Επιμέλεια: lisari team http://lisari.blogspot.gr

Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 2001 – 2015

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου

Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Προσοχή! Η ύλη των πανελλαδικών εξετάσεων για το σχολικό έτος 2015 – 16

έχει αλλάξει, άρα αρκετά θέματα του φυλλαδίου είναι εκτός ύλης.

Αθήνα 2015 – 16

lisari.blogspot.gr

2 | Σ ε λ ί δ α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2001

Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖ. ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΜΑ 1ο

Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

α. Να αποδείξετε ότι αν f ΄(x)=0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η f είναι σταθερή σε

όλο το διάστημα Δ.

Μονάδες 9

β. Αν f ΄(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της f;

Μονάδες 3,5

Β. α. Για τη συνάρτηση f ισχύουν: f ΄΄(x) – f(x) = 0 για κάθε xℝ και f(0) = f ΄(0). Να αποδείξετε

ότι:

(i) H συνάρτηση g(x) = [f(x)]2 – [f ΄(x)]2 + 2001 είναι σταθερή

Μονάδες 3

(ii) g(x) = 2001, για κάθε xℝ

Μονάδες 2

β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος.

(i) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ και

παραγωγίσιμη σε αυτό, τότε f ΄(x) > 0 για κάθε xΔ.

Μονάδες 2

(ii) Αν f ΄(x) > 0 για κάθε xℝ τότε τα σημεία Α(1, 2) και Β(2, –4) ανήκουν

και τα δύο στη γραφική παράσταση της f.

Μονάδες 2,5

(iii) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο σε ένα

διάστημα Δ και ισχύει f ΄(x) ≠ 0 για κάθε xΔ, τότε η f είναι γνησίως

μονότονη στο Δ.

Μονάδες 3

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται ο μιγαδικός z και έστω 2 iz

f (z) , z 1.1 z

A. Να βρείτε το μέτρο και ένα όρισμα του μιγαδικού f(2).

Μονάδες 4

lisari.blogspot.gr

3 | Σ ε λ ί δ α

Β. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w = [f(2)]2004 είναι πραγματικός

Μονάδες 4

Γ. Να αποδείξετε ότι: f (z) 2

zf (z) i

Μονάδες 8

Δ. Αν z 1 και Μ είναι η εικόνα του f(z) στο μιγαδικό επίπεδο να αποδείξετε ότι το Μ ανήκει

σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

Μονάδες 9

ΘΕΜΑ 3ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = ( 1)x 6

x

με xє(–1, +∞), με α, βℝ η οποία έχει ασύμπτωτες

τις ευθείες y = 2 και x = –1.

Α. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x) = 2x 6

, x 1x 1

Μονάδες 9

Β. Να βρείτε συνάρτηση G(x) τέτοια ώστε G΄(x) = f(x) για κάθε x > –1, της οποίας η γραφική

παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(0, 2)

Μονάδες 8

Γ. Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης G(x)

h(x) , x 1.x 1

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο ℝ f, g τέτοιες ώστε να ισχύει:

x 12

1 xf (t)dt g(t)dt x 2x 1, για κάθε xℝ και έστω Cf, Cg οι γραφικές παραστάσεις τους.

Έστω ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο λύσεις ρ1, ρ2 με ρ1 < 1 < ρ2.

Α. Να αποδείξετε ότι:

α. Η εξίσωση g(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα (ρ1, ρ2)

Μονάδες 4

β. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(ρ1, ρ2) τέτοιο ώστε g΄(ξ) = –2

Μονάδες 5

Β. Αν η συνάρτηση g είναι κυρτή στο ℝ να αποδείξετε ότι:

α. Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο ℝ

lisari.blogspot.gr

4 | Σ ε λ ί δ α

Μονάδες 4

β. Η f έχει ένα μόνο ελάχιστο στο ℝ, το οποίο παρουσιάζεται στο σημείο xo = ξ του ερωτήματος

Α.β.

Μονάδες 5

Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf, Cg και τον άξονα των y

Μονάδες 7

lisari.blogspot.gr

5 | Σ ε λ ί δ α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2002 Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖ. ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΜΑ 1ο

Α. Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] με f(α) f(β). Να

αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον

αριθμός xo(α, β), ώστε f(xo) = η.

Μονάδες 5

Β. Έστω οι αριθμοί α, β, λℝ με α < β και η παραγωγίσιμη στο ℝ συνάρτηση f. Να

χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος.

α. Αν για την f ισχύει το θεώρημα Rolle στο διάστημα [α, β], τότε η γραφική της

παράσταση έχει σε ένα τουλάχιστον σημείο της οριζόντια εφαπτόμενη.

β. Υπάρχουν x1, x2[α, β] με f(x1) f(x) f(x2), για κάθε x[α, β].

γ. Αν f(α)f(β) > 0, τότε η f δεν έχει ρίζα στο (α, β).

δ. Ισχύει β

f (x)dx ' f (x)

ε. f(x)dx f(x)dx, , για κάθε λℝ

Μονάδες 10

Γ. Δίνονται οι μιγαδικοί z1, z2 0 και έστω Α, Β οι εικόνες τους στο μιγαδικό

επίπεδο. Να αποδείξετε ότι:

α. Η εξίσωση 1 2z z z z , παριστάνει την μεσοκάθετο του ευθυγράμμου

τμήματος ΑΒ.

Μονάδες 2

β. Αν z2 = iz1 το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές (Ο είναι η αρχή

των αξόνων)

Μονάδες 3

Δ. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο xo του

πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ ℝ για την οποία ισχύουν:

x xim f (x) , im f (x)

και f(x)

2f (x)

1 e

για κάθε xℝ με f ΄(0) = 1

Α. Να αποδείξετε ότι:

lisari.blogspot.gr

6 | Σ ε λ ί δ α

α. είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

Μονάδες 3

β. στρέφει τα κοίλα κάτω στο ℝ.

Μονάδες 2

γ. έχει μοναδική ρίζα την x = 0

Μονάδες 2

δ. ισχύει f(x) + ef(x) = 2x +1

Μονάδες 4

ε. Η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της

Μονάδες 2

στ. Οι γραφικές παραστάσεις των f και f –1 έχουν κοινή εφαπτόμενη στην αρχή των

αξόνων

Μονάδες 4

Β. α. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της Cf της

συνάρτησης f, στο –.

Μονάδες 4

β. Να αποδείξετε ότι η Cf δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +

Μονάδες 4

ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται ο μιγαδικός z 2i και θεωρούμε τον 2z

f (z)z 2i

.

Έστω ρ το μέτρο και θ ένα όρισμα του μιγαδικού z + 2i.

Α. Να βρείτε τις συντεταγμένες της εικόνας Α του μιγαδικού zo στο μιγαδικό επίπεδο,

για το οποίο ισχύει: f(zo) = 3 + i.

Μονάδες 3

Β. Nα βρείτε συναρτήσει των ρ και θ το μέτρο και το όρισμα του μιγαδικού f(z) – 2.

Μονάδες 5

Γ. Αν f (z) 2 2, να αποδείξετε ότι η εικόνα Μ του z στο μιγαδικό επίπεδο

ανήκει σε κύκλο C, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

Μονάδες 7

Δ. Αν Arg(f(z)–2)=4

,να δείξετε ότι η εικόνα Μ του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει σε

ευθεία ε.

Μονάδες 8

lisari.blogspot.gr

7 | Σ ε λ ί δ α

Ε. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α ανήκει στον κύκλο C και στην ημιευθεία ε.

Μονάδες 2

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ ℝ με f(x) = 2

x

1 x και έστω F, G με

x x

21/e 1/e

f (t)F(x) f (t)dt,G(x) dt, x 0.

t

Να αποδείξετε ότι:

Α. α. Είναι 1

f (x) fx

για κάθε xℝ*.

Μονάδες 2

β. 1

f '(x) 18

για κάθε xℝ.

Μονάδες 6

Β. Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β με 0 < α< β ισχύει: 1 1

f f

Μονάδες 4

Γ. Ο τύπος της συνάρτησης g με g(x) = F(x) + G(x), x > 0 είναι g(x) = nx 1,x 0

Μονάδες 4

Δ. Αν η συνάρτηση h είναι συνεχής στα σημείο x1 = 0, x2 =2

και

h(x) = F(εφ(x)) + G(σφ(x)) με 0 < x < 2

, τότε είναι σταθερή στο διάστημα Δ =

0,2

. Να βρεθεί η τιμή της h.

Μονάδες 5

E. To εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων f ΄(x), h(x) και την ευθεία x = 1 και είναι ίσο με 1

2

Μονάδες 4

lisari.blogspot.gr

8 | Σ ε λ ί δ α

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2003

Θέμα 1ο

A. α) Έστω η συνάρτηση f x συν x . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και

ισχύει: f ' x ημ x .

β) Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς σε ένα διάστημα Δ για τις οποίες ισχύει: για

κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.

Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε να ισχύει: f x g x c για κάθε x Δ .

γ) Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Να δώσετε τον ορισμό: Πότε η f παρουσιάζει στο

τοπικό ελάχιστο.

B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος.

α) Αν μια συνάρτηση f :A έχει αντίστροφη συνάρτηση 1f , τότε η f είναι γνησίως μονότονη

στο Α.

β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x και , τότε για τις τιμές του

κοντά στο .

γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο α,β τότε υπάρχει 0x α,β

τέτοιος ώστε να ισχύει 0f ' x 0 .

δ) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη σε

αυτό. Τότε ισχύει f '' x 0 για κάθε x Δ .

ε) Αν f συνεχής στο α,β με f x 0 και ισχύει , τότε υπάρχει τέτοιος

ώστε .

στ) Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση με μηδέν στο α,β και ισχύει

, τότε η f παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσημες τιμές.

Θέμα 2ο

Έστω η συνάρτηση ln a x

f x , a 0x

.

A. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(1, f 1 ) είναι παράλληλη

στην ευθεία x y 0 , να βρείτε την τιμή του α.

B. Για a 1 :

a. Να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της f.

b. Να βρείτε το σύνολο τιμών και τις ασύμπτωτες.

c. Να αποδείξετε ότι: κ 1 κ

κ κ 1

για κάθε θετικό ακέραιο κ 8 .

' 'f x g x

0x

0 0f x 0f x x

0x

0f x dx

0 ,x a

0 0f x

0f x dx

lisari.blogspot.gr

9 | Σ ε λ ί δ α

Θέμα 3ο

Δίνονται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο α,β με 0 α β και οι μιγαδικοί αριθμοί z a βi

και w f a i f β με f β 0 .

A. Να αποδείξετε ότι:

a. Ο αριθμός

1

1 β i zz

1 f β i w

είναι πραγματικός αν και μόνο αν f a a .

b. Αν z i w τότε οι εικόνες των z, w στο μιγαδικό επίπεδο και η αρχή 0 των αξόνων, είναι

κορυφές ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου.

B. Έστω ότι ισχύει 2 2 2

z i w z i w . Να αποδείξετε ότι:

a. α f β β f α 0 .

b. Οι εικόνες των z, w και η αρχή 0 είναι συνευθειακά σημεία.

c. Υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x a,β τέτοιο ώστε, η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

της f στο σημείο να διέρχεται από το σημείο .

Θέμα 4ο

Δίνεται η συνάρτηση f με f '' x συνεχή στο τέτοια ώστε να ισχύουν:

x 0 1

2

0 1 0

t 1 f '' t dt 2 t f t dt 4 x t f x dt για κάθε x , με f 0 0 και f ' 0 2 .

α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι 2

2xf x , x

x 1

.

β) Έστω Ε α το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον

άξονα x 'x και τις ευθείες x 0 και x a 0 .

Αν το α μεταβάλλεται με ρυθμό , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε α ,

τη χρονική στιγμή κατά την οποία α 3cm .

γ) Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση g για την οποία ισχύει: g x x 2 f x για κάθε x .

i. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y x 2 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g όταν

x .

ii. Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, την

πλάγια ασύμπτωτη της στο και τις ευθείες x 0 και , να αποδείξετε ότι: .

0 0( , )x f x 0 0, 0

10/ sec

3cm

2x ln5

lisari.blogspot.gr

10 | Σ ε λ ί δ α

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2004

Θέμα 1ο

A. Να αποδείξετε το θεώρημα:

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα . Αν

η f είναι συνεχής στο α, β και

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f a και f β υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0x a, β τέτοιος

ώστε: 0f x η .

B. Η συνάρτηση f, που η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήμα, είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με συνεχή δεύτερη

παράγωγο.

Να βρείτε, αν η τιμή των ολοκληρωμάτων 1 2 3I , I , I

είναι θετική ή αρνητική.

Γ. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα όρια της στήλης Α με την τιμή του της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

1. x 0

ημ xlim

x

2. x 0

1lim x ημ

x

3. x 0lim ln x

4. xx

1lim

e

α.

β. 0

γ. 1

δ.

Δ. Έστω η συνάρτηση vf x x ,v IN 0, 1 . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο και ισχύει v 1f ' x vx .

Θέμα 2ο

Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο με

για κάθε x .

,

f a f

3

10

I f x dx

3

20

'I f x dx

3

30

''I f x dx

' ' 1, ' 1f x g x f x

lisari.blogspot.gr

11 | Σ ε λ ί δ α

Αν στο όριο εφαρμόσουμε τον κανόνα του ορίου πηλίκου, παρουσιάζεται

απροσδιοριστία της μορφής 0

0.

α. i) Να υπολογίσετε το όριο L.

ii) Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g στο .

β. Να αποδείξετε ότι η g έχει το πολύ μια ρίζα στο .

γ. Να αποδείξετε ότι: για κάθε x .

Θέμα 3ο

Για κάθε x ορίζουμε την συνάρτηση x

t0

2g x dt, a 0

a e

και τον μιγαδικό

z g x x i με z i z 1 .

A. Να αποδείξετε, ότι

i) η g αντιστρέφεται και

ii) οι εικόνες του z ανήκουν στην γραφική παράσταση της 1g .

B. Να αποδείξετε, ότι:

a. , για κάθε x .

b. .

c. 2 1

2 t t0 0

1 1 1 1dt dt

1 e1 e a e a e

.

Θέμα 4ο

Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο με g 0 1 και

, για κάθε x .

α. Να αποδείξετε ότι:

i) g ' x g x f x , x .

ii) Η g είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα , 0 , 0, και έχει ακρότατο

το 1.

β. i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της.

ii) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της

.

γ. Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου, που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f και τις

ευθείες y x. x 1 , να δείξετε ότι 1

E ln g 12

.

2lim

2x

g xL

f x x

4f x g x x

Re Imz z

1

2' 0f x g x

2 2 1f x g x

0, 0

lisari.blogspot.gr

12 | Σ ε λ ί δ α

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2005

Θέμα 1ο

A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι:

Αν f ' x 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

B. Έστω η συνάρτηση af x x με και x 0 . Να αποδείξετε ότι: a 1f ' x a x .

C. Να απαντήσετε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις.

1. Μια συνάρτηση είναι 1 - 1 αν και μόνο αν για κάθε 1 2x ,x Α ισχύει η

συνεπαγωγή αν 1 2x x τότε 1 2f x f x .

2. Αν 0 0x x x x

lim f x lim g x

τότε f x g x κοντά στο 0x .

3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β και υπάρχει τέτοιο ώστε ,

τότε .

4. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α,β και γνησίως αύξουσα, τότε υπάρχει

τέτοιο ώστε 0f ' x 0 .

5. Αν β

af x dx 0 και η συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση με μηδέν στο , τότε

για κάθε .

Θέμα 2ο

Έστω η συνάρτηση f x 2 x ln x 2 , x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι: ln x

f ' x , x 0x

β) Να βρείτε το x 0lim f ' x

.

γ) Να μελετήσετε τα κοίλα της f και να βρείτε το σημείο της καμπής της.

δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης ln x

g xx

, τον άξονα και τις ευθείες και .

Θέμα 3ο

Δίνεται ο μιγαδικός xz e x 1 i, x .

α) Να αποδείξετε ότι: Re z Im z για κάθε x .

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον 0x 0, 1 τέτοιος ώστε ο αριθμός

2w z z 2i να είναι πραγματικός.

γ) Να βρείτε το μιγαδικό z του οποίου το μέτρο να γίνεται ελάχιστο.

Af :

0 ,x a 0 0f x

0f a f

0 ,x a

,

0f x ,x a

'x x1

xe

2x e

lisari.blogspot.gr

13 | Σ ε λ ί δ α

Θέμα 4ο

Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύουν 1

f 02

και

xe f x f ' x ημ x f ' x για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι x

συν xf x , x

1 e

και ότι ισχύει f x f x συν x

για κάθε x .

β) Να βρείτε το xlim f x

.

γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα π/2

π/2

I f x dx

.

δ) Να αποδείξετε ότι: .

/2

0

04

f x dx

lisari.blogspot.gr

14 | Σ ε λ ί δ α

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2006

Θέμα 1ο

A. α) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και 0x ένα εσωτερικό σημείο του Δ.

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να

αποδείξετε ότι: 0f ' x 0 .

β) Πότε η ευθεία λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f;

B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος.

a. Μια συνάρτηση f :A είναι <<1-1>> όταν για κάθε 1 2x ,x Α ισχύει η συνεπαγωγή:

1 2f x f x τότε 1 2x x .

b. Αν υπάρχει το τότε κατ’ ανάγκη υπάρχουν τα και .

c. Αν 0x x

lim f x

ή τότε f x 0 για τις τιμές του x κοντά στο 0x .

d. Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα Δ και δεν παρουσιάζει

καμπή σε κανένα σημείο του Δ, τότε για κάθε x .

e. Αν 0f x dx

και τότε κατ’ ανάγκη ισχύει 0f x για κάθε ,x a .

Θέμα 2ο

Δίνονται οι μιγαδικοί z και 1

1

zw

i z

όπου z i .

α) Να αποδείξετε ότι: .

β) Αν και Μ η εικόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το σημείο Μ ανήκει

στον άξονα 'x x .

γ) Να αποδείξετε την ισοδυναμία w φανταστικός z φανταστικός.

δ) Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο , με 1f a και έστω z f a i και z f i

. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0f x έχει μια τουλάχιστον λύση στο .

Θέμα 3ο

Δίνεται η συνάρτηση όπου .

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

0, 0f .

β) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο είναι αρνητικό.

γ) Έστω το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την

εφαπτομένη της στο 0, 0f και την ευθεία 1x a .

0x x

0

limx x

f x g x

0

limx x

f x

0

limx x

g x

w iz

w i

1z

,

1xf x e a x 1

lisari.blogspot.gr

15 | Σ ε λ ί δ α

i. Να αποδείξετε ότι: .

ii. Να βρείτε το .

Θέμα 4ο

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο με 0f x και έστω 1

0

, ,g x t f xt dt t x .

Να αποδείξετε ότι:

α) 2

0

1x

g x t f t dtx

για κάθε 0x .

β) Η g είναι συνεχής στο 0 0x .

γ) 0

x

x g x f t dt για κάθε 0x .

δ) Αν τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον 1, 2 τέτοιος ώστε:

2 g f .

2

12

a aE a e a

alim E a

2

1 0

3

x

t f t dt t f t dt

lisari.blogspot.gr

16 | Σ ε λ ί δ α

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2007

Θέμα 1ο

A. α) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat.

β) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ' 0f x για

κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος.

1. Αν για μια συνάρτηση :f A ισχύει όπου για κάθε , τότε το κ

είναι η μέγιστη τιμή της f.

2. Αν υπάρχει το 0

lim 0x x

f x

, τότε υπάρχει το όριο της f x στο 0x και είναι

0

lim 0x x

f x

.

3. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν 0f a f και 0f x για κάθε ,x a , τότε η

f δεν είναι συνεχής στο , .

4. Αν για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημα Δ ισχύει ' 'f x g x για κάθε

εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε για κάθε .

5. Αν για μια συνάρτηση f υπάρχει παράγουσα στο διάστημα Δ, τότε για κάθε ισχύει:

.

6. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο και ισχύει για κάθε ,x

, τότε a

f x dx g x

.

Θέμα 2ο

Έστω η συνάρτηση 2 ,xf x x a e x . Αν η ευθεία εφάπτεται στη γραφική

παράσταση της f στο σημείο τότε:

α) Να αποδείξετε ότι: 2 .

β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f.

γ) Να υπολογίσετε τα όρια:

i. xlim f x

ii. xlim f x

.

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2007f x έχει ακριβώς μια λύση στο .

Θέμα 3ο

Δίνονται οι μιγαδικοί ,z w με 0z w για τους οποίους ισχύει:

z w z w

Να αποδείξετε ότι:

α) Re 0z w .

f x x

f x g x x

f x dx f x dx

,a f x g x

2 2y x

0, 0f

lisari.blogspot.gr

17 | Σ ε λ ί δ α

β) Ο αριθμός είναι φανταστικός.

γ) Το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των στο μιγαδικό επίπεδο και την αρχή των αξόνων,

είναι ορθογώνιο στο 0.

δ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , με 0 και

,z a i f a w f i τότε η εξίσωση 'x f x f x έχει μια τουλάχιστον λύση στο

, .

Θέμα 4ο

Δίνεται η συνάρτηση όπου .

α) Να μελετήσετε ως προς τα κοίλα τη συνάρτηση g.

β) Να αποδείξετε ότι: 21

xg x x

x

για κάθε 0x .

γ) Να αποδείξετε ότι: 0g x g x για κάθε .

δ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

g, τον άξονα 'x x και τις ευθείες 0, 1x x είναι 1

1 ln 2 . .2

E g

z

w

,z w

2

0

1

1

x

g x dtt

,t x

x

lisari.blogspot.gr

18 | Σ ε λ ί δ α

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2008

Θέμα 1ο

A. α) Έστω δύο συναρτήσεις ,f g σε ένα διάστημα Δ. Αν

οι ,f g είναι συνεχείς στο Δ και

' 'f x g x για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ,

να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x να ισχύει:

f x g x c

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση , 0, 1vf x x v είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει:

.

B. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2,z z . Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις ως

Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ).

a. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των 1z και 2z είναι το άθροισμα των διανυσματικών

τους ακτινών.

b. Είναι: 1 2 1 2z z z z

c. Είναι:

d. Η εξίσωση 1 2z z z z με 1 2z z παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα

σημεία 1z και 2B z .

Γ. Έστω η συνάρτηση 0

x

F x f t dt , όπου f η συνάρτηση του

διπλανού σχήματος που η γραφική της παράσταση αποτελείται από τα

ευθύγραμμα τμήματα ΟΑ και ΑΒ. Το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου

χωρίου Ω είναι Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

a.

b.

c. 10F

Θέμα 2ο

Δίνεται η συνάρτηση f με

, 0

1 1, 0

x xf x

x x

με , .

α. Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η f να είναι συνεχής.

β. Να βρείτε την τιμή του μ, ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο 0 0x .

γ. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι 1-1.

δ. Για 1 και 2 , να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2

f x dx

.

Θέμα 3ο

1' vf x v x

1 2 1 2 1 2z z z z z z

36 . .

0F

4F

lisari.blogspot.gr

19 | Σ ε λ ί δ α

Δίνεται η συνάρτηση f με 1 xef x e , x .

α. i) Να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία.

ii) Να αποδείξετε ότι 1'' 1xx x ef x e e , να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να

βρείτε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης.

β. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

γ. Να παραστήσετε γραφικά την f.

δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της , τους

άξονες και την ευθεία .

Θέμα 4ο

Οι συναρτήσεις , :f g είναι συνεχείς και για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύουν:

0

2 (1)x

f t dt x g t dt και 0 (2)g x

Να αποδείξετε ότι:

α. Η f παραγωγίσιμη στο 0 0x και ' 0 2 0f g .

β. 0g x για κάθε x .

γ. 0

1 1

x

f t dt f t dt για κάθε x .

δ. Η εξίσωση 2 2f x g x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα 0, 1 .

'f x

' , 'x x y y1

ln2

x

lisari.blogspot.gr

20 | Σ ε λ ί δ α

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2009

ΘΕΜΑ 1ο

A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και 0x ένα εσωτερικό σημείου του. Αν

η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να δείξετε ότι:

0' 0f x .

B. 1. Πότε η ευθεία x λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο ;

2. Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα , ;

C. Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ);

1. Ισχύει 0

limx x

f x l

0

0limx x

f x l

.

2. Αν 0 1a τότε lim 0x

xa

.

3. Αν η f είναι συνεχής στο , τότε η f έχει υποχρεωτικά ολικά ακρότατα τα f a και

f .

4. Για τις συναρτήσεις f και g που έχουν συνεχείς παραγώγους στο ,a ισχύει:

' 'a

f x g x dx f x g x dx f x g x

5. Αν για κάθε στοιχείο ψ του συνόλου τιμών της f x , η f x έχει λύση ως προς x τότε

η f είναι ‘‘1-1’’.

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται η εξίσωση 1

1,z z Cz

και 1 2,z z οι ρίζες της. Να αποδείξετε ότι:

A. 1 2 1z z και 3

1 1z .

B. 2009 2009

1 2z z .

C. 8

1 10

2

11 0z

z

D. Αν f x συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0, 1 με 1 2

2 1

0 2z z

fz z

και

1 2

1 1 31

2 2 2f

z z τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 0,1x ώστε 0 03 2f x x .

E. Αν Γ είναι η εικόνα του μιγαδικού 1 22 2w z z και Α, Β οι εικόνες των 1z και 2z αντίστοιχα,

να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται η συνάρτηση 2 2lnf x x x .

lisari.blogspot.gr

21 | Σ ε λ ί δ α

A. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα διαστήματα στα οποία είναι κυρτή ή

κοίλη.

B. Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της f.

C. Αν ln

2

x xg x

x

να δείξετε ότι υπάρχει

0 0x ώστε: 0g x g x για κάθε 0x .

D. Να δείξετε ότι για κάθε 2x ισχύει: 2 2 1 4f x f x f x .

ΘΕΜΑ 4ο

Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο 0, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

1 1'

x

xf

x e

και

11f

e .

A. Να δείξετε ότι 1/xf x x e .

B. 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f x στο σημείο

με τετμημένη 1x .

2. Να δείξετε ότι 2

1

2f x dx

e ,

C. Αν

3

f xg x

x , να βρείτε το εμβαδόν E t του χωρίου που περικλείεται από τη

gC , τον

'x x και τις ευθείες 1x και x t με 1t .

D. Να βρείτε το xlim E t

.

lisari.blogspot.gr

22 | Σ ε λ ί δ α

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2010

ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Έστω f μία συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο [α, β], τότε

).()()( aGGdttf

Β. 1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού

της.

Β. 2. Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του παράγωγου αριθμού στο σημείο )(, 00 xfxM της

γραφικής παράστασης της f.

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη

Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α) Αν 022

21 zz και

1, 2z z C αναγκαστικά .021 zz

β) Αν axg )( κοντά στο 0x με axgxx

)(lim0

και ( )y aim f y l

τότε 0

( ( )) .x xim f g x l

γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] και f (β) μέγιστη τιμή της συνάρτησης, τότε κατ’ ανάγκη

θα είναι .0)(' f

δ) Αν μία συνάρτηση f είναι κυρτή και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ, τότε .0)('' xf

ε) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο [2,5] και 0)( xf στο [2,5], τότε .0)(

2

5

dxxf

ΘΕΜΑ 2Ο

Οι μιγαδικοί αριθμοί z, w συνδέονται με τη σχέση w

wz

1

21 και η εικόνα του w ανήκει στον

κύκλο με κέντρο Κ(-1,0) και ακτίνα ρ=1.

α) Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1.

β) Αν z 1 (1) και 321 ,, zzz οι εικόνες τριών μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει η σχέση

(1) να δείξετε ότι:

i) Ο αριθμός2

31

1

32

3

21

z

zz

z

zz

z

zz

είναι πραγματικός.

ii) Αν επιπλέον 0321 zzz τότε να αποδείξετε ότι: .

γ) Δίνεται η ευθεία (ε): .01243 yx Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των

εικόνων του μιγαδικού w από την ευθεία (ε).

ΘΕΜΑ 3Ο

2

3Re

1

3

3

2

2

1

z

z

z

z

z

z

lisari.blogspot.gr

23 | Σ ε λ ί δ α

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : (0, )f τέτοια, ώστε για κάθε 0x ισχύουν

( )

1( )

1f x

xx f΄ x

e

και 0)1( f .

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση xexg x)( είναι 1-1.

β) Να δείξετε ότι xxf ln)( για κάθε x>0.

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση x

xfxh

1)()(

ως προς την μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο

τιμών της.

δ) Να λύσετε την εξίσωση 0, .2

x xx x

xe e

ε) Να εξετασθεί η h ως προς κυρτότητα και να δείξετε ότι κάθε 21,xx με 012 xx ισχύει

5

12

12

2

1)()(

exx

xhxh

.

ΘΕΜΑ 4Ο

Έστω συνάρτηση :f η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε

για κάθε xe . Να αποδείξετε ότι:

α) .2)(

3

1

dttf

β) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (0,f(0)) είναι η ευθεία

034 yx να υπολογίσετε το 4

32

0

0

)(

limx

xdttft

x

x

.

γ) Αν για κάθε 1x ισχύει 0)( xf΄ και ,)()(1

dttfxh

x

να αποδείξετε ότι για κάθε 1x ισχύει

1

)()(

x

xhxh΄ .

δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (1,3) τέτοιο, ώστε .23)( f

62)(13

xdudttf

u

lisari.blogspot.gr

24 | Σ ε λ ί δ α

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2011

ΘΕΜΑ 1ο

A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα , . Αν:

Η f συνεχής στο , και

f f

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f και f υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0 ,x a

τέτοιος, ώστε 0f x

B. Πότε η ευθεία 0x x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας

συνάρτησης f;

Γ. Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος του Rolle.

Δ. Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ).

1. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z είναι 2z z Re z .

2. Είναι x

xim e

.

3. Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις: :f A και :g B , αν ορίζεται η συνάρτηση f

g, τότε

έχει πεδίο ορισμού την τομή .

4. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι

παραγωγίσιμη στο 0x .

5. ' 'f x g x dx f x g x f x g x dx

όπου ', 'f g είναι συνεχείς στο

, .

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται η συνάρτηση :f με:

3 24 12 1f x x x x , για κάθε x

όπου e η οποία παρουσιάζει στο 0 1x καμπή.

α. i. Να αποδείξετε ότι 1 .

ii. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη.

β. Να βρείτε το όριο:

3x

f xim

f x

γ. i. Να βρείτε την αρχική της f της οποία η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο 0, 1 .

ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f

και τον άξονα 'x x .

ΘΕΜΑ 3ο

Έστω μια συνεχής συνάρτηση :f για την οποία ισχύει:

1f x f x , για κάθε x .

α. Να αποδείξετε ότι:

lisari.blogspot.gr

25 | Σ ε λ ί δ α

i. 2 1

2 2f

και 0 1 1f f

ii. Υπάρχει 0 0, 1x τέτοιο, ώστε: 0 0 1f x x

β. Έστω, επιπλέον, ότι η f είναι παραγωγίσιμη και 1

22

f x x , για κάθε x .

i. Να βρείτε την 2

'2

f

και να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο

της με τετμημένη 2

2.

ii. Να υπολογίσετε το όριο:

0

1

x

f f xim

x

.

ΘΕΜΑ 4ο

A. Να αποδείξετε ότι 1xe x , για κάθε x .

Πότε ισχύει η ισότητα 1xe x ;

B. Έστω μια συνεχής συνάρτηση : 0, 0,f . Για κάθε 0x θεωρούμε το μιγαδικό

z, με:

1

0 0

x f t f x xtz e dt i x e dt

και

01

2

xtz

f t e dt f a , όπου 0 .

Να αποδείξετε ότι:

α. i. Re Im 01

zz z

i

, για κάθε 0x

ii. f x xe f x e , για κάθε 0x .

β. Η f είναι γνησίως αύξουσα.

γ. Η f έχει αντίστροφη και να βρείτε την αντίστροφή της.

δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 0, , τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0,

τέτοιο, ώστε αf ' ξ 1 .

lisari.blogspot.gr

26 | Σ ε λ ί δ α

Προσομοίωσης 2012

ΘΕΜΑ Α

A1. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο 0x , τότε είναι

συνεχής στο σημείο αυτό.

Μονάδες 5

A2. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0x A ;

Μονάδες 4

A3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση xf x a α>0 είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει

xf x a lna

Μονάδες 6

A4. Να βρείτε ποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς και ποιοι ψευδείς:

i. Μια συνάρτηση είναι 1-1 αν και μόνο αν δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της

παράστασης με ίδια τεταγμένη.

Μονάδες 2

ii. 4v 3i i , για κάθε v .

Μονάδες 2

iii. Αν 0x x

lim f x 0

, τότε f x 0 κοντά στο 0x . Μονάδες 2

iv. Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y f x , όταν f είναι μια

συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0x , τότε o ρυθμός μεταβολής του y ως προς x στο σημείο

0x είναι η παράγωγος 0y f x .

Μονάδες 2

v. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τότε τα εσωτερικά σημεία 0x

του Δ, στα οποία 0f ' x 0 , δεν είναι θέσεις τοπικών ακρότατων της f.

Μονάδες 2

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι συναρτήσεις x 2f x e και g x ln x 2

B1. Να βρείτε τις συνθέσεις f g και g f και να εξετάσετε αν είναι ίσες.

Μονάδες 6

B2. Να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη και να βρείτε την 1f .

Μονάδες 6

B3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2e ln x 2 έχε μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα

2e ,2

Μονάδες 6

B4. Να αποδείξετε ότι:

x x

f x g xlim lim 0

g f x f g x

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ

Η συνάρτηση f : είναι συνεχής και για κάθε x ισχύει

1

x2tf t dt

21 3 f x e ,όπου

0 .

Γ1. Να αποδείξετε ότι :

lisari.blogspot.gr

27 | Σ ε λ ί δ α

i. Η f είναι παραγωγίσιμη με 2f ' x 2xf x για κάθε x .

Μονάδες 4

ii. 2 2

1f x

x 3

για κάθε x .

Μονάδες 4

Γ2. Να αποδείξετε ότι η τιμή του ολοκληρώματος 0

tf t dt

είναι ανεξάρτητη του α.

Μονάδες 4

Γ3. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την f .

Μονάδες 8

Γ4. Αν Ε είναι το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τους άξονες, την γραφική παράσταση

της f και την ευθεία x , να αποδείξετε ότι: 1 1

E4 3

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Δ

Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f 0 2 , x 2

x 2

f x 2elim 1

x 2

και f '' x 0 για κάθε x

Να αποδείξετε ότι:

Δ1. f ' 2 1 και f x x 4 , για κάθε x

Μονάδες 6

Δ2. Η f παρουσιάζει μέγιστο σε σημείο 0x 2,0 .

Μονάδες 6

Δ3. Η εξίσωση

2 x 5

0f ' f t x dt f ' 0

έχει μοναδική λύση στο την x 5 .

Μονάδες 7

Δ4. Ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει f z i f z 1 είναι φανταστικός.

Μονάδες 6

lisari.blogspot.gr

28 | Σ ε λ ί δ α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2013 Γ΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

του xo, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι, αν f (x) 0 στο o o, x x , ,

τότε το of (x ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β)

Μονάδες 9

Α2. α. Πότε το σημείο o oA x , f (x ) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης μίας

συνάρτησης f.

Μονάδες 3

β. Αν f, g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τι ονομάζουμε σύνθεση της f με

την g και ποιο είναι το πεδίο ορισμού της;

Μονάδες 3

Α3. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις επόμενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ):

α) Αν f , g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β] τότε, ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά

παράγοντες γράφεται f (x)g (x)dx f (x)g(x)dx f (x)g(x)

.

Μονάδες 2

β) Για κάθε μιγαδικό z ισχύει: v vz z , v *

Μονάδες 2

γ) Κάθε συνάρτηση 1 – 1, είναι γνησίως μονότονη.

Μονάδες 2

δ) Αν 0 < α < 1 τότε xim og x

Μονάδες 2

ε) Για κάθε v * η συνάρτηση vf (x) x είναι παραγωγίσιμη στο * με

v 1f (x) vx

Μονάδες 2

ΘΕΜΑ B

Θεωρούμε τους μιγαδικούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις:

2z(z 2) 1 i z 3 και w = 2z – i.

lisari.blogspot.gr

29 | Σ ε λ ί δ α

B1. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z. Ποιος ο γεωμετρικός τόπος

των εικόνων του z ;

Μονάδες 7

Β2. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του z z και τις τιμές του z για τις οποίες επιτυγχάνεται.

Μονάδες 6

Β3. Αν για τους μιγαδικούς z των προηγούμενων ερωτημάτων ισχύει: z z 2 και Im(z) > 0,

τότε να υπολογίσετε την τιμή του

2013z z

2

Μονάδες 6

Β4. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών w και να αποδείξετε ότι η

απόσταση των εικόνων των z και w είναι ίση με την απόσταση της εικόνας του z από το

σημείο Α(0, 1)

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση x

x, x 0

f (x) e 1

n , x 0

Γ1. Να βρείτε 0, ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη και να δείξετε ότι 1

f (0)2

Μονάδες 7

Έστω ότι : α = e.

Γ2. α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

Μονάδες 6

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της και τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης, εφόσον

υπάρχουν.

Μονάδες 6

Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x

0

1 12x dt

f (t) 1 2013

έχει μοναδική ρίζα στο (0, 1)

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται οι συναρτήσεις f, G και F, οι οποίες είναι ορισμένες στο διάστημα 0, με f

παραγωγίσιμη και G δύο φορές παραγωγίσιμη στο ίδιο διάστημα.

lisari.blogspot.gr

30 | Σ ε λ ί δ α

Έστω ότι ισχύουν: f(0) = 1, G(0) = 0 και για κάθε x 0 είναι f (x) 0, G (x) 1 και

x

0F(x) f (t)dt .

Δ1. Να αποδείξετε ότι: F(x) 0 και G(x) x για κάθε x 0

Μονάδες 5

Δ2. Να υπολογίσετε το όριο x 0im F(x) nx

και να αποδείξετε ότι υπάρχει 0,1 τέτοιο, ώστε

F( )f ( ) n 0

Μονάδες 7

Δ3. Δίνεται, επιπλέον, ότι

22f x F(x) f (x) G (x) G(x) x G (x) 1 , για κάθε x 0

Να αποδείξετε ότι:

α) F(x) G(x) x, για κάθε x 0

Μονάδες 7

β) Για κάθε ox 0 , οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων F GC , C στα σημεία τους

o oB x , F(x ) και o ox , G(x ) αντιστοίχως, τέμνονται σε σημείο Α του άξονα y΄y (μονάδες 3)

και το τρίγωνο A

είναι ισεμβαδικό με το χωρίο, που ορίζεται από τις F GC , C και την ευθεία

x = xo (μονάδες 3)

Μονάδες 6

lisari.blogspot.gr

31 | Σ ε λ ί δ α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2014 Γ΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Θέμα Α

Α1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση vf x x , v 0,1N είναι παραγωγίσιμη στο R και

ισχύει v 1f x vx .

Μονάδες 7

Α2. Πότε η ευθεία y λx β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f

στο ;

Μονάδες 4

Α3. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.

Μονάδες 4

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο

γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η

πρόταση είναι λανθασμένη:

i) Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α έχει αντίστροφη, τότε 1f f x x για κάθε x A

.

Μονάδες 2

ii) Ανox x

lim f x 0 , τότε f x 0 κοντά στο 0x .

Μονάδες 2

iii) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο σημείο 0x , τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη σε

αυτό.

Μονάδες 2

iv) Μια συνεχής στο (α, β) συνάρτηση, παίρνει σε κάθε περίπτωση στο (α, β) μια

μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή.

Μονάδες 2

v) Αν f συνεχής συνάρτηση στο [α, β] και λ R , τότε

β β

α α

λf x dx λ f x dx

Μονάδες 2

Θέμα Β

Δίνονται οι μιγαδικοί 1z , z και w με z i , με , τέτοιοι ώστε ο

lisari.blogspot.gr

32 | Σ ε λ ί δ α

1

1 2 iz

2 i

να είναι φανταστικός και

1 11 i Im w i 2 w i

2 2

.

Β1. Να αποδείξετε ότι:

α) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία ε με εξίσωση

x y 4 0 .

Μονάδες 6

β) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο είναι η παραβολή με

εξίσωση 2x 2y 0 .

Μονάδες 6

Β2. Να αποδείξετε ότι 7 2

z w4

.

Μονάδες 5

Β3. α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο.

Μονάδες 3

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την ευθεία x y 4 0 και την

γραμμή C του προηγούμενου ερωτήματος.

Μονάδες 5

Θέμα Γ

Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο , με f 1 1, g 1 0 και ικανοποιούν τις

σχέσεις:

xf x f x e g x 1 και 22f x x 2x 1 , για κάθε x .

Γ1. Να αποδείξετε ότι xf x e g x 1 .

Μονάδες 6

Γ2. α) Να υπολογίσετε το g 1 .

Μονάδες 3

β) Να αποδείξετε ότι x

x 2lim x 1 g 0

x 1

.

Μονάδες 4

Γ3. Αν επιπλέον 2

g x x 1 για κάθε x , τότε

α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

Μονάδες 6

lisari.blogspot.gr

33 | Σ ε λ ί δ α

β) Να αποδείξετε ότι, για κάθε , από το σημείο M 1, άγονται το πολύ τρεις εφαπτόμενες

στη γραφική παράσταση της συνάρτησης h με xh x e 1 x 1 .

Μονάδες 6

Θέμα Δ

Η συνάρτηση g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με

22

g x

g x2 t

0

2t e dt g x e g x

, για κάθε x

και

2 2

g 0 g 1

t t

2 2

g 2 2 , e dt e dt 0

.

Δ1. Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα.

Μονάδες 6

Δ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 ,1 , τέτοιο ώστε g 2 (μονάδες 5) και

g 0 g 2 (μονάδες 3).

Μονάδες 8

Δ3. Να υπολογίσετε το όριο x 2

x 3lim g

g x 2

.

Μονάδες 6

Δ4. Να λύσετε την εξίσωση 3 3g 1 x x g 1 g x g x , x 0 .

Μονάδες 5

Ευχόμαστε Επιτυχία

lisari.blogspot.gr

34 | Σ ε λ ί δ α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2015 Γ΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ Α

Α.1. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και xo ένα εσωτερικό σημείο του Δ.

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο xo και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:

of (x ) 0

Μονάδες 8

Α.2. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία.

Μονάδες 4

Α.3. Πότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f στο ;

Μονάδες 3

Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο

γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε περίπτωση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή

Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη:

i) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z και z στο μιγαδικό επίπεδο είναι

σημεία

συμμετρικά ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών x΄x. Μονάδες 2

ii) Η συνάρτηση f (x) x είναι παραγωγίσιμη στο 0, Μονάδες 2

iii) Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της

παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Μονάδες 2

iv) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο διάστημα [α, β] τότε το

σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα f , f ( ), f ( ) .

Μονάδες 2

v) Αν ox x

im f (x) 0

τότε ισχύει ox x

1im

f (x) Μονάδες 2

ΘΕΜΑ B

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w για τους οποίους ισχύουν:

2 299 1001 i 3 1 i

z z 42 2

και

2w z 2z w 4 0

B.1. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z στο μιγαδικό επίπεδο

είναι ο κύκλος (C) με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα 1.

Μονάδες 8

Β.2. Να δείξετε ότι w 2

Μονάδες 6

Β.3. Έστω 1 2 3z , z , z μιγαδικοί αριθμοί με εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Α, Β και Γ

αντίστοιχα. Αν οι εικόνες των σημείων Α, Β και Γ ανήκουν στον κύκλο (C) τότε να δείξετε:

lisari.blogspot.gr

35 | Σ ε λ ί δ α

i. Ότι ο αριθμός 1 2 3 1 2 2 3 3 1

1 2 3

z z z z z z z z z

1 z z z

είναι πραγματικός.

Μονάδες 6

ii. Ότι ισχύει 1

2

z w13

3 w z

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται οι συναρτήσεις f : 1, και G : 1, για τις οποίες ισχύουν

Η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε x > –1

f (0) 2

1

f (x) f (x) n(x 1) 3,x 1

για κάθε x > –1

x

2 f (x) n(x 1)G(x) ,

x e 1

για κάθε x > –1

Γ.1. Να δείξετε ότι xf (x) 3 e n(x 1) για κάθε x > –1.

Μονάδες 6

Γ.2. α. Να δείξετε ότι η εξίσωση xe n(x 1) 3

έχει ακριβώς δύο ετερόσημες ρίζες 1 2, στο διάστημα 1,

Μονάδες 5

β. Να δείξετε ότι η εξίσωση x 33 n(x 1) e x με έχει μία τουλάχιστον λύση

στο διάστημα 1 2, .

Μονάδες 5

γ. Να λύσετε την ανίσωση x 1n nx 1 e nx x για κάθε x > 1.

Μονάδες 4

Γ.3. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός ox 1 τέτοιος ώστε η συνάρτηση

G να παρουσιάζει στη θέση ox τοπικό μέγιστο και ισχύει η σχέση ox

oe x 2.

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Δ

Θεωρούμε τη συνάρτηση f, παραγωγίσιμη για κάθε x 0, και τις συναρτήσεις Η και G για

τις οποίες ισχύουν:

f (0) 1,

2xH(x) e f (x), γνησίως αύξουσα για κάθε x 0,

x

x

0G(x) e f (t)dt για κάθε x 0,

Να δείξετε ότι:

Δ.1. α. η συνάρτηση G είναι κυρτή.

Μονάδες 4

β. x G(x) x G (x) για κάθε x 0,

lisari.blogspot.gr

36 | Σ ε λ ί δ α

Μονάδες 3

γ. o

1o o

x

G(1) x G(x )G(x)dx ,

2

όπου ox 0,1

Μονάδες 3

Δ.2. Αν 2015

f 03

τότε να βρείτε το όριο

x2

0

x 0

x f (t)dt xim

x x

Μονάδες 5

Δ.3. Να δείξετε ότι ισχύει x 2 x 1

x 1 xG(x 1) G(t)dt G(x 2) G(t)dt,

για κάθε x 0,

Μονάδες 5

Δ.4. Αν επί πλέον η f είναι συνεχής στο 0, , η γραφική παράσταση της συνάρτησης F με

τύπο x

t

0F(x) e f (t)dt διέρχεται από το σημείο A 1, e f (1) 2 και Ε το εμβαδόν του

χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της G, την εφαπτομένη της στο

σημείο O 0, G(0) και την ευθεία x = 1 τότε να δείξετε ότι 2G(1) 3

E2

Μονάδες 5