Download - Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Transcript
Page 1: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

1

ΕισαγωγήΕισαγωγή

Γραμμικός προγραμματισμός

Page 2: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

2

• ΝΑ ελαχιστοποιήσουμε (ή να μεγιστοποιήσουμε) μια γραμμική συνάρτηση, κάτω από ένα σύνολο γραμμικών περιορισμών.

• Το μοντέλο του ΓΠ αποτελείται από :– Ένα σύνολο μεταβλητών απόφασης (decision variables)– Μια συνάρτηση κόστους (objective function).– Ένα σύνολο περιορισμών.

ΕισαγωγήΕισαγωγή

Page 3: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

3

Σπουδαιότητα ΓΠΣπουδαιότητα ΓΠ

• Πολλά πραγματικά προβλήματα – μας οδηγούν σε μοντέλα ΓΠ– μπορούν να προσεγγισθούν με ΓΠ

• Εφαρμογές σε διάφορες θεματικές περιοχές:– Βιομηχανία– Μάρκετινγκ– Επενδύσεις– Διαφήμιση– Γεωργία

Page 4: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

4

• Υπάρχουν αποδοτικές μέθοδοι επίλυσης μοντέλων ΓΠ

• Τα αποτέλεσμα των λογισμικών πακέτων ΓΠ μπορούν να χρησιμοποιηθούν ποικιλοτρόπως

Σπουδαιότητα ΓΠΣπουδαιότητα ΓΠ

Page 5: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

5

Παραδοχές μοντέλων ΓΠΠαραδοχές μοντέλων ΓΠ

• Οι τιμές των παραμέτρων είναι γνωστές με βεβαιότητα. • Η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί

παρουσιάζουν σταθερές αποδόσεις κλίμακας. • Δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των

μεταβλητών απόφασης. • Η υπόθεση συνέχειας: Οι μεταβλητές μπορεί να

πάρουν οποιαδήποτε τιμή μέσα σε ένα δεδομένο εφικτό εύρος.

Page 6: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

6

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα

• Μια βιομηχανία παράγει δύο προϊόντα:– Π1. – Π2.

• Διαθέτει– 1000 κιλά υλικού (πλαστικό).– 40 ώρες χρόνου παραγωγής την εβδομάδα.

Page 7: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

7

• Απαιτήσεις Marketing– Συνολική παραγωγή μικρότερη από 700 δωδεκάδες.

– Πλήθος δωδεκάδων Π1 μπορεί να είναι το πολύ 350

περισσότερα από πλήθος των δωδεκάδων του Π2.• Τεχνολογικά δεδομένα

– Η παραγωγή μια δωδεκάδας του Π1 απαιτεί 2 κιλά πλαστικό και 3’ παραγωγής.

– Η του Π2 1 κιλό πλαστικό και 4’ παραγωγής.

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα

Page 8: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

8

• Aπαιτεί: – Όσο το δυνατόν μεγαλύτερη παραγωγή του πιο επικερδούς

προϊόντος Π1 (κέρδος $8 στην δωδεκάδα).– Χρήση των υπολοίπων πόρων για την παραγωγή του Π2

κέρδος $8 στην δωδεκάδα), υπακούοντας τις απαιτήσεις του marketing.

• Αποτελείται από:

Π1 = 450 δωδεκάδεςΠ2 = 100 δωδεκάδεςΚέρδος = $4100 την εβδομάδα

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα - - Το ισχύων πλάνο παραγωγής Το ισχύων πλάνο παραγωγής

8(450) + 5(100)

Page 9: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

9

Η διεύθυνση αναζητά ένα νέο πλάνο παραγωγής το οποίο θα αυξήσει το κέρδος της εταιρείας.

Page 10: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

10

• Μεταβλητές απόφασης::

– X1 = εβδομαδιαία παραγωγή Π1 (σε 12άδες)

– X2 = εβδομαδιαία παραγωγή Π2 (σε 12άδες)

• Συνάρτηση βελτιστοποίησης:

– μεγιστοποίηση εβδομαδιαίου κέρδους

Μοντέλο ΓΠΜοντέλο ΓΠ

Page 11: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

11

max 8X1 + 5X2 (εβδομαδιαίο κέρδος)

κάτω από τους εξής περιορισμούς

2X1 + 1X2 ≤ 1000 (Πρώτη ύλη )

3X1 + 4X2 ≤ 2400 (Χρόνος παραγωγής)

X1 + X2 ≤ 700 (Συνολική παραγωγή)

X1 - X2 ≤ 350 (Ανάμειξη)

Xj> = 0, j = 1,2 (Μη-αρνητικότητα)

Μοντέλο ΓΠΜοντέλο ΓΠ

Page 12: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

12

Γραφική ανάλυση μοντέλου ΓΠΓραφική ανάλυση μοντέλου ΓΠ

Το σύνολο όλων των σημείων τα οποία ικανοποιούν όλους του περιορισμούς του μοντέλου ονομάζονται

FEASIBLE REGIONFEASIBLE REGION

Page 13: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

13

Η χρήση γραφικών μπορεί να

αναπαραστήσει όλους του

περιορισμούς, την συνάρτηση

κόστους και τους τρείς τύπους

εφικτών σημείων.

Page 14: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

14

Μη-αρνητικότητα

X2

X1

Feasible RegionFeasible Region

Page 15: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

15

1000

500

Feasible

X2

Infeasible

Χρόνος παραγωγής3X1+4X2 ≤ 2400

περιορισμός συνολικής παραγωγής: X1+X2 ≤ 700 (άχρηστη)

500

700

Περιορισμός πρώτης ύλης2X1+X2 ≤ 1000

X1

700

Feasible RegionFeasible Region

Page 16: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

16

1000

500

Feasible

X2

Infeasible

3X1+4X2≤ 2400

X1+X2 ≤ 700

500

700

Production mix constraint:X1-X2 ≤ 350

2X1+X2 ≤ 1000

X1

700

Graphical Analysis – the Feasible RegionGraphical Analysis – the Feasible Region

Εσωτερικά

Σημεία.

Συνοριακά

σημεία.

Ακραία σημεία.

Page 17: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

17

Βέλτιστη λύσηΒέλτιστη λύσηΞεκίνα με κάποια αυθαίρετη τιμή για το κέρδος, ας πούμε $2,000...

Μετέβαλε το κέρδος μέχρι αυτό να γίνει infeasible

Κέρδος=$4360

500

700

1000

500

X2

X1

Page 18: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

18

Η βέλτιστη λύσηΗ βέλτιστη λύση

Π1 = 320 12άδες

Π2 = 360 12άδες

Κέρδος = $4360

– Αξιοποιεί όλη την πρώτη ύλη και όλο τον διαθέσιμο χρόνο

παραγωγής.

– Η συνολική παραγωγή είναι 680 (και όχι 700).

– Π1 μόνον 40 12άδες περισσότερα από Π2.

Page 19: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

19

– Αν ένα πρόβλημα ΓΠ έχει βέλτιστη λύση τότε ένα από τα ακραία του σημεία είναι βέλτιστο.

Ακραία σημεία και βέλτιστες λύσειςΑκραία σημεία και βέλτιστες λύσεις

Page 20: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

20

• Για να υπάρξουν πολλαπλές βέλτιστες λύσεις πρέπει η συνάρτηση κέρδους να είναι παράλληλη σε μια συνάρτηση περιορισμού.

Πολλαπλές βέλτιστες λύσειςΠολλαπλές βέλτιστες λύσεις

•Κάθε σταθμισμένος μέσος όρος βέλτιστων λύσεων είναι επίσης βέλτιστη λύση.

Page 21: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

21

Ευστάθεια βέλτιστης λύσης Ευστάθεια βέλτιστης λύσης

• Πόσο ευαίσθητη είναι η βέλτιστη λύση αναφορικά με τις εμπλεκόμενες παραμέτρους;

• Πιθανοί λόγοι ανάλυσης ευστάθειας:– Οι τιμές των παραμέτρων είναι προσεγγιστικές.– Το δυναμικό περιβάλλον επιφέρει αλλαγές.– …

Page 22: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

22

• Εύρος βελτιστότητας– Η βέλτιστη λύση δεν θα μετακινηθεί όσο

• Οι τιμές ενός συντελεστή της συνάρτησης κέρδους ανήκει σε

μια περιοχή βελτιστότητας • Δεν υπάρχουν αλλαγές στις άλλες παραμέτρους εισόδου.

– Η τιμή της συνάρτησης κέρδους θα αλλάξει αν ο συντελεστής πολλαπλασιάζεται με μια μη-μηδενική μεταβλητή.

Ανάλυση ευστάθειας των Ανάλυση ευστάθειας των συντελεστών της συνάρτησης κέρδουςσυντελεστών της συνάρτησης κέρδους..

Page 23: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

23

500

1000

500 800

X2

X1Max 8X

1 + 5X2

Max 4X1 + 5X

2

Max 3.75X1 + 5X

2

Max 2X1 + 5X

2

Ανάλυση ευστάθειας των Ανάλυση ευστάθειας των συντελεστών της συνάρτησης κέρδουςσυντελεστών της συνάρτησης κέρδους..

Page 24: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

24

500

1000

400 600 800

X2

X1

Max8X1 + 5X

2

Max 3.75X1 + 5X

2

Max 10 X

1 + 5X2

Εύρος βελτιστότητας: [3.75, 10]

Ανάλυση ευστάθειας των Ανάλυση ευστάθειας των συντελεστών της συνάρτησης κέρδουςσυντελεστών της συνάρτησης κέρδους..

Page 25: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

25

• Μείωση κόστουςΥποθέτοντας ότι δεν έχουμε άλλες αλλαγές στις παραμέτρους εισόδου, η μείωση κόστους μια μεταβλητής Xj της οποίας η τιμή στην βέλτιστη λύση “0” είναι:

– Μείον το ποσό της αύξησης του συντελεστή της μεταβλητής Xj (-∆Cj) που απαιτείται για να γίνει η εν λόγω μεταβλητή θετική στην βέλτιστη λύση

– Εναλλακτικά, είναι η αλλαγή που επιφέρει στην τιμή της βέλτιστης συνάρτησης η μονάδα μεταβολής της Xj.

• Συμπληρωματικότητα Σε μια βέλτιστη λύση, είτε η τιμή μια μεταβλητής είναι μηδέν, είτε η μείωση κόστους της είναι μηδέν.

Page 26: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

26

• Μας απασχολούν ερωτήματα όπως τα παρακάτω:

– Αν κρατήσουμε όλες τις άλλες παραμέτρους σταθερές, πόσο επηρεάζεται το βέλτιστο κέρδος από ενδεχόμενες αλλαγές της τιμής του δεξιού μέλους μιας από τις συναρτήσεις περιορισμού;

– Πόση αλλαγή επιφέρει καταστροφή της υπολογισθήσας βέλτιστης λύσης;

Ανάλυση ευστάθειας δεξιών μελώνΑνάλυση ευστάθειας δεξιών μελών

Page 27: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

28

Σκιώδης τιμέςΣκιώδης τιμές

• Υποθέτοντας ότι δεν έχουμε άλλες αλλαγές στις τιμές των παραμέτρων εισόδου, η αλλαγή που επιφέρει η μεταβολή κατά μια μονάδα του δεξιού μέλους ενός περιορισμού στην συνάρτηση κέρδους ονομάζεται σκιώδης τιμή (Shadow Price)

Page 28: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

29

1000

500

X2

X1

500

2X1 + 1x

2 <=1000

Όταν μας διατεθεί επιπρόσθετο υλικό το δεξί μέλος της αντίστοιχης συνάρτησης περιορισμού αυξάνει.

Χρόνος παραγωγής

Μέγιστο κέρδος = $4360

2X1 + 1x

2 <=1001 Μέγιστο κέρδος= $4363.4

Σκιώδης τιμή= 4363.40 – 4360.00 = 3.40

Σκιώδης τιμέςΣκιώδης τιμέςΠλαστικό

Page 29: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

30

Εύρος Εφικτότητας (Εύρος Εφικτότητας (Range of FeasibilityRange of Feasibility))

• Υποθέτοντας ότι δεν έχουμε άλλες αλλαγές σε άλλες μεταβλητές, το εύρος εφικτότητας είναι– Το εύρος των τιμών ενός δεξιού μέλους ενός περιορισμού,

μέσα στο οποίο οι σκιώδης τιμές των περιορισμών παραμένουν αναλλοίωτες.

– Μέσα στο εύρος σκοπιμότητας η τιμή της συνάρτησης κέρδους μεταβάλλεται ως εξής:Μεταβολή στην συνάρτηση κέρδους = [σκιώδης τιμή][αλλαγή τιμής δεξιού μέλους]

Page 30: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

31

Εύρος ΕφικτότηταςΕύρος Εφικτότητας

1000

500

X2

X1

500

2X1 + 1x

2 <=1000

Η αύξηση της ποσότητας του πλαστικού αρχίζει να επηρεάζει την βέλτιστη λύση μόνον όταν υπεισέλθει νέος περιορισμός.

Περιορισμός πλαστικού

Μη εφικτή λύσηΠεριορισμός χρόνου παραγωγής

Περιορισμός αναλογίαςX1 + X2 ≤ 700

Νέος ενεργός περιορισμός

Page 31: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

32

Εύρος ΕφικτότηταςΕύρος Εφικτότητας

1000

500

X2

X1

500

πλαστικό

Χρόνος παραγωγής

Παρατηρήστε πώς αυξάνει το κέρδος με την αύξηση του διαθέσιμου πλαστικού.

2X1 + 1x

2 ≤1000

Page 32: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

33

Εύρος ΕφικτότηταςΕύρος Εφικτότητας

1000

500

X2

X1

5002X1 + 1X2 ≤ 1100

Λιγότερο διαθέσιμο πλαστικό (ο περιορισμός του πλαστικού είναι ποιο περιοριστικός).

Το κέρδος μειώνεται

Νέος ενεργός περιορισμός

Μη-εφικτή λύση

Page 33: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

35

Άλλες μεταβολής στην βέλτιστη λύσηΆλλες μεταβολής στην βέλτιστη λύση

• Προσθήκη ενός περιορισμού.

• Απάλειψη ενός περιορισμού.

• Προσθήκη μιας μεταβλητής.

• Απάλειψη μιας μεταβλητής.

• Αλλαγές στο δεξί μέλος των περιορισμών.

Page 34: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

36

Χρήση Χρήση Excel Excel για τον προσδιορισμό για τον προσδιορισμό της βέλτιστης τιμής και την ανάλυση της βέλτιστης τιμής και την ανάλυση των αποτελεσμάτωντων αποτελεσμάτων

• Galaxy.xls

Equal To:

To enter constraints click…

Set Target cell $D$6

Page 35: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

37

• Μη-εφικτό: Όταν το μοντέλο δεν έχει κανένα εφικτό σημείο Occurs.

• Μη-φραγμένο: όταν η συνάρτηση κέρδους μπορεί να

γίνει απεριόριστα μεγάλη (max), ή μικρή (min).

• Μη-μοναδικότητα: Όταν περισσότερα από ένα σημεία

μας οδηγούν σε βέλτιστη λύση

Μοντέλα χωρίς μοναδική βέλτιστη λύσηΜοντέλα χωρίς μοναδική βέλτιστη λύση

Page 36: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

38

1

Κανένα σημείο δε βρίσκεται,

Πάνω από την γραμμή

και κάτω από τις

.

1

2 32

3

Μη-εφικτόΜη-εφικτό

Page 37: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

39

Μη φραγμένοΜη φραγμένο

Περιοχή εφικτότητας

Page 38: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

40

• Ένας επιλυτής ενδεχομένως να μην ενημερώσει τον χρήστη για την ύπαρξη και άλλων βέλτιστων λύσεων.

Μη-μοναδικότηταΜη-μοναδικότητα

Page 39: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

41

Το πρόβλημα της δίαιτας Το πρόβλημα της δίαιτας • Μείξη δύο πρώτων υλών: Υ1, Υ2.• Ελαχιστοποίησε το συνολικό κόστος του μείγματος. • Ικανοποιώντας τις απαιτήσεις σε Vitamin A, Vitamin D, και σίδηρο.

Page 40: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

42

• Decision variables– X1 (X2) -- το πλήθος των μερίδων κάθε προϊόντος.

• Το μοντέλοMin 0.60X1 + 0.50X2

Ως προς

20X1 + 50X2 ≥ 100 Vitamin A

25X1 + 25X2 ≥ 100 Vitamin D

50X1 + 10X2 ≥ 100 Σίδηρος

X1, X2 ≥ 0

Κόστος μονάδας

% Vitamin AΑπό μια μερίδα

% απαιτήσεις

ΜοντέλοΜοντέλο

Page 41: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

43

10

2 44 5

Περιοχή εφικτότηταςΠεριοχή εφικτότητας

Vitamin “D” περιορισμός

Vitamin “A” περιορισμός

Σίδηρος περιορισμός

Γραφική λύσηΓραφική λύση

Page 42: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

44

– Υ1 = 1.5 μερίδα

Υ2 = 2.5 μερίδες

– Κόστος =$ 2.15 ανά μερίδα σερβιρίσματος.

– Δεν απομένει περίσσευμα Vitamin D και σιδήρου.

– Το μείγμα προσδίδει 155% των απαιτήσεων σε Vitamin A.

Συνοπτική εικόνα βέλτισης λύσηςΣυνοπτική εικόνα βέλτισης λύσης

Page 43: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

45

• Πληθώρα

Λογισμικά ΓΠΛογισμικά ΓΠ

Page 44: Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Θέματα ΟργάνωσηςΘέματα Οργάνωσης

• Δηλώστε συμμετοχή στο μάθημα μέχρι και τις 8.00πμ της Δευτέρας 29 Σεπτεμβρίου

• Θα δοθεί ένα προκαταρτικό τεστ γνώσεων στην Γραμμική Άλγεβρα στην Δευτέρα 29 Σεπτεμβρίου την ώρα της διάλεξης

• Ο τελικός βαθμός θα υπολογισθεί με βάση τον βαθμό μιας προόδου και τον βαθμό της τελικής εξέτασης

46