Download - Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

Transcript
Page 1: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

32 Balkan Mathematical Olympiadnd

Athens HellasMay 3-8 2015

Α

Γ Β

ΕΣ

Δ

Κ

ΛΒ1

Ο

Ν

Γ1

Μ

May 3-8, 2015

32ndBa lkan

Mathematical O

l ympiad32ΒΜΟ

2015

nd

Athens Hellas-

Official Participants

Albania

Bosnia and Herzegovina

Bulgaria

Cyprus

Former Yugoslav Republicof Macedonia

Hellas

Montenegro

Republic of Moldova

Romania

Serbia

Turkey

Invited Guests

Azerbaijan

Hellas B

Indipendent teamfrom Iran

Kazakhstan

Kyrgyzstan

Saudi Arabia

Tajikistan

Turkmenistan

United Kingdom

Republic of Ireland

Italy

Ε Μ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΤΑΙΡΕΙΑ

ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΑΠΟ ΤΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ

Π Γ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΕΝΙΚΗΣ ΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣΠ Γ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΕΝΙΚΗΣ ΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ Μαίος 2015

Αφιέρωμα32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2015

Page 2: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

1

3322nndd BBAALLKKAANN MMAATTHHEEMMAATTIICCAALL OOLLYYMMPPIIAADD 22001155

Date and place

The Balkan Mathematical Olympiad 2015 will be held from May 3rd to May 8th in Athens, Hellas.

Organized by HELLENIC MATHEMATICAL SOCIETY

Page 3: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

2

3322�� ���������������� ������������ �������������� 22001155

������ ��� �����

� �������� ��� ���� ��� ����� 2015 ���� ���������� ��� 3 ��� 8 ���� ���� ����.

������������ ��� ��� !����� ������ !���"!��

Page 4: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

3

������ ���� ������� ��� ���

Dr � ��� � A. ��� ��� � ��� � ��� ����������� ���� ���� ��� �������������� �� ����

������� �� ������, ������� ������� �� ��� �� ��� ��� ���������� ����������� �� ��� �� ��� ������� ��� 32�� ���������� ����������� ������ ��� 2015 ��� �������!����� ��" ��� #������� ���������� #������. �� ��� ���"���� ��� $������� ��� ����������� #������� ��� %�������������� #��!��� �� ����� �� ���� �& ��� ������� ��� ��� �� ��� �� ��������� �����!� �"�� ��" ��� �!��� ��� �������� �&� ������&� "�� ��� ��" ���� �!���. ' ��� ����� �"�� ����!� ��&� ��" ������������ �!��� ������� �� �����"���� ���������� ���!� ��� ��������� ������������ ��"� ��������� ��������� ��� ���� ����� ���. (� ��������� ����)��, ��� ������� ��� ��"���, � * �� ��� ������������� ������������ ��� �� ������� ����� ��� ��� ���!���� ��� �� ���)��. ' ��������� �� �������� ����&������� ��������� ��� ���+�������� ��� ��)����� ���*��� �&� ���������!� ���� ����&�� ���&� ���� ����� �&� ���������!� ��� ��� ���������� ��&� �������!�. ���" ������ ��� ��������" ���� ����� ��� �� �� ��*��� ���������� ���� ��� ����-�� ��� ����&��. ' #������� ���������� #������ �� ��� ���������� ��� ������� �� �� ��� ������������� �� )�� ���� ���������� �����. ������� �������, /� ����� �� ���� �& ���� ��" ��� ����� ��� �� ����������� ��� ��� ��� ����� ����� ��� "�&� ��� ��� ��� ������� ��� �� ����������� ��� �� ���������� ���� 32� ��������� ���������� ������ ��. 2015. ' ���������� #������ ��� %�������������� #��!��� �������-�� �� � �� �����" ��"�� ����� ��� �)�������� ����� ����� ��� �� ����. #��������� ��� ������������ �)-��� ����� ��������� ��� ��� ��� ���������� ��� ��� ��������, ���!� ����� ��� ����� ����� ��� ��� ��� ����������� ��� ��� ����������� �� ���" �� ��������. �� ����� ��� ���4��� ��� ������! ��� ������& ���� �������&��� ��� ���� ������������� �������. �� ������� � �� �������. �� ��������!,

Page 5: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

4

������ ���� ������� ��� ��� �������� ������ ��!��� �

� ��� � ��� " �������� ���� ���� ��� BMO 2015 #� ������ ��� #�������� ����������� #������� ��� ��� �����&����� #�������� ��� 32�� ���������� ����������� ������ ��� ��& �� ��� ��� ��� ���� �� ���&����& �� ��� ��" ��� ���������� �!��� ��� �������������� �� ��� ��" �!��� ��� #��!��� ��� ��� ���� ���� 32� ��������� ���������� ������ �� ��� ��������������� ��! ���� �����. ������"����� ������� ��� ����)������ ����� ��� �!�� ���, �� �!�� ��� �&� ���������!� ��� �����"�&� "�&� � /����, � $����"���, � $� �&���, � �����������, � #�������, � ���������, ��� �����"� ��� ��� ������ "�&� � 32� ���. ������"����� "�� ������� �� ���"� ��� ��"�� �� *��� ���������� ��� ��������� . ' #�� �� ���� ��� �!�� �� ��� �� 7����� ��� ����������� �������������� �!����, � ������ ��" ���� ������ �� ����� �� �����"���� �� �����������. ' ����� �����"���� ���-�� ���� ������ �� ������ ��� ���������� � ���� ����� ��� ��� 5� �.8, ��!��. (� ��������� *�*��� ���� � *����"� �"��� ��� ��������&������ ��! ���� �����. ��� ��"�� �� ����� ��� ������� ��� �� ��� ���� �����"����� �������. ' �����&���� #������� ��� ����� ����� �� �)�������� "����� �������� �����4��� ��� ��� �������� ��� ���� #�� ��. � � �� �����&�� ������ �� ����� ����������� ���� ����������� #������� ����)���. ��� �����"���� ������ ���� ��"�, � ��"� ��� ����)����, � 9����� :�� ��� *���-"����� ��� *����� ���! #� ������ ��� #�������� ����������� <���"����� ���� -& ��� ���������� ��� ��� =������� $���������, $������ ��� /������� �&�, ��� $��������� �������, �� :��� $������ >������ ��� "���� ���� �������� ��� ���. $����� ���������� ����� ���������, ���� ������������ ��� �� "���� "��� *������� �� ����������� ��"�� ��� ����� �&�� ����� ��� ������ ���. �� ���&���-& ���� ��" ��� ����� ���, ��� ��"�� ��� ��� , ��� ��� ������� �� ��� ���� ��� ��� ��� 2015.

Page 6: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

5

#�$%&" %'�"'

�����, 7 ��@�� 2015 ��. $�&�. 15344/7-5-2015

(�� ) ��� ��� �*��� )+���� ���+��

���� 32� ,������� ���������� "����+��

�������!����� ������ �� ��� (����� �������� �&� ������&� � 32� ��������� ���������� ������ �� ��� �������!����� ����� �� ������� ���� ����� ���� 3 - 8 ��@�� 2015 ��" ��� #������� ���������� #������ �� �� ��������� *����� ��+�� ��� -� �� ��� �������������� �� ���� �� �� +���� ��� ���������+, ����� ��� ���*� 4��!���6����� -� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� ����..

' #������� �������� ��������� ��� ����" ��� ����� � ����� ��� ����.

�����������:

���6��� �*� �� ����� ) ��� ���+�� ��+� #���� ��� ����� )+���� ���+�� �������� ���������� ����� )+���� ���+�� )�-���� ����� �� ������� ����� )+���� ���+�� �� ��7+ ��������� ,* ��� )+���� ���+�� %���������� #���� ��� # +�� )+���� ���+��

E�� �� ������������ ���� ��������: http://www.hms.gr/32bmo2015/main.htm

����� �&� �����!� ���� �� ���������� �. �������� �� ��� ��� #� ������ F!���.

' #������� ���������� #������ �������� ��� #������� ��������. (� ������������ ��� �����!���� ��� ����� ����� ��� #�������� ����������� #������� ��� ��� ���* ����� ��� ����������� $������ ��� �!�� ���, ������� ��� �����"����� �&� #����&� �����!� ��� ��������� ��� ����� ��� ��� ��� �������� �����.

G�� �� :��������" ��*����� ��� #�������� ����������� #�������

� $�"����� %��"���� ���)������

��"����� <�������� $����������� $�����

� G����"� G��������� 7& ���� (�����

<�������� :������* ����� #���������

Page 7: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

6

B�" –2015 " ������� ���� ��� ��!��� �� �������, � ��� �� ���"������ :��������� �� ��� $�����!��� G�&������ ���� :������� $�����!��� 7����� :������� <�����"� #�������� ��������� ���� ����

������ ��� ������"� ���� ��� ����� ���� $����������� %��"���� &����� :�������� ������� $�����!��� (������������ ������� (����� 7& ���� 8����"������ $�����!���

���� ��� � ���� ����� 9��� ��, � ��� �� >�������� �� ������, ������"����� Kopliku Fatos, ��*��� Radovic Jelena, ����� #�-���*�� Kortezov Ivaylo Stefanov, �������� Timotheou Savvas, <����� Vesna Manova-Erakovic, $�!�� G���������*��� :�������� ��� ��������� Vlachou Angeliki, #�� �� Popivoda Goran, �����*����� Gu�u Valeriu, �����*� Gherghe CWtWlin Liviu, Y������

Baši[ Bojan, ��*� \ahin Emrah, (����� Garayev Fuad, �-����]�- � Tefagh Mojtaba, 7� � Gobbino Massimo, 7���� Vassilyev Anton, <�-���� � Kosimov Dilshod, <������� � Althukair Fawzi, ������� ���*� Zerenturk Sabri, (��-����� � Hojiyev Arslan, (���������� � Betts Alexander , '�&���� ������� ��� 7������

���� ��� ������� � �;��+��

� ��� ��: Fellouris Anargyros ������"�����: <�����!���� :�������� ���� : ����-����� ������"�

q���� #� ������

,��������*� � �;��+�� � ��� ��: <��6 �� ��+ �� �� ��������� ��� �������� :������� 9����!� F������ ���!���� <�����"�� ���� <�����!���� :�������� {����� ��� ��*�� ����-����� ������"� ����-����� <&��������� ������� �������

�����"��� ���!���� $���]& ���� ���)������ �� ���� ������ ����"������ ������"��� (��������� F������ (����� 7& ���� q���������� <&��������� q��� ��� $�����!��� q���� #� ������

��&%="��> 32�� ,�������� ����������� "����+��� (,�") 2015

Page 8: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

7

!������# ��$���#� ���%�#��&��

���4*��� ����+����, � ��� �� ������"������ <&��������� G�&������ ���� /���&�"������ /����*�����

<����*&� � :�������� <��������� >!��� ������ ��� ������"� &����� :��������

>������ ������� "�+�� �������

1. G�� ��� %��"���� 2. G������ ��� $�����!��� 3. :��� :������ 4. F��� �� #����� 5. <������������� 7& ��� 6. { -���� #� ������ :�����"� 7. {���� #������ 8. ����!�� #������� 9. �����"��� :�������� 10. $���� �� /���!�� 11. $��-�� �������� 12. ������ ����� ���� 13. 8 ����� {�&����

Page 9: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

8

���+���� �������-����� - ��, � -����, '�� -����, �� ��� ��*�

A/A )� � � -���� '�� -���� 1 �;���� Fatos Kopliku Adrian Naço 2 ,����� � 7���;��� Jelena Radovi[ Franjo Šar~evi[ 3 ,���� �� Ivaylo Kortezov Peter Boyvalenkov 4 �6� �� Savvas Timotheou Savvas Antoniou

5 � ��� ���������;��� #���� ���� ��� ���������� Vesna Manova Erakovic Martin Soptrajanov

6 �+� Angeliki Vlachou Evangelos Zotos

7 ��� �;�6��� Goran Popivoda Gojko Jelovac 8 ����;�� Valeriu Gu�U Anatolie TopalW 9 =������� CWtWlin Liviu Gherghe Ovidiu \ontea 10 >� ;�� Bojan Baši[ Miloš Milosavljevi[ 11 %�� ��� \ahin Emrah Melih Üçer 12 �7� ���C�7�� (Guest) Fuad Garayev Elvin Mammadov

13 & +� (Guest) Mojtaba Tefagh Sina Rezaiezareie

14 �+� B (Guest) Angeliki Vlachou Evangelos Zotos 15 &���� (Guest) Massimo Gobbino Samuele Mongodi 16 ��7����+� (Guest) Anton Vassilyev Bayan Baitukova 17 �� �����+� (Guest) Dilshod Kosimov 18 >������� � �;�� (Guest) Fawzi Althukair Tarek Shehata 19 %��7�����+� (Guest) Sabri Zerentürk 20 %�� �������+� (Guest) Arslan Hojiyev Annamurat Gundogdyyev21 E��*�� ,������ ��� & �����(Guest) Alexander Betts Gerry Leversha

Observers

1 �������� Oleg �ushkarov �� ��� ���� A

2 �-�����]�-�� (Guest) �lham Huseynov �� ��� ���� A

3 ������� ���*� Malik Talbio �� ��� ���� A

4 7� � (Guest) Maryam Vezyari �� ��� ���� B

5 7� � (Guest) Mozhgan Noori �� ��� ���� B

6 7� � (Guest) Ladan Malek Ghassemi �� ��� ���� B

7 7� � (Guest) Hanieh Tajik �� ��� ���� B

8 7� � (Guest) Kayvan Jalalian �� ��� ���� B

9 7���� Davide Lombardo �� ��� ���� B

10 ������� ���*� (Guest) Modi Alshammari �� ��� ���� B

11 ������� ���*� (Guest) Rola Abouassi �� ��� ���� B

12 '�&���� ������� ��� 7������ (Guest) Jill Parker �� ��� ���� B

Page 10: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

9

A/A >E��&�> )H=�> ��9E%�>

1 Albania

� Gledis Kallço � Ana Peçini � Alboreno Voci � Selion Haxhi � Naisila Puka � Enes Kristo

2 Bosnia And Herzegovina

� Milica Djukic � Tijana Babi[ � Zlatko Salko Lagumdzija � Adisa Bolic � Demir Papic � Nikica Peric

3 Bulgaria

� Lyuben Lichev; � Emiliyan Rogachev � Denitsa Markova � Alexander Tenev � Aleksandar Cherganski � Violeta Naydenova

4

Cyprus

� Marangos Dimitris � Theocharous Andreas � Chatzimiltis Christodoulos � Economou Anna � Pelecanos Angelos � Stylianou Stelios

5

Former Yugoslav Republic Of Macedonia

� Andrej Ilievski � Nikoloski Stefan � Sanja Simonovikj � Andrej Ivanov � Nikola Grunchevski � Bozhidar Stevanoski

6 Hellas

� Chachamis Nestor � Karatza Panayiota � Melas Dimitrios Chrysovalantis � Misiakos Panayiotis � Ntounis Petros � Tsintsilidas Dimitrios

7 Montenegro � Sanja Kastratovi[ � Ognjen �ukovi[ � Nikola Rai~evi[

8 Republic Of Moldova

� Valeriu Cojocari � Vladimir Cucu � Daniel Griza � Dionisie Nipomici � Cezar Port � Mihail �arigradschi

Page 11: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

10

A/A >E��&�> )H=�> ��9E%�>

9 Romania

� SpWtaru \tefan � Bocanu Marius Ioan � Diaconu Simona � Bonciocat Ciprian Mircea � Ploscaru Lauren�iu � Puiu Andrei Bogdan

10 Serbia

� Marijana Vujadinovi[ � Ognjen Toši[ � Ivan Damnjanovi[ � Aleksa Milojevi[ � Aleksa Konstantinov � An�ela Šarkovi[

11 Turkey

� Feyza Duman � Halil �brahim Güllük � Ahmet �leri � Ahmet Abdullah Kele� � Muhammet Furkan Merdan � Ali Haydar Sever

Guest Azerbaijan (Guest)

� Farman Dumanov � Ismat Aghayev � Mahammad Shirinov � Tahir Nadirov � Fazil Amirli � Mirali Ahmadli

Guest Hellas B (Guest)

� Dimitrakakis Alexandros � Gavrilopoulos Georgios � Ketsetsidis Rafail � Panayiotopoulos Apostolos � Tsaggalidou Zoi � Venizelos Georgios

Guest Independent team from I.R. of Iran (Guest)

� Yasamin Jalalian � Helia Homami � Sarvin Motamen � Rozhin Hezaveh

Guest Italy (Guest)

� Alfarano Alberto � Gori Davide � Macchiaroli Luca � Pozzoli Andrea � Ulliana Andrea � Zanotto Riccardo

Guest Kazakhstan (Guest)

� Akhan Ismailov � Olzhas Kadyrakunov � Alexandr Shakiyev � Temirlan Amangeldin � Daniyar Abesbek � Alen Abdrakhmanov

Page 12: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

11

A/A >E��&�> )H=�> ��9E%�>

Guest Kyrgystan (Guest)

� Kanybek Asanbekov � Elaman Sarsembaev � Arstan Ashyrbekov

Guest Saudi Arabia (Guest)

� Alzubair Habibullah � Shaden Alshammari � Alrabiah Omar � Alnufaili Alhamzah � Saleh Salman � Renad Abualjmal

Guest Tajikistan (Guest)

� Kalomidin Klychev � Farrukh Karimov � Sobirdzhon Bobiev � Jakhongir Murodov � Sunatullo Gafurov � Sakhizhoni Narzullozoda

Guest Turkmenistan (Guest)

� Alshir Soyunjov � Bazarbay Halmedov � Dovlet Ovlyagulyyev � Dovran Nurgeldiyev � Perman Iljanov � Ruslan Myratgeldiyev

Guest

United Kingdom and Republic of Ireland(Guest)

� Luke Gardiner � Alex Harris � Lawrence Hollom � Samuel Kittle � Kirsten Land � Philip Peters

Page 13: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

12

32� ,������� ���������� "����+�� 2015

�$$�>

�������

�$$E�&�E ��9E��%&�E �%�&=�&�

�9E��, 3-8 ��Q"' 2015

Hellenic Mathematical Society

�" '"��

�(����# 3 �)�( (1� +,��)

V � �����*� '�� -���� � -����

08:00-21:00 ���)� ��� ������� ��� 9��������

���)� ��� ������� ��� 9��������

���)� ��� ������� ��� 9��������

13:00-15:00 G���� G���� G���� 20:00-21:00 :���� :���� :����

21:00-22:00 1� ����4� #�������� <���!�

��(�,�� 4 �)�( (2� +,��)

V � �����*� '�� -���� � -���� 07:00-09:00 $�"����� $�"����� $�"����� 09:00-10:30 #�������� 8�"��� #�������� 8�"��� 2� ����4� #�������� <���!� 11:30-13:00 (����� ����)�� (����� ����)�� (����� ����)�� 14:00-15:00 G���� G���� G����

15:00-20:00 #�������� 8�"��� #�������� 8�"��� 3rd ����4� #�������� <���!�. ��� ����� ���*��� �&� ����&������

20:00-21:00 :���� :���� :����

Page 14: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

13

��.�� 5 �)�( (3� +,��)

V � �����*� '�� -���� � -���� 07:00-08:00 $�"����� $�"����� $�"����� ����!���� ��" �� 9��������

09:00-13:30 :���&����"�

�� ����� ��&����&� (09:00-09:30) #����4� ��� ������ ��� ���"�����

�� ����� ��&����&� (09:00-09:30) #����4� ��� ������ ��� ���"�����

14:00-15:00 G���� G���� G����

15:00-20:00 #�������� 8�"��� #�������� 8�"��� #�������� 8�"��� ��� ��4�

�����!� 20:00-21:00 :���� :���� :����

���/��� 6 �)�( (4� +,��)

V � �����*� '�� -���� � -���� 08:00-09:00 $�"����� $�"����� $�"�����

09:30-13:30 #����4� ��� ������ ��� ���"����� ������"���� ������"����

13:30-15:00 G���� G���� G���� 16:00-19:30 #�������� 8�"��� ������"���� ������"����

20:00-21:00 #�������� 8�"��� (����� ����4� #�������� <���!�

(����� ����4� #�������� <���!�

21:00-23:00 :���� :���� :����

�,+��� 7 �)�( (5� +,��)

V � �����*� '�� -���� � -���� 08:00-09:00 $�"����� $�"����� $�"����� 09:00-14:30 #������ #������ #������ 14:30-15:30 G���� G���� G���� 15:30-18:00 #�������� 8�"��� #�������� 8�"��� #�������� 8�"��� 18:00-20:00 (����� {�)�� (����� {�)�� (����� {�)�� 20:30-22:00 #����� :���� #����� :���� #����� :����

����%��(# 8 �)�( (6� +,��)

V � �����*� '�� -���� � -���� 08:00-09:00 $�"����� $�"����� $�"����� 09:00-13:30 ����!���� ����!���� ����!����

Page 15: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

14

�� ��� ��� ������ ��� ����� ����� Ahmet �leri Turkey ����� ����� �tefan Sp�taru Romania

����� ����� Muhammed Furkan Merdan Turkey

����� ����� Dionisie Nipomici Republic of Moldova ����� ����� Petros Ntounis Hellas ����� ����� Marius Ioan Bocanu Romania ������ ����� Lyuben Lichev Bulgaria ������ ����� Violeta Naydenova Bulgaria ������ ����� Vladimir Cucu Republic of Moldova ������ ����� Simona Diaconu Romania ������ ����� Lauren�iu Ploscaru Romania ������ ����� Marijana Vujadinovi� Serbia ������ ����� Ahmet Abdullah Kele� Turkey ������ ����� Denitsa Markova Bulgaria ������ ����� Aleksandar Cherganski Bulgaria ������ ����� Luca Mmacchiaroli Italy ������ ����� Feyza Duman Turkey ������ ����� Emiliyan Rogachev Bulgaria ������ ����� Milica �uki� Bosnia and Herzegovina ������ ����� Sobirdzhon Bobiev Tajikistan ������ ����� Ali Haydar Sever Turkey ����� ����� Nestor Chachamis Hellas ����� ����� Dimitrios

Chrysovalantis Melas Hellas

����� ����� Panagiotis Misiakos Hellas ����� ����� Georgios Gavrilopoulos Hellas B ����� ����� Apostolos Panagiotopoulos Hellas B ����� ����� Andrei Bogdan Puiu Romania ����� ����� Halil �brahim Güllük Turkey

��"%�$�>��%�

Page 16: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

15

�� ��� ��� ������ ��� ����� ����� Cezar Port Republic of Moldova ����� ����� Ciprian Mircea Bonciocat Romania ����� ����� Adisa Boli� Bosnia and Herzegovina ����� ����� Olzhas Kadyrakunov Kazakstan ����� ����� Alzubair Habibullah Saudi Arabia ����� ����� Alshir Soyunjov Turkmenistan ����� ����� Alboreno Voci Albania ����� ����� Tijana Babi� Bosnia and Herzegovina ����� ����� Zlatko Salko Lagumdžija Bosnia and Herzegovina ����� ����� Demir Papi� Bosnia and Herzegovina ����� ����� Panagiota Karatza Hellas ����� ����� Zoi Tsangalidou Hellas B ����� ����� Alberto Alfarano Italy ����� ����� Akhan Ismailov Kazakstan ����� ����� Alexandr Shakiyev Kazakstan ����� ����� Daniyar Abesbek Kazakstan ����� ����� Alen Abdrakhmanov Kazakstan ����� ����� Mihail �arigradschi Republic of Moldova ����� ����� Andrej Ilievski Former Yugoslav Republic of

Macedonia ����� ����� Nikola Grunchevski Former Yugoslav Republic of

Macedonia ����� ����� Alrabiah Omar Saudi Arabia ����� ����� Saleh Salman Saudi Arabia ����� ����� Kalomidin Klychev Tajikistan ����� ����� Jakhongir Murodov Tajikistan ����� ����� Dovlet Ovlyagulyyev Turkmenistan ����� ����� Dovran Nurgeldiyev Turkmenistan ����� ����� Alex Harris United Kingdom and Republic

of Ireland ����� ����� Philip Peters United Kingdom and Republic

of Ireland ����� ����� Farrukh Karimov Tajikistan ����� ����� Davide Gori Italy ����� ����� Temirlan Amangeldin Kazakstan ����� ����� Andrej Ivanov Former Yugoslav Republic of

Macedonia

Page 17: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

16

�� ��� ��� ������ ��� ����� ����� Perman Iljanov Turkmenistan ����� ����� Tahir Nadirov Azerbaijan ����� ����� Ognjen Toši� Serbia ����� ����� Gledis Kallço Albania ����� ����� Alnufaili Alhamzah Saudi Arabia ����� ����� Sunatullo Gafurov Tajikistan ����� ����� Mahammad Shirinov Azerbaijan ����� ����� Alexander Tenev Bulgaria ����� ����� Dimitrios Tsintsilidas Hellas ����� ����� Rafail Ketsetsidis Hellas B ����� ����� Grorgios Venizelos Hellas B ����� ����� Luke Gardiner United Kingdom and Republic

of Ireland ����� ����� Ismat Aghayev Azerbaijan ����� ����� Bozhidar Stevanoski Former Yugoslav Republic of

Macedonia ����� ����� Lawrence Hollom United Kingdom and Republic

of Ireland ������ ����� Anna Economou Cyprus ������ ����� Stelios Stylianou Cyprus ������ ����� Kanybek Asanbekov Kyrgyzstan ������ ����� Bazarbay Halmedov Turkmenistan ������ ����� Mirali Ahmadli Azerbaijan ������ ����� Christodoulos Chatzimiltis Cyprus ������ ����� Andrea Pozzoli Italy ������ ����� Riccardo Zanotto Italy ������ ����� Aleksa Milojevi� Serbia ������ ����� Aleksa Konstantinov Serbia ������ ����� An!ela Šarkovi� Serbia

Page 18: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

17

>������ ,�������� "�+��

(�� �4�;����� ��� +) ID Flag Country Prob 1 Prob 2 Prob 3 Prob 4 Total 1 ALB 24 14 0 0 38 2 BIH 50 50 5 0 105 3 BGR 53 60 35 8 156 4 CYP 35 10 0 0 45 5 FYR 44 35 0 0 79 6 HEL 53 58 6 16 133 7 MDA 36 38 16 16 106 8 MNE 0 3 0 0 3 9 ROU 57 60 13 41 171

10 SRB 19 50 10 0 79 11 TUR 60 60 37 20 177

Guest AZE 43 18 0 0 61 Guest HEL (b) 46 45 0 6 97 Guest IRN 4 4 0 0 8 Guest ITA 40 41 2 7 90 Guest KAZ 60 48 7 3 118 Guest KGZ 4 10 0 0 14 Guest SAU 44 34 0 1 79 Guest TJK 48 44 5 0 97 Guest TKM 50 39 0 1 90

Guest

UK-IRE 33 32 2 1 68

Page 19: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

18

>%�%&>%&�� $'>�&> 9���%H�

��&%')&� ��� �=",$E��

Page 20: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

19

1� �* � ' 32� ��������� ���������� ������ �� )������ ������ ���� 3 ��@�� 2015. � ���� ���������� 20 -� �� (�� ������ (11) �!��� ��� �������� ��� %�������������� #��!���, ��� ��� "�&� ���*������� ��� ��" ��� ��������" ����� (9) ��"�� �!��� ��" ��� #��!�� ��� ��� ��� &� ����)���������). E ���� ����� ��� � �!�������� ��� �����6 ��� !������� �� 1984, ��� ����� ���������� ��� ��&���� ��� ���� � #������� ���������� #������, ���!� ��� � ������ ��� �!��� ��� ����������� �!��� "�&� � 7����, �� '�&���� �������, � ������� ���*�, �� 7� � �� ���!���� ���������. �� ��������� )������� �� �� ���� ��" ��� $�&������ . �� ������"����� "�&� ����� ���� 3 ��@�� ��� �������� ����� ��� 9�������� ����. =������-���� "�� �� ������ ������ �� ����������" )�������� ���� ������ ����� ��� ����� ��� ����&������ ��� �� ��� *���� ��� ����� �&���. ' ��!�� ���� ���� ���� �����!����� ��� )��������� ��� �� ����� . �� ������ "�&� �&� �������!� )������� ������ . (� *� �� ����� � ��!�� ��� ����� ��� #�������� <���!� ���� ���� ����������� "��� �� ������ �&� �������!� ��� ����������� � �� ����� ������� �� ���� ����������. �� ��������� ���� ���� ����� � ���� �� �� ���*������ ��� �����)� � #������� #������� $��*��� �&� (Short list) �� $�"���� ��� �������&�� <������� �� ����� >������� ��" �� ���*������ ��� ��� �������� � � �� �!��. ��" ���� �� ���� ���� ��"����� ������� ���� �� ��������� �� ������� ���*������ ��� �� ������ ����� �������. 2� �* � ��� ��"����� ��� ������� ���� ��� ������ �� :������ 4 ��@�� ���������� �� ���*������, �� ���� ���� ������ ��� ����� ��� ����&������ ����� ������� ��� ������ ��� ��� ��!��� ��� � �� �!��� ��� ���������. #���� ����&������ �� ������ *�����"�����. (� :������ ���������������� � (����� ����)�� ��� 32�� ���������� ����������� ������ ��� ��� 9�������� <�� �� "��� �������� �� ������� �� ��� ���"������ ������ �� ��� �� ��&���". (��� ���&�"����� � $�"����� ��� �����&����� #�������� <�������� %��"���� ���)������, � $�"����� ��� #�������� <���!� <�������� /�"�&��� ��"��� ��� ���* ����� � ���������"� ��� $������� ��� ����������� #������� ��� %�������������� #��!��� :�. G���"�� ������. �� �������� ����� � ��������� �&� �� �&�. 3� �* � ' 5� ��@�� ���� � ���� ��� :���&������. �� ������� ������������ ��� �����&������ ��� (������� ���������!� ��� $����������� ����!� ��� ��� �������� ��� ���� !��� ����� ����� �� ������ �� ������� ���*������ ��� ���� �"�����. �� ������ ��� �������� �&� �� �&� ������������ �� ������ ��� ���"����� ��� ��� $� ��. (� *� �� ����� �� ����� �&� �����!� ���� ��� �� �� �����!���� ��� �� �������������� ��� ��� ��"���� ���� ��� �� ���"��� � ��� ����� �� ���� *�����������. 4� �* � (�� (�� ��� 6 ��@�� �� ������� ����� ��� ������ ��� ���"�����. ��- ���� ���� �� �������� $���������&� ��� ������ ��� ��������� ������������ �� ���� *���� ��� ��������� ��� �&� �� �&� ��� �� �� ����� ��� ��������� ���� ���� #�� ��. (�� ���

>%&��&"%'�� 32�� ,�������� ����������� "����+��� (,�") 2015

Page 21: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

20

������ �� ��������� ���� ���������� ��� *�����"���� �&� �����!� ��!���� ��� ��������� �&� ����������!�. (� ��"����� ��� ���� ����� ���"����� �� ������������ �� ���� ������!����� ���� �������� ��������� ��� #�������� <���!�. 5� �* � ������������ ��" �� ���� ��� ��� ���� ��� ����&������ ��� ��� *�����"����� ��������� ��� ������� ������������ ��� $����� 7 ��@�� ��� ���*� ��� �����!�� ��� ��"������ ��� ���� ��� �� � ����� ���� ������ ��� %��� � ����. ' 32� ��������� ���������� ������ �� ������� ��������� �� ��"����� ��� $������ �� ��� (����� {�)��, ��� ����� ���� $����!�� ��� :�������� $������ >������, ��� ��� ������� �&� ������&� ����� �������. ��� ������ ������������ ��� ��������� ���������" � ����"�&��� ��� =������� $��������� $������ ��� /������� �&� �. :�������� F��*��, � ����� �������� ��� �� ������ ��� =�������, ����"�&��� ��� �������&�� =������� $������ �. G�!����� �����������, � ������������� ���� ������� %���� (���� �. 8������ <�� ����, � ������������ $������ >������ �. 7& ���� G���������, � $�"����� ��� $����������� <������ $������ >������ �, <&��������� %�����]���. (�� ������ �����&��� ��� ��&��� ��� ��� ����� �"�� � ����"� ����������� ��� ��������� <&��������� $������ ��� ����)� ��� �� �� ��&���� ��������� ���&��� ��� � ��������"� (����� $�>(� ��� $����������� ����!� ��� ��������� ������ ��" ��� <��� ���. ' *���� ������� �� �� ������ ����� ��� )�������� <�� �� �� ��� �� �&������� ��&���". 6� �* � ��� 8 ��@�� "��� �� ��������� ����!����� ��� ��� ������� ���� �� ��� ��������� ���-���� ����������. �� ����� ���" ������ �� �������� "�� "�� ���� � ����� �&�� ��� �� ��� �������, �&�� ��� ���������� ������ �&� 50 ������ ���!� �&� �������!� ��� ��� ������� ����� �������� ������������, � � �� ��� ���� ����� ���, ���� ��� ��� �����)� ��"� ����� �������������. �������� ���� ������� ���� 15 �������� ��� $����������� ����!� ��� ���"����� ���� ������� ��� ����)�� ����� ������������� �� �"��� ��� ��������� ����)����. ���������� ������"���� ��" ��� 32� ��������� ���������� ������ ��.

Page 22: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

21

Page 23: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

22

Page 24: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

23

Page 25: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

24

Page 26: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

25

Page 27: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

26

Page 28: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

27

Page 29: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

28

Page 30: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

29

Page 31: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

30

Page 32: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

31

Page 33: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

32

Page 34: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

33

Page 35: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

34

Page 36: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

35

Page 37: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

36

Page 38: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

37

%�$"> 32E> ,�$���&�E> ��9E��%&�E> "$'��&�#�>

���)H=E>�&> ��">%"$H�

Page 39: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

38

�=",$E��%� ��& $'>�&> 32,�"

Page 40: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

39

Page 41: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

40

Page 42: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

41

Page 43: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

42

���-�� ������ �� ������ ��� ��� �������� ������ ��!��� �

� ��� � ��� " �������� ���� ���� ��� BMO 2015

�)�"���� �. #���"�&�� ��� =�������� $��������� $������ ��� /������� �&� �. ������������� ��� �)�"���� �. #���"�&�� ��� :�� ���� ��� $������ >������ �)�"���� �. ����� #������ �������������� <����� �� ������ <���� ��� <����� ' 32� ��������� ���������� ������ �� ������ ��� �����. /������ �� ���������� "�� ��������������� ���� ��������� ��� ���������� ����������� <���"����� ��� ��� ������������ �� ����� �&�� ����. ’ ���� �� ��� ������� ��" ��� ���������� �!��� ��� ������� ��" �!��� ��� #��!��� ��� ��� ���� ��� ������������ &� ����)��������� �!��� ���� ��� ������� �� ������ ����� �������"����� ��" ���� �������� ����, ���� =��������� ��� $���������� ��� ��� ��&��� �� ��� ��� ��� ���� �� ���� ��&������. ������� �������, � "���� �� �, ��� ���� �� ���� ����� ���������� ������� ��� ��������� ���� �!��� ���, �)-��� ������������ ��� �� ��������� ��� �� ���"� �� ����&����", ���) ����� �� ������ *��*��. � � �� �����&�� ���" ��� �)-�� ���� � ���������. (� �����"� "�� ������ ���� ��� ����������� "�� ��&���� �� ��������� ��� ������� ��� �� ���������� ��� ����������� � �& ��� ��������� � �� ������" �����������" ����. < ���� ��� ���� ���� ��� � ��"��� ���� -�� ������"� ��� ��� ������ ������� ��� ��"������ ��� ������ -&�. $���� ��" �� � ��&�-��� "�� �� ��������� ���*������ ���� ������ �� �� ������!���� ��� � ���� ������� �� ��������� ��� ��"�� ��� ��� �)���� ���� ���� -���� ��� �� ����� ���� ��� �� ��� ���)�������� �&�� . ��� ���������� ������ �� ��� ���� �� �����. ��� �)�������� ������ �� ���� ��� ���� ��������� ���� ������ ��� �� ���� � ����� ��� ��� ���������"�. ' ����"���� �� ����� ����� ��� �� � ���� ������� ������������ ���� ������� ������� ��� ����� ������������� ���������� ��� ����� ������� ��������� �� ����������� ������ ���. ���"� � ����&����"�, "�&� "��� �� ���� ���������� ����&�����, ��������� ��� ���� ��� ��������& �)���)� ��� ��������� . #��� ������� "�� �� ����� ��"��� ��" ������ �� ������"����� ��" �� � �� ���� ���� #������!� � ����� ����������� ������ ��� � ������ �&� �� �&� �&� �&�!� ���. ������� ����������, F������ ����!�� ��� �� ���"���� ��� ����)��� ��� �)����� �&� ���������!� �������!� ��� �������&�-�� � �!�� ���. � � �� "�&� �����&�� ������� �� ���������� "�� � ��� 2015 �� ���� ��� �)������ ������� ��� "���� ���. ���� �� ������ ��� #�������� ����������� #������� ��� ��� �����&����� #�������� ��� 32�� ���������� ����������� ������ ��� �� ����� �� ����������& "���� "���� ��� ������ ��� ��� ������� ��� BMO �����. #��� �"��� �����, )����� ����� ����, ���� "��� ��������� ��� "��� �����4�� ����� .

Page 44: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

43

$����� ����� �� ���� ����� ��� ����&������ ��� ��� =������� $��������� $������ ��� /������� �&�, ��� $��������� �������, ��� :��� $������ >������ ��� ���&� ��� :������ �. :������� 8��-�� �� ��� "���� ���� �������� ��� ���. (���� �������� ������ ���������� ��� ������� �. <&�������� $������ ��� ��� 8�������" (���� ��� �� ��� ������� ��� ��� ����� *���� . ������� ����, ����� �� ����&������ ��� ��� �!��� ��� �� ���"����� ���" ��)�� ��� ",�� ��������. #�������!

���-�� ������ �� ������ ��� ���

'��� �� ��������6 �������� ��� 9 ������+�� �. � ������� ����+

�� ��� �������&�� ��� 32�� ���������� ����������� ������ ��� ���� ��� �� ��� ��� ��� =�����" �� ���������� ������ �"���� ����� ����!����, �"�� �&���� ���� . #�����&���� ��� �!��� ��� ���� #�� ��, �� �!�� ��� #������ ��� ��� $����"��, ��� /��� ��� ��� ��������. ' �)���)� �&� ���������!� �������� ��� ���"���� ��-�� ��� ��"��� ��� ���������� ���. � ��� ����� ��!�&�, �� ��������� ���&���!����� ��� *����� ���������, ������������ ��� ������������" �������� ���������� ������ ��&� ��� ��&������� ����� &� �� ��� ����������" ������� ��� ������������ ��������� � ���. ' �������� �&� ���������!� ����� ��� �����, �� �������, �� �!��, �� ����*��� �&� �����&� ��� ��� ����������"����� "�&� �&� ��������&� ����������&� ��� ���������"����� ��� ��� ��� �������� ���. (� ��������� ��������� *����" ���!� ��� ���������� ��� ���"����� � #������� ���������� #������ �� ��������� ��"�� ������"���� ��� �� ���� ��� ������� ����� ������� ��� �� �����)��� ��� ����"����� ��� ��)�"����� ���� ���� ��������� ��� ��� ������. �� ������� ���� ������� ��� ���� {����� ��� �� ��� ��� "��� �� ���" ��� ��� ��� �����"��� ��� ��� ����������� $����"�� «$ ��� ���’ �����"� ��������» �� ��������! ����.

Page 45: Αφιέρωμα στην 32η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα

44

SPONSORS

� Prefecture of Athens � Palaio Faliro Municipality � OTE-COSMOTE� DEH AE � ATTICA BANK � Hellenic Tourism Organization (EOT) � Acropolis Museum � FAGE A.E. � NESTLE HELLAS A.E � LOUX Marlafekas AVEE � VIKOS A.E � Chios Fruits� Emmanouil G.Mendonidis-Mastic Products “Ek Chiou”