Επιμέλεια:Καρσιώτη Ευαγγελία

Μαστροπέτρου ΕιρήνηΜούλιου Ιωάννα

Ντελλή ΣοφίαΣταμάτη Αρετή

Καθηγητής:Φιλίππου Ιωάννης

2ο ΓΕΛ Κορυδαλλού Τμήμα: Α1

Ιδιότητες πράξεωνΙδιότητα πράξεων

Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός

Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βαΠροσεταιριστική α + (β + γ) = (α +

β) + γα(βγ)=(αβ)γ

Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = α α ∙ 1 = αΑντίθετος/Αντίστροφος αριθμού

α + (-α) = 0 α ∙ = 1, α ≠ 0

Επιμεριστική α (β + γ) = αβ + αγΑφαίρεση

α-β = α+ (-β)

Διαίρεση

(β≠0)

1

1:

Ιδιότητες πράξεων 21. (α = β και γ = δ) α + γ = β + δ2. (α = β και γ = δ) αγ = βδ3. α = β α + γ = β + γ4. Αν γ ≠ 0 , τότε: α = β αγ = βγ5. α ∙ β = 0 α = 0 ή β = 06. α ∙ β ≠ 0 α ≠ 0 και β ≠ 0

ΔυνάμειςΑν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός,

ισχύει ότι: αν = α∙α∙α…∙α για ν > 1 και

ν παράγοντες

α1 = α, για ν = 1

Αν α ≠ 0, τότε:α0 = 1 και α-ν =

1

Ιδιότητες δυνάμεων1. ακ ∙ αλ = ακ+λ

2. = ακ-λ

3. ακ ∙ βκ = (αβ)κ

4.

5. (ακ)λ = ακλ

(β ≠ 0 )

Ταυτότητες1. (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

2. (α - β)2 = α2 - 2αβ + β2

3. α2 - β2 = (α + β) ∙ (α - β) 4. (α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3

5. (α - β)3 = α3 - 3α2 β + 3αβ2 - β3

6. α3 + β3 = (α + β) ∙ (α2 – αβ + β2)7. α3 - β3 = (α - β) ∙ (α2 + αβ + β2)8. (α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2βγ +

2γα

Ταυτότητες 29. α2 + β2 = (α + β)2 - 2αβ10. (α + β - γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ - 2βγ - 2αγ11. αν – βν = (α - β) ∙ (αν-1 + αν-2β + … + αβν-2 + βν-1) 12. α3 + β3 +γ3 – 3αβγ = (α+β+γ) ∙ (α2+β2+γ2-αβ-βγ-

γα)13. α3+β3+γ3 –3αβγ = (α+β+γ)∙[(α-β)2+(β-γ)2+(γ-

α)2]14. Αν α + β + γ = 0 τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ15. Αν α = β = γ τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ16. α3 + β3 = (α + β)3 - 3αβ (α + β)

21

Ιδιότητες αναλογιών1. (εφ’ όσον βδ ≠ 0)

2. (εφ’ όσον βγδ ≠ 0)

3. (εφ’ όσον βδ ≠ 0)

4. (εφ’ όσον βδ(β+δ) ≠ 0)

βγαδδ

γ

βα

δ

β

γα

δ

γ

βα

δ

δγ

β

βα

δ

γ

βα

δβ

γα

δ

γ

βα

δ

γ

βα

Διάταξη πραγματικών αριθμώνΟρισμόςΈνας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος

από έναν αριθμό β και γράφεται α > β, όταν η διαφορά α - β είναι θετικός αριθμός

Ιδιότητες1. (α > 0 και β > 0) α + β > 0 (α < 0 και β < 0) α + β < 02. α, β ομόσημοι α β > 0 ∙ α, β ετερόσημοι α β < 0 ∙

0βα

0βα

Διάταξη πραγματικών αριθμώνΙδιότητες3. α2 ≥ 0, για κάθε α ℝ , (Η ισότητα ισχύει μόνο όταν

α=0) Από αυτό προκύπτουν οι ισοδυναμίες:α2 + β2 = 0 α = 0 και β = 0α2 + β2 > 0 α ≠ 0 ή β ≠ 0

Διάταξη πραγματικών αριθμώνΙδιότητες των ανισοτήτων1.(α > β και β > γ) α > γ2.i. α > β α + γ > β + γ

ii. Αν γ > 0, τότε: α > β α γ > β γ∙ ∙iii. Αν γ < 0, τότε: α > β α γ < β γ∙ ∙

3.i.(α > β και γ > δ) α + γ > β + δii. Για θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή: (α > β και γ > δ) α γ > β δ∙ ∙

Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α > β αν > βν

Διάταξη πραγματικών αριθμών

ΟρισμόςΗ απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α

συμβολίζετα με και ορίζεται από τον τύπο α, αν α≥0

-α, αν α<0Συνέπειες και

Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

• ή x = -θ (θ > 0)• ή x = -α

α

0αα αα αα

22 αα

θxθx αxαx

α

Ιδιότητες1.

2. = (β ≠ 0)

3.

Απόσταση d (α , β) =

βα

β

α Ανισότητες με απόλυτα ή x > ρ

βαβα

βαβα

βα

ρxρρ)ρ,(xρx

ρxρx

Ρίζες πραγματικών αριθμώνΟρισμόςΗ τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α

συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.

Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x2 = α.

Ιδιότητες• Αν α ≥ 0 & β ≥ 0, τότε:

1. 2.

α

α

αα 2

βαβα βα

β

α3.

(β ≠ 0 )

Ρίζες πραγματικών αριθμώνΟρισμόςΗ ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α

συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει το α.

Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης xν = α.

ν α

ν α

Ρίζες πραγματικών αριθμώνΙδιότητεςΑν α,β ≥ 0, τότε:1. 2. (β ≠ 0)

3. 4. 5. 6.

ννν βαβα

νν

ν

βα

β

α

νμμ ν αα ν μρν ρμ αα

κνv κ αα νν ν βαβα

Αν α ≥ 0, τότε: Αν α ≤ 0 & ν

άρτιος, τότε:

αανν & ααν ν

ααν ν

Ρίζες πραγματικών αριθμώνΟρισμόςΑν α > 0, μ ακέραιος & ν θετικός αριθμός,

τότε ορίζουμε

Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει ότι:

ν μν

μ

αα

νν βαβα

Η εξίσωση xν = αΗ εξίσωση xν = α , με α > 0 και ν περιττό

φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την: Η εξίσωση xν = α, με α > 0 και ν άρτιο

φυσικό αριθμό, έχει δυο λύσεις τις: και

Η εξίσωση xν = α , με α < 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την:

Η εξίσωση xν = α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη

ν α

ν α ν α

ν α

Η εξίσωση αx2+βx+γ=0, α≠0• Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται

εξίσωση δευτέρου βαθμού.

Είδος ριζώνΔ = β2 - 4αγ Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0

Δ > 0 Έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις

Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη

Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ

2α

Δβ-x 1,2

2α

β- x

Άθροισμα και γινόμενο ριζών

Κατασκευή εξίσωσης που έχει δοσμένες ρίζες

x1 , x2 :

x2 – Sx + P = 0

α

βxxS 21

α

γxxP 21

Ανισώσεις 1ου βαθμού αx + β > 0

Αν α > 0 , τότε:

Αν α < 0 , τότε:

Αν α = 0 , τότε: , η οποία

αληθεύει για κάθε x ℝ, αν είναι β > 0

ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β ≤ 0

α

β-x

αβ-x

-β0x

Ανισώσεις 2ου βαθμού Μορφές τριωνύμουΗ παράσταση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται

τριώνυμο 2ου βαθμού. Το τριώνυμο αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0

μετασχηματίζεται ως εξής:Δ > 0 , τότε:

Δ = 0 , τότε:

Δ < 0 ,τότε:

22

2αβ

xαγβxαx

212 xxxxαγβxαx

2

22

4αΔ

2αβ

xαγβxαx

Πρόσημο τριωνύμου αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0

Δ > 0

-∞ x1 x2 +∞ Ομόσημο Ετερόσημο Ομόσημο του α του α του α

Δ = 0

-∞ x1 +∞ Ομόσημο Ομόσημο του α του α

Δ < 0

-∞ +∞ Ομόσημο του α x ℝ