ΓJiJ I� [Ρ) � @ ,{Ά U � Cc» [F'�� i(@

ιΆ'\'Ί'�[��(Q)

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Προσεyyίσεις Τάσεων-Ρευμάτων και ... Προβλημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

/\..;:·:c>λ·�--:.:.ς ::::�· �:; · · . .!.· �-::1::::ς (θεωρητηζές επισημάνσεις r::.�� λu}..ίΖvες ασrα:σε:ς) . . . . . 12

Γεωμετρία Α' Λυκείου .................................................................................... 20

Μετρικές Σχέσε1ς . . . . . ... .... ........... ....... . . . ...... . . . . . . . .. .... . . . . ....... . ...... . . . . .. . ..... ..... . . . . 24

ΥπάρχεΙ . . . . . . . . ........... . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . ..... . . . . . . . . . ... � Οι γεωμετρΙκοί τόποι του επιπέδου με διανυσματικές ιδιότητες . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .... � Τ ο βήμα του Ευκλείδη . . ............... . . ... . . . .. . . . . . . . . . ...... . ... . ....... . ... . . .... . ... . . .. . . ......... 46

Μaθ;ψα:ικ€ς Ολuμπ:άδες (12n Β.Μ.Ο.) ................. ...................................... 52

'Ενc. ::pόSλ;:)c., '::cλλές λύσε: ς . . . . .... . . . . . . .... .. .... . . . . .. . . . . . . . . .. . . .. .... . . ..... . . . ... . . . . . .... 54

Στις cσκriσεις λέμε ΝΑΙ! . . . . .. . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... . . . . . . . . . . . . 60

Έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Γραμματεία Σύνταξης: Παπαδόπουλος Νίκος, Τυρλής Γιάννης

Συντακτική Επιτροπή: Βακαλόπουλος Κώστας, Βισκαδουράκης Βασίλης, Γ εωpγακόπουλος Κώστας, Γ ράψaς Κώστας, Δαμιανός Πέτρος, Καμπούκος Γιώργος, Καρακατσάνης Βασίλης Κατσούλης Γιώργος, Κηπουρός Χρήστος, Κοντογιάvvης Δημήτρης, Κοτσιφάκης Γιώργος, Κυριακόπουλος Θανάσης, Λαμπρόποuλος Τ άσος, Μαλαφέκας Θανάσης, Μώκος Χρήστος, Σα'ίΊ:ηΕύα, Τ ουρλάς Λεωνίδας, Τσικαλουδάκης Γιώργος,

Υπεύθυνοι Έκδοσης: Παπαδόπουλος Νίκος, Τσαπαρλής Ιωάννης Επιμέλεια Έκδοσης: Μαραyκάκnς Σ.

Συνεργάστηκαν: Νφίzος Δημήτρης, Φωτιάδης Γρηγόρης, Τσαπακίδης Γ., Αγριόγηδος Κώστας, Τσάμης Γιώργος, Μπρέγιavvης Π., Ράπ­πος Σ., Τάκος Γ.

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Πανεπιστημίου 34-106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ.: 36 17 784-3616 532 Fax: 36 41 025 Εκδότης: Ν. Αλεξανδρής Διεuθuντής:Κ.Σάλaρης

ISSN: 1105-8005 ΣΥΝΔΡΟΜΕΣ: Τεvχος: Ετήσια σ\Jνδρομή: Ορyανισμοί: Ταχ. Επιταyές

350δρχ. 1.600 δρχ. 3.000 δρχ.

Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54, Τ.θ. 30044 Στοιχειοθεσία - Σελιδοnοίnσn Ε λ λ η ν ι κή Μ αθη μ αΙJκή Ετα ι ρ ε ί α

11 Τα προβλήματα με Μαθηματικά ή Τα Μαθηματικά με Προβλήματα

tl· !ι 13 Η σωστή σκέψη απλοποιεί αυτά που φαίνονται δύσκολα.

'

, ·� . •

�

Ef.J Οι Βαλκανιονί­κες μας

μεταφέρουν την εμπειρία τους.

Η στήλη της Αλληλογραφίας από το επόμενο τεύχος

' '

Εκrύπωσn: ΙΝΤΕΡΠΡΕΣ Α. Ε., Ιερά οδός 81-83

Υπευθ. Τυ πογραφείου: Ν. Αδάκωί\ος -τηλ. �4 74 654

Αν κρίνει κανείς; από τις; δημοσιεύσεις; στα περιοδικό της; Ε. Μ. Ε. (κυρίως; στον Ευκλείδη Γ') και τις; ανακοινώσεις; στα Πανελλήνια Συνέδρια Μαθηματικής; Παιδείας; των τελευταίων χρόνων, θα μπορούσε να ισχυριστεί ότι οι όροι «Problem Solνiηg», «Problem Posiηg>> και «Mathematical modeliηg», έχουν μπει για τα καλά στο φάσμα των προβληματισμών και των ενδιαφερόντων της; Ελληνικής; Μαθηματικής; κοινότητας;. Πώς; θα μπορούσε άλλωστε να μη συμβεί αυτό, αφού στο ση­μερινό κόσμο σκέψεις;, ιδέες;, προτάσεις;, θέσεις; σε θέματα κοινού ενδιαφέροντος; μεταδίδονται πα­γκόσμια με την ταχύτητα που χαρακτηρίzει την εποχή μας;;

Κάποιες; καθυστερήσεις; Βέβαια που παρατηρούνται, δεν οφείλονται σίγουρα στην έλλειψη ενη­μέρωσης;, (ή τουλόχιστον στην έλλειψη δυνατότητας;, για ενημέρωση), αλλά στη γνωστή «αδραvειακιί vστέρnσn και εοιφvλακτικότnτα».

Άποψη του υπογρόφοντος; είναι ότι και αυτή η φάση έχει πλέον ξεπεραστεί από tn συντριπτική πλειοψηφία των καθηγητών Μαθηματικών στη Μ.Ε., οι οποίοι Βλέπουν θετικά τα (πιο) νέα ρεύματα στο χώρο της; Μαθηματικής; Παιδείας; και Εκπαίδευσης;, προβληματίzονται όμως; στο πώς; και με τι είδους; υλικό θα περόσουν στη δουλειά τους; τις; νέες; ιδέες-διαδικασίες; (Problem Solνiηg-Posiηg, mathematical modeliηg). Το εγχείρημα σίγουρα δεν είναι απλό και η επιφυλακτικότητα δικαιολο­γημένη. Υπάρχουν κίνδυνοι aπογοήτευσης; των μαθητών μας;.

Έτσι, με τη συλλογή των παρακάτω διεξοδικά δουλευμένων· (νομίzω) προβλημάτων, επιχειρεfrαι μια προσέyyιση στο πνεύμα των νέων τόσεων στα σχολικό Μαθηματικά και κυρίως; αυτών του Problem Solνiηg και του mathematical modeliηg (μιας; και οι δύο αυτές; διαδικασίες; πολλές; φορές; συνυπάρχουν και τα μεταξύ τους; σύνορα δεν είναι πόντα ορατό).

ΕΥΚΑΕΙΔΗJ: Β' κβ. τ. 1/3

-------- Προσεyyiσεις τάσεων- ρευμάτων και ••• οροβλapάτων --------

Ο υπογράφων πιστεύει ότι είναι καιρός aπό τα λόγια και τη θεωρία να περάσουμε στην πράξη, γιατί aυτή είναι ο τελικός στόχος, αλλά και ο πιο aντικειμενικός κρπής-οδηγός για όσο γίνεraι σω­στότερες προσεγγίσεις.

Ο «Ευκλείδης Β'» ίσως θα έπρεπε πιο συστηματικά να μεριμνεί, ώστε να διaχέεraι. το «vέο ovεvpa» στο σύνολο του περιεχομένου του, αλλά αν aυτό (για διάφορους λόγους aντικειμενικούς και μη) δεν είναι εύκολο, έστω και μια μικρή, μόνιμη (ή σχεδόν μόνιμη ) στήλη, θα εξυπηρεrούσε σημαντικά το zητούμενο.

Ο Av κάβε σαpείο το" εαιαέδο" zpωpατιστεί pε έvα ααό τα τρία zρώpατα Α. Β, r, υαάρzο"v δ.Jο το"λιb:ιι­στοv σapεία του ίδιο" zρώpατος και pε αaόστασα pεταξ.J το"ς 1 cιa;

AvάAvon - Λvon

Προβλήματα όπως aυτό επιδέχονται γενικά λύσεις «κατασκευαστικές», θα μπορούσαμε να πού­με. Δημιουργούμε ένα σύμπλεγμα σημείων aρχικά, με μεraξύ τους aποστάσεις 1 και συμπληρώνο­ντας κατάλληλα το σύμπλεγμα aυτό, προσπαθούμε να καταλήξουμε σε μια κατάσταση, όπου ο­ποιαδήποτε επιλογή να μας δίνει aπάντηση στο ερώτημά μας.

Για την περίπτωσή μας λοιπόν, θεωρούμε έva ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1 και το σuμμεrρικό του ως προς μια πλευρά.

Έστω ότι οι κορυφές του τριγώνου είναι χρωματισμένες με διaφορεrικά χρώματα Α, Β, Γ (αλλιώς θα είχαμε τελειώσει). Η τρίτη κορυφή του σuμμεrρικού πάλι πρέπει να είναι Α όπως στο σχήμα (αλλιώς πάλι θα είχαμε τελειώσει). Στρέφουμε τώρα το ρόμβο που δημιουργήθηκε προς τα aριστερά με κέντρο στροφής την κορυφή (4), ώστε η κορυφή (1) να έλθει σε μια νέα θέση (5) και η aπόστασή της aπό την aρχική θέση να είναι ίση με 1.

Α (1)

(5)� "";·1 .. (7) Β � Γ

/ '· , I .• (4) Λ

(3)

Αν οι κορυφές (6) ή (7) χρωματιστούν με χρώμα Α, τότε τα σημεία (4) και (6) ή (4) και (7) θα a­πέχουν aπόσταση 1 και θα είναι ίδιου χρώματος Α, οπότε έχουμε τελειώσει. Αν πάλι στα (6), (7) έ­χουμε τα χρώματα Β, Γ ή Γ, Β aντίστοιχα, τότε αν η κορυφή (5) είναι Β ή Γ πάλι έχουμε τελειώσει. Αλλά και Α να είναι η κορυφή (5), πάλι θα aπέχει aπό την (1) aπόσταση ίση με 1 aπό την κατα­σκευή που κάναμε. Έτσι ό,τι χρώμα και αν είναι το σημείο (5), θα έχουμε δύο σημεία ίδιου χρώμα­τος και με μεraξύ τους aπόσταση ίση με 1 . (Προφανώς στη θέση της aπόστασης 1 μπορούμε να έχουμε οποιαδήποτε aπόσταση d και το πρό­Βλημα δεν aλλάzει σε τίποτα) .

• Οι ε"βείες (ε •• &2, • • •• ειοο> είναι διαφορεuκές pετα�.J το"S· Αα'αιιτές οι ε4, ει. ειz. και yεvικά ε4a είvαι ααράλλιιλες pεταξ.J το"ς. Οι ε"βείες ε1, ε5, ε9, και yεvικά ε4._1 διέρzοvιαι ααό έvα σταθερό σapείο Α. Ποιος είvαι ο pέyιστος αριβpός σαpείωv τοpάς τωv ε"βειώv ε1, ε2, ε1, • . • , ε100;

AvάAvon - Λvon (1°)

Οι παράλληλες ευθείες (ομάδα α') είναι τόσες, όσο τα πολλαπλάσια του 4 aπό το 4 ως το 100

ΕΥΚΛΕΙΔΗ:Ε Β' κθ. τ. 1/4

-------- Πpοσεyyίσεις τάσεων- ρευμάτων και ... οpοβλapάτων --------δηλαδή 25. Επίσης οι διερχόμενες από το Α (ομόδα Β') είναι και αυτές 25 αφού έχουμε

1 =ι:; 4η - 3 =ι:; 100 .<=> 4 =ι:; 4η =ι:; 103 <=> �=ι:; η =ι:; 1�3 <=> 1 =ι:; η =ι:; 25 (αφού η θετικός ακέραιος)

Έτσι οι υπόλοιπες, για τις οποίες δεν έχουμε καμία πληροφορία, (ομόδα γ) είναι 50. Φυσικό για να έχουμε όσο γίνεται μεγαλύτερο αριθμό σημείων τομής με τα δεδομένα του προβλήματος, θα πρέπει να μην υπόρχει τριόδα ευθειών που να διέρχεται από το ίδιο σημείο. Εκτός του Α δηλαδή, κόθε όλλο σημείο τομής πρέπει να είναι κοινό μόνο σε δύο ευθείες. Τότε όμως θα έχουμε: 25· 25 = 625 σημεία τομής των ευθειών της ομόδας Β' με τις ευθείες της ομόδας α', 5(). 25 = 1250 κοινό σημεία των ευθειών της ομόδας γ μ'αυτές της α', όλλα 50.25 = 1250 κοινό σημεία των ευ-θειών της ομόδας γ μ' αυτές της Β', ακόμα 5�49 = 1225 σημεία τομής των ευθειών της ομόδας γ

μεταξύ τους και τέλος ένα σημείο τομής το Α. Συνολικό λοιπόν θα έχουμε το πολύ: 625 + 1250 + 1250 + 1225 + 1 = 4351 σημεία τομής.

ΑvάΑ"σn - Λvσn (2°)

Οι 100 ευθείες στο επίπεδο αν τέμνονται όλες ανό δύο χωρίς να διέρχονται ανό τρεις από το ί­διο σημείο, ορfzουν 10�99 = 4950 σημεία τομής, που είναι και ο μέγιστος αριθμός κοινών σημεί-

ων. Όμως στην περίmωσή μας χόνουμε τα σημεία τομής των 25 παραλλήλων mς α' ομόδας (που

είναι 2�24 = 300) και τα σημεία τομής των ευθειών της Β' ομόδας (εκτός από έvα - το Α), που εί-

ναι πόλι 25�24 - 1 = 299. Συνολικό λοιπόν χόνονται 300 + 299 = 599 σημεία τομής. Άρα απομένουν 4950 - 599 = 4351 το πολύ κοινό σημεία.

ο 'Ezoupε na τετpάyωνο εp8aδo\i ι. Ποιο είναι το pέyιστο εp8αδό D0\1 paopεf να ύει Πα τρήωvο εντός το" τετpαyιdνο\1;

Δ Λ Γ

Αν το τρίγωνο έχει δύο πλευρές του πόνω στις πλευρές του τετραγώνου, τότε το μέγιστο εμβαδό θα το έχει, όταν οι κορυφές του ταυτίzονται με τρεις κορυφές του τετραγώνου (θέση ΑΒΓ) και είναι

1 ίσο με2.

Αν πόλι μία πλευρό του τριγώνου Βρίσκεται πόνω σε μία πλευρό του τετραγώνου, το εμβαδό θα γίνει μέγιστο όταν το ύψος γίνει μέγιστο, πρόγμα που συμβαίνει όταν η απέναντι κορυφή Βρίσκεται στην απέναντι πλευρό του τετραγώνου. Οπότε αν είναι και η πλευρό μέγιστη (= 1) (θέση ΓΔΖ)-, θα έχουμε εμβαδό πόλι ίσο με! · 1·1 =!

ΕΥΚΛΕΙΔΗJ; Β' κβ. τ. 1/5

Τέλος αν οι τρεις κορυφές του τριγώνου βρίσκονται σε τρεις διαφορετικές πλευρές του τετραγώνου (θέση ΚΛΜ), φέρνουμε από μια κορυφή (έστω την Μ) ευθεία παράλληλη στην ΑΒ, που τέμνει την ΚΛ στο Ρ. Τότε όμως έχουμε:

(ΚΛΜ) = (ΚΜΡ) + (ΛΜΡ) =! ΜΡ· ΒΕ +! ΜΡ· ΓΕ =! ΜΡ(ΒΕ + ΓΕ) = 1 1 1 1 1 '2ΜΡ·1 = 2 :ΜΡ <2:ΜΕ=2 · 1 = 2·

Άρα στην τελευταί� περίmωση έχουμε (ΚΛΜ) < �· 'Ετσι τελικό το μέγιστο εμβαδόν τριγώνου,

που βρίσκεται μέσα στο τετρόγωνο, θα είναι ίσο με � · Θ Μiσσ σe ivσ κοm \IDάρ•o\lv:

Μfσ 6\lo

τρeιs .τισσeρι.s . . . .

σφσfρσ σapσ8qιiva σφσfρes σapσ8qιives σφσfρeς σapσ8epives σφσfρes. σapσ�e� . . . . . .

pe τοv σριβpό ι, pe τοv σριβpό 2, pe τοv σριβpό 3, p� τοv σριβpό 4,

και τdικά aevάvτσ σφσfρes σapσ8epives pe τοv σριβpό 50. Ποιος efvσι ο dάιυστοs σριβpός σφσιρώv •ο" aρiaeι vσ τρσβάCο\Ιpe τ\Ι•σfσ σαό το ιιοm yισ vσ efpσστe crfyo\lρoι ότι βσ \Ιαάρ•ο\ΙV δiιισ σφσfρes σapσ8epives pe τοv f8ιο σριβpό; (Πανελλήνιος διαγωνισμός «ΕΥΚΛΕIΔΗΣ» mς Ε.Μ.Ε. 19-2-94)

ΑνάΑ.,σa - Λvσa Τραβόμε τυχαία μία σφαίρα από το κουτί, μετό κι άλλη - κι άλλη κ.τ.?ι. Αν αυτές τις σφαίρες τις

τοποθετήσουμε όλες σε ένα άλλο κουτί, τότε καμία ένδειξη για το πώς μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα δε διαφαίνεται. Αν όμως χρησιμοποιήσουμε πενήντα κουτιό αριθμημένα από το 1 έως το 50 και κόθε σφαίρα που τρaβόμε την τοποθετούμε ανό?ιογα με τον αριθμό που φέρει στο αντίστοι­χο κουτί, τότε τα πρόyματα αλλόzουν ολοκληρωτικό.

Ένα σκπσόκι θα μας Βοηθήσει. Έστω λοιπόν ότι έχουμε τα κουτιό:

ι ____ J ι _ _ ι ι_ _J 1 2 3

ι _ 1 ι 9 10

I _____ ___j 50

Είναι σίγουρο ότι στα κουτιό από 1 μέχρι και 9 αποκλείεται να Βρεθούν 10 σφαίρες, ακόμα και αν τραβήξουμε (στην «χειρότερη» περίmωση) κατό σειρό όλες τις σφαίρες με νούμερα από 1 μέχρι 9, που είναι 1 + 2 + 3 + .. · + 9 = 45.

Έτσι συνεχίzοντας να τραβόμε σφαίρες που θα έχουν νούμερα από 10 μέχρι 50 και τοποθετώ­ντας τις στα 41 αντίστοιχα κουτιό, στη «χειρότερη» περίmωση θα τραβόμε σφαίρες μέχρι να τοπο­θετηθούν σε κόθε κουτί 9 σφαίρες, όρο θα τραβήξουμε 41·9 = 369 σφαίρες. Η αμέσως επόμενη, ό,τι νούμερο και να έχει (από το 10 μέχρι το 50) θα τοποθετηθεί σε ένα κουτί που έχει ήδη 9 σφαί-

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' κθ. τ. 1/6

-------- Προοεyyfοεις τάσεων- ρευμάτων και ••• οροβλιι.άτων --------

ρες, άρα μ'αυτήν θα έχει 10. Για να είμαστε λοmόν σίγουροι ότι θα έχουμε τραβήξει σίγουρα 10 σφαίρες με τον ίδιο αριθμό,

θα πρέπει να τραβήξουμε συνολικά τουλάχιστον 45 + 369 + 1 = 415 σφαίρες. 0 Εννέα καρέκΑeς σε ε118εία yρappά aρόκειται να καταlιιιφβο'ύv αaό pαβaτές και αaό τρεις καβayιιτές Α,

Β, r. Οι καβayιιτές φ8άvο11v aριv αaό το11ς pαβaτές και αaοφασίzο11v vα εaιΑέ�ο11v uς καρέκΑeς το11ς έ· τσι, ώστε κάβε καβayιιτάς vα άει αpέσως αριστερά και δε�ά το11 pαβaτά. Κατά aόσο11ς διαφορεuκο'ύς τρόaο11ς paoρo'ύv οι καβayιιτές Α, Β, r vα διαΑέ�ο11v uς καρέκΑeς το11ς; (Πρόβλημα 8 an6 τον Παvελλήvtο Δια-

γωvtσμ6 ccΕΥΚΛΕΙΔΗΣ)) mς Ε.Μ.Ε. 19-2-94) Αvάλ"σa - Λvσa

Είναι φανερό ότι δεν μπορεί κάθε καθηγητής να καθίσει αυθαίρετα όπου θέλει. Για παράδειγμα δεν μπορεί να καθίσει κανείς καθηγητής στις δύο ακραίες θέσεις. Επίσης δεν μπορεί να μείνουν τέσσερις συνεχόμενες θέσεις από αριστερά ή δεξιά μόνο για μαθητές, γιατί στις ύπόλοιπες πέντε θέσεις θα πρέπει να καθίσουν 3 καθηγητές και δύο μαθητές, οπότε αν οι δύο μαθητές διαχωρfzουν τους καθηγητές, θα πρέπει ένας καθηγητής να καθίσει σε ακραία θέση, πράγμα άτοπο.

Αυτές είναι οι Βασικές περιοριστικές αρχές. Για μια «χειροπιαστή» τώρα διαπραγμάτευση του προβλήματος, ένας κατάλληλος συμβολισμός είναι όχι μόνο αναγκαίος αλλά και ικανός να μας ο­δηγήσει στη λύση. Συμβολίzουμε λοιπόν με Ο τις θέσεις που θα καθίσουν οι μαθηί:ές και με 1 τις θέσεις των καθηγητών. Οπότε το zητούμενο πλήθος τρόπων που μπορούν να καθίσουν μαθητές και καθηγητές, θα είναι το πλήθος των διατεταγμένων 9-άδων με ψηφία Ο και 1 , που θα ικανοποιούν τις Βασικές περιοριστικές συνθήκες. Έτσι αν οι θέσεις είναι οι: {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), τότε ο πρώ­τος από αριστερά μπορεί να καταλάβει τις θέσεις 2, 3 ή 4, οπότε έχουμε τις εξής 9-άδες:

(0,1,0,1,0,1 ,0,0,0) (0,1,0,0,0,1,0,1,0) (0,1,0,1,0,0,1,0,0) (0,0,1,0,1,0,1,0,0) (0,1,0,1,0,0,0,1,0) (0,0,1,0,1,0,0,1,0) (0,1,0,0,1,0,1 ,0,0) (0,0,1,0,0,1,0,1 ,0) (0,1 ,0,0,1,0,0,1,0) (0,0,0,1,0,1,0,1 ,0)

Επειδή τώρα μπορεί οι Α, Β, Γ να καθίσουν στις θέσεις που σημειώνονται με 1 κατά οποιαδήπο­τε διάταξη και επειδή οι διατάξεις των τριών καθηγητών είναι 3! = 6 δηλαδή οι: (Α,Β,Γ), (Α,Γ,Β), (Β,Α,Γ), {Γ,Α,Β), (Β,Γ,Α), (Γ,Β,Α), τελικά οι καθηγητές μπορούν να επιλέξουν τις θέσεις τους κατά εξήντα (10.6) διαφορετικούς τρόπους.

Φ Υaάρ:ιιει φ11σικός αρι .. ός ao11 ο κ'ύlος το11 vα ισο'ύται pe τJ άβροισpα τωv κ'ύlωv τωv δ'ύο aρoayo1ιpέvωv το11 φ11σικώv;

Αvιiλ"σa - Λvσa

Στο πρόβλημα γίνεται λόγος για τρεις διαδοχικούς φυσικούς. Έστω λοιπόν ότι έχουμε τους η - 1, η, η + 1 που είναι τέι:οιοι ώστε: (η + 1)3 = (η - 1)3 + η3• Τότε όμως θα έχουμε: η3 + 3η2 + 3η + 1 = η3 - 3η2 + 3η - 1 + η3 � η3 - 6η2 = 2 � η2(η - 6) = 2 και αφού η2 > Ο και 2 > Ο πρέπει η - 6 > Ο� η > 6. Αλλά τότε η2 > 36 άρα και η2(η - 6) > 36 (γιατί αν η > 6 τότε η ;;;ι: 7 άρα η - 6 ;;;ι: 1) .

Έτσι η σχέση η2(η - 6) = 2 είναι αδύνατη στο σύνολο των φυσικών, άρα η απάντησή στο ερώ­τημα του προβλήματος μας είναι αρνητική.

8 Χωρίzο11pε το11ς αριβpο'ύς 1, 2, 3, 4, 5 σε δ'ύο οpάδες κατά οaοιοδάaοτε τρόaο. Δdfu όu piα οpάδα aεριάει οaωσδάaστε δ'ύο αρι .. ο'ύς και τα διαφορά το11ς. (Παvελλήvtος διαγωvtσμ6ς «0 Θαλής)) mς Ε.Μ.Ε. 12-11-94)

Αvάλ"σa - Λvσa

Ούτε και εδώ, όπως εξ' άλλου και σε όλα τα προβλήματα, θα πρέπει κανείς να περιμένει κάποια λύση «ρουτίνας». Παρατήρηση - υπόθεση και προχώρημα μέχρις εξάντλησης των αριθμών, μιας

ΕΥΚΛΕΙΔΗ:ε Β' κβ. τ. ΙΠ

-------- Προσεπfσεις τάσεων- ρε11pάτωv και ••• •ροβλaμάτωv --------

και είναι πεπερασμένου πλήθους (και μάλισrα πολύ μικρού) . Εδώ λοιπόν παρατηρούμε ότι αριθμός «κλειδί» είναι το 2, γιατί από τη σrιyμή που ανήκει σε μία ομόδα, αυτόματα κατατόσσει δύο όλλους, (το 1 και το 4), σrην όλλη.

Πραγματικό, αν τα 1, 2 ήταν σrην ίδια ομόδα, τότε ο 2 - 1 = 1 πάλι ανήκει σrην ομόδα. Το ίδιο και για τα 2, 4 είναι 4 - 2 = 2, που ανήκει σrην ομόδα. Έτσι λοιπόν αν το 2 ανήκει σrην d (ας πούμε), τα 1, 4 ανήκουν σrην β' . Τώρα το 3 δεν μπορεί να ανήκει σrην β', γιατί τότε 4 - 3 = 1, που ανήκει. Άρα τα 2, 3 θα ανήκουν σrην d ομόδα και τα 1, 4 σrη β' .

Έχουμε όμως και το 5, που σε όποια ομόδα και αν θεωρpθεί, οπωσδήποτε αυτή θα περιέχει και τη διαφορό δύο σrοιχείων της. Π.χ. για την ομόδα α' των {2, 3}, έχουμε 5 - 2 = 3 και για την β' , θα είναι 5 - 4 = 1 . Έτσι το zητούμενο έχει δειχτεί.

Ο Έστω α1, α2, • • • ,σ. pια οαοιαδάαοτε διάτα�α των αρι8pώv ι, 2, ... , α. Δεί�ε όu av ο α είναι αεριτιός, τότε το yιvόpεvo: (α1 - ι)(α2 - 2)· ··(α.- α) είναι άρτιος αρι8pός.

Αvάλ"σa - Λvσa (ι 8) Είναι φανερό, ότι, αν ένας τουλόχισrον παρόγοvτας ενός γινομένου οσονδήποτε ακεραίων είναι

όρτιος, τότε ολόκληρο το γινό�ενο είναι όρτιος. Αρκεί λοιπόν για την περίmωσή μας, νCΙ"δείξουμε, ότι κόποιος από τους αριθμούς αι - 1, α2 - 2,

. . . , On - η, που είναι η το πλήθος (Qηλαδή περιττού πλήθους), είναι όρτιος. Ας υποθέσουμε ότι αυτό δεν ισχύει. Τότε, επειδή η διαφορό δύο ακεραίων είναι περιπός μόvο, όταv ο έvας είvαι όρτιος και ο όλλος περιττός, θα πρέπει όλοι οι αριθμοί με δείκτη περιττό να είναι όρτιοι και όλοι με δείκτη όρ­τιο να είναι περιττοί. Δηλαδή αι , α3, • • . , α2κ+ιι . . . , αn όρτιοι ενώ α2, α.ι, . . . , α2κ , • • • , Οn-ι περιττοί. Αυ­τό όμως είναι ότοπο γιατί από τους η διαδοχικούς ακεραίους 1, 2, . . . ,η με η περιττό, οι περιττοί εί-

ό έ ' , ( έv ' η+ 1) ' ό . ( ' η - 1) 'Ε δ ναι κατ να περισσοτεροι σuγκεκριμ α ειναι -2- απο τους ρτιους που ειναι -2- . τσι εν

μπορεί να είναι όλοι οι παρόγοvτες αι - 1, α2 - 2, . . . , αn - η περm:οί. Άρα ένας τουλόχισrον θα είναι όρτιος (ίσως και Ο - το μηδέν είναι όρτιος) οπότε και το γινόμενό

τους θα είναι όρτιος.

Avάλvoa - Λvσa (28)

ο θ , 1 2 , 'λ 2 πλ 'θ ' , 2 η + 1 -ι αρι μοι αι , α2, . . . , αn, , , . . . , η ειναι ο οι η το η ος και απ αυτους οι -2- = n + .ι

είναι περιττοί αφού ο η είναι περιττός και το πλήθος των περιπών μεταξύ των 1, 2, . . . , η όπως ει-, θ ' ' η + 1 'Ε ' δ έ .. 2 . πω ηκε και προηγουμενα ειvαι -2-. :rσι φτιαχ-vοντας τις η ιαφορ ς α1- 1, a2 - :.., ... , α::-- η

μία τουλόχισrον απ'αυτές θα αποτελείται από δύο περιττούς (όρο θα είναι όρτιος) γιατί αν καμιό διαφορό δεν αποτελούνταν από δύο περιττούς τότε οι περιττοί θα ήταν το πολύ η το πλήθος. Άτοπο αφού είναι η + 1 το πλήθος.των περιπών.

Αvάλ"σa - Λvσa (38)

Οι αριθμοί οι - 1, α2 - 2, . . . , αn - η έχουν όθροισμα Ο δηλ. όρτιο. Αυτό όμως (αν ήταν όλοι περιττοί, αφού είναι και περιττού πλήθους) είναι ότοπο. Άρα ένας τουλόχισrον θα είναι όρτιος, όρο και το γινόμενό τους θα είναι όρτιος.

0 Δίδεται pια σειρά διαδο:uιι:ώv θετικών ακεραίων pε αρώτο το ι. Παραλείαοtιpε κάαοιον αα'αwοtίς, οαό­

τε οι tιαόλοιαοι ύοtιv μέσο όρο 35 ι77• Ποιον αρι8pό ααραλεfψαpε;

ΕΥΚΛΕΙΔJΙJ; Β' κθ. τ. 1/8

----....---- Προσεyyίσεις τάσεων - ρε"•άτωv και ••• αροβλα•άτωv ----------

Αvάλuσο - Λ\Jσο

Έστω ότι οι αριθμοί μας είναι οι 1, 2, 3, . . . , η. Το !]θροισμά τους τότε, όπως ξέρουμε, είναι η(η + 1) θ , ελ , , , . αλ. , 1 , ,

2 και α υποστει την αχιστη μειωση, οταν παρ ειψουμε το και τη μεγιστη, οταν παρα-λείψουμε το η. Οι μέσοι όροι τότε αντίστοιχα θα είναι:

η(η + 1) _1 . 2 η-1

n2 + η - 2 -(η - 1)(η + 2) 2(η-1) - 2(η - 1)

η(η + 1) _η 2 . 2 _ η + η - 2η _ η(η - 1) _!! η-1 - 2(η - 1) - 2(η - 1) - 2

η + 2 2

ο θ , η + 2 η , , , ελ , ' ' 'Ε θ ' ι αρι μοι -2- , 2 ειναι αντιστοιχα ο μεγιστος και ο αχιστος μεσος ορος. rσι α εχουμε:

� � 35 {7 � η; 2 <=> η � 70 ii � η + 2 άρα η = 69 ή η = 70 η(η + 1) _χ

'Ομως, επειδή αν είναι χ ο αριθμός που παραλείπουμε, θα έχουμε τότε: 2 = 35 177 ά­η-1

ρα (η -1)-35 {7 = η( η; 1) - χ ε 7L Αrλά για η = 70 ο (70 - 1)·35 {7 e 7l άρα η = 69. 69(69 + 1) - χ

'Ε λ • θ , 2 ..:.. 35 7 69·35 - χ 35 7 2415 - χ 602 rσι οmον α εχουμε: 69 � 1 = 17 <=> 68 = . 17 <=> 4-17 = 17 <=>

' r J 2415 - χ = 4-602 <=> χ = 2415 - 2408 <=> χ= 7

Τελικά λοmόν πρέπει να έχουμε τους 1, 2, 3, . . . , 69 οπότε παραλείποντας το 7, οι υπόλοιποι έ-•· . 7 χουν μέσο όρο 35 17"

Φ Το φaφίο τωv δεκάδων το" τετραyώvο" εvός αaεραίο" α είvαι 7. Ποιο είvαι το φαφίο τωv pοvάδωv το" α2;

Αvάλuσο - Λ\Jσο

Για να «προσανατολιστούμε» λίγο και να δούμε προς ποιο κατεύθυνση πρέπει να κινηθούμε για τη λύση του προβλήματός μας, θεωρούμε τα τετράγωνα μερικών αριθμών, ελπίzοντας πως κάποιο μυστικό θα μας αποκαλύψουν. Έχουμε λοιπόν:

42 = 16, 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 ' ' ' ' ' 102 = 100; 112 = 121, 122 = 144, 132 = 169, 142 = 196, 152 = 225, 162 = 256, 172 = 289, 182 = 324, 192 = 361, 202 = 400, 212 = 441, 2 2 . • '2 . 2 . 2. 22 = 484, 23 = 529 , 24 = 576, 25 = 625, 26 = 676.

Τι μπορούμε τώρα να παρατηρήσουμε; Πρώτα-πρώτα ψηφίο δεκάδων 7 έχουν τα τετράγωνα 242 = 576 και 262 = 676 και παραπέρα.

περπτό ψηφίο δεκάδων έχουν μόνο τα τετράγωνα των αριθμών, που το τελευταίο τους ψηφίο είναι 4 ή 6, των οποίων όμως τότε τα τετράγωνα λήγουν σε 6. Αν λοιπόν καταφέρουμε να αποδείξουμε γενικά την παρατήρησή μας, θά'χει λυθεί και τό πρόβλημά μας.

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' a8. τ. 1/9

-------- Προοεyyίοεις "Ιάοεω,· - ρε"pά"Ιωv και ••• αροβλapά"Ιωv --------

Έστω λοιπόν, ότι το τελευταίο ψηφίο του α είναι το Β. Τότε ο (α + Β) είναι άρτιος, αφού ά + Β = (10κ + Β) + Β = 2· (5κ + Β) και ο α - Β διαιρείται με το 10, αφού α - Β = (10κ + Β) - Β = 10κ. Έτσι, θεωρώντας το γινόμενο (α + Β)( α - Β) = α2 - 62, αυτό θα διαιρεί­ται με το 20. Αυτό σημαίνει, ότι οι αριθμοί α2, 62 έχουν ίδιο τελευταίο ψηφίο και τα ψηφία των δε­κάδων τους είναι και τα δύο άρτιοι ή περmοί συγχρόνως. Έτσι, αν το ψηφίο των δεκάδων του α2 είναι περmός, το Β θα είναι ή 4 ή 6, γιατί όλα τα υπόλοιπα ψηφία 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9 έχουν στα τε­tράyωνά τους το ψηφίο των δεκάδων άρτιο.

Έτσι λοιπόν, αφού ο α2 έχει ψηφίο δεκάδων 7 (περmό), ο αριθμός α θα λήγει σε 4 ή 6, αλλά tότε ο α2 λήγει προφανώς σε 6 και το πρόβλημά μας έχει λυθεί.

φ Αν ένας δiφιίφιος θεuκός ακέραιος διαιρεθεί με το άθροισμα των φαφίων 'I0\1, αόσο μικρό και αόσο μεyάλο pαορεί να είναι το ααλίκο αwό;

Αvάλvσn - ΛtSσn

Αν xy ο αριθμός μας στο δεκαδικό (εννοείται) σύστημα αρίθμησης, τότε xy = 10χ + y, έrσι το

ηλί ' ' . ελ ' ' ' ' f( ) 10χ + Υ ( ' 1 9 π κο του οποιου τη μεγιστη και την αχιστη τιμη zηταμε ειναι το χ, y = οπου � χ � x + y και Ο� y � 9) . Το κλάσμα αυτό έχει και στους δύο όρους του τις μεταβλητές χ, y οπότε δεν είναι εύκολο «παίzοντας» με τους όρους του κλάσματος να δούμε τη μικρότερη ή τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του. Από το αδιέξοδο αυτό μπορούμε να βγούμε με κάποιο (ας πούμε) «τρικ».

Αφ' ενός εμφανίzουμε το y μόνο στον παρονομαστή οπότε έχουμε:

f(x, y) = 10x + y � + � = 1 + � x + y x + y x + y x + y

Το άθροισμα αυτό, όσον αφορά το y (για το οποίο μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα), γίνεται ε­λάχιστο όταν y = 9 και μέγιστο όταν y = Ο.

Αφ' ετέρου εμφανίzουμε το χ μόνο στον παρονομαστή και έχουμε:

f(x, y) = 10χ + y = 10(χ + y) - 9y x + y x + y 10 -_2ι._

x + y Η διαφορά τώρα αυτή, όσον αφορά το χ (για το οποίο πάλι μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα),

γίνεται ελάχιστη όταν χ = 1 και μέγιστη όταν χ = 9.

Έτσι σε συνδυασμό οι δύο περιmώσεις μας δίνουν:

• Τ ο f(x, y) = 1 Οχ + Υ γίνεται ελάχιστο όταν χ = 1 και y = 9 δηλαδή για τον αριθμό 19 και είναι x + y miηf(x, y) = �� = 1,9.

• Επίσης το f(x, y) = 10χ + Υ γίνεται μέγιστο για χ = 9 και y = Ο δηλαδή για τον αριθμό 90 και εί­χ + y 90 ναι maxf(x, y) = 9 = 10.

ΕΥΚΑΕΙΔΗ� Β' κ8. "Ι. 1/10

ΕΚ.lίΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ rι� Α · ΤΟ AYKEtO

ΓΙΑ ΤΙ Ι. ΑCΣΜΙ!:Σ ,.,, D ,. .. , Δ efO"'A !ΊΑfΛΔ�;Γ\ΙJ.Ιι\ ι\ΥΜ�Νf-1 ΑΤ(Η�1"ι1 �!Ι<.ΗΣΕΙ:ί n. ΑΥ!Η .. λ"'A'ffHIC\1. 1m ί.;('!'JIJEC\

Μαθηματικά-Ανάλυση Γ' Λυκείου -Δέσμες Α', Β', Δ'

ΣΤΕΛΙΟΣ Γ EYPIΠ!QTHI tEM.ATA ΑΝΑΑΥΣΗΣ Γ ΑΥΚΕΙΟΥ • Α' !ΙΙΙΣΝΣ fΆ.I. I< ,'f ft fi Α ξ :t: U $4

ΑΛΓΕΒΡΑ rιrmrot Ι(λΜΝΠΗΙ

Άλγεβρα Α' Λυκείου

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΚΑΝΔΑΛΗΣ

Γ Ι Ο Γ' f Ο Σ Σ .< ,. 11 Δ Ιι Λ Η Σ

Μαθηματικά Α' Λυκείου Μαθηματικά Β' Λυκείου

1Ω"ΓΟΣ ΣΙ\ΑΝ8ΑΛΗ!

IWIAI&HUA.T8111:A

ΑΝΑΛΥΣ.Η 1" .Λ.-ΙΙΙΙΕΙΟΥ • 11< faηtO&

Ανάλυση Γ' Λυκείου

ΑΙΜΙΛΙΟΣ ΤΣΟΥΛΦΑΝΙΔΗΣ

• Άλγεβρα

Δ' δέσμης

• Θέματα Ανάλυσης

Γ' Λυκείου

Α MJA Ο! Ι Π>ΟΎΛ�ΑΝΙΔΗl

ΠΑ lΉΝ Α ΔΕΣΜΗ --ΜΕ-260λι..,ιi"cι:; OCJ>If'(}t!ζ 250 a.>.υtι-;οοιε:ι'κu:ι�;

Ακολουθίες για την Α' Δέσμη

•Όριο

συνάρτησης,

• Συνέχεια

συνάρτησης, • Ακολουθίες

• Πίνακες

· • Ορίζουσες

• Γραμμικά

συστήματα

Ολοκληρώματα

Α'Μ 1\ΙΟΣ Ι ΤίGΥλΦΑ\IΔΙ'fΣ

" i'Hi'l \�\=;"Ξ: " ί'ι?l--:: U',�-;:-::;:-.; " ι":"'·\.�1Ί.11�'" �y;ι:τ;,,�ϊ:'\

@tQOTA· ΜfθΟΔΟι t.νΜ\:.'.ι.ιΙ Α'Σ• ΙΙΕIΙ λΙΙΥJΕΣ ΑΣΚΗΣΕ11

ΠΑΡΑ nrom

Παράγωγοι

Κεντρική Διάθεση: Σ. Πατάκης Α.Ε. Εμμ. Μπενάκη 161 106 78 Αθήνα. Τηλ.: 38.31.078, Fax: 36.28.950

ΑοcSλv"Ιες "Σιμές -οι ρίzες • � io

θεωρnτικές εοισnpάvσεις και i\"pέvες ασκ�οείς_ .•. ·ι

Δnpdtjιιiς Ντpίzος

Οι έννοιες απόλυτες τιμ�ς και ρίzές: πραγματικών αριθμώ1ι αποτελούν ένα <��ρόΒλnμα» με κd­ποιες δυσκολίες, για πολλούς μαθητές thς Ν Λυκείου . . Τiς �ννοιες αυτές σUναντούιiε και σε επόμε­νες τάξεις να «επεμβαίνουν» ουmαστικά στdν οριqμ6 · <iλλ�ν. πQλύ �αοικών στα Μαθηματικά εν­νοιών. Για παράδειγμα η απόλυτη τιμri στον ορισμό του ορίομ ίnας συνάρτησης. Κρίvουι;.ιε λοιπόν πως η κατανόηση σε βάθος αυτών των εννοιών είναι τελείως απdραiι:ητη.

. : .. � . Σε αυτό το άρθρο τονίzεται κυρίως η έννοια της απόλυτhς τιμιiς .�ς απόσταdhς. Γίνεται επίσης

μια προσπάθεια επισήμανσης των όημείωv, που συνυπάpχοον οι απόλυτες τιμές με l:ις ρίzες.

Αοόλvιa τιpιί

χ 1" -α �ι-aι

κ ο

)(

τ α

ιaι� ο� Πραγματικοί αριθμοί α κ οι ο στο Σχ; i. αnεικονίzο­

νταi (άντιστοιχίzοντ�t) m.α σηβεία τ καi κ tου άξονα χ χ. Τ ο μήκος !ου τμήμαtο� kr, εκφράzει φν απολυτη τιμή του

Σχ. 1 · _.Γ2 α που τη συμβοΜzουμε με I α1 ti με \ι α2. Η απόλυτη τιμή του α, αφού εκφράzeι μήκος, θα είναι θετtκdς αριθμός ή Ο. Δnλαδιi Ιαl �Ο ο­

ποιαδήποτε και αν είναι η θέση του αριθμού α πάνω στον άξονα χ' χ.

ΑοόΟ'Iασa δt1ο αριθμών το" dξova

χ Σ Ρ χ Το μήκος του τμήματος ΣΡ στο Σχ.2 .εκφράzει την α­πόσταση των αριθμών α και 6 iου άξονά, πdυ μπορούμε να τη συμβολίzουμε d(α,β) ή d(β,a) και ορίzουμε

Σχ. 2 d(α,β) = Ι α - ΒΙ·

α β +-Ι α- βΙ = I β- al---+

Είναι εύκολο τώρα, θεωρώντας την απόλυτη τιμή ως αποοtαση να διαnιqτώσq:ε και εποmικά (Σχ.1 ) ότι lαl = 1 -α\. Επίσης πως: lal = α, αν α> Ο ενώ lal = -α, άν a <Ο. Και Ι� = Ο _όταν α = Ο.

Στο σημείο αυτό, να και ένας «ορισμός», που λέγεται μερικές φορές, tάχα χdριν απλόύάτευ­σης(!) Λέγεται λοιπόν ότι: «απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι ο αριθμός χώρίς το πρόσημό του». Ί­σως κάποιοι μαθητές ρ<ι)τάτε που βρίσκεται το λάθος. Μα τι σηiιαίνει αριθμός χωρίς πρόσημο; Ξέ­ρετε να υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί χωρίς πρόσημο;

Ιδιότauς τωv αaόλvιωv τιpώv

Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει: 1 . lal �α, lal �-α. Άρα και: -lal � α� lal

2. la\2 = α2

3. lα·BI = Ιαi·ΙΒΙ

. I.Q.I_ιg_ 4. β - ι ΒΙ. Β* ο

5. lα+ βΙ � lal + 161. τριγωνική ανισότητα Διαπιστώστε εδώ κάνοντας δικά σας παραδείγματα, ότι ισχύει: I α + � < I α1 + I Β1 όταν α, β ετερό­σημοι, ενώ όταν α, β ομόσημοι ή ένας από τους α, β είναι Ο, τότε I α + Β1 = I α1 + I 61. (γιατί;)

ΕΥΚΛΕΙΔΗJ: Β' ιιθ. ι:. 1/12

--------------------------ΑαόΑ�ς n.ές κm ρύες --------------------------

6. lal = 161 <=>α = ±β lal = θ <=> α = ±θ, θ: θετικός

7. lal < θ<=> -θ< q < θ, (Σχ.3) � � β χ

α·· Σχ.3 8. lal >�<=>α � -θ ή α> θ, (�χ.�)

� -θ θ � α<-θ ·α>�

,

Ρίzες

Σχ.4

Για κάθε μn αρνητικό αριθμό α ορizεται στο IR. το σύμβολο -\[α να παριστάνει τη μη αρνητική λύ­ση της εξίσωσης �ν = α, όπου ν = 1; 2: 3, . . .

1. Ας δούμε μερικές ισότητες, ανισότητες αλλά και ισοδυναμίες που συνυπάρχουν οι απόλυτες τ•-μές και οι ρizες:

:.. Γ2 J Γ4 2_κ Γ2κ. • lal = 'Jα = -να = ·: · = -γα , α� IR., κ εΝ' ' ·' ' .ι

Με τη βοήθεια αυτής της ισότηταs μπορούμε να κάνουμε την απόδειξη της ιδιότητας Ια·61 = la\·161 ως εξής: ··

·

Ια·61 = Μ = ψ162 = νaw = la\·161

Μ,ε ανάλ.ογ�·τρόπο κάνουμε την απpδειξή της ιδιqτητας ��� = �-Για όλους τους πραγματικούς �ριθ�ούς α, β έχουμε ακόμη:

v-p� v-p� _v� • \jαμ· ρ = 'JI��f. = 'Jial μ , μ.ρ άρτιος

I .•··

_vra Ρ • -ναΡ = ( �) , ρ άρτιος

• d\fθ. = -\fcfθ, όταν α: αρνητικό,ς και θ: θετικός

Και τώρα διαπιστώστε κ�ποια σοβαρά λάθη στα παρακάτω παραδείγματα:

i) -5\{7 = -ν7(�5)� 4 . . 2

iii) � = ( tj=2)

ν) {}(χ- 7)2 =ν χ- 7

!i) ν (-3)2 = -3

iy) � = 4-{1 (-2)4 = ..;:2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κβ. τ. 1/13 ,.

--------------------------- Α86λvuς npές και ρύες ---------------------------

2 Α Β , ' θ ' , Β Ο α Ο ' JCDB _v � ' , • v α, ειvαι αρvητικοι αρι μοι, τοτε α· > , β> και οι παρασrασεις να· ο, -ν β ειvαι φαvερο

ότι ορίzοvται σrο IR. Στην περίmωση αυτή όμως οι ισότητες:

ψ;β = \Γα·'fβ και _v �= � -νβ 'fB

παρουσιάzουν πρόβλημα. Γιατί; Η απάντηση φυσικά είναι εύκολη και το λάθος εvτοπίzεται σrο 2 ° μέλος των ισοτήτων.

Ας Βρούμε ως παράδειγμα, για ποιες τιμές του χ ορίzεται και είναι σωσrή σrο IR. η ισότητα: �(χ + 5) (χ - 5) =�χ +� Για να έχει νόημα σrο IR. το 1 ° μέί\ος της ισότητας πρέπει

(χ + 5Ηχ - 5) �ο<=> χ2 - 52� ο<=> χ2 �52<=> ι χι� 5 <=> χ� -5 ή χ ;;J!: 5 Για να έχει νόημα σrο IR. το 2 ° μέλος της ισότητας πρέπει

χ + 5 � Ο και χ - 5 � Ο <=> χ � -5 και χ � 5. Άρα χ � 5 Παρατηρήσrε, πως τα μέί\η της Προφανούς (;) ισότητας δεν ορίzοvται σrο IR. για τις ίδιες τιμές του χ. Φυσικά η ισότητα γίνεται σωσrή μόνο όταν χ� 5. (γιατί;)

3. Άξια ιδιαίrερης προσοχής είναι και η ισότητα W = αρ/v, όπου α> Ο, ν = 1, 2, 3, . . . και ρ ακέ­ραιος. Στα παραδείγματα που ακολουθούν θα δούμε ιδιότητες των ριzών και των δυνάμεων να «συνεργάzοvται» αρμονικά χωρίς aντινομίες.

(ι.) Μ Ο �Π � Ωl..,ι2 l ..,ι2!3 { χ2!3 ε χ .φ '-ν χ =-νι χι = "' = 2/3 (-χ)

χ>Ο } χ< Ο

(ii) 32- 6/5= � = -5 α. = 1 1 1 -ν 32 6 �Μ 2 6

Ασκιίσεις

Ασκaσa 1 Τα εμβαδά δvο τετραyώyων oov το ένα· έχει ολεvρά χ και το άλλο ψ διαφέροvν

κατά α με α ;;J!: Ο και το άθροισμα των οεριμέτρων τοvς είναι 80. 1.1. Να βρείτε ταν uμό τaς Ιχ - φΙ. 1.2. Αν το yινόμενο χ·ψ οαραμένει σταθερό, τότε yια οοιά τιμά τοv α το άθροι­

σμα των εμβαδών των τετραyώνων yίνεται ελάχιστο; Λvσa

1.1 . Τα εμβαδά των δύο τετραγώνων είναι χ2 και ψ2 και η διαφορά τους σε κάθε περίmωση εκφρά-, 1 2 2ι , zεται απο την χ - ψ 1 γιατι: , 2 2 2 2 I 2 2ι Ε , αν χ � ψ τοτε χ ;;J!: ψ και χ - ψ = χ - ψ I· πισης

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κθ. τ. 1/14

--------------------------Ααόλwεςuμές aαι ρύες --------------------------

αν χ < ψ τότε χ2 < ψ2 και ψ2 - χ2 = I ψ2 - χ1 = I χ2 - Ψ1 . Επειδή τα εμβαδά τους διαφέρουν κατά α, θα ισχύει:

Ιχ2 - ψ1 = α�Ι (χ + ψ)(χ - ψ)l = α�Ιχ + ΨΙ·Ιχ - ΨΙ = α Οι περίμεφοι των τετραγώνων είναι 4χ και 4ψ οπότε θα έχουμε:

4χ + 4ψ = 80 � χ+ ψ = 20

Άρα Ι χ + ΨΙ = 20 και από την (1) προκύmει Ι χ - ΨΙ = 2α0.

1 .2. Για το άθροισμα χ2 + ψ2 των εμβαδών των τετραγώνων ισχύε!: 2 2 ( )2 2 , , χ + ψ = χ - ψ + χψ, γvωστη ταυτοτητα

�χ2 + Ψ2 = Ι χ - ΨΙ2 + 2χψ Άρα χ2 + Ψ2 = (;ο )2 + 2χψ (2)

(1 )

Από τη (2) και επειδή χψ σταθερό προκύmει πως το χ2 + ψ2 γίνεται ελάχιστο όταν (;ο )2 = Ο, δηλαδή όταν α = Ο. Σ' αυτή την περίmωση τα δύο τετράγωνα έχουν ίσα εμβαδά.

ΑσιιΩσΩ 2

Στον ά�ονα των οραypατικών αριθμών μια μεταβλΩτιί χ κινείται, έτσι ώστε κά­βε φορά Ω αο6στασιί τΩς αο6 τον αριβμ6 4 να είναι μικρ6τερΩ το" 5. 2.1. Να βρείτε το διάστΩμα Δ αο6 το οοοίο μοορεί να οαίρνει uμές Ω μετα·

βλΩτιί χ. 2.2. rια κάβε χ ε Δ, αοοδείμε 6u yια τΩν οαράστασΩ Α(χ) = Ιχ + 21 - 2· 12χ- 191

ισχ\Jει -41 < Α(χ) < 9.

Λ\JσΩ

2.1 . Επειδή η απόσταση της χ από το 4 είναι μικρότερη του 5, θα έχουμε: Ι χ - 41 < 5 � -5 < χ - 4 < 5 � -1 < χ < 9 �χ ε (-1, 9) = Δ

2.2. Στην Α(χ) η Ι χ + 21 μηδενίzεται για χ= -2 και η l2x - 191 για χ = 1i.

-2 -1 χ 9

19 2 χ

Ισχύει χ ε Δ άρα χ > -1 > -2, οπότε χ + 2 >Ο και Ιχ + 21 = χ + 2. Επίσης χ < 9 < ι:. άρα χ -ι: < Ο δηλαδή 2χ - 19 < Ο και 12χ - 191 = 19 - 2χ. Έτσι προκύmει: Α(χ) = χ + 2 - 2(19 - 2χ) = χ + 2 - 38 + 4χ = 5χ - 36. Έχουμε τώρα τις ισοδυναμίες: χ ε Δ�-1 < χ < 9�-5 < 5χ < 45�-41 < 5χ - 36 < 9 � -41 < Α(χ) < 9

ΑσκΩσΩ 3

Αν Α(χ) = .Vx2- 2χ + 1 και Β(χ) = �(χ2- 1}4, να λ\Jσετε τΩν ε�ίσωσΩ

...jA(X) + Β(χ) = Ο (1)

ΕΥΚΑΕΙΔΗΣ Β' aθ. Ί . 1/15

-------------------------Ααόλwες upές και ρύες -------------------------

Λvσa

Επειδή χ2 - 2χ + 1 = (χ - 1 )2 προκύmει Α(χ) = ν (χ - 1 )2 = I χ - 11 και φυσικά Β(χ) = I χ2 - 11. Τώρα για κάθε χ Ε IR ισχύει: Ι χ - 11 �Ο, Ιχ2 - 11 �Ο και οι παραστάσεις Α(χ), Β(χ) καθώς και η

εξίσωση ( 1) ορίzοvται για κάθε χ Ε IR. Έτσι έχουμε: ".}Α(χ) + Β(χ) = ο� Α(χ) + Β(χ) = ο<=::> Ι χ - 11 + Ι χ� - 11 = ο<=::> Ι χ - 11 = Ο και Ι χ2 - 11 = Ο � χ = 1 και (χ = 1 ή χ= -1) Επομένως η λύση της εξίσωσης ( 1) είvαι ο αριθμός 1.

'Άσκaσa 4

Av Α(:κ.) = --J:κ.2 + IOx + 25 τότε:

4 ι Ν δ 'S: , '8 5 , :ιι: + 5 :κ. + 6 2 • • α αοο ει�ετε οτι yια ιια ε :ιι: '* - ισ:ιι:tJει: Α(:ιι:)

-Α(:ιι:)

< •

4.2. Να βρείτε τις τιμές τotJ :ιι: yια τις οοοiες: :ιι:2 + Α(:ιι:) = Ι:ιι:2 + :ιι: + 51. Λvσa

4.1. Είvαι χ2 + 10χ + 25 = (χ + 5)2, dρα Α(χ) = Ι χ + sι και για κάθε χ'* -5 έχουμε: I sι χ + 5 χ + 5 � χ + �Ι χ + 51 � 1 (1)

Επίσης: -(χ + 6) < -(χ + 5) � Ι χ + sι. Άρα��::) < 1 (2)

Από τις (1 ) και (2) προκύmει ��xf-��xf < 2. 4.2. χ2 + Α(χ) = Ιχ2 + χ + 51 <=::> Ιχ1 + Ι χ + 51 = Ιχ2 + (χ + 5)1

η τελευταία ισότητα γίvεται αληθής μόvο όταv οι χ2 και (χ + 5) είvαι ομόσημοι ή ένας από αυ­τούς είvαι Ο (γιατί;). Δηλαδή μόvο όταv χ2(χ + 5) � Ο και επειδή χ2 � Ο, πρέπει χ + 5 �ο�· χ� -5.

'Άσιιaσa 5

Av :κ. = 11'-34';1.; 12, τότε αοοδεiμε ότι yια κάθε φ Ε IR ισ:ιι:vει -5 < :κ. < -3.

Λvσa

Πρέπει 3 + ΙΨΙ '* Ο. Όμως για κάθε ψ Ε IR είvαιiΨΙ �Ο, οπότε 3 + ΙΨΙ > Ο και έτσι η παράσταση χ ορίzεται για κάθε ψ Ε IR. ,

Θα εξετάσουμε αv υπάρχουv αριθμοί α Ε IR και θ > Ο ώστε η σχέση -5 < χ < -3 vα γράφεται ι­σοδύvαμα στη μορφή Ι χ + α1 < θ.· f

Ισχύει: -5 < χ < - 3 �-5+ α < χ + α < -3 + α Και απαπείι:αι: (-5 + α) + (-3 + α) = Ο (γιατί;)

<=::> 2α - 8 = Ο � α = 4

(1)

Συvεπώς η -5 < χ < -3 ισοδύvαμα πλέοv λόγω της (1), γράφεται: -1 < χ + 4 < 1 � Ιχ + 41 < 1 . Έχουμε τώρα:

= Ψ -41 ΨΙ - 12 + 4 = Ψ -41 ΨΙ - 12 + 4(3 + Ι ΨΙ) � + 4 = Ψ χ 3 + 1ΨΙ �χ 3 + 1ΨΙ χ 3 + 1ΨΙ

ΕΎΚι\ΕΙΔΗ:Ε Β' κ8. τ. 1/16

-------------Αοόλwες uιιές και ρizες -------------

Άρα Ι χ + 4l = 1311ΨΙΙ = 3 �ΨΙ < 1' Οπότε για κάθε ψ ε IR, Ι χ + 41 < 1 <=> -1 < χ+ 4 < 1 <=> -5 < χ < -3.

Ασκnσn 6

Αν α, β θετικοί αριθμοί και οι αριθμοί �' � είναι μεyαλύκροι το\J -{3 να α­&οδείξετε ότι:

Λvσn

Η aνίσωση που θέλουμε να αποδείξουμε ισοδύναμα γίνεται: 2..[ciβ > 3Va + 3� <=> ..[ci6 + ..[ci6 - 3Va - 3� > ο <=>

-ΓcrJB+ -ΓcrJB- 3Va- 3� > ο<=> Va(�- 3) + �(Va- 3) > ·0 (1)

Τ α μέλη των ανισώσεων � > -.J3 και � > -.J3 είναι θετικό, οπότε τετραγωνizοvτας ισοδύναμα παίρνουμε:

{ �=� }={ �=�=�} Επομένως η (1) είναι αληθής, γιατί πράγματι το άθροισμα θετικών γινομένων είναι θετικός αριθ­

μός. Οπότε αληθής θα είναι και η ισοδύναμή της αρχική

Ασκnσn 7

rιa. τις διαστάσεις Α και Β ενός ορθοyωvίο\J &αραλλnλοyράμμο\J είναι

Α = .V 5 - 2� και Β = .V 5 + 2�. Να βρείτε το εμβαδόν και τον Dί:ρίμετρό το\J κα­θώς και τn διαφορά των διαστάσεών τοu.

Λvσn

Το εμβαδόν του είναι: Α· Β = .V5 - 2-νε, .V5 + 2-νε, = .V52 - 22(-νε,)2 = 1. Η περίμετρός του είναι: 2 · (Α + Β). Όμως (Α + Β)2 = Α2 + Β2 + 2ΑΒ = 15 - 2νΘι + 15 + 2νΘι + 2· 1 = 12. Άρα Α + Β = 1'ϊ2. = 2-.J3 και συνεπώς 2(Α + Β) = 4-,J3. Για τη διαφορά Β - Α των διαστάσεών του: (Β - Α)2 = Β2 + Α2 - 2ΑΒ = · · · = 8 Επομένως (Β - Α)2 = 8 <=> IB- ΑΙ = νs = 2\12 και επειδή Β > Α προκύmει Β - Α = 2-fi. Εδώ θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τα Α + Β, Β- Α και με άλλο τρόπο. Επειδή: 5- 2-νε, = (-fi)2 + (-,J3)2 - 2-fi-.J3 = (-fi--,J3)2 και 5 + 2-νε, = (-fi + -,J3)2 προκύmει ότι:

Α = -ν (-fi - -,J3)2 = 1-fi - -.J31 = -.J3 --fi και Β = -fi + -.J3

ΕΥΚΛεΙΔΙΙΣ Β' κθ. τ. 1117

-------------Αα6λι:Σες upές ιιαι pίzες-------------Έτσι βρίσκουμε πόλι Α + Β= 2..J3 και Β - Α = 2-ν2.

Αοιιnοn 8

Να Α\Jοετε ως nρος χ: 8.1. uς ε�ιοώοεις

v-� Γ7 v-� 4-4 (i) -νχv χ v = α, όnο" χ, α θεuιιοί ιιαι v = 3, 4, 5, ...

(ii) 1χ1 - 3lx - 31 = Ι'� 2x l •α• 8.2. ΊΙς αvιοώοεις

(i) Ιχ3 - 11 � χ2 + χ + 1 (ii) Ιχ2 + χΙ > 12χ + 21

8.1. (i) Είναι: Λvon

v-W2 v-� v-\J 2 v-�2 v-� v 4-4v v -4v-+4 (v-2) ( v-2)v-2 I v-2ι v-2 χ χ = χ = χ = χ = χ ι = χ

ξί , v-2 v-� r: δ , θ , και η ε σωση γινεται: χ = α <=> χ = ν α, επει η χ, α ετικοι:

8.1 . (ii) Έχουμε: IJ4 - 3Ιχ - � = 1 6-;2χ ι <=> IJ4 - 3Ιχ - 3Ι = ι -� (χ - 3) 1 <=> IJ4 - 3Ιχ - 3Ι =� Ιχ - 31 <=>

( 2) 11 IJ4 = 3 + 3 Ι χ - 31 <=> IJ4 = 3Ιχ - 31 <=> 31J4 = lllx - 31 <=> 13xl = l llx - 331 <=>

3χ = llx - 33 ή 3χ = -llx + 33 <=> χ = 33 ή χ = 33 8 14 8.2. (i) Έχουμε:

Ιχ3 - 11 � χ2 + χ + 1 <=> Ι (χ - 1)(χ2 + χ + 1)1 � χ2 + χ + 1 <=> Ι χ - 1l lx2 + χ + 11 � χ2 +χ + 1 (1) Είναι: 2 1 2 1 2 2 1 2 2 χ + χ + 1 = 2 (2χ + 2χ + 2) = 2 [χ + 1 + (χ + 2χ + 1)] = 2 [(χ + 1) + (χ+ 1) ] > Ο,

ως άθροισμα του θετικού (χ2 + 1) με τον μη αρνητικό (χ + 1)2. Επειδή χ2 + χ + 1 > Ο, θα ισχύει χ2 + χ+ 1 = Ιχ2 + χ + 11 και η (1) γίνεται: Ι χ - 11 � 1 <=> -1 � χ - 1 � 1 <=> ο � χ � 2 [Σε μια από τις επόμενες παραγράφους του σχολικού σας βιβλίου, θα δείτε πως η απόδειξη της χ2 + χ + 1 > Ο, μπορεί να γίνει και διαφορετικά με πιο απλό και σύντομο τρόπο.]

8.2. (ii) Είναι: Ιχ2 + χΙ > l2x + 21 <=> Ιχ(χ + 1)1 > l2(x + 1)1 <=> IJ4 Ι χ + 11 > 2Ιχ + 11 <=> Ι χ + 11 (2 - Ι χΙ J < ο

• Αν χ -:1: -1 τότε Ι χ + 11 > Ο και η τελευταία aνίσωση θα είναι αληθής μόνο όταν: 2 - Ι χι < ο<=> 1χι > 2 <=> χ < -2 ή χ > 2

• Αν χ = -1 η aνίσωση είναι αδύνατη.

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' ιιθ. τ. 1/18

-------------------------- Αaόλ�ες upές aαι ρύες ---------------------------1\σκaσa 9

Αν ισχvει χ2 + φ2 = : (1), να αοοδείξετε ότι a οαράστασa '\]χ4 + 6φ2 + '\)φ4 + 6χ.2

είναι ανεξάρτaτa των χ και φ. Λvoa

'\)χ4 + 6ψ2 + '\)φ4 + 6χ2 =,Υχ4 + 6 (�- χ2)+,Υψ4 + 6 (�- ψ2)= '\)χ4 - 6χ2 + 9 + '\)φ4 - 6ψ2 + 9 = '\}(χ2 - 3)2 + '\}(ψ2 - 3)2 =

Ιχ2 - 31 + lφ2 - 31 = 13 - χ1 + 13 - ψ1 = ��+ (�- χ2)1 + ��+ (�- Ψ2)1 = I �+ ψ2 Ι + I � + χ2 Ι = � + ψ2 + � + χ2 = 3 + (χ2 + ψ2) = 3 + � = 2. 2 2 2 2 2 2

Βιβλιοyραφία

• Ο.Ε.Δ.Β. : Άλγεβρα Ν Λυκείου, Σ. Αvδρεαδάκης, κ.λ.π., 1994 • Ε.Μ.Ε.: Περιοδικό «Ευκλείδης Β'» • Προσωπικές σημειώσεις (ανέκδοτες)

Θ. Ν. Καzαντzός

ΟΛοκΛηρώματα

Θ. Ν. Καzαντzός

Ελένη Μότσιοv

Σεφά:»εξετάσεΙς» • Διαγωνίσματα • ΠροΒλήματα

Περιοδικό

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ

ΠΑΙΔΕΙΑ

lo τεύχος κυκΛοφορεί τον

ΝοέμΒρΙΟ

Θ. Ν. Καzαντzός

ΠΙθανότητες

(τεύχος α)

Δ. rεωρyακίλας

Μαθnμαπκά

επαvά?ιnψn 4nςδέσμnς

Π. Βασιλειάδης

r. Μαvρίδης

ΑλγεΒρΙκά Θέματα Νέα έκδοσn

Δ. fεωρyακίλας

Αλγε6ρα Β' Λυκείου γΙα υποψιiφ10υς

lnς κω 4nς δέσμnς

ΕΥΚΑΕΙΔΗΣ Β' aβ. τ. 1/19

Θ. Ν. Καzαντzός

1000 ασκιiσεΙς Ο?ιοκΛnρωμάτωv

Θ. Ν. ΚαzαvΣzός

r. Μαvρίδης

Ελένη Μότσιοv

Σεφά:»εξετάσεΙς» • εξετάσεΙς 95 Θέματα - επαvάί\nψn

Δ. fεωρyακίλας

τ. θεοδωρακόιιΟΟλος ΆΛγεΒρα κω

Αvα?ιυπκιi Γεωμετρία

σε ένα τεύχος ό?ιn n ύ?ιn

rεωμετρία Ν Λvκείοv

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία, όπως αυτή παρου­σιάzεται μέσα από το αξεήέραστης επιστημονι­κής αξίας, διαχρονικό έργο τού Ευκλείδ� <<Στοιχεία», αποτελεί το ιδανικότερο ίσως λογιkό : ν . καl::ασκεύασμα, αφού έθεσε τις βόσεις της aπο-δεικτικής διαδικασίας, πρωταρχικού εργαλείου, για την ανamυξη και εξέλιξη των Μαθηματικών, χρησιμοποιώντας για πρώτη φοpό το αξιωμα­uιιό cnSστapa, ώστε η αλήθεια των προτόσ�­ών, να προκύmει από τri λbγική επεξεργασία αρχικών δεδομένων και υποθέσεων.

Γίνεται λοιπόν φανερή, η ανεκτίμητη διδα­κτική αξία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (η σχο­λική Γεωμετρία αποτελεί στοιχειώδη αναφορό στη Γεωμετρία του Ευκλείδη), καθ'όσον, καλ­λιεργεί, οργανώνει, μεθοδεύει και οξύνει τη σκέψη και μέσα από την ποικιλία των μεθόδων της και τις πολλαπλές επιλογές που παρέχει για την επίλυση ενός θέματος, συμβόλλει στη νοη­τική δημιουργικότητα των μαθητών.

Οι ασκήσεις που ακολουθούν, αναφέρονται στα κεφόλαια της ισότητας τριγώνων, ί:Ίαραλλη­λίας και καθετότητας, σχέσεων γωνιών στα τρί­γωνα, ιδιότητες ορθογωνίων τριγώνων και ανι­σοτικές σχέσεις.

Για τη σωστή αντιμετώπιση των ασκήσεων, πέρα από την καλή γνώση· της θεωρίας και την εμπειρία στην τεχνική του τρόπου εργασίας, που αποκτόται με τη συστηματική εξόσκηση, ανα­γκαίο είναι ένα καλό και προσεγμένο σχήμα, που Βοηθό στην «αποκρυmογρόφηση» των δε­δομένων που «κρύβονται».

Χρήσιμο είναι να έχουμε υπ' όψη τα εξής: • Εάν δύο τρίγωνα είναι ίσα, θα έχουν όλα τα

αντίστοιχα στοιχεία τους, ένα προς ένα, ίσα (πλευρές, γωνίες, ύψη, διχοτόμους, κλπ.). Δηλ. η ισότητα τριγώνων μας Βοηθά να απο­δεικνύουμε ισότητες τμημάτων, γωνιών, κλπ. Η απόδειξη μιας ισότητας τριγώνων πολλές φορές δεν εππυγχόνεται με μία μόνο σύγκριση αλλά συνήθως <<περνάει» από εν­διόμεσες συγκρίσεις τριγώνων απ όπου παίρνουμε τα απαραiι:ητα στοιχεία για την τελική σύγκριση.

• Οι ίσες γωνίες βρίσκονται απέναντι αnό τις ί-

Θαvάσaς Κvιίιακόοο\Jλος

οες πλεορ�ς και το αντίστροφο. • Για την ισότητα ορθοyωνίωv τριγώνων (εκτός

της οpθ�ς· Ύωνίας φυσικά) · μας χρεiάzονται δύο αvtίστοιχα στοιχεία εκ �ων οποίων το έ­να τουλόχιστον να είναι πλευρό.

• Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. το όθροι(ηια των οξειώv. γώνιών του είναι 90° . Δήλ. εόν ΑΒΓ (Α = 9ooj, Β + Γ = 90Q. <=> Β = 900 - Γ και .......... , ' .......... •' Γ = 900 - Β. '. ,•. ,.

• Η εσωτ�ρική διχοτόμος γω:vίας φιγ<δνου εί­ναι κdθση στην αντίστοιχη eξωτeρiκή διχο­τόμο; kαθ'όσον οι διχοτόμοι δύο ε<Ρεξής και πaραήΛηρωματικών γωνιώv, όήώς ξέρουμε tέμνοVται κόθετα. . . ...,.

• Για να δείξουμε ότι ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ι­σοσΚελές (με .βάση τη ΒΓ), αpκέί να δείξουμε ένα από τα παρακάτω: α) ΑΒ = ΑΓ, Β) Β = r. γ) τ ο ΑΔ ύψος Ι;tαι διάμεσος,. δ) Τό ΑΔ μψος και διχοτόμος� ε) Το ΑΔ διάμεσος και .διχοτ6μος.

• Ορθογώνιο τρίγωνο με μια γωνία 45°, είναι ισοσκελές.

• Ισοσκελές τρίγωνο με μια γωνία 600, είναι �­σόπλεορο.

• Δύο τρίγωνα, ήου έχουν δύο γωνίες ίσες μίά προς μία, θα έχουν και τις·τρfι:ες τους γωνίες ίσες

· (Ιοογώνια) .

• Παραπληρωματικές γωνίες . ίσων γωνιών . εί� ναι ίσες (ψια παpάδειγμα, οι εξωτερικές γω­νίες, των παρά τη Βάση γωνιών ισοσκελούς τρiγώνοο, είναι ίσες) .

• Δύο τμήμaτα είναι ίσα και στην περίmωση που εκφράzονται σαν αθροίσματα ή διαφο­ρές ίσων τμημάτων.

• Η διc)μεσος στην υποτείνουσά c:;φθογωvίου τριγώνου, χωρίzει το τρίγωνο όε δύο ισοσκε­λή τρίγωνά.

Παρατιίpnσa: ...,Δ. · ..........

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΡ(Α = 900). Ε-άν Μ σημείο της ΒΓ ώστε MAr = f (ή 'ΜΑΒ = Β), τότε ΑΜ διάμεσος στη ΒΓ.

(Απόδέιξη: Άσκηση)

ΕΥΚΛΕΙΔΗ:ε Β' ιι8. τ. 1/20

\ -'

-------------- Ι'εωpετρία � ι\νκείον -------------

Ασιuίσεις

ΑσιιDΟD ι

Δίvει:αι ορθ. ι:ρίyωvο ΑΒΓ (Α = 90°) ιιαl .. δι•όι:οpος ΑΔ αvι:οιS. Φέροvpε aa6 '10 4 �άθει:D O'ID ΒΓ DOV ι:έpvει 'IDV 4\f" 'cno :ι Jιq�� ·i•� Af! σι;p r.�· Να δείξ�ι:ε on ΔΖ =, ΔΒ ιιοι ΔΡ ::::: ΔΓ. ·

, · \·• .. . • 1' ι '*' , · _, ι ,. ΛιSσa.

Γ

Φέρουμε ΔΣ l. ΑΒ και ΔΛ l. ΑΓ. Συγκρί­νουμε τα ορθ. τρίγωνα PU και Mr. 'Εχουν:

. ........ ""' 1 ) Ρ = Γ , διότι είναι οξείες γωνίες και έχουν τις

πλευρές τους κάθετες μία προς μία. 2) ΔΣ = ΔΛ, διότι το Δ ανήκει στη διχοτόμο.

Άρα PU = Mr και ε;πομένως ΔΡ = ΔΓ. 'Ομοια από τα ορθ. τρίγωνα ΒΣΔ κi:ιι ΔίΛ

πρqκύmει ΔΖ = ΔΒ.

AcntDOD 2

ΔίvεJ�Ι ε1)8. ι:pιipα ΑΒ ιιαι οapείο Γ εσωι:εριlιο . αvι:�ιS. ιiάvω σ� aμιεvθεία r., aόv Φέρvοvμε αaό 'lo r, .. αίρvοvμε :ιpιiμαι:ά. ΓΆ = Γ'Α •ιJ* ·rε =, ΓΒ. Να .�εί­ξει:ε οι:ί ΒΕ _!_ ΑΔ.

; .!

Α ........ ........

Avσa χ

Ε � \ ... )ι " ... ... \

Δ ι ... " '

,. .i" \ \

\ \

.Λ Β

Αρκεί Δι + �ι = 900 .

..:.. Από το ισοσκελές τρίγωνο ΓΑΔ (ΓΑ = ΓΔ) εί-

ναι Α = � και επειδή Δι = �. ως κατα κορυφή ........ ........ Α = Δι.

........ ..:.. Η Γ ι σαν εξωτερική γωνία του ΓΑΔ είναι: ........... ..-... ......... ..-.. ..-... Γι = Α + Δ2 � Γι = 2Δι

..:.. ή λόγω του τριγώνου ΕΓΒ:

1800 - Β - Ει = 2Δι

ή αφού fι = Β (διότι ΓΕ = ΓΒ): ........... ........... ........... ..........

1800 - 2Ει = 2Δι ή Δι = 90° - Ει ή Δι + fι = 90°.

Ασιιaσa 3

Δίvει:αι ι:ρίyωvο ΑΒΓ, σι:ο ο ο οίο •· σχιSει ίi - r = 90°. 'Εσι:ω ΑΔ D διχοι:ο-

"' pος ι:aς yωvίας Α. Να δείξει:ε on ΜΒ = 45°.

Α ΛιSσa

............ ......... ......... .......... Γ

Επειδή Β - Γ = 900 ή Β = 90° + Γ έπεται ότι το ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο στο Β.

'Εστω ΜΒ = Δι. ........ - ......... ......... ......... ......... ......... Α Είναι Δι = Γ + Α2 ή Δι = Γ + 2 (1 )

......... .......... ......... ·� Όμως Δι = 1800 - Β - Αι (από το ΑΒΔ) ή ........ ........ ........ Α Δ1 = 1800 - Β - 2 (2)

Από (1) και (2) έχουμε: 2Δι = 180° + (r - Β) ή

........ ........ ........ 2Δι = 1800 - (Β - Γ ) ή

2Δι = 1800 - 900 ή Δι = 45° .

Ασιιaσa 4

Σε ορθοyώvιο ι:ρίyωvο Air ΕΥΚΛΕΙΔΗJ; Β' κ8. τ. 1/21

-------------- rεωpει:pία Ν Λvιιείοv --------------

(Α = 90°), φέροvμε τnν εvθεία ΒΖ, nov

τέμνει τnν Μ στο Ζ, ώστε ΖΒΑ = :. Εάν

αqf,) το .. φέροvμε τn ru .l ΑΖ DOV τέ­μνει τn ΒΖ στο Η, να δεί�ετε ότι

BJ" = ΖΗ. . · 2

Η Λvσn

Θεωρούμε τη διάμεσο ΓΜ του ορθ. τριγώνου rHZ. Επειδή ΓΜ = z� αρκεί να δείξουμε ότι ΓΒ =ΓΜ.

Τα τρίγωνα Mrn και ΜΖΓ είναι ισοσκελή (γιατί;) . Επειδή τα τρίγωνα zAB' και zrΉ, έχουν δύο

........ ........ γ�vίες ίσες (τις ορθές και Ζι = Ζ2, ως κατά κο-ρυφή), θα έχουν και τις τρfι:ες τους γωνίες ίσες,

........ . ........... ........... ......... ........... ........... Β δηλ. Η = Βι ή Η = ΖΒΑ ή Η = 3· ........ ............ ........... ..-... Β Όμως Η = Γι, οπότε Γι = 3·

........ ........... .......... ........... ........... ........... .......... 28 Είναι: Μι = Γι + Η ή Μι = 2Γι ή Μι = g· ........... 2..-... ........... .......... Όμως ΖΒΓ = 3Β, δηλ. Μι = ΖΒΓ και το τρί-

γωνο rMB ισοσκελές, άρα ΓΒ = ΓΜ.

Ασκnσn 5 Δίνεται τρίyωνο Air με ΑΒ < Μ. Ε­

άν n οαράλλnί\n αοό το Β ορος τnν Μ, τέμνει τnν εσωτερικά και ε�ωτερικιί δι­χοτόμο τnς yωvίας Α, στα Μ και Ν α­ντίστοιχα, να δείfετε όu ΒΜ = ΒΝ.

Λvσn

Είναι ΑΔ .l Μ , δηλ. ΝΑΜ ορθογώνιο, οπό­τε για να δείξουμε ΒΜ = ΒΝ, αρκεί να δείξουμε � = Ν (γιατί; ) .

'Εχουμε: Αι = Ν, ως εντός εναλλάξ, Αι = �. διότι ΑΝ εξ. διχοτόμος

........ ........ Άρα Ν = Αz.

Ασκnσn 6 Δίνεται τρίyωνο Air με Β = 45° και

r = 15° . Σταν οροέιπασn τnς ΒΑ ορος το Α, οαίρνοvμε τμιίμα ΑΔ = 2ΑΒ. Να βρείτε το μέτρο τnς y�νίας Mr.

Β

Λvσn

........ ........ ........

Γ

Επειδή Β = 45° και Γ = 15° , είναι Α = 120° , δηλ. το ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο στο Α.

"""' Έστω ΔΡ το ύψος του ΑΔΓ . Στο ορθ. τρίγωνο ΑΡΔ είναι Αι = 600, οπότε

........ , ΑΔ Δι = 300, αρα ΑΡ =τ·

Από υπόθεση ΑΒ = �· άρα ΑΡ = ΑΒ και το ΑΒΡ ισοσκελές και επειδή Α = 1200 θα είναι

ΑΒΡ = ΑΡΒ = 1800 - Α = 1800 - 1200 = 300 2 2 ........ ........ ........ οπότε ΡΒΓ = Β - ΑΒΡ = 45° - 300 = 15° .

........ ........ """" Δηλ. ΡΒΓ = Γ = 15° και το τρίγωνο ΡΒΓ, εί-ναι επίσης ισοσκελές, δηλ. ΡΒ = ΡΓ (1) .

Είναι � = ΔΒΡ = 300 και άρα το τρ. ΡΒΔ ι-σοσκελές, δηλ. ΡΔ = ΡΒ (2) .

Απ ' ιι ).!2) ΡΔ ΡΓ p"""'"rΔ θ ' ο==> = και το τρ. ορ ογωνιο ........ και ισοσκελές. Άρα Δ2 = 45°.

........ ........ ........ Έχουμε ΑΔΓ = Δι + Δ2 = 300 + 45° = 75° .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιβ. τ. 1/22

--------------- Ι'εω.ει:ρίσ Ν Λvκείοv ---------------

1\σκοσο 7

Δίνεται ορβοyώvιο τρίyωνο Air ........ (Α = 90°) και n διάμεσος ΑΜ. Αιιό τ"-χαίο σnμείο Ρ τος ΑΜ φέρο"με κάθετο στον ΑΜ οο" τέμνει uς ΑΒ και Ar στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Εάν Ν το μέσο τος ΕΖ, να δεί�ετε ότι ΑΝ .l Br.

Λvσn

Α

Έστω Κ το σημείο τομής της ΑΝ με τη ΒΓ. Αρκεί να δείξουμε κΑr + Γ = 90° .

...,. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΖ, η ΑΝ είναι διάμεσος στην υποτείνουσα και άρα διαιρεί το τρίγωνο σε δύο ισοσκελή τρίγωνα, τα ΑΝΖ και ΑΝ Ε.

............ ............ .......... .......... Είναι λοιπόν ΝΑΖ= Ζ1 ή ΚΑΓ = Ζ1 (1) ........ ........ Ακόμη ΜΑΓ = Γ (2) για τον ίδιο λόγο.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΡΖ: .......... .......... .......... .......... ΡΑΖ + Ζ1 = 900 ή ΜΑΓ + Ζι = 900 (3)

Η (3) λόγω των (1) , (2) δίνει: ........ ........ Γ + ΚΑΓ = 900

'Άσιιnσο 8 ...,. ........

Δίνεται τρίyωνο ABr με Β < 90° και

Ar = 2·ΑΒ. Να δεί�ετε όu r < �-Λvσο

Α

Γ

Θεωρούμε τη διχοτόμο ΑΔ και το μέσο Ε της ΑΓ.

'Εχουμε: ΑΕ = ΕΓ = � = ΑΒ (υπόθεση) . Τότε όμως τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ είναι ίσα

διότι έχουν: 1) ΑΔ = ΑΔ κοινή 2) ΑΒ = ΑΕ όπως αποδείξαμε και 3) Αι = � (λόγω διχοτόμου) .

........ ........ Άρα θα είναι και Ει = Β. Όμως Β < 900 άρα Ε;_ < 90° , οπότε

........ ........ Ε2 < 900 (αφού Ε1 + Ε2 = 1800). τ α τρίγωνα ΑΕΔ και ΕΔr έχουν: 1) ΔΕ = ΔΕ κοινή 2) ΑΕ= ΕΓ ........ ........ 3) Ει < Ε2 Άρα σύμφωνα με το σχετικό θεώρημα: ΑΔ < ΔΓ οπότε στο τρίγωνο Mr είναι ........ . .......... .......... , ...-.. Α Γ < Α2 η Γ < 2.

Μαθηματικά 4nς Δέσμnς

•Άλγεβρα •Ανάλυση • Λυμένα Θέματα

Γενικής Επανάληψης και Δ

• Ν έ α Β ι β λ ί α • Π ρ ω τ ό τ υ π ε ς

Α σ κ ή σ ε ι ς

Απαραίτητα για τη ΣΩΣΤΗ

προετοιμασία των υποψηφίων

A.E.l - T.E.l

Τ ΑΚΗΣ ΠΟΛ Υ ΔΩ ΡΟΣ - ΠΑΝΝΗΣ ΣlΑΧΟΣ

Γιιιοl.οk.ίψωμtνη ιροr.1οιμασiα ιωvυ�ο9ηφίων A.EJ. Διάθεση - Πληροφορίες : Γιώργος Κυριάκογλου Πάρνηθας 61, 152 35 Βριλήσσια, Αττική. Τηλ. (OJ) 80 45 790 - (01) 80 41 216

Αποστέλλονται και ταχυδρομικά με αντικαταβολή.

ΕΥΚΛΕJΔΗ); Β' κ8. τ. 1/23

rεωμετρία Β' Λ"κείο" Μετρικές Σχέσεις

1. Δίνεται ισοσκελές τρίyωνο ABr (ΑΒ = Ar). Ι) Να δεί�ετε ότι : = 2·a� ii) Αν : = � (ν2 + V'), να "οολοyι­

στο.Sν οι yωνίες το" τριyώνο". ι

ΛtSσa

i) Από το νόμο των συνημπόνων έχουμε: α2 = 82 + y2 - 2ΒyσυνΑ <=> α2 = 282 - 282συνΑ <=> 2 2 Ό Α α = 28 (1 - συν Α) <=> β= 2ηll'ϊ.

ii) α2 = 282(1 - συν Α) <=> ( Έ) = 2(1 - συν Α) <=> 4-{ϊ2

= 2(1 - συνΑ) <=> 8 + 2 12

1 :-J3 = 1 - συνΑ <=> 4 + 2

4 - 2;-13 συνΑ = 1 - 2 ·� ι; 2. <=> 4 - (2-ν3) 2 -..J3 �13 συν Α = 1 - <=> συν Α=�<=> 2 2

Α = 300 και Β = Γ = 75° . """' ....... 2. Σε τρίyωνο ABr, είναι Α = 120°,

ΑΒ = Ar = 2α, Κ το βαρ.Sκεvτρό το" aαι ΑΔ, rz δtSo UqJD το". Να "οολο­yιστο.Sν, σ"ναρτιί.σει το" α, τα τpιί.· pατα ΖΔ, ΖΚ. . , . ·,:

ΛtSσa

Β

Σε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά απέναντι α-

rρayόρaς Δ. Φωτιάδaς

πό γωνία 300 είναι το μισό της υποτείνουσας. Άρα ΑΖ =ΑΔ= α.

ΔΖ2 = ΑΖ2 + ΑΔ2 - 2ΑΖ·ΑΔσυν1200 <=>

ΔΖ2 = 2α2 + 2α2·! = 3α2 <=> ΔΖ = crJ3 2 ΖΚ2 = ΑΖ2 + ΑΚ2 - 2ΑΖ·ΑΚσυν120° <=>

ΖΚ2 = α2 + (� α )2 - 2α·� α{-!)= 1 �α2 <=>

ΖΚ=�. 3

3. Οι ολε"ρές α, β, v τριyώνο" Air, ι-:· 2 2 2 κανοοοιο.Sν τα σχέσa: 2α = β + v .

Αν Η είναι το ορθόκεvτρό το", να

δεί�ετε ότι: 2ΑΗ2 = ΒΗ2 + rH2•

Λ.Sσιa

Α

τ ο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο επειδή 2 2 2 2 α < 2α = Β + ν .

r

Από το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα έ-. · ' χουμε:

α2 = 82 + / - 28-ΑΕ 2 82 2 2 ΑΖ α = . +ν - .. ν·

2α2 = 2(82 + y2) - 2(8-ΑΕ + ν· ΑΖ) <=> μ .

2 2 . 2α = 4α - 2(8-ΑΕ + γ-ΑΖ) <=> α2 = Β-ΑΕ + ν· ΑΖ (1) Εφαρμόzουμε το ίδιο θεώρημα στα τρίγωνα

ΗΑΒ και ΗΑΓ. ·

ΕΥΚΑΕΙΔΙΙΣ Β' d. τ. 1/24

-------------- Μει:ρικές �χέσεις--------------ΒΗ2 = γ2 + ΑΗ2 - 2γΑΖ ΓΗ2 = 62 + ΑΗ2 - 26ΑΕ

ΒΗ2+ΓΗ2 = 62+γ2+2ΑΗ2-2(6ΑΕ+γΑΖ) <=> από τη σχέση (1) ΒΗ2 + ΓΗ2 = 2α2 + 2ΑΗ2 - 2α2 <=>

2ΑΗ2 = ΒΗ2 + ΓΗ2.

4. Δvο κινaτά κινοvvται οpαλώς pε τα­χVτaτες " και 2v, σος ιιkvρές ισό-..... ολεvροv τριyώνοv ABr ιιkvράς α = 20m και αναχωροw ταvτόχρονα αοό uς κορvφές Β aaι r, pε κατεv-θvνσa τaν κορvφιί Α. Av " = 2 �, sec να βρεθεί pετά οόσο χρόνο θα αοέ­χοvν pετα�v τοvς αοόστασa 14m.

Λvoa Α

α Γ

Έστω μετά χρόνο t θα βρίσκονται στις θέσεις Δ και Ε, τότε θα είναι: ΒΔ = υ-t = 2·t και ..... ΓΕ = 2υ-t = 4-t. Στο τρίγωνο ΑΔΕ, από το νόμο των σuνημπόνων, έχουμε: ΔΕ2 = ΑΔ2 + ΑΕ2 - 2ΑΔ·ΑΕ·σuνΑ <=>

142 = (20-2t)2 +(20-4t)2-2(20-2t) (20-4t)·� <=>

3t2 - 30t + 51 = Ο και tι = 5 - 2�sec, t2 = 5 + 2�sec.

Έχουμε δύο λύσεις, αν υποθέσουμε ότι θα συνεχίσουν να κινούνται και μετά το Α στις ημι­ευθείες ΒΑ και Γ Α. ..... 5. 'Εcπω ισοσιιεΑές τρίyωνο ABr

(ΑΒ = . Ar) και το pέσο Μ τaς ολεv­ράς Ar. Να δειχθεί όu: ΒΓ = 2(ΜΒ2 - ΜΓ).

Λvoa Α

Από το 1° θεώρημα των διαμέσων στο τρίγω-..... νο ΑΒΓ, έχουμε:

ΑΒ2 +Br-2 = 2ΒΜ2 + � <=> (ΑΒ=ΑΓ =2ΜΓ)

(2ΜΓ)2 + Βι-2 = 2ΒΜ2 + 2Μι-2 <=>

Βι-2 = 2(ΒΜ2 - Μι-2).

6. Δίνεται τρίyωνο Air και Κ το βαρv­ιιεvτρό τοv. Αν ΚΑ = 1, ΚΒ = 2, Kr = '\[3, να Vοολοyιστοvν ΟΙ ολεV• ρές τοv τριyώνοv.

Λvoa Α

Β ..... Από το θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα ΚΒΓ , κΑΓ, κΑΒ έχουμε:

2 ΚΒ2 + J<ι-2 = 2ΚΔ2 + �<=> 2

22 + �2 = 2· (� )2 + � <=> α = νΙ3

2 ΚΑ2 + J<ι-2 = 2ΚΕ2 +!!..<=> 2

2 12 + �2 = 2· 12 + !L <=> 6 = 2 2 2 ΚΑ2 + ΚΒ2 = 2ΚΖ2 + y_ <=> 2

12 + 22 = 2{�J +�<=> γ=*fl.

ΕΥΚι\ΕΙΔΙΙ� Β' κθ. τ. 1/25

-------------- Μετρικές Σχέσεις--------------7. θεωροvpε τρίyωνο Air και τα σa­

pεία Δ, Ε τaς Br ώστε ΒΔ = ΔΕ = Er. Να vοολοyιστοvν τα τpιί.pατα ΑΔ, ΑΕ αοό τις ολεvρές τοv τριyώνοv.

Λvσa Α

Γ

Στο τρίγωνο ΑΒΕ η ΑΔ είναι διάμεσος, ενώ στο τρίγωνο ΑΔr η ΑΕ είναι διάμεσος. Άρα:

2 y2 + ΑΕ2 = 2ΑΔ2 + ΒΕ <=> 2 y2 + ΑΕ2 = 2ΑΔ2 + � (� α) <=>

ΑΕ2 = 2ΑΔ2 + _g_ α2 - y2 (1) 9 2 2 2 Δr , β + ΑΔ = 2ΑΕ +τ<=> (απο (1))

β2+ΑΔ2 = 2(2ΑΔ2 + �2 - v2)+ � (� α )2 <=>

β2 + ΑΔ2 = 4ΑΔ2 + � α2 - 2y2 + _g_ α2 <=> 9 9 β2 + 2y2 _& α2 = 3ΑΔ2 <=> 9 ΑΔ2 = l (3β2 + 6y2 - 2α2) <=>

9 ΑΔ =!ν3β2 + 6ν2 - 2α2.

Από τη σχέση ( 1), είναι:

ΑΕ2 = l ( 6β2 + 3y2 - 2α2) <=> 9

ΑΕ= !ν6β2 + 3ν2 - 2α2.

...... 8. �ε τρίyωνο ABr οι διάμεσοι ΒΔ και

rE τέμνονται κάθετα. Αν είναι α = 4, Pe = -{15, να vοολοyιστοvν οι ολεv­ρές β, y τοv τριyώνοv Air.

Λvσa Από το ορθογώνιο τρίγωνο κΒr έχουμε:

Α

Από το θεώρημα διαμέσων έχουμε:

2 2 2 β2 2 β2 α + γ = 2μ6 + 2 <=> 16 + γ = 30 + 2 <=> 2

v2 = � + 14 2 2 2 2 α + β = 2μv + "} <=>

16 + β2 = 42 + � (�2 + 14 )<=> -

β = 2-{ϊί και ν = 6. ...... 9. Οι ολεvρές τριyώvοv ABr ιιιαvο-

, , 2 2 82 2 οοιοvν τα σχεσa: α = + v . i) Να δείξετε ότι τα τρίyί.»να Air ιιαι αvτό oov έχει ολεvρές τις διαpέσοvς Ρα, Pe, Pv τοv Air είναι όμοια. Να βρεθεί ο λόyος οpοιότaτας. ii) Αν α = v·-12 ιιαι p8 = 3·-.Ji, να vοο­λοyιστοvν οι ολεvρές τοv τριyώνοv.

Λvσa i) Από τους τύπους των διαμέσων προκύmει:

2 1 2 2 2 μα = 4 (2β + 2y - α ) <=>

μ 2 = l (4α2 _ α2) = � α2 <=> _Q_= 2·Υ3 α 4 4 μα 3 2 1 2 2 2 μ6 = 4 (2α + 2y - β ) <=>

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιβ. τ. 1/26

-------------- Μετρικές Σχέσεις--------------

2 1 2 2 2 μΥ = 4 (2α + 2Β - ν ) <=> 2 1 (Β2 + 2 + 2Β2 2) μΥ = 4 ν - ν <=>

μΥ 2 =� Β2 <=> ..!!_ = 2·..J3 4 μΥ 3

τ α τρίγωνα είναι όμοια επειδή έχουν πλευ­ρές ανάλογες:

S!_ -..!!. - .J_ - 2..J3 μα - μy

- μβ - 3

"") 2·..J3 6 ιι ν = 3 ·μe<=> ν = •

α = ν·-ν2 <=> α = 6\12.

Β2= 2α2 - ν2 <=> Β2= 2· (6\12)2 - 36 <=> Β = &�

ι ο. Δίνεται ορβοyώvιο τρίyωvο Air -.. (Α = 90°) με 8 ::1: y και a δαοτόμος

ΑΔ. Η κάθετα στα Br στο σaμείο Δ τέμνει ταν Ar στο σaμείο Ε. i) Να νοολοyιστο"ν τα τpιίματα Er, ΕΔ αοό uς ολενρές τον τριyώvον. ii) Να αοοδεαβεί ότι ΔΒ = ΔΕ.

Λ"σa Γ

i) Έστω Β > γ. Από το θεώρημα διχοτόμων ΔΓ = Β

αΒ . τ α τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕr είναι ό-+ ν

μοια (ορθογώνια με κοινή τη γωνία r). ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΔΕ=ΔΓ= εr Άρα

..::ι_ = _Β_ <=> ..::ι_= .§..±_y <=> ΕΔ = ..Ξ1_ ΕΔ � ΕΔ α Β + ν Β + ν

� = .!Lt..Y <=> ΕΓ = L ΕΓ α Β + γ" ii) Από το θεώρημα διχοτόμων ΔΒ = ..ΞJ.._Β

α καί + ν ισχύει ΔΒ = ΔΕ. Αν Β < γ, το Ε Βρίσκεται στην προέκταση της Γ Α. Ανάλογη απόδεiξη.

ι ι . 'Εστω τρίyωνο Air. i) Να νοολοyιστεί a ορο8ολιί ΗΔ τος δαοτόμον ΑΔ στον ολενρά Bt, σνναρτιίσει των ολενρών α, 8, y. -.. ii) Αν Α = 90° και ΗΔ = 8 - y, δείρε , ι ι ι (8 ) οτι - = - + - > y . α 8 y

Λ"σa Α

ΔΒ = ..Ξ1_ (θεώρημα δαοτόμων) Β + ν Β2 = α2 + / - 2α· ΒΗ <=> (γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα)

2 2 2 ΒΗ = α +γ - Β 2α 2 2 2

i) ΗΔ = ΒΔ- ΒΗ �- α +Υ - Β = Β +ν 2α (Β -γ)( α + Β + y)(B + γ- α)

2α(Β + γ) ii) ΗΔ = Β - ν <=>

Γ

Β _ = (Β -γ)( α + β + y)(B +γ- α) <=> ν 2α(Β + ν) (Β + γ)2 - α2 = 2αΒ + 2αγ <=> Β2 + / + 2Βν - α2 = 2αΒ + 2αν <=> Βν =αΒ + αν <=> l = l + l.

α Β ν ι2. Δίνεται ισοσκελές τρίyωνο ABr

(ΑΒ = Ar) και σaμείο Δ τος Ar, τε. τοιο· ώστε ΔΑ = ΔΒ = Br. Αν -.. -.. ...2 Βι:�. = 3Α δείρε όu Βι = Ar· rΔ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κθ. τ. 1/27

-------------- Μετρικές Σχέσεις--------------Λvσn Α

Β:ξ. = 3Α <=> 1800 - Β = 3Α <=> ........ ........ ........ Β = Γ = 1800 - 3Α . ......... ......... .......... r Α + Β + Γ = 1800 <=> ........ ........ . Α + 3600 - 6Α = 1800 <=> ........ ........ ........ Α = 36° και Β = Γ = 72° . ........ . Επειδή ΔΑ = ΔΒ, είναι ΑΒΔ = 36° και ΒΔ

διχοτόμος. 2

ΔΑ =�= __!L__B (θεώρημα διχοτόμων) α + ν α + ΔΑ= ΔΒ = ΒΓ = α (υπόθεση)

Β2 Άρα--Β= α (1 ) α + ΔΓ = __Q!_ = __Q!_ (2) (θ. διχοτόμων) α + ν α + Β Από τις σχέσεις (1) και (2), είναι:

ΑΓ· ΓΔ = 6-__Q!._ = α·L = α2 = Bf α + Β α + Β

13. Δίνεται τρίyωνο Air με Α :ι: 90° κμι ο διάμεσος ΑΜ. Η δσοτόpος ΜΔ τος yωVίας ΑΜΒ -Ιέμνει τον αροέ­ιπασn τος Μ στο σnμείο Ε. Να α­αοδεσ8εί ο σχέόi:ι: ΑΕ· ΒΔ = ΑΔ· Ι"Ε.

Λvσn ,...... ΔΑ ΑΜ

• Α > 900: ΔΒ = ΒΜ (1) (θ. διχοτόμων)

Αν ΑΖ I/ ΜΕ τότε ΜΑ= ΜΖ. Ε ........................ ...... .... --.... -

� .... .... � .... .... � Β Μ Ζ Γ

-. . Ano το θεώρpμα Θdλή, έχουμε: ΕΑ ΜΖ ΜΑ · · · ΕΓ = ΜΓ = ΜΒ (2)

·.:- � ( Αhο ης (1) και- (2), iχουμέ �=�<=>ΔΒfΞi\=Μ·ΕΓ. , _ ........... .· ' ,- ' ' ; · ' -� ' . ' ι.: -_ _ ) .:.r; (# ' 1

• Α < 9b0 : · Το σημείο Ε Βp(dkετφ σrην ηροέ-r � Ή �� κταση της ΑΓ πρός i:o Γ. Η απόδειξη είναΙ α-νάλογη.

fΓ . ;. ' _ ι _ ·;. , _ '" �� i' . ·W:::::.. : 14. Σε op8oyώ�o. · ι;ρίyωνb .. · ; �I"

........... .. ' . . : ,_._. � • -.· l ·� ... ) (Α = gοοι ιίq.ίpνqvJΙε: τb. vψος 1)11, το δι�οι;όμο ΑΔ κCιι τ� διάμεσο ΑΜ. Ncl ααοδειχ8εί: Ι) ιι ΑΔ είναι διχοτόpος C:no τρίyω· νb ΑΜΗ. . ii) y > β <=> Δ.Jι.ΔΜ -ΔΙ"·ΔΗ > Ο.

Λvσn

.. i Β

i) Α.1 = ΓΜ -Α;. = 45° - Β } ......... .;......

& = Μ8 -Αι, = 45° - Β . <=> Αι = Α2

ii) ΔΒΔΜ - ΔΓ·ΔΗ > Ο<=> ΔΒΔΜ :> ΔΓ·ΔΗ <=> ΔΒ -.. ΔΗ ΔΓ

> ΔΜ <=>

•' ...,. ...;.. (από θ. διχοτόμων σrα ΑΒΓ; ΗΑΜ) Υ Ua ΔΒ � ΔΗ ΑΗ >-<=> (-= .ιι.. και-=-) Β μa ΔΓ Β ΔΜ ΑΜ

� y Ό ·· α Β> α<=> (Β-γ = α·υa και μα = 2) 2

α2 > 2Β2 <=> Β2 + ν2 > 2Β2 <=> ν2 > Β2 <=> ν > Β .

15. Δίνεται τρίyωνο Air και ο διχοτό­jιος τοv ΑΔ = δ0• Μια εv8εία (ε) τέ­μνει τις εv8είες ΑΒ, 81", J"A στα σnμεία Ε, Ζ, Η αντίστοιχα και είναι

ΕΥΚι\ΕΙΔΙΙΣ Β' κ8. τ. 1/28

-------------- Μετριάς Σχέσεις--------------οσράλΑnλn ορος τnν ΑΔ. Να αοο­δει:ιr.θεί n · σ:ιr.έσn: !.ΕΖ + ι ΖΗ = (ι + ι)δ β y ··· ' β Υ α

Λvσn

Από JO θεώpημα Θαλή και τα όμοια τρίγωνα � � " ' � . .

ΑΒΔ, ΕΒΖ έχουpέ: ΕΖ · Bz ΕΖ ΒΖ -. =--· �-- -=-· -� ΑΔ ΒΔ δα ....ΕΥ_

-, B + v

(θ. δJΧοτόμω_ ν ΒΔ= ....ΕΥ_Βα ) . . + ν

Β + ΕΖ= δ ·�ΒΖ� α ,dγ . . 1J:.Z = δ ,β+ Υ ΒΖ (1) Β ' α α6ν :ι.

ΖΗ ΖΓ · _ """

"""

ΑΔ = ΔΓ � _(ΑΔΓ == ΗΖΓ) . •. ι ι

ΖΗ = δ� . ..Ε._ � l ΖΗ = δ)�..±..Υ. ΖΓ (2) ' r .l!!L ν αΒν Β *ν

ηροσθέτω �ατό μέλη τις σχέσεις (1) και (2) ι 1 · !L±...Y. ·

8tz + V Ztf = δα· αΒν (ΒΖ + ΖΓ) �

.!.ΕΖ + lzH = δα·� α� β , v � αΒν lEZ+lZH = (l+ .!)δ . Β ν . · Β ν α

. . . � ..-... ...........

ι,.. θεωρονμε τρίyωνο ABI' με Β = 21' ιι�ι το Jψος τον ΑΔ. Ν� δ'εί�ετε ότι: .,) . ι»J =

�:':' όοον Μ είνα� �ο μέσον

τnς Ql'. "'

2 . 11) n ε�ίσωσn αχ + 2βχ + y = Ο (ι) έχει άνισες ρίzες, όοον σ, β, y τα μέτρα των ολενρών τον τριyώνον

.Δ. ABI' 111) αν s και p το άθροισμα και το yινόμενο των ριzών τnς (ι) τότε: s2 = 4p(ι + p).

Λvσn

....... ' Γ

:, _ .......... Β ..-... ..ι:::... Αν ΒΕ δίχοτόμος τότε ΕΒΓ = 2 = Γ και ΒΕΓ ισοσκελές με ΒΕ = ΕΓ. Η διάμεσος ΕΜ είναι κάθετη στη ΒΓ και ισχύει: ΕΜ I I ΑΔ.

i) ΔΜ = ΑΕ� (θεώρημα Θαλή) ΜΓ Ef ·. ·.

m = � � (θεώρημα δΙΧοτόμου � = �) ΔΜ =.Υ. · .Q �ΔΜ = ΑΒ (2)

· α 2 · 2 ·

ii) Β2 - ν2 ·= 2α·ΔΜ � (2° θεώρημα διαμέσων) Β2 - ν2 = α· ν� (από τη σχέqη (2)) . 2 2 Β - αν = ν β) Η διακρίνουσα της εξίσωσης (1 ) είναι: . ' ' Δ = 4�2 - 4αν = 4(Β2 - αν) = 4ν2 > ο,

άρα η (1) έχει άνισες ρίzες . ... ) Ε' . - 2Β .Υ. ιιι ιναι s = --- και p =

a · α s2 = 4p(l + p) � 4�2 = 1:ν (ι + .Υ.)�

α α α 4�2 = 4ν(α + ν) � Β2 = αν + ν2 αληθής.

ι7. Δvο κvκλοι (Κ, ρ) ιισι (Λ, R) εφά­οτοvται ε�ωτερικά στο σnμείο Α. Αοό τνχσίο σnμείο Μ τeν ορώτον κvκλον, φ�ρ�ονpε εφσοτομένn ΜΒ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κθ. τ. 1/29

-------------- Μετρικές Σκέσεις--------------

cno δεVιερο κvκλο. Να δείξετε ότι:

:: =R·

Λvσn

Έστω ΜΑΓ τέμνουσα και ΜΒ εφαmομένη του κύκλου (Λ, R) , τότε ΜΒ2 = ΜΑ· ΜΓ <=>

ΜΒ2 = ΜΓ = ΜΑ'+ ΑΓ = 1 + ΑΓ (1) ΜΑ2 ΜΑ ΜΑ ΜΑ

...,. ...,. ' Τ α τρίγωνα ΚΑΜ και ΛΑΓ είναι όμοια yιατι είνα� ισοσκελή με Αι = Az (κατακορυφήν). Θα είναι

ΑΓ = R (2) ΜΑ ρ Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε: ΜΒ = - Q. ΜΑ -ν � · ρ

18. Σε ορβοyώvιο τρίyωνο Air (Α = 90°) n διχοτόμος ΒΔ τέμνει τον οεριyεyραμμένο κv.«ιο το" τρι-

, , Ε Α 8 4 yφνο", cno σnμειο • v Υ = 3, να

β�εβε. ο Αόyος =· Λvσn

Ε

Είναι�= �<=> ν =i Β. Από το πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε:

2 2 2 2 2 9 62 25 62 α = β + Υ <=> α = β + 16 = 16 <=>

5 α = 4 β.

Από το θεώρημα της διχοτόμου έχουμε: &� β

ΔΑ -_b_- 4 =� Β - α + ν - Ξ Β + � Β 8 4 4 Ξ Β2

ΔΓ =�= 4 =Ξ Β α + y Ξ Β + � Β 8 4 4

ΔΒ2 -ΔΑ2 ΑΒ2 ΔΒ2 = _2_ 62 + _2_ 62 <=> - + <=> 64 16

ΔΒ2 = 45 62 <=> ΔΒ = 3·-JS Β 64 8 ΔΒ ΔΕ= ΔΑ· ΔΓ <=> (τέμνουσες κύκλου) 3-J5 &ΔΕ=� &Ξ Β <=> ΔΕ =� Β. 8 8 8 8

3-JS B Σ , ΔΒ 8 3 υνεπως ΔΕ = �Β

= .

8

19. Δίνεται τρίyωνο Air, ΑΔ = δα n ε­σωτερικό διχοτόμος aαι ΑΖ = δ' α n

_....... εξωτερικό διχοτόμος τnς yωvίας Α. i) Να αοοδείξετε: δ: = &y - ΔΒ-Δr και δ': = zszr - &y •i) Να "ooAoyιcnovν οι δα, δ' α αοό τις ιιΑε"ρές το" τριyώνο".

Λvon

i) ΑΒΔ- ΑΕΓ (Al = Az. Β = Ε βαίνουν στο ίδιο τόξο) .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιθ. τ. 1/SO

-------------�- Μετρικές Σ:χέσεις---------------

z

ΑΒ ΑΔ ΑΕ = ΑΓ <=> 6-y = δα· (δα + ΔΕ) <=>

6-y = δ� + δα· ΔΕ<=> 6-y = δ� + ΔΒΔΓ <=> (τέμνουσες κύκλου ΔΒ ΔΓ = ΔΑ· ΔΕ) δ� = β ·ν - ΔΒ ΔΓ

Ε

ΖΑ· ΖΕ = ΖΒ ΖΓ (τέμνουσες κύκλου) δ' α· (δ' α + ΑΕ) = ΖΒΖΓ <=> δ'� + δ' α· ΑΕ = ΖΒΖΓ (1)

ΑΒΖ - ΑΕΓ ιΒ:ξ = 'Ε στο εννενρaμμένο τετράπλευρο

........ ........ ........ ΑΒΓΕ, Αι = Α3 = Α2) . ΑΒ ΑΖ ΑΕ = ΑΓ <=> 6-y = δ'a·ΑΕ (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2):

Δnpότρnς Ι'εωρyακίλας Τάσος θεοδωρακόοοWιος

Άι1yε8ρα κα1 Avanυnκrί Γεωμεrρfα

• Λυμένα και άλυτα θέματα με υποδεί­ξεις και απαvτήσ.εις

• Θέματα συνδιασμένα με την Ανάλυση Κ"κλοφορεί σ.Svτοpα

Εκδόσεις: Μαθηματική Βιβλιοθήκη Χ. Βαφειάδης

Δέλιου 4 • 546 21 Θεσσαλονίκη Τηλ.: (031) 263 163 Fax: (031) 240 595

δ'� + 6-y = ΖΒΖΓ <=> δ'� = ΖΒΖΓ - 6-y

ii) δ� = 6-y - ΔΒΔΓ <=> (aπό θ.εσωτ.διχοτόμου)

δ2 = 6- -__.!!Y.__....!!!L <=> α ν β + γ β + γ δ� = βγ

2 [(β + y)2 - 02] =

(β + γ) βγ

2 (β + ν + a)(β + ν - a) = (β + γ) βγ 2τ·2(τ - α)

(β + y)2

δα = -β 2 ..Jβyr(τ - α) + ν

δ'� = ΖΒΖΓ - 6-y <=> (aπό θ.εξωτ.διχοτόμου)

δ' 2 = __.!!Y.__....!!!L - β <=> α β - γ β - γ ν

δ'� = βγ 2 [a

2 - (β - y)2] = (β - γ)

βγ 2 (α - β + γ)( α + β - γ) =

(β - γ) βγ

2 2(τ - β)·2(τ - γ) (β - γ)

δ' α = I β: νΙ ..Jβy(τ - β) (τ - γ).

ΚΥΚΛΟΦΟΡΗΣΕ ΣΥrΧΡΟΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ

ΤΟΝ ΜΑθΗΜΑΤΙΚΟΝ ΜΠΑΜΠΗ ΤΟΥΜΑΣΗ

Δρ. Μαθηματικής Εκπαίδεuσης • Μαθηματικά, Κοινωνία και Μαθηματική Εκπαίδευση 8 Πως μαθαίνοuν τα παιδιά Μαθημαuκά 8 Μοντέλα διδασκαλίας 8 Οργάνωση διδασκαλίας 8 Αξιολ6γnση τοu μαθητή, κατασκεuή τεστ 8 Ειδική διδακτική Άλγεβρας, Γεωμετρίας, Ανάλuσης 8 Ερωτήσεις - Ασκήσεις - Δραστηριόmτες • Ένα χρήσιμο βοήθημα για όλοuς εκείνοuς τοuς δασκάλοuς των μαθημαuκών ποu σuμμερίzοvται m βασική παιδαγωγική αρχή, όu η μάθηση των μαθημαuκών εξαρτάται περισσότερο α­πό το πώς θα διδαχθούν αuτά και λιγότερο από το u θα διδαχθεί κάθε φορά. • Ένα βιβλίο ποu θα ξεκοuράσει το δάσκαλο των μαθημαu­κών από m λαίλαπα mς σκληρής ασκησιολογίας ποu μαστίzει m σημερινή διδακuκή πράξη και θα τον βοηθήσει να δει m Μαθη­μαuκή Παιδεία και το ρόλο τοu σ' αuτή, μέσα από μια διαφορe­uκή οπτική γωνία. ΕΚΔΟΣ:ΕΙΣ: GυrENBERG: Σόλωνος 103, Τ.Κ. 106 78

Τηλ.: 36 00 798 Fax: 36 00 127

ΕΥΚΑΕΙΔΗΣ: Β' κβ. τ. 1/31

Υπάρχει . . .

r. Τσαααιιίδn

ΠΡΟΒΛΗΜΑ I ρ: Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο [0, 1] με f(x)g(x) ::ι. Ο για κάθε χ Ε (0, 1) και f(O) = g(1) = Ο, να δειχτεί ότι υπάρχει ξ Ε (0, 1) τέrοιο, ώστε fE)_ g_ω _ f(ξ) +

g(ξ) - ο.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2ο: Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [α, Β] και ισχύει f(α) + f(B) = 2 f (α; 6) να δειχτεί ότι υπάρχει ξ Ε (α, Β) τέrοιο, ώστ� f' (ξ) = �.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3ο: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, ι] και 1996J 1f(x) dx = 1 να δειχτεί ο '

ότι υπάρχει ξ Ε [0, 1] τέrοιο, ώστε f(ξ) = ξ�995• ':..;'·

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4ο: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, Β], να δειχτεί ότι υπάρχει ξ Ε (α, Β) τέrοιο, ώστε f(ξ) = α � ξ + Β � ξ'

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5ο: Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ψ - χ3, χ Ε (0, 1). Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ Ε (0, 1 ) τέrοιο, ώστε f(x) � f(ξ) για κάθε χ Ε (0, 1) .

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6ο: Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο [0, 1] με f(x) � Ο και g(x) � Ο για κάθε χ Ε [0, 1] να δειχτεί ότι υπάρχει ξ Ε [0, 1] τέrοιο, ώστε ιξ

f(t) dt = 1ξg(t) dt.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 7ο: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, Β] και χ1, χ2, • • • Χν Ε [α, Β] να δειχτεί ότι υπάρχει ξ Ε [α, Β] τέrοιο, ώστε f(ξ) = f(χι) + f(x2) + · · · + f(Χν)

. ν

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 8ο: Αν η f είναι συνεχής �ο [α, Β] με f(α) > Ο και ι6f(χ) dx < Ο, �α δειχτεί ότι υ­

πάρχει ξ Ε (α, Β) τέrοι:ο, ώστε f(ξ) = Ο.

Όπως φαίνεται και από τα προηγούμενα προβλήματα, το συμπέρασμα πολλών θεωρητικών προβλημάτων της Ανάλυσης είναι της μορφής: «να δειχτεί ότι υπάρχει ξ Ε (α, Β) ή ξ Ε [α, Β] τέrοιο ώστε . . . ». Πώς θα μπορούσαμε να αντιμετωπίσουμε τέrοια θέματα στο πλαίσιο των Γενικών Εξετά­σεων;

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' ιιβ. τ. 1/32

----------------Υοόρχει ... ----------------

Θα πρέπει πρώτα απ' όλα να γvωρfzουμε καλά όλα τα θεωρήματα με ανάλογα συμπεράσματα. τ α .θεωρήματα αυτά είναι:

θεώρaμα τοv Bolzaao

θεώρaμ� ενδιαμέσων τιμών

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, 6] με f(α)f(6) < Ο, τότε θα υπάρχει ξ Ε (α, 6) τέrοιο, ώστε f(ξ) = 0.· Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, 6] με f(α) * f(6) και ο h είναι μεταξύ των f(α), f(6) τότε υπάρχει ξ e (α; 6) τέrοιο, ώστε f(ξ) = h.

. .

t)a: θεώρaμα τοv Bolle ... . .. · . .

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, 6] , παραγωγί�μη στο (α, 6) και f(α) = f(6) τότε θα υπάρχει ξ Ε (α, 6) τέrοιο Φqτε f (ξ) = Ο. ,

. '

θ4: θ�ώρapα μέσaς uμιίς Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, 6] και παραγωγίσιμη στο (α, 6) τότε θα υπάρχει ξ Ε .(α, 6) τέrοιο, ώστε ·' < "" '"

f (ξ) = f(6) - f(α). 6 - α

θ5: θεώρapα μέσaς Όpάς Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, 6], τότε υπάρχει ·,. τοv ολοκlιtιρωΌ&ΟV

λοyισp0v, . ,.- ... � Ε [α, 6) τέrοιο, ώστε ι6f(χ) dx = (6 - α) f(ξ) .

Εκτός τω':' �αραπάνω θ�ρημάτων μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τις προφανείς προτά­σεις: • Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμοJ) το Α και σύνολο τιμών το f(A) . Αν h Ε f(A) τότε υπάρχει

ξ Ε Ά τέτοΊο ώστε f(ξ) = h. (Η πρ<$ταση aυτή είναι γενικότερη του θεωρήματος των Ενδιαμέσων Τιμώv.)

· · ' [

• Αν η συνάρmση f έχει μέγιστη τιμή στο πεδίο ορισμού της Α, τότε θα υπάρχει ξ Ε Α τέrοιο, ώστε f(ξ) � f(x) για κάθε χ Ε Α.

• Αν π �νάρmση f έχει ελάχιστη τιμή στο πεδίο ορισμού της Α, τότε θα υπάρχει ξ Ε Α τέrοιο, Φ-στε f(ξ) � f(x) για κάθε χ Ε Α. ·

Ειδικότ�ρα. αν το zητούμεvο είναι: • f(ξ) = Ο, τότε είναι ένδειξη εφαρμογής του 0. Bolzaηo. • f (ξ) = 0 ή f' (ξ) = Ο είναι ένδειξn εφαρμογής του Θ. �olle.

Οι σκέψεις που θα οδηγήσουν στη λύση των προτεινομένων προβλημάτων θα δώσουν και τη μεθοδολογία λύΟης αναλόγων προβλημάτων.

·

Σκέψεt,ς

Ε , , , , ξ (0 1) , , Κill � - ο σrιαzουμε την προσοχη μας στο zητουμενο: υπαρχει Ε , τετοιο, ωστε f(ξ) + g(ξ) - . Το «υπάρχει» και η ύπαρξη παραγώγου στο zη�ούμενο είναι ένδειξη χρήσης του Θ. Rolle. Αλλά

το Θ. Rolle έχει συμπέρασμα: υπάρχει ξ Ε (α, 6) τέrοιο, ώστε f (ξ) = Ο, πράγμα που σημαίνει ότι το πρώτο με'λ�ς �ης �((�)) + �((�)) = Ο θα έπρεπε να είναι Ώ παράγωγος μιaς qυvdρτησης �ο ξ. Ποιάς ό­μως;

Μια pαρ6σrαση που περιέχει παρονομαστές απλουστεύεται με απαλοιφή, έ"!:σι η αποδεικτέα γράφεται ιοοδύναμα f'(ξ)g(ξ) + f(ξ)g' (ξ) = ο <=> h' (ξ) = ο με h(x) = f(x)g(�). " ·Επομένως θα πρέπει να εφαpμόσουμε το Θ. Rolle για την h(x) = f(x)g(x) στο [0, 1] . � ' .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιθ. τ. 1/33

---------------Υοάρχει ... ---------------

Λ.Sσο

Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) = f(x)g(x) που είναι παραyωyίσιμη στο [0, 1] ως γινόμενο παρα­yωyισίμων συναρτήσεων στο [0, 1] , με h' (x) = f (x)g(x) + f(x)g' (x).

Είναι h(O) = f(O)g(O) = Q.g(O) = Ο και h(1) = f(1)g(1) = f(1)·0 = Ο, έτσι h(O) = h(1), επομένως ι­σχύει το Θ. Rolle νια την h στο [0, 1], άρα θα υπάρχει ξ Ε (0, 1) τέτοιο, ώστε h' (ξ) = Ο <=> f (ξ)g(ξ) + f(ξ)g' (ξ) = Ο<=> �((f)):((f)) + 1ιW)�((f)) Ο (γιατί f(ξ)g(ξ) '# Ο, αφού f(x)g(x) '# Ο νια χ Ε (0, 1))

κ.ω. g_m _ . <=> f(ξ) + g(ξ) - ο.

Πρόβλnpα 2ο Σκέψεις

Το zητούμενο μας οδηγεί στο να εφαρμόσουμε το Θ. Rolle νια την f στο [α, Β] . ΑΊ\Λά τι θα έπρε­πε να ισχύει για την f ώστε να εφαρμόzεται το Θ. Rolle yι'αυτήν στο [α, Β] ;

Η f να είναι παραyωyίσιμη στο [α, Β] (πράγμα που ισχύει, γιατί η f είναι δυο φορές παραyωyίσι­μη στο [α, Β]) και f (α) = f (Β) , όμως η σχέΟη αυτή δεν απορρέει από τα δεδομένα του προβλήματος. Έτσι είναι αναγκαία η αλλαγή πορείας και αναΖητήσεων. Αναzητούμε σύνδεση δεδομένων - zη-τουμένων.

Υπάρχει θεώρημα με υπόθεση ανάλοyη της f(α) + f(B) = 2 f (α; 6) ;

'Οχι, αλλά η f(α) + f(B) = 2 f (α; 6) νράφεται f(B) - f (α; 6) = f (α; 6)- f(α) που κάθε μέλος της εμφανίzεται στο Θ.Μ.Τ.

Εφαρμόzουμε το Θ.Μ.Τ νια την f στα [α, α; 6] και [α; 6, Β J. οπότε θα υπάρχουν ξι Ε (α, α; 6) s:_ (.α + Β Β) , , και � Ε \.-2 -, τετοια, ωστε

_ f (α; 6)- f(α) f (α; 6)- f(α) f (ξι) - Β 2 -_'"-----::6:-'---α+ - α

-2-- α

άρα f (ξι) = f (�), έτσι εφαρμόzουμε το Θ. Rolle νια την f στο [ξι , �] . Λ.Sσο

Επειδή η f είναι δυο φορές παραyωyίσιμη στο [α, Β] , θα είναι παραyωyίσιμη σε καθένα από τα [α, α; 6] και [α; 6, Β J άρα θα ισχύει το Θ.Μ.Τ. για την f στα προηγούμενα διαστήματα, επομένως

θα υπάρχουν ξι Ε (α, α ; 6) και � Ε (α ; Β, Β) τέτοια, ώστε

_ t(α; Β)- f(α) _

t(α; 6)- f(α) f (ξι) - - 2 ��"""---α + Β 6 - α

-2-- α

έτσι f (ξι) = f (�) (1) .

και f(B) - f (α; 6)

f (�) = 2 Β - α '

Επειδή η f είναι δυο φορές παραyωyίσιμη στο [α, Β] , η f θα είναι !Jαραyωyίσιμη στο [α, Β], άρα και στο [ξι, �] c [α, Β] και λόγω της (1) θα ισχύει το Θ. Rolle, για την f (J(O [ξι, �], έτσι θα υπάρχει ξ Ε (ξι, �) c (α, Β) τέτοιο, ώστε f' (ξ) = Ο. ,

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙ:ε Β' a8. τ. 1/34

----------------Υαάρ:ιι.ει ... ----------------

Πρόβλapα 3ο

Σκέψεις

Επειδή σης υποθέσεις του προβλήματος δίνεται σχέση με ολοκλήρωμα και το συμπέρασμα εί­ναι: υπάρχει ξ Ε [0, 1] τέτοιο, ώστε .. . έχουμε ενδείξεις εφαρμογής τqυ Θ.Μ.Τ. του ολοκληρωτικού . 1995 . λογισμού για τη συνάρτηση g(x) = f(x) -: χ .

Η εφαρμογή του Θ.Μ.Τ·. του ολοκληρωτικο� λογισμού στο πρόβλημά μας ενδεχόμενα να Qδηγεί σε λύση (εδώ οδηγεί) ή να μην οδηγεί σε λύοο. Στη δεύτερη πέρίmωσΠ αλλάzουμε πορεf((pκtψης π.χ. δοκιμάzουμε αν εφαρμόzεται το Θ. Bolzaηo (αφού στο συμπέρασμα δεν υπάρχει παράγωγος);

Λ.Sσa

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = f(x) - χ1995 που είναι συνεχής στο [0, 1] , άρα υπάρχει ξ Ε [0, 1] τέτοιο ώστε

J 1 . J 1 1995 1995 0 g(x) dx = (1 - Ο) g(ξ) <::::> 0 [f(x) - χ ] dx = f(ξ) - ξ <::::>

χ 1995 1 1 1995 1995 J1 [ 1996

] 1 ο f(x) dx - 1996 ο = f(ξ) - ξ <::::> 1996 - 1996 = f(ξ) - ξ <::::> f(ξ) = ξ ·

Πρόβλapα 4ο

Σκέψεις

Το zητούμενο είναι: υπάρχει ξ Ε (α, Β) τέτοιο, ώστε f(ξ) = 0 �ξ + Β� ξ" Συγκρίνοντας το zητού­μενο με τον παρακάτω πίνακα

Zaτo.Spεvo Μέθοδος απιpετώοισaς δεν υπάρχει παράγω- Θ. Bolzaηo γος στο zητούμενο Σύνολο τιμών υπάρχει

ξ ε (α, Β) υπάρχει παράγωγος -Θ. Rolle ή Θ.Μ.Τ. ή στο zητούμενο

ξ Ε [a,B] υπάρχει ολοκλήρωμα τέτοιο, ώστε .. . στο zητούμενο ή στην Θ.Μ.Τ. ολοκληρωτικού λογισμού

υπόθεση υπdρχει aνίσωση στο Ακρότατα zητούμενο

καταλαβαίνουμε ότι θα πρ�πει να εφαρμόσουμε το Θ. Bolzaηo, αλλά για ποιά συνάρτηση;

Θα έλεγε κανείς, και όχι αβάσιμα, για τη συνάρτηση g(x) = f(x) - -1- - -6 1 , όμως η συνάρ-. α - χ - χ

τηση αυτή δεν είναι ορισμένη στο [α, Β], γι'αυτό θα πρέπει να αναzητήσουμε άλλη συνάρτηση.

Παρατηρούμε ότι η zητούμενη σχέση είναι κλασματική, γίνεται απλούστερη με απαλοιφή παρο­νομαστών. Η απαλοιφή δίνει (α - ξ) (Β - ξ) f(ξ) = α + Β - 2ξ, επομένως θα εφαρμόσουμε το Θ. Bolzaηo για την g(x) = (α - χ) (Β - χ) f(x) + 2χ - α - Β στο [α, Β] .

ΕΥΚΛΕΙΔΗ Σ Β' κθ. τ. 1/35

---------------Υ&άρχει ... ---------------

Λvσn

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = (α - χ) (β - χ) f(x) + 2χ - α - β που είναι συνεχής στο [α, β] , με g(α) g(β) = (α - β) (β - α) = -(α - β)2 < Ο, επομένως, σύμφωνα με το Θ. Bolzaηo, θα υπάρχει ξ Ε (α, β) τέτοιο ώστε g(ξ) = Q <=> (α - ξ) (β - ξ) f(ξ) + 2ξ - α - β = Ο

<=> (α - ξ) (β - ξ) f(ξ) = (α - ξ) + (β - ξ)

<=> f(ξ) = β� ξ + α� ξ (είναι (α - ξ) (β - ξ) '* Ο, αφού ξ Ε (α, β)).

Πpόβλnpα 5ο

Σκέψεις

Η σύγκριση του zητουμένου με τον πίνακα του προβλήματος 4 μας οδηγεί στην αναzήτηση των ακροτάτων της f όtο (0, 1) .

Λvσn

Για κάθε χ Ε (0, 1) είναι f(x) = (χ113 - χ3) ' =} χ-213 - 3χ2 = _l _ _ 3χ2• . 3� f (χ) = Ο <=> 9χ2 � = 1 <=> 93χ6χ2 = 1 (υψώσαμε στον κύβο)

8 1 1 <=> Χ =-<=> χ=-

36 . �Q . -ν36

χ

f ' (x)

f(x)

ο 1

B.f36

+ � -

/ μ �- ~

1

έτσι η f παρουσιάzει μέγιστο για ξ = -1-άρα f(x) � f(ξ) για κάθε χ Ε (0, 1) ' και ο ξ είναι μοναδικός. w Πρόβλnpα 6ο

Σκέψεις

Μια πρώτη ματιά στο συμπέρασμα θα μας οδηγούσε στη χρήση του Θ.Μ.Τ. του ολοκληρωτικού λογισμού, αλλά το θεώρημα αυτό έχει σrο ·συμπέρασμα: υπάρχει ξ Ε [α, β] τέτοιο, ώστε

β . . - . ι f(x) dx = (6, - α) f(ξ), πράγμα που δεν ταιριάzει με το zητούμενο του προβλήματος, επομένως �α

πρέπει να αλλάξqυμε προσανατολισμούς.

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙ:Ε Β' ιιβ. τ. 1/36

----------------Υοάρχει ... ----------------

Πώς προέκυψε το zηtούμενο; Προφανώς aπό τη συνάρτηση h(x) = ιχ f(t) dt - Ιχ g(t) dt, αν είναι • J ;

h{ξ) = Ο. Έτσι το σύμhέρασμα του προβλήματος ανάγεται mo bπάρχει ξ Ε [0, 1] τέτοιο, ώστε h(ξ) = ο. . '

Είναι τώρα φανερό dtι πρέπει να εφαρμόσουμε το Θ. Bolzaηo. Λ1Soa

Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) = ιxf(t) dt - Ιχ g(t) dt που είνάι συνεχή� στο [0, 11 ω� διαφορά

συνε�φ� συναpτήσεων στο [d� 1] iιε h(O) h(1} :::;: -J 0 g(�) dt · f. \(t) &t = J 1 g(t) dt · J' \ω dt � Ο . ' 1 ο ο ο

(\ιιατί ι1��t) dt � ο και ι1 f(t) dt � Ο, aφού f(x) � ο κ�ι g(x) � ο για κάθε χ Ε [0, 1]) . . -

• Αν h�O) ti(1) < Ο, �ότε σύμφωνα με το Θ. Bolzaηo, υπάρχει ξ Ε (0, 1) τέτοιο ώστε h(ξ) = Ο. • Αν, h(O) h(1) .;::: Ο, τότε h(O) = Ο ή h(1) = Ο άρα h(ξ) = Ο με ξ = Ο ή ξ = 1.

Έτσι σε οποιαδήποτε περίπτωση υπάρχει ξ Ε [0, 1] τέτοιο, ώστε

; i' ξ J ξ h(ξ) = ο � ο f(t) dt =

1 g(t) dt.

Πpόβλιιpα 7ο

Σκέψέις . '.· ;: Η μη ύπαρξη παραγώγου στο zητούμενο οδηyεί στην εφαρμογή του Θ. ΒοΙΖaηο yia την ' f(x1) + f(x2) + · · · + f(χv) · . · - · g(x) = f(x) - στο [α, β] . ΑΝιά βασική προϋπόθεση της εφαρμογής του Θ. ν Bolzaηo είναι η γνώση του προσήμου του γιvομένου

g(a) g(β) = (f(a) _ f(x1) + f(x2) ν+ · · · + f(χv)) (f(β) _ f(x1 ) + f(x2)v+ · · · + f(Χν) J

Επειδή το πρόσημο του γινομένου g(a)g(β) δεν προκcimει από τα δεδομένα l:ου προβλήματος, θα πρέπει να εφαρμόσουμε άλλο θεώρημα. Αν το συμπέpασμα δεν περιέχεΙ παράγωγο θα χρriσι­μοποιούμε το Θ. Bolza:ηo (εδώ το αποκλέίσαμε) ή μονοτοvία όταν στο συμπέράσμα υπάρχει και a­νίσωση (εδώ αποκλείεται αφού το συμπέρασμα δεν περιέχει ανlσωση) ή τηv πρόταση: Αν το πεδίο ορισμού της f είναι το Α και το σύνολο τιμών της το f(A) και h Ε f(A), τότε θα υriάρχει ξ Ε Α τέτοιο ώστε f(ξ) = h.

Μένει να εξετάσουμε την εφαρμογή της τρίτης πρότασης. Ποιό είναι όμως το σύνολο τιμών της f; Τ ο μόνο που μπορούμε να πούμε για το σύνολο τιμών της f εί�αι ότι είναι το [μ, Μ] όπου μ η ελάχι­όί:η τιμή της f και Μ η μέγιστη τιμή της (που υπάρχουν αφού η f είναι συνεχής στο [α, β]) .

Τώρα δε μένει παρά να δείξουμε ότι f(x1) + f(x2) + · · · + f(Xv) Ε [μ, Μ]. ν Λ\Jσa

Επειδή η f είναι συνεχής στο [α, β] θα έχει ελάχιστη και μέγιστη τιμή, έστω τις μ, Μ αvl:ίστοιχα, επομένως

μ � f(x) � Μ για κάθε χ Ε [α, β], άρα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κθ. τ. 1/37

----------------Υnάρ:ιι::ει ... ----------------

μ � f(χι ) � Μ (1) μ � f(x2) � Μ (2)

μ � f(χv) � Μ (ν) Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) , (2) , . . . , (ν) παίρνουμε

, f(χι) + f(x2) + . . · + f(v ) vμ � f(χι) + f(x2) + · · · + f(Xv) � νΜ <=> μ � "ν � Μ, δηλαδή f(χι ) + f(x2) + . . . + f(χv) ε [μ, Μ] = f([α, Β] ), ν

ν

, θ , ξ [α, Β] με f(ξ) __ f(χι) + f(x2) + · · · + f(χv). ετσι α υπαρχει ε ν

Πρόβί\nμα 8ο

Σκέψεις

Η μορφή του συμπεράσματος αφ'ενός και η ύπαρξη ανισοτικών σχέσεων στην υπόθεση μας ο­δήγούν στο να εφαρμόσουμε το Θ. Bolzaηo στη συνάρτηση f. Αl\Λά οε ποιό διάστημα; Σίγουρα το αριστερό άκρο του διαστnματος θα είναι το α, αφού έχουμε την πληροφορία f(α) > Ο, δεν μπορού­με να πάρουμε το Β ως δεύτερο άκρο του κλειστού διαστήματος στο οποίο θα εφαρμόσουμε το Θ. Bolzaηo για την f γιατί δεν έχουμε πληροφορία για το Β.

Αναγκαστικά το δεξιό άκρο του διαστήματος θα προκύψει από την πληροφορία ι6 f(x) dx < Ο,

αλλά πώς; Τι αναzητούμε; Έναν αριθμό ρ με α < ρ � Β τέτοιο ώστε f(ρ) < Ο. Από πού θα προκύψει

το προηγούμενο; Από το γεγονός ότι ι6f(χ) dx < ο.

Ποιό θεώρημα συνδέει ολοκλήρωμα με τιμή της f; Το Θ.Μ.Τ. του ολοκληρωτικού λογισμού. Έ­τσι έχουμε τη λύση

Λ\Jσn

Επειδή η f είναι συνεχής στο [α, 6] , θα υπάρχει ρ ε [α, Β] τέτοιο ώστε:

ι6f(χ) dx = (Β - α) f(ρ), αλλό ι6f(χ) dx < Ο, επομένως (β - α) f(ρ) < Ο<=> f(ρ) < Ο (1 ) .

Δεν μπορεί να είναι ρ = α γιατί τότε f(ρ) = f(α) > Ο άτοπο λόγω (1) , έτσι θα υπάρχει ρ με α < ρ � Β τέτοιο, ώστε f(ρ) < Ο.

Η f είναι συνεχής στο [α, ρ] c [α, β] και f(α) f(ρ) < Ο, επομένως σύμφωνα με το Θ. Bolzaηo θα υπάρχει ξ ε (α, ρ) c (α, Β) τέτοιο ώστε f(ξ) = Ο.

Σχόί\ια

• Η εργασία αυτή έγινε, όχι μόνο για τη μεθοδολογική αντιμετώπιση των προβλημάτων της ανά­λυσης που στο συμπέρασμά τους περιέχουν τη λέξη «υπάρχει», αλλά γενικότερα, για να δείξει ότι τα Μαθηματικά είναι τρόπος σκέψης, μια μέθοδος σκέψης, της οποίας η Βασική συνιστώσα είναι η «δοκιμή - πλάνη», δηλαδή: μας έρχεται μια ιδέα για τη λύση ενός προβλήματος, την ε­φαρμόzουμε, αν οδηγεί σε λύση έχει καλώς, αν όχι την απορρίmουμε και εφαρμόzουμε άλλη ι­δέα (άλλο θεώρημα που να έχει σχέση με το znτούμενο ή τα δεδομένα) κ.ο.κ έως ότου φθά­σουμε στη λύση.

• Η μέθοδος δοκιμής-πλάνης, που είναι και η κύρια εnιστημονική μέθοδος, είναι μια κοπιαστική εργασία, που προϋποθέτει υπομονή και επιμονή, έρευνα και ελεύθερο νου. Η λύση των προ­.Βλημάτων δεν έρχεται με πάτημα ενός πλήκτρου, όπως γίνεται με τις ηλεκτρικές και ηλεκτροvι-

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙ� Β' aθ. τ. 1/38

---------------Υαάρ:ιι:ει ... ---------------

κές συσκευές . • Άλλώστε, aυτό που κύρια μας ενδιαφέρει δεν είναι η ί\ύση των συγκεκριμένων 8 προβλημότων,

αλλά η μέθοδος αντιμετώπισης προβλημάτων και πώς γεννιούνται οι tδέες των μεθόδων, γιατί όπως είπε και ο Leibηitz: «Τίποτε δεν είναι σπουδαιότερο από το να δει κανείς καθαρά την προ­έλέυση μιας ιδέας, ούτε η ίδια η ιδέα».

Βιβλιοyραφία

1 . Μ. COHEN κ.α : SWDENΊ' RESEARCH PROJECΓS ΙΝ CALCULUS Εκδοση: τhe Mathematical Assocίatioη of Ameήca - 1991

2. ΜΜ : CALCULUS FOR Α NEW CENΊ'URY - Α PUMP, ΝΟτ Α FILτER Εκδοση: τhe Mathematical Assocίatίoη of Ameήca-1987

3. ΜΜ : τOWARD Α LEAN AND LIVEL Υ CALCULUS Εκδοση: τhe Mathematίcal Assocίatίoη of Ameήca-1968

4. ΝCΓΜ : PROFESSIONAL SτANDARDS FOR τEACHING ΜΑτΗΕΜΑτΙCS Εκδοση: Natioηal Couηcίl of τ eachers Mathematics - 1991

5. G. POLYA : ΠΩΣ ΝΑ τΟ ΛΥΣΩ Εκδοση: Σηnλιώτη

6. G. POLYA : PAΠERNS OF PLAUSIBLE INFERENCE Εi<δοση: Ρήηcetοη uηίvercίty press - 1954

7. G. POLYA : MAτHEMAτiCAL DISCOVERY Εκδοση: J.Wίlex & Soηs - 1962

8. S. RACI-Π.JN : PROBLEM SOLVING ΙΝ τΗΕ ΜΑτΗΕΜΑτΙCS CLASSROOM Εκδοση: Mathematίcs Couηcίl of the Alberts τ eachers' Assocίatίoη - 1982

9. Α. Η. SCJ-IOENFELD : PROBLEM SOLVING ΙΝ ΜΑτΗΕΜΑτΙCS CURRICULUM Εκδpση: τhe Mathematical Assotίatioη of Ameήca - 1983

10. G. AUGNAC : τΗΕΜΕS MAτHEMAτHIQEUS Εκδοση: ΑΙΘΡΑ 1995

11 . Τ. APOSrOI.. : CALCULUS Εκδοση: Μπεχ?ιιβαvίδης - 1962

12. F. AGRES : ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ Εκδοση: Mc Graw-Hίll - 1964

13. ΒΕRΚΕΥ - Bl.ANO-IARD : CALCULUS Εκδοση: Sauηders College Publίshίηg - 1962

14. G. Ν. BERMAN : Α PROBLEM ΙΝ ΜΑτΗΕΜΑτΙCΑL ANAL YSIS Εκδοση: MIR Publίshers-Moscow - 1977

15. R. EUJS - D. GUUCK : CALCULUS Εκδοση: HBJ - 1989

16. Η. FLANDERS : CALCULUS Εκδοση: W. Η. Freemaη aηd Compaηy - 1985

17. I. Α. MARON : PROBLEMS ΙΝ CALCULUS OF ΟΝΕ VARIABLE Εκδοση: MIR Publίshers-Moscow - 1975

18. Μ. SPIEGEL : ΑΝΩτΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ Εκδοση: Mc Graw-Hίll - 1963

19. Μ. SPIV ΑΚ : CALCULUS Παvεηιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης - 1991

20. G. τΗΟΜΑS - R. FINNEY : CALCULUS Παvεηιστnμιακές Εκδόσεις Κρήτης - 1993

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' κ8. τ. 1/39

Οι yεωμε"Ιρικοί "Ιόοοι 'IO" εοιοέδο" με διαv"οpα"Ιικές ιδιό"Ιn"Ιες

1 . Εισαyωylί

, Επειδή γενικά ή εύρεση ενός y.τ: παρουσιά­zει δυσκολίες, προσρ,άθησα σrο όρθρο αυτό να κάνω μια ομαδοποίησn των γ.τ. του επιπέδου ποu ικανοποιούν· διaνuσματικές ιδιότητες.

Οι απλές Βασικές προτάσεις που θα χρησι­μοποιήσω σrη συνέχεια και που είναι γvωσrές από l:o σχqλικό Βιβλίο, είναι: α) Αν Δ το μέσον ενός ευθυγράμμου τμήματος

ΑΒ και� τυχαίο σημείο, τότε ΜΑ+ΜΒ= 2ΜΔ.

Μ

Β Β) Αν _G �ίναι το κένtρο Βάρους ενός τριγώνου

..ι::ϊΙ. r _ , . . .

ΑΒΓ και Μ τυ):{Qίο σημείο, τότε - - ....... -ΜΑ+ ΜΒ + ΜΓ = 3ΜG.

γ) Av Δ σημtίο - l:ης ευθείας ΑΒ τέτοιο ώσrε (Α, Β, Δ) = λ J.Ι:έ λ ε IR.- {0, -1} και Μ τυ­χαίο σημείο, τότε ΜΔ=�:�8 (1 ) .

Μ

Κωvσι:αvτίvος Αyριόyaδος

Σ ' λ κ ' την περιmωση που = - τοτε μ (1) -� μΜΑ + κΜΒ = (μ + κ)ΜΔ.

2. Οpαδοοοίnσn τωv y.τ.

(I) Όταν θέλουμε να Βρούμε τον γ.τ. των ση­μείων Μ του επιπέδου που επαληθεύουν μια σχέση μεrαξύ των μέφων διανυσμά­των, τότε προσπαθούμε να φθάσουμε σrις μορφές

(la) I ΜΑι = I Μfιι, όοοv Α, Β σι:αθερά σο με ία Στην περίmωση αυτή ο zητούμενος γ.τ. είναι η μεσοκάθεrο� του ΑΒ.

. .

(le) ΙΑΜι = ρ, ODOV Α �ιίθέρό σiιμείο και ρ cn:αθερός θετικός αpιθμός Στην περίmωστι aυτή ο zητούμενος γ.τ. είναι ο κύκλος (Α, ρ).

Εφαρμοyιί 1

Δίνεται τρίyωvο Air. Na βρεθεί ο y.τ. 1:ωv σομείωv Μ τοv εοιοέδοv yια τα οοοία ισχ\1ει i3ΜΑ + Μiιι = Ι� + slii1. Σε οοια οερίοτωσο το Α βρίσκεται σι:οv οαραοάvω y.τ.;

Λ\Jσο

Γ Θεωρώ το σrαθερό σημείο Κ της ΑΒ τέrοιο,

ώσrε (Α, Β, Κ) = �-ΕΥΚΛΕΙΔΗ:ε Β' κ8. τ. 1/40

------- Οι yεωpετρικοί τόοοι το11 εοιοέδο11 pε δια""σpαuκές ιδιότaτες -------

- � - - ι -τότε 3ΜΑ + MJ:j = 4ΜΚ �pι ΑΚ = 4ΑΒ. Θεωρώ επίσης το σταθερό σημείο Λ της ΑΓ

τέι:οιο ώστε (Α, Γ, Λ) = 3. _..... --+ _.. --+ 3--+ Τότε ΜΑ+ 3ΜΓ = 4ΜΛ και Μ = 4Af.

Η δο(!είσα σχέση τώρα γράφεrαι Ι3ΜΑ + ΜΒι = ΙΜΑ + 3Mfl <=:>

14� = 14� <=:>Ι� = ΙΜΛι Άρq το Μ Βρίσκεrαι σmν μεσοκάθεrο του

σταθερ.ού ευθυγράμμου τμήματος �. Το σnμ�ίο Α βρίσκεrαι στον παραπάνω γ.τ.

όταν και μόνο όταν 1t1<1 = ΙΜI �� = 1� �� = 3ΙΑf1 .

Εφαρpοv.ί 2

Δίvειαl τρίyωvο Air. Να βρεθεί ο y.τ. τ�ν σnpείωv Μ τοιJ εοιοέδοιJ yια τα ΟD�ία JQVει

ΙJliA - 4Ιiiιι = ιιiiι + Iir - 2�.

ΛVσιι

Α

Γ

--Θεωρώ το σταθερό σημείο Κ της ΑΒ τέι:οιο,

ώστε (Α, �· Κ) = -�· - 4..-:+ ΜΑ--ΞΜΒ

τότε ισχύει Mk = ;; . � <=:> ι - --

3

3ΜΑ- 4ΜΒ = -Mk και AR = -�iffi <=:> . . . �AR=4AB Η δοθείψ:ι σχέση τώρα γράφεrαι Ι3ΜΑ - 4ΜΒι = lMB + Mt - 2ΜΑ! <=:>

. \ --+ .. --+ --+ --+ --ιιι-1 -ΜΚΙ = Ι·2ΜΔ + 2ΑΜΙ <=:>IΚMI = 21ΑΔΙ Άρα ο γ.τ. των σημείων Μ είναι κύκλος με . -κέντρο το σταθερό σημείο Κ και ακτίνα 21ΑΔΙ ·

(11) Όταν θέλουμε να βρούμε τον γ.τ. των ση­μείων Μ τού επιπέδου που επαληθεύουν μιcϊ γρaμμική διανυσματική σχέση, τότε προσπαθούμε να φθάσουμε στη μορφή ΙΑi! = Αι;, όοοιJ Α σταθερό σnpεί­ο, α σταθερό διάVΙJσpα και Α Ε IR Στην περίmωση αυτή ο zητούμενος γ.τ. eίναι ευθεία που περνάει από το Α και εί­ναι παράλληλη προς το φορέα του διανύ--σματος α .

Εφαρpοyιί 3

Δίνεται οαραΑΑnΑόyραppο ΑΒrΔ. Πάνω στις ΑΒ, Ar οαίρνοιJpε -σnpεία Ε, Ζ αντίστοιχα ώστε - ΑΕ = ΑΑΒ και :;-;t. - • IU = ΑΜ, Α Ε IR •

i) Δείξτε ότι δεν ιJDάρχει Α Ε IR* τέ­τοιο ώστε τα σnpεία _Δ, Ε, Ζ να ·είναι σιJνειJθl:ιακά.

·

ii) Να βρεθεί ο y.-ι;. τοιJ κέvτροιJ βά­ροyς � τοιJ τριyώνοιJ Δiz.

Λvσn

_..... ---+- _.., --+ Θεωρώ τα διανύσματα ΑΒ = α και ΑΔ = β . - - -Τότε είναι ΑΓ= α + β . * i) Έστω ότι υπάρχει i\ Ε IR τέι:οιο ώστε τα

σημεία Δ, Ε, Ζ να είναι συνευθειακά. Τότε υ­πά,Ιiχει κ Ε IR τέι:οιο ώστε να ισχύει

ΕΎΚΛΕΙΔΗ:Ι; Β' κβ. τ. 1/41

------- Οι yεωpετpικοί τό•οι τοιι εαι&έδοιι pε διαvιισpαuκές ιδιόuιuς -------

-.. � __... . -.. .-.. -β + λ( α + β ) = κ(- β + λα) <=> - -- -(λ - κλ) α + (κ + λ - l) β = Ο (1)

- -Επειδή όμως τα α , β δεν είναι συyyραμμικά λόγω της ( 1) έχουμε { λ - κλ = Ο } { λ(l - κ) = Ο }

κ + λ - 1 = 0 <=> κ + λ - 1 = 0 <=>

{ κ = 1 } λ = 0 άτοπο.

• Άρα δεν υπάρχει λ ε IR τέτοιο ώστε τα ση-μεία Δ, Ε, Ζ να είναι συνευθειακά.

ii) Αν G είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΔΕz, έχουμε

3AG = ΑΔ + ΑΕ+ Α2 <=> --+ -.. __... -.. � 3AG = β + λα + λ( α + β ) <=> --+ __... ---+ -..

3AG - β· = λ(2 α + β ) <=> � ι- λ ....:. ­Αu -3β = 3(2 α + β ) <=>

- - λ - - � λ-ΑG + ΙΑ = 3(2 α + β ) <=> Iu = 3ΑΗ Άρα το G κινείται σε ευθεία που περνάει από

- ι -το σταθερό σημείο Ι (ΑΙ = 3ΑΒ) και είναι πα-ράλληλη προς το φορέα του σταθερού διαvύ-

-. -.. -. . σματος ΑΗ = 2α + β .

(111) Όταν θέλουμε να βρούμε τον γ.τ. των ση­μείων Μ του επιπέδου που επαληθεύουν μια διανυσματική σχέση με εσωτερικό γι­νόμενο, τότε προσπαθούμε να φθάσουμε στις μορφές

1110) Δίνεται σταθερό οοpείο Ο και το σταθερό διάνvοpα C: 'Φ Ο. Να βρε· θεί ο y.τ. των οοpείων Μ yια τα ο­οοία ιοχvει -;: ΟΜ = Α, Α ε IR

χ ο -α

Α

ε

Μ

Η

--+ --+ __... ---+ • Αν λ = Ο, τότε α·ΟΜ = Ο <=>α j_ ΟΜ, οπότε

το Μ κινείται σε ευθεία που περνάει από το

Ο και είναι κάθετη στο φορέα του διαvύσμα--τος 0: . • Αν λ 'Φ Ο και Η είναι η προβολή του Μ στο . -φορέα του διανύσματος α , έχουμε ότι

......... .-.. --+ __... α·ΟΜ = λ<=>α·προβ0 ΟΜ = λ<=> C:.δΗ = λ <=>ΙΟ1·ι6Ηι = ±λ<=> ι δΗ! = ±Α.= σταθ.

l αl Τότε το Η είναι σταθερό σημείο, οπότε το Μ

κινείται σε ευθεία που είναι κάθετη στο φορέα -του διανύσματος α και περνάει από το σταθερό σημείο Η. Παρατιίροοο

Φανερά το πρόσημο ± καθορίzει τη θέση του Η πάνω στην ημιευθεία ΟΑ ή την αvτικείμεvή της Οχ.

Εφαρpοyιί 4

Δίνεται τρίyωνο Air. Να βρεθεί ο y.τ. των οοpείων Μ τοv εοιοέδοv yια τα οοοία ιοχvει

(2ΜΑ - Μiι)· (ΜΑ - 2Μiι + Iit) = 6

Λvoa

Αν Δ είναι το μέσο της ΑΓ, τότε Μλ- 2Μ8 + ΜΓ = 2ΜΔ- 2Μ8 =

---... ----+ __... --+ 2(ΜΔ + ΒΜ) = 2ΒΔ = 2α . Αν Ε σημείο της ευθείας ΑΒ τέτοιο ώστε

(Α, Β, Ε) = ..,. �· τότε ΑΕ= -ΑΒ και

Μλ-JΜ8 ΜΕ= 2

1 <=> 2Μλ-Μ8 = ΜΕ 1 -2

Η δοθείσα σχέση γράφεται τώρα

ΕΥΚΑΕΙΔΗ:Ε Β' κθ. 1:. 1/42

------ Οι vεω•εΊριιιοί Ίόαοι Ίοv εαιαέδοv •ε διαvιισ.αuιιές ιδιόΊDuς -------. -.. -+- ---+ ---+

(2ΜΑ - ΜΒ)· (ΜΑ - 2ΜΒ + ΜΓ) = 6 � � --- -. -. 2Mt:: α = 6 � ΕΜ· α = -3 �

---+ _,. ........ ---+ α·προβ0 ΕΜ = -3 � α·ΕΗ = -3 (1) Επειδή το εσωτερικό γινόμενο των συν-- -γραμμικών διαvυομάτων α , ΕΗ είναι αρνητικός - -αριθμός έχουμε ΕΗ t ! α και από την σχέση ( 1) --'+ 3 I EHI = �· Άρα το Μ βρίσκεrαι σε ευθεία (ε) κάθεrη

στην ευθεία ΕΖ, που απέχει από το σταθερό ση-μείο Ε, σταθερή απόσταση I ΕΗι = ..l. και

Ι αl

Παρατόρnσn ---+ ---+ ---+ __,.. ---+

Αν είχαμε (2ΜΑ-ΜΒ)· (ΜΑ-2ΜΒ+ΜΓ) = -6, - -θα φθάναμε στην ισόmτα α· ΕΗ = 3, που θα σήμαινε ΕΗ t t ΕΖ. 1111) Δίvοvται τα σταθερά σnpεία Α, Β.

Να βρείτε το y.τ. τωv σnpείωv Μ yια τα οαοία ισχvει ΜΑ· ΜΒ = Α, A e iR

Αν Ο είναι το μέσον του ΑΒ, τότε - -ΜΑ·ΜΒ = λ <=> (Mb + OAJ·<Mb + όΒJ = λ �

---+ ---+ ---+ ---+ (ΜΟ + ΟΑ)·(ΜΟ - ΟΑ) = λ � - 2 - 2 - 2 - 2 Ι ΔΊ:ι.Ι' ιΜq - ιο� = λ �ιοΜJ = λ + τ �

- - GAPf IOMJ = -ν λ + 4' δηλαδή το Μ κινεfι:αι στον κύκλο που έχει κέντρο το μέσον Ο του ΑΒ

και ακτίνα�·

Εφαρpοyιί 5

Δίνεται ιι"ρτό τετράαλε"ρο ΑΒrΔ. Να βρεθεί ο y.τ. τωv σnpείωv Μ το" ε­αιαέδο" yια τα οαοία ισχvει

(2ΜΑ + 3ΜΒ)· (2Mr - 3ιiΔ) = Α, Α Ε IR. Εφαρpοyιί 6

Λvσn

Λ

Θεωρώ σημείο Κ της ΑΒ τέτοιο ώστε 3 (Α, Β, Κ) = 2·

Τότε 2ΜΑ + 3ΜΒ =5MR και ΑΚ = � ΑΒ.

Θεωρώ επίσης σημείο Λ της Γ Δ τέτοιο ώστε 3 (Γ, Δ, Λ) = - 2.

Τότε 2Mr - 3ΜΔ =-Μλ και fΛ = 3fΔ. Αν τώρα Ο το μέσο του σταθερού ευθυγράμ­

μου τμήματος ΚΛ η δοθείσα σχέση γράφεrαι (2ΜΑ + 3MBJ· (2Mt - 3ΜΔJ = λ �

- - - - λ (SMK)· (-ΜΛ) = λ �ΜΚ· ΜΛ = - 5 � - - - - λ (ΜΟ + ΟΚ)·(ΜΟ + ΟΛ) = - s � . . . �

- 2 ιόΜJ2 = � - Δ (1J 4 5

- 2 Εφ'όσον είναι�-� > Ο, η (1 ) �

- - - � IOMJ - -ν4-5,. δηλ. το Μ κινείται σε κύκλο με κέντρο το μέσο Ο

του ΚΛ και ακιίvα �· 'Εστω ορθοyώvιο τρίyωvο OAs (0 = 90°). Av I είvαι το pέσο το" ΑΒ ιιαι Μ w­

:ιιαίο σnpείο το" εαιαέδο" το" τριyώvο", τότε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιθ. Ί. 1/43

------ Οι yεωιιnpι�οί τ6αοι τον εαιαέδοιι ιιε διαvνσιιαuκές ι�ι6τaτες ------

i) ΜΑ2 + D2 - 2ΜΟ2 = 4MO·Oi + 02 ii) Να βρεθεί ο v�•· �των σaμείωv Μ totJ εοιοέδοtJ όταν

MAz + ιifι2 - 2ιioz = Αfι2 .

,, � .. 2 t, • '

i) f!.ΊΑ2 + l\ffi2 - 2Mb2 = (ΜΟ + δΑJ2 + (ΜΟ + 68)2 - 2Mb2

=

Λvσa

Mb�+OA2 +2ΜΟΟΑ+ΜΟ2 +ΟΒ2+2ΜΟόΒ-2Μb2 = . . ' .

2Μο· (ΟΑ + όΒ) + ΟΑ2 + 682 =

- .>. '

2ΜΟ (2δi) + 6Α2 + (δΑ + ΑΒ)2 =

4Μδ.δ1 + 6Α2 + 6Α2 + ί\82 + 2ΟΑ·ΑΒ = 4Mb. δ1 + ΑΒ2 + 2ΟΑ· (ΟΑ + ΑΒ) = 4Μδ.δ1 + ΑΒ2 + 26Α.68 = 4Μδ.δ1 + ί\82

- -αφού ΟΑ .L ΟΒ.

"-ν---' ο

ίί) Η δοθείσα σχέση λόγω του πρώτου ερωτήματος γράφεται f!.ΊΑ2 + l\ffi2 - 2Mb2

= Α82

� 4Μδ.δ1 + ί\82 = Α82

� 4Μδ.δ1 = - Α82 � 6Μ.δ1 =

.Δ]2 � . . 2 2 2 8

- - Α82 - �. Α82 ΟΙ·προβσιΟΜ = --g � OI·On = --g > Ο (1 ) .

Β

�. - - :ffi 4Ιδiι2 Άρα On t t ΟΙ και (1 ) � IOQ · IOπι = . 8 �

:ffi 1 -

ΜΑθΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΓΡΑΦΙΚΟ Υ Π Ο Α Ο Γ Ι Σ Τ Η

!Οπι = 2 ιοq , δηλ. το Μ βρίσκεται σι:η μεσο-

κάθετο της διαμέσου ΟΙ.

Εοισιίμαvσa

Οι γ.τ. της μορφής (111) βρίσκονται πιο εύ­κολα με Αναλυτική Γεωμετρία.

ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ BffiΛIO ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαραίτητο σε όλους ΚΛθΗΓΗΤΕΣ και ΜΛθΗΤΕΣ Κ. ΓΙΑΛΟΥΡΗ� · Κ.ΣτΑΘΟ'rιΟΥΑΟΣ Διδάιcτωρ Πληροφορικής· Μαθημιιτιιcός �Sc Com.Puter Science • Μαθημάτιιcός

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ··.ΕΠΙΣΠΙΜΗ Πληροφορική Παιδε{q ·• Εκδοση Α • 1995

.�: · - -

Κεντρική διάθεση από τους συγρσ.φεiς, τηλ: 6205605, 094-507252, 94/35/6 ή στα βιβ?.Jοπωλείι;ι :

ΕΚΔΟΠΚΟΣ ΟΜΙΛ ΟΣ ΣΥΓΓΡΛ ΦΕΩΝ ΚΛ θΗΓΗΤΩΝ Σόλωνος /00 ΕΛΕΥθΕΡΟΥΔΛΚΗΣ Νίκης 4 ΚΩΣΤ ΛΡ Λ ΚΗ Ιπποκράτους 2 ΠΑΠΑΣΩΤΗΡΙΟΥ Στουρνά.ρι;ι 35 ΣΛΒΒΑΛΛ Ζ. Πηγής /8κσ.ι Σόλωνος

... · ... -

... . · . ' : :/.-'_·-" ""::::� : τ ο μοναδικό ;tAΘH�;Jr,�ME l'l't.ΦIΚO'ffiOΛO:'!lΊII βι�Λίο στ;ήν

ΕΛΛηνική βιβί\ιοyραφία yιa . καθηyη-ι;eς και μαθη-ι;eς nou χρησιμο -

/ ''"'" 1"' nοιουν yραφι -κό υnοΛοyrσ,;ή. Αnο ­

Λύ-ι;ως anapaί,;ηw yιa -ι;ις eξe-ι;�σerς GCE, IB, SAT.

KENTPIKH ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΚΔΟΣΕΙΣ Π . ΣΟΚ.ΟΛΗ

ΣΠΥΡΙΔΩΝΟΣ ΤΡΙΚΟΥΠΗ 3-5 Τ.Κ. 1 06 83 ΤΗΛ. : 38 05 520-38 22 732

ΕΥΚΑΕΙΔΗ� Β' κ8. τ. 1/44

ΚυκλοφΟρΟύν ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΑΒΒΑΛΑ

)) , ) ιβλία fυ�νασιου • Μαθηματικά • Η ελληνική γλώσσα

• Φυσική

• Φυσική

• ΧημείΟ: . • • • Χημεία yια �αλους μαθητες • Μαθηματικα • · • Μαθηματικά yια καλους μαθητες • Βιολογία • Έκθεση - Έκφραση

Γ. Μοραyού�ας Γ. Σακελλαριαδης -Ε. κατσιναβάκης Γ. Σελλούντος

Α. & Σ. Σαββάλας -χ. Χρονόπουλος Σ. Μπασδέκης Γ. Μαραγούσιας Α. τ ραγανίτης

Ά. & Σ. Σαββάλας -Χ. Χρονόπουλος π. Παπαθεοφάνους Σ. Μπασδέκης Γ. Μαραγούσιας Α. τ ραγανίτης Ε. ΓιαννουλάΚΙΙ r:.. & κ. Ντόμπρου

''ζ�·pλ ' Α' Λυκείου �"1 ια . · · · Ά. & Σ. Σαββάλας • ΜΙ"\Χανικι'ι . Ά. & Σ. Σαββάλας • Φυσικι'ι PSSC (2 τείJΧfΙ) Μ. Γιαλλούση . • Χημεία κ. τζψώνης - θ. τζουβαρας

• Άλ yεβρα. Γ. Κόλλιας • Γεωμετρια

Β' Λυκείου . ; • Ηλεκφισμός . • Ανόργανη Χημε�α • Ανόργανη Χημεια • Οργανική Χημεία • • Χημεία (Ανόργανη - Οργανικη)

• Άλγεβρα • Γεωμετρία 8 Μαθηματικά Δέσμης

.

Ά. & Σ. Σαββάλας . Σ. Ζήσψος - Ν. τσουσης κ. !αλτερής . Σ. Ζήσψος - Ν. τσουσης Σ. Μιχέλης . κ. τζψώνης - θ. τζουβαρας Γ. Κόλλιας κ. τζψώνης - θ. τζουβάρας

Σαββάλας Εκδόσεις - Βιβλι9πωλείο Ζ. Πηγής 1 8 1 Ο 681 Αθήνα Τηλ. 330 1 251 Fax. 381 0907

--

) j�βλία Γ' Λυκείο� Μαθηματικά " '

• Αναλυτική Γεωμετρία (2 τεύχrι) . • Άλγεβρα - Αν. Γεωμετρία (2 τεύχτj) • Πίνακες - Συστήμάτα Pi δέσμης . • Πιθανότητες - Μιγαδικοί Αριθμοί • Ανάλυση Pi δέσμης • Άνάλυση Pi δ�bμης • Παράγφγοι Pi δέσμης 8 Ολοκλi]ρώμdtα Α' δέσμης • Μαθηματικά fS. δέσμης (4 τόμοι)

Χημεία • Ανόργανη • Ανόργανη • Ανόργανη

• Οργανική • Οργανική • Οργανική • Οργανική (2 τεύχrι) • θέματα Οργανικής Χημείας

• Η Χήμεία στις εξετάσεις • Οδηγός Πειραμάτων Χημείας • Πειράματα και εργαστηριακές ασκήσεις Χημείας • ΟνόμάΊα Χημικών Στοιχείων

• Ενέργεια-Ορμή-Πεδία-Βολές • Κυκλώματα-Επαγωγή-Εναλλασσόμενα • θερμοδυναμική-Ταλαντώσεις-Κύματα • Ερωτήσεις Κρίσεως

Βιολογία • Βιολογία - Ανθρωπολογία • Βίολογία • Προβλήματα & Πειράματα Βιολογίας

Εκθέσεις - Φιλολογικά • Η Έκθεση του υποψηφίου • Εκθέσεις - Δοκίμια • Έκθεση Ιδεών • Λεξικό Εννοιών Γενικής Παιδείας • Συντακτικό Αρχαίας Ελληνικής

• θέσεις - Αvnθέσεις • Κοινωνιολογική Σκέψη • Πολύπτυχο Ιδεών • Γλώσσα και Παιδεία • Κοινωνικά προβλήματα • Πρακτική Φιλοσοφία

Α. τ ραγανίτης Β. Κάμπος Γ. iαραγQιJσιάς Γ. · αραγούσιας �- ��νης - θ. τζουβάρας

!:�${�� - Π. Παπανικολάου � ξJ1ήλιώτης Σ··Μ�ίvης - Ά. Παπαδήμας

Κ. Σαλτερής Σ. Μιχέλης Δ. & Π. Θεοδωρόπουλος -Κ. Κομνηνός Κ. �αλτερής Μ. lαννίκος Δ. Μπαμπίλης Σ. Μιχέλης Δ. & Π. Θεοδωρόπουλος -Κ. Παπαζήσης Δ. Μπαμπίλης Σ. Μητσιάδης τ. Ρ'αγκούσης - Δ. Κατσίνης -Β. Αγγελόπουλος

�Κ Παπαζήσης

Ά. & Σ. Σαββάλας Ά. & Σ. Σαββάλας Ά. & Σ. Σαββάλας Ά. & Σ. Σαββάλας -Χ. Χρονόπουλος

Β. Ηλιάδης π. Βότσης π. Βότσης

Δ. Δρακόπουλος - Χ. Ρώμας Γ. Σελλούντος Φ. Ζήκα Σ. Γκίκας Ομάδα Φιλολόγων

I. Ευαγγέλου Σ. Γκίκας Ι. Ευαγγέλου I. Ευαγγέλου Σ. Γκίκας Σ. Γκίκας

Το 8όμα τοt> Εvκλείδn Η Στιίitn αvιιί είναι ανοιχτό σε 6Αο"ς το"ς σ"ναδέitφο"ς Κ(Ιι μαθnτές yια να

εκφρόσο"v εitεuθεpa τις αnόψεις το"ς yιά τα μαθnματικό. Ο Αόyος στον κο r. Τ σόμα

Η yραμμικιί Άλyεβρα, n ΑvαλUΣικιί rεωμετρία και n Προβολικιί r�ωμετρία

μέσα αnο τα· βιβitία το" Λ"κείο" και nίσω αnό ταν nitότn των διδασκόντων και των διδασκομένων

r.Π.Τσόpnς Πρόβitnμiι

. Να yίνει D μεitέτn το" (yραpμικοu μονοnαραμετρικοu) σ"στιίματος.

(m + 2)χ + (m - l)y = 2m (1) } (3m + 2)χ - (m - l)y = 2(m - 2) (2)

(I) (Θέμα της Άλγεβρας Ν Λυκείου)

Α) Με τa Ι'ραμμικιί Άλyεβρα

(m + 2)χ + (m - 1)y = 2m Γία !ο σύστημα (3m + 2)χ - (m - 1)y = 2(iη - 2) έχουμε:

(1) } (2)

Α = ( 3:++22 -�-

-11) ) ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων και

( m + 2 m - 1 2m ) Β = 3m + 2 -(m _ 1) 2(m _ 2) ο επαυξημένος πίνακας. 1) Αν ο βαθΑ = 2 που σημαίνει ισοδύναμα ότι:

I 3::22 -� -_ \) I :;ι!: Ο <=> (m - 1)(m + 1) :;ι!: Ο <=> { m � 1 }

m :;ι!: -1

τότε και ο βαθΒ = 2 αφού ο πίνακας Β περιέχει την ορίzουσα I m + 2 m - 1 3m + 2 -(m - 1)

(I)

του πίνακα Α και δεv έχει ορίzουσα τρimς τάξης που πιθανά να ήταν :;ι!: Ο (και τότε θα ήταν ο Β βαθμού 300). Αφού είναι βαθΑ = 2 = βαθΒ το γραμμικό σύστημα (I) έχει Auσn, και επειδή ακόμη:

(πλήθος αγνώστων 2) - (κοινός βαθμός 2) = Ο

το γραμμικό σύστημα (I) θα έχει μηδενική απειρία λύσεων και το σύστημα (I) είναι σύστημα Grammer και επομένως δέχεται μία και μόνα Auσn για κάθε τιμή της κοινής παραμέτρου m για την οποία m ε IR.- {-1, 1} , την

I 2m m - 1 I χ =

Dx = 2(m - 2) -(m - 1) I m + 2 m - 1 I D - :;ι!: 0 - 3m + 2 -(m - 1)

I m + 2 2m I Λ Υ = Dy = 3m + 2 2(m - 2) I m + 2 m - 1 I D = 3m + 2 -(m - 1) :;ι!: Ο

2) α) Για m = -1 το σύστημα (I) είναι το 1·χ - 2·y = -2 }

-1·χ + 2·y = -6

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιθ. "Σ. 1/46

---- Η yρσppιιuί Αλyεβρσ, a Αvσλuτιιuί Ι'εωpετρίσ και a Προβολιιuί Ι'εωpετρίσ ----( ι -2

) "'- ( ι - 2 - 2

) οπότε έχουμε: Α = -ι 2 και Β - _ ι 2 -6 και είναι βaeA == ι (αφού I !ι �: I = Ο ενώ μία τουλάχιστον από τις υποορίzουσες πρώτης τό­ξης του Α όπως η ι ιι = ι �ίναι :ι: 0), ενώ είνaι βάθΒ = 2 (αφού μία τουλάχιστον από τις υποορί-zουσες 2ας τόξης του Β, οι I !ι =� I , I �2 =� I είνάι -# 0) .

Αφού είναι βαθΑ = ι < 2 = βαθΒ το tfιάμμικό σvστaμα (10) είναι αδvvατο. 3·χ + Q.y = 2 }

2) β) Για m = ι το σύστημα (I) γίνεται: 5 + (). 2 (IB)

οπότε έχουμε: Α = ( � � ) και Β�( � Υ !2 ) . - ι 3 ο ι και είναι ΒαθΑ = ι (αφού 5 0 = Ο και μία τουλόχιστον υποορίzουσα πρώmς τόξης του Α όπως η

131 = 3 * 0), ενώ είναι βαθΒ = 2 (αφού η ορίzουσα του πίνακα Β I � � I = Ο ενώ η I � :2 I * 0). Πόλι, αφού βαθΑ = ι < 2 = βαθΒ το yραpμικό σvστaμα (18) είναι αδvvατο.

Β)Με τav Αvαλvοιuί rεωμετρία Εοιοέδοv και Χώροv

τ ο γραμμικό σύσmμα

γρόφεται ισοδύναμα:

(m + 2)χ + (m - ι)y = 2m (3m + 2)χ - (m - ι)y = 2(m - 2) (2χ - y) + m(x + y - 2) = Ο

(2χ + y + 4) + m(3x - y - 2) = Ο

(ι) } (2) (ι') } (2' )

81) rιa τav Αvαλvοaιί rεωμετρία τοv εοιοέδοv Oxy

(I)

(Υ )

Οι ε§ισώσεις (ι') και (2') oρίzovv στο εοίοεδο δvο εοίοεδες δέσμες κοιvιίς οαραμέτροv •· Η εξίσωσιι (ι') ορίzει την επίπεδο δέσμη (Απ) = (Σι) από τις ευθείες:

{ (ει ) : Ηι (Χ. y) = 2χ - y = Ο και (ε2): Η2(χ, y) = χ + y - 2 = 0}

κcuμε κ

Μρο το Σ{��

= I i � I =�. Υαι = 1 1 �� �l Ί =� J και a ε�ίσωσa (2') ορίzει την επίπεδο δέσμη (Dm) = (Σ2) από τις ευθείες:

{ (θι) : Θι(χ, y) = 2χ + y + 4 = Ο και (θ2) : Θ2(χ, y) = 3χ - y - 2 = 0}

κcuμε κ

Μρο το � ( χαι = Ί Ι iι 1Ι - �. Υαι = I i i -�}πότε το ιr > dvαι:

(2χ - y) + m(x + y - 2) = Ο Λ

(ι' ) με Σι = (�· �) } (2x + y + 4) + m(3x - y - 2) = 0 (2' ) με Σ2 = (-Έ· -�6) (I' ) κm<ηιβαΜt

ι) 'V m ε IR- { -1, 1} να ορίzεται μονοσήμαντα ένα zεύγος ευθειών των δεσμών (Απ) και (Dm) του συστήματος (I' ) και το οποίο zεύγος ορίzει μονοσήμαντα ένα σημείο Μ μιας κωνικής (C) και της ο­ποίας η εξίσωση ορίzεται από το σύστημα (I' ) των εξισώσεων (1') και (2' ) με απαλλειφή της κοινής γραμμικής παραμέτρου m, οπότε παίρνουμε την εξίσωση: '

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙ� Β' κβ. τ. 1/47

---- Η ypappιiuί 'ί\λyεβρα, a Avaλvnιui rεωpετρiα και � Πρόβολικά rεωpετρiα ----

2) α) Για m = -1 το αντίστοιχο zεύγος ευθειών: (I�) . . . ribυ είναι ένα διακεκριμμένο zεύγος παραλλήλων ακτινών των δεσμών (Δ.n) και ·(Dm) ορίΖει το ε·

οάοειροv σημείο Μιοχι της κωνικής (C) με διεύθυνση λι =� το� διάνύσιiατος uΊ ( � ) 2) β) Για m = 1 το αντίστοιχο zέυγος ευθειών: { 3χ -; = 0 } (16)

5χ + 2 = σ· είναι επίσης ένα διακεκρψμέvο zεύγος π�ν ακnvών των δεσμών (Δ.,) και (Dm) nού ορfι.ει το δεύtερο ε-ιιάιιειρο1r οημείο Μ2:.ο mς κωνικής (C) με διεύθυνση�= οο =�του ��αrος -;2 ( � }ου άξοVα (y'y) .

.; , ··� , . ·. 2 1 1 1 3) Η κωνικn (C) με εξισωση την: χ - 2xy - χ + 2 = Ο<=> Υ =2 χ-2+ � είναι στο αναλυτικό επίπεδο μια υπερβολή με ασύμmωτες τις παράλληλες αντίστοιχα πpος τΟ. -;ι ( � )

- (ο ) . και υ 2 1 από το κέντρο τής υπερβολής.

82) rια 'liιv Αvαλvτικιί Γεωμετρία τον :ιιώρον Ο:ιιyz

··. , , (2χ - y) + m(x + y - 2) = Ο (1' ) } Το γραμμικο συστημα: (2χ + Υ + 4) + m(3x - Υ - 2) = Ο (2' ) ορίzει άί:ον αναλυτικό χώρο Oxyz δύο αξονικές δέσμες με άξονες τους:

(ξι) = ( Χοι = �· Υοι = �) και (�) = ( Χο2 = -�· Υο2 = -ι:} που είναι nαράλληλοι πpος τον άξονα (ΟΖ) του συστήματος αναφοράς.

(I' )

Για κάθε τιμή της παραμέτρου m ορίzεrαι από το σύστημα (I' ) ένα zεύγος εnιπέδων Έων αξονι,κών δεσμών (ξι) και (�) που αν m ε IR.- {-1, 1} τα επίπεδοα του zεύγους τέμνονται κ�ά μια ευθέία (μ) που είναι ευθείά παράλληλη προς τον άξονα (ΟΖ) του συστήματος αναφοράς. Με απαλλειφή της κοινής παραμέτρου rtι των εξισώσεων (1' ) και (2' ) ορίzεrαι η επιφάνεια που είναι ένας υπερβο­λικός κύλινδρος (Υ) με εξίσωση

2 1 1 1 χ - 2xy - x + 2 = 0<=> y =-x --+-

χ - 2xy - y + 2 = 0 2 2 χ { 2 } και έχει οδηγό γραμμή την υπερβολή και που είναι στο επίπεδο (Oxy).

z = O r) Με τnv ΠροβοΑικιί rεωpετρία

Επειδή το σύστημα: (m + 2)x + (m - l)y = 2m (3m + 2)χ - (m - 1)y = 2(m - 2)

(1) } (2) (I)

είναι γραμμικό ως προς χ και y της αυτής γραμμικής παραμέτρου m, γιαυτό οι αντίστοιχες επίπεδες δέσμες (Δ.n) και (Dm) του συστήματος (1' ) :

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' κβ. τ. 1/48

Ε Υ ΚΛ Ε Ι Δ Η Σ Β ' 7/1 995

ΣVΓΧΡΟΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕVτΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑτΑ ΓΙΑ το ΓVΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ το ΛVKEIO

ΝΙΚΟΑΑΟΥ ΑΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ

ΧΡΗΣτΟΥ ΣΙΩΖΟΠΟΥ ΛΟΥ • ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

σελ. 500, δρχ. 3300 • ΑΛΓΕΒΡΑ 4ης ΔΕΣΜΗΣ

σελ. 344, δρχ. 3000

• ΑΛrΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ (2 τεύχη) • ΑΛΓΕΒΡΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ (2 τεύχη) - Τ.1 σελ. 250, δρχ. 2800 -Τ.2 σελ. 320, δρχ. 3000 - Τ.1 σελ. 416, δρχ. 3500 - τ.2 σελ. 384, δρχ. 3500

, ι 6 ΜC1θημcηικών , Ν 1\ληpωμενη σε Ρ. , ν

Ι<.u\\λο(\)ορει ο ο , θG �ρεlτε εκτοc, τω

τn I [\uκεlou στην οnοι� αnό P,acca\aureat, ψCl · ' , C1 εξετe1οεων ο aλλων 850\\\ θεμcη . , . dοΙΙ όχΊοrd, JMo,

+ c mbrΙdge L011 I · • m:o ()η\νers\t� ο' a , I λ n nροοGρμοομενG

ΒΛΑΧΟΣ Β. ΜΑΘΗ ΜΑΤΙΚΟΣ • ΦΥΣΙ ΚΟΣ

ΓΕΩΜ ΕΤΡΙΑ Α·Β ΛΥΚΕΙΟΥ (4 TEVXH)

.ι' Όλο το θεωρήματα και το πορίσματα σε ε­ρώτηση - απάντηση. Συμπληρωματικές ερω­τήσεις θεωρίας και ερωτήσεις κρίσε�ς .

.ι' Πολλές λυμένες ασκήσεις που πορουσιάζο-\, ' . νται απλά, μεθοδικά, με μοναδική πληρότητα. Οι άλυτες ασκήσεις με υποδείξεις . - aπαντή­σεις. Συνολικά πάνω από 2000 ασκήσεις

.ι' Βιβλίο που γράφονται κάθε 20 χρόνιο. Ακόμη: •

μαθηματικά vια· ό�ο το Γυμνάσιο και άλγεβρα Α' Λυκείου.

I ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΒΛΑΧΟΣ Β. ΠΑΠΑΦΛΕΣΣΑ 3 . 134 51 ΖΕΦΥΡΙ ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ.: 2684834 - 3818296 ΚΙΝΗΤΟ: 094 - ��4516

. ., ·. �

�� I • Συνqρτήσεις - όρφ - συνέχεια

�

• Παράγωγος (Β έκδοση) • Ολοκλήρωμα (Β .. έκδοση) • Πίνακες συστήματα - διcινύόματα - ευθεία • Κωνικές τομές - πιθανότητες - μιγαδικοί

' • Μαθηματικά 4ης Δέσμης (Β έΚδοση)

(λλγεβρα - Ανάλυση)

Κολλέ'ψC1 NέC1C, '{ �ρκηc, ��� r ενικών t.ξετaοεων . nνέuμG κGι το ε•rιι.nε•

δ•ο

••••••••••

ι---...;,;,ι-· �----��------------------(023 1264 & (0236) 22221

{

(2χ - y) + m(x + y - 2) = Ο Λ

(1') με Σι = (�· �) } (2x + y + 4) + m(3x - y - 2) = 0 (2' ) με Σ2 = (-Έ· -�6) (I' )

ορίzουν στο επίπεδο μια οροβοΑιιιότaτα και τα σημεία τομής Μ των αντίστοιχων ακτινών των (Σι) και (Σ2) για κάθε τιμή της παραμέι:ρου m ορίzουν (σuνθέι:ουν) μια κωνική (C).

α) Στην κωνική (C) που ορίzεται από το σύστημα (I' ) των δύο προ­βολικών επίπεδων δεσμών (Σι) και (Σ2) ανήκουν τα κέντρα Σι και Σ2 αυτών των δεσμών:

a1) Καθορισμός το\J :ε2 ως σaμείοu τaς κωvικιίς (C)

Θεωρούμε την ευθεία Σι υ Σ2 = ΣιΣ2 ως ακτίνα της δέσμης (Απ) = (Σι) και ορίzουμε από την εξίσωση (1' ) την τιμή mι της παρα-, , , Σ Σ , Σ ( 2 16 μετρου m με την απαπηση η ακτινα 1 2 να περιεχει το 2 -S' -5

και έχουμε:

12 - 28 mι = Ο <=> I mι = � I 5 5 7

και ouvέxE1Cl για mν τιμή αιπι1 mι = � ορfιοuμε σm δέσίm (Dm) = (l.:2) από mν εξίσωση <Ι\Πής (2') mν εξίσωση:

(2χ + y + 4) + � (3χ - y - 2) = 0 <=>23χ + 4y + 22 = 0

που ορίzει την ευθεία (ε2) και που είναι η ακτίνα της (σ2) που αντιστοιχίzεται στην ακτίνα ΣιΣ2 της (Σι). Η (ε2) είναι διάφορος της ΣιΣ2 και το σημείο τομής Σ2 = (ΣιΣ2) Γ\ (ε2) είναι σημείο της κωνι­κής (C) με εφαπτομένη στο σημείο Σ2 την ευθεία (ε2) (λόγω γεπονιάς).

a2) Καθορισμός το\J :ε1 ως σaμείοu τaς ιιωvιιιιίς (C)

Θεωρούμε πάλι την Σ2 υ Σι = Σ2Σι ως ακτίνα όμως της δέσμης (Dm) = (Σ2) και από την εξίσωση (2' ) της δέσμης (Dm) = (Σ2) ορίzουμε την τιμή m2 της παραμέι:ρου m με την aoaίτaσa η Σ2Σι να περιέχει το Σι (�· �)οπότε: ( 2 � + � + 4) + m2 ( 3 �-�- 2) = Ο <=> I m2 = 5 I

και στη συνέχεια για την τιμή αυτή m2 = 5 ορίzουμε στη δέσμη (Απ) = (Σι) από την εξίσωση αυτής (1' ) την εξίσωση: (2χ - y) + 5(χ + y - 2) = Ο<=> 7χ + 4y - 10 = Ο που ορίzει την ευθεία (ει) που είναι η ακτίνα της δέσμης (Σι) που αντιστοιχίzεται στην ακτίνα (Σ2Σι) της (Σ2). Η (ει) είναι διάφορος της Σ2Σι και το σημείο τομής Σι = (Σ2Σι) n (ει) είναι σημείο μιας κωνικής (C) και η (ει) εφάπτεται της κωνικής (C) στό Σι (λόγω γεπονιάς) .

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' ιιθ. τ. 1/50

ΑΡΜΕΝΟΠΟΥ ΛΟΥ 27, (πίσω από τη Ροτόντα) Τηλ.: (03 1 ) 203.720, Fax: 2 1 1 .305 - θΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 546 35

Πλήρεις σειρές Μαθηματικών του ΘΑΝΑΣΗ ΞΕΝΟΥ

-ΜΑθΗΜΑΥΙΚΑ •�••a&+kt·•••-••

8ΑΝ&ΣΗ Π • .!Ι:ΝΟΥ

ΑΝΑΛΥΣΗ Συναρτήσεις Όριο Σuν�χειa Aκonouerες

�-

θΑΝΑΙ.Η Π. ΞΕΝΟΥ

1

θλΝΑ1ΗΠΝΟΥ

1

ΜΑθΗΜΑΤ/ΚΑ ΓΙΑ Α'; Β' & Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΝ/ΚΑ θΕΜΑΤΑ ΜΑθΗΜΑ τJΚΩΝ '

Της & 4ης ΔΕΣΜΗΣ . ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

' · Β 'ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ .

Α ' & Β' Λ ΥΚΕΙΟΥ c ΑΝΑΛΥΣΗ

Ιη.ς Δέσμης τομ . . 1; �,3 .ΑΛΓΕΒΡΑ

• .ΑΝΑΛΥJ/ΚΗ . ΓΕΠΜΠΡΙΑ

τομ. 1;2 · .• ΑΛΓΕΒΡΑ

4ης Δέσμης · . ΑΝΑΛΥΣΗ , 4ης Δ�σμης

· τομ. 1,.2

ΑΛΓΕΒΡΑ κο• ΑΝΑΛΥτΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1

θΑΝΑΣΗ Π. ΞΕΝΟΥ

tEΣffiH flΝΗΛΥΣΗ

• τ ο βιβλιοπωλείο μclς διαθέτει και πολλά άλλ.α βιβλία yιά τη Μέση Εκπαίδευση, καθώς και ιιλήβος εmιπημονικών βιβλίων νια w ΑΕΙ, YEI και IEK ... ··. .. . .

• Ζητηατενα σας στείλουμε το ΙΙ(�ό με ια θέ�α και ίις λύσC!ς ''9-ν Γενικών· Εξειασεων 1995; καιτοπεριοδικο τqu βιβλιοnωλειου μας, πουπεριεχει αναλυτικά τις · εκδόσεις μας με τα περιεχόμενα τόυς. · · ·· · ··· ·

• fτΛιιr ιιnΑnνιιτr.t νίvr.τιιι iιιιπωιιπ.

NI-AAYΣff mnι -A.,άλuet ms 1HS �i.,HS

�\Et\\\ εt\t ΣΥΑ θΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΦΕΥΙΝΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕC

Τα pτnιά llψetra �pιpiJouιι 71fll ewάjr<

··, .

κια 6Uκιω<fψiιιο 671/mδο 8oH!JHμlfιrtull .I ΜΑΘΗΜΑΥΙΚΑ 1 ης Δέσμης

Άσκηση 1 7 σελ. 220 (Γ' τόμος) Μέθοδος σελ. 59 (Γ' τόμος) Άσκηση 32 σελ.όό (Β' τόμος) Άσκηση 19 σελ.2 1 7 (Β' τόμος)

.,t ΜΑθΗΜΑΥΙΚΑ 4ης Δέσμης Στη σειρά των βιβλίων της 4ης δέσμης για το κάθε ζήτημα των εξετάσεων περιέχονται τουλάχιστον τρία (3) αντίστοιχα λυμένα ή άλυτα θέματα.

_.-,.:. --- . . . . ...... 111!• ........ . . .

• ,...;.

........

. . . .......-

· · · -.-..-----

:Q�'1&. ---η� kaθηγητές, έκπτωση 35°/ο

• Γεωμετρία Α' Λυκείου • Άλγεβρα Α' Λυκείου

I<PI --- ·

Μαθηματικά • Άλγεβρα Β' Λυκείου Α', Β', r· Γυμvασί�

J'Ιοθnpο"Ιικές Ολ"μοιάδες 12• Β.Μ.Ο.

Εοιμέλεια: Π. Μορέyιαvvaς, Σ. Ράοοος, r. Τάκος Αvσεις: Σ. Ράοοος

Η 12n Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα διεξήχθη στην πόλη Φιί\ιππούπολη της Βουλγαρίας στο διάστημα 7-13 Μαίου 1995, με συμμετοχή των χωρών της Ελλάδας, Βουλγαρίας, Σερβίας, Κύπρου, Σκοπίων και Αλβανίας. Η φιλοξενία των Βουλγάρων ήταν άψογη και το πρόγραμμα πλούσιο (επισκέψεις σε μαθηματικά σχολεία, μουσεία κ.ί\.π.). Η εξαμελής ελληνική αποστολή απο­τελούνταν από τους

η Θεοδωρίδη, Σ. Ράππο, Ν. Καραναστάση, Σ. Ρουvτzούνη, Π. Μπρέγιαvvη, Γ. Τάκο

και συνοδεύονταν από τους Θ. Μπόλη, Δ. Κοντογιάvvη και Π. Βλάμο. Η ομάδα μας κατάφερε να αποσπάσει 4 χάλκινα μετάλλια, με τους Π. Θεοδωρίδη, Π. Μπρέγιαvvη, Σ. Poυvτzoύvn, Γ.Τάκο και 1 αρyνρό με τον Σ. Ράππο.

Τ α θέματα της 12nς ΒΜΟ με σύντομες λύσεις ήταν τα εξής:

θέμα ορώτο (FYROM) Να βρείτε ταν τιμιί τaς έκφρασaς: ( ... (((2 * 3) * 4) * 5) * . . . ) * 1995, όοοv

χ * y = :+ Υ , yιιι ιιάβε θετικό χ, y. + xy , .

Avσa

Παρατηρούμε ότι η πράξη είναι προσεταιριστική και με επαγωγή δείχνουμε ότι: 2 * 3 * * _ η(η + 1) - 2 •

. . . η - (. 1) 2, για η περmο. η η + + .

θέμ'-' δεwρ� (ΕΜΑΔΑ Δ. Kovτo�άvvaς)

θεωροvpε τοvς κvιιλοvς C1(0,1, r1) και �(02, r2) oov τέμνονται στα Α, Β όοοv r1 < r2 και 01ΑΟ2 = 90°. Η εvβεία 0102 τέμνει τον C1 στα C, D ενώ τον Cz στα Ε,

. -� " F. Το Ε �ίναι μεταl\1 �ων C, D •α• io D μετcι�\1 των Ε, F. Η ΒΕ τέμνει τον C1 στο Κ . , . . _, -· και �ν ΑC'«η:ο. Μ, ενώ a BD τέμνει τον C2 στο L και ταν ΑF

.στο Ν. Να δεί�ετε όn

r2 g LN · · ! · · - - ' · · · "

rι = IUI . ι.ρ· >

Avσa

ΕπειQή οι κύκλοι τέμνονται κάθετα, εύκολα δείχνουμε ότι C, Α, L συνευθειακά και F, Α, Κ συ­νευθειακά . . -.

Από το θεώρημα Μενελάου στα τρίγωνα MCE και NDF, που τέμνονται από τις ευθείες FΑΚ, CAL αντίστοιχα, έχουμε ότι: ΚΜ · AC . 2r2 = 1 -

l.N . AF . 2rι (1) Κξ;• ΑΜ CF LD ΑΝ CF Στο εγγράψιμο ΑΜΒΝ, εύκqλα δείχνουμε ότι ΜΝ // FE, οπότε από την (1 ) προκύπτει

r2 ΚΕ LN ' rι = ΚΜ · w· Παρίιuίρ.σa. Οπως μας είπε ο κ. Κοντογιάvvης, που κατασκεύασε την άσκηση, αυτή ιχύει και

"""' i· - �! : ._, ι . οταν Οι A1Q'� -:�- 90°. ·

.' , -;;

ΕΥΚι\ΕJΔΗJ; Β' κβ. τ. 1/52

-------------Μαθa•αuιιές Ολ"•••άδες -------------

θέιtό 'Ιρί'Ιο (ΑΑΒΑΝΙΑJ Έcnω a, b θεuιιοί aιιέρaιοι με a > b ιιaι a + b = . άρuο. Να δεί�ε'Ιε όu ΟΙ ρίzες

'1�ς ε�ίοωσιίς χ2 - (a2 � a + l)(x - b2 - 1) - _ (b2 + 1)2 = Ο είναι θε'Ιικοί aίιέρaιοι κανένας aοό 'lovς oιloίovs δεν είνaι 'Ιέλειο 'Ιε'Ιράyωνο.

Λvσn

ο , ξί' , b2 1 2 b2 δ ' b 1 , , ι ριzες της ε σωσης ειναι χ1 = + , χ2 = a - - a και επει η a � + , εχουμε οτι a2 - b2,- a � a - i > b - 1 � Ο, δhί\. χ1, χ2 θετικοί ακέραιοι. Το χ1 ουδέποτε είναι τέλειο τετράγωνο, αφού b2 < χ1 < (b + 1)2: Για το χ� θέτουμε m = (a; b), η = (a 2 b) και υποθέτουμε ότι

c2 = χ2 = 4mη - η - m για κΟποιο c ακέραιο. Τότε (4m - 1)(4ri - 1) = 4(4mη - m - η) + 1 (1) . Αν όιiως ένας αριθμός q είναι της μορφής q = 4κ + 1 θα έχει πρώτο διαιρέτη της μορφής

ρ = 4ί\ - 1. Έστω φυσικοί χ, y ώστε (χ, ρ) = (y, ρ) = 1, οπότε από θ. Feπnat προκύmει ότι: 2 2λ - Ι 2 2λ - Ι 2 2 2 2 -(χ ) + (y ) - 2 Ξ O(mod ρ) ==> χ + y δε διαιρεί το ρ =>Χ + y δε διαιρεί το q (2) . Θέτουμε χ = 2c, y = 1, οπότε οι (1) , (2) καταλήγουν σε αντίφαση.

θέμα, 'Ιέ'Ιaρ'Ιο (�EPBIA) 'Εσι:ω Ιι θεnιιός ακέραιος ιιaι S 'IO σvνοΑο όΑων 'Ιων σnμείων (χ , y) όοοv χ, ν

θε'Ιικοί . ακέραιοι με χ � n, y � n. Υοοθέ'Ιοvμε όu Τ είναι '10 σvνοΑο όΑων 'Ιων -ιε· 'Ιρayώvων με ιιορvφές cno S. �vμβοΑίzοvμε με a. (κ � 0), 'ΙΟν aριθμό 'lωv zεvyών 'Ιων σapείων 'IOV S, DOV είναι κορvφές ακριβώς κ 'Ιε'Ιρayώνων 'IOV τ. Να δεί�ε'Ιε όu Ωο = Ωz + 2as.

Λvσn

Προφανώς υπάρχουν μόνο τα ao. α1, ά2, α3. Ο πί\ηθάριθμος του S είναι η η (η - 1)(η + 1) α + α + α + α (1-) ( 2 ) 2 2 = 2 _ = ο 1 2 3

τ ο πί\ήθος των τετραγώνων του τ πί\ευράς κ που έχουν πί\ευρές παράλληλες στους άξονες είναι (η - κ)2. Στις πί\ευρές των τεtραγώνων αυτών περιέχονται οι κορυφές ακριβώς κ τετραγώνων του Τ. ο πί\ηθάριθμος του τ είναι ί\οmόν:

n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 111 = Σκ(η - κ)2 = Σκ2(η - κ) = η Σκ2 -Σκ3 = η

2(η -i�(η + 1). κ = l κ = l κ = l κ = l

Αν το πί\ήθος των τετραγώνων του Τ οριστεί με βάση τα σημεία του S, έχουμε: lll = (α1 + 2α2 + 3αg) η2(η - 1)(n + 1) (2)

6 12 Από (1) και (2) προκύmει ότι ao = α2 + 2α3:

Θα θέλαμε τέλος να ευχαριστήσουμε την Ε.Μ.Ε. και τον κ. Δ. Κοντογιάvvη για την πολύτιμη βο­ήθειά του στις εππυχίες μας αυτές.

ΕΎΚΛΕΙΔΙΙΣ Β' κθ. τ. 1/53

'Evo ορόβλnμα, πολλές λvσεις Εοιpέλεια: Νίκος Σ"Ιάβa Παοαδόοο.,λος

Ο συνάδελφος rιώρyος Μενδωvίδaς με τον τirλο: «rεωpε"Ιρία a εοιστάpa 'IO" χθες και 'IO" αvριο», μας έσ.:ειλε και δημοσιεύουμε τα ακόλουθα:

Όπως διάβασα κάπου, ο Καρλ Μαρ�, ο οποίος γνώρΙΖε Ελί\ηνικά, πριν από κάθε σοβαρή ε- · πιστημονική εργασία του, έλυνε ασκήσεις Γεωμετρίας.

Μ' αυτόν τον τρόπο πιστεύουμε πως οδηγούσε τη σκέψη του στην κατεύθυνση της παραγωγικής και δημιουργικής αποδεικτικής διαδικασίας.

Η Γεωμετρία είναι το μάθημα, το οποίο μας μαθαίνει να κατασκευάzουμε, να υπολογίzουμε και να αποδεικνύουμε. Γι'αυτό έχει για πολέμιό της, τον «aρπακτικό καππαλισμό» και τους ελάχιστους ευτυχώς αμέριμνους, πολλές φορές, επιστημονικούς συνοδοmόρους του, οι οποίοι στο όνομα του «εκσυγχρονισμού των Μαθηματικών», ρίχνουν νερό στο μύλο της ελαχιστοποίησης της κρπικής ή αντικειμενικής σκέψης των μαθητών, με όλες τις γνωστές συνέπειες . . .

Η Γεωμετρία όμως έχει ένδοξο παρελθόν, πλούσιο παρόν, ελπιδοφόρο μέλλον και καμιά σκο­πιμότητα ή αμέλεια δε θα μπορέσει να της αλλάξει το μορφCa?τικό αλλά και το ουσιαστικό της περιε­χόμενο.

Λένε πως πίσω από έναν «γεωμετρικά σκεmόμενο» άνθρωπο, κρύβεται πάντοτε ένας καλός Γε­ωμέrρης. Η μέση εκπαίδευση έχει σήμερα πολλές χιλιάδες τέrοιους Μαθηματικούς, που διδάσκουν «Αποδεικτική Γεωμετρία», με έμπνευση και μεράκι και δίνουν φτερά στην κρπική και αποδεικτική σκέψη των μαθητών τους.

Εδώ πιστεύω πως πρέπει να επαινέσουμε τη στήλη του περιοδικού «Ευκλείδης Β», «'Ενα ορό­βλapα • οολλές λvσεις», του συναδέλφου Νίκο" Σ"Ιάβa Παοαδόοο.,λο.,, γιατί λύνοντας εκεί πολλά γεωμετρικά προβλήματα με πολλούς τρόπους, δίνει στο μαθητή τη δυνατότητα να αντι­ληφθεί την πολυμορφία της μαθηματικής σκέψης, τον κάνουν ικανό στη συνεχή αναzήτηση νέων λύσεων και του δίνουν τη δυνατότητα της επιλογής της καλύτερης, κατά τη γνώμη τους, δυνατής λύσης.

Έτσι ο μαθητής μαθαίνει από μικρός να αναzητάει και για τα προβλήματα της καθημερινότητας, πολλές εναλλακτικές λύσεις και γίνεται ικανός να επιλέγει την καλύτερη από αυτές.

Πιστεύοντας πως κανένας καλόπιστος άνθρωπος, δεν μπορεί να αμφισβητήσει, τον κυρίαρχο ρόλο της Γεωμετρίας στη zωή μας, ας βοηθήσουν διδάσκοντες και διδασκόμενοι, ώστε το μάθημα αυτό να πάρει τη σωστή του θέση στο εκπαιδευτικό στερέωμα και ας μην ξεχνούμε ότι «αεί ο θεός ο μέγας γεωμετρεί».

Η συνάδελφος Παναyιώ"Ια Δap. Βάβa (Χαλκίδα), μας έστειλε και δημοσιεύουμε τα ακόλου­θα:

θεώρnpα τωv Steiner - Lehιιιas

Το θεώρημα «Εάν δvο εσωuρικές διχο"Ιόpοι "Ιριyώνο" είναι ίσες, "Ιό'ΙΕ 'IO "Ιρίyωνο είναι ισοσκελές», είναι γνωστό ως Θεώρημα των Steiηer - Lehmus.

Ο C.Lehιaus, καβaya"Ιάς Παvεοιστapίο" στο Βερολίνο, zά"Ιaσε 'IO 1840 αοό "Ιον οερίφapο Ελβε"Ιό yεωpέ'Ιρa Jacob Stelaer, vα αοοδεί�ει 'IDV ορό"Ιασa αwά. Το 1850, βράκε και ο Lehιaus δικά 'IO" αοόδει�a. Αοό "Ιό'ΙΕ οολλές αοοδεί�εις 'IO" βεωράpα"Ιος έχο"ν δapοσιε.,βεί.

Στο τεύχος Ιανουάριος - Φεβρουάριος 1995, σελιοες 56 - 60, δημοσιεύτηκαν εννέα ενδιαφέ­ρουσες αποδείξεις του θεωρήματος Steiηer - Lehmus και σύντομες ιστορικές σημειώσεις.

Για τους αναγνώστες του ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β' δίνουμε τις ακόλουθες πληροφορίες και μερικές ακόμη αποδείξεις εκείνου του θεωρήματος:

ΕΥΚι\ΕΙΔΗ� Β' ιι:8. τ. 1/54

------------ Ένα aρ68λapa, άολλές λύσεις ------------

ι. Στις εισαγωγικές εξετάσεις για το Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Αθηνών ετέθη στους υποψηφίους το 1952 το θέμα: «Να αποδειχθεί (όχι με απαγωγή εις άτοπον), ότι εάν τρίγωνο δεν είναι ισοσκελες, τότε δύο δι­, χοτόμοι του είναι άνισες». (βλ. ΕΓΗΣΙΟΝ ΔΕΛτΙΟΝ 1952 ΑΡΙΣΤΕΙΔΟΥ ΠΑΛΜ, σελι'δα 28). Η πρόταση αυτή είναι, βεβαίως, ισοδύναμη με το θεώρημα Steiηer - Lehmus.

2. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' , τεύχος Ιανουάριος - Φεβρουάριος 1976, σελ.39: Εκεί αποδεικνύεται η πρόταση: «β < y Ίόtt δι > δy>>.

3. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' , τεuχος Μάιος 1978, σελ.12: Αποδεικνύεται διαφορετικά η ίδια πρόταση.

4. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' , τεύχος Ιανουάριος - Φεβρουάριος 1979, σελ.136 - 137: Έχει δημοσιευτεί ένα ενδιαφέρον άρθρο του Μαθηματικού Νίκου Κισκuρα σχετικά με το θεώ­ρημα Steiηer - Lehmus.

5. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' , τεύχος Μάιος 1979, σελ.237: Ο Γ. Γ. Ωραιόπουλος ασχολεiι:αι με το θεώρημα Steiner - Lehmus και παραθέτει δύο αποδείξεις του.

6. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' , τεύχος Νοέμβριος - Δεκέμβριος 1979, σελ.95: Δημοσιεύεται μια πολύ ενδιαφέρουσα επιστολή του Μαθηματικού Νίκου Κισκύρα σχετικά με το θεώρημα Steiηer - Lehmus.

7. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' , τεύχος Μάρτιος 1980, σελ.160 - 161: Σχολιάzεται μια από τις γνωστές αποδείξεις του θεωρήματος «β < y <=> δι > δy>> και δίνεται μια απόδειξή του.

8. Ο Ιωάννης Πανάκης στο βιβλίο του ΤΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ 'fΡΙΓΩΝΟ, που εκδόθηκε πριν από το 1960, δημοσιεύει δώδεκα διαφορετικές αποδείξεις του θεωρήματος Steiηer - Lehmus. Παραθέτω αμέσως την 1 ση και 12n από εκείνες τις αποδείξεις:

ιο• Αοόδειξa

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, στο οποίο οι εσωτερικές διχοτόμοι του, ΒΕ και ΓΔ, είναι ίσες. Θ'αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές (Σ:ιr.ά.pα ι).

Θεωρούμε το μέσον Ζ της ΒΓ και την ημιευθεία ΔΖ, πάνω στην οποία παίρνουμε τμήμα ΖΗ = ΖΔ.

Το τετράπλευρο ΔΒΗΓ είναι παραλληλόγραμμο και επομένως .Δ.

ΒΗ = ΓΔ = ΒΕ· άρα το τρίγωνο ΒΕΗ είναι ισοσκελές και ........ ........ ........ τ + λ = σ . (1) ......... J""''r,. .......... .......... ..:::.. Υποθέτω ότι Β < Γ , δηλαδή ω < φ. Άρα τα τρίγωνα ΒΕΓκαι

ΒΔΓ έχουν ΓΕ < ΔΒ =ΓΗ άρα ΓΕ < ΓΗ και � < μ. (2) Από τις (1) και (2) προκύmει

............ .......... ........ .......... Β τ + λ + ν < μ + σ, ΒΗΓ < ΒΕΓ, ΒΔΓ < ΒΕΓ, ........ ........ ........ Γ ........ Β ........ ........ 1800 - Β -2< 1800 - Γ -2 και τέλος, Β > Γ . ........ ........ Αυτό είναι άτοπο, γιατί υπέθεσα Β < Γ .

Α

......... .......... .......... .......... τ-. , ι Άρα δεν είναι Β < Γ' όμοια αποδεικvύει:αι όΌ δεν είναι Β > Γ ·άρα .:ιr.apa

........ ........ Β = Γ και β= γ.

ΕΎΚΛΕΙΔJΙJ; Β' κ8. τ. 1/55

Γ

Η

-----..,..-------Έva αρ6βλa•α, αολλές λ.Jσεις --------------

.Δ. Έσrω τρίγωνο ΑΒΓ, οι εσωτερικές διχοτόμοι ΒΕ και ΓΔ του οποίου, είναι ίσες. Θα αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (Σ:ιιόpα 2).

Πράγματι, εάν υποθέσουμε Β < f, τότε θα είναι και Α ΑΓ < ΑΒ. Από τα σημεία Δ και Ε φέρνουιiε τα ευθύγραμμα ψ.ήματα ΔΖ // ΒΓ iaι.EH // ΒΓ. ....... .......

Είναι ν = σ ·· άρά ΗΕ = ΗΒ. Είναι � = φ άρα ΔΖ = ΖΓ.

............ ............ . /"<ιrι,. ............ ..ι::::::rι.. Επειδή Β < Γ , δriλαδή σ < φ, τα ισοσκελή τρίγωνα ΒΗΕ

και ΔΖΓ έχουν, από υπόθεση, ΒΕ = ΓΔ και τη γωνία ............ ............ ............ ............ ν = σ < φ = ω'' άρα είναι άνισα και συνεήώς ΗΕ < ΔΖ. (1) Εnειδή οι ΒΕ και Γ Δ είναι διχοτόμοι, έχουμε διαδοχικά: ΓΕ ΒΓ ΒΓ ΔΒ , Β ΑΕ = ΑΒ < ΑΓ = ΑΔ' (2) επειδη ΑΓ < ΑΒ. , Σ:ιιnpα 2

Ά ΓΕ < ΔΒ ΓΕ + 1 < ΔΒ + 1 ΓΕ + ΑΕ < ΔΒ + ΑΔ ΑΓ < ΑΒ ΒΓ < ΒΓ ρα ΑΕ ΑΔ' ΑΕ ΑΔ ' ΑΕ ΑΔ ' ΑΕ ΑΔ' ΕΗ ΔΖ

(διότι ΑΗΕ � ΑΒΓ � W). Άρα ΔΖ < ΕΗ. (3) Οι σχέσεις (1) και (3) είναι ασυμβίβαστες. Καταλήγουμε λοιπόν, σrο εξής:

Γ

«Εάν δύο εσωτερικές διχοτόμοι τριγώνου είναι ίσες, είναι αδύνατο οι αvτίσrοιχες γωνίες να είναι άνισες· άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές».

9. Παραθέτω, τώρα, μια τριγωνομετρική απόδειξη του θεωρήματος Steiηer - Lehmus: (Σ:ιιόpα 3)

Τρίγωνο ΑΒΓ: lμ2+ in = χμ2

+ Υ (1) η ω η φ

• .Δ. l Τρίγωνο ΒΓΔ: ΓΔ =-.- ·ημ2φ (2) ημω .Δ. χ Τρίγωνο ΒΓΕ: ΒΕ = -·ημ2ω (3) ημφ

Από τις (2). και (3) προκύmει: lημ2φ χημ2ω (4) ημω ημφ .Δ. """" Τ ρίγώνα ΑΓΔ κάι ΑΒΕ:

....!!!.... = ΓΔ = ΒΕ =....L"ά a....!!!.... =....L (5) ημω ημΑ ημΑ ημφ ρ ημω ημφ Αvτικαθισrούμε τα l και m από τις (4) και (5) σrην (1) και,

μετά τις aπλοποιήσεις, παίρνουμε:

χ·�+ y· συvφ = χ + y. (6) ημφ συνω Εάν φ = .cii; τότε η (6) είναι αληθής.

Α

Σ:ιιόpα 3

Εάν φ :;t ω, τότε εύκολα αποδεικνύεται (επειδή Ο < φ, ω <�) ότι η (6) δεν ισχύει. Άρα φ = ω κaι επομένως Β = γ.

. ' Η απόδειξη αυτή έχει δημοσιευtεί σrο περιοδικό 'Πιe Matheιnatlcal Gazette, Φεβρο"ά·

ριος 1969, σελίδα 59.

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙ� Β' a8. τ. 1/56

-------------Ένα aρόβλa••· aολλές λ.Sσεις ------------

10. Στο περιοδικό Mathematlcs magazlae, uv:κος Μάρuος 1970, σελίδες 101 -102, έχει δημοσιευτεί η παρακάτω απόδειξη· ο συγγραφέας ισχυρfzεται ότι δεν την έχει δει πουθενά δημοσιευμένη και επομένως ότι είναι πρωτότυπη: (βλ. Σ:κιίpα 4)

....:... Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ίσες τις

εσωτερικές διχοτόμους ΒΔ και ΓΕ. Στις ημιευθείες ΒΑ και ΓΑ παίρνουμε τμήματα ΑΜ = ΑΝ = ΒΓ και φέρνουμε ΜΜ1 ..L ΒΔ κα1 ΝΝ1 _ι ΓΕ. Η διχοτόμος ΑΙ του

....:... τριγώνου ΑΒΓ τέμνει m ΜΝ στο Ρ και είναι μεσοκάθετος mς ΜΝ (α�όδε:ιξ� ε·JκοΛ�).

......... ......... Άρα ί?iΝ = ί?ΙΜ KOiiM= :iN.(l) ....:... .....

Είναι ΒΕΓ = ΕΑΝ και ...... ..,. ΒΔΓ= ΑΔΜ .

..,. ..... ..... Άρα ΒΔΜ = ΓΕΝ= ΑΒΓ. Άρα ΜΜ1 = ΝΝι.

...... ..... Άρα �"Ν1ί = ΜΜ11 και ......... ......... EIN = ΔIM .

......... . .......... Άρα ΕΙΑ = ΔϊΑ. {2} Σ:κιίpα 4

..... ..... Επειδή οι γωνίες σος (1) είναι εξωτερικές των τριγώνων ΑΙΓ και ΑΙΒ αντιστοίχως, προκύmει ότι φ = ω και Β = Γ. Άρα.ΑΒ =ΑΓ.

Ο συvγραφέaς ϊσχ-vρizεϊαι, ακόμη, ότϊ n απόδειξη αυτή είναί. «άμεσο», δηλαδή δε χρησιμοποιεί τη μέθοδο mς απαγωγής εις άι:οπον.

Στο τεύχος Μάρτιος 1974, σελι'δα 88, του ίδιου περιοδικού, ασκήθηκε αυστηρή κρπική σ'αυτήν την απόδωξn και έ'{ίVΕ φανερό όu. n παραπάνω απόδειξη δεν είναι άμεση, διότι στηρίzεται σε προ­τάσεις, οι οποίες δεν έχουν άμεση απόδειξη.

11. Παραθέτουμε μια πολύ σύντομη απόδειξη του θεωρήματος Steiηer-Lehmus' αυτή έχει δημο­σιευτεί στο περιοδικό MONYHLY τaς Αpερικαvικιίς Μαθapαuιuiς Εταιρίας, τεάος Ιαvο"άριος 1963, σελίδες 79 - 80: (βλ. Σ:κιίpα 5)

...... ..... Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ίσες διχοτόμους ΒΜ και ΓΝ' υποθέτω ότι το τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ισο-σκελές' χωρίς Βλάβη της γενικότητας υποθέτω ότι Β < Γ. (Σ:ιιιίpα 5)

.........

Θ ' ' Λ ΒΜ ' ' Λί ........ ΓΝ Β εωρουμε σημειο της τετοιο, ωστε = 2·

κ6 .. ......... ......... Επειδή ΛΒΝ = ΛΓΝ, τα σημεία Λ, Ν, Β, Γ είναι ομοκυκλι-

......... .......... .......... .......... ......... ........ .........

Είvaι Β =�+� <�+ � < Α+�+ Γ 90° . ......... ......... Άρα ΓΒΝ < ΛΓΒ < 90° . (1)

Οι ΒΛ και ΓΝ είναι χορδές του κύκλου ΛΝΒΓ και ΒΛ < ΓΝ' (2)

Από τις (1) και (2) προκύmει ΛfΒ < rBN. (3) Αυτ6 είναι. άτοπο, διότι ισχύε! n (1) .

......... ......... .ο.. Άρα Β = Γ και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

ΕΥΚΛΕΙΔΗ:Ε Β' κ8. τ. 1/57

Α

Γ Σ:ιιιίpα 5

..:....------------- Έvα apόβλa••· aολλές λwεις --------------

12. Πολλές αποδείξεις του θεωρήματος Steiηer - Lehmus, που έχουν προταθεί κατά καιρούς, έ­χουν χαρακτηρισθεί απ6 τους συγyραφείς τους ως ΑΜΕΣΕΣ.

An6 έγκυρα σχ6?ιια και ί\εmομερείς παρατηρήσεις, που έχουν γίνει επάνω στις αποδείξεις του θεωρήματος Steiηer - Lehmus, παίρνουμε την πί\ηροφορία, 6τι καμία απ6 αυτές τις αποδείξεις δεν είναι ΑΜΕΣΗ, με την έννοια 6τι τα θεωρήματα, στα οποία αυτή στηρίzεται, έχουν 6ί\α άμεση απ6-δειξη.

Δεν έχει ευρεθεί απ6δειξη του θεωρήματος ΑΜΕΣΗ, με τη σημασία του 6ρου, που δ6θηκε πα­ραπάνω.

ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡόΓΡΑΜΜΑ

Φτιάξτε το ωρολόγιο πρόγραμμα του σχολείου σας (Γυμνάσιο • Λύκειο) με απλό και γρήγορο τρόπο.

Το Π ρόγραμμα ERMHS για P.C. , λύνει το αιώνιο πρόβλημα. Κατανομή ωρών, ελαχιστοποίηση κενών, προτιμήσεις, όλοι

οι έλεγχοι, πρόσθεσ11-αφαίρεση καθηγητή

στο τελικό πρόγραμμα κ.λπ. Απεριόριστοι καθηγητές-τμήματα.

Αναγνώστου Βασίλης - Μαθηματικός Τηλ. : (01 ) 43. 1 4.702

ΤΑ ΒιΒΛιΑ ΠΕΡιΕΧΟΥΝ

* Ασκήσεις: του συγγραφέα - Αποθnσdύρισμa τnι;: 18χρονnι;: εμnειρlο<; του anό mν nροεταμοοla των υnοψnφlων στα φροντlσmριο, στο nvώ­μa των τελεuτσlων εξετόσεων nου οuνδvόζουν γνώσεις από nολλό κεφόλαιa σuγχόνως.

8 Λυμένα τα πιο ουσιώδη θtματa από τις: nανελλlινιες Εξετόσεις mς nεροσμένnς εvτεκσετlaς 1983-1994.

• Λυμένο θέματα anό εξετόσεις διαφόρων ξένων nσνεnιστnμlων BACALAUREAT - LONDON Ρα. YτECHNIC - NEW ΥαιΚ UNIVERSirY

LIVERPOOL UNIVERSirY - G.C.E. Αγγλικό - MOSCOW UNIVERSirY

Υ Λυμένες μια σειρό ασκήσεων nου εnιλέχmκον anό διόφορες εκδό­σεις ελληνικών και ξένων περιοδικών όπως ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ τnι;: ΕΜΕ -ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣτΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ - ΘΕΑΙτΗΤΟΣ - ΜΑ τΗΕΜΑ τιc NEWS CASSEτ Α ΜΑ τΕΜΑ TICA - τΗΕ γQΚΟΗΑΜΑ ΜΑ τΗΕΜΑ TICAL JOURNAL JOURNAL MARτiCULA τιΟΝ BOARD - LOOK JAPAN

Ο Λυμένες μια σειρό επιλεγμένων ασκήσεων οπό μια πλούσια ελλnνικlι και ξένn Βιθλιογροφlα.

Ο Λυμένο θέματα μαθητικών διαγωνισμών όπως τnς Ελλnνικlις Maθn· μσnκlις Ετσιρεlσς (ΕΜΕ), Μσθnμanκών Ολυμnιόδων, του William Lowell

στις HnA, nου έχουν σχέσn ως nρaς τον περιεχόμενο με τις na­νελλlινιες Εξετόσεις τnι;: 1nς Δέσμnι;:.

V' Τ ε τ ρόδες Θεμότων anό το θέματα του θιθλlσu στο στυλ και το εnl­nεδο των nσνελλπνlων Εξετόσεων και με ερωτήσεις θεωρlσς που κσ­Μπτουν το πιο πιθανό θέματα aπό όλn mν iιλn γιο διοκιμaοnκό Τ est

πριν τις εξετόσεις:.

Τ οσρχεlο θεμότων μaθnμοτικών 1nς Δέομnι;: οπό nσνελλΙινιες Εξετό­σεις: 1983 - 1994

τ σ SOS θέματα mς θεωρlσς

ΕΥΚΑΕΙΔΗ� 8' aθ. τ. 1/58

ΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΠΟΥ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΑΝ το ;; ΣτΥΛ " κ α ι το " Π Ν ΕΥΜΑ' Τ Ω Ν Φ Ε1Ι Ν Ω Ν Θ Ε Μ ΑΤΩ Ν Σ τ Ι Σ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕfΑΣΕΙΣ 1 nς και 4nς ΔΕΣΜΗΣ ΟΣΟ ΚΑΝΕΝΑ ΑΛΛΟ.

ΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΠΟΥ ΤΑΥ11ΣfΗΚΑΝ ΜΕ

ΤΟ ΝΕΟ ΠΝΕΥΜΑ ΤΩΝ ΕΞΕτΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔ Υ ΑΣlΊΚΑ ΠΟΜΩΝ

Ε ΡΩΤΗ ΜΑΤΩ Ν ΠΟΥ ΜΟΝΟ ΤΟ "ΝΕΟ ΠΝΕΥΜΑ ΤΩΝ ΕΞΕτΑΣΕΩΝ" του Μαθηματικού φροντιστή Σάκη Λιnορδέzn ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ

Συνάδελφοι προτείνετε και διδάξετε στους υποψπφιους

το μοναδικό εξωσχολικό Βοfιθπμσ που θσ τους φέρει τόσο κοντά

στα θέματα των εξετάσεων.

ΓΙΑ ΠΑΡΑΓ ΓΕΛΙΕΣ ΤΗΛΕΦΩΝΗΣfΕ 053 1 /2 1 206 - FAX 053 1 /2 1 9 1 6

ή zητήστε τα στα καλά μεγάλα βιβλιοπωλεια.

rιάννn Δ. Στρατή

ΠΡΑrΜΑΥΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ I σελίδες: 392 τιμή 3.800δρχ.

Διατίθεται στα κεντρικά βιβλιοnωλεία

Περιέχει: • Όλη τη θεωρία, σύμφωνα με το Αναλυηκό

Πρόγραμμα που ισχύει, με παραδείγματα και

ανηπαραδείγματα. • Κάθε κεφάλαιο κλείνει με μια πλούσια συλλογή

ασκήσεων προοδευηκής δυσκολίας με αποτέ­

i\εσματα στο τέλος του βιβλίου και υποδείξεις

για ης πιο δύσκολες. • Για την εμπέδωση των μεθόδων παρατίθεται

ένα πλήθος από υποδειγμαηκά λυμένα θέματα.

Για την αποστολή (με αvηκαταβολή του βιβλίου

τα�χυδρομείστε το παρακάτω δελτίο παραγγελίας

στη διεύθυνση:

"Γιάvvη Στρατή Εσπερίδων 5 Γαλάτm 1 1 1 46"

ΔΕΛΥΙΟ ΠΑΡΑrrΕΛΙΑΣ

Όνομα:

Επώνυμο:

Διεύθυνση:

Τηλέφωνο:

Σχολείο:

Πόλη: ---------- -------

Φρονηστήριο: ----------------------

Στους συναδέλφους μαθημαηκούς γίνεται έκ­

πτωση 40% και προσφέρεται έvα βιβλιαράκι με τις

λύσεις των ασκήσεων.

ΝΙΚΟΥ ΦΑΠΠΑ

• �yεβρα Α' Λuκειοu (2 τεύχη)

Το βιβλiο περιέχει πλήρη θεωρlα, επιλεγμένα παραδεlyματα και πολλές πρωτ6τυπες ασκήσεις.

• Η απ6δειξη στα Μαθηματικ6 Για καθηγητές και φοιτητές

Στα κεντρικά βιβλιοπωλεrσ Κεντρική Διόθεση: Γ. Κορφιάτης

Ιπποκράτους β, τηλ. 36.28.492

ι& 1η ΔΕΣΜΗ Ο ΑΛΓΕΒΡΑ

• Πίνακες-Ορίζουσες-Συστήματα • Μιγαδικοί-Πιθανότητες

Ο ΑΝΑΛΥΣΗ • Συναρτήσεις-Ορια-Συνέχεια • Διαφορικός Λογισμός • Ολοκληρωτικός Λογισμός

Διαφορικές Εξισώσεις

� 4η ΔΕΣΜΗ Ο ΑΛΓΕΒΡΑ

( Πίνακες-Συστήματα-Πιθανότητες )

Ο ΑΝΑΛΥΣΗ • Συναρτήσεις-Ορια-Συνέχεια • Διαφορικός-Ολοκληρωτικός

Λογισμός

� Α ' ΛΥΚΕΙΟΥ Αλyεβρα ( Τά.-Τβ' . ) � Β ' Λ ΥΚΕΙΟΥ

Αλyεβρα ( Τ.ά.-Τ.β' . ) �Εκmωση : 25% Στούς συν6δελφους

Διόθεση : Αφοι Παπαδημητρόπουλοι

Σόλωνος 101 "Β' 3812412-38 18332

λΠλΡλΙΤΗΤλ ΒΟΗθΗΜλ Τ λ Γlλ ΚλθΗΓΗΤΕΣ & Μλ8ΗΤΕΣ λ ' ΔΕΣΜΗΣ

ΔΗΜΗΤΡΗ L ΜΠΟΥΝΑΚΗ

t ΓΡΑΜΜΙΚΉ λΛΓΕΒΡλ & ΜΙΓΑΔ. λΡΙθΜΟΙ

t ΓΕΝΙΚλ θΕΜλΤλ Κλl ΠΡΟΒΛΗΜλΤλ λΝλΛΥΣΗΣ - ΤΟΜΟΣ Ι , 11

tΠΡΟΒΛΗΜλ Τ λ ΠlθλΝΟΤΗΤΩΝ & ΣΥΝΔ/ΚΗΣ

(σε nερυσινtς τιμά:)

ΠΑΡΑ rΙΈΛΙΕΣ τηλ . (Ο 8 1) 2 5 2 1 4 Ο

* Και φfτο, στα θfματα των Γενικών εξετόσεων υπι'\ρχαν 4 συναφι'ι Βfματα από τα βιβλια αuτό.

ΥΠΟ ΕΚΑΟΣΗ : ΕΠλΝλΛΗhτΙΚλ θΕΜλΤλ ΜλθΗΜλ τΙΚΩΝ λ ' Δ.ΕΣΜΗΣ

Στο τεύχος αυτό δημοσιεύοvται λύσεις ασκήσεων του τεύχους 15. Προτεινόμενες ασκήσεις θα υπάρχουν στο επόμενο τεύχος.

Η μεγάλη συμμετοχή των αναγνωστών του Ευκλείδη Β' έχει αιφνιδιάσει ευχάριστα την Σ. Ε. Εχοομε παιΜς?ώΕΙς και πάρα� εnιcχάν.ς με καΜ'"fόγn και εuπρΟΟ5εκrες υποδείξaς και rιcιρcιρmιή:ιε1. Θα θέλαμε να παρακαλέσουμε τους αναγνώστες μας να στέλνουν λύσεις χρησιμοποιώvτας την

διδακτέα ύλη της τάξης που αναφέρεται ή προηγούμενης. Τη φορά αυτή θα κάνουμε μια «Παράβαση» δυμοσιεύοvτας λύσεις που ξεφεύγουν από αυτόν τον

κανόνα. Οσοι θέλουν να δώσουν λύσεις χρησιμοποιώvτας ύλη που αναφέρεται σε μεγαλύτερης τά­ξης, ή γειτονική ή στήλη «Ενα πρόβλημα πολλές Λύσεις» είναι ανοιχτή !

ΛtSσεις ι•s άσκaσaς Ι"ΕΟΜΕτΡΙΑ ΜΕ �ΧΗΜΑΤΑ τεtS:ιι:οvς 3/95 Αιιό&ειea ι •

Για να εφαρμόσουμε το αvτίστροφο θεώρημα Ceνa (Σελ. 104 Γεωμ. Ν Λυκείου ΟΕΔΒ/94), υ­πολοyίzουμε τα τμήματα ΒΓ' , Γ' Α και το λόγο ��.

π.χ. με το γενικευμένο θεώρημα του Πυθαγόρα. Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου υπολογίzουμε τον λόγο �Ζ και εφαρμόzουμε το αvτί-

, ,ΑΓ' ΒΝ ΓΒ' 4 15 1 στροφο θεωρημα Ceνa στο τρίγωνο ΑΒΓ, δηλαδηΒΓ' ·. ΓΝ · ΑΒ' = 5 · 12 · Ι = 1 Κ. Γρόψας

Λύση με το παραπάνω πνεύμα έχει στείλει ο Νίκος Κvριαzιίς.

Αιιόδειea 2• Στην προηγούμενη λύση έχουμε υπολογίσει τους λόγους ΑΓ' 4 ΑΒ' 12 ΑΓ' ΑΒ' , , Γ' Β = 5 και ΓΒ' = 15 οπότε Γ' Β = ΓΒ' , δηλαδη Β Γ' // ΒΓ.

Αν ονομάσουμε Ν' το σημείο τομής της Β' Γ' με τη διάμεσο Μ θα έχουμε

και με εφαρμογή του αvτίστροφου θεωρήματος δέσμης (σελ. 160 Γεωμ. Ν Λυκείου ΟΕΔΒ/94), οι ακτίνες Μ 1 ΒΒ' 1 ΓΓ' διέρχοvται από το ίδιο σημείο. Κ. Γρόψας

ΛtSσεις 2•s άσκaσaς Ι"ΕΟΜΕΤΡΙΑ ΜΕ �ΧΗΜΑΤΑ τεtSχοvς 3/95

Αιιόδειea ι D (με γεωμετρία Ν Λυκείου) Κατασκευόzουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΔ. Τ ότε1 αν φέρουμε και τις ΟΔ1 Γ Δ έχουμε:

ΕΥΚΛΕΙΔΗ:ε Β' κ8. τ. 1/60

------------- Σuς ασιuiσεις λέμε ΝΑΙ!-------------

...... • ΔΒΟ = 60° - 30° = 300, οπότε ΒΟ μεσοκάθετος του Μ.

Έτσι ΟΜ = ΟΜ = 50° . ......

• Οι γωνίες του ΑΓ Δ είναι 200 , 800, 800 οπότε ...... ......

ΒΔΓ = 80° - 600 = 200 και ΟΔΒ = 60° - 50° = 10° . ....... .......

• Στο τετράπλευρο ΟΑΔΓ είναι ΟΑΓ = ΟΔΓ = 30° , οπότε αυτό εί-" .......

ναι εγγράψιμο. Άρα ΟΓΑ = ΟΔΑ = 50° . ...... ......

Επειδή ΒΑΓ + ΟΓ Α = 40° + 50° = 90° , είναι ΓΟ ..L ΑΒ.

Στερyίο" Μοάμοaς (Χαλκίδα)

Αοόδει�a 2• (με ομοιότητα και θεώρημα διχοτόμου) Φέρουμε το ύψος ΑΜ του τριγώνου

....... .

ΑΒΓ, στο οποίο είναι ΑΒ = ΑΓ, Α = 40° , ...... .......

άρα θα είναι και ΒΑΜ = ΜΑΓ = 20° , ...... ...... Β = Γ = 70° . Ακόμη, αν Αχ n ΒΓ = Ν, By n ΑΓ = Β' , Μ' n ΒΒ' = Κ,

....... ΒΒ' n ΑΜ = Ο και επειδή ΑΒΒ' = 30° ,

...... ...... ΓΑΝ = 300 , θα είναι: ΓΒΒ' = 40°,

....... ....... ...... ΒΑΝ = 100 και ΟΓΒ = ΟΒΓ = 40° .

Εξάλλου, αν το (J είναι το συμμετρι­κό του Ο ως προς την ΑΒ, τότε επειδή

....... ....... ΟΜ = 20° και ΟΒΔ = 300, θα είναι

...... ....... α Μ = 20° , α ΒΔ = 30° ,

...... ...... AOCY = 70° = ACYO, ...... ....... BOCY = BCYO = 60°,

οπότε είναι: 00' = ΟΒ = or (1) Είναι φανερό ότι τα τρίγωνα AOCY

και ΑΒΓ είναι όμοια, οπότε: ΑΟ ΑΒ oa = ΒΓ (2)

/ /

/

Ο' �� �

/ /

/ /

/

�ο � � I � �

/ /

/ /

I Δ � I I I I I I I I

/ /

/

Από τις (1) και (2) προκύmει: Α'

Α

Μ Γ=700

Επειδή η ΑΚ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΟ θα είναι: � = � (4)

'Ετσι από τις (3) και (4) προκύπτει ότι και: �� = �· οπότε και η ΓΚ θα είναι διχοτόμος της

DrB. Άρα Κ1"Β = 4go = 20° και επειδή Β = 70° , θα είναι: Γ'ίΒ + Β = 20° + 70° = 90° , ή

ΓΓ' ..L ΑΒ ή το ΓΚ Ξ ΓΓ' είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ ή το Κ ανήκει στο ύψος ΓΓ'. ·Νίκος Κυριαzής

Αοόδει�Ω s• (με τριγωνομετρία και θ. Ceνa) Για να εφαρμόσουμε το αντίστροφο Θεώρημα Ceνa στο τρίγωνο ΑΒΓ ονομ6zουμε Τ 10, Τ 30, . . . ,

τα ευθύγραμμα τμήματα στα οποία χωρίzεται κάθε πλευρά του τριγώνου, όπου ο δείκτης παριστάνει ......

την γωνία από την οποία φαίνονται από την αηέναντι κορυφή. Από το Θεώρημα ημπόνων στα ΑΒΝ ......

και ΑΓΝ λαμβάνουμε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιβ. τ. 1/61

Στέφανος Μπασδέκης

MΆrt·θ·IJ.MA�IΚA �α κ��·ους μh�ητες Μ!θ0ΜΑΤΙΚΑ 11Ψιa κ��·ους μaJητες ΧΤΊΗΜ ΕΙ_Α ια κω.ους μαuηrες

I

Γ' Γ Υ :Ν1 � ΑΣ Ι Ο Υ