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  • LA ESTADSTICA APLICADA AL ANLISIS ECONMICO

    PROFESOR: GENARO SNCHEZ BARAJAS 220

    VII.7 PRCTICA X ESTIMACIN DE PARMETROS Problema No.1.- Suponga que = $ 100 ; Z = 2.58 y x = 10, encontrar: a) El intervalo de confianza b) Los lmites de confianza c) El coeficiente de confianza Problema No. 2 Con los datos del problema 1, suponga que es desconocida y X = $105, encontrar: a) La estimacin de punto b) La estimacin de intervalo c) Interprete los resultados de los dos tipos de estimaciones. Si es conocida e igual a $ 100, est la verdadera media poblacional dentro del intervalo de estimacin? Problema No. 3. Suponga que = 45%, Z = 1.645 y p = 6%, encontrar:

    a) El intervalo de confianza b) Los limites de confianza c) El coeficiente de confianza Problema No. 4. Con los datos del problema 3, suponga que es desconocida y p = 48%, encontrar: a) La estimacin de punto b) La estimacin del intervalo c) Interprete los resultados de las dos estimaciones. Si es conocida e igual a 45%, Esta la verdadera proporcin de la poblacin dentro del intervalo de estimacin? Problema No. 5 Poner un ejemplo numrico de estimadores: a) Insesgados ; b) Eficientes ; c) Suficientes ; d) Consistentes

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    VIII. TEORA DE LA DECISIN ESTADSTICA O PRUEBA DE HIPTESIS (9)

    Conexin entre pruebas y estimaciones de de intervalo Antes de de iniciar el tema he credo conveniente sealar que existe dicha relacin, ya que en una prueba de hiptesis , dado un nivel de significacin , se construye un intervalo de confianza para o nivel de confianza para no rechazar la hiptesis nula. As, por ejemplo, si en una prueba de dos extremos utilizamos Z, con un cierto nivel de de que la Ho: ox = , la condicin o intervalo para no rechazar Ho es que la z crtica o valor terico que se obtiene de tablas sea igual o mayor que la Z real u observada, que es lo mismo, en el caso del intervalo de confianza, ya que: la media muestral, ms menos, el producto de z terica por el error estndar de la media, sea superior a la media hipottica. Ambas desigualdades son lo mismo y cada una tiene una probabilidad 1- = si es que

    x es o ; la primera garantiza que la prueba tiene nivel de significacin y la segunda, garantiza que el intervalo de confianza tiene probabilidad 1- de contener x Con este enlace ahora procederemos a desarrollar el tema de la prueba de hiptesis VIII.1 DEFINICIN Podramos decir que esta es una de las principales aportaciones de la teora de la probabilidad a la inferencia estadstica, ya que al verificar una hiptesis de trabajo con una muestra probabilstica, si dicha hiptesis es aceptada, ello es una gran

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    contribucin a la investigacin que ahora ya dispone de un mtodo estadstico para la toma de decisiones con certidumbre pero, adems, contribuye al aumento del acervo de conocimientos en el rea que se est efectuado la verificacin de la hiptesis, en virtud de que muchas hiptesis al corroborarse que son ciertas, pasan a formar parte de la ciencia en que se desenvuelve el investigador. Al respecto, como seala el Profesor L. Kazmier(7) , en la prueba de hiptesis empezamos suponiendo que un parmetro poblacional tienen un determinado valor, tal como la media de la poblacin; enseguida seleccionamos aleatoriamente una muestra, y calculamos su media aritmtica para probar con ella que el supuesto valor poblacional es en efecto correcto, sobre la base de los elementos que componen la muestra, es decir, comparando el supuesto valor del parmetro con el valor equivalente de media muestral. Es importante decir que en cualquier situacin de prueba de hiptesis, la exactitud del supuesto valor del parmetro poblacional, es decir, la validez de la hiptesis, no se puede probar directamente. En su lugar, lo que se prueba es la magnitud de la diferencia entre el supuesto valor del parmetro poblaciona y el valor obtenido de una estadstica muestral. La evidencia ideal en apoyo de una hiptesis sera la observacin que la diferencia entre los dos valores fuera igual a cero. Esta hiptesis se conoce como hiptesis nula. As por ejemplo, si en la produccin de anillos industriales se requiere que el dimetro medio de cada uno sea 0.575 centimetros y si tomamos una muestra aleatoriamente para verificarlo, si su media es 0.565, se prueba la hiptesis nula en el sentido de verificar la diferencia entre los valores 0.565 y 0.575 centimetros y nos preguntamos la diferencia de 0.010 centimentros es sifnificativamente diferente de cero ? Dicha diferencia se juzga considerando su valor absoluto estandarizado, es decir, considerando el error estndar de la media de la muestra. Al respecto, al generar las distribuciones de muestras, nosotros recordamos que usando el muestreo con o sin reemplazo, se producen distribuciones de muestras, de cuyas medias podemos seleccionar una de ellas aleatoriamente para comparar su valor con el del supuesto valor del parmetro poblacional. Esperamos que si ste ltimo es cierto, los valores de muchas medias muestrales se agruparn o situarn simtricamente alrededor de su valor. Si hubieramos seleccionado aleatoriamente otra muestra de todas las que estn disponibles, otro sera el valor

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    de su media muestral y otra sea la diferencia con el valor del parmetro poblacional. Por otra parte es importante mencionar que aun cuando no hay un nmero universal definido para aceptar o rechazar una hiptesis nula, generalmente se usa = 5%, conocida como nivel de significacin, cuya interpretacin es : cuando es grande la diferencia entre el valor de la estadstica muestral y el supuesto valor del parmetro poblacional, una diferencia de esa magnitud ocurrir al azar con una probabilidad de 5% o menos cuando el supuesto valor es en realidad correcto; en esa situacin rechazamos la hiptesis nula y se considera que la diferencia observada es significativa, en otras palabras, que la gra diferencia no se debe a la seleccin aleatoria de la muestra, sino que se debe a otras razones.

    Con ese razonamiento, si definimos a xo , como lmites crticos para aceptar o rechazar la hiptesis nula; en este caso decimos que 0.95 es la proporcin de medias muestrales comprendidas dentro de los lmites crtcos establecidos para rpbar la hiptesis nula, con un nivel de significacin del 5%. Tambin es importante decir que cuando no se especfica la direccin en que se desea probar la diferencia entre xyo , la prueba se denomina de dos lados, colas o extremos . Por el contrario, cuando si se especfica la direccin para probar dicha diferencia haci auno u otro lado de la curva, la prueba se llama de un extremo y no se divide entre dos colas o extremos, por lo que

    toma otro valor ( 1.64 y no 1.96 , cuando es de dos colas). Conviene sealar que una hiptesis nula se prueba con unidades originales ( medias muestrales ) y con unidades Z ( nmero de unidades del error estndar de la media ); este ltimo procedimiento es el ms usual. Con estas referencias y trabajando con ms literales, diremos que : Hiptesis estadstica es una suposicin o conjetura concerniente a una caracterstica de la poblacin. Por ejemplo: X = Hiptesis nula Ho: X = Hiptesis alternativa Hi: X . Reiteramos, cuando se formula una hiptesis, no podemos probarla directamente por que no conocemos , lo que se prueba es la diferencia entre y X tal que:

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    X - = 0 Ello indica que se prueba que no hay diferencia entre y X , lo cual es llamado HIPTESIS NULA, ( Ho ). Cualquier hiptesis diferente de la nula es llamada HIPTESIS ALTERNATIVA, ( Hi ). Cuando se hace el planteamiento para tomar una decisin estadstica, es factible cometer 2 tipos de errores: Error 1: Rechazar una hiptesis nula cuando realmente es verdadera; y Error 2: Es aceptar una hiptesis nula cuando realmente sta es falsa. La probabilidad de cometer un error del tipo 1, es usualmente denotada por (alfa); y la probabilidad de cometer un error del tipo 2, es denotada por (beta). Veamos grficamente La prueba de hiptesiscuando se hace con dos "colas" o extremos:

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    Dos colas o = media hipottica VIII.2 PRUEBA DE HIPTESIS CON Z Asimismo, la prueba de hiptesis se hace con :

    Zx o

    x=

    cuando se conoce y n > 30

    xn

    = para una poblacin infinita

    Zona de aceptacin

    Zona de rechazo

    Zona de rechazo

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    y se hace con: tx o

    sxx o

    sn

    =

    =

    1

    cuando se desconoce y n < 30

    Ahora tambin, cuando Z t Z t se acepta Ho; y Z t > Z t se rechaza Ho.

    TABLA Z PARA PRUEBA DE HIPTESIS :

    Nivel de significacin ()

    0.10 0.05 0.01 0.005 0.00

    Valores crticos para -1.28 -1.645 -2.33 -2.58 -2.88 ensayos de un extremo

    1.28 1.645 2.33 2.58 2.88

    Valores crticos para -1.645 -1.96 -2.58 -2.81 -3.00 y y y y y

    ensayos de dos extremo

    1.645 1.96 2.58 2.81 3.00

    1.- Diferencia de una media muestral y una poblacional conocido , tal que:

    Zx o

    x=

    ;

    xn

    = para una poblacin infinita

    Para una diferencia de proporciones:

    Zp P

    p

    =

    ; p

    PQn

    = para una poblacin infinita

    EJEMPLO 1: Retomando el ejemplo planteado al principio del tema, cuando lo usamos para enfatizar el significado de la