσωση συνέχειας

Η µάζα του νερού µέσα από ένα στοιχείο στην κατεύθυνση x είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρ ρ ∂ ρ∂

∂ ρ∂

Q Q Qx

x ux

x y zx x x+ − = =∆ ∆ ∆ ∆ ∆

όπου Qx = u ∆y ∆z.

Αντίστοιχα δουλεύοντας στις διευθύνσεις y και z η συνολική µεταβολή της µάζας του νερού µέσα από το ορθογωνικό στοιχείο ∆x ∆y ∆z είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρ ρ ∂ ρ∂

∂ ρ∂

∂∂

Q Q ux

x y z mtout in− = + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −∆ ∆ ∆ (5.14)

επειδή το γινόµενο της πυκνότητας επί την παροχή εκφράζει µαζα ανά µονάδα χρόνου. Το αρνητικό πρόσηµο χρησιµοποιήθηκε για να δείξουµε ότι άν η εκροή είναι µεγαλύτερη από την εισροή, η µάζα του νερού στο υπό µελέτη ορθογώνιο µειώνεται.

Αναλύοντας τους επί µέρους όρους στην παραπάνω εξίσωση έχουµε ότι στην κατεύθυνση x

∂ ρ∂

ρ ∂∂

∂ρ∂

ρ ∂∂

∂ρ∂

∂∂

ρ ∂∂

ρβ ∂∂

ρ ∂∂

( )ux

u px

= + = + = + ≈ .

Χρησιµοποιώντας τις αντίστοιχες σχέσεις για τις δύο άλλες κατευθύνσεις η εξίσωση συνέχειας γράφεται

tmzyx

∂∂

∂∂ρ −=∆∆∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ )( .

Εισάγοντας την εξίσωση του Darcy u =-∇(Kh) και αντικαθιστώντας τις συνιστώσες της ταχύτητας στην εξίσωση συνέχειας έχουµε ότι

∆z

∆y

∆x

(ρQ)x+∆x (ρQ)x

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

35 2ο ΕΠΕΑΕΚ

∂∂

∂∂ ρ

∂∂

α β ∂∂x

K hx y

K hy z

K hz x y z

n ptx y z p

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= = +

1( )

( )∆ ∆ ∆

ή αντίστοιχα ότι

∂∂

∂∂x

K hx y

K hy z

K hz

S htx y z s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= (5.15)

όπου χρησιµοποιήθηκαν οι σχέσεις dp ≈ ρ g dh και ο ορισµός της ειδικής αποθηκευτικότητας.

Εάν η υδραυλική αγωγιµότητα κατά διεύθυνση παραµένει σταθερά, η εξίσωση συνέχειας γράφεται ως εξής

K hx

K hy

K hz

S htx y z s

∂∂

2+ + =

Θεωρώντας επί πλέον ότι το έδαφος είναι οµοιόµορφο και οµογενές (Κ = Κx = Ky = Kz), η εξίσωση γράφεται

∂∂

s+ + = . (5.16)

Σε πολλές εφαρµογές ο υδροφόρος θεωρείται οριζόντιος και σταθερού πάχους b. Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση συνέχειας γράφεται

∂∂

SKb

+ = . (5.17)

Το γινόµενο Τ = Κb ονοµάζεται µεταβιβαστικότητα (transmissivity) και έχει διαστάσεις L2T-1. To πιεζοµετρικό φορτίο του υδροφόρου υπό πίεση, δεν µεταβάλλεται καθ’ ύψος.

Στην περίπτωση κατά την οποία δεν υφίσταται µεταβολή µάζας (δηλαδή η εισροή και η εκροή είναι ίσες, πράγµα που σηµαίνει ότι ο υδροφόρος υπό πίεση βρίσκεται σε µικρό σχετικά βάθος) σε υδροφόρο µε οµοιόµορφο Κ, η εξίσωση συνέχειας γράφεται

∂∂

2 0hx

+ + = (5.18)

που είναι η εξίσωση του Laplace! Η επίλυσή της για πηγάδια µικρού βάθους ακολουθεί.

Σηµείωση: Η εξίσωση (5.18), πολλαπλασιάζοντας επί το σταθερό Κ και θέτοντας Φ =-Κh µετασχηµατίζεται στη

=Φ

+Φ

zyx ∂∂

∂∂

∂∂ .

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

36 2ο ΕΠΕΑΕΚ

5.5 Πηγάδι σε υδροφόρο υπό πίεση

Σχήµα 5.1 Definition sketch Θεωρούµε ένα πηγάδι σε υδροφορέα υπό πίεση πάχους α. Η παροχή που αντλείται (µόνιµη ροή) είναι Q, όταν η στάθµη νερού στο πηγάδι είναι ho και η (αδιατάρακτη) πιεζοµετρική στάθµη σε απόσταση R (ακτίνα επιρροής) µακρυά από το πηγάδι είναι h1. Εάν η πιεζοµετρική στάθµη σε απόσταση r είναι H, εφαρµόζοντας την εξίσωση συνέχειας για µόνιµη ροή έχουµε ότι

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−=

drdHrK

drdHKrrurQ r πααπαπ 22)(2 . (5.19)

Εποµένως, από την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης

QHrdr

KQdH ln

22 παπα=⇒= (5.20)

αντικαθιστώντας για r = Ro, H = ho και για r = R, H = h1, έχουµε ότι

oo RK

Qh ln2πα

= και RK

Qh ln21 πα

= . (5.21α,β)

Αφαιρώντας κατά µέλη τις εξισώσεις (5.21α,β) και (5.20) έχουµε ότι η πιεζοµετρική στάθµη σαν συνάρτηση της στάθµης του νερού στη γεώτρηση ειναι

H h QK

rRo

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2παln (5.22 )

και σαν συνάρτηση της στάθµης µακριά από τη γεώτρηση

H h QK

= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 2πα

ln . (5.23)

h1 Ηα ho

R rR

θzo

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

37 2ο ΕΠΕΑΕΚ

5.6 Μιγαδική ανάλυση για πηγάδια υπό πίεση Θεωρούµε ένα πηγάδι σε υδροφορέα υπό πίεση πάχους α. Το µιγαδικό δυναµικό σε απόσταση z από πηγάδι που βρίσκεται στη θέση zo ενός υδροφορέα υπό πίεση, πάχους α, προκύπτει από τη συνάρτηση

F z q z z Q z zo o( ) log( ) log( )= − − = − −2 2π πα

(5.24)

όπου q = Q/α και Ψ+Φ== izFw )( (5.25)

Φ = -ΚΗ ... η συνάρτηση του δυναµικού Ψ ... η ροϊκή συνάρτηση του πεδίου ροής του πηγαδιού και Q ... η αντλούµενη παροχή. Η συνάρτηση δυναµικού µπορεί να αναλυθεί σε ένα πραγµατικό και ένα φανταστικό µέλος, από τον ορισµό του µιγαδικού λογάριθµου (logz = lnr + iθ; z = reiθ)

F z q r i Q r i Q( ) (ln ) ln= − + = − −2 2 2π

θπα

; 0 < θ ≤ 2π (5.26))

Από τις εξισώσεις (5.25) και (5.26) προκύπτει εξισώνοντας πραγµατικά και φανταστικά µέλη ότι

Φ = − = −KH Q r2πα

ln ή (5.27)

H QK

r=2πα

ln (5.27α)

που σηµαίνει ότι Η = σταθερά όταν r = σταθερά, δηλαδή ότι οι ισοδυναµικές γραµµές είναι οµόκεντροι κύκλοι και

Ψ = −Qθπα2

(5.28)

που σηµαίνει ότι Ψ = σταθερά όταν θ = σταθερά, δηλαδή ότι οι γραµµές ροής είναι ακτίνες που κατευθύνονται προς τον άξονα του πηγαδιού.

Σχήµα 5.2 Γραµµές ροής και ισοδυναµικές γραµµές σε πηγάδι υδροφορέα υπό πίεση

απείρων διαστάσεων.

r = r3

θ = θ1

Ψ = Ψ1

Φ1Φ2

Φ3

Ψ3

Ψ2

urv

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

38 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Εφαρµόζοντας την οριακή συνθήκη, δηλαδή για r = R, h = h1 η εξίσωση (5.27α) γίνεται

Qh ln21 πα

= . (5.29)

Αφαιρώντας τις εξισώσεις (5.27α) και (5.29) κατά µέλη η πτώση της στάθµης ∆h= h1 - H σε απόσταση r από το πηγάδι σε σχέση µε το αδιατάρακτο πιεζοµετρικό φορτίο h1 πέρα από την ακτίνα επιρροής R του πηγαδιού δίνεται από τη σχέση

∆h h H QK

= − = −1 2παln . (5.30)

που είναι ίδια µε την εξίσωση (5.23). Για πολλά πηγάδια που βρίσκονται στα σηµεία z1, z2, ..., zn το µιγαδικό δυναµικό προκύπτει από επαλληλία των επί µέρους δυναµικών για το κάθε πηγάδι επειδή η (γραµµική) εξίσωση του Laplace ικανοποιείται για καθένα πηγάδι χωριστά και για όλα τα πηγάδια µαζί και είναι

F zQ

z zQ

z znn( ) log( ) log( ) ... log( )= − − − − − − −1

22 2 2πα πα πα (5.31)

όπου Q1, Q2, ..., Qn είναι οι παροχές που αντλούνται από τα n πηγάδια, απ’ όπου προκύπτει ότι το δυναµικό στο σηµείο z που απέχει από τα z1, z2, ..., zn αποστάσεις r1, r2, ..., rn αντίστοιχα είναι

Φ = − = − − − −KHQ

rnn

222 2 2πα πα πα

ln ln ... ln (5.32)

και εποµένως η στάθµη Η στο σηµείο z είναι

HQK

rQK

rnn= + + +1

22 2 2π α π α π αln ln ... ln (5.33)

Σε απόσταση R (µεγάλη – ακτίνα επιρροής) από το σύστηµα των πηγαδιών η στάθµη του πιεζοµέτρου θα είναι

Qh n ln

2...ln

2ln

221

1 απαπαπ+++= (5.34)

Τότε η διαφορά στάθµης στο σηµείο z σε σχέση µε την πιεζοµετρική στάθµη ισορροπίας θα είναι

∑=

−=−−−−=−=∆

iinn

Hhh1

22111 ln

2ln

2...ln

2ln

2 παπαπαπα (5.35)

Η σχέση αυτή είναι η επαλληλία των πτώσεων της στάθµης στο σηµείο z από άντληση σε κάθε πηγάδι χωριστά. Όµως, η συνάρτηση δυναµικού είναι αναλυτική συνάρτηση (ισχύς εξισώσεων Cauchy-Riemann), εποµένως

)()( zUivux

ixdz

dF=−=

∂Ψ∂

+∂Φ∂

=Ψ+Φ∂∂

= (5.36)

Με επαλληλία για πολλά πηγάδια προκύπτει ότι η µιγαδική ταχύτητα u – iv (συζυγής της u + iv) του διανύσµατος της ταχύτητας U = (u,v) (υπό µορφή µιγαδικού αριθµού) είναι

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

39 2ο ΕΠΕΑΕΚ

U z u iv dFdz

Qz z

( ) ...= − = = −−

−−

− −−

221

πα πα πα. (5.37)

5.7 Πεδίο ταχυτήτων γύρω από ένα πηγάδι. Το πεδίο ταχυτήτων γύρω από ένα πηγάδι σε υδροφόρο υπό πίεση πάχους α, από το οποίο αντλούµε παροχή Q και χωρίς επίδραση στη γενίκευση βρίσκεται στην αρχή των αξόνων (0,0) είναι

)sin(cos2

)( θθπαπαπα

θ ir

Qer

QdzdFivuzU i −−=−=−==−= − .

Εποµένως

θπα

cos2 r

Qu −= και θπα

sin2 r

Qv −= . (5.38)

Λαµβάνοντας την ακτινική και εφαπτοµενική συνιστώσα της ταχύτητας (σε κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες, βλ. σχήµα 1.2) από τις παραπάνω σχέσεις έχουµε ότι

Qvuur παθ

παθ

παθθ

2sin

2cos

2sincos 22 −=−−=+= (5.39)

και

0cossin2

cossin2

cossin =−=+−= θθπα

θθπα

θθθ rQ

rQvuu . (5.40)

Εποµένως έχουµε µόνον ακτινική ροή µε κατεύθυνση προς το κέντρο του πηγαδιού, πράγµα που σηµαίνει ότι οι γραµµές ροής είναι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων, ενώ οι ισοδυναµικές γραµµές είναι οµόκενροι κύκλοι, όπως εξ’ άλλου φαίνεται και από τις εξισώσεις (5.27) και (5.28). Για το πεδίο ταχυτήτων γύρω από πηγάδι σε υδροφόρο υπό πίεση, δείτε επίσης τη ροή προς καταβόθρα (sink) στο παράρτηµα. Παράδειγµα 5.3. Στον απείρου πλάτους υδροφορέα υπό πίεση λειτουργούν συγχρόνως τα πηγάδια Α, Β, Γ και ∆ µε παροχές 25, 30, 25 και 30 l/s αντίστοιχα. Ο υδροφορέας έχει πάχος 30 m και η ροή είναι παντού υπό πίεση. Να προσδιοριστεί η ταχύτητα διήθησης του νερού στο σηµείο Ο.

Απάντηση

Η επίλυση του προβλήµατος θα γίνει µε χρήση του µιγαδικού δυναµικού. Έστω ότι το σύστηµα συντεταγµένων έχει κέντρο το σηµείο Ο και οι άξονές του είναι και άξονες των πηγαδιών (βλ. σχήµα). Εποµένως τα πηγάδια Α, Β, Γ και ∆ έχουν τα κέντρα τους στα σηµεία -120, 70, 120 και 70ii του µιγαδικού επιπέδου. Το µιγαδικό δυναµικό είναι εποµένως

Ο (0,0)

∆ (0,70)

Α(-120,0) Β(70,0) Γ (120,0)

QΑ QΒ QΓ

Q∆

120 70 50

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

40 2ο ΕΠΕΑΕΚ

)70log(2

)120log(2

)70log(2

)120log(2

)( izQ

zF BA −−−−−−+−= ∆Γ

παπαπαπα.

∆ιαφορίζοντας την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι

izQ

dzdFivu BA

701

21201

2701

21201

2 −−

−−

+−==− ∆Γ

παπαπαπα.

Η ταχύτητα διήθησης στο σηµείο (0,0) προκύπτει από την παραπάνω σχέση µε αντικατάσταση και απαλοιφή των µιγαδικών παρονοµαστών κατά τα γνωστά

u ivi

i x i

− = − + + + =

=−

+ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − = −−

0 02560

1120

0 03060

170

0 02560

1120

0 03060

170

160

0 025120

0 03070

0 025120

0 03070

0 0304200

1 2 27 10 16

. . . .

. ( ) . ( )

π π π π

Εποµένως u = v = 2.27x10-6 m/s και η ταχύτητα διήθησης προκύπτει από το διανυσµατικό άθροισµά τους που είναι U = 3.22x10-6 m/s.

5.8 Σύστηµα δύο πηγαδιών. Η ανάλυση του συστήµατος που αποτελείται από δύο πηγάδια είναι σηµαντική, επειδή µας εισάγει στην έννοια των ‘εικόνων’, που είναι πολύ σηµαντική αναφορικά µε την ανάλυση της ροής κοντά σε αδιαπέρατο σχηµατισµό, ή κοντά σε όριο σταθερής στάθµης. Είναι σηµαντικό εποµένως για τον σπουδαστή να µελετήσει το απλό αυτό πεδίο ροής διεξοδικά, επειδή θα τον βοηθήσει στην κατανόηση της ανάλυσης διδιάστατων πεδίων ροής, καθώς επίσης να λύσει πλήθος αποριών σχετικών µε την εφαρµογή της µιγαδικής ανάλυσης στην επίλυση της εξίσωσης του Laplace.

Σχήµα 1.3 ∆ύο πηγάδια σε υδροφορέα υπό πίεση. Έστω δύο πηγάδια που βρίσκονται στα σηµεία z = -b και z = b αντίστοιχα (σύστηµα αξόνων που µας βολεύει χωρίς επίδραση στη γενίκευση). Το µιγαδικό δυναµικό τότε γράφεται ως εξής

F zQ

z bQ

z b( ) log( ) log( )= − + − −1 2

2 2πα πα (5.41)

όπου είναι οι παροχές Q1 και Q2 που “αντλούνται” από τα πηγάδια 1 και 2 αντίστοιχα. ∆ηλαδή στην περίπτωση της άντλησης το Q θεωρείται συµβατικά ότι είναι θετικό, ενώ σε περίπτωση φόρτισης (εµπλουτισµού) αρνητικό.

zo = -b zo = +b

b b

r2r1

θ1θ2

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

41 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Το δυναµικό εποµένως του συστήµατος των δύο πηγαδιών είναι

Φ = − = − −KHQ

r11

222 2πα πα

ln ln

απ’ όπου προκύπτει µετά από ολοκλήρωση και εφαρµογή της οριακής συνθήκης ότι η πτώση στάθµης στο σηµείο z θα είναι (5.35)

KQHhh 2211

1 ln2

ln2 παπα

−−=−=∆ . (5.42)

όπου R είναι η ακτίνα επιρροής των πηγαδιών. Περίπτωση 1. (Q1 = Q2 = Q) Έστω ότι Q1 = Q2 = Q, τότε το µιγαδικό δυναµικό είναι

[ ]F z Q z b z b( ) log( ) log( )= − + + −2πα

απ’ όπου προκύπτει (z = x + iy)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++

−−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−==−

)()(2

211

riybx

riybxQ

bzbz

bzbzQ

dzdFivu

πα

παπα

δηλαδή

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

−−= 2

)()(2 r

bxr

bxQuπα

και ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= 2

12 ry

ryQv

πα. (5.43)

Εποµένως, στόν άξονα συµµετρίας των δύο πηγαδιών (r1 = r2 και x = 0) εύκολα προκύπτει ότι

0=u και 2rQyvπα

−= . (5.44)

∆ηλαδή το σηµείο (0,0) είναι σηµείο µηδενισµού της ροής (stagnation point) γενικότερα, και ο άξονας συµµετρίας των δύο πηγαδιών λειτουργεί σαν αδιαπέρατος τοίχος επειδή διαχωρίζει τη ροή ανάµεσα στα δύο πηγάδια, u(0,y) = 0. Επίσης, η πτώση της πιεζοµετρικής στάθµης κατά µήκος της µεσοκαθέτου (x = 0) δίνεται από τη σχέση

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−−=−=∆

KQHhh lnln

2ln

22211

1 παπαπα και είναι διπλάσια από αυτή που προκαλείται από ένα πηγάδι σε υδροφορέα υπό πίεση ο οποίος εκτείνεται στο άπειρο. Η µέγιστη πτώση της στάθµης συµβαίνει στο σηµείο (0,0) και είναι

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=∆

KQHhh ln)0,0(max 1 πα

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

42 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Σχήµα 5.4 Πεδίο ροής (γραµµές ροής) δύο πηγαδιών σε υδροφορέα υπό πίεση από τα

οποία αντλούµε ίσες παροχές. Περίπτωση 2. (Q2 = - Q1 = - Q) Έστω ότι Q2 = - Q1 = - Q, τότε

[ ]F z Q z b z b( ) log( ) log( )= + − −2πα

απ’ όπου προκύπτει

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−

−−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

−

−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+−

−−==−

)()(2

211

riybx

riybxQ

bzbz

bzbzQ

dzdFivu

πα

παπα

και εποµένως στόν άξονα συµµετρίας των δύο πηγαδιών όπου r1 = r2 και x = 0 εύκολα βλέπουµε ότι

2rQbuπα

= και 0=v . (5.45)

Εποµένως το σηµείο (0,0) δεν είναι σηµείο µηδενισµού της ροής. Η στάθµη κατά µήκος του άξονα Oy είναι σταθερή επειδή r1 = r2 = r και Q1 = Q, Q2 = -Q.

0ln2

ln21 =+−=−=∆

KQHhh

παπα (5.46)

Εποµένως, ο άξονας Oy λειτουργεί σαν όριο του υδροφόρου µε σταθερή στάθµη, αυτή του αδιατάρακτου πεδίου ροής ή στάθµη ηρεµίας του υδροφορέα υπό πίεση (Η = h1). Από τις παραπάνω δύο περιπτώσεις που µελετήσαµε συνάγονται τα εξής σηµαντικά συµπεράσµατα:

1. Σε σύστηµα δύο πηγαδιών από τα οποία αντλούµε την ίδια παροχή, (α) η µεσοκάθετος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει λειτουργεί σαν διαχωριστική επιφάνεια του πεδίου ροής και (β) κατά µήκος της µεσοκαθέτου η πτώση στάθµης που προκαλείται είναι διπλάσια απ’ αυτή που προκαλείται από τη λειτουργία του ενός πηγαδιού.

2. Σε σύστηµα δύο πηγαδιών στο ένα από τα οποία αντλούµε µια παροχή ενώ εµπλουτίζουµε το άλλο µε την ίδια παροχή, (α) η πτώση στάθµης στη µεσοκάθετο

zo= -b zo= b x

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

43 2ο ΕΠΕΑΕΚ

του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει έχει σταθερή στάθµη, αυτή του αδιατάρακτου πεδίου ροής και (β) η κατά µήκος της µεσοκαθέτου συνιστώσα της ταχύτητας ροής είναι µηδενική.

Σχήµα 5.5 Πεδίο ροής (γραµµές ροής) δύο πηγαδιών σε υδροφορέα υπό πίεση, από το

πηγάδι δεξιά αντλούµε παροχή ίση µε αυτή που εµπλουτίζουµε το πηγάδι αριστερά.

Παράδειγµα 5.4

∆ύο πηγάδια µε ακτίνα ro = 0.15m που βρίσκονται στις κορυφές του τριγωνικού οικοπέδου του σχήµατος, διατρυπούν πλήρως υδροφόρο υπό πίεση πάχους α = 25m, που έχει υδραυλική αγωγιµότητα Κ = 5x10-5m/s. Εάν η παροχή που αντλούµε από κάθε πηγάδι είναι Q=5l/s, η πιεζοµετρική στάθµη ηρεµίας h1 = 40m και η ακτίνα επιρροής των πηγαδιών R=1000m: (1) Να προσδιορίσετε το πεδίο ροής (συνάρτηση δυναµικού και ροϊκή συνάρτηση) του συστήµατος των δύο πηγαδιών.

(0,50)

(100,0)

x(0,0)

θ1

θ2

zo= -b zo= b

γραµµή ροής

-Q +Q

Πιεζοµετρική στάθµη Στάθµη ηρεµίας

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

44 2ο ΕΠΕΑΕΚ

(2) Να γράψετε την εξίσωση του πεδίου ταχυτήτων και τις δύο συνιστώσες του. (3) Να γράψετε την εξίσωση των ισοπιεζοµετρικών γραµµών. (4) Στο σηµείο (100, 0): Ποια είναι η πιεζοµετρική στάθµη, η αντίστοιχη εξίσωση της ισοπιεζοµετρικής γραµµής και η ταχύτητα διήθησης; (5) Ποιά είναι η πιεζοµετρική στάθµη στα σηµεία (0,0) και (0,50); Απάντηση (1) Θεωρούµε z1 και z2 τις συντεταγµένες των δύο πηγαδιών όπου z1 = 0 + 0i = 0 z2 = 0 + 50i = 50i. Το µιγαδικό δυναµικό σε ένα σηµείο z του επιπέδου είναι

( )

( ) ( ) ( ) ( ).2

log2

)50log()log(2

)log(2

)(

21212211

θθπαπα

θπα

παπαπα

+−−=+−+−=

−+−=−−−−=

QirrQirQirQ

izzQzzQzzQzF

Εποµένως η συνάρτηση δυναµικού είναι

( )21ln2

rrQKHπα

−=−=Φ

και η ροϊκή συνάρτηση

( )212θθ

πα+−=Ψ

Q .

(2) Η εξίσωση του πεδίου ταχυτήτων προκύπτει από τη σχέση

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+

−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−==− 2

)50(250

112 r

yixr

iyxQizz

QdzdFivu

παπα

απ’ όπου προκύπτει ότι

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

112 rrQxuπα

και ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−= 2

502 r

yryQv

πα.

(3) Η εξίσωση των ισοπιεζοµετρικών γραµµών δίδεται από τη σχέση

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= 2

211

211 ln

2lnln

2 Rrr

KQh

KQhH

παπα.

(4) Στο σηµείο (100,0) η πιεζοµετρική στάθµη δίδεται από τη σχέση

.14.3786.240

100050100100ln

)105(25)2(005.040ln

2 2

5221

xxxxR

rrK

QhH

=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= −ππα

Η εξίσωση της ισοπιεζοµετρικής γραµµής από το σηµείο (100,0) δίδεται από τη σχέση

( ) .76.5726895.10ln

86.21000

ln14.371000

ln6366.040ln2

14.37

2121

221

=⇒=

⇒−=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

rrrr

rrrrRrr

KQhπα

Η ταχύτητα διήθησης στο σηµείο (100,0) προκύπτει από τις σχέσεις

( ) ( ) smxxx

rrQxu /1073.5

501001

1001

252100)005.0(11

22222

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

ππα

και

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

45 2ο ΕΠΕΑΕΚ

./1027.150100

500100

025)2(

005.0 7222 smx

xv −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+−=π

δηλαδή smxvu /1087.5 722 −=+=υ

µε διεύθυνση θ = 180ο – arctan(1.27/5.87) = 167.50o.

(5) Η πιεζοµετρική στάθµη στα σηµεία (0,0) και (0,50) προκύπτει από τις σχέσεις Σηµείο (0,0), r1 = 0.15m, r2 = 50m:

.56.2944.10401000

5015.0ln)105(25)2(

005.040ln2 252

211

xxxxR

rrK

QhH

=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= −ππα

Σηµείο (0,50), r1 = 50m, r2 = 0.15m:

.56.2944.10401000

5015.0ln)105(25)2(

005.040ln2 252

211

xxxxR

rrK

QhH

=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= −ππα .

5.9 Μέθοδος των εικόνων Έστω ότι έχουµε ένα πηγάδι κοντά (εντός ακτίνας επιρροής) σε ένα βράχο που θεωρείται ότι είναι ένας αδιαπέρατος εδαφικός σχηµατισµός. Θα επιχειρήσουµε να εξετάσουµε το πεδίο ροής κάτω από την επίδραση του βράχου, δεδοµένου ότι ο χώρος γύρω από το πηγάδι δεν εκτείνεται πλέον στο άπειρο αλλά περιορίζεται από ένα αδιαπέρατο µέτωπο. Στο µέτωπο αυτό, για να µπορέσουµε να επιλύσουµε την εξίσωση του Laplace, θα πρέπει να ικανοποιείται η οριακή συνθήκη,δηλαδή η κάθετη ταχύτητα να είναι µηδενιή, η δε επιφάνεια του κατακόρυφου αδιαπέρατου µετώπου να είναι µια γραµµή ροής. Με βάση την περίπτωση 1 που εξετάσαµε στην προηγούµενη παράγραφο, αν υπάρχει κατακόρυφο αδιαπέρατο στρώµα σε απόσταση b από τη γεώτρηση, η κάθετη ταχύτητα µηδενίζεται ενώ δεν υπάρχει µεταφορά µάζας δια µέσου της διαχωριστικής επιφάνειας. Για να λύσουµε το παραπάνω πρόβληµα θα πρέπει να ικανοποιείται η οριακή συνθήκη στο αδιαπέρατο όριο, δηλαδή η πτώση στάθµης να είναι διπλάσια αυτής όταν ο υδροφόρος εκτείνεται στο άπειρο και να µηδενίζεται εκεί η κάθετη ταχύτητα. Τοποθετώντας την εικόνα του πηγαδιού συµµετρικά ως προς το αδιαπέρατο στρώµα σε απόσταση -b από το οποίο αντλείται παροχή Q, το σύστηµα των δύο πηγαδιών ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες στό όριο, στο άπειρο και στο ‘ανώµαλο’ (irregular) σηµείο άντλησης. Σε περίπτωση που αντί για αδιαπέρατο σχηµατισµό σε απόσταση b από το πηγάδι υπάρχει δεξαµενή σταθερής στάθµης (π.χ. µια λίµνη), τότε στην εικόνα του πηγαδιού σε απόσταση -b εισάγω παροχή Q (εµπλουτίζω). Με βάση την περίπτωση 2 οι οριακές συνθήκες πληρούνται στο όριο της δεξαµενής (σταθερή στάθµη), στο άπειρο και το ανώµαλο σηµείο άντλησης (πηγάδι).

uvυ

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

46 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Σχήµα 5.6 Πεδίο ροής (γραµµές ροής) πηγαδιού σε υδροφορέα υπό πίεση κοντά σε

αδιαπέρατο όριο. Στην περίπτωση που υπάρχει αδιαπέρατος σχηµατισµός σε απόσταση b από το πηγάδι, η ταχύτητα κατά µήκος του άξονα Oy θα είναι (εξίσωση 1.34α)

2222 ,00)()(2 r

yQvuryQi

riybx

riybxQivu

παπαπα==⇒+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −++

−−−=− .

Στην περίπτωση που υπάρχει δεξαµενή µε σταθερή στάθµη σε απόσταση b από το πηγάδι, η ταχύτητα κατά µήκος του άξονα Oy θα είναι (εξίσωση 1.35)

0,0)()(2 2222 ==⇒+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+−

−−−=− v

rbQui

rbQ

riybx

riyibxQivu

παπαπα,

και η πτώση στάθµης (εξίσωση 1.36)

0ln2

ln21 =+−=−=∆

KQHhh

παπα.

Σχήµα 5.7 Πεδίο ροής (γραµµές ροής) πηγαδιού σε υδροφορέα υπό πίεση κοντά σε

δεξαµενή σταθερής στάθµης. Παράδειγµα 5.5. Να προσδιορίσετε το πεδίο ροής και τη στάθµη του πιεζοµέτρου, όταν η παροχή που αντλούµε από πηγάδι που βρίσκεται σε ορθή γωνία µε αδιαπέρατα τοιχώµατα σε υδροφόρο πάχους α υπό πίεση, είναι Q. ∆εδοµένα: Q, Κ, α, οι συντεταγµένες του πηγαδιού (xo,yo)

zo=-b zo= b

zo= -b zo= b

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

47 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Σχήµα 5.8 Πηγάδι σε υδροφορέα υπό πίεση κοντά σε αδιαπέρατο όριο που

σχηµατίζει ορθή γωνία. Απάντηση Θεωρούµε τις εικόνες του πηγαδιού ως προς τους άξονες x και y και την εικόνα των εικόνων είτε ως προς τον άξονα x είτε ως προς τον y, όπως φαίνεται στο σχήµα. Επειδή έχουµε αδιαπέρατα όρια και ως προς τους δύο άξονες, θα υπάρχει άντληση και από τις τρεις εικόνες. Το µιγαδικό δυναµικό µε την µέθοδο των εικόνων είναι

[ ])log()log()log()log(2

)log(2

)( 0000

zzzzzzzzQzzQ

zF ii

++++−+−−

=−−= ∑= παπα

και παραγωγίζοντας προκύπτει το πεδίο ταχυτήτων ( zz z= 2 ) και µε βάση τις σχέσεις

)()()( ooooo yyixxiyxiyxzz −−−=−−−=−

)()()( ooooo yyixxiyxiyxzz +−−=+−−=−

)()()( ooooo yyixxiyxiyxzz +−+=−+−=+

)()()( ooooo yyixxiyxiyxzz −−+=++−=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−++

+−++

+−−+

−−−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

−−==−=

0000

)()()()(2

11112

)(

ryyixx

ryyixxQ

zzzzzzzzQ

dzdFivuzU

oooooooo

πα

απ’ όπου προκύπτει ότι

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

−+

−−= 2

12 rxx

rxx

rxxQ

u oooo

πα

και

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−= 2

)()()()(2 r

yyr

yyQv oooo

πα.

Το πεδίο ταχυτήτων πρέπει να ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες, εποµένως θα πρέπει

-zo=(-xo, yo)

y zo=(xo,yo)

zo=(xo,-yo)-zo=(-xo,-yo)

θ3 θ2

θ4

θ1

Q Q

r2r3

Q Q

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

48 2ο ΕΠΕΑΕΚ

κατά µήκος του άξονα Οx να είναι v = 0, ενώ κατά µήκος του Oy να είναι u = 0. Άξονας Οx: Ισχύει ότι y = 0, r1 = r2 και r3 = r4, εποµένως

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

−= 2

1 rxx

rxxQ

u oo

πα και 0=v .

Άξονας Οy: Ισχύει ότι x = 0, r1 = r4 και r2 = r3, εποµένως

0=u και ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

−= 2

1 ryy

ryyQ

v oo

πα.

Στο σηµείο (x, y) = (0, 0) προκύπτει ότι u = 0, v = 0! Η στάθµη του υδροφόρου σε τυχόν σηµείο προκύπτει από τη σχέση

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++=+= ∑

44321

43211

ln2

lnlnlnln2

ln2

Rrrrr

KQh

KQhH

πα

παπα.

Παράδειγµα 5.6. Να προσδιορίσετε το πεδίο ροής (συνάρτηση δυναµικού και ροϊκή συνάρτηση) και τη στάθµη του πιεζοµέτρου σε κάποιο σηµείο στον κώνο επιρροής ενός πηγαδιού, που βρίσκεται σε ορθή γωνία µε αδιαπέρατο τοίχωµα αριστερά και λίµνη κατά µήκος του οριζόντιου άξονα, σε υδροφόρο πάχους α υπό πίεση, όταν αντλείται παροχή Q. ∆εδοµένα: Q, Κ, α, οι συντεταγµένες του πηγαδιού (xo,yo) και του σηµείου ενδιαφέροντος (x,y).

Να δείξετε επίσης ότι στο αδιαπέρατο όριο η κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας είναι µηδενική ενώ στο όριο της λίµνης υπάρχει µόνο κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας (ικανοποίηση οριακών συνθηκών).

Υπόδειξη: Για την επίλυση του προβλήµατος θα χρησιµοποιηθεί η µέθοδος των εικόνων. Η εικόνα του πηγαδιού ως προς το αδιαπέρατο τοίχωµα είναι ένα πηγάδι από το οποίο αντλούµε παροχή Q. Η εικόνα του πηγαδιού ως προς το όριο της λίµνης που έχει σταθερή στάθµη είναι ένα πηγάδι το οποίο εµπλουτίζουµε µε παροχή -Q.

-zo=(-xo, yo)

y zo=(xo,yo)

zo=(xo,-yo) -zo=(-xo,-yo)

θ3θ2

θ4

θ1

Λίµνη

-Q -Q

Q Q

r2r3

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

49 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Η εικόνα του πηγαδιού (4) ως προς τη λίµνη, είναι ένα πηγάδι εµπλουτισµού µε παροχή -Q. Το µιγαδικό δυναµικό γράφεται εποµένως

[ ][ ]

F zQ

z z Q z z z z z z z z

Q r r r r i Qi

ii( ) log( ) log( ) log( ) log( ) log( )

ln ln ln ln ( )

= − − = − − − − − + + +

= − − − + − − − +

=∑

0 0 0 0

1 2 3 4 1 2 3 4

2 2

πα πα

πα παθ θ θ θ

Τα υπόλοιπα αφήνονται για εξάσκηση του σπουδαστή.

Παράδειγµα 5.7. Πηγάδι εµπλουτισµού διαµέτρου 0.30m χρησιµοποιείται για τη διάθεση επεξεργασµένων αποβλήτων ενός βυρσοδεψείου που απέχει 100m από την ακτή. Η διάθεση γίνεται στον οριζόντιο υδροφόρο υπό πίεση, πάχους 20m, µε υδραυλική αγωγιµότητα K = 10-4 m/s και πορώδες n = 0.30. Εάν η παροχή των αποβλήτων είναι 10 l/s: (α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ροής (συνάρτηση δυναµικού και ροϊκή συνάρτηση) της περιοχής γύρω από το πηγάδι ως τη θάλασσα και να χαράξετε σχηµατικά τις γραµµές ροής και τις ισοδυναµικές γραµµές. (β) Να βρείτε τις συνιστώσες του πεδίου ταχυτήτων. (γ) Να υπολογίσετε τη στάθµη του νερού στο πηγάδι εµπλουτισµού αν η ακτίνα επιρροής του πηγαδιού είναι 1000 m. (δ) Να υπολογίσετε το συντοµότερο χρόνο που χρειάζεται το νερό από το βυρσοδεψείο να φθάσει την ακτή. Θεωρείστε ότι η ακτή είναι κατακόρυφη όπως στο σχήµα. Υπόδειξη: Για το ερώτηµα (δ), η πραγµατική ταχύτητα ροής είναι διαφορετική από την ταχύτητα διήθησης.

Αδιαπέρατο

Αδιαπέρατο30m

100 m

Ακτογραµµή

z1= 100 z2 = -100

-QQ

θ1 θ2

r1 r2

Π.Γ

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

50 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Απάντηση (α) Επειδή υπάρχει γειτνίαση µε τη θάλασσα (όριο µε σταθερή στάθµη) θα πρέπει να θεωρήσουµε την εικόνα του πηγαδιού εµπλουτισµού παροχής -Q σε σχέση µε την ακτογραµµή, που είναι ένα πηγάδι άντλησης παροχής Q (για να διατηρηθεί σταθερή η στάθµη στην ακτογραµµή). Το µιγαδικό δυναµικό εποµένως των δύο πηγαδιών είναι

( ) ( ) Ψ+Φ=−+−=

+−−=−−−−=

iQirrQ

zQzQzzQ

zzQ

2121

2loglog

)100log(2

)log(2

)(

θθπαπα

παπαπαπα

Εποµένως

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Φ

1ln2 r

rQπα

και ( )212θθ

πα−=Ψ

Οι ισοδυναµικές και οι γραµµες ροής φαίνονται στο σχήµα (η ακτογραµµή είναι ισοδυναµική γραµµή). (β) Το πεδίο ταχυτήτων προκύπτει από τη συνάρτηση δυναµικού

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

==−=

1001002

112

)(

riyx

riyxQ

zzzzQ

dzdFivuzU

πα

Εποµένως

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−= 2

1001002 r

xQuπα

και ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 2

112 rrQyvπα

Κατά µήκος της ακτογραµµής r1 = r2 και εποµένως v = 0! (γ) Η στάθµη του νερού στο πηγάδι εµπλουτισµού είναι

mxK

QRR

KQHhh o

72.51000

1002ln21000

15.0ln2

1002ln2

ln21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−=∆

παπα

Εποµένως, Η = h1 +5.72 = 35.72 m.

(δ) Η συντοµότερη διαδροµή προς την ακτή συµπίπτει µε τον άξονα Ox. Το νερό θα κινείται µε την πραγµατική ταχύτητα ux = u/n. Όµως

dtdx

xxnQ

nuux −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−== 22 100

10022100

11001

2 παπα.

Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση προκύπτει

( ) TnQxxdt

nQdxx

παπα100100

3100100

100

22 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⇒−=− ∫∫

απ’ όπου προκύπτει ότι

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

51 2ο ΕΠΕΑΕΚ

2100232

QnT πα

= =12.56x106 s = 145.44 ηµέρες.

Σηµείωση: Η πιεζοµετρική γραµµή πάνω στον άξονα που συνδέει το πηγάδι µε την εικόνα του προκύπτει από τη σχέση

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−=

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−=∆

KQhH

KQHhh

100100ln

2100ln

πα

παπαπα ,

όπου 0 < x < 100-Ro.

5.10 Παροχή πηγαδιού σε υδροφορέα υπό πίεση.

Aφαιρώντας τις εξισώσεις (1.22), (1.23) κατά µέλη προκύπτει ότι

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

oo R

Qhh ln21 πα

, (5.47)

η δε παροχή προκύπτει από τη σχέση

QK h h

R Ro

=−2 1π α ( )

ln( / ) (5.48)

όταν είναι γνωστή η πιεζοµετρική στάθµη στη γεώτρηση και πολύ µακριά απ’ αυτή.

Παράδειγµα 5.8. Ο ιδιοκτήτης του κτήµατος (βλ. σχήµα) χρειάζεται παροχή 0.007 m3/s από τον απείρων πρακτικά διαστάσεων υδροφορέα υπό πίεση του σχήµατος. Ζητείται ο ελάχιστος αριθµός πηγαδιών που πρέπει να γίνουν στο κτήµα για να αντλείται η ζητούµενη παροχή, χωρίς να δηµιουργείται ελεύθερη επιφάνεια σε κανένα σηµείο του υδροφορέα. ∆εδοµένα: Ακτίνα πηγαδιού R1 = 0.10 m, ακτίνα επιρροής R = 1500 m, πάχος υδροφορέα α = 30 µ, Κ = 10-5 m/s και Η = 50 m.

H ho h1

R r Ro

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

52 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Απάντηση

Η µέγιστη παροχή που µπορεί να αντληθεί από ένα πηγάδι χωρίς η στάθµη του να κατεβεί χαµηλότερα από α = 30 m (∆h = 50 – 30 = 20 m) είναι

∆∆h H h Q

KRR

Q K hRR

o= − = − ⇒ =2

1παπαlnln

=0.00392 m3/s.

Πρέπει εποµένως να κατασκευαστούν τουλάχιστον δύο πηγάδια, που θα τοποθετηθούν στις άκρες µιας διαγωνίου του κτήµατος (γιατί;) µήκους 250 m. Εάν από κάθε πηγάδι αντλούµε 0.0035 m3/s, τότε (αν η στάθµη του πηγαδιού είναι µεγαλύτερη από 30 m) η ελάχιστη πτώση στάθµης που θα παρουσιαστεί στο µέσον της απόστασής τους θα είναι

∆h H h QK

LRm= − = −

22 2πα

ln = 9.23 m.

Η πτώση στάθµης των γεωτρήσεων προκύπτει από επαλληλία και είναι

=−−=∆RL

KQh ln

2ln

παπα21.18 m > 20 m.

Εποµένως η στάθµη στα πηγάδια θα βρίσκεται οριακά κάτω από το άνω αδιαπέρατο όριο του υδροφορέα. ∆ηλαδή θα πρέπει να ανοιχτεί και τρίτο πηγάδι σε µια άλλη γωνία του κτήµατος.

Παράδειγµα 5.9. Να υπολογίσετε τη µέγιστη συνολική παροχή που µπορεί να αντληθεί από τις δύο γεωτρήσεις του σχήµατος χωρίς να δηµιουργηθεί ελεύθερη επιφάνεια σε κανένα σηµείο του υδροφορέα.

∆εδοµένα: h = 80 m, α = 50 m

R1 = 10cm, R2 = 20 cm, b = 120m

K = 7x10-5 m/s

R = 1800m (ακτίνα επιρροής).

200m

150m

ΚάτοψηΤοµή

α Η

ΚL

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

53 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Απάντηση

Θα πρέπει η πιεζοµετρική στάθµη σε µια από τις γεωτρήσεις να βρίσκεται στο άνω αδιαπέρατο όριο, δηλαδή να είναι h1 είτε h2 = α = 50 m. Εάν οι αντλούµενες παροχές από τις γεωτρήσεις (1) και (2) είναι Q1 και Q2 αντίστοιχα, ισχύει ότι

∆h h HQK

= − = − −1 1 2 2

2 2πα παln ln

h είναι η στάθµη ηρεµίας σε απόσταση R από το κάθε πηγάδι και H είναι η στάθµη σε απόσταση ri από το κάθε πηγάδι. Αν η στάθµη του νερού στην παρειά της γεώτρησης (1) είναι α τότε

∆h hQK

bR1

1 1 2

2 2= − = − −α

πα παln ln .

Αν η στάθµη του νερού στην παρειά της γεώτρησης (2) είναι α τότε

∆h hQK

RR2

1 2 2

2 2= − = − −α

πα παln ln .

Σε περίπτωση που αντλούµε µόνο από τη γεώτρηση (1), η µέγιστη παροχή που µπορούµε να αντλήσουµε είναι

RRKQh /0674.0

80.966.0

6030 3

111 ==

−=⇒=∆

πα .

Όµοια, σε περίπτωση που αντλούµε µόνο από τη γεώτρηση (2), η µέγιστη παροχή που µπορούµε να αντλήσουµε είναι

RRKQh /0725.0

105.966.0

6030 3

212 ==

−=⇒=∆

πα .

Αντλώντας και τις δύο γεωτρήσεις, σε περίπτωση που η πτώση της στάθµης στη γεώτρηση (1) είναι ∆h1 = 30m (η µέγιστη επιτρεπόµενη) ισχύει

∆hQK

m Q Q11 1 2

1 22 230 44555 12314= − − ⇒ = +

πα παln ln . .

και στη γεώτρηση (2) η µέγιστη παροχή που δίνει ∆h = 30m δίδεται από την εξίσωση

αh

R1 R2

(2)(1)

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

54 2ο ΕΠΕΑΕΚ

∆hQK

m Q Q21 2 2

1 22 230 12314 414 03= − − ⇒ = +

πα παln ln . . .

Από την επίλυση του παραπάνω συστήµατος µε αγνώστους τις παροχές Q1 και Q2 συµπεραίνουµε ότι πρέπει να αντλούµε 108.7 l/s και από τις δύο γεωτρήσεις (Q1= 51.5 l/s από την 1 και Q2 = 57.1 l/s από τη 2 ).

Παράδειγµα 5.10. ∆ίδονται τρία πηγάδια σε περιορισµένο υδροφορέα πάχους Τ που κατεβαίνουν µέχρι τον αδιαπέρατο πυθµένα. Τα πηγάδια βρίσκονται σε ευθεία και απέχουν απόσταση L µεταξύ τους.

(α) Να χαράξετε την πιεζοµετρική γραµµή των πηγαδιών κατά µήκος του επιπέδου που περνάει από τους 3 άξονες.

(β) Ποια είναι η πτώση στάθµης σε κάθε πηγάδι όταν η παροχή που αντλείται στο καθένα από αυτά είναι Q;

(γ) Ποια είναι η συνολική παροχή άντλησης και από τα τρία πηγάδια σαν συνάρτηση του ∆Η1, Τ, R, rο και L; ∆εδοµένα: Q, h1, L, ro, R και ορίζουµε ∆Η1 = h1 - hο.

Απάντηση

Στο σχήµα που ακολουθεί µε διακεκοµµένη γραµµή φαίνεται η καµπύλη κατάπτωσης του καθενός πηγαδιού ξεχωριστά, ενώ µε συνεχή γραµµή η συνισταµένη καµπύλη κατάπτωσης.

(α) Για τον προσδιορισµό της πιεζοµετρικής γραµµής κατά µήκος του επιπέδου των αξόνων των πηγαδιών θα εφαρµόσουµε την αρχή της επαλληλίας (προκειµένου περί γραµµικού προβλήµατος).

Η πτώση στάθµης σε απόσταση rk λόγω άντλησης Qk από το πηγάδι k, θα είναι

∆h h HQTK

rrk k

k k

= − = −1 2πln

και η συνισταµένη πτώση στάθµης λόγω άντλησης και των τριών πηγαδιών

Th1

ro ro

(3)(1)

(2)

Q Q Q

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

55 2ο ΕΠΕΑΕΚ

∆h h HQTK

QTK

rRk

k k

k= − = − = − + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∑ ∑( ) ln ln ln ln11

3 31 2 3

21 2π π.

(β) Ακραία πηγάδια:

∆ ∆h h QTK

QTK

RL r

o1 3

222

2 2= = − + +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥=

π πln ln ln ln .

∆ηλαδή η πτώση της στάθµης στα ακραία πηγάδια, είναι αυτή ενός πηγαδιού µε άντληση παροχής Q, αλλά µε ακτίνα επιρροής R3/2L2.

Μεσαίο πηγάδι:

∆h QTK

QTK

RL r

222

2= − +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥=

π πln ln ln .

∆ηλαδή η πτώση της στάθµης στο µεσαίο πηγάδι, είναι αυτή ενός πηγαδιού µε άντληση παροχής Q, αλλά µε ακτίνα επιρροής R3/L2.

(γ) Από την εξίσωση της πτώσης της στάθµης ενός ακραίου πηγαδιού, προσδιορίζουµε την παροχή Q σαν συνάρτηση των δεδοµένων µεταβλητών, Η συνολική παροχή είναι

Q QTK h

RL r

total

= =36

π ∆

ln.

5.11 Πηγάδι σε υδροφορέα υπό πίεση µε οµοιόµορφη ροή. Στον υδροφορέα υπάρχει κλίση πίεσης µε αποτέλεσµα να δηµιουργείται οµοιόµορφη ροή. Σε περίπτωση που αντλούµε ή εµπλουτίζουµε από πηγάδι, τότε το πεδίο ροής προκύπτει από την επαλληλία των δύο διαφορετικών γραµµικών πεδίων. Το µιγαδικό δυναµικό του πεδίου ροής για πηγάδι στη θέση z = 0, θα είναι

Ψ+Φ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

+−=

iUrQiUrrQ

UzzQzF

θθπα

θπα

πα

sin2

cosln2

log2

)( (5.49)

απ’ όπου προκύπτει ότι

θπα

cosln2

UrrQKh +−=−=Φ (5.50)

και

θθπα

sin2

UrQ+−=Ψ (5.51)

Το πεδίο ταχυτήτων προκύπτει από την παράγωγο του δυναµικού

Qdz

zdFivu +−==−1

2)(

πα (5.52)

και οι συνιστώσες της ταχύτητας είναι

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

56 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Qu +−= θπα

cos12

και θπα

sin12 rQv = (5.53)

Η ταχύτητα u µηδενίζεται στο σηµείο

0,2

== θπα U

Qr . (5.54)

Από το σηµείο αυτό διέρχεται η γραµµή ροής Ψ = 0. Το σχήµα που ακολουθεί είναι από ένα παράδειγµα άντλησης1 από πηγάδι σε υδροφόρο υπό πίεση πάχους 30, µε οµοιόµορφη ροή 2.43x10-5 µ/δλ και παροχή άντλησης 7λ/δλ. Οι εξισώσεις των γραµµών ροής προέκυψαν από επαλληλία των γραµµών ροής µιάς καταβόθρας Ψw και της οµοιόµορφης ροής Ψu Ψ = Ψw + Ψu. (5.55)

1 RJM De Wiest, (1965). Geohydrology. John Wiley & Sons, 366 pp. (Παράγραφος 6.5)

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

57 2ο ΕΠΕΑΕΚ

5.12 Τάφρος σε υδροφορέα υπό πίεση.

Θεωρούµε οριζόντιο υδροφορέα υπό πίεση ανάµεσα σε δύο τάφρους µε στάθµες νερού h1 και ho εκατέρωθεν. Η (ανά µονάδα πλάτους) παροχή q που µεταφέρεται (Darcy) είναι

adxdHKaHuq −== )( .

Με ολοκλήρωση προκύπτει ότι η πιεζοµετρική στάθµη σε απόσταση x είναι

KaqxhxHhHKaqxKadHqdx −=→−−=⇒−= 11 )()( . (5.56)

Σε περίπτωση που ολοκληρώσουµε τη διαφορική εξίσωση από x έως l, θα προκύψει η σχέση

KaxlqhxH o)()( −

+= . (5.57)

h1 ho

x x

u αΗ

Υπόγεια Υδραυλική © Π.Ν. Παπανικολάου 6ο Εξάµηνο Πολ. Μηχανικών

58 2ο ΕΠΕΑΕΚ

6. ΡΟΗ ΣΕ Υ∆ΡΟΦΟΡΟ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε σαν ειδική απόδοση Sy (specific yield) τη διαφορά µεταξύ του πορώδους και της ειδικής κατακράτησης Sr Sy = n -Sr. (6.1)

Ορισµός: Εµφανής ειδική απόδοση Sya (apparent specific yield, ή ενεργό πορώδες) ορίζεται ότι είναι ο όγκος νερού που προστίθεται ή αφαιρείται απ’ ευθείας από κορεσµένο υδροφόρο σαν αποτέλεσµα της µεταβολής του όγκου νερού του υποκείµενου υδροφόρου.

Έστω ότι στον υδροφόρο η στάθµη της ελεύθερης επιφάνειας κατά τις χρονικές στιγµές t και t+dt είναι h και h+dh αντίστοιχα. Ο οριζόντιος πυθµένας είναι ηµιπερατός µε κατακόρυφη ταχύτητα εκροής wo και ότι υπάρχει εισροή στην ελεύθερη επιφάνεια από βροχόπτωση ε (m3/m2/s ή m/s).

6.1 Παραδοχές Dupuit-Forchheimer (Προσεγγιστικό µαθηµατικό οµοίωµα Boussinesq)

Στο εδαφικό στοιχείο (βλ. σχήµα) που µελετούµε θεωρούµε ότι ισχύουν οι παραδοχές:

(1) Η κλίση της ελεύθερης επιφάνειας είναι µικρή και εποµένως

),(),( fxx zxuzxu = και (6.2)

(2) H συνάρτηση δυναµικού Φ(x,y,z,t) γράφεται σε σειρά Taylor γύρω από τη στάθµη h

2)()(),,,(),,,( hzOhzz

thyxtzyxhz

−+−∂Φ∂

+Φ=Φ=

. (6.3)

Θεωρώντας ότι η στάθµη της ελεύθερης επιφάνειας είναι zf = h, από τη σχέση Φ+Κzf = 0 στην ελεύθερη επιφάνεια προκύπτει ότι

thyxz f),,,(Φ

−= (6.4)

(παραδοχή Boussinesq).

h+dh

z y

t+dt

Qx Qx+dQx

dhh

59 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Η ανά µονάδα πλάτους παροχή νερού µέσα από την επιφάνεια στοιχείου κάθετη στην κατεύθυνση x θα είναι

fffxx zxhKzzxuQ∂∂

−== ),( . (6.5)

Αλλά

fzzgph =+=ρ

στην ελεύθερη επιφάνεια όπου η πίεση είναι ατµοσφαιρική. Εποµένως

hxhKzzxuQ ffxx ∂∂

−== ),( . (6.6)

Η µεταβολή του όγκου του νερού d∀/dt στο εδαφικό στοιχείο θεωρώντας ότι το νερό είναι ασυµπίεστο θα είναι

yxyxwyy

yxthS

t oyx

ya ∆∆+∆∆−∆+∆=∆∆=∀ ε

∂∂

∂∂ (6.7)

Αλλά (εφαρµόζοντας τις παραδοχές Dupuit-Forchheimer, ότι δηλαδή η κλίση της ελεύθερης επιφάνειας είναι µικρή και η στάθµη της βρίσκεται κοντά σε µια µέση στάθµη και ότι η οριζόντια ταχύτητα είναι σταθερή καθ’ ύψος)

( )

( ) xhhKy

nxhy

nQy

yhhKx

nyhx

nQx

QQdQQQxnvhQ

QQdQQQynuhQ

yyyyyyy

xxxxxxx

∆−=∆Φ

=⇒Φ

∆−=∆Φ

=⇒Φ

∆∂

∂+=+=∆=

∆∂∂

+=+=∆=

∆+

∂∂

(6.8)

και η εξίσωση συνέχειας γίνεται

Υποθετική γραµµή σταθερού φορτίου

Πραγµατική γραµµήσταθερού φορτίου

Επίπεδο αναφοράς

Υποθετική κατανοµή ταχύτητας

60 2ο ΕΠΕΑΕΚ

εκροη=∆∂

∂+∆

∂∂

=+ yy

dQdQ yxyx (6.9)

απ’ όπου προκύπτει ότι

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∆∆ yhhK

yxhhK

xyx yx ∂∂

∂∂

∂∂εκροη (6.10)

δηλαδή ότι

thSw

yhhK

yxhhK

x yaoyx ∂∂ε

∂∂

=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ (6.11)

όπου η µεταβολή όγκου του νερού σχετίζεται µε το ενεργό πορώδες και τις εισόδους εξόδους µε τη σχέση

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

∆∆=

∀oya w

thS

yxtε

∂∂

∂∂ 1 . (6.12)

H εξίσωση αυτή ονοµάζεται εξίσωση Boussinesq και έχει το πλεονέκτηµα σε σχέση µε το ακριβές οµοίωµα ότι δεν εφαρµόζεται καµµία οριακή συνθήκη ελεύθερης επιφάνειας αλλά από την επίλυσή της προκύπτει η ελεύθερη επιφάνεια. Θεωρώντας ότι ο υδροφόρος είναι οµογενής και ισότροπος (Kx = Ky = K) και Sya = n ότι η εξίσωση γράφεται

Kn x

h hx

Kn y

h hy

o∂∂

∂∂

ε ∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

−= . (6.13)

Η εξίσωση αυτή ονοµάζεται εξίσωση Boussinesq. Σε κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες η εξίσωση αυτή γράφεται

∂∂

∂∂θ

εht

Kn r

h hr r

h h wn

o= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

−1 12 . (6.13α)

Επίσης, θεωρώντας ότι η µέση στάθµη του υδροφόρου είναι h ≈ b, η παραπάνω εξίσωση (6.13) γράφεται

∂∂

ε ∂∂

wKb

SKb

o ya+ +−

= . (6.14)

Η εξίσωση αυτή είναι παρόµοια µε αυτή που ισχύει για υδροφόρο υπό πίεση

∂∂

SKb

+ = . (6.15)

όπου φυσικά δεν υπάρχουν οι όροι φόρτισης από βροχόπτωση και διαρροές.

61 2ο ΕΠΕΑΕΚ

6.2 Πηγάδι σε υδροφορέα µε ελεύθερη επιφάνεια

Θεωρούµε ένα πηγάδι σε υδροφορέα ελεύθερη επιφάνεια. Η παροχή που αντλείται (µόνιµη ροή) είναι Q, όταν η στάθµη νερού στο πηγάδι είναι ho και η (αδιατάρακτη) στάθµη της ελεύθερης επιφάνειας σε απόσταση R (ακτίνα επιρροής) µακρυά από το πηγάδι είναι h1. Εάν η στάθµη της ελεύθερης επιφάνειας σε απόσταση r είναι H, εφαρµόζοντας την εξίσωση συνέχειας για µόνιµη ροή έχουµε ότι

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−=

drdHrKH

drdHKrHrurHQ r πππ 22)(2 . (6.16)

Εποµένως, από την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης

CrKQH

rdr

KQHdH +=⇒= ln

ππ (6.17)

αντικαθιστώντας για r = Ro, H = ho και για r = R, H = h1, έχουµε ότι

CRKQh oo += ln2

π και CR

KQh += ln2

1 π. (6.18α,β)

Αφαιρώντας κατά µέλη τις εξισώσεις (18α,β) και (17) έχουµε ότι η στάθµη της ελεύθερης επιφάνειας σαν συνάρτηση της στάθµης του νερού στη γεώτρηση ειναι

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

oo R

rKQhH ln22

π (6.19)

και σαν συνάρτηση της στάθµης µακριά από τη γεώτρηση

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

KQhH ln2

π. (6.20)

Η h1ho

R rR

62 2ο ΕΠΕΑΕΚ

6.3 Παροχή πηγαδιού σε υδροφορέα µε ελεύθερη επιφάνεια. Από τις σχέσεις (2.19) (2.20) αφαιρώντας κατά µέλη προκύπτει ότι

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

oo R

RKQhh ln22

1 π

και εποµένως η αντλούµενη παροχή δίνεται από τη σχέση

)/ln(

221

RRhh

KQ−

= π . (6.21)

6.4 Σύστηµα πηγαδιών σε υδροφορέα µε ελεύθερη επιφάνεια. Η στάθµη σε ένα σηµείο του υδροφόρου υπολογίζεται από την επαλληλία των πηγαδιών (λόγω γραµµικής εξίσωσης Laplace) από τη σχέση

∑=

+=n

i CrKQ

2 lnπ

. (6.22)

Σε απόσταση R (ακτίνα επιρροής των πηγαδιών), η στάθµη του υδροφόρου είναι h1 και υπολογίζεται από τη σχέση

CRKQ

i += ∑=1

21 ln

π. (6.23)

Αφαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά µέλη, προκύπτει η στάθµη του υδροφόρου σαν συνάρτηση των παροχών που αντλούνται και των h1 και R

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

hH1

2 lnπ

(6.24)

που είναι η σχέση (8.54) του βιβλίου. Παράδειγµα 6.1

Τα πηγάδια του σχήµατος απέχουν µεταξύ τους 100 m. Να προσδιορίσετε τη στάθµη του υδροφορέα: (α) Κατά µήκος της µεσοκαθέτου του ευθύγραµµου τµήµατος που ενώνει τα πηγάδια, όταν Q1 = 0.01 m3/s και Q2 = 0.015 m3/s και όταν Q1 = Q2 = 0.01 m3/s. (β) Κατά µήκος του άξονα που ενώνει τα δύο πηγάδια όταν Q1 = 0.01 m3/s και Q2 =

R1 R2

(2)(1)

-b b x

63 2ο ΕΠΕΑΕΚ

0.015 m3/s, όταν Q1 = Q2 = 0.01 m3/s και όταν Q1 = - Q2 = -0.01 m3/s. ∆εδοµένα: h1 = 50 m, R1 = R2 = 10cm, 2b = 100m, K = 5x10-5 m/s, R = 1500m. Απάντηση (α) Κατά µήκος της µεσοκαθέτου [r1 = r2 = r = (b2 + y2)1/2], ισχύει (Q1 ≠ Q2)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−− 1500ln

105015.0

1500ln

)105(010.050

lnln

552

2121

KQhH

ππ

απ’ όπου µεταβάλλοντας την απόσταση y προσδιορίζουµε τη στάθµη Η της ελεύθερης επιφάνειας (βλ. ∆ιάγραµµα 1.4.1). Όµοια υπολογίζουµε τη στάθµη όταν Q1=Q2=0.010

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= − 1500

ln)105(

010.0250ln25

221

2 rx

xRr

KQhH

ππ.

(β) Κατά µήκος του άξονα x, xbr −−=1 και xbr −=2 και

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

hH 221121

2 lnlnππ

Όταν Q1 =0.01 m3/s, Q2 = 0.015 m3/s,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= −− 1500

ln105015.0

1500ln

105010.050 2

422 r

ππ

Όταν Q1 = Q2 = 0.01 m3/s,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= −− 1500

ln105010.0

1500ln

105010.050 2

422 r

ππ

και όταν Q1 = - Q2 = -0.01 m3/s.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= −− 1500

ln105010.0

1500ln

105010.050 2

422 r

ππ.

Μεταβάλλοντας την απόσταση x προσδιορίζουµε τη στάθµη Η της ελεύθερης επιφάνειας και για τις δύο περιπτώσεις (βλ. ∆ιαγράµµατα 1.4.2, 1.4.3).

0 250 500 750 1000 1250 1500y (m)

H (m

)

Q1=0.01, Q2=0.015

Q1=Q2=0.010

∆ιάγραµµα 6.4.1 Πτώση στάθµης πίεσης κατά µήκος του άξονα Oy.

64 2ο ΕΠΕΑΕΚ

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500x (m)

H (m

)Q1=0.010, Q2=0.015

Q1=-0.010, Q2=0.010

Q1=Q2=0.010

∆ιάγραµµα 6.4.2 Πτώση στάθµης πίεσης κατά µήκος του άξονα Ox.

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

Q1=0.010, Q2=0.015Q1=Q2=0.010Q1=-0.010, Q2=0.010

∆ιάγραµµα 6.4.3 Πτώση στάθµης πίεσης κατά µήκος του άξονα Ox κοντά στα

πηγάδια. Παράδειγµα 6.2

Πρόκειται να κατασκευασθεί µια κυκλική δεξαµενή ύδρευσης διαµέτρου 50m, η οποία θα είναι εν µέρει κάτω από την επιφάνεια του εδάφους. Η στάθµη του υδροφόρου βρίσκεται στα 50m πάνω από τη στάθµη του οριζόντιου αδιαπέρατου σχηµατισµού. ∆ιαθέτουµε µια αντλία τοποθετηµένη στο πηγάδι Α.

Ποια είναι η ελάχιστη παροχή που πρέπει να αντλείται από το πηγάδι στο σηµείο A, ώστε να µην εισρέει νερό σε κανένα σηµείο της εκσκαφής που φαίνεται σε κάτοψη και τοµή στο παρακάτω σχήµα: (α) Όταν η θάλασσα βρίσκεται µακριά. (β) Όταν η θάλασσα βρίσκεται κοντά, στα 60m από το σηµείο άντλησης Α (βλ. σχήµα).

Ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας του οµογενούς και ισότροπου εδάφους είναι 5x10-5 m/s και η ακτίνα επιρροής 1000m.Οι διαστάσεις του σχήµατος είναι σε m.

Απάντηση

(α) Το πιο απόµακρο σηµείο από τη γεώτρηση Α είναι το Β που απέχει απόσταση ΑΒ=50m. Εκεί θα εµφανιστεί και η υψηλότερη στάθµη που υπολογίζεται από τη σχέση

( )( )

( )( ) 0249.0

1000/50ln5045

)105(/ln

ln22

2 =−

=−

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= −x

RrhH

KQRr

KQhH πππ

m3/s.

65 2ο ΕΠΕΑΕΚ

(β) Επειδή η θάλασσα βρίσκεται σε απόσταση 60m από το πηγάδι, θεωρούµε την εικόνα Α’ του Α σε απόσταση 60m από την ακτή, την οποία εµπλουτίζουµε µε παροχή Q για να ικανοποιήσουµε τη συνθήκη σταθερής στάθµης κατά µήκος της ακτής.

Τα δυσµενέστερα σηµεία (όπου θα εµφανιστεί πιθανα η υψηλότερη στάθµη στον υδροφόρο) είναι τα Γ ή ∆ και το Β, όπου Α’Β=60+60+50=170m, Α’Γ≈60+60+25=145m και ΑΓ=25√2=35.36m. Η πτώση στάθµης στο Β προκύπτει από την επαλληλία των αντλήσεων µε την αντίθετες παροχές

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

1000170ln

100050ln5045

'lnln

RBA

RAB

KQhH

ππ

Λύνοντας ως προς Q προκύπτει ότι

Q=0.061 m3/s > 0.025 m3/s, όπως αναµενόταν. Η αντίστοιχη παροχή που προκύπτει από έλεγχο της στάθµης στα σηµεία Γ ή ∆ είναι 0.053 m3/s, πράγµα που σηµαίνει ότι το σηµείο Β είναι το δυσµενέστερο από άποψη στάθµης του υδροφόρου. Εποµένως, η παροχή που θα πρέπει να αντλούµε όταν η εκσκαφή βρίσκεται κοντά στη θάλασσα είναι 61 l/s.

ΑB

Q60

Θάλασσα

ΚΑΤΟΨΗ 60 Α’

-Q

ΑB

∆

Α ∆ Γ Β

4550

Αδιαπέρατο

ΘάλασσαΚΑΤΟΨΗ

ΤΟΜΗ Α-Β

66 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Παράδειγµα 6.3 Ποια είναι η ελάχιστη παροχή που πρέπει να αντλείται από τη γεώτρηση στο σηµείο Ο, ώστε να µην εισρέει νερό σε κανένα σηµείο της εκσκαφής που φαίνεται σε κάτοψη και τοµή στο παρακάτω σχήµα: (α) Όταν ο αδιαπέρατος βράχος βρίσκεται µακριά. (β) Όταν ο αδιαπέρατος βράχος βρίσκεται κοντά (βλ. σχήµα). Ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας του οµογενούς και ισότροπου εδάφους είναι 10-5 m/s και η ακτίνα επιρροής R = 1000m.Οι διαστάσεις του σχήµατος είναι σε m.

Απάντηση (α) Τα πιο απόµακρα σηµεία από τη γεώτρηση Ο είναι τα Α και Β που απέχουν απόσταση ΟΑ=ΟΒ=(502+502)1/2=70.71m. Εκεί θα εµφανιστεί και η υψηλότερη στάθµη που υπολογίζεται από τη σχέση

( )( )

( )( ) 015.0

1000/71.70ln5035

)10(/ln

ln22

2 =−

=−

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= −ππ

π RrhH

KQRr

KQhH m3/s.

(β) Επειδή υπάρχει αδιαπέρατος σχηµατισµός σε απόσταση 90m από τη γεώτρηση, θεωρούµε την εικόνα Ο’ της Ο σε απόσταση 90m από το βράχο από την οποία αντλούµε παροχή Q για να ικανοποιήσουµε τη συνθήκη αδιαπέρατου ορίου στο βράχο. Το δυσµενέστερο από άποψη στάθµης του υδροφόρου σηµείο είναι το πιο απόµακρο σηµείο από τις δύο γεωτρήσεις, δηλαδή το Β, όπου Ο’Β=(2302+502)1/2=235.37m. Η πτώση στάθµης στο Β προκύπτει από την επαλληλία των αντλήσεων µε την ίδια παροχή

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

100037.235ln

100071.70ln5035'lnln 222

RBO

ROB

KQhH

ππππ

Λύνοντας ως προς Q προκύπτει ότι

Q=0.0098 m3/s < 0.015 m3/s,

όπως αναµενόταν.

Α B

Γ ∆

100

4050

OΑ ∆ Γ Β

3550

Αδιαπέρατο

Βράχος ΚΑΤΟΨΗ

ΤΟΜΗ

Βράχος

50O’

Q Q

67 2ο ΕΠΕΑΕΚ

6.5 Τάφρος σε υδροφορέα µε ελεύθερη επιφάνεια.

Θεωρούµε τάφρο που εκτείνεται σε βάθος µέχρι την αδιαπέρατη στρώση στην οποία η στάθµη του νερού είναι ho ενώ η αδιατάρακτη στάθµη του υδροφόρου είναι h1. Ισχύουν οι παραδοχές Dupuit-Forchheimer και ως εκ τούτου η (ανά µονάδα πλάτους) παροχή q που µεταφέρεται από τη µια πλευρά προς την τάφρο θα είναι

HdxdHKH

dxdHKHHuq =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=−= )( .

Με ολοκλήρωση προκύπτει ότι

CxKqHdHKqdx +=⇒=

Εφαρµόζοντας τις οριακές συνθήκες

@ x = 0, H = ho ⇒ 2ohC = και 22 2

ohxKqH +=

@ x = l, H = h1 ⇒ 221

2ohl

Kqh +=

Από τις παραπάνω σχέσεις µε απαλοιφή του ho προκύπτει ότι

( )lxKqhH −+=

221

2 , (6.25)

ενώ µε απαλοιφή της παροχής q προκύπτει ότι

( )lxhhhH oo

221

22 −+= . (6.26)

Σηµείωση 1: Από την εξίσωση (6.11) για Κx = Ky = K, wo = ε = 0 και µόνιµη ροή στη διεύθυνση x (∂/∂t = ∂/∂y = 0) έχουµε ότι

qHHuHdxdHK

dxdHKH

dxd

=−=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ )(0 = σταθερά

και µπορούµε να προχωρήσουµε σε ολοκλήρωση για τον προσδιορισµό του Η. Σηµείωση 2: Σε περίπτωση που η στάθµη του νερού στην τάφρο βρίσκεται ψηλότερα από αυτήν του υδροφόρου σε ηρεµία (ho > h1), ο υδροφόρος εµπλουτίζεται µε παροχή q. Αυτό σηµαίνει ότι το πρόσηµο της παροχής στη εξίσωση (6.25) είναι αρνητικό όταν πρόκειται για παροχή εµπλουτισµού, επειδή H > h1. Επίσης, από τη σχέση (6.26) προκύπτει ότι στην περίπτωση εµπλουτισµού του υδροφόρου από την τάφρο H < hο.

h1 ho

x x

u(H)

68 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Παράδειγµα 6.4

Να διερευνήσετε το πρόβληµα της (ανά µονάδα πλάτους) παροχής που µεταφέρεται από την τάφρο Τ1 στην τάφρο Τ2 του σχήµατος που απέχουν απόσταση l µεταξύ τους, όταν αυτές συνδέονται µε δύο παράλληλες στρώσεις εδάφους µε συντελεστές σχετικής διπερατότητας Κ1 και Κ2. Οι στάθµες στις δύο τάφρους είναι h1 και h2 αντίστοιχα και το πάχος της κατώτερης στρώσης είναι d.

Απάντηση

Η παροχή σε µόνιµη δίαιτα που µεταφέρεται στη τάφρο Τ2 είναι

dH)HKdK(qdxdxdHHK

dxdHdK

dxdHHK

dxdhdKHuduqqq

21212121

+−=⇒

−−=−−=+=+=

Ολοκληρώνοντας (ανάµεσα στις διατοµές 0 και x) έχουµε

( )221211

211

)[()(221

2)(

)()0(

HdhKHdhdKx

dhHKhHddKxq

−−+−−=⇒

−−−−+−=−

(α) Εάν h2 > d, αντικαθιστώντας x=l και H=h2-d στην παραπάνω σχέση προκύπτει ότι

( )22

212211 )()[()(2

21 dhdhKhhdKl

q −−−+−= .

(β) Εάν h2 = d, αντικαθιστώντας x=l και H=0 στην παραπάνω σχέση προκύπτει ότι

( )21211 )[()(2

21 dhKdhdKl

q −+−= .

Εάν h2 < d, τότε η εκροή γίνεται µόνο από την κατώτερη στρώση. Η ελεύθερη επιφάνεια του υδροφόρου τέµνει τη διεπιφάνεια ανάµεσα στις δύο στρώσεις εδαφικού υλικού σε κάποια απόσταση xo από την αρχή των αξόνων που πρέπει να προσδιοριστεί.

(γ) Για x > xo, η ελεύθερη επιφάνεια βρίσκεται στη χαµηλοτερη στρώση, η δε παροχή υπολογίζεται από τη σχέση

)(2

1oxl

hdKq

−−

= .

h1 h2 K1

K2 H

xox x

Τ1 Τ2

69 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Όµως, από την προηγούµενη σχέση για x = xo και H=0 (h2 = d) έχουµε

( )21211 )[()(2

21 dhKdhdKx

−+−= .

Απαλοίφοντας το xo από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η παροχή ( ) ( )

ldhKdhdKhdK

)[()(2 21211

21 −+−+−

= .

70 2ο ΕΠΕΑΕΚ

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Τολίκας, ∆.Κ., 1997. Υπόγεια υδραυλική. Εκδόσεις Παρατηρητής.

2. Bear, J., 1972. Dynamics of fluids in porous media. Dover.

3. Churchill, R.V., & Brown, J.W., 1993. Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρµογές. Μετάφραση ∆. Καραγιαννάκης, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης.

4. Currie, I.G., 1974. Fundamental mechanics of fluids. McGraw-Hill.

5. Dawson, K.J., & Istok, J.D., 1991. Aquifer Testing. Design and analysis of pumping and slug tests. Lewis Publishers.

6. De Wiest, R.J.M., Geohydrology. John Wiley & Sons Inc.

7. Edelman, J.H., 1972. Groundwater hydraulics of extensive aquifers. ILRI, Wageningen, The Netherlands.

8. Harr, M.E., 1990. Groundwater and seepage. Dover.

9. McWhorter, D.B., & Sunada, D.K., 1977. Ground-water hydrology and hydraulics. Water Resources Publications, P.O. Box 303, Fort Collins, Colorado.

10. Polubarinova-Kochina, P.Ya., 1962. Theory of ground water movement. (Translated from Russian by J.M. Roger De Wiest). Princeton University Press,

11. Spiegel, M.R., 1968. Mathematical handbook of formulas and tables. Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill.

12. Verruijt, A., 1970. Theory of groundwater flow. Macmillan.

71 2ο ΕΠΕΑΕΚ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

0. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΙΓΑ∆ΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ2 Ορίζουµε σαν µιγαδικό αριθµό

z = x + iy στο επίπεδο Ο, x, y το διατεταγµένο ζεύγος (x,y) όπου x = Re(z) (πραγµατικό µέρος) και y = Im(z) (φανταστικό µέρος) του z, όπου εξ’ ορισµού i = −1 , i = (0,1) ... γνήσιος φανταστικός αριθµός.

0.1 Ιδιότητες των µιγαδικών αριθµών. Ισότητα: z1 = z2 ⇒ x1 = x2 και y1 = y2

Άθροισµα: z1+z2 = (x1+x2, y1+y2)

Γινόµενο: z1z2 = (x1x2-y1y2, y1x2+ x1y2) Αλγεβρικές ιδιότητες: z1+z2 = z2 + z1

z1z2 = z2 z1

z1 +(z2 + z3) = (z1 + z2)+z3

z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3

z + 0 = z ; 0 = (0,0)

z × 1 = z ; 1 = (1,0)

Για κάθε µιγαδικό αριθµό z υπάρχει ο µιγαδικός - z τέτοιος ώστε z + (-z) = 0; z = (-x, -y).

Εποµένως z1 - z2 = (x1-x2, y1-y2).

Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ορίζουµε τον αντίστροφό του z-1 έτσι ώστε z z-1 = 1,

όπου

22222222

1 ; yxrryi

yxyi

yxxz +=−=

+−

+=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1 1z

zzz

1 1 1

1 2 1 2z z z z=

2 Churchill, R., & Brown, J., (1993). Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρµογές. Πανεπιστηµιακές εκδόσεις Κρήτης.

72 2ο ΕΠΕΑΕΚ

0.2 Συζυγής µιγαδικού αριθµού Ορίζουµε σαν συζυγή του µιγαδικού αριθµού z = x + iy τον µιγαδικό αριθµό z x iy= − .

Iδιότητες των συζυγών µιγαδικών αριθµών.

z z z z1 2 1 2+ = +

z z z z1 2 1 2=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

Re ( ), Im ( )z z z zi

z z= + = −12

z z z x y= = +2 2 2

0.3 Γεωµετρική παράσταση µιγαδικού αριθµού.

0.4 Πολική µορφή ενός µιγαδικού αριθµού.

x = r cosθ y = r sinθ

)sin(cos θθ iriyxz +=+= ( )z z r r i1 2 1 2 1 2 1 2= + + +cos( ) sin( )θ θ θ θ

( )zz

21 2 1 2= − + −cos( ) sin( )θ θ θ θ

z1+z2

z1-z2

z = (x,y) z = x+iy

z = (x,y)

θ r

73 2ο ΕΠΕΑΕΚ

0.5 Eκθετική µορφή µιγαδικού αριθµού Για τον πραγµατικό αριθµό θ, ορίζουµε

eiθ = cosθ + isinθ. Τότε, ο µιγαδικός αριθµός z ορίζεται ως

z = reiθ = r (cosθ + isinθ). Το γινόµενο, ο αντίστροφος και το πηλίκο µιγαδικών αριθµών είναι

z z r e r e r r ei i i1 2 1 2 1 2

1 2 1 2= = +θ θ θ θ( ) 1 1 1z re r

eii= = −

θθ

ii1

1 2= = −θ

θθ θ( ) .

0.6 Εκθετική συνάρτηση Ορίζεται ως

)sin(cos)exp( yiyeeeez xiyxz +=== .

Ορισµένες ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης είναι )exp()exp()exp( 2121 zzzz +=

zz eedzd

0.7 Λογάριθµος µιγαδικού αριθµού Ορίζεται ως w = logz απ’ όπου προκύπτει ότι

)2(loglog πθ kirz ++= .

Το r (r = ⎜z ⎜ ονοµάζεται µέτρο του µιγαδικού αριθµού και το θ (θ = Arg z) όρισµα (Argument) του µιγαδικού αριθµού. Ο λογάριθµος αποτελεί συνάρτηση µε πολλαπλές τιµές (k = 0, 1, 2, …).

0.8 n-οστή ρίζα µιγαδικού αριθµού Ορίζεται ως

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==n

kin

krzz nnn πθπθ 2sin2cos/1

όπου k = 0, 1, 2, … n-1. Αποτελεί και αυτή συνάρτηση µε πολλαπλές τιµές, που επαναλαµβάνονται όταν k > n-1. Παράδειγµα: Να προσδιορίσετε την 3 1− . Έχουµε ότι θ = π (0 ≤ θ < 2π) και

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−=−32sin

32cos1)1(1 33/13 ππππ kik ; k = 0, 1, 2

δηλαδή οι τρεις βασικές τιµές είναι

74 2ο ΕΠΕΑΕΚ

)31(21

3sin

3cos1 iic +=+=

ππ

132sin

32cos2 −=

ππππ ic

)31(21

34cos3 iic −=

ππππ .

Οι τρεις αυτές βασικές τιµές επαναλαµβάνονται όταν k > 2.

0.9 Παράγωγος µιας συνάρτησης Ορίζουµε σαν παράγωγο της συνάρτησης F(z) γύρω από ένα σηµείο zo το πηλίκο

.)()(

lim)(''0 z

zFzzFdzdFzF oo

zzz

∆−∆+

==→∆

Για την παραγώγιση των µιγαδικών συναρτήσεων ισχύουν οι ιδιότητες παραγώγισης των πραγµατικών συναρτήσεων.

0.10 Αναλυτική συνάρτηση. Η συνάρτηση F(z) = Φ +iΨ λέγεται αναλυτική σε ένα σηµείο zo, όταν η παράγωγος dF/dz υπάρχει στο σηµείο αυτό και τη γειτονική του περιοχή και είναι ανεξάρτητη από την διεύθυνση πάνω στην οποία την υπολογίζουµε. ∆ηλαδή

( ) ( )

( )

dFdz

ddz

iyi i

y y

= + = + = +

= + = − +

Φ Ψ Φ ΨΦ Ψ

Φ ΨΦ Ψ

∂∂

( ).

0.11 Εξισώσεις των Cauchy - Riemann. Εάν η συνάρτηση F(z) = Φ(x,y) +iΨ(x,y) είναι αναλυτική, τότε ικανοποιούνται οι εξισώσεις

∂∂

Φ Ψx y= και ∂

∂∂∂

Φ Ψy x= − .

Εάν η συνάρτηση F(z) είναι αναλυτική στην περιοχή z-zo< r γύρω από το σηµείο zo, τότε µπορεί να γραφτεί σαν το άθροισµα

....)(!2

1)()()( 22

+−+−+===

ozz

o zzdz

FdzzdzdFzFzF

H παραπάνω σειρά ονοµάζεται σειρά Taylor της συνάρτησης F(z) γύρω από το σηµείο zo.

75 2ο ΕΠΕΑΕΚ

1. ΡΟΪΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ∆ΥΝΑΜΙΚΟΥ (2-D) Ορίζουµε σαν ροϊκή συνάρτηση σε ένα διδιάστατο πεδίο ροής τη συνάρτηση Ψ(x,y) τέτοια ώστε

= = −∂∂

∂∂

Ψ Ψ, .

Η εξίσωση συνέχειας ικανοποιείται (εκ ταυτότητος) επειδή

∂∂

∂∂ ∂

vy x y y x

+ = − =2 2

0Ψ Ψ .

Aπό την εξίσωση της γραµµής ροής dx/u = dy/v προκύπτει ότι

− + = = + =vdx udyx

dxy

dy d( )0 ∂∂

∂∂

Ψ ΨΨ .

Εάν dΨ = 0, τότε u dy = v dx, δηλαδή u/v = dx/dy, πράγµα που σηµαίνει ότι κατά µήκος µιας γραµµής ροής Ψ = σταθερά. Εποµένως η εξίσωση της γραµµής ροής είναι

Ψ = σταθερά.

Η παροχή που διέρχεται ανάµεσα από δύο γραµµές ροής τις Ψ1 και Ψ2 µπορεί να υπολογιστεί από το ολοκλήρωµα της εισροής κατά µήκος µιας γραµµής ΑΒ που συνδέει δύο τυχαία σηµεία των δύο γραµµών ροής

12 Ψ−Ψ=Ψ−Ψ=Ψ=

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

∂Ψ∂

−−∂Ψ∂

=−=•=

∫

∫∫∫∫ ∫

dyy

dxx

dyy

dxvdyudS)nu(Q

Εποµένως, σε ένα διδιάστατο πεδίο ροής η παροχή που µεταφέρεται ανάµεσα σε δύο γραµµές ροής Ψ1 και Ψ2 είναι

Q = Ψ2 - Ψ1.

Ψ=Ψ1

Ψ=Ψ2

VdS

dx dy v

u dx

dy dS

76 2ο ΕΠΕΑΕΚ

Σε ένα διδιάστατο πεδίο ροής ιδεατού ρευστού ορίσαµε επίσης τη συνάρτηση δυναµικού Φ(x,y) τέτοια ώστε

∂∂

∂∂ Φ

=Φ

= , .

Ισχύει ότι

vdyudxdyy

dxx

d +=Φ

+Φ

=Φ∂∂

∂∂ .

Πάνω στις ισοδυναµικές γραµµές (Φ = σταθερά) εποµένως ισχύει ότι

d udx vdy dydx

Φ = = + ⇒ = −0 .

Επειδή όµως πάνω στις γραµµές ροής (Ψ = σταθερά) ισχύει η σχέση

dxdu

dyv

= ,

προκύπτει ότι οι οι ισοδυναµικές γραµµές τέµνουν τις γραµµές ροής κάθετα.

Αυτό αποδεικνύεται και µαθηµατικά λαµβάνοντας το εσωτερικό γινόµενο

( ) ( )∇Φ ∇Ψ = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + − + = − + =o o o

∂∂

Φ Φ Ψ Ψx

j ui v j vi u j uv vu 0

Εάν το µόνιµο πεδίο ροής είναι αστρόβιλο, τότε ισχύει ότι

ζ ∂∂

∂∂

= − = ⇔ − − = −∇ =vx

uy x y

0 02

22Ψ ΨΨ (εξίσωση Laplace).

Επίσης, από την εξίσωση της συνέχειας, αντικαθιστώντας την ταχύτητα από τη συνάρτηση δυναµικού προκύπτει ότι

00 22

=Φ∇=Φ

+Φ

⇔=+yxy

vxu

∂∂

∂∂ (εξίσωση Laplace).

Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι επιλύοντας την εξίσωση του Laplace είτε ως προς Φ είτε ως προς Ψ, µπορούµε να προσδιορίσουµε το πεδίο ταχυτήτων άµεσα διαφορίζοντας τις Φ ή Ψ. Η πίεση σε κάθε σηµείο του πεδίου ροής προκύπτει από την εφαρµογή της εξίσωσης του Bernoulli.

77 2ο ΕΠΕΑΕΚ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ 2-D ΑΣΤΡΟΒΙΛΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ ΡΟΗΣ ΜΕ ΜΙΓΑ∆ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.

Από τον ορισµό των Φ και Ψ προκύπτει ότι

ux y

vy x

= = = = −∂∂

∂∂

Φ Ψ Φ Ψ, (εξισώσεις Cauchy - Riemann).

Από τις παραπάνω ισότητες προκύπτει ότι υφίσταται µια αναλυτική µιγαδική συνάρτηση δυναµικού F(z) που ορίζεται ως εξής

F z x y i x y( ) ( , ) ( , )= +Φ Ψ .

∆εδοµένου ότι η συνάρτηση F(z) είναι αναλυτική, η παράγωγός της προκύπτει ως εξής

W z dFdz

x yx

i x yx

u iv( ) ( , ) ( , )= = = + = −

∂∂

Φ Ψ .

∆ιαφορίζοντας εποµένως τη συνάρτηση F(z), προκύπτουν οι δύο συνιστώσες της ταχύτητας του πεδίου ροής.

3. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΜΙΓΑ∆ΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ 2-D ΑΣΤΡΟΒΙΛΩΝ ΠΕ∆ΙΩΝ ΡΟΗΣ.

3.1 Οµοιόµορφη οριζόντια ροή.

F = Uz

dFdz

U u iv= = −

Εποµένως u = U, v = 0

είναι το πεδίο των ταχυτήτων.

3.2 Οµοιόµορφη κατακόρυφη ροή.

F = -iVz

ivuiVdzdF

−=−=

Εποµένως u = 0, v = V

είναι το πεδίο των ταχυτήτων.

y U

78 2ο ΕΠΕΑΕΚ

3.3 Οµοιόµορφη ροή υπό γωνία.

F = V e-iα z = V (cosα - i sinα) z

dFdz

V iV u iv= − = −cos sinα α

Εποµένως u = V cosα, v = V sinα

είναι το πεδίο των ταχυτήτων.

Στην παραπάνω εξίσωση του µιγαδικού δυναµικού, για α = 0, έχουµε F(z) = Vz που είναι η περίπτωση της οριζόντιας ροής, ενώ για α = 90ο, έχουµε F(z) = -iVz, που είναι η περίπτωση της κατακόρυφης προς τα επάνω ροής.

4. ΠΗΓΗ (SOURCE), ΚΑΤΑΒΟΘΡΑ (SINK) ΚΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟΣ (VORTEX).

4.1 Πηγή και καταβόθρα

Η πηγή παράγει ρευστό µε ρυθµό m. Υπάρχει µόνον ακτινική συνιστώσα της ταχύτητας ur, ενώ η εφαπτοµενική στους οµόκεντρους µε την πηγή κύκλους είναι µηδενική (uθ = 0). Η ακτινική ταχύτητα είναι ίδια σε ένα οµόκεντρο µε την πηγή κύκλο

RcRur =)(

και από το θεώρηµα συνέχειας προκύπτει ότι

∫∫ ===ππ

πθθ2

2 cRdRcdRum r .

Εποµένως c = m/2π, και το µιγαδικό δυναµικό πηγής µε ένταση m είναι

zmzF log2

)(π

= ή )log(2

)( ozzmzF −=π

όταν η πηγή βρίσκεται στην αρχή των αξόνων ή στο σηµείο zo αντίστοιχα.

Σε πολικές συντεταγµένες η συνάρτηση του µιγαδικού δυναµικού της πηγής γράφεται ως

Φ = σταθεράΨ = σταθερά

y V

79 2ο ΕΠΕΑΕΚ

εξής

θπππ

2log

2)log(

2)( mirmremzF i +== ,

όπου θirez = ,

rm log2π

=Φ ,

θπ2m

=Ψ .

Η εξίσωση των ισοδυναµικών γραµµών είναι

Φ = σταθερά ⇒ r = σταθερά (οµόκεντροι κύκλοι)

και των γραµµών ροής

Ψ = σταθερά ⇒ θ = σταθερά (ακτίνες που διέρχονται από την πηγή).

Το πεδίο ταχυτήτων προκύπτει διαφορίζοντας τη συνάρτηση δυναµικού κατά τα γνωστά

( )θθπ

ππ

πθ

sincos12

)(log2

)()(

mdz

zdmdz

zdFivuzW

−=

==−=

−

Όπου

( )r

mvuur πθθ

πθθ

2sincos1

2sincos 22 =+=+=

( ) 0cossinsincos12

cossin =+−=+−= θθθθπ

θθθ rmuuu .

Η καταβόθρα λειτουργεί ακριβώς αντίθετα από την πηγή, δηλαδή αναρροφά το ρευστό. Η συνάρτηση δυναµικού καταβόθρας στο σηµείο zo είναι

)log(2

)( ozzmzF −−=π

από την οποία προκύπτει ότι το πεδίο ταχυτήτων είναι

( )r

mvuur πθθ

πθθ

2sincos1

2sincos 22 −=+−=−−=

και

( ) 0cossinsincos12

cossin =−=−= θθθθπ

θθθ rmuuu .

80 2ο ΕΠΕΑΕΚ

4.2 Στρόβιλος εντάσεως Γ.

Η συνάρτηση δυναµικού στροβίλου εντάσεως Γ στο σηµείο zo είναι

)log(2

)( ozzizF −Γ

−=π

Θεωρούµε zo = 0 χωρίς περιορισµό της γενίκευσης και το δυναµικό γίνεται

rizizF log22

log2

)(π

θππ

Γ−

Γ=

Γ−= όπου z = reiθ.

Το πεδίο ταχυτήτων προκύπτει από τη σχέση

θπ

cos12

sin12

)()(r

irdz

zdFivuzW Γ−

Γ−==−=

απ’ όπου προκύπτει ότι

θπ

sin12 r

u Γ−=

και

θπ

cos12 r

v Γ= .

Σε πολικές συντεταγµένες η ακτινική και εφαπτοµενική ταχύτητα είναι

0sincos12

sincos12

sincos =Γ

+Γ

−=+= θθπ

θθπ

θθrr

vuur και

( )rr

uvuπ

θθπ

θθθ 2sincos1

2sincos 22 Γ

=+Γ

=−= .

H κυκλοφορία του στροβίλου µπορεί να υπολογιστεί πάνω σε ένα κύκλο µε κέντρο το σηµείο zo είναι

Γ=Γ

=Γ

=== ∫∫∫ ππ

θπ

θππ

θ 222

RdR

dRudsuKC

o .

Εποµένως, ένταση Γ του στροβίλου είναι ίση µε τη κυκλοφορία Γ του στροβίλου γύρω από το κέντροτου και είναι σταθερά.

Οι ισοδυναµικές γραµµές προκύπτουν από την εξίσωση δυναµικού και είναι

uθ

Ψ = σταθεράΦ = σταθερά

81 2ο ΕΠΕΑΕΚ

θπ2

)(Re Γ==Φ zF ,

που σηµαίνει ότι για θ = σταθερά είναι ακτίνες που ξεκινούν από το κέντρο του στρoβίλου.

Οι γραµµές ροής προκύπτουν από την εξίσωση δυναµικού και είναι

rzF log2

)(ImπΓ

−==Ψ

δηλαδή για r = σταθερά είναι οµόκεντροι κύκλοι µε κέντρο αυτό του στροβίλου και φορά αντίθετη αυτής των δεικτών του ωρολογίου.

4.3 Ροή σε γωνία.

Η συνάρτηση δυναµικού για ροή σε γωνία π/n είναι

Ψ+Φ=+=== iniURnUReURUzzF nninnn θθθ sincos)( ,

όπου n ≥ 1. Προφανώς, για n = 1 η ροή είναι οριζόντια, οµοιόµορφη και παράλληλη στον άξονα x, που µελετήσαµε ενωρίτερα.

Οι ισοδυναµικές γραµµές και οι γραµµές ροής που φαίνονται στο σχήµα έχουν εξισώσεις

θnURn cos=Φ και θnURn sin=Ψ

αντίστοιχα.

Η γραµµή ροής Ψ = 0 αντιστοιχεί στο όριο της γωνίας (θ = 0 και θ = π/n). Το πεδίο ταχυτήτων προκύπτει από τη σχέση

( ) ivueninURnnURdz

zdFzW inn −=+== −− θθθ sincos)()( 11 .

Συγκρίνοντας αυτή τη σχέση µε την αντίστοιχη των ταχυτήτων της πηγής προκύπτει ότι

ur = nURn-1 cos nθ και uθ = nURn-1 sin nθ.

Για 0 < θ < π/2n, ur > 0 και uθ < 0.

Για π/2n < θ < π/n, ur < 0 και uθ < 0.

Ψ=0

Ψ = σταθερά

Φ = σταθερά

uθur

π/n π/2n

82 2ο ΕΠΕΑΕΚ

4.4 ∆ίπολο.

Ονοµάζουµε δίπολο το σύστηµα πηγής-καταβόθρας που βρίσκονται πολύ κοντά και έχουν την ίδια ένταση (παροχή) m. Έστω ότι µία πηγή και µία καταβόθρα µε την ίδια ένταση, βρίσκονται πάνω στον άξονα x και απέχουν από το σηµείο x = 0 απόσταση ε. ∆εδοµένου ότι το πεδίο ροής µιας πηγής ή µιας καταβόθρας περιγράφεται από την εξίσωση του Laplace (γραµµική εξίσωση), το πεδίο ροής του συστήµατος πηγή-καταβόθρα προκύπτει από την επαλληλία των µιγαδικών δυναµικών της πηγής και της καταβόθρας

εε

πε

π −+

=−−+=zzmzmzmzF log

2)log(

2)(

Σε περίπτωση που ο λόγος ε / ⎢z ⎢ είναι πολύ µικρός αριθµός, το κλάσµα του λογαρίθµου µπορεί να αναπτυχθεί στη σειρά

...11/1

11/1/1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞