Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα

µεταβλητής µάζας Όταν εξετάζουµε ένα υλικό σύστηµα µεταβλητής µάζας, δηλαδή ένα σύστη µα που ανταλλάσσει µάζα µε το περιβάλλον του, τότε πρέπει να είµαστε πολύ προσεκτικοί όταν εφαρµόζουµε για το σύστηµα αυτό τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα, διότι η µάζα που αποβάλλεται ή εισρέει στο σύστηµα εξασκεί σ’ αυτό πρόσθετη δύναµη που πρέπει να λαµβάνεται υπ΄ όψη στην διαµόρφω ση της κινητικής του κατάστασης. Για να κατανοηθεί τι ακριβώς συµβαίνει σε µια τέτοια περίπτωση, ας θεωρήσουµε ένα σωµά Σ που κάποια χρονική στιγµή t έχει µάζα Μ η δε ταχύτητά του ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα είναι

�

! v , στο οποίο µε κατάλληλο µηχανισµό εισρέει µεταξύ των χρονικών

στιγµών t και t+dt µια µάζα dm από το περιβάλλον του, µε αποτέλεσµα η ταχύτητά του να µεταβάλλεται κατά

�

d! v . Εάν

�

! F !"

είναι η ολική εξωτερική

δύναµη επί του σώµατος τη χρονική στιγµή t και

�

! f η δύναµη που δέχεται

κατά τον χρόνο dt από την εισρέουσα µάζα dm, τότε συµφωνα µε τον νόµο µεταβολής της ορµής θα ισχύει η σχέση:

�

(! F !"

+! f )dt =M(

! v + d

! v ) - M

! v =Md

! v (1)

Εξάλλου εάν

�

! v ' είναι η ταχύτητα της µάζας dm τη χρονική στιγµή t, αυτή

στο τέλος του χρόνου dt θα έχει ταχύτητα

�

! v + d

! v και η δύναµη που κυριαρ

χεί επί της µάζας αυτής στην διάρκεια του χρόνου dt είναι η δύναµη -

�

! f από

το σώµα, δηλαδή η αντίδραση της

�

! f , οπότε σύµφωνα µε τον νόµο µεταβολής

της ορµής για την µάζα αυτή θα ισχύει η σχέση:

�

-! f dt = dm(

! v + d

! v ) - dm

! v '

�

!

�

-! f dt = dm

! v +dmd

! v - dm

! v '

Όµως η διανυσµατική ποσότητα

�

dmd! v µπορεί να παραλειφθεί ως διαφορικό

δεύτερης τάξεως, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται:

�

-! f dt = dm

! v - dm

! v '

�

!

�

! f dt = - dm

! v +dm

! v ' (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

! F !"

dt - dm(! v -! v ') =Md

! v

�

!

�

! F !"

dt =Md! v + dm(

! v -! v ')

�

!

�

! F !"

=Md! v

dt+ (! v -! v ')

dm

dt

�

!

�

Md! v

dt=! F !"

- (! v -! v ')

dm

dt (3)

Επειδή η διανυσµατική διαφορά

�

! v '-! v αποτελεί την σχετική ταχύτητα

�

! v !"

της µάζας dm ως πρός το σώµα Σ και το διαφορικό πηλίκο dm/dt είναι ίσο µε τον ρυθµό µεταβολής dM/dt της µάζας Μ του σώµατος Σ, η σχέση (3) γράφεται:

�

Md! v

dt=! F !" +

! v #$

dM

dt (4)

H σχέση (4) είναι µια διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του σώµατος όταν σ’ αυτό εισρέει µάζα, οπότε ο ρυθµός µεταβολής dΜ/dt της µάζας του είναι θετικός. Η ίδια σχέση ισχύει και για σώµα από το οποίο εκφεύγει µάζα, αλλά τότε ο ρυθµός µεταβολής της µάζας του θα είναι αρνητικός. Από την µορφή της σχέσεως (4) µπορούµε να ισχύριστούµε ότι, όταν ένα σώµα ανταλλάσσει µάζα µε το περιβάλλον του εµφανίζεται πάνω σ’ αυτό µια πρόσθετη δύναµη

�

! v !" (dM/dt) που οφείλεται στην εκβαλλόµενη ή

στην εισρέουσα µάζα και η οποία είναι ανάλογη προς την σχετική ταχύτητα

�

! v !" της µάζας αυτής ως προς το σώµα. Έτσι ο δεύτερος νόµος του Νευτωνα

ισχύει και για σώµα µεταβλητής µάζας αρκεί να προστίθεται στις εξωτερικές δυνάµεις του σώµατος και η δύναµη

�

! v !" (dM/dt).

Παρατήρηση: H σχέση (3) µπορεί να πάρει µια πιο ενδιαφέρουσα µορφή. η οποία θα µας επιτρέψει να βγάλουµε χρήσιµα συµπεράσµατα. Πράγµατι η σχέση αυτή γρά φεται:

�

Md! v

dt+! v

dM

dt=! F !"

+! v '

dM

dt

�

!

�

d(M! v )

dt=! F !"

+! v '

dM

dt

�

!

�

d! P

dt=! F !"

+! v '

dM

dt (5)

όπου

�

d! P /dt ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος µεταβλητής µάζας

κατά µια τυχαία χρονική στιγµή, θεωρούµενος στο σύστηµα αναφοράς από το οποίο εξετάζεται το σώµα. Εάν η ταχύτητα

�

! v ' της εκβαλλόµενης ή εισρέ

ουσας µάζας ως προς το σύστηµα αυτό είναι µηδενική (

�

! v '=! 0 ), τότε για το

συστηµα αυτό ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παραµένει αναλλοίωτος και

για σώµα που δέχεται ή αποβάλλει µάζα, δηλαδή στην περίπτωση αυτή µπο ρούµε να γράφουµε τη σχέση:

�

d! P

dt=! F !"

ή

�

d(M! v )

dt=! F !"

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Ένα οµογενές χοντρό σχοινί µάζας m και µή κους L βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο ένα άκρο του σχοινιού εφαρµόζεται οριζόντια δύναµη

�

! F κατά την διεύθυνση

του άξονά του και το θέτει σε κίνηση. Να βρείτε την τάση του σχοινιού σε µια διατοµή αυτού σε συνάρτηση µε την απόσταση x της διατοµής από το άκρο στο οποίο εφαρµόζεται η δύναµη

�

! F . Το

σχοινί θα θεωρηθεί µη ελαστικό και σταθερής διατοµής σε όλο το µήκος του. ΛΥΣΗ: Μπορούµε να ισχυριστούµε ότι κατά την κίνηση του σχοινιού το τµήµα αυτού που βρίσκεται αριστερά της διατοµής Α αποτελεί σώµα από το οποίο εκκρέει µάζα, ενώ το υπόλοιπο τµήµα του σχοινιού αποτελεί σώµα προς το οποίο εισρέει µάζα. Εξετάζοντας τα δύο αυτά τµήµατα κατά µια χρονική στιγµή t που η ταχύτητα του σχοινιού είναι

�

! v παίρνουµε για το

αριστερό τµήµα τις σχέσεις:

Σχήµα α.

�

d

dtµ (L - x)v[ ] = T(x) -

dm

dtv

�

!

�

µLdv

dt- µ

dx

dtv - µx

dv

dt= T(x) - µ

dx

dtv

�

!

�

µ L - x( )dv

dt- µv

2= T(x) - µv

2

�

!

�

µ L - x( )a = T(x) (1)

όπου x η απόσταση της διατοµής Α από το άκρο του σχοινιού στο οποίο εφαρ

µόζεται η δύναµη

�

! F , µ η γραµµική µάζα του σχοινιού ίση µε m/L και

�

! a η

επιτάχυνση του σχοινιού κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή t. Για το δεξιό τµήµα του σχοινιού την ίδια χρονική στιγµή t έχουµε τις σχέσεις:

�

d

dtµxv( ) = F - T(x) -

dm

dtv

�

!

�

µxdv

dt+ µ

dx

dtv = F - T(x) - µ

dx

dtv

�

!

�

µxdv

dt= F - T(x)

�

!

�

µxa = F - T(x) (2)

Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

µ L - x( )aµxa

=T(x)

F - T(x)

�

!

�

L - x

x=

T(x)

F - T(x)

�

!

�

LF - xF - LT(x) + xT(x) = xT(x)

�

!

�

(L - x)F = LT(x)

�

!

�

T(x) = F(1 - x/L) (3) Από την (3) παρατηρούµε ότι για δεδοµένη δύναµη

�

! F , η τάση του σχοινιού

σε µια διατοµή αυτού αυξάνεται γραµµικά µε την απόσταση L-x της δια τοµής από το ελεύθερο άκρο του. Παρατήρηση: Τις σχέσεις (1) και (2) µπορούσαµε να λάβουµε εφαρµόζοντας τη χρονική στιγµή t τον δεύτερο νόµο της κίνησης του Νεύτωνα για τα τµήµατα του σχοινιού που βρίσκονται αριστερά και δεξιά της διατοµής Α. Με τον τρόπο αυτόν θα επιβεβαιωθεί η ορθότητα των σχέσεων που χρησιµοποιήσαµε για σώµα από το οποίο εκκρέει ή εισρέει µάζα. Για του λόγου το αληθές ας δούµε και το επόµενο λυµένο παράδειγµα, το οποίο θα µπορούσε άνετα να λυθεί από µαθητή της Γ! ή ακόµη και της Β! ΛΥΚΕΙΟΥ. Στο ένα άκρο οµογενούς σχοινιού, µήκους L και σταθερής διατο µής, έχει στερεωθεί σώµα µάζας m, ενώ στο ελεύθερο άκρο του εφαρµόζεται κατακόρυφη δύναµη, η οποία κινεί προς τα πάνω το σύστηµα µε σταθερή επιτάχυνση, µέτρου a. Nα εκφράσετε την τάση του σχοινιού σε συνάρτηση µε την απόσταση x από το ελεύθερο άκρο του και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. Δίνεται η γραµµική πυκνότητα m* του σχοινιού και η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: Θεωρούµε µια νοητή διατοµή του σχοινιού σε απόσταση x από το ελεύθερο άκρο του και εξετάζουµε το σύστηµα που βρίσκεται κάτω από τη διατοµή αυτή, δηλαδή εξετάζουµε το σχοινί µήκους L-x και το σώµα µάζας m, που είναι στερεωµένο στο άκρο του. Tο σύστηµα αυτό δέχεται τις εξής δυνάµεις. Tο βάρος

�

m! g του σώµατος, το βάρος

�

m!

! g του σχοινιού και τη

δύναµη

�

!

f x από το υπόλοιπο σχοινί µήκους x, η οποία αποτελεί και την τάση

του σχοινιού σε απόσταση x από το ελεύθερο άκρο του. Eφαρµόζοντας για το σύστηµα αυτό το δεύτερο νόµο της κίνησης του Nεύτωνα, παίρνουµε τη σχέ ση:

�

fx - mg - m!g = (m + m

!)a !

�

fx = (m + m!)(g + a) (1)

Όµως η µάζα του σχοινιού, µήκους L-x, είναι mσ=(L-x)m*, όπου m* η µάζα που παρουσιάζει η µονάδα µήκους του σχοινιού, οπότε η σχέση (1) γράφεται:

Σχήµα β. Σχήµα γ.

�

fx = [m + (L - x)m* ](g + a) (2) H σχέση (2) είναι πρώτου βαθµού ως προς τις µεταβλητές ποσότητες fx και x, οπότε η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία γραµµή του σχήµατος (γ) µε f0 =(m+Lm*)(g+a) και f* =m(g+a).

P.M. fysikos

Το σύστηµα προσγείωσης ενός αεροπλάνου µάζας M, δεν ανταποκρίνεται σωστά και για τον λόγο αυτόν χρησι µοποιείται ένα επίγειο σύστηµα προσγείωσης, αποτελούµενο από µια αλυσίδα µε δύο παράλληλα σκέλη, που το καθένα έχει µήκος L και είναι ξαπλωµένα κατά µήκος του διαδρόµου προσγεί ωσης, όπως φαίνεται στο σχήµα. Την στιγµή που το αεροπλάνο γατζώ νεται στην αλυσίδα έχει ταχύτητα

�

! v

0 και οι µηχανές του είναι σβη

στές. Εάν η τριβή µεταξύ των ελαστικών του αεροπλάνου και του διαδρόµου προσγείωσης καθώς και µεταξύ διαδρόµου και αλυσίδας είναι αµελητέα να βρείτε: i) την ταχύτητα του αεροπλάνου σε συνάρτηση µε την απόσταση x που διάνυσε από την στιγµή που γατζώθηκε και

ii) την απόσταση x σε συνάρτηση µε το χρόνο. Δίνεται η µάζα µ της αλυσίδας ανά µονάδα µήκους, οι δε άκρες της Α και Β είναι στερε ωµένες επί του διαδρόµου. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σύστηµα αεροπλάνο-κινούµενη αλυσίδα κατά µια στιγµή t που το αερoπλάνο έχει διανύσει στον διάδροµο προσγείωσης από σταση x. Tη στιγµή αυτή κάθε σκέλος της παρασυρόµενης από το αεροπλάνο αλυσίδας έχει µήκος x/2 και εποµένως η µάζα της είναι µx. Eπειδή στο σύστηµα αυτό εισρέει µάζα, της οποίας η ταχύτητα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι µηδενική, ενώ κάτα την διεύθυνση κίνησης του δεν δέχε ται εξωτερικές δυνάµεις, µπορουµε να γράψουµε τη σχέση:

�

d

dt(M + µx)v[ ] = 0

�

!

�

(M + µx)v = ct

�

!

�

(M + µx)v = Mv0

�

!

�

v =Mv

0

M + µx=

v0

1+ µx /M (1)

Από την (1) παρατηρούµε ότι η ταχύτητα

�

! v του αερόπλάνου µειώνεται µε

την απόσταση x. ii) Η σχέση (1) γράφεται:

�

dx

dt=

Mv0

M + µx

�

!

�

(M + µx)dx = Mv0dt (2)

Ολοκληρώνοντας την (2) παίρνουµε τη σχέση:

�

Mx + µx2/2 = Mv

0t + C (3)

Η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι για t=0 είναι x=0, οπότε από την (3) προκύπτει C=0 µε αποτέλεσµα αυτή τελικώς να πάρει την µορφή:

�

Mx + µx2/2 = Mv

0t

�

!

�

µx2+ 2Mx - 2Mv

0t = 0 (4)

H (4) αποτελεί εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς x και έχει δύο ετερόσηµες ρίζες από τις οποίες δεκτή είναι η θετική ρίζα:

�

x = -M

m+

M2+ 2µMv

0t

m

�

!

�

x = -M

m+

M

m1+ 2µv

0t /M

�

!

�

x =M

m1+ 2µv

0t /M - 1( )

P.M. fysikos

Το ένα άκρο οµογενούς αλυσίδας µήκους L και µάζας m, στερεώνεται σε σταθερό σηµείο Γ και η αλυσίδα κρατείται τεντωµένη και κατακόρυφη πάνω από το σηµείο Γ. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου η αλυσίδα αφήνεται ελεύθερη. i) Nα δείξετε ότι η επιτάχυνση του κινούµενου τµήµατος της αλυσί δας είναι ίση µε την επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας, το δε µέτρο της

ταχύτητάς του

�

! v ικανοποιεί τη σχέση:

�

v2 = 2gx όπου x η µετατόπιση του ελεύθερου άκρου της αλυσίδας. ii) Να βρείτε σε συνάρτηση µε το x την επιτάχυνση του κέντρου µάζας της αλυσίδας και το µέτρο της δύναµης που δέχεται η αλυσίδα από το σηµείο στηρίξεώς της Γ. iii) Να βρείτε την απώλεια µηχανικής ενέργειας της αλυσίδας από τη στιγµή που αφήνεται ελεύθερη µέχρις ότου ακινητοποιηθεί. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε την αλυσίδα κατά µια τυχαία στιγµή t που το ελεύθερο άκρο της Α έχει µετατοπιστεί κατακόρυφα κατά x, oπότε το µήκος του ακίνητου τµήµατός της ΓΒ θα είναι x/2. Eπειδή από το κινούµενο τµήµα ΑΒ εκρέει µάζα, θα ισχύει για το τµήµα αυτό η σχέση:

�

d

dtµ (L - x /2)v[ ] = µ (L - x /2)g -

dm

dtv

�

!

�

µLdv

dt-

µx

2

dv

dt-

µv

2

dx

dt= gµ L -

x

2

!

" #

$

% & - µ

dx

2dtv

�

!

�

L -x

2

!

" #

$

% &

dv

dt-v

2

dx

dt= g L -

x

2

!

" #

$

% & -

v

2

dx

dt

�

!

�

dv

dt= g (1)

Η σχέση (1) δηλώνει ότι η επιτάχυνση του κινούµενου τµήµατος ΑΒ της αλυσίδας είναι ίση µε την επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας. Εξάλλου κάθε στιγ

µή ισχύει η σχέση:

�

dv

dt=

dv

dx

dx

dt=

dv

dxv

�

!

(1)

�

g =dv

dxv

�

!

�

gdx = vdv (2)

Ολοκληρώνοντας την (2) παίρνουµε τη σχέση:

�

gx = v2 /2 + C (3) Όµως την χρονική στιγµή t=0 είναι x=0 και v=0, οπότε η σταθερά ολοκλή ρωσης C είναι µηδενική και η σχέση (3) γράφεται:

�

v2 = 2gx (4) ii) Εξάλλου στο ακίνητο τµήµα ΒΓ της αλυσίδας εισρέει µάζα, οπότε για το τµήµα αυτό την χρονική στιγµή t µπορούµε να γράφουµε τη σχέση:

�

0 =µgx

2- T(x) +

dm

dtv

�

!

�

0 =µgx

2- T(x) + µ

dx

2dtv

�

!

�

0 =µgx

2- T(x) +

µv2

2

�

!

(2)

�

T(x) =µgx

2+ µgx =

3µgx

2 (5)

όπου Τ(x) το µέτρο της ζητούµενης δύναµης που δέχεται η αλυσίδα από το σηµείο στηρίξεώς της Γ. Εάν

�

! v

C είναι η ταχύτητα του κέντρου

µάζας της αλυσίδας κατά την χρονική στιγµή t, θα ισχύει η σχέση:

�

µLvC

= µ L -x

2

!

" #

$

% & v +

µx

20

�

!

�

vC

= 1 -x

2L

!

" #

$

% & v

�

!

�

dvC

dt=

d

dt1 -

x

2L

!

" #

$

% & v

'

(

)

*

+

,

�

!

�

dvC

dt=

dv

dt-

x

2L

dv

dt-

v

2L

dx

dt

�

!

�

dvC

dt=

dv

dt1 -

x

2L

!

" #

$

% & -

v2

2L

�

!

(1),(2)

�

dvC

dt= g 1 -

x

2L

!

" #

$

% & -

2gx

2L= g 1 -

3x

2L

!

" #

$

% &

�

!

�

aC = g 1 -3x

2L

!

" #

$

% &

όπου

�

! a

C η ζητούµενη επιτάχυνση του κέντρου µάζας της αλυσίδας.

iii) H αρχική µηχανική ενέργεια Εαρχ της αλυσίδας είναι:

�

E!"# = µgL(L/2) = µgL2 /2 H τελική µηχανική ενέργεια Ετελ της αλυσίδας είναι:

�

E!"#

= -µgL(L/2) = -µgL2 /2 Η απώλεια ΔΕ µηχανικής ενέργειας της αλυσίδας οφείλεται στην πλαστική κρούση των κρίκων που εισρέουν από το κινούµενο στο ακίνητο τµήµα της και είναι ίση µε την διαφορά Εαρχ -Ετελ, δηλαδή ισχύει:

�

!E = E"#$ - E%&' = µgL2 = mgL P.M. fysikos

Σφαιρίδιο µάζας 2m είναι στερεωµένο στο ένα άκρο οµογενούς αλυσίδας µάζας m και µήκους L. H αλυσίδα µπορεί να γλυστράει χωρίς τριβή στον λαιµό µιας µικρής ακίνητης τροχαλίας, όπως φαίνεται στο σχήµα και αρχικά κρατείται ακίνητη µε ολόκληρο το µήκος της στο αριστερό µέρος της τροχαλίας, ενώ το σφαιρίδιο βρίσκεται στο δεξί µέρος της τροχαλίας και στο ύψος αυτής. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου η αλυσίδα αφήνεται ελεύθερη. Nα βρεθούν: i) η ταχύτητα της αλυσίδας τη στιγµή που εγκαταλείπει την τροχα λία και ii) ο χρόνος κίνησης της αλυσίδας µέχρις ότου εγκαταλείψει την τροχαλία. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε το σύστηµα αλύσίδα–σφαιρίδιο κατά µια τυχαία χρονι κή στιγµή t που το µήκος του δεξιά της τροχαλίας τµήµατος της αλύσιδας έχει µήκος x. Επειδή στο τµήµα αυτό εισρέει µάζα εκ της ηρεµίας µπορουµε να γράφουµε τη σχέση:

�

d

dt(2m + µx)v[ ] = (2m + µx)g

�

!

�

2mdv

dt+ µx

dv

dt+ µv

dx

dt= (2m + µx)g

�

!

�

2L+ x( )dv

dt+ v2 = (2L+ x)g (1)

όπου

�

! v η ταχύτητα του σφαιρίδιου την χρονική στιγµή t, dv/dt o ρυθµός

µεταβολής του µέτρου της

�

! v και µ η γραµµική πυκνότητα της αλυσίδας ίση

µε m/L. Έξάλλου από το τµήµα της αλυσίδας που βρίσκεται αριστερά της τροχαλίας εκρέει µάζα, οπότε την χρονική στιγµή t για το τµήµα αυτό µπο ρούµε να γράφουµε τη σχέση:

�

d

dtµ (L - x)v[ ] = -µ (L - x)g

�

!

�

µLdv

dt- µx

dv

dt- µv

dx

dt= -µ (L - x)g

�

!

�

L - x( )dv

dt- v2 = -(L - x)g (2)

Προσθέτοντας κατά µέλη τις εξισώσεις (1) και (2) παιρνουµε τη σχέση:

�

3Ldv

dt= (L + 2x)g (3)

Όµως ισχύει:

�

dv

dt=

dv

dx

dx

dt=

dv

dxv

οπότε η (3) γράφεται:

�

3Ldv

dxv = (L + 2x)g

�

!

�

vdv =g(L+ 2x)dx

3L

�

!

�

d(v2) =2g(L+ 2x)dx

3L (4)

Ολοκληρώνοντας την (4) παίρνουµε τη σχέση:

�

v2 =2g

3LLx + x2( ) + C (5)

Επειδή για t=0 είναι v=0, η σταθερά ολοκλήρωσης C είναι µηδενική οπότε η (5) παίρνει τη µορφή:

�

v2 =2g

3LLx + x2( ) (6)

Τη στιγµή που η αλυσίδα εγκαταλείπει την τροχαλία ισχύει x=L, οπότε η αντίστοιχη ταχύτητα

�

! v

* της αλυσίδας θα έχει µέτρο:

�

v* =2g

3LLL+ L2( ) = 2

gL

3

ii) H σχέση (6) γράφεται:

�

dx

dt=

2g

3LLx + x2( )

�

!

�

dx

Lx + x2=

2g

3Ldt

�

!

�

dx

Lx + x20

L

! =2g

3Lt*

�

!

�

t* =3L

2g

dx

Lx + x20

L

! (7)

όπου t* ο ζητούµενος χρόνος µεχρις ότου η αλυσίδα εγκαταλείψει την τρο χαλία. Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος που εµφανίζεται στο δεύτερο µέλος της σχέσεως (7) παρατηρούµε ότι:

�

dx

Lx + x20

L

! =dx

(x + L/2)2 - (L/2)2=

0

L

!d(x + L/2)

(x + L/2)2 - (L/2)20

L

!

�

!

�

dx

Lx + x20

L

! = ln x + L/2 + (x + L/2)2 - (L/2)2( )0

L

�

!

�

dx

Lx + x2

0

L

! = ln x + L/2 + x2+ Lx( )

0

L

= ln 3 + 2 2( ) (8)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7) και (8) παίρνουµε:

�

t* =3L

2gln 3 + 2 2( )

P.M. fysikos