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Concepto de función

La definición del metro

Las enormes dificultades para realizar esta nueva medición están relatadas con maestría por  Denis Guedj, matemático y profesor de historia de las ciencias en la Universidad de París. ("El metro del mundo". Editorial Anagrama. 2003).

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Concepto de función

La definición de π

= L/D cuenta cuántas veces cabe el diámetro D de una circunferencia en la longitud L de su perímetro.

Arquímedes fue el primero que científicamente calculó el número π mediante aproximaciones sucesivas utilizando un método geométrico (ver figura), dando como valor:

223/71 < π < 220/70es decir

3,140845 < π < 3,142857

Con sólo unos 40 decimales del número pi se podría calcular la longitud de una circunferencia que abarcara a todo el universo visible, con un error menor que el radio de un átomo de hidrógeno.

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Volumen de una esfera

Como todo el mundo sabe (o debería) el volumen de una esfera de radio R es:

Esta fórmula se debe también al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió. Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radio también R:

Cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a distancia  d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:

Cilindro: circunferencia de radio R.

Semiesfera: también una circunferencia pero de distinto radio, digamos r. Mirando la siguiente

figura y usando el teorema de Pitágoras tenemos

que r2+d2=R2.

Cono: también una circunferencia, pero ahora, como podemos

se ve aquí el radio es d.

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Por tanto tenemos:

Sección cilindro=πR2=π(r2+d2)=πr2+πd2=Sección semiesfera+Sección cono

Las secciones de cada figura son como rebanadas de las figuras:

Si para cada rebanada se tiene la relación anterior parece bastante claro que los volúmenes siguen la misma relación. Es decir:

Volumen cilindro=Volumen semiesfera+Volumen cono

Pero Arquímedes conocía los volúmenes del cilindro y del cono:

Por tanto:

De donde multiplicando por 2 obtenemos el volumen de una esfera de radio R:

Tanto admiraba Arquímedes este descubrimiento que mandó inscribir en su tumba la siguiente imagen:

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Pesando la Tierra

El primer hombre que midió la fuerza de la gravedad con masas situadas en un laboratorio fue Henry Cavendish (1731-1810) utilizando un aparato como el esquematizado en la figura.

Cavendish midió la fuerza directa entre dos grandes bolas fijas de plomo y dos bolas más pequeñas de plomo en los extremos de un brazo suspendido de una fibra muy fina, conocida como fibra de torsión. Midiendo cuánto se tuerce la fibra se puede estimar la magnitud de la fuerza, verificar que depende del cuadrado de la distancia y determinar su intensidad. De las medidas de Cavendish se dedujo que la constante G debe valer 6.67·10 -

11 si las masas se expresan en kg y las distancias en metros.

Bueno, si sustituimos ahora en la expresión, podemos hallar la masa de la Tierra como

¿Y si nuestra ley estuviera completamente equivocada? Veamos si la masa de la Tierra obtenida tiene un valor razonable. Vamos al calcular la densidad media del planeta dividiendo esta masa por el volumen de la esfera terrestre,

lo que significa que cada cm3 del material terrestre debe de pesar, en término medio, unos 5.4 g. 1 cm 3 de agua pesa aproximadamente 1 gramo y 1 cm3 de hierro, unos 7.9 g, con lo que nuestra estimación está en algún lugar intermedio entre las densidades del agua y del hierro, lo que significa que el valor que hemos obtenido para la masa de la Tierra es al menos consistente con la de los materiales que la componen, un dato para el optimismo.

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La Ley del Péndulo

Por último me gustaría enseñar al lector un método más preciso para medir la aceleración de la gravedad. Se trata de utilizar un péndulo, es decir, un peso atado a un cordel. Se puede observar en la figura 14, que la aceleración que va en la dirección del movimiento de la masa viene dada como ga = g · sen a. Si el ángulo a es pequeño, el seno del ángulo puede sustituirse aproximadamente por el ángulo expresado en radianes. Si además tenemos en cuenta que el arco de circunferencia que barre el peso es s = l · a, donde l es la longitud del cordel, nos queda en definitiva que:

Cuando tengamos una expresión donde la aceleración del movimiento es proporcional al espacio recorrido, estamos ante un movimiento de tipo oscilatorio (como el del péndulo) con un periodo (o tiempo en el que tarda en ir y volver) dado por

Por tanto, si hacemos algunas medidas con un péndulo, y calculamos el tiempo de ida y vuelta, podremos hacer una estimación de la aceleración de la gravedad como:

de donde se puede obtener un valor tan preciso como 9.81 m/s2 para la aceleración de la gravedad. Sustituyendo este valor en nuestra estimación de la masa de la Tierra obtenemos 5.98·1024 kg.

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