XX E E B E D E D C -...
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Svolgimento dell’esame di Analisi Matematica II del 3 luglio 2014 ore 11 Versione Quiz 1 Quiz 2 Quiz 3 Quiz 4 Quiz 5 Quiz 6 Quiz 7 Quiz 8 XX E E B E D E D C Esercizio. (10 punti) Calcolare la circuitazione del campo vettoriale F (x, y)= cos e x 2 +6x − y, 3y arctan x y + e sin (y 3 +5y) lungo il bordo di Ω= (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 4, x 2 +4y 2 ≥ 4, 0 ≤ x ≤ y orientato positivamente. SVOLGIMENTO Si ha che F ` e di classe C 1 su dom (F )= (x, y) ∈ R 2 : y =0 . Posto F =(f 1 ,f 2 ), per il Teorema di Green si ha che ∂Ω F · dP = Ω ∂f 2 ∂x (x, y) − ∂f 1 ∂y (x, y) dx dy. Si ha che ∂f 2 ∂x (x, y) − ∂f 1 ∂y (x, y)=3y 1 y 1+ x 2 y 2 +1= 3y 2 x 2 + y 2 +1. Quindi ∂Ω F ·dP = Ω ∂f 2 ∂x (x, y) − ∂f 1 ∂y (x, y) dx dy = Ω 3y 2 x 2 + y 2 +1 dx dy = passando in coordinate polari nel piano si ottiene = Ω ′ ( 3 sin 2 ϑ +1 ) ρ dρ dϑ, dove Ω ′ ⊆ R 2 ` e tale che Φ(Ω ′ ) = Ω, dove Φ ` e la funzione del cambiamento di coordinate. x y O 2 2 1 Ω Si ha che (x, y) ∈ Ω = ⇒ x 2 + y 2 ≤ 4 x 2 +4y 2 ≥ 4 0 ≤ x ≤ y = ⇒ ρ ≤ 2 ρ 2 ( cos 2 ϑ + 4 sin 2 ϑ ) ≥ 4 0 ≤ cos ϑ ≤ sin ϑ = ⇒ 2 cos 2 ϑ + 4 sin 2 ϑ ≤ ρ ≤ 2 π 4 ≤ ϑ ≤ π 2 . Poich´ e cos 2 ϑ + 4 sin 2 ϑ = cos 2 ϑ + sin 2 ϑ + 3 sin 2 ϑ = 1 + 3 sin 2 ϑ, si ha che Ω ′ = (ρ, ϑ) ∈ R 2 : 2 1 + 3 sin 2 ϑ ≤ ρ ≤ 2, π 4 ≤ ϑ ≤ π 2 . Essendo Ω ′ un insieme ρ semplice, si ha che ∂Ω F · dP = Ω ′ ( 3 sin 2 ϑ +1 ) ρ dρ dϑ = π 2 π 4 2 2 √ 1+3 sin 2 ϑ ( 3 sin 2 ϑ +1 ) ρ dρ dϑ = π 2 π 4 ( 3 sin 2 ϑ +1 ) 1 2 ρ 2 2 2 √ 1+3 sin 2 ϑ dϑ = = 1 2 π 2 π 4 ( 3 sin 2 ϑ +1 ) 4 − 4 1 + 3 sin 2 ϑ dϑ =6 π 2 π 4 sin 2 ϑ dϑ =6 1 2 (ϑ − sin ϑ cos ϑ) π 2 π 4 = 3 4 π + 3 2 .
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Svolgimento dell’esame di Analisi Matematica II del 3 luglio 2014 ore 11
Versione Quiz 1 Quiz 2 Quiz 3 Quiz 4 Quiz 5 Quiz 6 Quiz 7 Quiz 8
XX E E B E D E D CEsercizio. (10 punti)
Calcolare la circuitazione del campo vettoriale
F (x, y) =
(
cos(
ex2+6x)
− y, 3y arctanx
y+ esin (y3+5y)
)
lungo il bordo diΩ =
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, x2 + 4y2 ≥ 4, 0 ≤ x ≤ y
orientato positivamente.SVOLGIMENTO
Si ha che F e di classe C1 su dom (F ) =
(x, y) ∈ R2 : y 6= 0
. Posto F = (f1, f2), per il Teorema di Green si ha che
∮
∂Ω
F · dP =
∫
Ω
(
∂f2
∂x(x, y) − ∂f1
∂y(x, y)
)
dx dy.
Si ha che
∂f2
∂x(x, y) − ∂f1
∂y(x, y) = 3y
1y
1 + x2
y2
+ 1 =3y2
x2 + y2+ 1.
Quindi
∮
∂Ω
F ·dP =
∫
Ω
(
∂f2
∂x(x, y) − ∂f1
∂y(x, y)
)
dx dy =
∫
Ω
(
3y2
x2 + y2+ 1
)
dx dy =
passando in coordinate polari nel piano si ottiene
=
∫
Ω′
(
3 sin2 ϑ + 1)
ρ dρ dϑ,
dove Ω′ ⊆ R2 e tale che Φ(Ω′) = Ω, dove Φ e la funzione del cambiamento
di coordinate.x
y
O 2
2
1
Ω
Si ha che
(x, y) ∈ Ω =⇒
x2 + y2 ≤ 4
x2 + 4y2 ≥ 4
0 ≤ x ≤ y
=⇒
ρ ≤ 2
ρ2(
cos2 ϑ + 4 sin2 ϑ)
≥ 4
0 ≤ cosϑ ≤ sin ϑ
=⇒
2√
cos2 ϑ + 4 sin2 ϑ≤ ρ ≤ 2
π4 ≤ ϑ ≤ π
2 .
Poiche cos2 ϑ + 4 sin2 ϑ = cos2 ϑ + sin2 ϑ + 3 sin2 ϑ = 1 + 3 sin2 ϑ, si ha che
Ω′ =
(ρ, ϑ) ∈ R2 :
2√
1 + 3 sin2 ϑ≤ ρ ≤ 2,
π
4≤ ϑ ≤ π
2
.
Essendo Ω′ un insieme ρ semplice, si ha che
∮
∂Ω
F · dP =
∫
Ω′
(
3 sin2 ϑ + 1)
ρ dρ dϑ =
∫ π
2
π
4
∫ 2
2√1+3 sin2 ϑ
(
3 sin2 ϑ + 1)
ρ dρ
dϑ =
∫ π
2
π
4
(
3 sin2 ϑ + 1)
[
1
2ρ2
]2
2√1+3 sin2 ϑ
dϑ =
=1
2
∫ π
2
π
4
(
3 sin2 ϑ + 1)
(
4 − 4
1 + 3 sin2 ϑ
)
dϑ = 6
∫ π
2
π
4
sin2 ϑ dϑ = 6
[
1
2(ϑ − sin ϑ cosϑ)
]π
2
π
4
=3
4π +
3
2.
Versione Quiz 1 Quiz 2 Quiz 3 Quiz 4 Quiz 5 Quiz 6 Quiz 7 Quiz 8
XY D A C E A C D CEsercizio. (10 punti)
Calcolare la circuitazione del campo vettoriale
F (x, y) =(
esin (x2−4x) − 8x arctany
x, x + cos
(
ey3−7y))
lungo il bordo diΩ =
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9, 9x2 + y2 ≥ 9, 0 ≤ y ≤ x
orientato positivamente.SVOLGIMENTO
Si ha che F e di classe C1 su dom (F ) =
(x, y) ∈ R2 : x 6= 0
. Posto F = (f1, f2), per il Teorema di Green si ha che
∮
∂Ω
F · dP =
∫
Ω
(
∂f2
∂x(x, y) − ∂f1
∂y(x, y)
)
dx dy.
Si ha che
∂f2
∂x(x, y) − ∂f1
∂y(x, y) = 1 + 8x
1x
1 + y2
x2
= 1 +8x2
x2 + y2.
Quindi
∮
∂Ω
F ·dP =
∫
Ω
(
∂f2
∂x(x, y) − ∂f1
∂y(x, y)
)
dx dy =
∫
Ω
(
1 +8x2
x2 + y2
)
dx dy =
passando in coordinate polari nel piano si ottiene
=
∫
Ω′
(
1 + 8 cos2 ϑ)
ρ dρ dϑ,
dove Ω′ ⊆ R2 e tale che Φ(Ω′) = Ω, dove Φ e la funzione del cambiamento
di coordinate.x
y
O 2
2
1
Ω
Si ha che
(x, y) ∈ Ω =⇒
x2 + y2 ≤ 9
9x2 + y2 ≥ 9
0 ≤ y ≤ x
=⇒
ρ ≤ 3
ρ2(
9 cos2 ϑ + sin2 ϑ)
≥ 9
0 ≤ sinϑ ≤ cosϑ
=⇒
3√
9 cos2 ϑ + sin2 ϑ≤ ρ ≤ 3
0 ≤ ϑ ≤ π4 .
Poiche 9 cos2 ϑ + sin2 ϑ = 8 cos2 ϑ + cos2 ϑ + sin2 ϑ = 8 cos2 ϑ + 1, si ha che
Ω′ =
(ρ, ϑ) ∈ R2 :
3√8 cos2 ϑ + 1
≤ ρ ≤ 3, 0 ≤ ϑ ≤ π
4
.
Essendo Ω′ un insieme ρ semplice, si ha che
∮
∂Ω
F · dP =
∫
Ω′
(
1 + 8 cos2 ϑ)
ρ dρ dϑ =
∫ π
4
0
∫ 3
3√8 cos2 ϑ+1
(
1 + 8 cos2 ϑ)
ρ dρ
dϑ =
=
∫ π
4
0
(
1 + 8 cos2 ϑ)
[
1
2ρ2
]3
3√8 cos2 ϑ+1
dϑ =1
2
∫ π
4
0
(
1 + 8 cos2 ϑ)
(
9 − 9
8 cos2 ϑ + 1
)
dϑ = 36
∫ π
4
0
cos2 ϑ dϑ =
= 36
[
1
2(ϑ + sinϑ cosϑ)
]π
4
0
=9
2π + 9.
Versione Quiz 1 Quiz 2 Quiz 3 Quiz 4 Quiz 5 Quiz 6 Quiz 7 Quiz 8
YX E B D B B E C EEsercizio. (10 punti)
Calcolare la circuitazione del campo vettoriale
F (x, y) =
(
ecos (x2+6x) − y, 3y arctanx
y− sin
(
ey3+5y)
)
lungo il bordo diΩ =
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, x2 + 4y2 ≥ 4, −y ≤ x ≤ 0
orientato positivamente.SVOLGIMENTO
Si ha che F e di classe C1 su dom (F ) =
(x, y) ∈ R2 : y 6= 0
. Posto F = (f1, f2), per il Teorema di Green si ha che∮
∂Ω
F · dP =
∫
Ω
(
∂f2
∂x(x, y) − ∂f1
∂y(x, y)
)
dx dy.
Si ha che
∂f2
∂x(x, y) − ∂f1
∂y(x, y) = 3y
1y
1 + x2
y2
+ 1 =3y2
x2 + y2+ 1.
Quindi
∮
∂Ω
F ·dP =
∫
Ω
(
∂f2
∂x(x, y) − ∂f1
∂y(x, y)
)
dx dy =
∫
Ω
(
3y2
x2 + y2+ 1
)
dx dy =
passando in coordinate polari nel piano si ottiene
=
∫
Ω′
(
3 sin2 ϑ + 1)
ρ dρ dϑ,
dove Ω′ ⊆ R2 e tale che Φ(Ω′) = Ω, dove Φ e la funzione del
cambiamento di coordinate.x
y
O−2
2
1
Ω
Si ha che
(x, y) ∈ Ω =⇒
x2 + y2 ≤ 4
x2 + 4y2 ≥ 4
−y ≤ x ≤ 0
=⇒
ρ ≤ 2
ρ2(
cos2 ϑ + 4 sin2 ϑ)
≥ 4
− sin ϑ ≤ cosϑ ≤ 0
=⇒
2√
cos2 ϑ + 4 sin2 ϑ≤ ρ ≤ 2
π2 ≤ ϑ ≤ 3
4π.
Poiche cos2 ϑ + 4 sin2 ϑ = cos2 ϑ + sin2 ϑ + 3 sin2 ϑ = 1 + 3 sin2 ϑ, si ha che
Ω′ =
(ρ, ϑ) ∈ R2 :
2√
1 + 3 sin2 ϑ≤ ρ ≤ 2,
π
2≤ ϑ ≤ 3
4π
.
Essendo Ω′ un insieme ρ semplice, si ha che
∮
∂Ω
F · dP =
∫
Ω′
(
3 sin2 ϑ + 1)
ρ dρ dϑ =
∫ 34π
π
2
∫ 2
2√1+3 sin2 ϑ
(
3 sin2 ϑ + 1)
ρ dρ
dϑ =
=
∫ 34π
π
2
(
3 sin2 ϑ + 1)
[
1
2ρ2
]2
2√1+3 sin2 ϑ
dϑ =1
2
∫ 34π
π
2
(
3 sin2 ϑ + 1)
(
4 − 4
1 + 3 sin2 ϑ
)
dϑ = 6
∫ 34π
π
2
sin2 ϑ dϑ =
= 6
[
1
2(ϑ − sin ϑ cosϑ)
]34π
π
2
=3
4π +
3
2.
Versione Quiz 1 Quiz 2 Quiz 3 Quiz 4 Quiz 5 Quiz 6 Quiz 7 Quiz 8
YY D E A A E A A CEsercizio. (10 punti)
Calcolare la circuitazione del campo vettoriale
F (x, y) =(
sin(
ex2−4x)
− 8x arctany
x, x − ecos (y3−7y)
)
lungo il bordo diΩ =
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9, 9x2 + y2 ≥ 9, −x ≤ y ≤ 0
orientato positivamente.SVOLGIMENTO
Si ha che F e di classe C1 su dom (F ) =
(x, y) ∈ R2 : x 6= 0
. Posto F = (f1, f2), per il Teorema di Green si ha che∮
∂Ω
F · dP =
∫
Ω
(
∂f2
∂x(x, y) − ∂f1
∂y(x, y)
)
dx dy.
Si ha che
∂f2
∂x(x, y) − ∂f1
∂y(x, y) = 1 + 8x
1x
1 + y2
x2
= 1 +8x2
x2 + y2.
Quindi
∮
∂Ω
F ·dP =
∫
Ω
(
∂f2
∂x(x, y) − ∂f1
∂y(x, y)
)
dx dy =
∫
Ω
(
1 +8x2
x2 + y2
)
dx dy =
passando in coordinate polari nel piano si ottiene
=
∫
Ω′
(
1 + 8 cos2 ϑ)
ρ dρ dϑ,
dove Ω′ ⊆ R2 e tale che Φ(Ω′) = Ω, dove Φ e la funzione del cambiamento
di coordinate.
x
y
O
3
−3
1
Ω
Si ha che
(x, y) ∈ Ω =⇒
x2 + y2 ≤ 9
9x2 + y2 ≥ 9
−x ≤ y ≤ 0
=⇒
ρ ≤ 3
ρ2(
9 cos2 ϑ + sin2 ϑ)
≥ 9
− cosϑ ≤ sinϑ ≤ 0
=⇒
3√
9 cos2 ϑ + sin2 ϑ≤ ρ ≤ 3
−π4 ≤ ϑ ≤ 0.
Poiche 9 cos2 ϑ + sin2 ϑ = 8 cos2 ϑ + cos2 ϑ + sin2 ϑ = 8 cos2 ϑ + 1, si ha che
Ω′ =
(ρ, ϑ) ∈ R2 :
3√8 cos2 ϑ + 1
≤ ρ ≤ 3, −π
4≤ ϑ ≤ 0
.
Essendo Ω′ un insieme ρ semplice, si ha che
∮
∂Ω
F · dP =
∫
Ω′
(
1 + 8 cos2 ϑ)
ρ dρ dϑ =
∫ 0
−π
4
∫ 3
3√8 cos2 ϑ+1
(
1 + 8 cos2 ϑ)
ρ dρ
dϑ =
=
∫ 0
−π
4
(
1 + 8 cos2 ϑ)
[
1
2ρ2
]3
3√8 cos2 ϑ+1
dϑ =1
2
∫ 0
−π
4
(
1 + 8 cos2 ϑ)
(
9 − 9
8 cos2 ϑ + 1
)
dϑ = 36
∫ 0
−π
4
cos2 ϑ dϑ =
= 36
[
1
2(ϑ + sinϑ cosϑ)
]0
−π
4
=9
2π + 9.
