Zadano:!! p=!180!MPa! !=!220!MPa! - sumfak.unizg.hr 1 1 π υ!! štap!2! ...
18
1 Zadano: E = 200 GPa σ p = 180 MPa 12 cm σ T = 220 MPa σ o = 310 Mpa 20 cm Potrebno je odrediti σ Ki F K ako je dužina štapa a) L =4m b) L =3m c) L =2m L o = L 1. Slučaj I min = !"⋅!" ! !" = 2 880 cm 4 A = 20 ⋅ 12 = 240 cm 2 i min = ! !"# ! = ! !!" !"# = 3,46 cm λ p = Π ! σ ! = Π !""⋅!" ! !"# = 104,7 λ T = σ ! !σ ! σ ! !σ ! λ p = !"#!!!" !"#!!"# 104,7 = !" !"# I104,7 λ T = 72,5 a) λ = ! ! ! !"# = !"" !,!" = 115,6
Transcript of Zadano:!! p=!180!MPa! !=!220!MPa! - sumfak.unizg.hr 1 1 π υ!! štap!2! ...
! 1!
! ! ! ! ! ! ! Zadano:!! E!=!200!GPa!! ! ! ! ! ! ! ! ! σp=!180!MPa!! ! ! ! !!!!!!!!!12!cm! ! ! ! σT!=!220!MPa!! ! ! ! ! ! ! ! ! σo!=!310!Mpa!!! ! !!!!!!!!20!cm!
!Potrebno!je!odrediti!σK!i!FK!ako!je!dužina!štapa!
a) L$!=!4!m!b) L$$=!3!m!c) L$$=!2!m!!
!Lo!=!L$ $ $ 1.!Slučaj!!
Imin!=!!"⋅!"!!" !=!2!880!cm4!
A$=!20!⋅!12!=!240!cm2!
imin!=!!!"#! !=! !!!!"
!"# !=!3,46!cm!
λp!=!Π!σ!!=!Π !""⋅!"!
!"# !=!104,7!
!
λT!=!σ!!σ!σ!!σ!
!λp!=!!"#!!!"!"#!!"#!104,7!=!
!"!"#!I104,7!
λT!=!72,5!!
a) λ!=!!!!!"#
!=!!""!,!"!=!115,6!
Na slici 4 dane su vrijednosti duljine izvijanja za naj!e"#e slu!ajeve u!vr"#enja "tapova.
Fk = ! 2 EIminl2
Fk = ! 2 EImin4l2
Fk =2,405! 2EImin
l2
Fk =4! 2EImin
l2
Slika 4. Oblici izvijanja i slobodne duljine izvijanja "tapa za razli!ite na!ine u!vr"#enja njegovih krajeva NAPREZANJE KOD KRITI!NE SILE (KRITI!NO NAPREZANJE) U eulerovoj jednad$bi nije figurira naprezanje, a oblik presjeka obuhva#en je samo u momentu inercije presjeka. Ako izraz (14) podijelimo s povr"inom A popre!nog presjeka "tapa, dobit #emo
FkA
= ! 2E Imin
Al2
(16)
Ozna!imo li:
FkA
= ! k kriti!no naprezanje (17)
IminA
= imin2 ! imin =
IminA
polumjer inercije (18)
! =l0i
vitkost "tapa (19)
Treba imati na umu da se ovdje ne radi o stvarnom naprezanju u nekoj to!ki nego o prosje!nom naprezanju po presjeku "tapa. Na osnovi izraza (17) i (18) mo$emo pisati
Na slici 4 dane su vrijednosti duljine izvijanja za naj!e"#e slu!ajeve u!vr"#enja "tapova.
Slika 4. Oblici izvijanja i slobodne duljine izvijanja "tapa za razli!ite na!ine u!vr"#enja njegovih krajeva NAPREZANJE KOD KRITI!NE SILE (KRITI!NO NAPREZANJE) U eulerovoj jednad$bi nije figurira naprezanje, a oblik presjeka obuhva#en je samo u momentu inercije presjeka. Ako izraz (14) podijelimo s povr"inom A popre!nog presjeka "tapa, dobit #emo
(15)
Ozna!imo li:
kriti!no naprezanje (16)
polumjer inercije (17)
vitkost "tapa (18)
Treba imati na umu da se ovdje ne radi o stvarnom naprezanju u nekoj to!ki nego o prosje!nom naprezanju po presjeku "tapa. Na osnovi izraza (16) i (17) mo$emo pisati
! 2!
λ!>!λp!!→!EULER!
σK!=!Π!!λ!
!=!Π!⋅!""⋅!"!!!",!! !147,56!MPa!
FK!=!σK!⋅!A!=!147,56!⋅!240!=!3!541,5!kN!!
b) λ!=!!!!!"#
!=!!""!,!"!=!86,7!
! λT!<!λ!<!λp!→!TETMAJER!! 72,5!<!86,7<!104,7!
$ σK!=!σo!–!(σo!V!σp)!λλ!!
$ σK!=!310!–!(310!–!180)!!",!!"#,!!
$ σK!=!310!–!130!!",!!"#,!!=!310!–!107,66!
! σK!=!202,34!MPa!!FK!=!σK!⋅!A!=!20,234!⋅!240!=!4!856,16!kN!!
c) λ!=!!!!!"#
!=!!""!,!"!=!57,80!
! λ!<!λT!→!GRANICA!TEČENJA!! 72,5!! σK!=!σT!=!220!MPa!
FK!=!σK!⋅!A!=!220!⋅!240!=!5!280!kN!!
! !
! 3!
Kolikom!se!silom!može!opteretiti!štap!prema!slici!da!bi!bio!siguran!protiv!izvijanja?!!
!!E!=!200!GPa!σp=!200!MPa!σT!=!220!MPa!σo!=!260!Mpa!d!=!4!cm!S!=!2!→!FAKTOR!SIGURNOSTI!Fdop!=!?$
λp!=!Π!σ!!=!Π !""⋅!"!
!""⋅!"!!=!99,35!
λT!=!λp!⋅!!σ!!σ!σ!!σ!
!=!99,35!⋅!!!"!"!=!66,23!
lo!=!l$=!1,2!m!
imin!=!!!"#! !=!
Π!!!"Π!!!!=! !!
!"!=!!!!=!
!!!=!1!cm!
λ!=!!!!!"#
!=!"#! !=!120!>!λp!→!EULER!
σKRIT!=!Π!!λ!
!=!Π!!⋅!!!""⋅!!"!!"#! !=!137,1!MPa!
FKRIT!1!=!σKRIT!⋅!A!=!137,1!Π!⋅!!"!! !=!1720257!N!=!172!kN!
Fdop!=!!!"#$! !=!!"#! !=!86!kN!
! !
Na slici 4 dane su vrijednosti duljine izvijanja za naj!e"#e slu!ajeve u!vr"#enja "tapova.
Fk = ! 2 EIminl2
Fk = ! 2 EImin4l2
Fk =2,405! 2EImin
l2
Fk =4! 2EImin
l2
Slika 4. Oblici izvijanja i slobodne duljine izvijanja "tapa za razli!ite na!ine u!vr"#enja njegovih krajeva NAPREZANJE KOD KRITI!NE SILE (KRITI!NO NAPREZANJE) U eulerovoj jednad$bi nije figurira naprezanje, a oblik presjeka obuhva#en je samo u momentu inercije presjeka. Ako izraz (14) podijelimo s povr"inom A popre!nog presjeka "tapa, dobit #emo
FkA
= ! 2E Imin
Al2
(16)
Ozna!imo li:
FkA
= ! k kriti!no naprezanje (17)
IminA
= imin2 ! imin =
IminA
polumjer inercije (18)
! =l0i
vitkost "tapa (19)
Treba imati na umu da se ovdje ne radi o stvarnom naprezanju u nekoj to!ki nego o prosje!nom naprezanju po presjeku "tapa. Na osnovi izraza (17) i (18) mo$emo pisati
Na slici 4 dane su vrijednosti duljine izvijanja za naj!e"#e slu!ajeve u!vr"#enja "tapova.
Slika 4. Oblici izvijanja i slobodne duljine izvijanja "tapa za razli!ite na!ine u!vr"#enja njegovih krajeva NAPREZANJE KOD KRITI!NE SILE (KRITI!NO NAPREZANJE) U eulerovoj jednad$bi nije figurira naprezanje, a oblik presjeka obuhva#en je samo u momentu inercije presjeka. Ako izraz (14) podijelimo s povr"inom A popre!nog presjeka "tapa, dobit #emo
(15)
Ozna!imo li:
kriti!no naprezanje (16)
polumjer inercije (17)
vitkost "tapa (18)
Treba imati na umu da se ovdje ne radi o stvarnom naprezanju u nekoj to!ki nego o prosje!nom naprezanju po presjeku "tapa. Na osnovi izraza (16) i (17) mo$emo pisati
! 4!
Štap!BC!pridržava!kutnu!gredu!na!koju!je!obješen!teret!G.!Odrediti!dopušteno!opterećenje!(G!=!?)!ako!je!poprečni!presjek!BC!pravokutan!dimenzija!prema!slici,!a!faktor!sigurnosti!spram!izvijanja!iznosi!S!=!3!ZADANO:!!E!=!200!GPa$,!!σp$=!180!M$Pa$$
!!!σ0!=!300!M$Pa$σt!=!220!M$Pa!
!p = "E# p
= 104,72 !
λT!=!69,8! !
Imin =b ! h3
12=
24 !103
12= 2000 cm4 !
imin =Imin
l0=
2000240
= 2,88 cm !
MNeEJFkr 577536,1
51020001020014,3
2
892
20
min2
=⋅⋅⋅⋅==−π
!
kNFF krst 8,525
3== !!
G!=!315,5!kN!
sin! = 22,5
! !
l0!=!2,5!m!
! krit =! 0 ! (! 0 !! p )""p
= !
MPa 5,2007,1048,86)180300(300 =−−= !
NAF htht 48120002401005,200 =⋅⋅=⋅=σ $
! 5!
F = FhtS
=1604 kN $
$Σ!MA!=!0!
F!sinα!⋅!1,5!–!G$⋅!2,5!=!F!22,5
⋅!1,5!–!G$⋅!2,5!=!0!
kNFG 9,7695,23
2 == !
!! !
! 6!
Odredite!udaljenost!x!!za!slučaj!jednake!sigurnosti!na!izvijanje!u!oba!štapa!Zadano:!F,!EI,!a,!x,!l,!α$!
!
!!ΣFX!=!0:!!FAX!–!S2!sinα!=!0!ΣFY!=!0:!!!VF!+!S1!+!S2!cosα!=!0!ΣM(B)!=!0:!!VS1a$+!F!(a!–!x)!=!0!
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=
ax
FS 11 !
αcos2 ax
FS = !
!!štap!1! !3.!Eulerov!slučaj!izvijanja!
,7,0 22min2
1 lEIFk π= ! ! !
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
==
ax
F
EIl
SFk
104,2
min
2
1
11
π
υ !
!štap!2!
duljina!štapa! ;cosαl
! ! !
! 7!
2.!Eulerov!slučaj!izvijanja!
,
cos
2min2
2
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
=
α
πlEIFkr ! ! !
!
ax
F
EIl
SFk
απ
υ
3min
2
2
22
cos⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
== !
! ! ! !υ1!=!υ2!! !
ax
F
EIl
ax
F
EIl
αππ 3min
2
min
2
cos
104,2
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
!
! !
1cos04,23 +
=
α
ax !
!! !
! 8!
Štap!prema!slici,!sastavljen!je!iz!!pravokutnog!čeličnog!profila.!Odrediti:!a)!minimalnu!duljinu!štapa!(lmin)!kod!koje!se!proračun!može!provesti!po!Eulerovoj!formuli!(λ!=!λp)!b)!kritična!naprezanja,!ako!je!duljina!l!=!0,5!lmin!!Zadano:!!b!=!7,4!cm,!!h!=!10!cm,!στ!=!220!MPa,!!σp!=!180!MPa,!!σ0!=!310!Mpa,!E!=!210!GPa!!
!!a)!Granična!vitkost!
3,10718010210 3
=⋅⋅=⋅= πσ
πλp
pE
!
λ$=!λp!!V!Minimalni!polumjer!inercije:!!
! 9!
cmbhII z 687,33712
4,71012
33
min =⋅=⋅== !
cmAIi 14,2
74687,337min
min === $
A!=!b!⋅!h$=!7,4!⋅!10!=!74!cm2!!Vitkost!štapa:!
minmin
0
il
il
==λ !
Euler!!!λ$≥!λp!λ!=!λp,!kad!je!l!=!lmin!
⇒⋅=⇒= minminmin
min ilil
pp λλ !
Imax = Iy =b !h3
12!
lmin!=!230!cm!lmin!=!l0!=!2300!mm!!b)!!!
l = 12! lmin =
12
2300 =1150 mm !
l!=!l0!=!115!cm!!→!!duljina!izvijanja!!Vitkost!štapa:!
74,5314,2115
min
0 ===ilλ !
λ!<!λp!!
λ$<!λτ!!!→!!!kratki!štap!Proračun!na!tlačnu!čvrstoću:!σkr!=!στ!=!220!MPa!! !
!t = !p "# 0 $#%
# 0 $# p
= 107,3 " 310 $ 220310 $180
= 74,3
! 10!
Štap,!opterećen!prema!slici!sastavljen!je!iz!čeličnog!!profila.!Odrediti:!a)!minimalnu!duljinu!štapa!(lmin)!kod!koje!se!proračun!može!provesti!po!Eulerovoj!formuli;!b)!kritično!naprezanje,!ako!je!duljina!l!=!0,5!⋅!lmin.!!Zadano:!
! 11!
lmin!≈!230!cm!lmin!=!l0!=!2300!mm!!b)!
!! cmll 11523021
21
min =⋅=⋅= !
l!=!l0!=!115!cm!!…..!!!duljina!izvijanja.!!Vitkost!štapa:!
74,5314,2115
min
0 ===ilλ !
λ$<!λp!Tetmaer!
!T = !p" 0 !" T
" 0 !" p
=107,3" 310 ! 220310 !180
= 74,3λ!=!53,74!<!λT!=!74,3!
σkr!=!σT!=!220!MPa!! !
! 12!
Štap!pravokutnog!presjaka!opterećen!je!tlačno.!Odredite:!a) Kolika!smije!biti!minimalna!duljina!štapa! l,!da!bi!se!štap!još!smio!proračunavati!po!Tetmajerovoj!
formuli!b) Kolika! smije! biti! minimalna! duljina! štapa! l,! da! bi! se! štap! još! smio! proračunavati! po! Eulerovoj!
formuli!te!kolika!je!kritična!sila!izvijanja!c) Kolika!je!kritična!sila!ako!je!l!=!l/2!Zadano:!! , 300 , 180 0 MPaMPap == σσ !σT=!220!MPa,!!!E!=!200!GPa.!
!!
!p = "E# p
= " ! 200 !103
180=104, 72 !
81,6918030022030072,104
0
0 =−−⋅=
−−
=p
p σσσσλλ τ
τ !
Imin =30 !203
12= 20000 mm4 ! ! !
mmAIi 77,5
60020000min
min ===!
!l0!=!λp!⋅!imin!=!69,81!⋅!0,00577!=!0,4!m!
mlllll 58,07,0
7,0 00 =⇒=⇒= !
!b)!!!l0!=!λp$imin!=!104,72!I!5,77!=!604!mm!=!0,604!m! !
l = l00, 7
= 0,6040, 7
= 0,86 !
!Fkrit!=!σkrit!⋅!A!=!σp!⋅!A!=!180!⋅!20!⋅!30!=!108000!N$=!108!kN!!
! 13!
c)!Izračun!kritične!sile!ako!je!l!=!l/2!!l!=!0,5!lmin!l = 0, 432 !l0!=!0,302!m!
! = l0imin
= 3025, 75
= 52,35 !
λ!<!λT! →!!kratki!štapovi!
MPaTkrit 220==σσ !
Fkrit!=!σkrit!⋅!A!=!220!⋅!30!⋅!20!=!132000!N$=!132$kN!! !
! 16!
Konstrukcija!okruglog!čeličnog!štapa!prema!slici!zahtjeva!da!mu!površina!poprečnog!presjeka!bude!A!=!11!cm2.!Ako!je!dužina!štapa!l!=!1!m,!odrediti!vrijednost!kritične!sile.!Zadano:! E!=!200!GPa$ $ σT!=!220!MPa!! ! σp!=!200!MPa$ $ σ0!=!260!MPa!
!!
4
2dA π= ! !
A = d2!4
! !
d!=!3,74!cm!
64
4
mindI π= !
imin =IminA
=
! !d 4
64! !d 2
4
= d4! ! ! !
cmi 935,0474,3
min == !
l0!=!0,7!l!=!0,7!m! ! ! !
87,74935,070
min
0 ===ilλ !
35,992001020 3
=⋅== ππλp
p OE
!
23,66604035,99
0
0 ==−−
=p
TpT σσ
σσλλ !
λT!<!λ$<!λp!!→!!TETMAJER!
MPap
pkr 78,21435,9987,74)200260(260)( 00 =−−=−−=
λλσσσσ $
! 17!
Fkrit!=!σkrit!⋅!A!=!214,78!⋅!11!⋅!102!=!236258!N!=!236,26!kN!KOEFICIJENT!SIGURNOSTI!!!υ!=!2!
kNF
F kritdop 13,118
226,236 ===
υ!
! 18!!
! 22!
!!
!
! 23!
!!
