Download - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Transcript
Page 1: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο

ΛΥΣΗ

Α. Η ολική ενέργεια που δόθηκε στο σώμα (ενέργεια ταλάντωσης) είναι:

JkxmUKE o222

12 )2,0(10

21)32(1,0

21

21

21

−⋅+⋅=+υ=+= ⇒ JE 8,0=

(+) υο

ΦΜ x1 Α΄-Α

Σώμα μάζας είναι συνδεδεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς , του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Το σώμα μπορεί να κινείται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο που εκτείνεται κατά μήκος του άξονα . Το δάπεδο είναι λείο μόνο στον αρνητικό ημιάξονα ενώ στον θετικό ημιάξονα ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι ίσος με µ. Το σώμα αρχικά ισορροπεί στη θέση και το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκους. Συσπειρώνοντας το ελατήριο μεταφέρουμε το σώμα στη θέση

όπου τη χρονική στιγμή

kgm 1,0=mNk /10=

xx′

0=x

0=tmx 2,01 −= του προσδίδουμε

ταχύτητα μέτρου oυr sm /32 προς την αρνητική κατεύθυνση,

οπότε το σύστημα ελατήριο – σώμα αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Α. Υπολογίστε την ολική ενέργεια που δώσαμε στο σώμα. Β. Υπολογίστε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου κατά ν κίνηση του σώματος στον αρνητικό ημιάξονα. τη

Γ. Υπολογίστε τη χρονική στιγμή στην οποία το σώμα φτάνει για πρώτη φορά στη θέση ισορροπίας του. Δ. Αν είναι γνωστό ότι κατά την κίνηση του σώματος στον θετικό ημιάξονα, η μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου είναι , υπολογίστε το συντελεστή τριβής ολίσθησης ταξύ σώματος και δαπέδου.

m3,0μεΕ. Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το στρώμα επιστρέφει στη θέση ισορροπίας, για πρώτη φορά, μετά την κίνησή του στον θετικό ημιάξονα. Δίνεται: . 2/10 smg =

http://karxri.blogspot.com/ 1

Page 2: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

Β. Η μέγιστη συσπείρωση του ελατήριου στον αρνητικό ημιάξονα (αρχικό πλάτος ταλάντωσης) είναι:

mmkEAkAE 4,0

108,022

21 2 =

⋅==⇒= ⇒ m4,0=lΔ

Γ. Η εξίσωση ταλάντωσης: )( otAx ϕ+ωημ=

όπου και mA 4,0= srsrmk /10/

1,010

===ω .

Για είναι 0=t mxx 2,01 −== οπότε 6

7214,02,0 π

ημ=−=ημϕ⇒ημϕ=− oo ⇒

67π

=ϕo ή 6

11π=ϕo . Επειδή για 0=t είναι 0<υo πρέπει 0<συνϕo και άρα δεκτή

η λύση 6

7π=ϕo .

Έτσι η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι: ).(6

7104,0 IStx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ημ=

(εννοείται για 2

0 Tt ≤≤ γιατί μετά υπάρχει τριβή).

Όταν ⇒ 0=x 06

7104,0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ημ t απ΄ όπου οι λύσεις:

⋅⋅⋅ππ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ ,2,,06

710t

Επειδή πρέπει για πρώτη φορά δεκτή η λύση 0≥t π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+6

710t ⇒ st12π

=

Παρατήρηση: Μπορεί να δοθεί απλούστερη λύση με τη χρήση βοηθητικού κινητού που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. Δ. Όταν το κινητό κινείται στο θετικό ημιάξονα η δύναμη που αφαιρεί ενέργεια από το κινητό (μέσω του έργου της) είναι η δύναμη τριβής ολίσθησης:

mgWT μ=μ= Άρα η μεταβολή στην ενέργεια ταλάντωσης, όταν το σώμα βρίσκεται για πρώτη φορά στη θετική ακραία θέση, είναι ίση με το έργο της δύναμης τριβής, δηλαδή:

EEWT −′= ⇒ EAkAmg −′=′μ− 2

21 ⇒

mgAk

AmgE

2′

−′

=μ ⇒

101,023,010

3,0101,08,0

⋅⋅⋅

−⋅⋅

μ = ⇒23

38−=μ ⇒

67

Ε. Η ενέργεια του ταλαντωτή στη Θ.Ι, όταν το στρώμα επιστρέφει στη θέση ισορροπίας, για πρώτη φορά, μετά την κίνησή του στον θετικό ημιάξονα, είναι ίση με την ενέργεια ταλάντωσης στη θέση Α΄ ελαττωμένη κατά το έργο της δύναμης τριβής για κίνηση σε διάστημα ίσο με Α΄, δηλαδή:

AmgAkmu ′μ−′= 22

21

21 ⇒ Ag

mAku ′μ−′

= 22

⇒ 3,010672

1,03,010 2

⋅⋅⋅−⋅

=u ⇒

smu /2=

http://karxri.blogspot.com/ 2

Page 3: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2ο

Σώμα μάζας m εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση χωρίς τριβές με εξίσωση x1 = Α1ημ(ωt), όπου Α1 = cm3 . Δίνονται οι παρακάτω πληροφορίες: (i) Αν το σώμα συμμετάσχει ταυτόχρονα και σε μια δεύτερη ταλάντωση ίδιου πλάτους Α1, μηδενικής αρχικής φάσης και γωνιακής συχνότητας κατά 8% μεγαλύτερης της ω, τότε το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης μηδενίζεται με συχνότητα 4Ηz. (ii) Αν το σώμα συμμετάσχει ταυτόχρονα και σε μια δεύτερη ταλάντωση με εξίσωση x2 = Α1ημ(ωt + φ) (όπου

20 π

≤φ≤ ), τότε το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι

Α = 3 cm. α. Υπολογίστε την τιμή της γωνιακής συχνότητας ω. β. Θεωρώντας ότι το σώμα εκτελεί τη σύνθετη ταλάντωση της περίπτωσης (ii), υπολογίστε την αρχική φάση φ της δεύτερης ταλάντωσης καθώς και την αρχική φάση θ της σύνθετης ταλάντωσης. γ. Θεωρώντας ότι το σώμα εκτελεί τη σύνθετη ταλάντωση της περίπτωσης (ii), υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητάς του όταν η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσής του είναι τριπλάσια της κινητικής του. δ. Ενώ το σώμα εκτελεί τη σύνθετη ταλάντωση της περίπτωσης (ii), αρχίζει να ενεργεί επάνω του δύναμη τριβής της μορφής F = -bu, όπου b μια σταθερά. Υπολογίστε το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος όταν η ενέργεια ταλάντωσης έχει μειωθεί κατά 75% σε σχέση με την τιμή που είχε όταν το πλάτος ήταν ίσο με 1,5 cm.

ΛΥΣΗ α. Στην περίπτωση (i) έχουμε διακρότημα με συχνότητα διακροτήματος:

Hzf 4=Δ

Αλλά || fff ′−=Δ ⇒πω′

−πω

=22Δf ⇒

πω

−πω

=208,1

2Δf ⇒πω

=208,0

Δf

⇒08,0

2 Δfπ=ω ⇒ sr /100π=ω .

β. Είναι: συνϕ++= 21

21

21 2AAAA ⇒

21

222

1

21

2

=−

=συνϕAAA

⇒ rad3π

διότι είναι 2

0 π≤φ≤ .Είναι

633

211

23

3

3

11

1

21

2 πεϕ==

+=

πσυν+

πημ

=συνϕ+

ημϕ=εϕθ

AA

A

AAA

http://karxri.blogspot.com/ 3

Page 4: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

rad6π

γ. Είναι και επειδή KU 3= UKE += ⇒ KKE 3+= ⇒ KE 4=

⇒ 22

214

21

υ⋅= mDA ⇒ 222 4 υ=ω mAm ⇒ smA /2

03,01002

⋅π=

ω=υ ⇒

sm /5,1 π=υ

δ. Με cmAo 5,1= 75100 −=oEEΔ

⇒ 43

−=−

o

o

EEE

⇒431 −=−

oEE

41

2121

2

2

=oDA

DA ⇒

41

2

2

=oAA

⇒2oAA = ⇒ cmA 75,0= .

http://karxri.blogspot.com/ 4

Page 5: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3ο

Σώμα μάζας m = 1,2 kg εκτελεί σύνθετη γραμμική αρμονική ταλάντωση χωρίς τριβές. Οι εξισώσεις των

συνιστωσών ταλαντώσεων είναι x1 = 3 ηµ(ωt) (S.I.) και x2 = 3 ηµ(ωt + π/3) (S.I.). α. Υπολογίστε τo πλάτος Α και την αρχική φάση θ της ταλάντωσης του σώματος. β. Γράψτε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος σε σχέση µε το χρόνο αν γνωρίζετε ότι το σώμα περνάει για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή t = 2,5 s. γ. Υπολογίστε την κινητική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t = 5,5 s. δ. Θεωρήστε ότι κάποια χρονική στιγμή t1 (t1 > 5,5 s) που το σώμα βρίσκεται στο πλάτος του (x = +A), αρχίζει να δρα επάνω του δύναμη απόσβεσης της μορφής F = - bυ, οπότε μετά από χρόνο 12 s το πλάτος του υποδιπλασιάζεται. Μετά από πόσο χρόνο από τη χρονική στιγμή t1, το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος θα έχει γίνει Α/16; Δίνεται: π2 = 10.

ΛΥΣΗ

α. Είναι: συνϕ++= 2122

21 2 AAAAA ⇒ mA

213233 ⋅⋅++= ⇒ mA 3=

Είναι 63

3

211

23

333

33

21

2 πεϕ==

+=

πσυν+

πημ

=συνϕ+

ημϕ=εϕθ

AAA

rad6π

=θ .

β. Η εξίσωση ταλάντωσης: )( θ+ωημ= tAx , με mA 3= και rad6π

=θ .

Για είναι (1η φορά) οπότε st 5,2= 0=x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ωημ=6

5,230 ⇒

⋅⋅⋅ππ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω ,2,,06

5,2 και για πρώτη φορά π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω6

5,2 ⇒ sr /3π

=ω .

Έτσι η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι:

).(63

3 IStx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

ημ=

http://karxri.blogspot.com/ 5

Page 6: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

γ. Τη χρονική στιγμή είναι st 5,5= 0236

5,53

3 =πημ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+⋅π

ημ= mx άρα

22

21 AmEK ω== ⇒ JK 2

2

33

2,121

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π⋅⋅= ⇒ JJK 6,06,0 2 =π⋅= .

δ. Ο χρόνος υποδιπλασιασμού είναι sT 122/1 = . Για να γίνει το πλάτος 4216AA

=

απαιτείται χρόνος 2/14Tt = ⇒ st 48= .

http://karxri.blogspot.com/ 6

Page 7: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4ο

Ένα σώμα μάζας m = 2 kg μετέχει ταυτόχρονα σε δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η εξίσωση της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο για κάθε μία από τις επιμέρους ταλαντώσεις είναι:

).()(8 max,221 IStt συνωυ=υκαιπ+ωπσυν=υ Η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης που προκύπτει δίνεται από τη σχέση:

),(1004 stcmxtx σεσεπημ= α. Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας σε συνάρτηση με το χρόνο για τη σύνθετη κίνηση. β. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης για κάθε μία από τις συνιστώσες ταλαντώσεις. γ. Ποια θα έπρεπε να ήταν η μέγιστη επιτάχυνση του σώματος εξ αιτίας της δεύτερης ταλάντωσης, ώστε το σώμα να παρέμεινε συνεχώς στη θέση ισορροπίας (x = 0). δ. Αν η παραπάνω σύνθετη ταλάντωση γίνεται μέσα σε ένα υλικό που ασκεί στο σώμα μια δύναμη της μορφής

, όπου b η σταθερά απόσβεσης, οπότε το πλάτος

μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση , να βρείτε το ποσοστό της ενέργειας που χάθηκε μετά από χρόνο t = 2T, όπου Τα η περίοδος της ταλάντωσης.

υ−=αντ bFt

o eAA Λ−⋅=

Tn2l

=Λ και ότι π2 = 10. Δίνεται η σταθερά Λ του υλικού

ΛΥΣΗ

α. Είναι ttxmDxU πημ=πημ⋅π⋅⋅=ω== 100160)10004,0()100(221

21

21 222222

U . ⇒ ).(2008080 IStπσυν−=

Η περίοδος sT 02,0100

22=

ππ

=ωπ

=

β. Είναι οπότε: sr /100π=ω mmA 08,0100

8max,11 =

ππ

υ=

U (J)

80

0,02 t(s)

Έτσι ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−π+ωσυν=211 tAx ⇒ ttx πημ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+πσυν= 10008,02

10008,01 ⇒

http://karxri.blogspot.com/ 7

Page 8: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

).()100(08,01 IStx π+πημ= Οπότε 12 xxx −= ⇒ )10008,0(10004,02 ttx πημ−−πημ= ⇒

).(10012,02 IStx πημ= γ. Από την εξίσωση της ταχύτητας για τη δεύτερη ταλάντωση βρίσκουμε:

tttx πημπ

υ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−πσυνπ

υ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ωσυνω

υ= 100

1002100

1002max,2max,2max,2

2

Επειδή 0=x ⇒ 021 =+ xx ⇒ 0100100

10008,0 max,2 =πημπ

υ+πημ− tt

και άρα

sm /8max,2 π=υ sma /8100max,2max,2 π⋅π=υ⋅ω= ⇒

smsma /8000/800 2max,2 =π=

δ. Είναι T

Tnnn

=== 222

2/1 l

ll

Λ 2/122 TTtT . Άρα σε χρόνο == το πλάτος γίνεται ίσο με

4oAA = , οπότε:

%1161100%1

2121

100%1100%100%1002

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−==

ooo

o

o DA

DA

EE

EEE

EEa Δ ⇒

%75,93−=a

http://karxri.blogspot.com/ 8

Page 9: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5ο

Σώμα μάζας m1 = 4kg ισορροπεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 400 N/m όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ανεβάζουμε το σώμα μάζας m1 κατά απόσταση ℓ = 0,05m από τη θέση ισορροπίας του και το εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα κάτω µε ταχύτητα

μέτρου υο = 23m/s. Το σώμα m1 εκτελεί

απλή αρμονική ταλάντωση. ∆ίνεται: g = 10 m/s2. α. Να βρεθεί το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης του σώματος m1. β. Κάποια στιγμή που το σώμα m1 περνά από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσής του και κατεβαίνει, συγκρούεται πλαστικά µε σώμα μάζας m2 που ανεβαίνει µε ταχύτητα μέτρου υ2. Μετά τη σύγκρουση το συσσωμάτωµα ανεβαίνει και φτάνειμέχρι μια θέση που βρίσκεται πάνω από το φυσικό μήκος του ελατηρίου κατά απόσταση d = 0,1m. ∆ίνεται ότι η περίοδος ΤΟΛ της απλής αρμονικής ταλάντωσης

του συσσωµατώµατος είναι ΤΟΛ = 2 Τ1 όπου Τ1 η περίοδος της ταλάντωσης που έκανε το σώμα m1. Να βρεθούν: i. η μάζα m2 και ii. το μέτρο της ταχύτητας υ2. γ. Κάποια στιγμή (t = 0) το σύστημα συσσωματώµατος –ελατηρίου βυθίζεται σε υγρό. Το σύστημα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση για την οποία η αντιτιθέμενη δύναμη είναι της μορφής F = − bυ. ∆ίνεται η σταθερά Λ = 0,195s–1. Να βρεθεί σε ποια χρονική στιγμή το σύστημα συσσωματώµατος –ελατηρίου έχει χάσει ενέργεια 13,5J. ∆ίνεται ℓn2 = 0,693.

↑+)(

ΛΥΣΗ

α. Είναι και mx 05,0== l smo /23

=υ=υ . Από την ΑΔΕ:

UKE += ⇒ 21

22max1 2

121

21

omkxm υ+=υ ⇒ maxυ = 22

1

υ+xmk

=maxυ sm /2305,0

4400

2

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ⇒

sm /1max =υ .

β. i. Είναι: 12TT =ολ ⇒km

kmm 121 22 ⋅=

+π ⇒ 121 2mmm =+ ⇒

kgmm 412 == ii. Από την ΑΔΟ:

http://karxri.blogspot.com/ 9

Page 10: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

Vmmmm )( 21max122 +=υ−υ ⎯⎯ →⎯ = 21 mm )1(2 max2 υ+=υ V Η ταχύτητα V του συσσωματώματος βρίσκεται από την ΑΔΕ στην ταλάντωση.

22

2221 2

121)(

21 kykAVmm −=+ ⇒ )2()(

21

22

2

mmyAkV

+−

=

Όπου:

Από ΘΙ(m1): mkgmygmky 1,01

111 ==⇒=

Από ΘΙ(m1+m2): myk

gmmygmmyyk 1,0)()()( 121

12121 =−+

=⇒+=+

Και από το σχήμα: mdyyA 3,021 =++=

Από τη σχέση (2): smk

V /244

)1,03,0( 22

=+

−=

Και από τη σχέση (1): ⇒+⋅=υ sm /1222 sm /52 =υ

γ. 22

21

21 kAEAkEEEEEE oo +=′⇒+=⇒−= ΔΔΔ ⇒ 22 A

kEA +

⋅=′

Δ

⇒ mA 23,0400

)5,13(2+

−⋅=′ ⇒ mA 15,0=′ δηλ.

2AA =′ και άρα ο ζητούμενος

χρόνος είναι ίσος με το χρόνο υποδιπλασιασμού:

snTt195,0693,02

2/1 ===Λl ⇒ st 55,3=

y1

υmax

V

υ2

A

d

↑+)(

ΦΜ

ΘΙ(m1)y2

ΘΙ(m1+m2)

http://karxri.blogspot.com/ 10

Page 11: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6ο

Πυκνωτής χωρητικότητας C1 = 40μF φέρει φορτίο Q1 = 4mC και συνδέεται με αφόρτιστο πυκνωτή χωρητικότητας C2 = 2C1 και πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L = 0,9H όπως φαίνεται στο σχήμα. Aρχικά το κύκλωμα είναι ανοιχτό. Τη χρονική στιγμή t = 0 ο διακόπτης δ μεταφέρεται στο Α και αρχίζει το φαινόμενο της ηλεκτρικής ταλάντωσης. (θεωρούμε ότι το κύκλωμα είναι ιδανικό οπότε δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας). 1) Να βρείτε την περίοδο της ηλεκτρικής ταλάντωσης. 2) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή C1 και να υπολογίσετε τη μέγιστη ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο. 3) Τη χρονική στιγμή t1 =63π.10-3s ο διακόπτης μεταφέρεται ακαριαία στο Β. Ποια είναι η μέγιστη ενέργεια που αποκτά ο πυκνωτής C2; 4) Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο που αποκτά ο πυκνωτής C2.

C2

ΛΥΣΗ

1) sLCT 611 10409,022 −⋅⋅π=π= ⇒ sT 3

1 1012 −⋅π= 2) Επειδή τη χρονική στιγμή είναι 0=t 1Qq = θα είναι tQq συνω= 1 και άρα:

6

23

1

21

1

2

1 104023

500104

2)(

2 −

⋅⋅⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛συν⋅⋅

=συνω

==t

CtQ

CqUE ⇒

).(3

5002,0 21 IStUE ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛συν=

διότι srT

/6

5001012

223 =⋅π

π=

π=ω − .

Από την εξίσωση της δυναμικής ενέργειας φαίνεται ότι JUE 2,0max, = , άρα

JUB 2,0max, =

3) Είναι 421

10121063

3

3

1

1 =⋅π⋅π

= −

Tt ⇒

45

421 1

111TTTt +== και άρα αυτή τη χρονική στιγμή

ο πυκνωτής C1 δεν έχει φορτίο και ενέργεια. Συνεπώς όλη ενέργεια βρίσκεται στο πηνία και μεταφέρεται στο κύκλωμα LC2. Έτσι:

JUE 2,0max,2 =

4) Είναι: max,1max,2 EE UU = ⇒1

21

2

22

22 CQ

CQ

= ⇒ mCQQ 2202 12 ==

B A C1

L

δ

http://karxri.blogspot.com/ 11

Page 12: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 7ο

Για το κύκλωμα του σχήματος που ακολουθεί δίνονται: Ε = 20V, r = 2Ω, R = 8Ω, L = 6,25mH. Αρχικά ο μεταγωγός μ βρίσκεται στη θέση (1), το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι και ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος, Τη χρονική στιγμή t = 0 μεταφέρουμε ακαριαία το μεταγωγό μ από τη θέση 1 στη θέση (2) και ο πυκνωτής αρχίζει να φορτίζεται. α. Να υπολογίσετε την ένταση Ι του ρεύματος που διαρρέει αρχικά το πηνίο. β. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της χωρητικότητας του πυκνωτή ώστε το αποθηκευμένο φορτίο στον πυκνωτή να μην υπερβεί την τιμή Qmax = 1 mC.

γ. Να υπολογίσετε την κυκλική συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώματος LCmax. δ. Να γράψετε τις εξισώσεις της έντασης του ρεύματος και του φορτίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο για το κύκλωμα LCmax. ε. Να παραστήσετε γραφικά την τάση στα άκρα του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο, στ. Να υπολογίσετε το λόγο των ενεργειών UE/UB όταν το

φορτίο του πυκνωτή είναι Cq 3105

52 −⋅= .

Το πηνίο να θεωρηθεί ιδανικό.

R (1) (2)

μ

Ι

C + Ε, r L _

ΛΥΣΗ

α. Νόμος του Ωμ για κλειστό κύκλωμα:

ArR

EI28

20+

=+

= ⇒ AI 2=

β. Από την ΑΔΕ στο κύκλωμα LC:

(max)(max) BE UU = ⇒ 22

21

21 LICQ

= ⇒ 2

2

LIQC = .

Όταν είναι και άρα maxQQ = maxCC = 2

2max

max LIQC = ⇒ FC 23

23

max 21025,6)10(−

⋅=

⇒ FC 5max 104 −⋅= .

http://karxri.blogspot.com/ 12

Page 13: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

γ. srLC

/1051025,6

1153

max−− ⋅⋅⋅

==ω ⇒ sr /2000=ω .

δ. Είναι: ( )otQq ϕ+ωημ= max . Για 0=t είναι 0=q οπότε 0=ημϕo ⇒ 0 . Άρα και

=ϕo).(200010 3 IStq ημ= − ( )otIi ϕ+ωσυν= ⇒ ).(20002 ISti συν= .

ε. Είναι: 5

3

10420010−

⋅ημ

==t

CqVC ⇒ ).(200025 IStVC ημ= .

Η περίοδος: sT10002000

22 π=

π=

ωπ

=

στ. Είναι:

1

105

52

)10(1

1

1

1

2121

1

1

1

2

3

23

2

2max

max

2max

2max −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=−

=

=−

=−

=

qQ

CqCQ

UEUE

UUU

E

E

E

B

E ⇒

4=B

E

UU

.

VC (V)

25

2000π

1000π

t(s)

http://karxri.blogspot.com/ 13

Page 14: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 8ο

Σώμα μάζας m = 2kg αρχικά ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο ελατηρίου σταθεράς k = 100N/m. Ασκώντας μια εξωτερική δύναμη απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του, κατακόρυφα προς τα πάνω, μέχρι το φυσικό μήκος του ελατηρίου και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει κατακόρυφη Γ.Α.Τ. (δίνεται ότι D = k).

α) Να υπολογίσετε το πλάτος Α της ταλάντωσης. β) Να βρεθεί η ενέργεια που προσφέραμε στο ταλαντούμενο σύστημα, μέσω του έργου της εξωτερικής δύναμης. γ) Θεωρώντας ως στιγμή μηδέν τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα (tο = 0, x = +A, υ = 0), να γράψετε τις εξισώσεις για την απομάκρυνση x, την ταχύτητα υ και την επιτάχυνση α της ταλάντωσης, με το χρόνο t. δ) Να βρεθεί η ταχύτητα ταλάντωσης τη στιγμή που το σώμα, κινούμενο προς τα κάτω, διέρχεται από τη θέση που το ελατήριο είναι συμπιεσμένο κατά Δℓ = 0,3m. ε) Να βρεθεί η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από την κατώτερη ακραία θέση ταλάντωσης. στ) Να βρεθεί η ελάχιστη χρονική διάρκεια ανάμεσα σε δύο χρονικές στιγμές που η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται. Δίνονται: g = 10m/s2, ημπ/2 = 1.

ΛΥΣΗ α. Είναι: oxA =

Από τη Θ.Ι του σώματος: mmkmgxkxmgF oo 2,0

1001020 =⋅

==⇒=⇒=r

Σ

⇒ mA 2,0= . β. Η ενέργεια που προσφέραμε είναι ίση με την ενέργεια ταλάντωσης:

mkAE 22 2,010021

21

⋅== ⇒ JE 2= .

ΘΙ

x

ΦΜ (+) Ακραία Θέση

xoΔℓ

0

(-) Ακραία Θέση

http://karxri.blogspot.com/ 14

Page 15: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

γ. Είναι: . Για )( otAx ϕ+ωημ= 0=t παίρνουμε: oAA ημϕ= ⇒ 1=ημϕo

⇒ rado 2π

=ϕ . Ακόμα: srsrmk /25/

2100

===ω .

Άρα: ).(2

252,0 IStx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ημ= .

Ακόμα: ).(2

252 ISt ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+συν=υ και ).(2

2510 ISta ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ημ−=

δ. Είναι: . Από την ΑΔΕ: mAx 1,0=−= lΔ 222

21

21

21 kAkxmEUK =+υ⇒=+

… ⇒ ⇒ smxA /1,02,025 2222 −±=−ω±=υ ⇒ sm /65,0−=υ , διότι το σώμα κινείται προς τα κάτω.

ε. Είναι: EU =ταλ ⇒ JU 2=ταλ και EAkU 4)2(21 2 ==ελ ⇒ JU 8=ελ .

στ. Είναι: ωπ

==22

2minTtΔ ⇒ st

102

minπ

=Δ .

http://karxri.blogspot.com/ 15

Page 16: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 9ο

Σώμα μάζας m = 4 kg αρχικά ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο ελατηρίου σταθεράς k ενώ το πάνω άκρο του είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο.

Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του, κατακόρυφα προς τα πάνω, μέχρι το φυσικό μήκος του ελατηρίου και τη στιγμή tο = 0 το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει κατακόρυφη Γ.Α.Τ. (δίνεται ότι D = k). Τη στιγμή t = π/10 sec διέρχεται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του. α) Να βρείτε τη σταθερά k του ιδανικού ελατηρίου και να υπολογίσετε την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας ταλάντωσης όταν διέρχεται από τη θέση ισορροπίας για πρώτη φορά. β) Ποια χρονική στιγμή, στη διάρκεια της πρώτης περιόδου, το σώμα διέρχεται από την κατώτερη θέση της τροχιάς του; γ) Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης, δυναμικής ενέργειας και κινητικής ενέργειας σε συνάρτηση με το χρόνο t. δ) Σε ποιες θέσεις η ταχύτητα ταλάντωσης γίνεται ίση με υ = ± υmax/2; ε) Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος, στην κατώτερη θέση της τροχιάς.

ΛΥΣΗ

α. Είναι: 4Tt = ⇒ stT π== 4,04 ⇒ sr

T/52

Άρα: ⇒ ⇒ 2ω= mk mNk /54 2⋅= mNk /100= .

β. Είναι: 2Tt = ⇒ st π= 2,0 .

γ. Είναι: . Για )( otAx ϕ+ωημ= 0=t παίρνουμε: oAA ημϕ= ⇒ 1=ημϕo

⇒ rado 2π

=ϕ .

Είναι: oxA =

Από τη Θ.Ι του σώματος: mmkmgxkxmgF oo 4,0

1001040 =⋅

==⇒=⇒=r

Σ

⇒ mA 4,0= .

Άρα: ).(2

54,0 IStx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ημ= .

ΘΙ

x

ΦΜ (+) Ακραία Θέση

xo

0

(-) Ακραία Θέση

http://karxri.blogspot.com/ 16

Page 17: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

Ακόμα: ).(2

52 ISt ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+συν=υ , ).(2

510 ISta ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ημ−= ,

).(2

58 2 IStU ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+συν= , ).(2

58 2 IStK ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ημ=

δ. Από την ΑΔΕ: 222

21

21

21 kAkxmEUK =+υ⇒=+ … ⇒ ⇒

)( 2222 xA −ω=υ ⇒ 2

22

ωυ

−±= Ax ⇒ 2

2

2 2ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−±=

A

Ax ⇒23Ax ±= ⇒

mx 32,0±= .

ε. Είναι: kAAkFtp

=−−== )(ΣΔΔ ⇒ skgm

tp /40=ΔΔ

.

http://karxri.blogspot.com/ 17

Page 18: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 10ο

Σώμα εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α = 10cm. Τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στη θέση x1 = +5cm και έχει ταχύτητα υ1 = +50 3 cm/s. Ι) Να βρείτε: α) την περίοδο της ταλάντωσης, β) την αρχική φάση της ταλάντωσης, γ) τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης και να γίνει η γραφική της παράσταση για

Tt ≤≤0 , δ) τη χρονική στιγμή που για πρώτη φορά μηδενίζεται η ταχύτητα του σώματος, ε) το κλάσμα της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t = 0. ΙΙ) Στο σώμα κάποια στιγμή αρχίζει να ασκείται δύναμη της μορφής F = -bu, οπότε το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α=Αoe-ℓn2 (t = 0 τη στιγμή που αρχίζει να ασκείται η δύναμη F). Να βρείτε σε πόσο χρόνο το πλάτος της ταλάντωσης θα γίνει το μισό της αρχικής του τιμής.

ΛΥΣΗ

Ι) α. Από την ΑΔΕ: 222

21

21

21 kAkxmEUK =+υ⇒=+ … ⇒ ⇒

)( 21

2221 xA −ω=υ ⇒ sr

xA/10

510350

2221

21 =

−=

υ=ω οπότε

ωπ

=2T ⇒ sπT = 2,0 .

β. Είναι: ).(6

101,0 IStx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ημ= .

x (m)

0,1

0,05

0,2π

γ. Είναι: )( otA ϕ+ωσυνω=υ ⇒ ).(6

10 ISt ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+συν=υ . Για παίρνουμε 0=υ

06

10 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+συν t ⇒ ,...2

5,2

3,26

10 πππ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+t Η πρώτη φορά όταν 26

10 π=

π+t ⇒

st30π

= .

δ. Είναι: 105,01,01

2121

1 2

2

21

2

−=−=−=−

=Dx

DA

UE

UUE

UK ⇒ 3=

UK .

-0,1

t(s)

http://karxri.blogspot.com/ 18

Page 19: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ε. Είναι: οπότε toeAA Λ−= 12 −= snlΛ ⇒ snT 12

2/1 ==Λl και επειδή το πλάτος

υποδιπλασιάζεται θα είναι 2/1Tt = ⇒ st 1= .

http://karxri.blogspot.com/ 19

Page 20: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 11ο

Σώμα μάζας m είναι στερεωμένο στο άνω άκρο ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k = 200N/m το κάτω άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί με το ελατήριο να είναι συσπειρωμένο κατά ΔL1= 10cm. Τη στιγμή t = 0 με εσωτερική έκρηξη, το σώμα διασπάται σε δύο τμήματα με μάζες m1 και m2 με σχέση μεταξύ τους m2= 3m1. Μετά τη διάσπαση, που θεωρούμε ότι έγινε πρακτικά ακαριαία, το τμήμα μάζας m1 παραμένει στερεωμένο στο άνω άκρο του ελατηρίου, ενώ το άλλο τμήμα μάζας m2 κινείται κατακόρυφα προς τα επάνω και φτάνει σε ύψος h = 1,8m από την αρχική θέση ισορροπίας του σώματος μάζας m πριν την έκρηξη. Να βρεθούν: α) Το πλάτος και η κυκλική συχνότητα της α.α.τ που θα εκτελέσει το σώμα μάζας m1 μετά τη διάσπαση. β) Η ενέργεια που εκλύθηκε κατά τη διάσπαση αν γνωρίζουμε ότι το 25% αυτής μετατράπηκε σε θερμική και το υπόλοιπο σε κινητική ενέργεια των θραυσμάτων. γ) Το έργο της δύναμης του ελατηρίου κατά το χρονικό διάστημα από τη στιγμή t = 0 μέχρι τη στιγμή που το σώμα μάζας m1 μηδενίζει για 1

η φορά την ταχύτητά του.

Δίνεται g = 10m/s2 και θετική φορά θεωρείται η προς τα επάνω.

ΛΥΣΗ

α. Από την ισορροπία του σώματος m έχουμε: 1Lkmg Δ⋅= ⇒ gLkm 1Δ⋅

=

⇒ kgkgm 210

1,0200=

⋅= . Αλλά mmm =+ 21 ⇒ mm =14 ⇒ kgmm 5,0

41 == .

Άρα: srmk /

5,0200

==ω ⇒ sr /20=ω .

Έστω η ταχύτητα του σώματος m2 και 2υ 1υ η ταχύτητα του σώματος m1 αμέσως μετά την διάσπαση. Από την ΑΔΕ για το σώμα m2 θα έχουμε:

ghmghmUK 221

222 =υ⇒=υ⇒= ⇒ sm /68,11022 =⋅⋅=υ .

Από την ΑΔΟ κατά τη διάσπαση: 02211 =υ+υ mm ⇒ sm

mm /

5,065,1

1

221

⋅−=

υ−=υ

, το πλην (-) σημαίνει ότι η φορά της ⇒ sm /181 −=υ 2υ είναι προς τα κάτω.

(+)

m1

x m2

m1

m ΘΙ(m1)

ΦΜ

ΔL1m1 υ2

ΘΙ(m) Α υ=0 υ1

http://karxri.blogspot.com/ 20

Page 21: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

Από τη Θ.Ι του σώματος m1 ( και της ταλάντωσης):

)( 11 xLkgm −= Δ ⇒ mkgmLx

200105,01,01

1⋅

−=−= Δ ⇒ mx 075,0= .

Από την ΑΔΕ: 2221 2

121

21 kAkxmEUK =+υ⇒=+ …

⇒ ⇒ )( 22221 xA −ω=υ

⇒ 2

212

ωυ

+= xA ⇒ mA 2

22

2018

075,0 += ⇒ mA 9,0≅ .

β. Είναι: QKE +=δ ⇒ δδ += EKE 25,0 ⇒75,0KE =δ ⇒

75,021

21 2

22211 υ+υ

mmE

⇒ JE5,1

65,1185,0 22 ⋅+⋅=δ ⇒ JE 144=δ .

γ. Είναι: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−−=−= ελελ

21

21 2

1)(21 LkAxLkUWF ΔΔΔ ⇒ JWF 5,84−=

ελ .

http://karxri.blogspot.com/ 21

Page 22: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 12ο

Σώμα μάζας m = 4Kg είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k1 = 400 N/m και ακουμπά στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k2 = 1200N/m. Δίνουμε στο σώμα οριζόντια ταχύτητα υο = 6m/s προς τα δεξιά. Αν το ελατήριο σταθεράς k1 βρίσκεται δεξιά του σώματος και το ελατήριο k2 βρίσκεται αριστερά του, ζητούνται: α) Να υπολογιστεί η περίοδος Τ της κίνησης του σώματος και η απόσταση L μεταξύ των ακραίων θέσεων της τροχιάς του. β) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση της ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο στη διάρκεια μιας περιόδου.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. π/10 s , 0,9 m ,

β. 0,6 10 , 010

x t t πημ= ≤ ≤ και 30,3 20 ,10 20

x t tπ πημ= − ≤ ≤

http://karxri.blogspot.com/ 22

Page 23: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 13ο

Σώμα μάζας m1 = 2Kg ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k. Απομακρύνουμε το σώμα κατακόρυφα από τη Θ. Ι. του, προκαλώντας στο ελατήριο συσπείρωση ίση με την αρχική παραμόρφωση που προκάλεσε η μάζα m1 και τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε το σύστημα να εκτελέσει Α.Α.Τ. α. Αν η περίοδος της Α.Α.Τ. είναι T1 = 0,1πs να υπολογίσετε τη σταθερά k του ελατηρίου και να γράψετε την εξίσωση της κίνησης.

β. Τη στιγμή st152π

= το σώμα συγκρούεται πλαστικά με άλλο σώμα μάζας m2 που

ανεβαίνει με ταχύτητα μέτρου sm /2

332 =υ και το συσσωμάτωμα που προκύπτει

εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο Τ2 = 2Τ1. i. να υπολογίσετε την παραμόρφωση του ελατηρίου και την ταχύτητα της μάζας m1 τη στιγμή της κρούσης ii. να υπολογίσετε τη μάζα m2 και το πλάτος ταλάντωσης Α2 του συσσωματώματος. γ. Να συγκρίνετε τη μέγιστη συσπείρωση που προκαλείται στο ελατήριο από τις δύο ταλαντώσεις. Δίνεται g = 10 m/s2. Θεωρήστε τις τριβές του αέρα αμελητέες, και ως θετική φορά την κατακόρυφη προς τα πάνω.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α. , mNk /800= ).(2

2005,0 ISty ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ημ=

β. i. , m05,0=Δl sm /23

1 −=υ

ii. , kgm 62 = mA2013

2 =

γ. το ελατήριο συσπειρώνεται περισσότερο στη 2η ταλάντωση.

http://karxri.blogspot.com/ 23

Page 24: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 14ο

Σώμα μάζας m είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθερής k = 1000 N/m το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε σταθερό κατακόρυφο τοίχο. Το σύστημα εκτελεί αμείωτη α.α.τ. κατά τη διάρκεια της οποίας το σώμα διέρχεται 200 φορές από τη θέση ισορροπίας του σε χρονικό διάστημα Δt = 10π s. Γνωρίζουμε ότι τη χρονική στιγμή t = 0 η κινητική ενέργεια του σώματος είναι τριπλάσια της δυναμικής του ενέργειας και επίσης ότι για t = 0 είναι x > 0 και υ < 0. Με δεδομένο ότι αν το πλάτος της ταλάντωσης ήταν διπλάσιο η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος θα ήταν μεγαλύτερη κατά 60 J, να υπολογίσετε:

a. Την αρχική φάση της ταλάντωσης b. Τη μάζα m του σώματος c. Το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου τη χρονική στιγμή t = 0 d. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη στιγμή που περνά από τη θέση στην οποία η επιτάχυνσή του είναι α = - 40 m/s2 e. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη χρονική στιγμή t

= 24011π s.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ a. 5π/6 rad, b. 2,5 kg, c. 100N, d. 2 3 m/s, e. 400 J/s

http://karxri.blogspot.com/ 24

Page 25: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 15ο

Σώμα μάζας m = 0,1 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η απόσταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωσης του σώματος είναι (ℓ = 0,1m. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του. Το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του 20 φορές το δευτερόλεπτο. α. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης το σώματος από τη θέση ισορροπίας του x = f(t) και να παρασταθεί γραφικά στη χρονική διάρκεια μιας περιόδου. β. Πόση είναι η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας υ του σώματος όταν διέρχεται από τη θέση x = 0,03m κινούμενο προς τη θέση ισορροπίας του; γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης α του σώματος στις θέσεις όπου η κινητική ενέργεια KT είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας UT της ταλάντωσης.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α. ).(2

2005,0 IStx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+πημ= , β. sm /8,0 π−=υ , γ. 2/100 sma =

http://karxri.blogspot.com/ 25

Page 26: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 16ο

Στο κύκλωμα του σχήματος η ηλεκτρική πηγή έχει εσωτε-ρική αντίσταση r = 1 Ω, ο αντιστάτης, ο οποίος είναι συνδεδεμένος μεταξύ της πηγής και του πηνίου, έχει αντίσταση R1 = 4Ω και ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C1 = 1 μF. Α. Αρχικά ο διακόπτης (δ) είναι κλειστός, ο μεταγωγός (μ) βρίσκεται στη θέση (1), το κύκλωμα διαρρέεται από σταθερό ρεύμα έντασης Ι = 2Α και ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος. α. Να αποδείξετε ότι η ωμική αντίσταση RL του σύρματος από το οποίο είναι κατασκευασμένο το πηνίο ισούται με μηδέν. β. Πόση είναι η ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε της πηγής;

Β. Τη χρονική στιγμή t = 0 ανοίγουμε το διακόπτη (δ) και το ιδανικό κύκλωμα L-C αρχίζει να εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τη χρονική στιγμή t1 = 3π.10-5s ο οπλισμός (Β) του πυκνωτή έχει αποκτήσει το μέγιστο (θετικό) φορτίο του. Θεωρώντας θετική τη φορά του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο πριν ανοίξουμε το διακόπτη (δ), να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις: α. της έντασης i του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα και το φορτίο q του οπλισμού (Α) του πυκνωτή. β. της διαφοράς δυναμικού VΑΒ μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή και της διαφοράς δυναμικού VΓΔ μεταξύ των άκρων του πηνίου. Γ. α. Να γράψετε την εξίσωση του ρυθμού μεταβολής di/dt της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το φορτίο του οπλισμού (Α) του πυκνωτή και να την παραστήσετε γραφικά. β. Να γράψετε την εξίσωση του ρυθμού μεταβολής dVAB/dt της διαφοράς δυναμικού στα άκρα του πυκνωτή σε συνάρτηση με την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα και να σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση. Δ. Τη χρονική στιγμή t2 = 5π.10-5s μεταφέρουμε ακαριαία το μεταγωγό (μ) από τη θέση (1) στη θέση (2) χωρίς να σχηματιστεί σπινθήρας. Εάν η σταθερά της φθίνουσας ταλάντωσης είναι Λ = 125s-1 να γράψετε την χρονική εξίσωση της ενέργειας του κυκλώματος και να την παραστήσετε γραφικά. Να θεωρήσετε ότι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας λόγω ακτινοβολίας και ότι οι περίοδοι των αμείωτων και των φθινουσών ηλεκτρικών ταλαντώσεων είναι ίσες.

R2 (2) Δ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

A. β. , B. α. και , VE 10= )105(104 45 tq ⋅ημ⋅= − ).()105(104 45 ISti ⋅συν⋅= −

β. , Γ. α. )105(40 4 tVV ⋅ημ== ΓΔΑΒ qdtdi 81025 ⋅−= , β. i

CdtdVAB 1

= ,

Δ. ).(108 )102(2504 5

ISeE tT

−⋅π−−⋅=

C (A) (B)

(q=0)

μ (1)

δ Δ

Ι L

+ Ε, r _

R1 Γ

http://karxri.blogspot.com/ 26

Page 27: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 17ο

Μία σημειακή μάζα m που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δέχεται συνισταμένη δύναμη η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με το διάγραμμα που ακολουθεί. Τη χρονική στιγμή t1 = 0,1πs η κινητική ενέργεια του σώματος είναι Κ1 = 2 J. Α. Να υπολογίσετε το πλάτος Α της ταλάντωσης και τη μάζα m του σώματος, Β. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο, Γ. Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή που βρίσκεται στη θέση με απομάκρυνση x2 = Α/2. Δ. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t2 που το σώμα περνά για πρώτη φορά από τη θέση με απομάκρυνση x2. Ε. Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας και της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t2.

F (N)

20

0,1π 0,2π t(s)

-20

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

A. , kgmmA 1,2,0 ==B. α. , ).(102,0 IStx ημ=

Γ. α. , Δ. , Ε. JK 152 = JW 5,0−= sJtK /310−=ΔΔ , 2/10 smkg

tp

⋅−=ΔΔ

http://karxri.blogspot.com/ 27

Page 28: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 18ο

Στο ελεύθερο άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k1= 400 N/m, του οποίου το άλλο άκρo είναι ακλόνητο, στερεώνουμε σώμα μάζας m1= 1kg. Το σώμα αυτό συνδέεται μέσω αβαρούς νήματος, με δεύτερο σώμα μάζας m2= 3kg. Το σύστημα ισορροπεί στο οριζόντιο επίπεδο και του προσφέρουμε ακαριαία ενέργεια Ε = 2,88 J, οπότε ξεκινά να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση κατά την θετική κατεύθυνση. α) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης. β) Αν το νήμα έχει όριο θραύσης 12 6 Ν, να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με την απομάκρυνση της ταλάντωσης. 2. Όταν το νήμα σπάσει, το σώμα μάζας m1 συνεχίζει να ταλαντώνεται, ενώ το σώμα μάζας m2 κινείται στο λείο οριζόντιο επίπεδο και αφού διανύσει απόσταση d = 3 m , συναντά το ελεύθερο άκρο άλλου οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k2 = 300N/m. Το m2 συγκρούεται με το ελατήριο και αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. α) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του m1 μετά το κόψιμο του νήματος. β) Να γράψετε την εξίσωση της απoμάκρυνσης της ταλάντωσης του σώματος μάζας m2 θεωρώντας ως χρονική στιγμή t = 0, την στιγμή που κόβεται το νήμα.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ B. 1. α. , β. mA 12,0= mxxT 604,00,300 ≤≤⋅= 2. α. mA 603,0= , β. ).()2510(304,0 IStx −ημ=

http://karxri.blogspot.com/ 28

Page 29: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 19ο

Τα διπλανά διαγράµµατα αναφέρονται σε ένα ιδανικό κύκλωµα LC που εκτελεί αµείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις µε περίοδο T = 0,4π.10-3s. Με βάση τις τιµές των µεγεθών που σηµειώνονται στα διαγράµµατα, ζητούνται:

α. Η γωνιακή συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώµατος. β. i) Η µέγιστη τιµή της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα, ii) το µέγιστο φορτίο του πυκνωτή iii) ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου και iv) η χωρητικότητα του πυκνωτή. γ. Η αρχική φάση της ταλάντωσης.

δ. Η τιµή του φορτίου τη χρονική στιγµή t = 210.23π s.

ε. Η τιµή του φορτίου και η τιµή της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, όταν η ένταση του ρεύµατος είναι 0,01 Α. στ. Η γραφική παράσταση της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου του πηνίου σε συνάρτηση µε την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και η γραφική παράσταση της έντασης του ρεύµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο.

UE (μJ)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α. 5.103 rad/s, β. i) 2.10-2A, ii) 4 µC , iii) 4 mΗ., iv) 10 µF, γ. π/2 rad, δ. 22− µC ε. 0,6 µJ., στ. UB = E – UE, I = -20ημ(5.103t – π/2) ( i → mA, t → s)

φ (rad) 0,8

3π/4

-20 π/20 20 i(mA) t(ms)

Διάγραμμα 1 Διάγραμμα 2

http://karxri.blogspot.com/ 29

Page 30: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 20ο

Σώμα µάζας m1 ισορροπεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ = 10N/m. ∆εύτερο σώµα µάζας m2 = 0,1kg κινούµενο προς τα πάνω µε ταχύτητα µέτρου υ2 = 3m/s, σφηνώνεται µέσα στο m1. Το συσσωµάτωµα που δηµιουργείται εκτελεί απλή

αρµονική ταλάντωση µε περίοδο Τ = 5

3πs.

∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s2. α. Να βρεθεί η µάζα m1. β. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση. γ. Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος. δ. Να γραφεί η εξίσωση που δίνει την ταχύτητα του συσσωµατώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο εάν θεωρήσουµε σαν t = 0 τη στιγµή που το σώµα m2 σφηνώνεται στο σώµα m1.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α. 0,2kg β. 1m/s γ. 0,2m δ. )t(63

3103

32 πσυνυ += ,

(S.I)

m2 2υr

m1

↑+)(

http://karxri.blogspot.com/ 30

Page 31: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 21ο

Το κύκλωμα του σχήματος περιλαμβάνει ιδανικη πηγή Ε = 40Volt, ωμική αντίσταση R = 10Ω, πυκνωτή χωρητικότητας C = 20μF , ιδανικό πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L και διακόπτη Δ. Αρχικά ο διακόπτης είναι κλειστός και το κύκλωμα διαρρέεται από σταθερό ρεύμα. Τη χρονική στιγμή t = 0 ανοίγουμε το διακόπτη. Αν γνωρίζετε ότι μετά το άνοιγμα του διακόπτη το μέγιστο φορτίο στον πυκνωτή μπορεί να φτάσει τη μέγιστη τιμή των Q = 400μC: Α. Να υπολογιστεί η ενέργεια που είναι αποταμιευμένη στο πηνίο και στον πυκνωτή τη χρονική στιγμή t = 0. Β. Να γραφούν οι εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις q = f(t) και i = f(t). Γ. Ποια χρονική στιγμή η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι τριπλάσια της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή για 3η φορά; Ποια είναι η τιμή του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα τη στιγμή αυτή; Να σχεδιαστεί το κύκλωμα L - C για την παραπάνω χρονική στιγμή στο οποίο να φαίνονται: α) η πολικότητα του πυκνωτή β) η πολικότητα της Η.Ε.Δ. από αυτεπαγωγή στο πηνίο και γ) η φορά του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα. Ποιο από τα στοιχεία του κυκλώματος την παραπάνω χρονική στιγμή αποταμιεύει ενέργεια;

Γ+

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Α. UB = 4.10-3J , UE = 0 , Β. q = -4.10-4ημ104t , i = -4 συν104t , Γ. 7π/6.10-4s , 200μC , 2 3 A , ο πυκνωτής αποταμιεύει ενέργεια

Δ

_ Ε C LΑ

http://karxri.blogspot.com/ 31

Page 32: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 22ο

Η εξίσωση της επιτάχυνσης (α) σε συνάρτηση με το (t) για ένα σώμα μάζας m = 1 kg το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι η ακόλουθη:

).(6

10max IStQq ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ημ−=

Η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωση ς είναι UT.mαx = 50J. Να υπολογίσετε: α. Τη μέγιστη ταχύτητα υmαx του σώματος.

β. Την επιτάχυνση α του σώματος τη χρονική στιγμή 4Tt = όπου η περίοδος της

ταλάντωσης του σώματος.

γ. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος tKTΔΔ και το ρυθμό με

τον οποίο μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος tUT

ΔΔ

όταν το σώμα κινείται με ταχύτητα υ1 ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α. , β. sm /10=υ 2/350 sma −= , γ. sJtKT /3250−=ΔΔ , sJ

tUT /3250±=ΔΔ

http://karxri.blogspot.com/ 32

Page 33: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 23ο

Ιδανικό κύκλωμα L-C εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. (Τα άκρα του πηνίου συνδέονται με τους οπλισμούς του πυκνωτή). Τη χρονική στιγμή t = 0 το φορτίο του πυκνωτή είναι q = qmax = Q = 100μC και η ένταση του ρεύματος είναι i = 0. Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C = 1 μF

Τη χρονική στιγμή 41

4 103πt -= s η ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι

τριπλάσια της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή για τρίτη φορά Α.1. Να υπολογιστούν: i) η περίοδος ταλάντωσης του κυκλώματος και ii) ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του πηνίου. 2. i) Να υπολογιστεί το φορτίο του πυκνωτή καθώς και η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα τη χρονική στιγμή t1 ii) Να σχεδιαστεί το κύκλωμα L-C τις χρονικές στιγμές t = 0 και t = t1. Στο δεύτερο κύκλωμα να σχεδιαστεί η φορά του ρεύματος. Ποιο από τα δύο στοιχεία του κυκλώματος αποθηκεύει ενέργεια τη χρονική στιγμή t1; 3. Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t1 οι παρακάτω ρυθμοί: i) της έντασης του ρεύματος ii)της ενέργειας μαγνητικού πεδίου του πηνίου και της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή. Β.1. Ποιες χρονικές στιγμές στη διάρκεια της πρώτης περιόδου ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας ηλ. πεδίου του πυκνωτή παίρνει τη μέγιστη τιμή; 2. Να γίνει η γραφική παράσταση του ρυθμού μεταβολής της ενέργειας μαγνητικού πεδίου του πηνίου σε συνάρτηση με το χρόνο. 3. Να γίνει η γραφική παράσταση του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με το φορτίο του αρχικά θετικού οπλισμού.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Α.1. i) 2π.10-4s , ii) 10mH , 2. i) 32

A , ii) το πηνίο , 3. i) 5.103A/s , ii) -25 3 J/s

,

B.1. 43 103π s- , 47 10

3π s- , 2. 50 5000BdU ημ t

dt= (S.I),

3. CqCqdtdi 448 1010,10 −−− ≤≤−−=

http://karxri.blogspot.com/ 33

Page 34: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 24ο

Σώμα μάζας Μ είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 40cm και περιόδου Τ = 10s. Αν τη στιγμή

που το σώμα διέρχεται από τη θέση με απομάκρυνση x = 2

3A σφηνωθεί σε αυτό

βλήμα μάζας m = 4M που κινείται ομόρροπα με το σώμα με ταχύτητα υ = 3υmax όπου

υmax η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης του σώματος να βρεθούν: α) Η περίοδος της νέας ταλάντωσης. β) Το πλάτος της νέας ταλάντωσης. γ) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος στις θέσεις που κινείται με ταχύτητα ίση με το μισό της μέγιστης ταχύτητας της νέας ταλάντωσης αν k = 100N/m. δ) Το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του βλήματος λόγω της κρούσης του.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. 5 5 s, β. 20 7 cm, γ. 10 21 N, δ. –89,89%

http://karxri.blogspot.com/ 34

Page 35: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 25ο

Ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων αποτελείται από πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L = 0,5mH και πυκνωτή χωρητικότητας C = 40μF, Αν τη στιγμή t = 0 είναι q = +Q και το πλάτος της έντασης του ρεύματος είναι I = 0,4Α να βρείτε:

α) Το φορτίο του πυκνωτή όταν i = 2I .

β) Την εξίσωση του ρυθμού μεταβολής του φορτίου σε συνάρτηση με το χρόνο και να την παραστήσετε γραφικά. γ) Ποια χρονική στιγμή UE = UB για δεύτερη φορά. δ) Την εξίσωση της μαγνητικής ενέργειας σε συνάρτηση με το φορτίο και να την παραστήσετε γραφικά.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α. C620 μ± , β. tqΔΔ = i = –0,4ημ(5000 2 t) (S.I), γ.

50002π s,

δ. UB = 4.10-5 – 12,5.103q2 (S.I)

http://karxri.blogspot.com/ 35

Page 36: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 26ο

Ιδανικό κύκλωμα LC αποτελείται από πυκνωτή χωρητικότητας C = 100μF και πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L = 10mH. Το κύκλωμα εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και κάποια στιγμή t το φορτίο στον πυκνωτή είναι q = 3 mC και η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα είναι i = 1A. Να υπολογίσετε: α) Τη γωνιακή συχνότητα των ταλαντώσεων του κυκλώματος. β) Τη μέγιστη τιμή του φορτίου του πυκνωτή. γ) Τη μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα. δ) Το λόγο της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο προς την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή τη χρονική στιγμή t.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. 103rad/s, β. 2.10-3C, γ. 2A, δ. 1/3

http://karxri.blogspot.com/ 36

Page 37: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 27ο

Ένα σώμα μάζας m1 = 2kg είναι δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, που κρέμεται από το άλλο άκρο του. Το σώμα βρίσκεται σε ύψος h = 80cm από το οριζόντιο επίπεδο και το ελατήριο έχει σταθερά k = 100Ν/m. Μια μάζα m2 = 1kg, που αρχικά βρισκόταν στο οριζόντιο επίπεδο και στην ίδια κατακόρυφη με m1, εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα μέτρου υ2ο = 5m/s κατακόρυφα προς τα πάνω, έτσι ώστε να συγκρουστεί κεντρικά και πλαστικά με τη μάζα m1. Το συσσωμάτωμα αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα που αποκτάει το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση. Β. Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωμάτωμα; Γ. Πόση είναι η μέγιστη απόσταση από το οριζόντιο επίπεδο, στην οποία θα φτάσει το συσσωμάτωμα και πόση είναι η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στη θέση αυτή; Δ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ως χρονική στιγμή t = 0 τη στιγμή της κρούσης και θετική φορά προς τα πάνω. Δίνεται g = 10m/s2

k

m1

h υ2ο

m2

http://karxri.blogspot.com/ 37

Page 38: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 28ο

Ιδανικό κύκλωμα L-C εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. (Τα άκρα του πηνίου συνδέονται με τους οπλισμούς του πυκνωτή). Τη χρονική στιγμή t = 0 το φορτίο του πυκνωτή είναι q = qmax = Q = 100μC και η ένταση του ρεύματος είναι i = 0. Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C = 1 μF

Τη χρονική στιγμή 41

4 103πt -= s η ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι

τριπλάσια της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή για τρίτη φορά Α.1. Να υπολογιστούν: i) η περίοδος ταλάντωσης του κυκλώματος και ii) ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του πηνίου. 2. i) Να υπολογιστεί το φορτίο του πυκνωτή καθώς και η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα τη χρονική στιγμή t1 ii) Να σχεδιαστεί το κύκλωμα L-C τις χρονικές στιγμές t = 0 και t = t1. Στο δεύτερο κύκλωμα να σχεδιαστεί η φορά του ρεύματος. Ποιο από τα δύο στοιχεία του κυκλώματος αποθηκεύει ενέργεια τη χρονική στιγμή t1; 3. Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t1 οι παρακάτω ρυθμοί: i) της έντασης του ρεύματος ii)της ενέργειας μαγνητικού πεδίου του πηνίου και της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή. Β.1. Ποιες χρονικές στιγμές στη διάρκεια της πρώτης περιόδου ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας ηλ. πεδίου του πυκνωτή παίρνει τη μέγιστη τιμή; 2. Να γίνει η γραφική παράσταση του ρυθμού μεταβολής της ενέργειας μαγνητικού πεδίου του πηνίου σε συνάρτηση με το χρόνο. 3. Να γίνει η γραφική παράσταση του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με το φορτίο του αρχικά θετικού οπλισμού.

http://karxri.blogspot.com/ 38

Page 39: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 29ο

Το πλάτος μιας φθίνoυσας απλής αρμονικής ταλάντωσης μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση Α = Αοe-Λt, όπου Λ μια σταθερή ποσότητα. Η περίοδος της ταλάντωσης είναι σταθερή και ίση με Τ.

α) Σε πόσο χρόνο το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται 4

Ao .

β) Να δείξετε ότι ο λόγος δυο διαδοχικών τιμών του πλάτους είναι σταθερός (υπόδειξη: δυο διαδοχικά πλάτη απέχουν χρονικά μια περίοδο). γ) Μετά από Ν1 = 18 πλήρεις ταλαντώσεις που διαρκούν t3 το πλάτος της ταλάντωσης

είναι ίσο με 2

Ao . Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης όταν γίνουν ακόμη 72 πλήρεις

ταλαντώσεις. δ) Αν σε κάθε πλήρη ταλάντωση η επί τοις % ελάττωση της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης είναι 36% να βρείτε την επί τοις % μεταβολή του πλάτους της ταλάντωσης σε κάθε ταλάντωση. Θεωρούνται γνωστά τα μεγέθη Λ, Αο, Τ και ο ℓn2.

http://karxri.blogspot.com/ 39

Page 40: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 30ο

Σώμα μάζας m εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση με ενέργεια Ε = 50Joule ανάμεσα σε δύο θέσεις Α και Α΄ που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 2m. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο κατά τη θετική φορά και σε χρόνο Δt = π/40 sec το σώμα βρίσκεται για πρώτη φορά στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης Α. α. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης και τη σταθερά επαναφοράς. β. Να γράψετε τις εξισώσεις που δίνουν την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. γ. Να βρεθεί η δύναμη επαναφοράς της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t = π/60 sec. δ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της δύναμης επαναφοράς συναρτήσει της απομάκρυνσης και του χρόνου. ε. Να βρεθεί η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή κατά την οποία η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι η μισή του πλάτους του.

http://karxri.blogspot.com/ 40

Page 41: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 31ο

Σώμα μάζας m = 1kg είναι τοποθετημένο πάνω σε δίσκο μάζας Μ = 3kg. Το σύστημα των δύο σωμάτων εκτελεί κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σύστημα βρίσκεται σε τέτοια θέση ώστε η δύναμη επαφής μεταξύ των δύο σωμάτων να είναι ελάχιστη. Σε χρόνο Δt = π/2 s το σύστημα βρίσκεται στη θέση όπου η παραπάνω δύναμη μεγιστοποιείται Η μέγιστη ταχύτητα στη διάρκεια της ταλάντωσης είναι υmax = 4 m/s. Θεωρείστε θετική φορά του κατακόρυφου άξονα προς τα πάνω. α. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του συστήματος από τη θέση ισορροπίας του. β. Να βρεθεί το μέτρο της μέγιστης και της ελάχιστης δύναμης που δέχεται το σώμα μάζας rn στη διάρκεια της κίνησής του. γ .Να παρασταθεί γραφικά η δύναμη επαφής την οποία δέχεται το σώμα m , σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του και το χρόνο. δ. Να βρεθεί η ενέργεια ταλάντωσης κάθε σώματος και η ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος. ε. Για ποια συχνότητα ταλάντωσης του συστήματος χάνεται η επαφή μεταξύ των δύο σωμάτων; Δίνεται g = 10 m/s2

http://karxri.blogspot.com/ 41

Page 42: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 32ο

Σώμα μάζας m = 1,6kg εκτελεί α.α.τ. δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 10N/m. Η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης είναι υmax = 1m/s. α) Υπολογίστε την ενέργεια της ταλάντωσης. β) Υπολογίστε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα διέρχεται από τη Θ.Ι. του κινούμενο προς τα θετικά x. Ακριβώς σε αυτή τη θέση συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας m1 = 0,9kg το οποίο κινείται αντίρροπα του πρώτου με ταχύτητα αλγεβρικής τιμής υ1 = –46/9 m/s. Η ένωση των δύο σωμάτων γίνεται ακαριαία. γ) Υπολογίστε την ενέργεια της νέας ταλάντωσης του συσσωματώματος. δ) Υπολογίστε τις νέες τιμές της περιόδου και του πλάτους της ταλάντωσης του συσσωματώματος ε) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου για την απλή αρμονική ταλάντωση που εκτελεί το συσσωμάτωμα.

http://karxri.blogspot.com/ 42

Page 43: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 33ο

Υλικό σηµείο µάζας m=200g εκτελεί περιοδική, ευθύγραµµη κίνηση σε άξονα x´Ox η οποία περιγράφεται από την εξίσωση x = 0,1ηµ10πt + 0,1συν10πt (SI) όπου x η αποµάκρυνση του υλικού σηµείου από τη θέση x=0 ( αρχή του άξονα). A. i) Να αποδείξετε ότι το υλικό σηµείο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση της οποίας να βρείτε το πλάτος, τη συχνότητα και την αρχική φάση. ii) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση x = f(t). B. Eστω ότι το παραπάνω υλικό σηµείο εκτελεί την α.α.τ του ερωτήµατος Αi). i) Ποια χρονική στιγµή ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του υλικού σηµείου µηδενίζεται για 2η φορά µετά τη στιγµή t =0; ii) Ποια είναι η τιµή του λόγου της κινητικής προς τη δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης τη στιγµή t1 = 0,2s;

http://karxri.blogspot.com/ 43

Page 44: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 34ο

Στο ελεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100N/m εξαρτάται σώμα μάζας m = 1kg. Το άνω άκρο του ελατηρίου είναι σταθερά στερεωμένο. Ανυψώνουμε το σώμα κατακόρυφα, ώστε το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό του μήκος και τη χρονική στιγμή t=0 του προσδίδουμε κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου 3 /m sυ = με φορά προς τα κάτω. α. Να υπολογίσετε το πλάτος και την περίοδο της ταλάντωσης του σώματος. β. Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο. γ. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης του ελατηρίου κατά την μετατόπιση του σώματος από το σημείο εκκίνησης μέχρι το κατώτερο σημείο της τροχιάς του. Δίνεται: g = 10m/s2

http://karxri.blogspot.com/ 44

Page 45: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 35ο

Σύστημα ελατήριο k = 200N/m - σώμα μάζας m = 2kg κάνει γ.α.τ. και η μέγιστη κινητική του ενέργεια είναι: Kmax = 4J. α. Να υπολογιστούν το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης.

β. Φέρουμε το σύστημα σ’ ένα μέσο που ασκεί δύναμη τριβής της μορφής υπ4

−=F ,

(S.I.). Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης μετά από χρόνο 5Τ·ln2 και την ενέργεια που έχει χάσει το σύστημα μέχρι τότε. Δίνεται ότι Λ = b/2m, η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι περίπου ίση με την ιδιοπερίοδο και e−4 = 0,045.

http://karxri.blogspot.com/ 45

Page 46: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 36ο

Οριζόντιος δίσκος εκτελεί γ.α.τ. σε κατακόρυφη διεύθυνση, με πλάτος A = 0,25m και περίοδος T = 2s. Όταν ο δίσκος βρίσκεται στην κατώτατη θέση της τροχιάς, τοποθετούμε πάνω του μικρό σώμα μάζας 2kg. α. Αν θεωρήσουμε ότι το σύστημα διατηρεί σταθερό πλάτος και περίοδο, να βρεθεί η σχέση της δύναμης που δέχεται το σώμα από το δίσκο σε σχέση με την απομάκρυνση y και να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση. β. Αν η περίοδος παραμείνει σταθερή, για ποια μέγιστη τιμή του πλάτους το σώμα οριακά τείνει να εγκαταλείψει το δίσκο; γ. Αν μεταβάλλουμε τη συχνότητα της ταλάντωσης, για ποια μέγιστη συχνότητα μόλις που χάνεται η επαφή σώματος - δίσκου, αν το πλάτος είναι Α = 0,25 m; Δίνεται: π2 = 10 και g = 10m/s2

http://karxri.blogspot.com/ 46

Page 47: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 37ο

Στο ελεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ = 100Ν/m εξαρτάται ένα σώμα από το οποίο κρεμάμε με ένα λεπτό άκαμπτο σύρμα μία μεταλλική πλάκα την οποία βυθίζουμε σε ένα υγρό. Το άνω άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Η συνολική μάζα του συστήματος είναι m = 1Kg. Αν ανυψώσουμε το σύστημα έτσι ώστε το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό του μήκος και το αφήσουμε ελεύθερο τότε το σύστημα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση. Μετά από 20 πλήρεις ταλαντώσεις το πλάτος έχει μειωθεί κατά τα ¾ του αρχικού. α. Να γραφεί η εξίσωση του πλάτους της ταλάντωσης. Να θεωρήσετε ότι η συχνότητα της ταλάντωσης είναι η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. β. Στην πραγματικότητα η τιμή της συχνότητας της ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή; γ. Πόσο χρόνο χρειάζεται το σύστημα ώστε να ταλαντώνεται με το μισό του αρχικού πλάτους. δ. Πόση θα είναι η επιτάχυνση μετά από ακριβώς 40 ταλαντώσεις; ε. Πόση κατά μέσο όρο ενέργεια πρέπει να προσφέρουμε στο σύστημα ανά κύκλο ώστε να διατηρείται αμείωτη η ταλάντωση; Δίνεται g = 10m/s2

http://karxri.blogspot.com/ 47

Page 48: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 38ο

Το κατακόρυφο ελατήριο του παρακάτω σχήματος έχει σταθερά k. Το ένα του άκρo είναι στερεωμένο στην οροφή, ενώ στο άλλο έχει στερεωθεί ένα σώμα βάρους w = 20Ν. Εκτρέπουμε το σώμα από την θέση ισορροπίας του μέχρι να φτάσει σε θέση που απέχει y = 5cm πάνω από το φυσικό μήκος του ελατηρίου. Τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε το σώμα να κινηθεί από τη θέση αυτή θεωρώντας x > 0. Το σώμα σταματά στιγμιαία για πρώτη φορά τη στιγμή t1= 0,05π sec, ενώ έχει διανύσει διάστημα S =20 cm. Α. i. Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης. ii. Να γράψετε την εξίσωση της απoμάκρυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. iii. Να υπολογίσετε την χρονική στιγμή κατά την οποία η κινητική ενέργεια είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας για δεύτερη φορά από την στιγμή που ξεκίνησε η ταλάντωση. iv. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της ορμής την στιγμή που η δύναμη του ελατηρίου είναι ίση με μηδέν, καθώς και ποια στιγμή συμβαίνει αυτό για πρώτη φορά Β. Τη στιγμή t3 = 0,2π sec το σώμα ακαριαία εισέρχεται σε ένα μέσο με συνέπεια να εμφανιστεί δύναμη, η οποία αντιτίθεται στην κίνηση του της μορφής F = - bu (S.I). i. Να βρείτε την χρονική στιγμή t4 από την αρχή μέτρησης του χρόνου όπου το πλάτος θα γίνει ίσο με ΑΤΕΛ = 2,5cm. ii. Να υπολογίσετε το ποσοστό της ενέργειας που χάθηκε. Δίνεται η σταθερά Λ = ℓn2 s-1. Να θεωρήσετε ότι στη φθίνουσα ταλάντωση ισχύει D = k.

Φ.Μ

wr

http://karxri.blogspot.com/ 48

Page 49: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 39ο

Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα, στο οποίο η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C = 2μF εκτελεί ταλάντωση. Η ένταση του ρεύματος. σε σχέση με το χρόνο παρέχεται από τη συνάρτηση: ).(200102 2 ISti ημ⋅= −

α) Γράψτε τη συνάρτηση του φορτίου του πυκνωτή σε σχέση με το χρόνο. β) Υπολογίστε το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου του κυκλώματος. γ) Υπολογίστε την ενέργεια της ταλάντωσης. δ) Υπολογίστε την ελάχιστη χρονική διάρκεια ανάμεσα σε δύο καταστάσεις του κυκλώματος, στις οποίες η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι τριπλάσια της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου.

http://karxri.blogspot.com/ 49

Page 50: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 40ο

Το κάτω άκρο του ελατηρίου του σχήματος στερεώνεται στο έδαφος και στο πάνω άκρο του είναι σταθερά στερεωμένο ένα σώμα Α με μάζα Μ = 0,18kg. Η σταθερή του ελατηρίου είναι k = 9,8N/m και η μάζα του σώματος Β είναι m = 0,02kg. Απομακρύνουμε το σύστημα των σωμάτων κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d = 40cm και ύστερα το αφήνουμε ελεύθερο. 1) Να βρείτε τη θέση και τη χρονική στιγμή που αποσπάται το σώμα Β από το Α. 2) Ποια είναι η κινητική ενέργεια του σώματος Β όταν αποσπάται από το σώμα Α. Δίνεται g = 9,8m/sec2.

m

M

http://karxri.blogspot.com/ 50

Page 51: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 41ο

Σώμα μάζας m = 1kg είναι τοποθετημένο πάνω σε δίσκο μάζας Μ = 3kg. Το σύστημα των δύο σωμάτων εκτελεί κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σύστημα βρίσκεται σε τέτοια θέση ώστε η δύναμη επαφής μεταξύ των δύο σωμάτων να είναι ελάχιστη. Σε χρόνο Δt = π/2 s το σύστημα βρίσκεται στη θέση όπου η παραπάνω δύναμη μεγιστοποιείται Η μέγιστη ταχύτητα στη διάρκεια της ταλάντωσης είναι υmax = 4 m/s. Θεωρείστε θετική φορά του κατακόρυφου άξονα προς τα πάνω. α. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του συστήματος από τη θέση ισορροπίας του. β. Να βρεθεί το μέτρο της μέγιστης και της ελάχιστης δύναμης που δέχεται το σώμα μάζας rn στη διάρκεια της κίνησής του. γ .Να παρασταθεί γραφικά η δύναμη επαφής την οποία δέχεται το σώμα m , σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του και το χρόνο. δ. Να βρεθεί η ενέργεια ταλάντωσης κάθε σώματος και η ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος. ε. Για ποια συχνότητα ταλάντωσης του συστήματος χάνεται η επαφή μεταξύ των δύο σωμάτων; Δίνεται g = 10 m/s2

http://karxri.blogspot.com/ 51

Page 52: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 42ο

Για το ακόλουθο κύκλωμα δίνονται: Ε = 20 V , με r = 0, R1 = 5 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3Ω, C = 200 μF και L = 20 mH. Αρχικά ο διακόπτης δ1 είναι κλειστός, ενώ ο διακόπτης δ2 είναι ανοικτός. Ανοίγουμε το διακόπτη δI και τη χρονική στιγμή t = 0 κλείνουμε το διακόπτη δ2 με αποτέλεσμα το κύκλωμα LC να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις.

α. Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή Vcmax της τάσης στα άκρα του πυκνωτή, καθώς και τη μέγιστη τιμή I της έντασης του ρεύματος. β. Εάν η απόσταση μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή είναι ℓ = 4 mm να γράψετε τις εξισώσεις της έντασης Ε και του ρυθμού μεταβολής της έντασης ΔΕ/Δt του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο. γ. Να υπολογίσετε το ποσοστό της ολικής ενέργειας, το οποίο είναι αποθηκευμένο στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου όταν ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος Δi/Δt έχει τιμή ίση με τη μισή τιμή το πλάτους του.

R1 δ1 δ2

Ια

+ R2 C L

-

R3

http://karxri.blogspot.com/ 52

Page 53: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 43ο

Υλικό σημείο μάζας m=0,05kg εκτελεί Γ.Α.Τ. και η χρονική εξίσωση

της κίνησής του δίνεται από την εξίσωση: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2π+40πημx τ5 όπου x σε cm

και t σε δευτερόλεπτα. Να βρεθούν: α) οι χρονικές εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου β) η μέγιστη τιμή της κινητικής ενέργειας του υλικού σημείου γ) η δύναμη που ασκείται στο υλικό σημείο τη χρονική στιγμή t1= 0,5s. δ) το ολικό διάστημα που διάνυσε το κινητό σε χρόνο t = 0,5s.

http://karxri.blogspot.com/ 53

Page 54: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 44ο

Απλός αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί αμείωτες ταλαντώσεις. Τη στιγμή που διέρχεται από τη θέση με απομάκρυνση x = Α/2 δέχεται δύναμη επαναφοράς με μέτρο F=10N και έχει δυναμική ενέργεια U =2J.

A. Στη συγκεκριμένη θέση να υπολογίσετε: 1. Την κινητική ενέργεια του ταλαντωτή 2. Την ολική ενέργεια ταλάντωσης

Β. Να υπολογίσετε: 1. Το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί 2. Τη σταθερή επαναφοράς D της ταλάντωσης.

Γ. Αν στην προηγούμενη θέση με κατάλληλο τρόπο διπλασιάσουμε την κινητική ενέργεια του ταλαντωτή, χωρίς να αλλάξει η θέση ισορροπίας, να υπολογίσετε:

1. Τη νέα τιμή του πλάτους της ταλάντωσης Την % αύξηση της ενέργεια του ταλαντωτή

http://karxri.blogspot.com/ 54

Page 55: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 45ο

Σώμα μάζας m = 1Kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση περιόδου Τ =

π s. Όταν το σώμα διέρχεται από την θέση: x = 22A , όπου Α το πλάτος

της ταλάντωσης, προσφέρεται σ' αυτό ακαριαία, ένα ποσό ενέργειας ΔΕ, με αποτέλεσμα το μέτρο της ταχύτητας του σώματος να αυξηθεί κατά 30%. Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος μετά την προσφορά της ενέργειας, γίνεται Α' = 0,8m. Να βρεθούν: α) Το πλάτος Α της ταλάντωσης του σώματος πριν την προσφορά της ενέργειας. β) Το ποσό ενέργειας ΔΕ που προσφέρθηκε στο σώμα.

http://karxri.blogspot.com/ 55

Page 56: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 46ο

Σώμα μάζας m = 1,6kg εκτελεί α.α.τ. δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 10N/m. Η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης είναι υmax = 1m/s. α) Υπολογίστε την ενέργεια της ταλάντωσης. β) Υπολογίστε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα διέρχεται από τη Θ.Ι. του κινούμενο προς τα θετικά x. Ακριβώς σε αυτή τη θέση συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας m1 = 0,9kg το οποίο κινείται αντίρροπα του πρώτου με ταχύτητα αλγεβρικής τιμής υ1 = –46/9 m/s. Η ένωση των δύο σωμάτων γίνεται ακαριαία. γ) Υπολογίστε την ενέργεια της νέας ταλάντωσης του συσσωματώματος. δ) Υπολογίστε τις νέες τιμές της περιόδου και του πλάτους της ταλάντωσης του συσσωματώματος ε) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου για την απλή αρμονική ταλάντωση που εκτελεί το συσσωμάτωμα.

http://karxri.blogspot.com/ 56

Page 57: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 47ο

Πυκνωτής χωρητικότητας C = 2μF φορτίζεται από πηγή τάσης 50V και κατόπιν συνδέεται με πηνίο με L = 2.10-4H. α. Να υπολογιστεί η ολική ενέργεια του κυκλώματος. β. Πόσο είναι το φορτίο στον πυκνωτή όταν ισχύει UE = 3UB. γ. Προσθέτω στο κύκλωμα ωμική αντίσταση R. Αν σε χρόνο μιας περιόδου χάνεται ενέργεια ίση με το 50% της αρχικής πόσο θα γίνει το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή. δ. Φέρνω σε επαγωγική σύζευξη με το προηγούμενο κύκλωμα ένα νέο με C΄ = 2μF και L΄ = 10-4H. Ποια θα είναι η συχνότητα ταλάντωσης του κυκλώματος με την ωμική αντίσταση; Πόση πρέπει να γίνει η χωρητικότητα C΄ ώστε το κύκλωμα με την ωμική αντίσταση να έχει στον πυκνωτή το μέγιστο δυνατό φορτίο;

http://karxri.blogspot.com/ 57

Page 58: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 48ο

Σώμα μάζας Μ = 0,16kg είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100N/m με ακλόνητο το άλλο άκρο και εκτελεί α.α.τ πλάτους Α = 0,1m με την επίδραση μόνο της δύναμης του ελατηρίου. Όταν το σώμα βρίσκεται σε μία θέση όπου έχει ταχύτητα ίση με την μισή της μέγιστης, βλήμα μάζας m = 0,09kg κινούμενο με ταχύτητα αντίθετης φοράς της ταχύτητας του ταλαντούμενου σώματος και μέτρου 30m/s σφηνώνεται ακαριαία στο σώμα. 1. Σε ποια θέση πραγματοποιείται η κρούση; 2. Ποιο το πλάτος της νέας ταλάντωσης; 3. Να βρείτε σε ποια από τα παρακάτω μεγέθη θα συμβεί μεταβολή μετά την κρούση: ολική ενέργεια ταλάντωσης, συχνότητα, μέγιστη ταχύτητα, μέγιστη επιτάχυνση. 4. Να βρεθεί η ταχύτητα που θα έπρεπε να έχει το βλήμα ώστε το συσσωμάτωμα μετά την ενσφήνωση να εκτελέσει α.α.τ. με το ίδιο πλάτος Α της ταλάντωσης της μάζας Μ.

http://karxri.blogspot.com/ 58

Page 59: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 49ο

Σώµα µάζας m1 = 4Kgr είναι δεµένο στο δεξί ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθερά Κ = 400N/m το άλλο άκρο του οποίου είναι δεµένο ακλόνητα σε κατακόρυφο τοίχο. Εκτρέπουµε το σώµα κατά x = 0,2m κατά την αρνητική φορά του άξονα x΄x και το αφήνουµε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγµή t = 0s το σώµα βρίσκεται στη θέση x1 = 0,1m κινούµενο προς τη θέση ισορροπίας. Αν η θετική κατεύθυνση της κίνησης είναι η θετική κατεύθυνση του άξονα x΄x, τότε: Α) 1) Να βρείτε την εξίσωση αποµάκρυνσης του σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο. 2) Να υπολογίσετε το λόγο της δυναµικής προς την κινητική ενέργεια του σώµατος τη χρονική στιγµή t1 = 5π/120 s. Β) Τη χρονική στιγµή που το σώµα µάζας m1 βρίσκεται στη θέση x = 0,2m για πρώτη φορά συγκρούεται πλαστικά µε δεύτερο σώµα µάζας m2 το οποίο κινείται µε

ταχύτητα µέτρου u2= 5

56 m/s προς το m1. Αν µετά τη σύγκρουση το συσσωµάτωµα

εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε συχνότητα f = 10/3π Ηz, να βρεθούν: 3) Η µάζα του σώµατος m2. 4) Η κινητική ενέργεια του συσσωµατώµατος µετά την κρούση. 5) Το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωµάτωµα.

http://karxri.blogspot.com/ 59

Page 60: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ - ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 50ο

Σώµα µάζας m1= 1Kgr είναι δεµένο στο δεξί ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθερά Κ = 100N/m το άλλο άκρο του οποίου είναι δεµένο ακλόνητα σε κατακόρυφο τοίχο. Προσφέρουµε στο σώµα ενέργεια Ε = 2J αναγκάζοντας το να εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγµή t = 0s το σώµα βρίσκεται στη θέση x1 = -0,1 2 m κινούµενο προς τη θέση ισορροπίας. Αν η θετική κατεύθυνση της κίνησης είναι η θετική κατεύθυνση του άξονα x΄x, τότε: Α) 1) Να βρείτε την εξίσωση αποµάκρυνσης του σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο. 2) Να υπολογίσετε το λόγο της κινητικής προς τη δυναµική ενέργεια του σώµατος τη χρονική στιγµή t1 = π/24 s. Β) Τη χρονική στιγµή που το σώµα µάζας m1 βρίσκεται στη θέση x2 = 0,1 3 m για πρώτη φορά συναντά δεύτερο ακίνητο σώµα µάζας m2 µε το οποίο συγκρούεται πλαστικά. Αν µετά τη σύγκρουση το συσσωµάτωµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε περίοδο Τ = 2π/5 s, να βρεθούν: 3) Η µάζα του σώµατος m2. 4) Η ταχύτητα του συσσωµατώµατος µετά την κρούση. 5) Το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωµάτωµα.

http://karxri.blogspot.com/ 60