9 786188 021433

ISBN: 978-618-80214-3-3

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 623

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1ο Έστω z∈ με z 2= και z 2.≠ Θεωρούμε τις συναρτήσεις:

[ )f : 0, + ∞ → με ( ) ημxf x e=

[ )F: 0, + ∞ → με ( ) ( )x

0F x z 2f t dt x= − +∫

α) Να δείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα. β) Να βρείτε τον z αν ισχύει:

( )x 0

F xlim 3

x→=

γ) Να δείξετε ότι για κάθε x 0> υπάρχει ( )α 0, x∈ τέτοιος ώστε:

( ) ημαF x xxe .

z 2−

=−

Θέμα 3ο Θεωρούμε το σύνολο { }Α z / z 1= ∈ > και τη συνάρτηση [ )f : 1,+ ∞ → με:

( ) x zf x ln x 2 .

x z−

= − ⋅+

α) Για κάθε z A∈ να βρείτε το όριο ( )xlim x f x→+∞

′⋅ .

β) Δείξτε ότι για κάθε z A∈ ισχύει:

( ) z 1f x 2

z 1−

≥ ⋅+

για κάθε x 1≥ .

γ) Να βρείτε τα σύνολα:

z 1 z 1B , z A και Γ , z A .z 1 z 1

− − = ∈ = ∈ + +

624 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέμα 5ο Έστω *

1 2z , z ∈ τέτοιοι, ώστε 1 2z z α= = και f : → συνεχής συνάρτηση

με ( )f 2 1.= Θεωρούμε και τη συνάρτηση g : → με:

( ) ( ) ( ) ( )x1 22

g x f t Re z z dt α 2 x .= ⋅ + + −∫

α) Να βρείτε τους ( ) ( )g 2 , g 2 .′

β) Έστω ( )g x 0≥ για κάθε x .∈

i) Να δείξετε ότι ( ) ( )1 2Re z Re z α.+ =

ii) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης ( ) ( )2 21 2Κ Ιm z Im z .= +

Θέμα 6ο Έστω z∈ τέτοιος, ώστε ( )Im z 1.= Θεωρούμε τη συνάρτηση f : → με:

( ) ( )xf x x ln e z .= − +

α) Να βρείτε το ( )xlim f x .→+∞

β) Να δείξετε ότι η f είναι αύξουσα και ότι στρέφει τα κοίλα κάτω από το . γ) Δείξτε ότι για κάθε x ,∈ ισχύει:

( ) ( )x 1 x

z zf x 1 f x

e z e z+ < + − <+ +

.

δ) Να βρείτε τον z αν ισχύει:

( ) ( ) ( )1

2

0x f x f x 2x f x dx ln 2. ′⋅ ⋅ + ⋅ = −

⌠⌡

Θέμα 7ο Έστω *z∈ με ( )Re z 1.= Θεωρούμε το πολυώνυμο:

( ) 3P x x 3x z= − +

το οποίο έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες. α) Να δείξετε ότι ( )Ιm z 3<

β) Αν ( )P 1 0= να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )2

0

P xI dx

x 2=

+⌠⌡

.

γ) Αν ( )P z 0,= να δείξετε ότι 100 50z 2 .= −

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 625

Θέμα 9ο Έστω { }*z i .∈ − Θεωρούμε και τη συνεχή συνάρτηση f : → .

α) Αν xe x z≥ + για κάθε x ,∈ να δείξετε ότι οι εικόνες του z ανήκουν σε

κυκλικό δίσκο. β) Αν για κάθε x 0≥ ισχύει:

( )x x0

z f t dt e 1⋅ ≤ −∫

δείξτε ότι υπάρχει α 0≥ τέτοιο, ώστε

( ) α1f α ez

≤ ⋅ .

γ) Αν για κάθε x∈ ισχύει:

( )x

x

0z f t dt e 1,⋅ = −⌠

⌡

να βρείτε τον z όταν

( )xef x .

z i=

−

Θέμα 11ο Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση ( )f : 0, + ∞ → για την οποία ισχύουν:

( )f 1 0= και ( ) ( )xf x 2f x x′ − = για κάθε x 0> .

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( )2

f xh x ,

x= είναι 1 1− στο ( )0, .+ ∞

β) Θεωρούμε τους μη μηδενικούς μιγαδικούς z, w με z w≠ και:

( ) ( )w w f z z z f w⋅ = .

Να δείξετε ότι z wRe 0.z w+ = −

γ) Να βρείτε τις συναρτήσεις ( ) ( )h x , f x . δ) Να υπολογίσετε το όριο

( )( )

x

12x 1

f t dtL lim .

ln x→= ∫

626 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέμα 13ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς z∈ με την ιδιότητα

( ) ( )Re z Im z=

καθώς και τη συνάρτηση [ )f : 1, ,+ ∞ → με

( ) ( )2f x x z 2ln x .= −

α) Να βρείτε τον z, αν η f έχει τοπικό ακρότατο στο 40x e .=

β) Για τον z που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να δείξετε ότι: ( ) ( ) 3f β f α

4eβ α−

≤−

για κάθε α, β με 1 α β.< <

γ) Να βρείτε τον z αν η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα [ )1, .+ ∞

Θέμα 15ο Έστω z∈ τέτοιος ώστε z 1.> Θέτουμε:

z 1α

ln z−

=

και θεωρούμε τη συνάρτηση f : → , τέτοια ώστε:

( ) x 2f x z x− ≤ για κάθε x .∈

Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0= και να βρείτε τον ( )f 0 .′

β) Να αποδείξετε ότι α 1.> γ) Αν η f είναι συνεχής, τότε:

( )1

0

1f x dx α .3

− ≤⌠⌡

Θέμα 17ο Έστω z ,∈ με z 3 1.− = Θεωρούμε τη συνάρτηση f : → με:

( ) ( )2f x ln x x z= + + .

α) Να υπολογίσετε τα όρια: ( )

xlim x f x→−∞

′⋅ και ( )xlim x f x .→+∞

′⋅

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 627

β) Να δείξετε ότι z 2.≥

γ) Να δείξετε ότι για κάθε 2α2

> η εξίσωση ( )f x αx= έχει το πολύ μία λύση.

δ) Να βρείτε το z όταν: 1

21

dx ln3.x z−

=+

⌠⌡

Θέμα 19ο Για κάθε z *∈ θεωρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f : → με την ιδιό-τητα:

( ) ( )f x z f x′ ≤ ⋅ για κάθε x∈ (1)

α) Αν z 1 i= + , να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ) 2 1f x x2

= + έχει την ιδιότητα (1).

β) Να δείξετε ότι:

i) Η συνάρτηση g : → με ( ) ( )x zg x e f x− ⋅= ⋅ είναι γνησίως φθίνουσα.

ii) ( )( )

f 2z ln .

f 1>

iii) ( ) ( ) x zf x f 0 e ⋅≤ ⋅ για κάθε x 0.≥

Θέμα 21ο α) Να δείξετε ότι:

( ) ( )2 2α 1 α ln 1 α≥ + ⋅ + για κάθε α 0≥ .

β) Δίνεται η συνάρτηση [ )f : 1, + ∞ → με:

( ) ( )1f x x

ln 1 x ln x= −

+ −.

i) Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ )1, + ∞ .

628 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. iii) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του Α καθώς και τη μικρότερη τιμή του Β,

ώστε να ισχύει: x A x B1 11 e 1

x x

+ + + ≤ ≤ +

για κάθε x 1≥ .

Θέμα 23ο Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )f : 0, + ∞ → με:

( ) 2f x 3ln x x 5x m, m .= + − + ∈

α) Να βρείτε την τιμή του m∈ αν η εφαπτομένη της fC στο σημείο

( )( )A 1, f 1 διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

β) Για m = 4, θεωρούμε τη συνάρτηση ( )F 0, + ∞ → με:

( ) ( )x

1F x f t dt= ⌠

⌡.

i) Να μελετήσετε την F ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

ii) Αν ( )F α 0 και α 1= > να δείξετε ότι η εξίσωση: 23 x 5x 4x e 1− +⋅ =

έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα [ ]1, α .

Θέμα 25ο Έστω η συνάρτηση f:

( ) xx 1f x e , x 1x 1

−−= − ≥

+

α) Να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Nα δείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο ( )α 1,∈ +∞ τέτοιο, ώστε

( )f α 0.=

γ) Θεωρούμε τις συναρτήσεις [ ]g, h : 1,1− → με:

( ) ( ) ( ) ( )2013 2013g x 2ln α x , h x 2ln α x= − = +

καθώς και την ευθεία με εξίσωση: ( ) 1ε : y x 2014.α

= +

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 629

i) Nα δείξετε ότι υπάρχει σημείο ( )( )M κ, g κ της gC στο οποίο εφαπτομέ-

νη είναι κάθετη στην ευθεία ( )ε .

ii) Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο ( )( )Ν λ, h λ της hC στο οποίο η εφαπτο-

μένη είναι παράλληλη στην ( )ε . Θέμα 27ο Δίνονται οι f , g : → , με:

( ) ( )x

2 x2x e 1f x , g x .

1 x e 1−

= =+ +

α) Να βρείτε τα σύνολα των τιμών των συναρτήσεων f, g. β) Να δείξετε ότι για κάθε β∈ υπάρχει α∈ τέτοιο, ώστε:

β

2 β2α e 1.

1 α e 1−

=+ +

γ) Να βρείτε τους x, y∈ με x 0, y 0> > για τους οποίους ισχύει:

( ) ( )f ln x ln f y 1.+ =

δ) Να αποδείξετε ότι:

( ) ( )1 xx

21 1

f tf t dt dt 0, x 0.

t+ = >⌠⌠ ⌡ ⌡

Θέμα 29ο Δίνονται οι συναρτήσεις f : → με

( ) ( )( )( )f x x 1 x 2 x 3= − − −

και g : A → με

( ) { }1 1 1g x , A 1, 2, 3 .x 1 x 2 x 3

= + + = −− − −

α) Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία στο Α. β) Να δείξετε ότι

( ) ( )( )

f xg x .

f x′

=

γ) Να δείξετε ότι

( ) ( ) ( )2f x f x f x′ ′′ > ⋅ για κάθε x A.∈

630 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση: ( ) ( )f x α f x 0′− ⋅ =

έχει ακριβώς τρεις λύσεις για κάθε α .∈

Θέμα 31ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f : → με:

( ) xf x e x α, α= − − ∈ .

α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f στο . β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του α έτσι ώστε ( )f x 0≥ για κάθε x .∈

γ) Να βρείτε το όριο

( )( )

( )( )x

f x f xlim

f x f x→+∞

′ − ′

.

δ) i) Aν 0 α κ 1,< + < να δείξετε ότι η εξίσωση

( )xα κ e 1 x+ = −

έχει ακριβώς μία λύση στο ( )0,1 .

ii) Nα δείξετε ότι υπάρχει μόνο ένα σημείο ( )( )0 0A x , f x με ( )0x 0,1∈ τέτοιο,

ώστε η εφαπτομένη της fC στο Α να διέρχεται από το σημείο ( )M 0, κ .

Θέμα 33ο Έστω συνάρτηση ( )f : 0, + ∞ → τέτοια, ώστε για κάθε x 0, y 0> > να ισχύει:

( ) ( ) ( )2 2f xy x f y y f x .= +

Η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 και ( )f 1 1.′ =

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0> ισχύει:

( ) ( ) ( )h 1

f xh f x 2f xlim x.

xh x x→

−= +

−

β) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ( )0, + ∞ και ότι για κάθε x 0>

ισχύει:

( ) ( ) 2x f x 2f x x .′⋅ = +

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 631

γ) Να δείξετε ότι:

( ) 2f x x ln x, x 0.= >

δ) Να βρείτε το όριο

( )x 0

f xlim .

x→

Θέμα 35ο

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : → με:

• ( )f 0 1=

• ( ) ( )f x f x 1 x′ + = +

α) Να βρείτε τη συνάρτηση ( )f x .

β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f.

γ) Nα δείξετε ότι

( ) xx 1 e 1 0 για κάθε x .− ⋅ + ≥ ∈

δ) Να λύσετε την εξίσωση ( )f x 1.=

ε) Αν β, γ 0≠ να δείξετε ότι η εξίσωση:

( ) ( )f β 1 f γ 10

x 2 x 1− −

+ =− −

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα ( )1, 2 .

Θέμα 37ο α) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ( )α 0,1∈ τέτοιο, ώστε:

ln α α 1 0.+ + = β) Δίνεται η συνάρτηση ( )f : 0,+ ∞ → με

( ) x ln xf x .x 1

=+

632 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

i) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δείξε-τε ότι για κάθε x 0> ισχύει ( )f x α.≥ −

ii) Θεωρούμε τις συναρτήσεις ( )h, g : 0, + ∞ → με

( ) ( ) ( ) ( )f xh x xf x , g x

x= = .

Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες των g hC , C στα σημεία ( )( )M α, g α ,

( )( )Ν α, h α αντίστοιχα είναι κάθετες.

Θέμα 39ο Δίνεται η συνάρτηση f : → με

( )2x

2xe 1f x .e 1

−=

+

α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να λύσετε την εξίσωση

( )xf x, x 1,1 .2

= ∈ −

γ) Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση g : → ισχύει:

( ) ( )g xg x f

2

=

για κάθε x∈

να δείξετε ότι η g είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της. δ) Να δείξετε ότι:

( ) ( ) 2f x 1 f x για κάθε x .′ = − ∈

ε) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

( )1

2

0A f x dx.= ⌠

⌡

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 633

Θέμα 41ο Δίνεται συνάρτηση

( ) ( ) [ )2xf x x 2 e , x 0, .= + ⋅ ∈ + ∞

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να λύσετε την εξίσωση:

( )1f 4 x 1

f 1 0.e

− − − − =

γ) Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( )f x 1 f t f x 1− ≤ ≤ + για [ ]t x 1, x 1 , x 1∈ − + ≥

και να βρείτε το όριο

( )2

x 1t

x x 1lim t 2 e dt

+

→+∞ −+ ⋅⌠

⌡.

δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )2f 2x x f x 4+ = + έχει τουλάχιστον μία ρίζα

στο διάστημα [ ]0, 2 .

Θέμα 43ο

Για λ∈ δίνεται η συνάρτηση:

( ) 3 2f x x λx 3x 1, x= + − + ∈ .

α) Να δείξετε ότι η f δεν είναι "1 1".−

β) Να δείξετε ότι εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση

( ) ( )f x 2F x e x λx 3.= + + −

γ) Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x 1,= να βρείτε την

τιμή του λ. δ) Για λ 0=

i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της

f που είναι παράλληλες προς την ευθεία y 9x 2014.= +

634 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέμα 45ο

Έστω η συνάρτηση ( ) ( )4f x x 1 αx, x= + − ∈ τέτοια, ώστε:

( )f x 1≥ για κάθε x∈ .

Να δείξετε ότι: α) α 4.= β) Η f είναι κυρτή.

γ) Η συνάρτηση ( ) ( )5 2g x x 1 10x 5x= + − − είναι γνησίως αύξουσα στο διάστη-

μα [ )0, .+ ∞

δ) Υπάρχει A∈ ώστε

( ) ( ) 2x 1 f x Ax x 1+ ≥ + + για κάθε x 0.≥

Θέμα 47ο Δίνεται η συνάρτηση f : → με:

( ) x 3f x e x x.= + +

α) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συ-νάρτησης 1f .−

β) Να λύσετε την εξίσωση

( )1f x 0− = .

γ) Να βρείτε το όριο: ( ) ( )

x 0

f x f xlim .

5x→

′ ′′−

δ) Αν ( ) βf α e= και ( ) αf β e ,= να δείξετε ότι: α β 0.= =

ε) Να δείξετε ότι η εξίσωση:

( )1

3x3

1 1f e f x ln x ln xxx

+ + = + +

έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα ( )1, e .

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 635

Θέμα 49ο

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση [ ]f : 0,1 → η οποία είναι κοίλη

στο διάστημα [ ]0,1 .

α) Αν ( ) ( )f 0 f 1 0,= = να δείξετε ότι:

( )f x 0≥ για κάθε [ ]x 0,1 .∈

β) Να δείξετε ότι:

( ) ( ) ( ) ( )( )f x f 0 x f 1 f 0≥ + ⋅ − για κάθε [ ]x 0,1 .∈

γ) Θεωρούμε τις συναρτήσεις:

( ) ( )g x ln f x= και ( ) ( )21h x ln , x 0,1 .

x x = ∈ −

Να δείξετε ότι υπάρχει ( )c 0,1∈ τέτοιο ώστε οι εφαπτομένες των g hC , C στο

σημείο με τετμημένη c να είναι παράλληλες. δ) Να βρείτε το όριο:

( )x 0lim x h x .

+→⋅

Θέμα 51ο Θεωρούμε τις συναρτήσεις

( ) 1 1f x ημx συνx, x2 3

= + ∈ και ( ) ( )g x x f x , x= − ∈

Να δείξετε ότι:

α) ( ) 5f x6

′ ≤ για κάθε x .∈

β) ( ) ( ) 5f x f y x y6

− ≤ − για κάθε x, y .∈

γ) Υπάρχει ένα μόνο α 0> τέτοιο ώστε ( )g α 0.=

δ) Υπάρχει ξ∈ τέτοιο ώστε:

( ) ( )1f ξ 1.

3f α′ + =

636 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέμα 53ο

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : → για την οποία ισχύουν: • ( )f 0 1= • ( )f x 0, για κάθε x≠ ∈

• ( )( ) ( )( )x xf x e x f x e 1 για κάθε x′ − = − ∈

α) Nα βρείτε την ( )f x .

β) Να δείξετε ότι υπάρχει ( )α 0, 2∈ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της fC στο ση-

μείο ( )( )A α, f α να διέρχεται από το σημείο ( )P 1, 0 .

γ) Να δείξετε ότι ( )f x 1≥ για κάθε x .∈

δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση

( )22x 1

2

0x f t dt βx βx 1 0, β

−

⋅ + − − = ∈⌠⌡

έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα ( )0,1 .

Θέμα 55ο Δίνεται η συνάρτηση

( ) ( )f x x 4 ln x 3x 4, x 0= − + − > . α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

( ]1Δ 0,1= και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ )2Δ 1, .= + ∞ Στη συνέχεια να

βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

x 4 2014 3xx e , x 0− −= >

έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. γ) Αν α, β με α β< είναι οι ρίζες της προηγούμενης εξίσωσης, να δείξετε ότι

υπάρχει μοναδικό ( )ξ α, β∈ τέτοιο ώστε:

( ) ( )ξf ξ f ξ 2010.′ − = −

δ) Έστω η συνεχής συνάρτηση g : → με

( )x 1

g x 3x 4lim 0.

x 1→

− +=

−

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 637

Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ( )ε της gC στο σημείο ( )( )Α 1, g 1

και στη συνέχεια το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης ( )f x και την ευθεία ( )ε .

Θέμα 57ο

Έστω η συνεχής συνάρτηση [ )f : 0, + ∞ → για την οποία ισχύει:

( ) ( )x f x ln x 1⋅ = + για κάθε x 0≥ .

α) Να αποδείξετε ότι

( )( )ln x 1

, x 0f x x1 x 0

+>=

=

β) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση 1f − και να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση

( ) ( )g x xf x , x 0= ≥

στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα [ )0, .+ ∞ Στη συνέχεια, να βρείτε την

εξίσωση εφαπτομένης της gC στο σημείο ( )( )A 1, g 1 .

δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση

( ) 1 xxf x ln 2, x 02 2

+ = + ≥

έχει ακριβώς μία λύση. Θέμα 59ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : → για την οποία ισχύουν: • ( )f x 0> για κάθε x∈

• ( ) ( ) ( )( )2 2x 1 f x f x x x 1′+ ⋅ = − + για κάθε x∈

• ( )f 0 1=

638 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

α) Να αποδείξετε ότι:

( )x

2

ef x , xx 1

= ∈+

και στη συνέχεια ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο . β) Να δείξετε ότι:

( )1

2

0f x dx ln 2>⌠

⌡

γ) Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:

( ) ( )2x 1 4f 2 e f x 1−⋅ < + .

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ( )ξ 0,1∈ τέτοιο, ώστε:

( ) ( ) ( )ξ

2

0f t dt 2 ξ 1 2ξ 1 ln 2.+ − = − ⋅⌠

⌡

Θέμα 61ο Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( )0, + ∞ συνάρτηση f με

( )3

4f x dx 1=⌠

⌡ και ( )

5

4f x dx 3.=⌠

⌡

Θεωρούμε τη συνάρτηση g:

( ) ( )x 2

x 1g x f t dt, x 0.

+

+= >⌠⌡

α) Να μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία.

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 2, 3∈ ώστε:

( ) ( )f ξ 2 f ξ 1 4.+ − + =

γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στα σημεία 1 και 2 με ( ) ( )f 1 f 1 1′= = και

( ) ( )f 2 f 2 2′= = να βρείτε το όριο

( ) ( )2

12x 0

g x f x dx xlim

x→

− −⌠⌡ .

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 639

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

( ) ( )2 2

22

x 3 x 3

x 4x 2f t dt f t dt 2

+ +

++

= +⌠ ⌠ ⌡⌡

έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα ( )0, .+ ∞

Θέμα 63ο Θεωρούμε τη συνεχή και μη μηδενική συνάρτηση [ ]f : 0,1 → , καθώς και τη συ-

νάρτηση [ ]g : 0,1 → με:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x x

2

0 0

1g x t 1 f t dt t 1 f t dt2

= + ⋅ − + ⋅

⌠ ⌠ ⌡ ⌡

.

α) Να βρείτε την ( )g x όταν ( ) 1f x .x 1

=+

β) Αν για την ( )f x ισχύει ότι:

( ) 10 f xx 1

< ≤+

για κάθε [ ]x 0,1∈ ,

τότε: i) Να δείξτε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. ii) Υπάρχει ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε:

( ) 1g ξ g .2014

′ >

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση f για την οποία η g να είναι σταθερή. Θέμα 65ο

Δίνεται η συνάρτηση f : → με ( )x

20

1f x dt.t 1

=+

⌠⌡

α) Να δείξετε ότι για κάθε x∈ ισχύει:

( ) ( ) 21f x 1 f x f

x x 1 + − = + +

.

β) Να υπολογίσετε το όριο

( ) ( )( )xlim f x 1 f x→+∞

+ −

640 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 1, 2∈ τέτοιο, ώστε: 13

2 20

1 1 dt1 ξ 1 t

=+ +

⌠⌡

.

δ) Για κάθε [ ]x 0,1∈ , να δείξετε ότι ( )f x x≤ .

ε) Να δείξετε ότι ισχύει ( )1

2

0

1f x dx .3

<⌠⌡

Θέμα 67ο Έστω η συνάρτηση ( )g : 0, + ∞ → με

( ) 2 1g x 2x fx

=

για κάθε x 0> ,

όπου η f έχει συνεχή παράγωγο στο [ )0, + ∞ με ( )f 0 0.= α) Αν η ευθεία y 2014x κ= + είναι πλάγια ασύμπτωτη της gC στο +∞ , να βρεί-

τε την εξίσωση εφαπτομένης της fC στο ( )( )A 0, f 0 . β) Αν η ευθεία y 1007x= έχει δύο κοινά σημεία με την gC , να δείξετε ότι

υπάρχει m∈ τέτοιο, ώστε: 1 1mf f .m m

′=

γ) Αν ισχύει: 1β

21α

1 1f dx 0, α βxx

′ = <

⌠⌡

να δείξετε ότι υπάρχει 0x ∈ τέτοιο, ώστε ( )0f x 0.′ =

δ) Αν για κάθε ( )x, y 0,∈ +∞ με x y< ισχύει ( ) ( )2 2y f x x f y> να δείξετε ότι:

( ) ( )g x g y .< Θέμα 69ο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση g : → καθώς και η συνεχής συνάρτηση

f : → με

( )g x 0> και ( )f x 0> για κάθε x .∈

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 641

Θεωρούμε τη συνάρτηση F : → με:

( ) ( )

( )x g x

0

tF x f dtg x

⋅

=

⌠⌡

.

α) Να δείξετε ότι για κάθε x∈ είναι

( ) ( ) ( )x

0F x g x f u du.= ⋅ ∫

β) Αν ( ) xg x e= και ( ) xf x e−= , να βρείτε την F.

γ) Αν ( )F x x≥ για κάθε x∈ να δείξετε ότι: ( ) ( )g 0 f 0 1.⋅ =

δ) Να δείξετε ότι ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )F 1 g 2 F 2 g 1 .⋅ < ⋅

Θέμα 71ο Δίδεται η συνάρτηση F:

( ) ( )x

1

f tF x x dt, x 1

t= ≥⌠

⌡

όπου f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [ )1,+ ∞ με ( )f 1 0= και:

( ) ( )f x xf x 0′+ ≥ για κάθε x 1.≥

α) Να δείξετε ότι ( )F x 0≥ για κάθε x 1.≥

β) Αν ( ) ( )2

1

f tdt f 2

t= −⌠

⌡

να δείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 1, 2∈ τέτοιο, ώστε:

( ) ( )f ξ ξf ξ 0.′+ =

γ) Να λύσετε την εξίσωση

( ) ( )2

2

f x 1 f 2x, x 1.

2x x 1

+= ≥

+

δ) Να βρείτε την F αν ( )f x ln x, x 1.= ≥

642 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέμα 73ο Έστω η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

( ) ( ) ( )f x f x f x 0, x′′′ ′+ + = ∈

α) Αν η συνάρτηση g

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2g x f x f x 2f x f x′′ ′ ′= + +

είναι σταθερή, να δείξετε ότι και η f είναι σταθερή. β) Αν: • ( ) ( )f 1 f 1 1′′ + = −

• ( ) ( )f 0 f 0 1′′ + =

να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )1

0f x dx.⌠

⌡

γ) Αν επιπλέον ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln f β f β f β ln f α f α f α β α′ ′′ ′ ′′+ + − + + = −

για α,β∈ με α β< , να δείξετε ότι υπάρχει ( )c α,β∈ τέτοιος, ώστε:

( ) ( )f c f c .′′′ =

δ) Αν ισχύει ( )f x 0′′′ > για κάθε x∈ να δείξετε ότι:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2x αf x f α f α x α f α

2−

′ ′′≤ + − + για κάθε x α.≤

Θέμα 75ο Έστω η f μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ )1, + ∞ με ( )f x 0> για κάθε

x 1.≥ Ορίζουμε τις συναρτήσεις:

( ) ( )x

2

1G x t f t dt, x 1= ≥⌠

⌡ και ( ) ( )

x

1H x tf t dt, x 1.= ≥⌠

⌡

α) Θεωρούμε τη συνάρτηση Ρ: ( ) ( ) ( )P x xH x G x , x 1.= − ≥

Να δείξετε ότι: i) ( )P x 0≥ για κάθε x 1.≥

ii) Η συνάρτηση ( )P x είναι κυρτή στο διάστημα [ )1, + ∞ .

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 643

iii) Για κάθε x 1> ισχύει:

( ) ( ) ( )P x P x 2P x 1 .

2+ +

+ <

β) Nα δείξετε ότι η συνάρτηση:

( ) ( )( )

G xF x

H x=

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( )1, .+ ∞

γ) Να βρεθεί το όριο: ( )

( ) ( )

2x

12x 1

H x ln t dtL lim .

G x x 1+→

⋅=

⋅ −

⌠⌡

Θέμα 77ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f : → η οποία για κάθε x∈ ικανοποιεί τις σχέσεις: • ( )xe f x 1 0⋅ − ≥

• ( ) ( )

x tx

0

e te x dt 1 f xf t

− − = + ⋅

⌠⌡

α) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο . β) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Αν είναι

( ) xxf x 1 , xe

= − ∈ ,

τότε: γ) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα. δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ( )α 0,1∈ τέτοιο ώστε για το εμβαδόν που περικλείεται

από την fC , την εφαπτομένη αυτής στο 0x α= και τον άξονα y y,′ να ισχύει: E 1 α.= −

ε) Να βρείτε τον όριο:

( ) ( ) ( )2

x

1 1lim f x 1 συν ημ .f x f x→−∞

⋅ − ⋅

644 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέμα 79ο Έστω g : → μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει:

( ) ( )x

x

xe x g t dt 0

−− =⌠

⌡ για κάθε x .∈

Θεωρούμε επίσης και την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : → με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύουν:

• ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

g x2

g xf t f t 1 dt f x f x x

′ −

′′+ + = −⌠

⌡ για κάθε x∈

• ( )f x 0≠ για κάθε x∈ .

• ( )f 0 1.=

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( )g x είναι περιττή.

β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ( )f x .

γ) i) Nα δείξετε ότι:

( ) ( ) ( )( )2

f x xf xf x

f x′−

′′ =

και στη συνέχεια ότι η f είναι κυρτή στο . ii) Να δείξετε ότι:

( )1

0

2f x dx2

>⌠⌡

.

δ) Nα βρείτε το όριο:

( ) ( )x

1lim ln f x ημ .f x→+∞

⋅

ε) Να λύσετε την εξίσωση:

( )2 x

xf t dt 0.

−

=⌠⌡

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 645

Θέμα 81ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση [ )f : 0,+ ∞ → για την οποία ισχύουν:

• ( ) [ )f x x για κάθε x 0,< ∈ +∞

• ( ) ( )

x ux

1 11

x 1 tf t dt dt du2 t f t

− = + −

⌠ ⌠⌠ ⌡ ⌡⌡ για κάθε x 0≥

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με

( ) ( )xf x

x f x′ =

− για κάθε x 0.≥

β) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή. γ) Να λύσετε την ανίσωση:

( ) ( )2

4 4 2 2

x 1f fx f x x f x

′ ′< − −

δ) Να δείξετε ότι:

i) ( ) ( )xf x f x′ ≥ για κάθε x 0≥

ii) ( )2

1

1 1f x dx 2 f2 2

< −

⌠⌡

.

Θέμα 83ο Δίνεται συνάρτηση f : → για την οποία ισχύουν: • Η f είναι κυρτή στο με ( )f x 0> για κάθε x∈

• ( )x

2x

x 1e 1 x f 2x t dt 0

−− − − ≥⌠

⌡ για κάθε x∈

α) Να αποδείξετε ότι:

i) ( )1

0f t dt 2=⌠

⌡

ii) Υπάρχει ( )ρ 0,1∈ , τέτοιο ώστε ( )ρ

0f t dt 1=⌠

⌡

iii) Η εξίσωση

( ) ( )( )

x

0

x x f t dt x

0f t dt xf x e e

⌠⌡

+ ⋅ = ⌠⌡

έχει λύση στο διάστημα ( )0, ρ .

646 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση

( ) ( ) ( )x

0g x f t f 1 t dt, x= + − ∈

⌠⌡

i) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. ii) Να μελετήσετε την g ως προς τα κοίλα. iii) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης ( )g x′ , τον άξονα x x′ και τις ευθείες x 0= ,

x 1= είναι ίσο με 4 μονάδες. Θέμα 85ο Έστω συνάρτηση f : → , η οποία είναι παραγωγίσιμη και κυρτή με:

• ( )2

1x t

x 0f 0 lim x e dt

→+∞= ⋅⌠

⌡

• ( )f 0 0′ =

α) Να αποδείξετε ότι ( )f x 1≥ για κάθε x∈

β) Αν ( )f 0 0′′ = να βρείτε το όριο ( )2x 0

f x 1lim

x→

−.

Αν επιπλέον δίνεται ότι για τις συναρτήσεις f και g : → ισχύει:

( ) ( )( )( )

( )g x2 3

2 g xf x 2x 2x f x x t 1dt, x ,

−

′ + = + + − ∈⌠⌡

να αποδείξετε ότι ( )2x 2f x e x= − για κάθε x∈ .

γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

( ) ( )2x 2

2xh x f t x dt

+

= −⌠⌡

, [ )x 0,∈ +∞

και να λύσετε στο την ανίσωση

( ) ( )2

2

x 2x 3 4

x 2x 1 6f t dt f t dt 0.

+ +

+ ++ <⌠ ⌠

⌡ ⌡