Περιοδικές κινήσεις

Περιοδικές είναι οι κινήσεις που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο μονότονο τρόπο σε ίσα (τακτά) χρονικά διαστήματα.

Τα χαρακτηριστικά των περιοδικών κινήσεων

Ο χρόνος που χρειάζεται για να ολοκληρωθεί ένας κύκλος ή μία επανάληψη της κίνησης ονομάζεται περίοδος Τ(sec στο S.I).

Ο αριθμός των επαναλήψεων (κύκλων) της κίνησης στη μονάδα του χρόνου ονομάζεται συχνότητα f (Herz = sec-1 στο S.I).

Η συχνότητα και η περίοδος είναι μεγέθη αντίστροφα

Tf

1

Η γωνιακή ή κυκλική συχνότητα ω (rad/sec στο S.I ) T

f 2

2

Η απλή αρμονική ταλάντωση

Πρόκειται για μία ευθύγραμμη περιοδική κίνηση (παλινδρόμηση) που συμβαίνει γύρω από μία θέση ισορροπίας (x=0) ανάμεσα σε δύο ακραίες θέσεις (x= -Α,+A).Λέγεται αρμονική γιατί περιγράφεται από ημιτονικές και συνημιτονικές συναρτήσεις.

Κινηματική της ταλάντωσης

2

x

u

a

t

t

t

tAtAa

tAtAu

tAx

22

2

Οι εξισώσεις κίνησης Οι διαφορές φάσης

Ο άξονας της κίνησης

Οι φάσεις

rad

rad

rad

xa

ua

xu

2

2

Γραφικές παραστάσεις

Δείτε ότι οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης και της επιτάχυνσης είναι αντίθετες.

Αρχική φάση(Α)

o

o

o

tAa

tAu

tAx

2

Γενικά οι εξισώσεις έχουν τη μορφή:

όπου η φο λέγεται αρχική φάση και καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες. Η αρχική φάση ουσιαστικά μας λέει πότε πατάμε το χρονόμετρο για να ξεκινήσει να μετρά ο χρόνος.Ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού της αρχικής φάσης. Υποθέστε ότι στην αρχή των χρόνων το κινητό περνά από τη θέση x=+A/ 2 κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση.(t=0, x=+A/ 2 ,u > 0 ).

20 o

Αρχική φάση(Β)

Tt o 2

Αν η αρχική φάση είναι διαφορετική από μηδέν τότε οι γραφικές παραστάσεις αλλάζουν. Για αρχική φάση φο οι γραφικές παραστάσεις προκύπτουν από τις αρχικές με μετακίνηση του κατακόρυφου άξονα κατά:

Δυναμική της ταλάντωσης

2 2( ) ( )F m a m x m x D x

Σε μία α.α.τ η συνιστάμενη δύναμη είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και αντίθετη από αυτή. Μιά τέτοια δύναμη που έχει αυτά τα χαρακτηριστικά και θέλει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας λέγεται δύναμη επαναφοράς.Η D λέγεται σταθερά επαναφοράς, έχει μονάδα στο S.I το 1N/m και είναι χαρακτηριστικό του συστήματος που ταλαντώνεται. Όταν το σώμα που ταλαντώνεται είναι δεμένο σε ελατήριο τότε η σταθερά επαναφοράς είναι η σταθερά του ελατηρίου(D=K).

(D= m ω2)

Υπολογισμός περιόδου

2 D D

m m 2

T

22

D mT

T m D

Ενέργεια ταλάντωσης

2

1( )

21

2

FE W O P D A A

E D A

Παρατηρούμε ότι η ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους.

Όταν θέσαμε το σώμα σε ταλάντωση, ασκήσαμε πάνω του δύναμη F΄=D x για να το μεταφέρουμε στην ακραία θέση. Το έργο αυτής της δύναμης εκφράζει την ενέργεια που του δόθηκε, δηλαδή την ενέργεια που αποθηκεύτηκε,δηλαδή την ενέργεια του ταλαντωτή.

Δυναμική ενέργεια

F’

x

Dx

0 x

Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης

Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης σε μιά τυχαία θέση είναι ίση με ένα αντίστοιχο εμβαδόν αφού εκφράζει το έργο της δύναμης μας για να μετακινήσουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας μέχρι την τυχαία θέση. Υπολογίζοντας το εμβαδόν βρίσκουμε:

21

2U D x

Κινητική ενέργεια

Η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση:

21

2K m u

και εκφράζει το υπόλοιπο εμβαδόν.

Διατήρηση της ενέργειας

2 2 2 2u A x

2max

222

2

1

2

1

2

1

2

1umADxDum

Ηλεκτρικές ταλαντώσειςΣτις ηλεκτρικές ταλαντώσεις ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα παρακάτω κυκλώματα με τις αντίστοιχες αρχικές συνθήκες.

Κύκλωμα αΚύκλωμα α. Ο πυκνωτής φορτίζεται όταν ο διακόπτης είναι σε επαφή με το άκρο1.Αν φορτιστεί πλήρως τότε QQ==CECE==CVCVπηγηςπηγης.Τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης μεταφέρεται στο άκρο 2 και στο κύκλωμα LC δημιουργούνται ηλεκτρικές ταλαντώσεις με αρχικές συνθήκες (q=Q , i=0). Οι εξισώσεις είναι:

Κύκλωμα βΚύκλωμα β. Το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα όταν ο διακόπτης είναι σε επαφή με το άκρο1.Μετά από αρκετή ώρα το ρεύμα σταθεροποιείται στη μέγιστη τιμή ΙΙΜΑΧΜΑΧ=Ι=Ε/=Ι=Ε/RRΟΛΙΚΟΟΛΙΚΟ. Τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης μεταφέρεται στο άκρο 2 και στο κύκλωμα LC δημιουργούνται ηλεκτρικές ταλαντώσεις με αρχικές συνθήκες (q=0 , i=I=IMAX). Οι εξισώσεις είναι:Για να βρούμε πως μεταβάλλεται το φορτίο με το χρόνο εργαζόμαστε όπως παρακάτω: (ορισμός της χωρητικότητας πυκνωτή)

(νόμος της επαγωγής του Faraday)

Από τον β’ κανόνα του Kirchhoff (ή πέστε ότι ο πυκνωτής και το πηνίο είναι παράλληλα ) έχουμε:Τότε το ρεύμα θα δίνεται από τη σχέση:Δηλαδή το ρεύμα προηγείται του φορτίου κατά π/2.Όταν μας ζητούν το ρυθμό μεταβολής του ρεύματος θα εφαρμόζουμε τον δεύτερο κανόνα του Kirchhoff:Η απουσία αντιστάτη δηλώνει τη πλήρη μετατροπή της ηλεκτρικής ενέργειας σε μαγνητική και το αντίστροφο. Με παρόμοιο τρόπο, όπως στις μηχανικές, μπορούμε να δείξουμε τη διατήρηση της ενέργειας στο κύκλωμα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων.Πράγματι:Προσοχή!!! Ειδικά στην περίπτωση των ηλεκτρικών ταλαντώσεων μπορεί να μας ζητήσουν τους ρυθμούς με τους οποίους αποταμιεύεται η ενέργεια στον πυκνωτή και το πηνίο. Τότε :

q Q t

i I t Q t

q Q t

i I t Q t

C

qVC

dt

diLVL

C

20 0 0

V ( )

10 0

0 ( )

L

q di q d dqV L L

C dt C dt dtq q

L q L q q qC C L C

q q q t Q t

0 0 0 0 0

dqi(t) ( )

dtQ t i t I t

2 q di di q di

L qC dt dt LC dt

2 22 2

2 2 2 2E B

L I Qq L iU U

C C

( )( )C C

L L

q tP V i i t

CP V i

Βασικό ρόλο σε αυτή τη κατηγορία παίζει η σχέση:

Το πλάτος ,σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο ,μειώνεται εκθετικά με το χρόνο . Ο ρυθμός μείωσης εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης και τη μάζα.

Φθίνουσες ταλαντώσεις(Μηχανικές)

22 2 2 2 20 0 0

2

1 1 1 1( ) ( )

2 2 2 2

( ) ( 0)

t t t

t

E t D A t D A e D A e D A e

E t E t e

2 1( ) ( )E E t E t

100%( )

E

E

2F

F dxdW dxP F F u b u u b u

dt dt dt

2RP i R

0( ) tA t A e

0 1 1 2 2 3 . e

Πρέπει να γνωρίζουμε ότι:1.Η λύση ως προς t χρειάζεται

λογαρίθμους.

2. Ο λόγος:

3. Η ενέργεια του ταλαντωτή μειώνεται με το χρόνο εκθετικά:

4. Οι απώλειες ανάμεσα στις χρονικές στιγμές t1 και t2 :

Το ποσοστό των απωλειών:5. Ο ρυθμός των

απωλειών:Μηχανικές ταλαντώσεις:

Ηλεκτρικές ταλαντώσεις:

Οι φθίνουσες ταλαντώσεις αποτελούν ένα δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα για τον μαθητή του Λυκείου. Για το λόγο αυτό δεχόμαστε ότι παρουσιάζει το σχολικό βιβλίο έστω και αν αυτό είναι η μισή αλήθεια.

Φθίνουσες ταλαντώσεις(Ηλεκτρικές)

ubF iRVR

teAtA 0

20

bt

mA t A e

teQtQ 0

tL

R

eQtQ

20

teEE 20

Μηχανικές Ηλεκτρικές

b R

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις(Μηχανικές)

Οι ταλαντώσεις στις οποίες ο εξωτερικός παράγοντας επεμβαίνει περιοδικά ονομάζονται εξαναγκασμένες.Αν εξαιρέσουμε ένα μικρό μεταβατικό στάδιο, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης παραμένει σταθερό και η ταλάντωση είναι αμείωτη με συχνότητα εκείνη του διεγέρτη. Αυτή είναι και μία διαφορά από τις ελεύθερες και αμείωτες ταλαντώσεις όπου ο εξωτερικός παράγοντας – διεγέρτης επεμβαίνει μόνο στην αρχή για να διεγείρει το σύστημα σε ταλάντωση. Το πλάτος μίας εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα του διεγέρτη.Η καμπύλη που παριστάνει αυτήν ακριβώς την εξάρτηση λέγεται καμπύλη απόκρισης ή συντονισμού.

Η κατάσταση εκείνη που το πλάτος μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης μεγιστοποιείται ονομάζεται συντονισμός. Στο συντονισμό 0ff και το σύστημα απορροφά ενέργεια με το βέλτιστο τρόπο.

Όσο αυξάνεται η απόσβεση μειώνεται το μέγιστο πλάτος κατά τον συντονισμό..

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις(Ηλεκτρικές)

Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις δημιουργούνται σ’ένα κύκλωμα RLC σε σειρά με πηγή εναλλασσόμενης τάσης.Σε αναλογία με τις μηχανικές η πηγή εναλλασσόμενης τάσης είναι ο διεγέρτης του συστήματος που σκοπό έχει να αναπληρώσει τη χαμένη ενέργεια πάνω στην αντίσταση.

2m

Tk

CLT 2

ΙδιοσυχνότηταΙδιοσυχνότητα

Μηχανικές Ηλεκτρικές

Μάζα (m) Συντ. Αυτεπ. (L)

Σταθερά επαναφοράς (k) Χωρητικότητα (1/C)

Απόσβεση (b) Αντίσταση (R)

Διεγέρτης (Εξωτερική δύναμη) Διεγέρτης (Πηγή εν/νης τάσης)

Όσο αυξάνεται η αντίσταση μειώνεται το μέγιστο πλάτος κατά τον συντονισμό.

Σύνθεση ταλαντώσεων Σύνθεση ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας που συμβαίνουν στον ίδιο άξονα και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας.

)(

)(

22

11

tAx

tAx

)(2121 tAAxxx

Διαφορά φάσης μηδέν (συμφασικές κινήσεις). Οι εξισώσεις των δύο κινήσεων είναι της μορφής:

Τότε η συνιστάμενη κίνηση θα έχει εξίσωση της μορφής:

)(

)(

22

11

tAx

tAx

tAAtAtA

tAtAxxx

2121

2121

21 AA tAAxxx 2121

21 AA tAAxxx 2121

21 AA 021 xxx

Διαφορά φάσης 180ο. Οι εξισώσεις των δύο κινήσεων είναι της μορφής:

Τότε η συνιστάμενη κίνηση θα έχει εξίσωση της μορφής:

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

όπου

όπου

όπου

Σε κάθε περίπτωση η συνιστάμενη κίνηση έχει πλάτος την απόλυτη διαφορά των πλατών και φάση εκείνης με το μεγαλύτερο πλάτος.

Διακρότημα

2112

1

ffttT

21 fff 1 2 1 2

1 2 2 1

f f f f f

f f f f f