Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang di kuadran I yang dibatasi oleh kurva x = 2√2 y2, sumbu Y, dan lingkaran x2 + y2 = 9, diputar mengelilingi sumbu Y adalah....A. 106/15 π satuan volumeB. 124/15 π satuan volumeC. 146/15 π satuan volumeD. 164/15 π satuan volumeE. 248/15 π satuan volume

PembahasanVolume benda putar pada sumbu Y.

Kurva Ix = 2√2 y2

x2 = 8y4

Kurva IIx2 + y2 = 9x2 = 9 − y2

Tentukan titik potongnya dulu8y4 = 9 − y2

8y4 + y2 − 9 = 0

Faktorkan(8y2 + 9)(y2 − 1) = 0Ambil y2 − 1 = 0y2 = 1→ y = ± 1

Sketsa grafiknya sebagai berikut:

Terlihat batas-batasnya adalah 0 - 1 untuk x = 2√2 y2  dan 1 - 3 untuk x2 + y2 = 9, volumenya:

Read more: http://matematikastudycenter.com/un-sma/212-soal-pembahasan-un-matematika-sma-2014-no-31-35#ixzz3W36WqgB1

Metode yang dapat kita gunakan untuk menghitung volume benda putar menggunakan integral ada 2, yaitu :

1. Metode Cakram

Berdasarkan rumus Volume = Luas Alas × tinggiLuas Alas disini selalu berupa lingkaran maka Luas Alas = πr2 (dimana r adalah jari-jari putaran)digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus dengan sumbu putar

2. Metode Cincin Silinder

Menurut pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan keliling putaran.Dikarenakan  keliling lingkaran = 2πr, jika luas bidang yang diputar = A, maka volume = 2πr × Adigunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar

Agar dapat lebih memahami perhatikan beberapa contoh dibawah ini

1. Carilah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 jika diputar terhadap sumbu x?

Jawab :

Menggunakan metode cakram

Menggunakan metode cincin silinder

2. Carilah volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu y?

Jawab :

Perpotongan kurva dan garis:

x2 = 2x

x2 – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 02 = 0

x = 2 → y = 22 = 4

Jadi titik potong kurva dan garis adalah (0, 0) dan (2, 4)

Menggunakan Metode cakram:

Menggunakan metode cincin silinder:

3. Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = (y – 2)2 dan garis x + y = 4 diputar mengelilingi sumbu y, maka hitunglah volume benda putar yang terjad?

Jawab :

Perpotongan kurva dan garis:

x + y = 4 → x = 4 – y

(y – 2)2 = 4 – y

y2 – 4y + 4 = 4 – y

y2 – 4y + 4 – 4 + y = 0

y2 – 3y = 0

y(y – 3) = 0

y = 0 atau y = 3

y = 0 → x = 4 – 0 = 4

y = 3 → x = 4 – 3 = 1

Jadi titik potong kurva dan garis (4, 0) dan (1, 3)

Menggunakan metode cakram :

Menggunakan metode cincin silinder :

4. Hitunglah volume benda putar yang terjadi oleh daerah yang dibatasi  kurva y = x2 dan y = 6x – x2 jika diputar mengelilingi garis x = 4?

Jawab :

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: x = 4

Perpotongan kurva dan garis:

x2 = 6x – x2

x2 + x2 – 6x = 0

2x2 – 6x = 0

2x(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 3

x = 0 → y = 02 = 0

x = 3 → y = 32 = 9

Menggunakan metode cakram :

Menggunakan metode cincin silinder :

5. Hitunglah volume benda putar yang terbentuk dari  daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x jika diputar terhadap sumbu x?

Jawab :

Kurva merah: y = x2, kurva hijau: y = –x2 + 4x

Perpotongan kedua kurva:

x2 = –x2 + 4x

x2 + x2 – 4x = 0

2x2 – 4x = 0

2x(x – 2) = 0

2x = 0 atau x = 2

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 02 = 0

x = 2 → y = 22 = 4

Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4)

Menggunakan metode cakram :

Menggunakan metode cincin silinder :

Sekian dulu paparan mengenai  Metode mencari volume benda putar, semoga dapat membantu sobat dalam belajar matematika. Untuk artikel sebelumnya yaitu mengenai Fungsi Komposisi, jangan lupa pelajari juga