Κεφ. 2: Προσεγγιστικές

λύσεις σε ελλειπτικά ΠΣΤ

Στο παρόν κεφάλαιο θα περιγράψουμε τη κατασκευή της προσεγγιστικής λύσης

πεπερασμένων στοιχείων για ελλειπτικά ΠΣΤ. Ξεκινούμε με τη μελέτη της μεθόδου σε

αφηρημένη μορφή κάτι που θα μας βοηθήσει να δούμε πως από τη μεταβολική διατύπωση

του προβλήματος θα κατασκευάσουμε τη προσεγγιστική λύση πεπερασμένων στοιχείων.

2.1 Η ΜΠΣ σε αφηρημένη μορφή

Έστω το μεταβολικό πρόβλημα: να βρεθεί u V τέτοια ώστε

(2.1) ( , ) ( ) ,B u w F w w V

το οποίο προκύπτει από τη διαδικασία που περιγράψαμε στην Ενότητα 1.2. Ο V είναι χώρος

Hilbert με νόρμα V

u . Αντί για το (2.1), λύνουμε το εξής προσεγγιστικό πρόβλημα: να

βρεθεί N Nu V τέτοια ώστε

(2.2) ( , ) ( ) ,N NB u w F w w V

όπου NV V ένας πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος του V, με dim NV N . Ας

υποθέσουμε ότι το γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο 1,..., N αποτελεί μία βάση για τον VN.

Τότε, αφού N Nu V ισχύει

(2.3) 1

N

N i i

i

u

,

όπου ξi σταθερές (που θα πρέπει να προσδιορίσουμε). Αντικαθιστώντας τη (2.3) στη (2.2)

παίρνουμε

1

, ( ) ,N

i i N

i

B w F w w V

το οποίο στη συνέχεια δίνει, αφού εκμεταλλευτούμε τις ιδιότητες της διγραμμικής μορφής,

1

( , ) ( ) .N

i i N

i

B w F w w V

2

Επιλέγουμε , 1,...,jw j N και αντικαθιστούμε στη πιο πάνω εξίσωση για να πάρουμε

(2.4) 1

( , ) ( ) 1,..., .N

i i j j

i

B F j N

Η εξίσωση (2.4) δεν είναι τίποτα άλλο από το γραμμικό σύστημα εξισώσεων (για τις

σταθερές ξi , i = 1, …, N)

b ,

όπου τα στοιχεία του πίνακα N N δίδονται από , ( , ), , 1,...,i j i jB i j N και τα

στοιχεία του διανύσματος Nb δίδονται από ( ), 1,...,i ib F i N . Ο Α καλείται πίνακας

ακαμψίας (stiffness matrix) και το b καλείται διάνυσμα φορτίου (load vector). Λύνοντας το

πιο πάνω γραμμικό σύστημα εξισώσεων, βρίσκουμε τις σταθερές ξi, i = 1, …, N και στη

συνέχεια τη προσεγγιστική λύση πεπερασμένων στοιχείων uN από την (2.3). Αν το

μεταβολικό πρόβλημα προκύπτει από μια ελλειπτική ΜΔΕ (όπως η (1.1)) και ισχύει η (1.3),

τότε, με 1

,N

i i i

i

w

, έχουμε για τη διγραμμική μορφή (1.6),

1 1 1 1

( , ) , ( , )N N N N T

i i j j i i j j

i j i j

B w w B B

.

Η συνεκτικότητα της Β (εξ. (1.3)) δίνει

2

00 ( , )T

Vc w B w w ,

που δείχνει ότι ο πίνακας Α είναι θετικά ορισμένος (positive definite). Αν, επιπλέον, η

διγραμμική μορφή είναι συμμετρική, δηλ. B(u, w) = B(w, u) ,u w V , τότε ο πίνακας Α θα

είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, άρα και αντιστρέψιμος. Η συμμετρική περίπτωση

χρίζει περεταίρω μελέτης, αλλά πρώτα παραθέτουμε ένα σημαντικότατο αποτέλεσμα το

οποίο καθιστά το πρώτο βήμα στη μελέτη του σφάλματος της ΜΠΣ.

Θεώρημα 2.1: (Ceá’s Lemma – Βέλτιστη προσέγγιση/best approximation)

Έστω u V η μοναδική λύση του μεταβολικού προβλήματος (2.1) και έστω uN VΝ η λύση

του διακριτού προβλήματος (2.2), με V VΝ. Τότε

1

0

N NV V

cu u u w w V

c ,

όπου οι σταθερές c0, c1 προέρχονται από τη συνεκτικότητα και συνέχεια της διγραμμικής

μορφής Β( , ), αντίστοιχα.

3

Απόδειξη: Έχουμε

( , ) ( )B u w F w w V (άρα και Nw V )

και

( , ) ( )N NB u w F w w V .

Αφαιρώντας τις δύο παίρνουμε τη λεγόμενη εξίσωση σφάλματος (error equation)

(2.5) ( , ) 0N NB u u w w V ,

η οποία καλείται επίσης και ορθογωνιότητα του Galerkin (Galerkin orthogonality). Λόγω της

συνεκτικότητας της διγραμμικής μορφής Β, έχουμε με Nw V ,

2

0

0 λόγω της (2.5)

1

( , ) ( , ) ( , )

( , )

N N N N N N NV

N

N V V

c u u B u u u u B u u u u B u u u w

B u u u w

c u u u w

όπου στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε τη συνέχεια της διγραμμικής μορφής. Το

ζητούμενο προκύπτει από την πιο πάνω σχέση (με διαίρεση).

Θα εστιάσουμε τη προσοχή μας τώρα στη περίπτωση που η διγραμμική μορφή είναι

συμμετρική, δηλ.

B(u, w) = B(w, u) ,u w V .

Τότε έχουμε τα εξής πλεονεκτήματα:

Ο πίνακας ακαμψίας είναι συμμετρικός (και θετικά ορισμένος αν η Β είναι συνεκτική,

και έτσι αντιστρέψιμος).

Η διγραμμική μορφή Β αποτελεί εσωτερικό γινόμενο στο χώρο V αν ισχύει επιπλέον

( , ) 0 , 0B u u u V u .

Το εσωτερικό γινόμενο Β( , ) ορίζει νόρμα στον V, τη λεγόμενη νόρμα ενέργειας

(energy norm), ως

1/2

: ( , )E

u B u u u V ,

η οποία είναι ισοδύναμη με τη νορμα του χώρου V, V

, δηλ. υπάρχουν θετικές

σταθερές c, C τέτοιες ώστε

V E Vc u u C u u V .

(Για την ακρίβεια, 0 1,c c C c με c0, c1 τις σταθερές που προέρχονται από τη

συνεκτικότητα και συνέχεια της διγραμμικής μορφής.)

4

Τώρα, η εξίσωση σφάλματος (2.5) μας δίνει

(2.6) N NE Eu u u w w V

που δείχνει ότι η uN VN είναι η ορθογώνια προβολή (orthogonal projection) της u V στον

(υπό)χώρο VN ως προς το εσωτερικό γινόμενο Β( , ), βλ. Σχ. 2.1.

Σχήμα 2.1: Η u V και η ορθογώνια προβολής της uN VN.

Θα βρούμε τώρα μια παράσταση για το σφάλμα N Eu u . Έχουμε

2

0 λόγω της (2.5)

2 2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( ) ( )

( , ) ( , )

.

N N N N N NE

N N N

N

N N

NE E

u u B u u u u B u u u B u u u

B u u B u u B u u u

F u F u

B u u B u u

u u

Το επόμενο αποτέλεσμα μας λέει ότι, στη συμμετρική περίπτωση, το μεταβολικό πρόβλημα

είναι ισοδύναμο με ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης.

Λήμμα 2.1: Έστω u V η μοναδική λύση του μεταβολικού προβλήματος (2.2) με Β μια

συμμετρική διγραμμική μορφή. Τότε η u V είναι η μοναδική συνάρτηση που ελαχιστοποιεί τη

λεγόμενη δυναμική ενέργεια

1( ) ( , ) ( ) , .

2J w B w w F w w V

Απόδειξη: Έστω u V η μοναδική λύση του (2.2) και έστω w V. Θεωρούμε τη διαφορά

5

1 1 1( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )

2 2 2

1 ( , ) ( , ) ( , )

2

1 ( , ) 2 ( , ) ( , )

2

1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

J w J u B w w F w B u u F u B w w B u u F w u

B w w B u u B u w u

B w w B u w B u u

B w w B u w B w u B u u

1 ( , ).

2B w u w u

Λόγω της συνεκτικότητας της διγραμμικής μορφής, ισχύει

2

0( , )V

B w u w u c w u ,

άρα 2

0( ) ( ) 0V

J w J u c w u

που δείχνει ότι

( ) ( )J w J u w V ,

δηλ. η u ελαχιστοποιεί το J στο χώρο V. Απομένει να δείξουμε τη μοναδικότητα της u.

Έστω ότι u1 V και u2 V είναι και οι δύο ελαχιστοποιούσες συναρτήσεις για το J. Τότε

1( ) ( )J w J u w V και 2( ) ( )J w J u w V .

Επιλέγοντας w = u1 V στη πρώτη ανισότητα και w = u2 V στη δεύτερη, δίνει

1 2( ) ( )J u J u .

Με άλλα λόγια 2

1 2 0V

u u ,

δηλαδή, u1 = u2.

□

Ισχύει και το αντίθετο αποτέλεσμα, δηλ. αν η u ελαχιστοποιεί το J , τότε η u είναι η μοναδική

λύση του (2.2), στη συμμετρική περίπτωση.

Λήμμα 2.2: Έστω u V η συνάρτηση που ελαχιστοποιεί τη δυναμική ενέργεια

1( ) ( , ) ( ) , .

2J w B w w F w w V Τότε η u είναι η μοναδική λύση του μεταβολικού

προβλήματος (2.2), όταν η διγραμμική μορφή Β είναι συμμετρική.

Απόδειξη: Έστω θ [0, 1]. Τότε ,v w V

6

1

1 ( ) ( ) (1 ) (1 ) ( , )2

J v J w J v w B v w v w .

Μια και B(v – w, v – w) ≥ 0, έχουμε

1 ( ) ( ) (1 )J v J w J v w .

Επίσης, αφού η u V ελαχιστοποιεί τη δυναμική ενέργεια, ισχύει

0

( ) 0d

J u wd

.

Όμως, λόγω γραμμικότητας των B, F και λόγω συμμετρίας της Β,

2

1( ) ( , ) ( )

2

1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

2 2

J u w B u w u w F u w

B w w B u w B u u F u F w

και έτσι

0

0

( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )d

J u w B w w B u w F w B u w F wd

.

Το ζητούμενο έπεται λόγω του ότι το πιο πάνω ισούται με μηδέν.

□

Το μεταβολικό πρόβλημα (2.2) καλείται εξίσωση Euler-Lagrange για το πρόβλημα

ελαχιστοποίησης.

Κλείνουμε την παρούσα ενότητα σημειώνοντας ότι στόχος της ΜΠΣ είναι η επιλογή μιας

ακολουθίας υπόχωρων 1N N

V

με 1 2 ...V V V έτσι ώστε όταν Ν → να έχουμε

0N Eu u . Ακόμα καλύτερα θα ήταν αν είχαμε

( )N Eu u N ,

με ( ) 0N όταν Ν → . Η συνάρτηση Φ(Ν) δίνει το ρυθμό σύγκλισης (convergence rate)

της μεθόδου, π.χ. Φ(Ν) = Ν–p, p = 1, 2, … (αλγεβρική σύγκλιση τάξης p), Φ(Ν) = e–N

(εκθετική σύγκλιση), κλπ . Η επιλογή του υπόχωρου VN καθορίζει το ρυθμό σύγκλισης. Η

διάσταση Ν του υπόχωρου συνήθως καλείται αριθμός βαθμών ελευθερίας (number of degrees

of freedom).

7

2.2 Κατά-τμήματα γραμμικές συναρτήσεις

βάσης

Σε αυτή την ενότητα θα δούμε την απλούστερη περίπτωση επιλογής του υπόχωρου VN για

την προσέγγιση της λύσης μιας 2ης τάξης ελλειπτικής ΜΔΕ με ομοιογενείς ΣΣ Dirichlet.

Καλείται εκδοχή h της ΜΠΣ με κατά-τμήματα γραμμικά πολυώνυμα τα οποία ορίζονται σε

ένα πλέγμα (mesh) που ορίζουμε στο χωρίο – το h αντιπροσωπεύει το λεγόμενο μήκος

πλέγματος (mesh width) που το χαρακτηρίζει. Στη 1-διάσταση το πλέγμα αποτελείται από

υποδιαστήματα, στις 2-διαστάσεις από τρίγωνα ή/και τετράπλευρα και στις 3-διαστάσεις το

πλέγμα αποτελείται από τετράεδρα ή/και πεντάεδρα ή/και εξάεδρα.

Στη ΜΠΣ με γραμμικά πολυώνυμα, προσεγγίζουμε τη λύση του μεταβολικού προβλήματος

με κατά-τμήματα γραμμικά πολυώνυμα και εκλεπτύνοντας το πλέγμα (h → 0) επιτυγχάνουμε

σύγκλιση (για ομαλές λύσεις). Ο βέλτιστος ρυθμός σύγκλισης που μπορούμε να αναμένουμε

είναι της τάξης του h. Αρχίζουμε με τη μελέτη στη 1-διάσταση.

2.2.1 Γραμμικά Πεπερασμένα Στοιχεία στη 1-διάσταση

Θεωρούμε το εξής ΠΣΤ:

(2.7) ( ) ( ) ( ) , (0,1)

(0) (1) 0

u x pu x f x x I

u u

όπου p > 0 δοθείσα σταθερά και f L2(I) δοθείσα συνάρτηση. Η μεταβολική μορφή είναι:

να βρεθεί η 1

0 ( )u H I τέτοια ώστε 1

0( , ) ( ) ( )B u w F w w H I , όπου

(2.8) 1 1

0 0

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )B u w u x w x pu x w x dx F w f x w x dx .

Το διακριτό πρόβλημα είναι: να βρεθεί η 1

0( )Nu V H I τέτοια ώστε

1

0( , ) ( ) ( )NB u w F w w V H I .

Για να ορίσουμε τον υπόχωρο VN, διαμελίζουμε το χωρίο/διάστημα [0,1]I σε Ν

υποδιαστήματα 1[ , ], 0,..., 1i ix x i N , τα λεγόμενα στοιχεία (elements) όπου

, 0,..., 1ix ih i N τα λεγόμενα κομβικά σημεία (nodal points), με h = 1/N το λεγόμενο

8

μήκος πλέγματος (mesh width). Σημειώνουμε ότι επιλέγουμε ομοιόμορφο πλέγμα (uniform

mesh), δηλ. τα κομβικά σημεία είναι ισαπέχοντα, για ευκολία. (Βλ. Σχ. 2.2 πιο κάτω.) Θα

μπορούσαμε να έχουμε ένα τυχαίο πλέγμα και τα βήματα για τη κατασκευή της λύσης

πεπερασμένων στοιχείων που ακολουθούν είναι παρόμοια.

Σχήμα 2.2: To ομοιόμορφο πλέγμα για το [0, 1].

Ορίζουμε, χρησιμοποιώντας το πιο πάνω πλέγμα, τις εξής κατά-τμήματα γραμμικές

συναρτήσεις, τις συναρτήσεις στέγης (hat functions) όπως καλούνται, οι οποίες θα

αποτελέσουν τις συναρτήσεις βάσης για τον υπόχωρο:

11, ,( )

0 , διαφορετικά

i i

i

x x xx

.

Η γραφική παράσταση της φi(x) φαίνεται πιο κάτω.

Σχήμα 2.3: Η συνάρτηση στέγης φi(x)

Εύκολα υπολογίζουμε

(2.9)

1 1

1 1

( ) / , ,

( ) ( ) / , ,

0, διαφορετικά

i i i

i i i i

x x h x x x

x x x h x x x

.

Προφανώς 1

0( ) ( )i x H I . Επίσης οι φi(x) είναι γραμμικώς ανεξάρτητες και

1 1supp ( ) [ , ]i i ix x x . Άρα, ο χώρος VN = span{φ1, …, φΝ} είναι ένας υπόχωρος του 1

0 ( )H I

με διάσταση Ν – 1. Ακολουθώντας τη διαδικασία της Ενότητας 2.1, φθάνουμε στο γραμμικό

σύστημα

b ,

9

όπου τα στοιχεία του πίνακα ( 1) ( 1)N N δίδονται από , ( , ), , 1,..., 1i j i jB i j N και

τα στοιχεία του διανύσματος 1Nb δίδονται από ( ), 1,..., 1i ib F i N , με Β τη

διγραμμική μορφή και F το γραμμικό συναρτησιακό της εξ. (2.8). Για τυχαία f, τα στοιχεία

του διανύσματος φορτίου

1

0

( ) ( ) ( ) , 1,..., 1i i ib F f x x dx i N

υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση. Αν, όμως, f(x) = f , τότε

1

1

1

1

1

0

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

.

i i

i i

i i

i i

x x

i i i i i

x x

x x

i i

x x

b F f x dx f x dx f x dx

x x x xf dx f dx

h h

fh

(Το άθροισμα των ολοκληρωμάτων ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου, βλ. Σχ. 2.3). Ας

υπολογίσουμε τώρα τα στοιχεία του πίνακα ακαμψίας

1

,

0

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )i j i j i j i jB x x p x x dx .

Λόγω του μικρού φορέα των φi (βλ. (2.9)), ο πίνακας Α θα είναι τριδιαγώνιος αφού

( ) ( ) 0 αν | | 2i jx x i j (το ίδιο ισχύει και για τις παραγώγους τους). Επίσης, για

ευκολία, θέτουμε 1 1

(1) (2)

, ,

0 0

( ) ( ) , ( ) ( )i j i j i j i jx x dx p x x dx , έτσι ώστε (1) (2)

, , ,i j i j i j .

Ο (2)

,i j καλείται συνήθως πίνακας μάζας (mass matrix). Ο (1)

,i j υπολογίζεται εύκολα αφού

1

1

1/ , ,

( ) 1/ , ,

0, διαφορετικά

i i

i i i

h x x x

x h x x x

.

Έχουμε, για j = i,

1 1

1 1

1

(1) 2 2

,

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/ 1/ 2 /i i i i

i i i i

x x x x

i i i i i i i i

x x x x

x x dx x x dx x x dx h dx h dx h

.

Για j = i – 1,

1 1

1

(1)

, 1 1 1

0

( ) ( ) ( ) ( ) (1/ )( 1/ ) 1/i i

i i

x x

i i i i i i

x x

x x dx x x dx h h dx h

και λόγω συμμετρίας, (1)

1, 1/i i h . Άρα

10

(1)

2 1

1 21

1

1 2

h

.

Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε (βλ. Άσκηση 2.3)

(2)

2 / 3 1/ 6

1/ 6 2 / 3

1/ 6

1/ 6 2 / 3

h

έτσι

2 1 2 / 3 1/ 6

1 2 1/ 6 2 / 31

1 1/ 6

1 2 1/ 6 2 / 3

phh

.

Λύνοντας το σύστημα b παίρνουμε τις τιμές ξ1, ξ2, …, ξΝ-1 οι οποίες αντιστοιχούν στις

τιμές της uN στα (εσωτερικά) κομβικά σημεία xi, i = 1, …, N – 1. Αυτό προκύπτει από την

(2.3) και των ορισμό των φi :

1

( ) ( )N

N i j j i i

j

u x x

.

Η παρατήρηση αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στη πράξη γιατί αφού λύσουμε το γραμμικό

σύστημα και έχουμε τα ξi, τότε το γράφημα των σημείων (xi, ξi) = (xi, uN(xi)) θα δώσει τη

γραφική παράσταση της uN.

Υλοποιούμε τη πιο πάνω μέθοδο στη MATLAB, όπως φαίνεται στο πιο κάτω m-file, για

σταθερά δεδομένα:

function [error] = fem1d_eg(m,p,f)

% function [error] = fem1d_eg(m,p,f) % % This function solves the BVP -u" + p u = f in (0,1) % with u(0)=u(1)=0, using the Galerkin FEM with % m+1 subintervals and piecewise linear basis functions. % p > 0 and f are constants. % % Α plot showing the exact solution and % the computed solution, as well as a plot of the error at % the nodal points x, is automatically generated. % % The output (if requested) gives the error in the energy norm

11

% between the exact and approximate solution.

h = 1/(m+1);

%The stiffness matrix is % A1 = (1/h)*(diag(2*ones(1,m))-diag(ones(1,m-1),-1)-diag(ones(1,m-1),1));

%The mass matrix is % A2 = h*(diag((2/3)*ones(1,m))+diag((1/6)*ones(1,m-1),-

1)+diag((1/6)*ones(1,m-1),1));

%The global matrix is % A = A1 + p*A2;

%The load vector is % b = f*h*ones(m,1);

%The approximate solution is % u = A\b; energy = dot(u,b); u = [0;u;0];

%The plots are obtained from x = linspace(0,1,m+2); xx=linspace(0,1,1001); uex=@(t) exp(sqrt(p)*t)*f*(exp(-sqrt(p))-1)/(p*(exp(sqrt(p))-exp(-

sqrt(p))))-exp(-sqrt(p)*t)*f*(-1+exp(sqrt(p)))/(p*(exp(sqrt(p))-exp(-

sqrt(p))))+f/p; plot(x,u,'r',xx,uex(xx),'b') xlabel('x') ylabel('y') title('FEM solution of -u"+p u = f in (0,1), u(0) = u(1) = 0') legend('u_{h}','u_{ex}') figure plot(x,abs(u'-uex(x)),'o-') xlabel('x') ylabel('y') title('Error at the nodes')

Ex_energy=f^2*(2*p-

2*exp(sqrt(p))*p+p^(3/2)*exp(sqrt(p))+p^(3/2))/(p^(5/2)*(exp(sqrt(p))+1))

;

error=sqrt(abs(Ex_energy-energy))/sqrt(abs(Ex_energy));

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Τρέχουμε το πιο πάνω m-file με τις τιμές m = 10, p = 2, f = 3, ως εξής:

>> fem1d_eg(10,2,3)

12

Τα γραφήματα που παίρνουμε φαίνονται στο Σχήμα 2.4.

Σχήμα 2.4: Αριστερά: η ακριβής λύση και η λύση πεπερασμένων στοιχείων. Δεξία: το σφάλμα μεταξύ τους.

Μπορούμε, επίσης, να μελετήσουμε τη σύγκλιση της μεθόδου, όταν το m → (δηλ. όταν το

h → 0). Τρέχουμε το m-file για διάφορες τιμές του m (π.χ. m = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256)

και κάθε φορά καταγράφουμε το σφάλμα (που δίνει το m-file σαν δεδομένο εξόδου). Οι

εντολές έχουν ως εξής. Πρώτα ορίζουμε τις τιμές για το m:

>> m=2.^[1:8]

m =

2 4 8 16 32 64 128 256

Μετά τρέχουμε το m-file για τις πιο πάνω τιμές

>> for i=1:length(m), error(i)=fem1d_eg(m(i),2,3); end

>> error

error =

0.3168 0.1894 0.1051 0.0556 0.0287 0.0145 0.0073 0.0037

Βλέπουμε ότι όσο αυξάνεται το m το σφάλμα μειώνεται. Όμως με ποιο ρυθμό; Για να

απαντήσουμε, θεωρούμε τα εξής: αναμένουμε το σφάλμα να είναι της τάξης Ο(hk), για

κάποιο k, όπου h = 1/m το μήκος πλέγματος. (Στη συγκεκριμένη περίπτωση των κατά-

τμήματα γραμμικών συναρτήσεων βάσης, αναμένουμε k = 1.) Δηλαδή, k

EE error Ch ,

έτσι ώστε παίρνοντας λογάριθμους έχουμε ln ln lnE C k h . Για αρκετά μεγάλο m (δηλ.

για αρκετά μικρό h), η πιο πάνω ανισότητα είναι (σχεδόν) ισότητα και αν κάνουμε τη

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

x

y

FEM solution of -u"+p u = f in (0,1), u(0) = u(1) = 0

uN

u

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

x 10-4

x

y

Error at the nodes

13

γραφική παράσταση του ln E έναντι του ln h, θα πάρουμε ευθεία γραμμή με κλίση k. (Η

γραφική παράσταση του ln E έναντι του ln m θα είναι ευθεία γραμμή με κλίση –k .) Στη

MATLAB η εντολή είναι loglog. Μπορούμε να μετρήσουμε τη κλίση της ευθείας,

χρησιμοποιώντας τα δύο τελευταία σημεία, ως εξής:

>> log(error(end)/error(end-1))/log(m(end)/m(end-1))

ans =

-0.9944

(Πράγματι, είναι σχεδόν –1.) Το γράφημα του σφάλματος φαίνεται πιο κάτω.

>> loglog(m,error,'-o')

>> xlabel('Number of subintervals, m')

>> ylabel('Relative Error in the Energy Norm')

>> gtext('slope \approx -1')

Σχήμα 2.5: Σύγκλιση της μεθόδου.

2.2.2 Γραμμικά Πεπερασμένα Στοιχεία στις 2-

διαστάσεις

Θα δούμε τώρα μια δισδιάστατη περίπτωση, όταν το χωρίο Ω 2 είναι πολύγωνο και άρα

μπορούμε να το ‘καλύψουμε’ με ένα πλέγμα που αποτελείται από τρίγωνα, όπως φαίνεται

στο Σχήμα 2.6.

100

101

102

103

10-3

10-2

10-1

100

Number of subintervals, m

Rela

tive E

rror

in t

he E

nerg

y N

orm

slope -1

14

Σχήμα 2.6: Τριγωνοποίηση πολυγωνικού χωρίου.

Υποθέτουμε ότι η τομή δύο τριγώνων στο πλέγμα, είναι μια ολόκληρη πλευρά, ή μόνο μια

κορυφή (των τριγώνων) ή το κενό σύνολο. Θέτουμε hK το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς

του τριγώνου Κ στο πλέγμα και max KK

h h . Τα κομβικά σημεία του πλέγματος που

βρίσκονται στο εσωτερικό του Ω συμβολίζονται με κύκλους στο πιο πάνω σχήμα. Για κάθε

εσωτερικό κομβικό σημείο, λοιπόν, ορίζουμε τη συνάρτηση βάσης φ , η οποία ισούνται με 1

στο συγκεκριμένο κομβικό σημείο και με 0 στα υπόλοιπα. Η φ είναι συνεχής στο και ο

περιορισμός της στο κάθε τρίγωνο Κ του πλέγματος, είναι γραμμική συνάρτηση (δύο

μεταβλητών), βλ. Σχήμα 2.7.

Σχήμα 2.7: Η συνάρτηση στέγης φ στις 2-διαστάσεις, η οποία καλείται και συνάρτηση πυραμίδας.

Υποθέτουμε ότι τα εσωτερικά κομβικά σημεία είναι αριθμημένα ως 1, 2, …, Ν και έστω

φ1, …, φΝ οι αντίστοιχες συναρτήσεις βάσης, οι οποίες είναι γραμμικώς ανεξάρτητες και

αποτελούν μια βάση για ένα υπόχωρο 1

0 ( )NV H , διάστασης Ν. Θα περιγράψουμε τη

διαδικασία κατασκευής της προσέγγισης πεπερασμένων στοιχείων uN για το ΠΣΤ

στο

0 στο

u f

u

15

με f δοθείσα επαρκώς ομαλή συνάρτηση. Η μεταβολική μορφή είναι: να βρεθεί 1

0 ( )u H

τέτοια ώστε 1

0( , ) ( ) ( )B u w F w w H , όπου

( , )

( ) ( , ) ( , ) .

u w u wB u w u wdxdy dxdy

x x y y

F w f x y w x y dxdy

Το διακριτό πρόβλημα είναι: να βρεθεί 1

0( )N Nu V H τέτοια ώστε

1

0( , ) ( ) ( )N NB u w F w w V H , με 1,...,N NV span . Γράφοντας

1

( , ) ( , )N

N i i

i

u x y U x y

με Ui άγνωστους συντελεστές, και αντικαθιστώντας στο διακριτό

πρόβλημα, παίρνουμε το γραμμικό σύστημα (για τα Ui):

AU b

όπου

, ,

( , ) ( , ) .

i i i ii j i i

i i

A dxdy dxdyx x y y

b f x y x y dxdy

Για να απλουστεύσουμε τα πράγματα, υποθέτουμε ότι = [0, 1]×[0, 1] και ότι η

τριγωνοποίηση γίνεται με ομοιόμορφο τρόπο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.8, πιο κάτω.

Σημειώνουμε ότι θα έχουμε (Ν – 1)2 εσωτερικά κομβικά σημεία (xi, yj), i , j = 1, …, N – 1.

Σχήμα 2.8: Ομοιόμορφη τριγωνοποίηση του = [0, 1]×[0, 1].

16

Έστω φij η συνάρτηση βάσης που αντιστοιχεί στο εσωτερικό κομβικό σημείο (xi, yj):

1 ( ) / ( ) / , ( , ) 1

1 ( ) / , ( , ) 2

1 ( ) / , ( , ) 3

( , ) 1 ( ) / ( ) / , ( , ) 4

1 ( ) / , ( , ) 5

1 ( ) /

i j

j

i

ij i j

j

i

x x h y y h x y

y y h x y

x x h x y

x y x x h y y h x y

y y h x y

x x h

, ( , ) 6

0 ,διαφορετικά

x y

όπου οι αριθμοί 1, …, 6 αντιστοιχούν στα τρίγωνα του Σχήματος 2.9.

Σχήμα 2.9: Τα τρίγωνα γύρω από το εσωτερικό κομβικό σημείο (xi, yj).

Έχουμε

1/ , ( , ) 1

0 , ( , ) 2

1/ , ( , ) 3

1/ , ( , ) 4

0 , ( , ) 5

1/ , ( , ) 6

0 ,διαφορετικά

ij

h x y

x y

h x y

h x yx

x y

h x y

,

1/ , ( , ) 1

1/ , ( , ) 2

0 , ( , ) 3

1/ , ( , ) 4

1/ , ( , ) 5

0 , ( , ) 6

0 ,διαφορετικά

ij

h x y

h x y

x y

h x yy

h x y

x y

άρα

1 1

1, 1, , 1 , 1

1 1

4 , , 1,..., 1N N

i i i iij k k k k k

i j

U dxdy U U U U U k Nx x y y

όπου γράψαμε 1

1

( , ) ( , )N

N ij ij

i

u x y U x y

και αντικαταστήσαμε στη διγραμμική μορφή. Το

γραμμικό σύστημα που πρέπει να λυθεί (για τα Uij) αντιστοιχεί στο

17

1, 1, , 1 , 14 ( , ) ( , ) , , 1,..., 1k k k k k kU U U U U f x y x y dxdy k N

.

Φυσικά, η αρίθμηση των Uij μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους. Ένας είναι ο λεγόμενος

λεξικογραφικός, όπου η πρώτη ‘γραμμή’ των Uij, δηλ. U1,j, παίρνει τις τιμές u1, …, uN – 1, η

δεύτερη ‘γραμμή’ τις υπόλοιπες uΝ, …, u2N – 1, κ.λ.π. Το τελικό (Ν – 1)2 ×(Ν – 1)2 γραμμικό

σύστημα έχει σαν πίνακα συντελεστών τον

D I

I D

I

I D

,

όπου ( 1) ( 1)N NI ο ταυτοτικός πίνακας και ( 1) ( 1)N ND ο τριδιαγώνιος πίνακας

4 1

1 4

1

1 4

D

.

Στη MATLAB υπάρχει εντολή βιβλιοθήκης για τον πιο πάνω πίνακα, την οποία θα δούμε για

το εξής παράδειγμα: Να βρεθεί η u(x, y) έτσι ώστε

2 2

2 21, ( 1,1) ( 1,1)

( , ) 0 , ( , )

u ux

x y

u x y x y

Για πρακτικούς λόγους υποθέτουμε ότι έχουμε Ν + 2 κομβικά σημεία (σε κάθε κατεύθυνση),

άρα το μήκος πλέγματος είναι h = 1/(N+1) και ο συνολικός αριθμός των εσωτερικών

κομβικών σημείων είναι Ν 2 . Για παράδειγμα, αν διαλέξουμε Ν = 20, τότε στη MATLAB

γράφουμε

>> N=20;

>> h=1/(N+1);

>> Ntotal=Ν^2;

Η εντολή numgrid δημιουργεί το ζητούμενο ομοιόμορφο πλέγμα και δουλεύει ως εξής:

>> help numgrid

NUMGRID Number the grid points in a two dimensional region.

G = NUMGRID(REGION,N) numbers the points on an N-by-N grid in

the subregion of -1<=x<=1 and -1<=y<=1 determined by REGION.

18

SPY(NUMGRID(REGION,N)) plots the points.

DELSQ(NUMGRID(REGION,N)) generates the 5-point discrete Laplacian.

The regions currently available are:

'S' - the entire square.

'L' - the L-shaped domain made from 3/4 of the entire square.

'C' - like the 'L', but with a quarter circle in the 4-th square.

'D' - the unit disc.

'A' - an annulus.

'H' - a heart-shaped cardioid.

'B' - the exterior of a "Butterfly".

'N' - a nested dissection ordering of the square.

Άρα για την περίπτωση μας, θα ορίσουμε το πλέγμα, ας πούμε grid, χρησιμοποιώντας την

πιο πάνω εντολή με δεδομένα εισόδου το 'S' (για το τετράγωνο [–1, 1]2) και το Ν + 2.

>> grid=numgrid('S',N+2);

Η εντολή delsq παίρνει σαν δεδομένο εισόδου το πλέγμα (δηλ. για μας το grid) και δίνει

σαν δεδομένο εξόδου τον πίνακα ακαμψίας του προβλήματός μας. Άρα, γράφουμε

>> A=delsq(grid);

Τα στοιχεία του διανύσματος φορτίου 2( 1)Nb ισούνται με

2( , ) ( , ) ( , )i i ib f x y x y dxdy x y dxdy h

,

μια και οι φi είναι οι συναρτήσεις στέγης (στις δύο διαστάσεις). Άρα, γράφουμε

>> b = h^2*ones(Ntotal,1);

>> ksi = A\b;

Η λύση του συστήματος A b μας δίνει τις τιμές της προσεγγιστικής λύσης Nu στα

(εσωτερικά) κομβικά σημεία. Σημειώστε ότι στα κομβικά σημεία που βρίσκονται στο

σύνορο του Ω ξέρουμε ότι η λύση είναι μηδέν (από τις ΣΣ). Για να μπορέσουμε, όμως, να

δούμε το γράφημα της hu πρέπει να καταχωρήσουμε τις τιμές του σε ένα πίνακα του

οποίου το στοιχείο στη θέση i, j αντιστοιχεί με την τιμή της Nu στο κομβικό σημείο με

συντεταγμένες (xi, yj). Αυτό επιτυγχάνεται με τον εξής τρόπο: Αρχικά ορίζουμε ένα

μηδενικό πίνακα μεγέθους (Ν + 2)(Ν + 2) και μετά με διπλό βρόγχο (i, j = 1, …, N)

καταχωρούμε την τιμή ( 1)N i j στη θέση i+1, j+1 του πίνακα. Στη MATLAB γράφουμε

19

>> uh=zeros(N+2, N+2);

for i=1:N

for j=1:N

uΝ(i+1,j+1)=ksi(N*(i-1)+j);

end

end

Το μόνο που απομένει είναι η κατασκευή του γραφήματος της Nu , μέσω της εντολής surf:

>> x=[-1:h:1];

>> y=[-1:h:1];

>> surf(x,y,uΝ)

>> xlabel('x');ylabel('y');zlabel('u_N')

Θα ήταν καλύτερα αν η πιο πάνω διαδικασία γραφτεί σε ένα m-file, όπως φαίνεται πιο κάτω:

function [] = fem2dunif(n)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Finite element method on a uniform triangular mesh for

%

% -(u_xx+u_yy)=1 in (-1,1)^2

% u=0 on boundary

%

% Compute and plot solution for a given number n of (internal)

% subdivisions n (i.e. meshwidth h = 1/(n+1)) in each direction.

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

h=1/(n+1); % mesh size

grid=numgrid('S',n+2); % numerical grid on square 'S'

A=delsq(grid); % construction of the stiffness matrix

N=n^2; % total number of interior nodes

fh=h^2*ones(N,1); % construction of the load vector

U=A\fh; % FE solution at interior points

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

0.02

0.04

0.06

0.08

xy

uN

20

% compute solution values over all grid points

uΝ=zeros(n+2,n+2);

for i=1:n

for j=1:n

uΝ(i+1,j+1)=U(n*(i-1)+j);

end

end

% plot solution

x=[-1:h:1];

y=[-1:h:1];

surf(x,y,uΝ)

surf(x,y,uΝ)

xlabel('x');ylabel('y');zlabel('u_N')

Τρέχουμε το m-file για n = 50 και παίρνουμε το πιο κάτω γράφημα.

>> fem2dunif(50)

2.3 Εκτιμήσεις σφάλματος

Στη συνέχεια θα αποδείξουμε τη σύγκλιση της ΜΠΣ για τα προβλήματα της προηγούμενης

ενότητας, δείχνοντας ότι

N Eu u Ch ,

με C > 0 σταθερά που δεν εξαρτάται από τις u, uN. Τα βασικά βήματα έχουν ως εξής:

Από το Θεώρημα 2.1 (Ceá’s Lemma),

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

0.02

0.04

0.06

0.08

xy

uN

21

N NE Eu u C u w w V

που λέει ότι η λύση πεπερασμένων στοιχείων είναι η βέλτιστη προσέγγιση της u από

το χώρο VN.

Επιλέγουμε τη w κατάλληλα, π.χ. pw I u το κατά-τμήματα βαθμού p

πολυώνυμο παρεμβολής της u στα κομβικά σημεία του πλέγματος. Τότε, από τη

θεωρία παρεμβολής

1 ( 1)

, 0,, 0,1p k p

p ku I u Ch u k

,

έτσι ώστε

( 1)

0,

p p

N Eu u Ch u

.

Αν ο όρος ( 1)

0,

pu

είναι φραγμένος (από μια σταθερά), τότε έχουμε τη ζητούμενη

εκτίμηση σφάλματος. Το κατά πόσο συμβαίνει αυτό εξαρτάται από τα δεδομένα του

προβλήματος: στη 1-διάσταση εξαρτάται από τους συντελεστές και το δεξί μέλος της

διαφορικής εξίσωσης, ενώ στις 2-διαστάσεις (και πάνω), το χωρίο παίζει καθοριστικό

ρόλο στην ομαλότητα της λύσης και μπορεί να τύχει να έχουμε ομαλούς συντελεστές

και δεξί μέλος, αλλά η λύση να μην είναι ομαλή λόγω του χωρίου (π.χ. αν περιέχει

γωνίες). Θα επανέλουμε σε αυτό το σημείο αργότερα.

2.3.1 Εκτίμηση σφάλματος στη 1-διάσταση

Θεωρούμε το εξής ΠΣΤ (το οποίο είναι ελαφρώς πιο γενικό από το (2.7)): να βρεθεί η u(x)

τέτοια ώστε

(2.10) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) , (0, )

(0) ( ) 0

a x u x b x u x f x x I

u u

όπου a(x), b(x) L(I) , f(x) L2(I) δοθείσες συναρτήσεις και δοθείσα θετική σταθερά.

Υποθέτουμε ότι a(x), b(x) > 0 για όλα τα x[ 0, ]. Η μεταβολική μορφή του (2.10) είναι: να

βρεθεί η 1

0 ( )u H I τέτοια ώστε 1

0( , ) ( ) ( )B u w F w w H I , όπου

(2.11) 0 0

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )B u w a x u x w x b x u x w x dx F w f x w x dx .

Το διακριτό πρόβλημα είναι: να βρεθεί η 1

0( )Nu V H I τέτοια ώστε

22

1

0( , ) ( ) ( )NB u w F w w V H I .

Ο υπόχωρος VN είναι ο χώρος των κατά-τμήματα γραμμικών συναρτήσεων στο Ι και

1,...,N NV span , όπου φi οι συναρτήσεις στέγης (βλ. Ενότητα 2.2.1), οι οποίες

ορίζονται σε ένα πλέγμα του [0, ]I με Ν υποδιαστήματα 1[ , ], 0,..., 1i ix x i N , μήκους

1[ ]j j jh x x . Τότε

(2.12) 1N E Eu u C u I u

όπου Ι1u το κατά-τμήματα γραμμικό πολυώνυμο παρεμβολής της u στα κομβικά σημεία, δηλ.

1 ( ) ( ), 0,..., 1i iI u x u x i N .

Θα αποδείξουμε τα εξής σφάλματα παρεμβολής:

(2.13) 1( ) ( ) max ( )y I

u x I u x h u y

,

(2.14) 2

1( ) ( ) max ( )8 y I

hu x I u x u y

,

όπου 1max j

j Nh h

. Έστω

1

1 1 1

1

[ , ], ( ) , ( ) .j j

j j j j j

j j

x x x xx I x x x x

h h

Από το

Θεώρημα του Taylor έχουμε, για , 1,k j j

21( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2k k k ku x u x u x x x u x x

για κάποιο 1.k jI Πολλαπλασιάζουμε με φk(x) και αθροίζουμε για k = j, j + 1:

1 1 1 121

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

j j j j

k k k k k k k k

k j k j k j k j

x u x u x x u x x x x x u x x

.

Ισχύουν τα εξής (βλ. Άσκηση 2.5):

1 1 1

1( ) 1 , ( ) , ( ) ( ) ( )j j j

k k k k k

k j k j k j

x x x x x u x I u x

.

Επομένως, έχουμε

(2.15) 1

2

1

1( ) ( ) ( ) ( )( )

2

j

k k k

k j

u x I u x u x x x

και

1

2

1

1( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ( )( )

2

j

k k k k k

k j

u x I u x u x x x x x x

.

Τώρα, ( ) max ( )ky I

u u y

και 1 1

1 1( ) , ( )j j

j j

x xh h

, άρα

23

1

2 2

1 1 1 1

1

( ) ( )

1max ( ) ( )( ) 2 ( )( ) ( )( ) 2 ( )( )

2

1max ( ) 2 .

2

j j j j j j j jy I

j jy I

u x I u x

u y x x x x x x x x x x x x

u y x x x

Μια και 1

1

12

2 2 2

j j j

j j

x x hx x x x h

, έχουμε

1( ) ( ) max ( )y I

u x I u x h u y

και έτσι δείξαμε την (2.13).

Στη συνέχεια, έχουμε από την (2.15)

1

2 2

1

1( ) ( ) ( ) ( )( 2 )

2

j

k k k k

k j

u x I u x u x x x x x

,

που μας δίνει

1

2 2

1

1( ) ( ) max ( ) ( )

2

j

k ky I

k j

u x I u x u y x x x

.

Έστω 1

2 2( ) ( )j

k k

k j

E x x x x

. Τότε ( ) 0E x όταν *

2

j

j

hx x x και αφού

*( ) 2 0E x , η Ε(x) έχει μέγιστο στο *x με

2

*( )4

jhE x . Επομένως

2

1

1( ) ( ) max ( )

2 4y I

hu x I u x u y

και δείξαμε και την (2.14).

Επιστρέφοντας στη (2.12), βλέπουμε ότι

1 1 10,0,

1/2 1/2

2 2

1 1

1/2

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

max ( ) ( ) 1 max ( ) ( ) ( ) 1

N E E II

I I

y I y II I

u u C u I u C u I u u I u

C u x I u x dx u x I u x dx

C u y I u y dx u y I u y dx

1/2

*

1 1

2*

*

max ( ) ( ) max ( ) ( ) ( )

max ( ) max ( )8

max ( )

y I y I

y I y I

y I

C u y I u y u y I u y

hC u y h u y

C h u y

24

με *, 0C C σταθερές που δεν εξαρτώνται από την u ή το h. Η πιο πάνω εκτίμηση

σφάλματος λέει ότι αν max ( )y I

u y C

τότε το σφάλμα της ΜΠΣ (στη νόρμα ενέργειας)

τείνει στο 0 με ρυθμό O(h) καθώς το h 0. Υπό ποιες προυποθέσεις ισχύει

max ( )y I

u y C

; Στη 1-διάσταση είναι αρκετό να έχουμε 2( )u L I , το οποίο προκύπτει αν

2 ( )f L I . Για να το δούμε αυτό, παρατηρούμε ότι από την (2.11), με w = u, παίρνουμε

2 2

0 0

( )( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )a x u x b x u x dx f x u x dx .

Άρα

1/2 1/2

2 2 2 2 2

0 0 0 0

( )( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | | ( ) |E

u a x u x b x u x dx f x u x dx f x dx u x dx

που δίνει

0,E Iu C f

ή

0, 0, 0, 0,,

I I I Iu C f u C f .

Η διαφορική εξίσωση (2.10) γράφεται και ως

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

b x a x f xu x u x u x

a x a x a x

,

(ανακαλούμε ότι a(x) > 0) επομένως

*

0, 0, 0, 0, 0,I I I I Iu C u u f C f .

Δηλαδή, αν 2 ( )f L I τότε 2( )u L I (ή ισοδύναμα 2( )u H I ). Η πιο πάνω σχέση

καλείται εκτίμηση ελλειπτικής ομαλότητας (elliptic regularity estimate). Σε πιο πολλές

διαστάσεις δεν είναι εύκολα επιτεύξιμη.

2.3.2 Εκτίμηση σφάλματος στις 2-διαστάσεις

Έστω Ω = (0, 1)(0, 1) και θεωρούμε το ΠΣΤ της Ενότητας 2.2.2:

(2.16) στο

0 στο

u f

u

,

με 2( )f L δοθείσα συνάρτηση. Η μεταβολική μορφή είναι: να βρεθεί 1

0 ( )u H τέτοια

ώστε

25

(2.17) 1

0( , ) ( ) ( )B u w F w w H ,

όπου

( , ) ,

( ) ( , ) ( , ) .

u w u wB u w u wdxdy dxdy

x x y y

F w f x y w x y dxdy

Το διακριτό πρόβλημα είναι: να βρεθεί 1

0( )N Nu V H τέτοια ώστε

(2.18) 1

0( , ) ( ) ( )N NB u w F w w V H ,

με 1,...,N NV span (βλ. Ενότητα 2.2.2). Έχουμε το εξής αποτέλεσμα.

Θεώρημα 2.2: Έστω u η λύση του μεταβολικόυ προβλήματος (2.17) και N Nu V η λύση του

διακριτού προβλήματος (2.18). Αν 2 1

0( ) ( )u H H τότε

2,N Eu u Ch u

,

όπου C > 0 σταθερά ανεξάρτητη των u και h.

Απόδειξη: Από το Θεώρημα 2.1 (Ceá’s Lemma),

N NE Eu u C u w w V .

Επιλέγουμε w = Ι1u, το συνεχές, κατά-τμήματα γραμμικό πολυώνυμο παρεμβολής της u στα

κομβικά σημεία του πλέγματος, το οποίο δίδεται από

1 1

1

1 1

( , ) ( , ) ( , )N N

i j ij

i j

I u x y u x y x y

,

με φij(x, y) τη συνάρτηση πυραμίδας (βλ. Σχ. 2.7) που αντιστοιχεί στο (εσωτερικό) κομβικό

σημείο (xi, yj). Εξ’ορισμού, I1u(xk, yl) = u(xk, yl). Θεωρούμε

(2.18)

222

1 1 1

22

1 1

Eu I u u I u dxdy u I u dxdy

x y

u I u dxdy u I u dxdyx y

όπου αντιπροσωπεύει ένα τρίγωνο του πλέγματος, ας πούμε

1 1( , ) : ,i i j j ix y x x x y y y x x .

Ορίζουμε το λεγόμενο τρίγωνο/στοιχείο αναφοράς (reference triangle/element)

( , ) : 0 1, 0 1T s t s t s

26

και τη γραμμική απεικόνιση ( , ) ( , )x y s t από το στο T, ως

, 0 1,

, 0 1.

i

j

x x sh s

y y th t

Με ( , ) : ( , )u s t u x y έχουμε (από το κανόνα της αλυσίδας)

1,

1.

u u s u s u

x s x t x h s

u u s u s u

y s y t y h t

Η Ιακωβιανή της απεικόνισης είναι

2/ /( , )

./ /( , )

x s x tx yJ h

y s y ts t

Τώρα, παρατηρούμε ότι

2 2

1

21 1

0 0

21 1

0 0

( , ) (1 ) (0,0) (1,0) (0,1)

( , ) (1,0) (0,0)

( , ) ( ,0)

K

s

s

u I u dxdy u s t s t u su tu dsdtx s

u s t u u dsdts

uu s t d dsdt

s s

1

0

21 1 1 1

0 0 0 0

21 1 1 12 2

2

0 0 0 0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( ,0)

( , ) ( , )

s

s s t

u uu s t t d u t d dsdt

s s s s

u t d d u d d dsdts s t

1 11

2 21 1 1 1 1 1 1 12 2

2

0 0 0 0 0 0 0 0

2 22 2

2 22 2 2 2

2

2 ( , ) ( , )

2 ( , ) ( , )

j ji

i j j

s s

y yx

x y y

u t d d ds dt u t d d ds dts s t

u ux y h h dxdy x y h h dxdy

x x y

1

.i

i

x

x

Επομένως,

(2.19) 11

2 22 2 22

1 2

12 ( , ) ( , ) .

2

ji

i j

yx

x y

u uu I u dxdy h x y x y dxdy

x x x y

Με εντελώς ανάλογο τρόπο βρίσκουμε

(2.20) 11

2 22 2 22

1 2

12 ( , ) ( , ) .

2

ji

i j

yx

x y

u uu I u dxdy h x y x y dxdy

y y x y

Αντικαθιστώντας τις (2.19), (2.20) στην (2.18) παίρνουμε

27

2 2 22 2 2

2 2

1 2 24

E

u u uu I u h dxdy

x x y y

που δίνει

1 2,2

Eu I u h u

.

□

Πόρισμα 2.1: Κάτω από τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος 2.2,

0, 2,Nu u Ch u

.

Απόδειξη: Βλ. Άσκηση 2.6. □

Το πιο πάνω πόρισμα μας λέει ότι το σφάλμα στην L2 νόρμα είναι της τάξης O(h), όπως αυτό

στη νόρμα ενέργειας (και στην H1 νόρμα). Αριθμητικά αποτελέσματα, όμως, εισηγούνται

ότι αυτό μπορεί να βελτιωθεί, δηλ. η σύγκλιση της μεθόδου (στην L2 νόρμα) είναι

γρηγορότερη από O(h). Θα δείξουμε στη συνέχεια ότι το σφάλμα στην L2 νόρμα είναι της

τάξης O(h2), χρησιμοποιώντας το λεγόμενο δυικό επιχείρημα των Aubin-Nitsche (Aubin-

Nitsche duality argument). Έστω 2 1

0( ) ( )w H H , με Ω = (0,1)×(0,1). Τότε

2 2 22 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 20,2

I

w w w w w ww dxdy dxdy dxdy dxdy

x y x x y y

.

Λόγω του ότι w = 0 στο Ω, ολοκληρώνοντας κατά μέρη (στο δεύτερο ολοκλήρωμα)

παίρνουμε

22 2 2 2 2

2 2

w w w w wdxdy dxdy dxdy

x y x y x y x y

,

επομένως 2 2 2

2 2 22 2

2 20, 2,2

w w ww dxdy u

x x y y

.

Τώρα, με g L2(Ω) δοθείσα συνάρτηση, έστω 1

0 ( )gw H η ασθενής λύση του ΠΣΤ

(2.21) στο

0 στο

g

g

w g

w

.

Τότε, 2 1

0( ) ( )gw H H και

(2.22) 2 2 2

0,2, 0,g gw w g

.

Μετά από αυτή τη προετοιμασία, είμαστε έτοιμοι να αποδείξουμε ότι το σφάλμα στην L2

νόρμα είναι της τάξης O(h2). Η ανισότητα Cauchy-Schwarz δίνει

28

2

0, 0,, ( ).N Nu u g u u g g L

Άρα

(2.23)

20,

( )0,

,sup .

N

Ng L

u u gu u

g

Για g L2(Ω), η συνάρτηση 1

0 ( )gw H είναι η λύση του μεταβολικού προβλήματος

(2.24) 1

0( , ) ( ) ( )gB w w F w w H ,

όπου

( , ) , ( ) ( , ) ( , ) , .g g

g

w ww wB w w dxdy F w g x y w x y dxdy g w

x x y y

Το διακριτό πρόβλημα για το (2.24) είναι: να βρεθεί N

g Nw V , τέτοια ώστε

( , ) ( )N

g NB w w F w w V .

Ισχύει (όπως έχουμε δείξει)

2,

N

g Ew w Ch w

,

άρα, από την (2.22),

(2.25) 0,

N

g Ew w Ch g

.

Τώρα,

, , ( ) ( , ) ( , )N N N g N N gu u g g u u F u u B w u u B u u w .

Επίσης, μια και N

g Nw V ισχύει

( , ) 0N

N gB u u w

και έτσι

2

2, 0,

, ( , ) ( , )

( , )

N

N N g N g

N

N g g

N

N g gE E

u u g B u u w B u u w

B u u w w

C u u w w

Ch u g

όπου χρησιμοποιήσαμε την εξ. (2.25) και το Πόρισμα 2.1. Αντικαθιστώντας στην (2.23)

έχουμε

2

2, 0, 2

0, 2,

0, 0,

,N

N

Ch u gu u gu u Ch u

g g

που δείχνει ότι το σφάλμα στην L2 νόρμα είναι της τάξης O(h2).

29

Ασκήσεις:

2.1 Έστω ο χώρος πεπερασμένης διάστασης Vh ο οποίος ορίζεται ως

Vh = { 0([0,1]) :w C w είναι κατά-τμήματα γραμμικό πολυώνυμο στο [0, 1] και w(0)=w(1)=0}.

Να δείξετε ότι {φ1, φ2,…, φm} αποτελούν βάση για τον Vh, όπου φi(x) οι συναρτήσεις στέγης

οι οποίες ορίζονται σε ένα ομοιόμορφο πλέγμα του [0, 1] με m+1 ίσα υποδιαστήματα.

2.2 Με I = [a, b], ορίζουμε το χώρο

P3(I) = {w : 2 3

0 1 2 3( ) ,w x a a x a x a x x I όπου ia },

δηλ. κάθε συνάρτηση w P3(I) είναι πολυώνυμο βαθμού 3 στο Ι. Να δείξετε ότι κάθε

συνάρτηση 3( )w P I προσδιορίζεται από τις τιμές w(a), ( )w a , w(b) και ( )w b . (Δηλαδή,

αν γνωρίζουμε αυτές τις τέσσερεις τιμές για μια συνάρτηση w(x) P3(I) τότε μπορούμε να

την προσδιορίσουμε.) Να βρείτε, επίσης, τις αντίστοιχες συναρτήσεις βάσεως για το χώρο

αυτό. (Για παράδειγμα, η συνάρτηση βάσεως που αντιστοιχεί στη τιμή w(a) είναι το

πολυώνυμο 3ου βαθμού για το οποίο ισχύουν ( ) 1, ( ) 0, ( ) ( ) 0w a w a w b w b .)

2.3 Έστω 1

( )m

i ix

οι συναρτήσεις στέγης που ορίζονται σε ένα ομοιόμορφο πλέγμα του

[0, 1], μήκους h = 1/(m+1). Να δείξετε ότι ο πίνακας Α(2) του οποίου τα στοιχεία ορίζονται

ως

1

(2)

,

0

( ) ( )i j i jx x dx ,

δίδεται από

(2)

2 / 3 1/ 6

1/ 6 2 / 3

1/ 6

1/ 6 2 / 3

h

.

2.4 Θεωρούμε το εξής Π.Σ.Τ.:

( ) 4 ( ) 12 , (0,1)

(0) (1) 0

u x u x x I

u u

30

(α) Να βρεθεί η ακριβής λύση, uex(x), του πιο πάνω προβλήματος (με το ‘χέρι’ ή με τη

ΜAPLE), όπως επίσης και το αντίστοιχο μεταβολικό πρόβλημα.

(β) Χρησιμοποιώντας ένα ομοιόμορφο πλέγμα με m+1 υποδιαστήματα, να βρείτε τη

προσεγγιστική λύση του μεταβολικού προβλήματος με τη ΜΠΣ, για τις τιμές m = 4, 8, 16,

όταν οι συναρτήσεις βάσεως είναι οι συναρτήσεις στέγης. Να κατασκευάσετε τη γραφική

παράσταση των uex(x) και uh(x) στους ίδιους άξονες – μια για κάθε τιμή του m. (Εισήγηση:

γράψτε ένα m-file για αυτό.)

(γ) Τι είναι το σφάλμα eh(x) = | uex(x) - uh(x) | στα κομβικά σημεία? Να κατασκευάσετε τη

γραφική παράσταση του σφάλματος – μια για κάθε τιμή του m. (Εισήγηση: μπορείτε να

χρησιμοποιήσετε το m-file σας για αυτό, αν γραφτεί κατάλληλα.)

(δ) Πάρτε τώρα διάφορες τιμές του m (π.χ. m = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 124) και λύστε το

πρόβλημα, σημειώνοντας κάθε φορά το μέγιστο σφάλμα max ( ).j

h jx

e x (Αυτό μπορεί να γίνει

αυτόματα μέσω του m-file σας). Στη συνέχεια, να κάνετε τη λογαριθμική γραφική

παράσταση του σφάλματος έναντι του m και να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας που θα

πάρετε. Τι είναι αυτή η κλίση; Εξηγείστε.

2.5 Θεωρούμε το εξής Π.Σ.Τ.: Με f(x) συνεχή συνάρτηση, να βρεθεί η u έτσι ώστε

4

4( ), (0,1)

(0) (0) (1) (1) 0

d uf x x I

dx

u u u u

Το πιο πάνω πρόβλημα παίρνει την εξής μεταβολική μορφή: Να βρεθεί η 2

0 ( )u H I έτσι

ώστε

2

0, , ( ),u v f v v H I

όπου

1

2 2

0

0

, : ( ) ( ) , ( ) : , , (0,1) (0) (0) (1) (1) .u v u x v x dx u v H I w w w w L w w w w

31

(α) Με τη βοήθεια της Άσκησης 2.2, να κατασκευάσετε ένα πεπερασμένης διάστασης

υπόχωρο hW του W ο οποίος αποτελείται από κατά τμήματα πολυώνυμα 3ου βαθμού.

Ξεκινάτε χωρίζοντας το διάστημα Ι = (0, 1) σε m + 1 ίσα υποδιαστήματα 1[ , ]j j jI x x ,

j = 1, …, m, μήκους h = 1/(m+1) (άρα jx jh ). Ο χώρος hW ορίζεται ως

3: , 1,..., και (0) (0) (1) (1) 0j

h jIW w w P I j m w w w w ,

όπου P3(I) = {w : 2 3

0 1 2 3( ) ,w x a a x a x a x x I όπου ia }. Στόχος σας είναι να

βρείτε τις συναρτήσεις βάσεως για τον πιο πάνω χώρο. Πρώτα θα πρέπει να καθορίσετε

κατάλληλες παραμέτρους που περιγράφουν τις συναρτήσεις του hW – για παράδειγμα, για το

2ης τάξης πρόβλημα που είδαμε αρχικά, είχαμε 1

0 10,1 ,...,h mH V span όπου j οι

συναρτήσεις στέγης οι οποίες περιγράφονται από την τιμή τους στα κομβικά σημεία. Για τις

συναρτήσεις βάσης του hW , θα χρειαστεί και δεύτερη τιμή. Να κάνετε, επίσης τη γραφική

παράσταση των συναρτήσεων βάσης.

(Υπόδειξη: Ποιες τιμές χρειαστήκατε για τον καθορισμό των συναρτήσεων βάσης του Ρ3;)

(β) Να διατυπώσετε τη Μ.Π.Σ. για το πιο πάνω Π.Σ.Τ. χρησιμοποιώντας τον υπόχωρο hW

και να βρείτε το σχετικό γραμμικό σύστημα εξισώσεων στη περίπτωση ομοιόμορφου

πλέγματος με m υποδιαστήματα.

(γ) Έστω ότι το πλέγμα είναι ομοιόμορφο, και f(x) = 1. Αφού βρείτε την ακριβή λύση και

την νόρμα ενέργειάς της, να γράψετε ένα MATLAB m-file, το οποίο να παίρνει σαν

δεδομένο εισόδου το m (δηλ. h = 1/(m + 1)) και να δίνει σαν δεδομένο εξόδου την νόρμα

ενέργειας (στο τετράγωνο) της προσεγγιστικής λύσης του πιο πάνω διακριτού προβλήματος,

όπως επίσης και τη γραφική παράσταση της ακριβούς λύσης και της προσεγγιστικής λύσης

στους ίδιους άξονες. Να τρέξετε το m-file σας για τις τιμές 2 , 1,2,...,7jm j και κάθε

φορά να υπολογίζετε το τοις εκατό σχετικό σφάλμα 100 /h E Eu u u . Στη συνέχεια, να

κάνετε τη γραφική παράσταση του (τοις εκατό σχετικού) σφάλματος έναντι του m σε

λογαριθμικούς άξονες (η εντολή στη MATLAB είναι loglog). Τι είναι η κλίση της ευθείας

που πήρατε; Εξηγείστε.

32

2.6 Θεωρούμε το διάστημα Ι = [0, 1] το οποίο διαμερίζουμε σε m + 1 υποδιαστήματα

1( , )j j jI x x μήκους 1, 1,..., 1j j jh x x j m . Έστω Vh ο (γραμμικός) χώρος όλων των

κατά τμήματα πολυωνύμων 1ου βαθμού τα οποία είναι συνεχή στο Ι και έστω 1

( )m

j jx

οι

συναρτήσεις στέγης οι οποίες αποτελούν μια βάση για τον Vh. Για κάθε συνεχή συνάρτηση

u, συμβολίζουμε το κατά τμήματα γραμμικό πολυώνυμο που παρεμβάλλει την u στα κομβικά

σημεία 1

0

m

j jx

, με hu (δηλ. ( ) ( ), 0,..., 1j h ju x u x j m ). Να δειχτούν τα εξής:

(α) 1

( ) ( ) ( )m

i i h

i

x u x u x

(β)

1

( )m

i i

i

x x x

(γ)

1

( ) 1m

i

i

x

(Υπόδειξη: Το πολυώνυμο παρεμβολής είναι μοναδικό.)

2.7 Να αποδείξετε το Πόρισμα 2.1.

2.8 Να τροποποιήσετε το MATLAB m-file fem2Dunif.m (της Ενότητας 2.2) έτσι ώστε, αντί

για την γραφική παράσταση της προσεγγιστικής λύσης FEu για την εξίσωση Poisson, να

δίνει σαν δεδομένο εξόδου την νόρμα ενέργειας (στο τετράγωνο) της FEu . Στη συνέχεια, να

τρέξετε το m-file για n = 4, 8, 16, …, 256 και να καταχωρήσετε τα αποτελέσματα σε ένα

διάνυσμα. Έπειτα να βρείτε το τοις εκατό σφάλμα στη νόρμα ενέργειας (για όλα τα n),

χρησιμοποιώντας σαν 2

0.035144253875457EXACT Eu , και να κάνετε την γραφική

παράσταση του τοις εκατό σφάλματος έναντι του n σε λογαριθμική κλίμακα. Τι είναι η

κλίση της ευθείας που παίρνετε και τι αντιπροσωπεύει;