ΛΥΣΕΙΣ

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Παρασκευή 10 – 06 – 15

έκδοση 1η: 19:40

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team

ΘΕΜΑ Α Δημήτρης Παπαμικρούλης

ΘΕΜΑ Β Γιάννης Βελαώρας

Σήφης Βοσκάκης

Δημήτρης Δούδης

ΘΕΜΑ Γ Νίκος Αντωνόπουλος

Θεόδωρος Παγώνης

Ανδρέας Μανώλης

ΘΕΜΑ Δ Γιάννης Ζαμπέλης

Χρήστος Κουστέρης

ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΠΑΠΑΜΙΚΡΟΥΛΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016

Οι απαντήσεις - λύσεις

είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς

της διαδικτυακής ομάδας lisari team

http://lisari.blogspot.gr/lisari_team

1η έκδοση: 10 – 06 – 2016 (συνεχής ανανέωση)

Οι λύσεις διατίθεται αποκλειστικά

από το μαθηματικό blog

http://lisari.blogspot.gr

Πρόλογος

Στο παρόν αρχείο περιλαμβάνονται οι λύσεις των Επαναληπτικών Πανελλαδικών

Εξετάσεων στο μάθημα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής . Η παρουσίαση των

λύσεων είναι πλήρης και αναλυτική στο μέγιστο δυνατό, προκειμένου οι μαθητές να

μπορούν να μελετήσουν και να επεξεργαστούν εύκολα το αρχείο.

Η εργασία αυτή εκπονήθηκε αποκλειστικά από τη γνωστή διαδικτυακή ομάδα

Μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος, τη lisari team. Προσπάθησαν να

αναρτήσουν πρώτοι διαδικτυακά τις πλήρεις λύσεις (δακτυλογραφημένες) σε ένα

αρχείο pdf!!

Την αρχική συγγραφή των λύσεων ακολούθησαν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και

βελτιώσεις με στόχο μια πληρέστερη και πιο ποιοτική παρουσίαση. Ζητούμε

συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες που ενδεχομένως θα έχουν διαφύγει

της προσοχής μας, γεγονός αναπόφευκτο δεδομένων των στενών χρονικών

περιθωρίων. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου η εν λόγω παρουσίαση θα

βελτιωθεί, ίσως εμπλουτιστεί και με εναλλακτικές λύσεις. Οποιαδήποτε σχόλια,

παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις επί των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην

ηλεκτρονική διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com.

Με εκτίμηση

lisari teaμ

10 – 06 – 2016

lisari team 1. Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "Κατεύθυνση" - Άργος)

2. Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "ΔΙΑΤΑΞΗ" - Ν. Σμύρνη και Νίκαια)

3. Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο "ΒΕΛΑΩΡΑΣ" - Λιβαδειά Βοιωτίας)

4. Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο "Ευθύνη" - Ρέθυμνο)

5. Γιαννόπουλος Μιχάλης ( Θεσσαλονίκη - Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή)

6. Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο "Αστρολάβος" - Άρτα)

7. Δούδης Δημήτρης (3ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης)

8. Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια "Πουκαμισάς" Γλυφάδας)

9. Ηλίας Ζωβοΐλης (Μαθηματικός - Χαϊδάρι)

10. Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο "Ώθηση" - Μαρούσι)

11. Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο "Παπαπαναγιώτου – Παπαπαύλου" - Σέρρες)

12. Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ – 2ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού)

13. Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων)

14. Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων "19+" - Πολύγωνο)

15. Κουλούρης Ανδρέας (3ο Λύκειο Γαλατσίου)

16. Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο "Στόχος" - Περιστέρι)

17. Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο "Ρηγάκης" - Κοζάνη)

18. Μαρούγκας Χρήστος (3ο ΓΕΛ Κηφισιάς)

19. Δημήτρης Μπαδέμης (Φροντιστήριο "Πουκαμισάς" - Γλυφάδας)

20. Νάννος Μιχάλης (1ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας)

21. Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος)

22. Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο "Φάσμα" - Αγρίνιο)

23. Παπαδομανωλάκη Μαρία (Συνιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης "ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ" - Ρέθυμνο)

24. Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός "Ρόμβος")

25. Πάτσης Ανδρέας (Βόνιτσα - Μαθηματικός)

26. Ποδηματάς Θωμάς ( Σπουδαστήριο Μαθηματικών Θωμάς και Ρόζα Ποδηματά - Βόλος)

27. Ράπτης Γιώργος (6ο ΓΕΛ Βόλου)

28. Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο "Μπαχαράκης" - Θεσσαλονίκη)

29. Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας – 1ο Λύκειο Χαλκίδας)

30. Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο "ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ" - Ηράκλειο Κρήτης)

31. Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα)

32. Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λεχαίου Κορινθίας)

33. Τρύφων Παύλος (1ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου)

34. Τσακαλάκος Τάκης (συνταξιούχος αλλά ενεργός μαθηματικός)

35. Χαραλάμπους Σταύρος (Θεσσαλονίκη - Μουσικό Λύκειο)

36. Χατζόπουλος Μάκης (1ο ΓΕΛ Πετρούπολης)

Μαθηματικά Γεικής Παιδείας http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 10 – 06 – 2016

Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 1

lisari team / Σχολικό έτος 2015 – 16

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΠΑΡΑΣΕΚΥΗ 10 IOYNIOY 2016

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ()

(έκδοση α΄)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1.

Για την παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f (x) x έχουμε :

f (x h) f (x) (x h) x h , και για h 0 , f (x h) f (x) h

1h h

.

Επομένως

h 0 h 0

f (x h) f (x)lim lim1 1

h

.

Άρα (x) 1 .

Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για

οποιαδήποτε σημεία 1 2x , x Δ με 1 2x x ισχύει

1 2f (x ) f (x ) .

Α3. Εύρος (range) R ενός δείγματος, ονομάζεται η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη

μεγαλύτερη παρατήρηση του συνολικού δείγματος.

Α4.

α) Σωστό β) Λάθος γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Λάθος

ΘΕΜΑ Β

Β1. 2

2 2

fΑ 1,2 C f (1) 2 1 α 2 1 α 2 1 α 4 α 3

Β2. Για α 3 έχουμε 2f (x) x 3 .

Α τρόπος

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη 0x 1 είναι :

y f (1) f (1)(x 1)

Έχουμε f (1) 2 . Επίσης :

Μαθηματικά Γεικής Παιδείας http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 10 – 06 – 2016

Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 2

2 2

2 2 2 2

1 1 2x xf (x) x 3 x 3 2x

2 x 3 2 x 3 2 x 3 x 3

Άρα

2

1 1 1f (1)

241 3

Τελικά η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι :

1 1 1 1 3

y 2 x 1 y x 2 y x2 2 2 2 2

Β τρόπος

Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) στο σημείο με τετμημένη 0x 1 , δηλαδή στο Α 1,2 , είναι της

μορφής:

(ε) : y λ x β

όπου λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε), άρα ταυτίζεται με την παράγωγο της συνάρτησης στο

σημείο Α 1,2 .

Άρα

2

1 1 1λ f (1)

241 3

, δηλαδή

1λ

2 και έτσι η (ε) γίνεται:

1(ε) : y x β

2

Επίσης, το σημείο Α 1,2 ανήκει και στην ευθεία (ε), άρα θα επαληθεύει την εξίσωσή της, συνεπώς:

1 1 32 1 β β 2 β

2 2 2

Τελικά, εξίσωση της εφαπτομένης (ε) στο σημείο Α 1,2 είναι:

1 3(ε) : y x

2 2

Β3. Για α 3 έχουμε, 2f x x 3, x R .

H f είναι παραγωγίσιμη στο R με:

2 2

1 xf x 2x

2 x 3 x 3

2

xf x 0 0 x 0

x 3

2

xf x 0 0 x 0

x 3

2

xf x 0 0 x 0

x 3

Επομένως η f παρουσιάζει στο 1x 0 ελάχιστο το f 0 3 .

x 0

f (x)

f (x) 2 1

ΟΕ

Μαθηματικά Γεικής Παιδείας http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 10 – 06 – 2016

Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 3

Β4.

0

2 2 20

2x 1 x 1 x 1

f (x) 2 x 3 2 x 3 2 x 3 2lim lim lim

x 1 x 1 x 1 x 3 2

22 2 2

x 1 x 1 x 12 2 2

x 3 4 x 3 4 x 1lim lim lim

x 1 x 3 2 x 1 x 3 2 x 1 x 3 2

x 1

x 1lim

x 1

x 1

2 2x 12

x 1 1 1 2 2 1lim

2 2 4 2x 3 2 1 3 2x 3 2

ΘΕΜΑ Γ

Γ1.

α. Έχουμε

Ν Ω λ λ 1 2λ 1

Είναι

Ν Π 26 λ 1P Π 52λ 26 51λ 51 λ 25

Ν Ω 51 2λ 1

Οπότε το πλήθος των σφαιρών με άρτιο αριθμό είναι 25 και το πλήθος των σφαιρών με περιττό αριθμό

είναι 26. Άρα σύνολο 51 σφαίρες.

β. Είναι

N M A Ν Μ Α6P M A Ν Μ Α 6

N Ω 51 51

Οπότε υπάρχουν 6 μπλε σφαίρες με άρτιο αριθμό.

Γ2.

Α τρόπος

α. Ισχύει

Ν Κ Ν Μ Ν Ω

Επομένως και

P Κ P Μ 1

P Κ 1 P Μ

7

Ρ Κ Ρ Μ10

7

1 Ρ Μ Ρ Μ10

Μαθηματικά Γεικής Παιδείας http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 10 – 06 – 2016

Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 4

Ν Μ Ν Μ71

Ν Ω 10 Ν Ω

10Ν Ω 10Ν Μ 7Ν Μ

10Ν Ω 17Ν Μ

510

Ν Μ17

Ν Μ 30

Β τρόπος

Είναι

N K Ν Μ7 7 7P K P M Ν Κ Ν Μ

10 N Ω 10 Ν Ω 10

Οπότε

7 17

Ν Κ Ν Μ 51 Ν Μ Ν Μ 51 Ν Μ 51 Ν Μ 3010 10

Τότε

51 30 21

Άρα οι μπλε μπάλες είναι 30 και οι κόκκινες 21.

β.

Επειδή στο κουτί έχουμε 30 Μπλε σφαίρες (οι οποίες είναι όλες αριθμημένες), θα ισχύει :

( ) ( ) ( ) ( ) 6 30 ( ) 24

Οπότε

( ) 24( )

( ) 51

γ.

Επειδή στο κουτί έχουμε 26 σφαίρες με περιττό αριθμό, θα ισχύει :

( ) ( ) ( ) 24 ( ) 26 ( ) 2 Συνεπώς

( ) 24

Οπότε

( ) 2( )

( ) 51

Μαθηματικά Γεικής Παιδείας http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 10 – 06 – 2016

Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 5

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. 1η περίπτωση

Έστω ν = άρτιος τότε η διάμεσος θα ισούται με το ημιάθροισμα των δυο μεσαίων παρατηρήσεων οπότε

οι δυο μεσαίες παρατηρήσεις θα πρέπει αναγκαστικά να είναι : 3,3 επομένως έχουμε 5 παρατηρήσεις

πριν από αυτέ τις δυο άρα και 5 μετά επομένως ν 12

2η περίπτωση

Έστω ν 2κ 1 (περιττός) τότε η διάμεσος θα είναι η μεσαία παρατήρηση άρα θα έχουμε

κ 1δ t 3

Επομένως θα πρέπει κ 5 επομένως ν 2 5 1 11

ή θα πρέπει κ 6 επομένως ν 2 6 1 13

Άρα οι δυνατές τιμές του v είναι :11,12,13

Δ2

α Για v 12 πίνακας γίνεται

Αριθμός Παιδιών

ix

Οικογένειες

iv

0 1

1 3

2 1

3 2

4 4

6x 1

12

Συμπληρώνουμε μία στήλη με τα γινόμενα i ix v

Αριθμός Παιδιών

ix

Οικογένειες

iv i ix v

0 1 0

1 3 3

2 1 2

3 2 6

4 4 16

6x 1 6x

12 6

i i 6

i 1

x v 27 x

Μαθηματικά Γεικής Παιδείας http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 10 – 06 – 2016

Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 6

Με δεδομένο ότι 8

x3

έχουμε :

6

i i

6i 16 6 6

x v27 x8

x 84 3x 96 3x 15 x 5v 3 12

β.

Επομένως

Αριθμός Παιδιών

ix

Οικογένειες

iv

0 1

1 3

2 1

3 2

4 4

5 1

Σύνολο 12

Με βάση τον παραπάνω πίνακα το διάγραμμα συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο είναι :

Μαθηματικά Γεικής Παιδείας http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 10 – 06 – 2016

Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 7

Δ3. Mε τα νέα δεδομένα δεν υπάρχουν οικογένειες χωρίς παιδιά άρα οι δυνατές τιμές της μεταβλητής

X : Αριθμός Παιδιών είναι 1 2 3 4 5x 1,x 2,x 3,x 4,x 5

Με τα νέα δεδομένα ο πίνακας γίνεται ως εξής :

Αριθμός Παιδιών

ix

Οικογένειες

iv

1 2

2 3

3 2

4 4

5 1

Σύνολο 12

Μαθηματικά Γεικής Παιδείας http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 10 – 06 – 2016

Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 8

Για την εύρεση της νέας μέσης τιμής έχουμε

Αριθμός Παιδιών

ix

Οικογένειες

iv i ix v

1 2 2

2 3 6

3 2 6

4 4 16

5 1 5

Σύνολο 12 5

i i

i 1

x v 35

Άρα 5

i i

i 1

x v35

x xv 12