Ypostiriktiki_Didaskalia

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΗΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΗ ∆Ι∆ΑΣΚΑΛΙΑ∆Ι∆ΑΣΚΑΛΙΑ

Μαλέσιος Χρυσοβαλάντης

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ


Εισαγωγή ∆εδοµένων στο SPSS

α) Εάν τα δεδοµένα υπάρχουν σε κάποιο άλλου είδους αρχείο:

Επιλέγουµε:

File….

Open….

Data……..


Αναζητούµε το αρχείο, επιλέγουµε από τη λίστατον τύπο αρχείου πουείναι ‘σωσµένα’ ταδεδοµένα µας (π.χ. Excel file) και πατάµεOpen…..


β) Πληκτρολόγηση των δεδοµένων στο παράθυρο Data View:

Πατώντας διπλό κλίκµεταφερόµαστε στο παράθυροVariable View του SPSS όπουορίζουµε το όνοµα της µεταβλητής

Σε κάθε στήληπληκτρολογούµε ταδεδοµένα κάθεµεταβλητής


ΕΙ∆Η ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝΠοιοτικά:

Τα δεδοµένα παίρνουνδιακριτές τιµές καιανήκουν σε κατηγορίεςΈµφαση στησυχνότητα κάθεκατηγορίαςΧωρίζονται σεδεδοµένα διάταξης ήονοµαστικής κλίµακας

Ποσοτικά:Τα δεδοµένα των οποίωνοι µεταβλητές παίρνουνπάντα συνεχείς τιµέςΑριθµητικέςπαρατηρήσειςΧωρίζονται σε δεδοµέναδιαστήµατος ή λόγου


ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ

Πίνακες ΣυχνοτήτωνΠίνακες Σχετικών Συχνοτήτων∆ιαγράµµαταΡαβδόγραµµα (Bar Chart) Ιστόγραµµα (Histogram)Πολύγωνο Συχνοτήτων (Frequency Polygon)∆ιάγραµµα Πλαισίου (Box Plot)∆ιάγραµµα Μίσχου φύλλου (Stem and Leaf Plot)Κυκλικό διάγραµµα (Pie chart)∆ιάγραµµα Σηµείων (Scatter plot)


∆ιαγραµµατική Απεικόνιση∆εδοµένων

ΠΟΣΟΤΙΚΑ ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ

Ιστόγραµµα (Histogram)

∆ιάγραµµα Μίσχου-Φύλλου(Stem and Leaf Plot)

∆ιάγραµµα Πλαισίου (Box-Plot)

ΠΟΙΟΤΙΚΑ ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ

Ραβδόγραµµα (Bar Chart)

Κυκλικό διάγραµµα (Pie Chart)


ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΠΟΙΟΤΙΚΩΝ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ


ΠαράδειγµαΠαράδειγµα: Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα ναυτικά ατυχήµαταΕλληνικών εµπορικών πλοίων για το έτος 1993 ανά κατηγορίαγεγονότος που προκάλεσε το ατύχηµα. Οι κωδικοί αντιστοιχούν σε1:Βύθιση, 2: Προσάραξη, 3: Φωτιά, 4: Βλάβη µηχανής, 5: Σύγκρουση, 6: Λοιπά γεγονότα. Ο συνολικός αριθµός ατυχηµάτων είναι 42 (Πηγή: Στατιστική εµπορικής ναυτιλίας, ΕΣΥΕ)


ΕΙΣΑΓΩΓΗ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ ΠΟΙΟΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Από το παράθυρο Variable Viewµπορούµε να ορίσουµε τον τίτλο τηςµεταβλητής

Και τα labels που αντιστοιχούν σε κάθεκωδικό ώστε να εµφανίζονται στοoutput


ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ


Analyze….

Descriptive Statistics….

Frequencies…


Μεταφερόµαστε στο επόµενο παράθυρο:

Επιλέγουµε τηµεταβλητή καιπατώντας το βέλοςτη µεταφέρουµε απότο αριστερό πλαίσιο

στο δεξιό πλαίσιο


Statistics…….


Επιλογή: Statistics

Επιλογή µέτρωνθέσης (π.χ. Μέσος, διάµεσος)

Επιλογή µέτρωνασυµµετρίας καικύρτωσης


Continue….Επιλογή µέτρων διασποράς(π.χ. Τυπική απόκλιση, εύρος)


Επιλογή: Charts

Μπορούµε παράλληλα µε τονπίνακα συχνοτήτων νααπεικονίσουµε γραφικά ταδεδοµένα µας επιλέγοντας:

Ραβδόγραµµα

∆ιάγραµµα πίτας

Ιστόγραµµα

Επιλέγουµε εάν θέλουµε τα αποτελέσµατα στα γραφήµατανα εµφανίζονται ως συχνότητες ή ποσοστά

Επιλέγουµε

Continue….


Επιστρέφουµε ξανά στο βασικό παράθυρο:


OK….


Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος θα πάρουµε τονεπόµενο πίνακα συχνοτήτων

Συχνότητα

Σχετική συχνότητα

Αθροιστική Σχετική Συχνότητα


ΡΑΒ∆ΟΓΡΑΜΜΑ


Graphs….

Bar….Στο επόµενο παράθυρο επιλέγουµε:

Συνεχίζουµεεπιλέγοντας:

Define…..



Επιλέγουµε εάνθέλουµε το ύψοςτης µπάρας νααντιπροσωπεύειποσοστό ήσυχνότητα

Μεταφέρουµε τηµεταβλητή επιλέγοντάςτην και πατώντας τοβέλος στο πλαίσιοCategory Axes

Συνέχεια πατώντας: OK


Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος θα πάρουµε τοεπόµενο ραβδόγραµµα

Πατώντας διπλό κλικ πάνω στογράφηµα εµφανίζεται τοπαράθυρο Chart Editor στοοποίο µπορούµε νατροποποιήσουµε την εµφάνισητου γραφήµατος


Παράθυρο Chart Editor

Από το menu του Chart editor µπορούµε νατροποποιήσουµε το γράφηµα, π.χ. Να εµφανίζονται οισυχνότητες ή τα ποσοστά στις µπάρες, να αλλάξουµεχρώµατα και τους άξονες του γραφήµατος

Show properties window

Show data labels window

Transpose chart coordinates


∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΙΤΑΣ


Graphs….

Pie….

Στο επόµενο παράθυρο επιλέγουµε:

summaries for groups of cases……..


Define…..



Επιλέγουµε εάν θέλουµεκάθε τµήµα του κυκλικούδιαγράµµατος νααντιπροσωπεύειποσοστό ή συχνότητα

Μεταφέρουµε τηµεταβλητή επιλέγοντάςτην και πατώντας τοβέλος στο πλαίσιο:Define Slices by….

Συνέχεια πατώντας: OK


Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος θα πάρουµε τοεπόµενο διάγραµµα πίτας

Πατώντας διπλό αριστερό κλικπάνω στο γράφηµαεµφανίζεται το παράθυροChart Editor στο οποίοµπορούµε να τροποποιήσουµετην εµφάνιση του γραφήµατος


Επιλέγουµε τογράφηµα πατώνταςένα αριστερό κλικπάνω στο γράφηµα

Show properties window

Αλλαγή χρωµάτωνκαι πλαισίου

Αλλαγή του γραφήµατος σετρισδιάστατο

Εµφάνιση συχνοτήτων ήποσοστών

Παράθυρο Chart Editor


ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ


ΠαράδειγµαΠαράδειγµα: Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται η εξέλιξητης δύναµης του υπό Ελληνική σηµαία εµπορικού στόλου για ταέτη 1905 έως 1993 (Πηγή: Στατιστική εµπορικής ναυτιλίας, ΕΣΥΕ)


ΕΙΣΑΓΩΓΗ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Από το παράθυρο Variable Viewµπορούµε να ορίσουµε τον τίτλο τηςµεταβλητής, το πλήθος των δεκαδικώνψηφίων της ποσοτικής µεταβλητής καιτον τίτλο που θα εµφανίζεται στουςπίνακες και τα γραφήµατα


∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΛΑΙΣΙΟΥ-ΑΠΟΛΗΞΕΩΝ


Graphs….

Boxplot….

Στο επόµενο παράθυρο επιλέγουµε:


Define…..



Μεταφέρουµε τηµεταβλητή επιλέγοντάςτην και πατώντας τοβέλος στο πλαίσιο:Boxes Represent….

Συνέχειαπατώντας: OK


Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος θα πάρουµε τοεπόµενο γράφηµα Πλαισίου-απολήξεων

Άνω όριοQ3+1.5(Q3- Q1)

∆ιάµεσος Μ

3ο τεταρτηµόριο (Q3)

Τιµές εκτός των οριακών τιµώνθεωρούνται ως έκτροπεςπαρατηρήσεις (outliers)

Μέση τιµή

1ο τεταρτηµόριο (Q3)

Κάτω όριο Q3-1.5(Q3- Q1)


ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ


Graphs….

Histogram….



Μεταφέρουµε τηµεταβλητή επιλέγοντάςτην και πατώντας τοβέλος στο πλαίσιο:Variable….

Τσεκάρουµε εάν θέλουµε παράλληλα µε τοιστόγραµµα της κατανοµής για λόγουςσύγκρισης να εµφανίζεται και η συνάρτησηπυκνότητας πιθανότητας της Κανονικής

Συνέχειαπατώντας: OK


Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος θα πάρουµε τοεπόµενο ιστόγραµµα

Πατώντας διπλό αριστερό κλικπάνω στο γράφηµαεµφανίζεται το παράθυροChart Editor στο οποίοµπορούµε να τροποποιήσουµετην εµφάνιση του γραφήµατος


ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ-∆ΙΑΣΠΟΡΑΣ


Analyze….

Descriptive Statistics….

Descriptives…



Μεταφέρουµε τηµεταβλητή/µεταβλητέςεπιλέγοντάς την/τεςκαι πατώντας το βέλοςστο πλαίσιο:Variable(s)….

Συνέχεια πατώντας: Options…..


Επιλογή: Options

Επιλογή µέτρων διασποράς

Επιλέγουµε τα µέτραασυµµετρίας καικύρτωσης


Continue……


Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος θα πάρουµε τοεπόµενο πίνακα µε τα µέτρα θέσης και διακύµανσης

Ο συντελεστήςΑσυµµετρίας είναιθετικός ενδεικτικό τουότι έχουµε µιακατανοµή µε δεξιάµακριά ουρά

Ο συντελεστής Κύρτωσηςείναι αρνητικός ενδεικτικότου ότι έχουµε µιακατανοµή µεπαρατηρήσεις λιγότεροσυγκεντρωµένες σεσύγκριση µε την Κανονικήκατανοµή


ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ-∆ΙΑΣΠΟΡΑΣ


Analyze….

Tables….

Custom Tables….


Θα ανοίξει τοδιπλανόπαράθυρο.

Με Drug-and-Drop µεταφέρουµε τηµεταβλητή από τοαριστερό πλαίσιο στοδεξιό πλαίσιο στη

θέση columns


Η µεταβλητήέχει µεταφερθείκάτω από τοντίτλο columns


Summary statistics…..


Ανοίγει το επόµενο παράθυρο:

Μεταφέρουµε µε drug-and-drop ή µε το βέλος ταπεριγραφικά στατιστικά που θέλουµε από την αριστερήλίστα στο δεξί τµήµα

Τέλος πατάµεapply to selection καιεπιστρέφουµεστοπροηγούµενοπαράθυρο


Έχουµε επιλέξειτα ακόλουθαµέτρα θέσηςκαι διασποράς:

Συνεχίζουµεπατώντας

OK….


ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ

(α) Ένας φοιτητής βαθµολογείται σε 3 προόδους ενόςµαθήµατος µε 70, 65 και 90 αντίστοιχα. Στην τελική εξέταση τουµαθήµατος βαθµολογείται µε 85. Αν ο κάθε βαθµός των προόδωνέχει βαρύτητα 20% και ο βαθµός στην τελική εξέταση έχει βάρος40% να βρεθεί ο τελικός βαθµός του φοιτητή

(Απάντηση: µ=79)

(b) Να βρεθεί ο συντελεστής µεταβλητότητας και οσυντελεστής ασυµµετρίας του Pearson για το ακόλουθο δείγµα: 2, 2, 2, 3, 5, 8, 12, 19, 22, 30

(Απάντηση: συντελεστής ασυµµετρίας=0.993, CV=95.04%)


(c) Έστω δείγµα µε µέση τιµή και τυπική απόκλιση s. Ποιαθα είναι η µέση τιµή και ποια η τυπική απόκλιση εάν προστεθείσε κάθε παρατήρηση ένας σταθερός αριθµός έστω d;

x

(d) Έστω δείγµα µε µέσο και τυπική απόκλισηS. Να βρεθεί ο µέσος και η διακύµανση των τυποποιηµένωνπαρατηρήσεων:

nXXX ,...,, 21 x(Απάντηση: )ssdxx =+= '' ,

SxxZ i

i−

= ni ,...,2,1=

(Απάντηση: Ε(Ζ)=0, Var(Z)=1)

(e) Να βρεθεί η διάµεσος των ακολούθων δειγµάτων:5, 8, 12, 14, 15, 20, 25, 26 και 8, 12, 15, 23, 20, 37, 36, 29, 25

(Απάντηση: M1=14.5, M2=23)


(f) Οι αριθµοί α, β, 8, 5, 7 έχουν µέση τιµή 6 και διακύµανση 2. Βρείτε τις τιµές των α, β.

(Απάντηση:α=β=5)

(g) Οι βαθµοί 11 φοιτητών είναι οι ακόλουθοι: 52, 61, 78, 49, 79, 47, 54, 58, 62, 73, 72. Να υπολογισθούν η διάµεσος, τοάνω τεταρτηµόριο και το κάτω τεταρτηµόριο 1Q3Q

(Απάντηση: Μ=61, =52 , =73)1Q 3Q

(h) Για ένα σετ 10 αριθµών έχουµε και

. Βρείτε τη µέση τιµή και τη διακύµανση τουδείγµατος αυτού.

∑ = 290x

∑ = 84692x

55.6,29 2 == sx(Απάντηση: )


(i) Οι εισαγωγές προϊόντων στην Ελλάδα σε εκατοµµύριαευρώ είναι οι εξής:

Να κατασκευασθούν για τα παραπάνω δεδοµένα τοαντίστοιχο ραβδόγραµµα και κυκλικό διάγραµµα


(j) Οι χρόνοι 150 µαθητών για να λύσουν ένα πρόβληµαδίνονται µε το παρακάτω πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων.

Να εκτιµηθούν: ο µέσος χρόνος, το ποσοστό τωνµαθητών που έλυσαν το πρόβληµα σε λιγότερο από 32 δευτερόλεπτα


ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ


ΒΑΣΙΚΕΣ ∆ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

∆ΙΑΚΡΙΤΕΣ

Bernoulli

∆ιωνυµική

Poisson

Υπεργεωµετρική

Γεωµετρική

ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Κανονική

Εκθετική

Οµοιόµορφη

Γάµµα

Χ-τετράγωνο


∆ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Κατανοµή BernoulliΈστω Χ µια τυχαία µεταβλητή που ανήκει στοδιάστηµα [0,1] µε κατανοµή πιθανότητας

Τότε η Χ λέγεται τυχαία µεταβλητή Bernoulliκαι η κατανοµή πιθανότητας της Χ λέγεταικατανοµή Bernoulli

αν x=1( )

1 αν x=0p

P X xp

⎧= = ⎨ −⎩

0 1p≤ ≤


∆ιωνυµική κατανοµήΈστω Χ διακριτή τυχαία µεταβλητή µεσυνάρτηση πιθανότητας

µε ,x=0…n , n=1,2…, q=1-pΤότε θα λέµε ότι η ,δηλαδή ητυχαία διακριτή µεταβλητή X θα ακολουθεί την∆ιωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους n και p

( ) x n xnP X x p q

x−⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 1p≤ ≤~ ( , )X Bin n p


Υπεργεωµετρική κατανοµήΈστω Χ διακριτή τυχαία µεταβλητή µεσυνάρτηση πιθανότητας

n=1,2,…N=1,2,…m=1,2,…N

x=0,1,…,min(m,n)

Tότε θα λέµε ότι η Χ ακολουθεί την υπεργεωµετρικήκατανοµή µε παραµέτρους Ν,n και m αντίστοιχα. Θασυµβολίζεται ως

( )

m N mx n x

P X xNn

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ), ,X h N n m


Poisson κατανοµήΈστω Χ διακριτή τυχαία µεταβλητή που παίρνειτιµές 0,1,2,3...Τότε θα λέµε ότι η Χ ακολουθεί τηνPoisson (Po) κατανοµή µε παράµετρο λ αν ισχύει ηεξής σχέση:

Ισχύει:0,1, 2,3...x =

( )!

xeP X xx

λλ−

= =0λ >

( ) λ•Ε Χ = ( )Var X λ• =


Γεωµετρική κατανοµήΈστω Χ διακριτή τυχαία µεταβλητή. Τότε η Χακολουθεί την γεωµετρική κατανοµή αν ισχύειη παρακάτω σχέση:

Ισχύει:

0,1, 2...x =

0 1p< <( ) xP X x pq= = 1q p= −

( ) qE Xp

• = 2( ) qVar Xp

• =


ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Οµοιόµορφη κατανοµή: Έστω η συνεχής τυχαία µεταβλητή που ορίζεται στοδιάστηµα τιµών [α,β] µε συνάρτηση πυκνότηταςπιθανότητας

Η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί τη συνεχήοµοιόµορφη κατανοµή µε παραµέτρουςα και β

1 ( )

0 X

a x bf x b a

x a x bκαι

⎧ ⎫≤ ≤⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪< >⎩ ⎭

( , )X U a b


Εκθετική κατανοµή: Έστω µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µεσυνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την εκθετική

κατανοµή µε παράµετρο λ,

1( ) , 0, 0x

Xf x e xλ λλ

−= > >

exp( )X λ


Κανονική κατανοµή: Έστω µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µεσυνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µεπαραµέτρουςκαι συµβολίζουµε µεΙσχύει: Ε(Χ)=µ V(X)=

21 ( )21( ) , 0

2

x

Xf x e xµ

σ σσ π

−⎡ ⎤− ⎢ ⎥⎣ ⎦= −∞ < <∞ >

2( , )X N µ σ2σ

2( , )µ σ


Γάµµα κατανοµή: Έστω Χ µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µε συνάρτησηπυκνότητας πιθανότητας

όπου

Η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανοµή Γάµµα µεπαραµέτρους (α,β),

11( ) 0 , 0( )

xab

X af x e x x a bb α

− −= ≤ ≤ ∞ >Γ

1

0

( ) (1) 1, ( ) ( 1)!x aa e x dx n n∞

− −Γ = Γ = Γ = −∫

( , )X a bγ


Κατανοµή Βήτα: Έστω Χ µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µε συνάρτησηπυκνότητας πιθανότητας

Η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανοµή τηκατανοµή Βήτα µε παραµέτρους (α,β)

1 1( )( ) (1 ) 0 1 0, 0( ) ( )

a bX

a bf x x x x a ba b

− −Γ += − ≤ ≤ > >Γ Γ

( , )X eta a bΒ


Κατανοµή (χι-τετράγωνο):Έστω µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µε συνάρτησηπυκνότητας πιθανότητας

Η τυχαία µεταβλητή χ ακολουθεί την κατανοµή µεπαράµετρο n

2X

21

2 2

2

1( ) 0 1, 2,...2

2

x n

X nf x e x x nn

− −= ≤ < ∞ =

⎛ ⎞Γ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2X2nX X


Κατανοµή t (t-student):Έστω Χ µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µε συνάρτησηπυκνότητας πιθανότητας

Η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανοµή t

12 2

12( ) - 1, 2,...

12

n

n

f x x nn xn

nπ

+

+⎛ ⎞Γ ⎜ ⎟⎝ ⎠= ∞ < < ∞ =⎛ ⎞⎛ ⎞Γ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )X t n


Υπολογισµός Πιθανοτήτων και ΑθροιστικώνΠιθανοτήτων µε το στατιστικό πακέτο Minitab

Από το menu επιλέγουµε:

Calc……

Probability Distributions……..

Εµφανίζεται ηλίστα µε τιςβασικές∆ιακριτές καιΣυνεχείςκατανοµές


Στην περιοχή του Data Editor ορίζουµε την τιµή/ες χ τηςκατανοµής για την οποία/εςθέλουµε να υπολογίσουµε τηνπιθανότητα/ες. Μπορεί να είναιένα µόνο κελί ή µια στήλη. Στοσυγκεκριµένο θέλω να πάρωτην πιθανότητα Ρ(Χ=2) οπότεπληκτρολογώ τον αριθµό 2 στο κελί c1


∆ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Επιλέγω:

Binomial……


Εµφανίζεται το επόµενο παράθυρο:Επιλέγουµε ανάµεσα σεσυνάρτηση πιθανότηταςf(x)=P(X=x)

ή σε αθροιστική συνάρτησηκατανοµής F(x)=P(X≤x)

Ορίζουµε τον αριθµό nτων δοκιµών

Ορίζουµε την πιθανότηταεπιτυχίας p

Ορίζουµε το κελί/κελιάµε τις τιµές χ

Συνεχίζουµε πατώντας

OK….


ΠαράδειγµαΠαράδειγµα: Υποθέτουµε ότι 68% των γυναικών οδηγών φορούν τηζώνη ασφαλείας τους. Από τυχαίο δείγµα 15 γυναικών αυτού τουπληθυσµού ποια είναι η πιθανότητα να φοράνε τη ζώνη τους α) ακριβώς 3 και β) µέχρι και 4 γυναίκες

Έχουµε ∆υωνυµική Κατανοµή µε πιθανότητα επιτυχίας p=0.68 καιn=15. Θέλουµε τις πιθανότητες: f(x)=P(X=3) και F(x)=P(X≤4). Τααποτελέσµατα που παίρνουµε από το Minitab φαίνονται παρακάτω:


POISSON ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Επιλέγω:

Poisson……


Εµφανίζεται το επόµενο παράθυρο:

Επιλέγουµε ανάµεσα σεσυνάρτηση πιθανότηταςf(x)=P(X=x)


Ορίζουµε τηνπαράµετρο λ τηςPoisson κατανοµής



OK….


ΠαράδειγµαΠαράδειγµα: Ο αριθµός των φορτηγών πλοίων συγκεκριµένουτύπου που φθάνουν στο λιµάνι του Πειραιά φαίνεται στονπαρακάτω πίνακα συχνοτήτων

Να υπολογισθούν οι πιθανότητες µια τυχαία ώρα να φτάσουνστο λιµάνι: 0,1,2,3,4,5 πλοία

x 0 1 2 3 4 5 σύνολο

f 345 277 75 17 5 3 672

λ=≈==∑∑ 69.0

672463

i

ii

fxf

xΈχουµε προσέγγιση της ∆ιωνυµικήςκατανοµής από την Poisson Κατανοµή, µε:

Ζητούµε τις πιθανότητες f(x)=Ρ(Χ=x) τηςPoisson κατανοµής µε λ=0.69 γιαχ=0,1,2,3,4,5. Τα αποτελέσµατα πουπαίρνουµε µε τη βοήθεια του Minitabφαίνονται δίπλα:


ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Επιλέγω:

Exponential……





Ορίζουµε τηνπαράµετρο λ τηςΕκθετικής κατανοµής



OK….


ΠαράδειγµαΠαράδειγµα:Σε ένα ναυπηγείο έχουµε 6 εργατικά ατυχήµατα το µήνα. Τα ατυχήµατα είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους και ακολουθούν εκθετικήκατανοµή. Ποια η πιθανότητα το επόµενο εργατικό ατύχηµα να συµβείτις επόµενες α) 10 µέρες, β) 15 µέρες γ) 20 µέρες;

Ενδιαφερόµαστε για διάστηµα χρόνου µεταξύ δύο διαδοχικών εµφανίσεωντου ίδιου ενδεχοµένου, οπότε έχουµε Εκθετική κατανοµή µε λ=6 και ζητάµετις F(X)=Ρ(Χ≤x) µε x=10, 15, 20. Με τη βοήθεια του πακέτου Minitab παίρνουµε τα παρακάτω αποτελέσµατα:


ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Επιλέγω:

Normal……





Ορίζουµε τιςπαραµέτρους (µέσητιµή µ και τυπικήαπόκλιση σ) τηςΚανονικής κατανοµής


OK….



ΠαράδειγµαΠαράδειγµα: Οι αφίξεις πλοίων στις αποβάθρες 11, 12 και 13 στολιµάνι του Πειραιά παρουσιάζουν µέσο χρόνο προσέγγισης 28 λεπτά µετυπική απόκλιση 3 λεπτά. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ο χρόνοςπροσέγγισης του επόµενου πλοίου να είναι µεταξύ 25 και 34 λεπτά

Έχουµε κανονική κατανοµή µε µ=28 και τυπική απόκλιση σ=3. Θέλουµε ναυπολογίσουµε την πιθανότητα Ρ(25≤X≤34).

Ισχύει Ρ(25≤X≤34)=F(34)-F(25)=P(X ≤34)- P(X ≤25)

Άρα αρκεί να υπολογίσουµετις πιθανότητες:

P(X ≤34) και P(X ≤25)

Άρα, Ρ(25≤X≤34)=0,9772-0,1587=0,8185


ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Επιλέγω:

Uniform……





Ορίζουµε τα άκρα τουδιαστήµατος τιµών α και βτης οµοιόµορφηςκατανοµής


OK….



ΠαράδειγµαΠαράδειγµα: Εάν η συνεχής τυχαία µεταβλητή Χ είναι τέτοια ώστεΧ~U(3,6) βρείτε την πιθανότητα Ρ(Χ>5)

Ισχύει Ρ(X>5)=1-P(X≤5), οπότε υπολογίζουµε µε τη βοήθειατου πακέτου Minitab την πιθανότητα F(5)=Ρ(Χ≤5)

Άρα, Ρ(Χ>5)=1-0,6667=0,333


Χ-ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Επιλέγω:

Chi-square……





Ορίζουµε τους βαθµούςελευθερίας n της Χ-τετράγωνο Κατανοµής



OK….


ΑΣΚΗΣΕΙΣ-∆ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

• Εάν Χ~Bin(6,1/3), βρείτε τα: P(X=4), και P(X ≤ 2)(Απάντηση: P(X=4)=0.0821, P(X≤2)=0.681)

• Εάν Χ~Bin(8,0.4), βρείτε τα P(X=2), P(X=0) και P(X>6)(Απάντηση: P(X=2)=0.209, P(X=0)=0.0168, P(X>6)=0.0085)

• Ένα αµερόληπτο ζάρι ρίχνεται 7 φορές. Να βρεθεί η πιθανότητα ναπετύχουµε ακριβώς 3 εξάρια

(Απάντηση: P(X=3)=0.0781)


• Ένα αµερόληπτο ζάρι ρίχνεται 7 φορές. Να βρεθεί ηπιθανότητα να πετύχουµε το λιγότερο 6 εξάρια

(Απάντηση: P(X>5)=0.0001)

• Από τους µαθητές ενός σχολείου, το 30% πηγαίνει στοσχολείο µε λεωφορείο. Από ένα δείγµα 10 µαθητώντυχαία επιλεγµένων βρείτε την πιθανότητα να: α) ταξιδεύουν µόνο 3 µε λεωφορείο, β) να ταξιδεύουν πάνωαπό 8 µε λεωφορείο

(Απάντηση: P(X=3)=0.2668, P(X>8)=0.0001)


• Ένα «δίκαιο» νόµισµα ρίχνεται 6 φορές. Βρείτε την πιθανότητα ναµην έρθει κεφάλι πάνω από 4 φορές(Απάντηση: P(X≤4)=0.8906)

•Εάν Χ~Bin(n,0.6) και P(X≤1)=0.087, βρείτε το n(Απάντηση: n=5)

•Έστω µια τυχαία µεταβλητή Χ τέτοια ώστε Χ~Bin(n,p) και Ε(Χ)=2, Var(X)=24/13. Βρείτε τις τιµές των n, p.(Απάντηση: p=1/13, n=26)


•Έστω τυχαία µεταβλητή Χ τέτοια ώστε Χ~Bin(10,p) µε p<1/2 καιVar(X)=7/8. Βρείτε τα: p, E(X), P(X=2) (Απάντηση: p=0.1, Ε(Χ)=1, Ρ(Χ=2)=0.1937)

• Σε δύο δυωνυµικές κατανοµές ο λόγος του αριθµού τωνανεξάρτητων πειραµάτων είναι 5:6, ο λόγος των αριθµητικών µέσωνείναι 2:9 και ο λόγος των διακυµάνσεων είναι 32:45. Για κάθε µια απότις κατανοµές βρείτε την πιθανότητα επιτυχίας. (Απάντηση: p1=0.2, p2=0.75)

•Έστω µια τυχαία µεταβλητή Χ τέτοια ώστε Χ~Bin(n,p). Εάν Ε(Χ)=2.4 και p=0.3, βρείτε τις τιµές του n και της τυπικής απόκλισης της Χ(Απάντηση: n=8, Var(X)=1.68)


ΑΣΚΗΣΕΙΣ-POISSON ΚΑΤΑΝΟΜΗ• Εάν Χ ~Po(3.5) βρείτε τις πιθανότητες: a) P(X=0), b) P(X=4), c)

P(X≤2), d) P(X>1)

(Απάντηση: P(X=0)=0.0301, P(X=4)=0.1888, P(X≤2)=0.321, P(X>1)=0.864)

• Εάν Χ~Po(2.4) και F(X) η αθροιστική κατανοµή βρείτε τα: a) F(0), b) F(1), c) F(2), και d) F(3)

(Απάντηση: F(0)=0.0907, F(1)=0.3084, F(2)=0.5697, F(3)=0.7787)

• Η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανοµή Poisson µε τυπικήαπόκλιση 3. Βρείτε την πιθανότητα Ρ(Χ<4), και τη µέση τιµή E(X)

(Απάντηση: P(X<4)=0.0212, Ε(Χ)=9)

( ) 62 =XE


• Εάν η τυχαία µεταβλητή Χ~Bin(200,0.006), χρησιµοποιήστε τηνκατανοµή Poisson για να βρείτε: α) την πιθανότητα Ρ(Χ<3), β) την πιθανότητα Ρ(Χ>5) (Απάντηση: Ρ(Χ≤3)=0,9662, Ρ(Χ>5)=0,0015)

• Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει βίδες τις οποίες πακετάρει σεσυσκευασίες των 500. Η πιθανότητα µια βίδα να είναιελαττωµατική είναι 0.002. Βρείτε την πιθανότητα µια συσκευασίανα περιέχει 2 ελαττωµατικές βίδες(Απάντηση: Ρ(Χ=2)=0,1839)


•Ο ταµίας µιας τράπεζας κάνει σφάλµατα όταν εγγράφει τιςκαταθέσεις και αναλήψεις των πελατών στα βιβλία της τράπεζας, µε µια µέση συχνότητα 0.75 σφαλµάτων σε κάθε σελίδα βιβλίουτραπέζης. Ποια είναι η πιθανότητα ότι σε ένα τυχαίο δείγµατεσσάρων σελίδων θα υπάρξουν δύο ή περισσότερα σφάλµατα;(Απάντηση: P(X≥2)=0.8008)

•Σε µια διαδροµή 200 χιλιοµέτρων στην εθνική οδό ο οδηγός ενόςαυτοκινήτου συντήρησης εθνικών δρόµων παρατηρεί άδεια κουτιάµπύρας να είναι πεταγµένα τυχαία δεξιά και αριστερά του δρόµου, µε µια µέση συχνότητα 3.2 ανά χιλιόµετρο. Ποια είναι η πιθανότητανα µην παρατηρηθεί κανένα κουτί σε µια απόσταση 5 χιλιοµέτρων;(Απάντηση: P(X=0)=1.12 )710−×


ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

• Ένα νόµισµα είναι µεροληπτικό έτσι ώστε η πιθανότητα να έρθεικορόνα να είναι 0.6. Εάν Χ είναι η τυχαία µεταβλητή «ο αριθµόςρίψεων εώς και το να έρθει η πρώτη κορόνα», να βρεθούν τα (α) P(X≤4) (β) Ρ(Χ>5)

(Απάντηση: P(X≤4)=0.9744, Ρ(Χ>5)=0,064)

• Ανεξάρτητες δοκιµές ενός πειράµατος πραγµατοποιούνται ώστε ναεµφανισθεί µια επιτυχία. Κατά µέσο όρο απαιτούνται 10 δοκιµές. Εάν η πιθανότητα µια δοκιµή να είναι επιτυχής είναι p, να βρεθεί ητιµή του p(Απάντηση: p=0.1)


ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

• Εάν Χ~U(6,9) να βρεθεί η πιθανότητα P(7.2≤X≤8.4)

(Απάντηση: P(7.2≤X≤8.4)=0.4)

• Εάν Χ~U(0,π/2) να βρεθεί η πιθανότητα P(π/3≤X≤π/2)

(Απάντηση: P(π/3≤X≤π/2)=1/3)

• Η τυχαία µεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεταιαπό:

( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤

−=ςαλλιώ

bxaabxf

0

1


∆είξτε ότι ο µέσος είναι (α+β)/2 για τη συγκεκριµένη κατανοµή. ∆εδοµένου ότι ο µέσος είναι 1 και η διακύµανση 4/3 βρείτε: α) τα β, α (β) την πιθανότητα Ρ(Χ≤0)

(Απάντηση: α=-1, β=3, Ρ(Χ≤0)=0.25)

• Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την οµοιόµορφηκατανοµή στο διάστηµα [α,β]. Να δείξετε ότι:

( )( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∞<≤<≤

=≤≤−−γγγ

βαβγβ1,1

10,XP


ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ• Μια συνεχής τυχαία µεταβλητή Χ έχει συνάρτηση

πιθανότητας f(x), όπου . Βρείτε τα: α) Ρ(Χ>0.5) β) Ε(Χ) γ) Ρ(Χ<Ε(Χ)) δ) την τυπική απόκλισητης Χ(Απάντηση: (α) 0.0821, (β) Ε(Χ)=1/5, (γ) 0.6321, (δ) 1/5)

• Ο χρόνος ζωής (σε ώρες) ενός λαµπτήρα ακολουθεί τηνεκθετική κατανοµή µε µέσο χρόνο ζωής 1000 ώρες. Βρείτε(α) την πιθανότητα ένας λαµπτήρας να δουλεύει ακόµηύστερα από 1300 ώρες (β) την πιθανότητα δεδοµένου ότιδουλεύει υστερα από 1300 ώρες να δουλεύει ακόµη ύστερααπό 1500 ώρες (γ) την τυπική απόκλιση του χρόνου ζωήςαυτού του είδους λαµπτήρων

(Απάντηση: (α) 0.273, (β) 0.819, (γ) 1000 ώρες)

( ) 0,5 5 ≥= − xexf x


•Μια τυχαία µεταβλητή Τ ακολουθεί την εκθετική κατανοµή µεµέση τιµή α. ∆είξτε ότι: ( ) atat eetTtP //

2121 −− −=≤≤

•Σε µια στροφή ενός δρόµου, ατυχήµατα συµβαίνουν µε µέσορυθµό 2 την ηµέρα, και ο αριθµός των ατυχηµάτων ακολουθείτην κατανοµή Poisson. Βρείτε: α) το µέσο χρόνο µεταξύ τωνατυχηµάτων

(Απάντηση: Ε(Τ)=2)

•Σε µια κεντρική οδό ατυχήµατα συµβαίνουν τυχαία µερυθµό 3 ανά ηµέρα. Βρείτε την πιθανότητα ότι, µετά απόένα συγκεκριµένο ατύχηµα που συµβαίνει, να περάσειτουλάχιστον µια ηµέρα χωρίς ατύχηµα(Απάντηση: Ρ(Τ>1=0.050))


ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

• Η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µεΧ~Ν(300,25). Βρείτε τα: α) Ρ(Χ>305) β) Ρ(Χ<291) γ) Ρ(Χ<312) δ) Ρ(Χ>286)(Απάντηση: Ρ(Χ>305)=0.1587, Ρ(Χ<291)=0.0359, Ρ(Χ<312)=0.9918, Ρ(Χ>286)=0.99)

• Εάν Χ~Ν(24,9) και Ρ(Χ>α)=0.974 να βρεθεί η τιµή του α(Απάντηση: α=18.171)

• Εάν Ζ~Ν(0,1) να βρεθεί η τιµή του α ώστε Ρ(|Ζ|<α)=0.9(Απάντηση: α=1.645)


• Εάν Ζ~Ν(0,1) να βρεθούν οι ακόλουθες πιθανότητες: (α) Ρ(0.345<Ζ<1.751), (β) Ρ(-2.696<Ζ<1.865), (γ) Ρ(-1.4<Ζ<-0.6) (Απάντηση: Ρ(0.345<Ζ<1.751)=0.325, Ρ(-2.696<Ζ<1.865)=0.9655, Ρ(-1.4<Ζ<-0.6)=0.1935)

• Εάν Χ~Ν(70,25) βρείτε το c έτσι ώστε Ρ(|Χ-70|<c)=0.8 και έπειταβρείτε τα όρια ανάµεσα στα οποία βρίσκεται το 80% της κατανοµής(Απάντηση: c=6.41, κάτω όριο=63.59, άνω όριο=76.41)

• Οι βαθµοί 500 υποψηφίων σε εξετάσεις κατανέµονται κανονικά µεµέση τιµή 45 βαθµούς και τυπική απόκλιση 20 βαθµούς. α) δεδοµένουότι ο βαθµός βάσης είναι 41, εκτιµήστε τον αριθµό των υποψηφίωνπου πετύχανε στις εξετάσεις. (Απάντηση: περίπου 290 επιτυχόντες)


• Εάν η τυχαία µεταβλητή ακολουθεί την κανονική κατανοµή µεΧ~Ν(100, ) και Ρ(Χ<106)=0.8849, βρείτε την τυπική απόκλιση σ(Απάντηση: σ=5)

•Η τυχαία µεταβλητή Χ είναι τέτοια ώστε: Χ~Ν(50,8). Να βρεθούν οιακόλουθες πιθανότητες: (α) Ρ(48<Χ<54) (β) Ρ(52<Χ<55) (γ) Ρ(46<Χ<49) (δ) Ρ(|Χ-50|< )(Απάντηση: (α) 0.6814, (β) 0.2014, (γ) 0.283, (δ) 0.6826)

•∆ίνεται ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί κανονική κατανοµή. Ανισχύει Ρ(Χ<10)=0.6915 να βρεθεί η τιµή του µέσου της κατανοµής αν ητιµή της διακύµανσης είναι =16(Απάντηση: µ=2)

2σ

2σ

8

Ypostiriktiki_Didaskalia

Documents

Transcript of Ypostiriktiki_Didaskalia