Download - ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

Transcript
Page 1: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

Διευκρίνιση εννοιών του Διευκρίνιση εννοιών του Απειροστικού, μέσω Απειροστικού, μέσω

παραδειγμάτωνπαραδειγμάτων

Εισήγηση:

Γιάννης Π. ΠλατάροςΓιάννης Π. Πλατάρος Μαθηματικός-Μ.Π.Ε. στην Διδακτική & Μεθοδολογία των Μαθηματικών

Δ/ντής 1ου Γεν. Λυκείου Μεσσήνης.

Page 2: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

Τα περισσότερα παραδείγματα υπάρχουν στην περιοδική έκδοσηΤα περισσότερα παραδείγματα υπάρχουν στην περιοδική έκδοση

Το ΦΤο ΦΝοέμβριος 2008 (Τεύχος 5)

Περιοδική έκδοση επικοινωνίας και διαλόγου στα Μαθηματικά

Υπεύθυνος έκδοσης

Β.Ε. ΒισκαδουράκηςΒ.Ε. Βισκαδουράκης

Page 3: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 4: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

Είναι αληθές ότι οι πλέον συνηθισμένοι ρητοί αριθμοί που υπάρχουν είναι οι δεκαδικοί τερματιζόμενοι που χρησιμοποιούμε στην καθημερινή μας ζωή;

νμ

α

52 1)52,( νμα

“Σχεδόν όλοι” οι ρητοί, είναι δεκαδικοί περιοδικοί.

Page 5: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

Κάποιες ερωτήσεις πάνω στους αριθμούς:

• Ποίος είναι ο επόμενος ακέραιος του 5; • Ποίος ο επόμενος ρητός του ;

ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ! ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ! (απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο)

Επιστημολογικό εμπόδιοΕπιστημολογικό εμπόδιο.

Όλοι συνήθως εικάζουν ότι κάποιος υπάρχει, Όλοι συνήθως εικάζουν ότι κάποιος υπάρχει, που δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε!που δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε!

Όχι όμως και ότι Όχι όμως και ότι δεν υπάρχειδεν υπάρχει..

1

2

Page 6: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

Μια εξελισσόμενη εικόνα για τους Μια εξελισσόμενη εικόνα για τους αριθμούς:αριθμούς:

• Αν εκλέξω 1 τρις ρητούς από το (0,1) , τότε η πιθανότητα να επιλέξω δεκαδικό τερματιζόμενο είναι 0

• Αν επιλέξω 1 τρις πραγματικούς από το (0,1) , τότε η πιθανότητα να επιλέξω ρητό είναι 0.

• Αν από το (0,1) αφαιρέσω τους ρητούς του και τους αλγεβρικούς του ( άπειροι αλλά αριθμήσιμοι) πάλι θα έχει μήκος 1.

• Αν από το (0,1) αφαιρέσω το σύνολο του Cantor (υπεραριθμήσιμο) πάλι θα έχει μήκος 1.

Page 7: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 8: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 9: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 10: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 11: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 12: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 13: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 14: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

f(x)=x

Series 1

Series 2

Series 3

Series 4

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

f(x)

Page 15: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

Αν στο γράφημα μίας συνάρτησης υπάρχει εφαπτόμενη σε κάθε σημείο

του, τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη παντού;

Page 16: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

Το γράφημα μια συνάρτησης είναι απολύτως «λείο», δεν έχει «ακίδες», οξείες, ορθές ή αμβλείες γωνίες, ευθύγραμμες ή καμπυλόγραμμες, ενώ σε κάθε σημείο του, υπάρχει εφαπτομένη ευθεία. Όμως η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη!

Πως μπορεί αυτό να είναι δυνατόν;

Page 17: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

Ένας φοιτητής, επικαλούμενος το προηγούμενο παράδειγμα, έχει τη γνώμη, ότι η έννοια της παραγώγου είναι «ανεπαρκώς ορισμένη». Ισχυρίζεται ότι θα πρέπει να βρεθεί ένας

τρόπος, ώστε για κάθε συνάρτηση (όπως και για την f(x)=x^(1/3) ) να υπάρχει η έννοια της παραγώγου σε κάθε σημείο της, εάν και μόνο εάν υπάρχει εφαπτόμενη ευθεία σε αυτό το

σημείο της. Ισχυρίζεται, ότι με αυτό τον τρόπο καλύπτουμε την παραγωγισιμότητα της σε κάθε σημείο της, πράγμα που έρχεται σε απόλυτη συμφωνία με την γεωμετρική εποπτεία

και την αίσθηση του «λείου» γραφήματος

Υπάρχει αντιπαράδειγμα που να κλονίζει την πίστη και τους ισχυρισμούς του φοιτητή;

Page 18: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 19: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

«Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα Δ και

γνησίως αύξουσα σε αυτό, τότε f’(x)>0 για κάθε χ που ανήκει στο Δ».

Να αποδείξετε ότι η πρόταση είναι ψευδής.

/xσυνxxf 2

xxxfxx

2συνlimlim

λ

1lim

x

f x

x

Page 20: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 21: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 22: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 23: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο
Page 24: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

Έστω συνάρτηση Έστω συνάρτηση f :[f :[α,β]α,β]R R συνεχής. συνεχής. Τότε το α είναι θέση τοπικού ακροτάτουΤότε το α είναι θέση τοπικού ακροτάτου

(α,f(α))

(β,f(β))

Γεωμετρική –εποπτική προσέγγισηΓεωμετρική –εποπτική προσέγγιση: : Οσοδήποτε κοντά στο α , ή η Οσοδήποτε κοντά στο α , ή η f f θα θα σχεδιάζεται: ή προς τα πάνω (άρα θα έχω τοπικό ελάχιστο) ή προς τα σχεδιάζεται: ή προς τα πάνω (άρα θα έχω τοπικό ελάχιστο) ή προς τα

κάτω (άρα θα έχω τοπικό μέγιστο) ή θα σχεδιάζεται οριζόντια , άρα πάλι κάτω (άρα θα έχω τοπικό μέγιστο) ή θα σχεδιάζεται οριζόντια , άρα πάλι (υπό την ευρεία έννοια) θα έχω ακρότατο (υπό την ευρεία έννοια) θα έχω ακρότατο

Page 25: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

2 1ημ , 01

:[0, ] ,0, 0

x xf f x x

x

01

Page 26: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

lim [ ( ) ( )] 0x

f x x

Η έννοια της ασύμπτωτης ευθείας σε Η έννοια της ασύμπτωτης ευθείας σε συνάρτηση και τα προβλήματά τηςσυνάρτηση και τα προβλήματά της

Η συνήθης μετάφραση –γεωμετρική ερμηνεία της παραπάνω συνθήκης του ορισμού, βοηθούσης και της ετυμολογίας της ίδιας της λέξης «ασύμπτωτη» (:=η μη συμπίπτουσα)

1. Η ευθεία και η συνάρτηση σε μια περιοχή του απείρου,

2. (Μ , + ) από ένα Μ>0 και πάνω δεν έχουν κοινά σημεία.

3. Η ευθεία «τελικά» εφάπτεται με την f(x) στο +

4. Το γράφημα της f(x) , γίνεται «τελικά» στο άπειρο συμπτώσιμο με την ευθεία.

Page 27: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

21sin 0

: ( )0 0

x x xf f x x

x

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

Η ευθεία Η ευθεία yy=χ έχει άπειρα κοινά σημεία =χ έχει άπειρα κοινά σημεία με την με την f(x) f(x) σε οποιαδήποτε περιοχή σε οποιαδήποτε περιοχή του απείρου (θετικού ή αρνητικού) και του απείρου (θετικού ή αρνητικού) και «παρ΄ όλα αυτά» είναι πλάγια «παρ΄ όλα αυτά» είναι πλάγια ασύμπτωτη της ασύμπτωτη της f(x) ,f(x) ,σύμφωνα με τον σύμφωνα με τον ορισμό.ορισμό.

Page 28: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

• πλάνη_1πλάνη_1 : «οι συνεχείς συναρτήσεις σχεδιάζονται με μονοκονδυλιά στο πεδίο ορισμού τους»

•Αντιπαράδειγμα_1Αντιπαράδειγμα_1:η φ : RR με φ(χ)= χ2 έχει άπειρο μήκος και δεν σχεδιάζεται με «μονοκονδυλιά»

Page 29: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

•Αναδιατύπωση της πλάνης_2:Αναδιατύπωση της πλάνης_2: «κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού σύνολο πεπερασμένου μήκους (:=μέτρου) γράφεται με μονοκονδυλιά»)

Αντιπαράδειγμα_2 Αντιπαράδειγμα_2 :

Έστω:

με μ([-1,+1])=2 όπου η f είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της , όμως στο 0 παρουσιάζει «άπειρο πήδημα» και άρα δεν μπορεί να γραφεί με μονοκονδυλιά.

1:[ 1,0) (0,1] ( )f f x

x ¡

Page 30: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

Νέα αναδιατύπωση πλάνης _3 : Νέα αναδιατύπωση πλάνης _3 : «κάθε συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό «κάθε συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα, γράφεται με μονοκονδυλιά»διάστημα, γράφεται με μονοκονδυλιά»

Αντιπαράδειγμα _3 : Αντιπαράδειγμα _3 : μεμε

Δεν γράφεται με μονοκονδυλιά , αφού έχει άπειρο μήκος (η συγκεκριμένη) ή θα μπορούσε να έχει πεπερασμένο μεν, αλλά με άπειρη ταλάντωση . Επομένως, δεν μπορεί να την σχεδιάσει ικανοποιητικά , ούτε άνθρωπος ούτε Η/Υ

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

-0.02

-0.01

0.01

1:[0, ]f

0,0

0,1

ημ2

x

xx

xxf

Page 31: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο

Έσχατη αναδιατύπωση 4Έσχατη αναδιατύπωση 4 «Κάθε συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα, έχει «μονοκόμματο» (:=συνεκτικό) γράφημα

Αντιπαράδειγμα:Αντιπαράδειγμα: Δεν υπάρχει! Είναι σωστή η πρόταση………

Εν τούτοις υπάρχει κάτι περίεργο που διαφοροποιεί την διαισθητική Εν τούτοις υπάρχει κάτι περίεργο που διαφοροποιεί την διαισθητική (εξωμαθηματική ) έννοια της (εξωμαθηματική ) έννοια της

«συνάρτησης που σχεδιάζεται με μονοκονδυλιά»«συνάρτησης που σχεδιάζεται με μονοκονδυλιά»

με την έννοια της

«συνάρτησης που έχει συνεκτικό -μονοκόμματο γράφημα»«συνάρτησης που έχει συνεκτικό -μονοκόμματο γράφημα»

Κάθε συνάρτηση που έχει συνεκτικό γράφημα σε διάστημα, δεν σημαίνει ότι Κάθε συνάρτηση που έχει συνεκτικό γράφημα σε διάστημα, δεν σημαίνει ότι είναι και συνεχής σε αυτό»είναι και συνεχής σε αυτό»

Παράδειγμα: Παράδειγμα:

00

01

sin)(]1,0[:

x

xxxfRf

Page 32: ημερίδα καλαμάτας 1ο γυμνάσιο