Sea la función f(x) continua en el intervalo [a,b], donde a y b son números reales y sea S el área bajo la curva de dicha función, como se indica en la siguiente figura:

Para calcular el área (S) bajo la curva f(x), desde la recta vertical x = a hasta la recta vertical x = b, podemos dividir la región en rectángulos de base igual a Δx y altura f(xi); por lo tanto, el área de cada rectágulo (Ai) se obtiene multiplicando la

altura f(xi) con la base Δx así:

Ai = f(xi)*Δx

Sumando todos las rectángulos obtendremos el área S; Esta sumatoria es llamada sumatoria de Remann (Rn), como se muestra en al siguiente figura:

Sea n el número de rectángulos que se utilizan, entonces, el valor de Δx se obtiene dividiendo el intervalo [a,b] con el número de rectángulos así:

Δx = b−an

Lógicamente, mientras dividamos el área en más rectángulos, más preciso es el cálculo del área, por lo tanto,

S=∑i=1

n

f ( x i )∗¿ Δx ¿

Como la base Δx es constante, aplicando las propiedades de las sumatoria se obtiene:

S=Δx∑i=1

n

f ( x i)

Las alturas f(xi) se calculan así:

La primera altura se calcula en x = a, osea, f(a).

La siguiente altura se calcula en x1, osea, f(x1), donde x1 = a + Δx.

La que sigue se calcula en x2, osea, f(x2), donde x2 = a + 2Δx.

La que sigue se calcula en x3, osea, f(x3), donde x3 = a + 3Δx y así sucesivamente.

En general xi = a + nΔX, por lo tanto, f(xi) = f(a + nΔX).

La última altura se calcula con x = b, osea, f(b)

Ahora calculemos S cuando n tiende a infinitos rectángulos, lógicamente, mientras más rectángulos más precisos son los cálculos obtenidos, entonces:

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y llamemos Δx = h, como se muestra en la siguiente figura:

S= lim ¿n→∞∑i=1

n

f (x i)∗h

Como se estudió en la demostración de la derivada de una función, cuando el número de rectángulos (n) tiende a infinito, h tiende a cero; en este punto h se

convierte en un diferencial de x (dx), entonces:

S= lim ¿n→∞∑i=1

n

f (x i)∗dx

La expresión del miembro derecho de la igualdad es conocida como la integral de la función desde a hasta b y se denota como:

∫a

b

f (x )dx

Por lo tanto se pude calcular S con integrales, así::

S=∫a

b

f (x )dx

Aplicando con el Teorema Fundamental del Cálculo obtenemos:

∫a

b

f (x )dx=F (b )−F (a)

Donde F (b ) y F (a) son las antiderivadas de la función evaluadas en b y en a. Por lo tanto:

S = F (b )−F (a)

A manera de ejemplo tomemos la función y = x2 y calculemos su áres en el intervalo [0,1] como se muestra en la siguiente figura

En esta oportunidad utilizaremos 8 rectángulos, entonces, n = 8Cada rectángulo tiene 2 alturas, una cuando es tangente a la curva por la

izquierda del rectángulo y otra cuando es tangente a la curva por la derecha del rectángulo como se muestra en la siguiente figura:

Debemos calcular los dos valores del área total y promediarlos.

Comencemos calculando la base de cada rectángulo Δx, entonces, el intervalo es [0,1] y el número de rectángulos que se utilizarán es 8, por lo tanto se obtiene

a = 0, b= 1 y n = 8, entonces,

Δx = b−an = =

1−08 = =

18

Ahora calculemos las alturas:

f(a) = F(0) = 02 = 0

f(x1) = f(a+Δx) = f(0+18 ) = f(

18) = (18)2 = 164

f(x2) = f(a+2Δx) = f(0+(2*18)) = f (

28) =f ( 14 ) = (14 )2 = 116

f(x3) = f(a+3Δx) = f(0+(3*18)) = f(

38) = (38)2 = 964

f(x4) = f(a+4Δx) = f(0+(4*18)) = f(

48 ) = f(12) = (12)

2 = 14

f(x5) = f(a+5Δx) = f(0+(5*18)) = f(

58) = (58)2 = 2564

f(x6) = f(a+6Δx) = f(0+(6*18)) = f (

68) = f(34 ) = (34 )2 = 916

f(x7) = f(a+7Δx) = f(0+(7*18)) = f (

78) = (78)2 = 4964

f(b) = f(1) = 12 = 1Primero calculemos el área con las alturas tangentes a la curva por la izquierda,

entonces,

S I=Δ x∑i=1

n

f (xi) = Δx∑i=1

8

f (xi) = Δx (f(a)+f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5)+f(x6)+f(x7))

Reemplazando los valores correspondientes obtenemos:

SI = 18 * (0+

164 +

116 +

964 +

14 +

2564 +

916 +

4964 ) =

18 *

3516 =

35128 U2

Ahora calculemos el área con las alturas tangentes a la curva por la izquierda, entonces,

SD = Δ x∑i=1

n

f (xi) = Δx∑i=1

8

f (xi) = Δx (f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5)+f(x6)+f(x7)+f(b))

Reemplazando los valores correspondientes obtenemos:

S = 18 * (

164 +

116 +

964 +

14 +

2564 +

916 +

4964 + 1) =

18 *

5116 =

51128 U2

Por último promediando SI con SD obtenemos:

S = S i+Sd2 =

35128

+ 511282

= 861282

= 43128 U2

Ahora calculemos S cuando n tiende a infinitos rectángulos, entonces:

S=∫a

b

f (x )dx=F (b )−F(a)

Aplicando las antiderivadas de la función evaluadas en b y en a

S = ∫0

1

x2dx = x3

3 ]10 =

(1)3

3 - (0)3

3 = 13 U2

Comparando las dos respuestas, el error obtenido en el primer cálculo fue de:

%E = (Sf−Si)Sf

∗100

( 13− 43128

)

13

∗100 =

−138413

∗100 = −3384

∗100=−100128

%=−2532 % = −0,78%

Quiere decir esto, que la primera respuesta estuvo por encima del valor real en un 0,78%

Sean la funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a,b], donde a y b son números reales y se debe cumplir que f(x) ≥ g(x) en todo el intervalo. Sea S el

área entre la curva de dichas función, como se indica en la siguiente figura:

Para calcular el área (S) entre las curvas f(x) y g(x), desde la recta vertical x = a hasta la recta vertical x = b, podemos dividir la región en rectángulos de base igual

a Δx y altura f(xi); por lo tanto, el área de cada rectágulo (Ai) se obtiene multiplicando la altura f(xi) con la base Δx así:

Ai = (f(xi)-g(xi))*Δx

Sea n el número de rectángulos que se utilizan, entonces, el valor de Δx se obtiene dividiendo el intervalo [a,b] con el número de rectángulos así:

Δx = b−an

Lógicamente, mientras dividamos el área en más rectángulos, más preciso es el cálculo del área, por lo tanto,

S=∑i=1

n

( f (x i )−g(x ))∗Δx

Como la base Δx es constante, aplicando las propiedades de las sumatoria se obtiene:

S=Δx∑i=1

n

f ( x i)−g (x)

Las alturas f(xi) se calculan así:

La primera altura se calcula en x = a, osea, f(a).

La siguiente altura se calcula en x1, osea, f(x1), donde x1 = a + Δx.

La que sigue se calcula en x2, osea, f(x2), donde x2 = a + 2Δx.

La que sigue se calcula en x3, osea, f(x3), donde x3 = a + 3Δx y así sucesivamente.

En general xi = a + nΔX, por lo tanto, f(xi) = f(a + nΔX).

La última altura se calcula con x = b, osea, f(b)

Ahora calculemos S cuando n tiende a infinitos rectángulos, lógicamente, mientras más rectángulos más precisos son los cálculos obtenidos, entonces:

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y llamemos Δx = h, como se realizó en la demostración del área bajo la curva, entonces:

S= lim ¿n→∞∑i=1

n

( f ( x i )−g (xi ))∗h

Como se estudió en la demostración de la derivada de una función, cuando el número de rectángulos (n) tiende a infinito, h tiende a cero; en este punto h se

convierte en un diferencial de x (dx), entonces:

S=lim ¿n→∞∑i=1

n

( f ( x i )−g (xi ))∗dx

Por lo tanto se pude calcular S con integrales, así::

S=∫a

b

( f ( x )−g ( x ))dx

Sea la función h ( xi )= f (xi )−g(xi) ,entonces

Aplicando con el Teorema Fundamental del Cálculo obtenemos:

S=∫a

b

( f ( x )−g ( x ))dx=∫a

b

h (x )dx=H (b )−H (a)

Donde H (b ) y H (a) son las antiderivadas de la función resultante evaluadas en b y en a. Por lo tanto:

S = H (b )−H (a)

A manera de ejemplo tomemos las funciones yT = f(x) = 2x - x2 y yB = g(x) = x2, como se muestra en la siguiente figura y calculemos el área entre las curvas en el

intervalo [0,1]

En esta oportunidad utilizaremos 6 rectángulos, entonces, n = 6Cada rectángulo tiene 2 alturas, una cuando es tangente a las curva por la

izquierda del rectángulo y otra cuando es tangente a la curva por la derecha del rectángulo.

Debemos calcular los dos valores del área total y promediarlos.

Comencemos calculando la base de cada rectángulo Δx, entonces, el intervalo es [0,1] y el número de rectángulos que se utilizarán es 8, por lo tanto se obtiene

a = 0, b= 1 y n = 6, entonces,

Δx = b−an = =

1−06 = =

16

Ahora calculemos las alturas:

Sea la función h ( xi )=f (xi )−g(xi) = 2x – x2 – x2 = 2x – 2x2,entonces

h (a) = f(0) = 2(0) – 2(0)2 = 0

h(x1) = h(a+Δx) = h(0+16 ) = h(

16) = 2(

16) – 2(

16)2 =

26− 236

=1036 = 518

h(x2) = h(a+2Δx) = h(0+(2*16)) = h(

26) =f ( 13 ) = 2( 1

3) – 2( 1

3)2 =

23−29=49

h(x3) = h(a+3Δx) = h(0+(3*16)) = h(

36) = f(12) = 2( 1

2) – 2( 1

2)2 =

22 –

24 = 12

h(x4) = h(a+4Δx) = h(0+(4*18)) = h(

46 ) = f(23) = 2( 2

3) – 2( 2

3)2 =

43 –

89 = 49

h(x5) = h(a+5Δx) = h(0+(5*16)) = h(

56) = 2( 5

6) – 2( 5

6)2 =

106 –

5036 = 1036 = 518

h(b) = h(1) = 2(1) – 2(1)2 = 0

Primero calculemos el área con las alturas tangentes a la curva por la izquierda, entonces,

S I=Δ x∑i=1

n

h(xi) = Δx∑i=1

8

h(xi) = Δ x (h(a)+h(x1)+h(x2)+h(x3)+h(x4)+h(x5))

Reemplazando los valores correspondientes obtenemos:

SI = 16 * (0+

518 +

49 +

12 +

49 +

518) =

16 *

3518 =

35108 U2

Ahora calculemos el área con las alturas tangentes a la curva por la izquierda, entonces,

SD = Δ x∑i=1

n

h(xi) = Δx∑i=1

8

h(xi) =

Δx∗¿ (h(x1)+h(x2)+h(x3)+h(x4)+hf(x5)+h(b))

Reemplazando los valores correspondientes obtenemos:

SD = 16 * (

518 +

49 +

12 +

49 +

518+0) =

16 *

3518 =

35108 U2

Por último como obtuvimos el mismo resultado, SI con SD obtenemos:

S = 35108 U2

Ahora calculemos S cuando n tiende a infinitos rectángulos, entonces:

S=∫a

b

( f ( x )−g ( x ))dx=∫a

b

h(x)dx=H (b )−H (a)

Aplicando las antiderivadas de la función evaluadas en b y en a

S = ∫0

1

(2x –2 x2¿)¿dx = ( 2x2

2−2x

3

3)]10 = (1)2−

2 (1)3

3−¿ (0)2+¿

2(0)3

3=¿

13 U2

Comparando las dos respuestas, el error obtenido en el primer cálculo fue de:

%E = (Sf−Si)Sf

∗100

( 13− 35108

)

13

∗100 =

−810813

∗100 = −827

∗100=−8027

%=¿ −2 ,96%

Quiere decir esto, que la primera respuesta estuvo por encima del valor real en un 2,96% debido a que se utilizaron pocos rectángulos.