Velocidad de Grupo4_diapositivas

13
2.3 Velocidad de fase y grupo La velocidad c en las secciones anteriores es la velocidad de fase de las ondas superficiales (c = ω/k ). Es la velocidad con que una fase se propaga. En general, las velocidades α y β del medio aumentan con la profundidad dentro del manto de la Tierra. Entonces, c disminuye cuando aumenta la frecuencia de las ondas superficiales. Las ondas están dispersivas. La energía de una onda dispersiva se propaga con la velocidad del grupo, u = dω/dk . u y c están diferentes para las ondas de superficie. Universidad de Concepci´ on, Geof´ ısica, 513430 Sismolog´ ıa Aplicada y de Exploraci´ on, Clase 4 – p. 1/13

description

tvingjnhuhubu

Transcript of Velocidad de Grupo4_diapositivas

2.3 Velocidad de fase y grupo

La velocidadc en las secciones anteriores es la velocidad de fase de lasondas superficiales (c = ω/k). Es la velocidad con que una fase sepropaga.

En general, las velocidadesα y β del medio aumentan con laprofundidad dentro del manto de la Tierra.

Entonces,c disminuye cuando aumenta la frecuencia de las ondassuperficiales. Las ondas están dispersivas.

La energía de una onda dispersiva se propaga con la velocidaddelgrupo,u = dω/dk. u y c están diferentes para las ondas de superficie.

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 1/13

2.3.1 Una demostración simple

¿Cuál es la suma de dos ondas armónicas conω y k ligeramentediferente entre ellos?

Vamos a usarcos(A+ B) + cos(A−B) = 2 cosA cosB

u(x, t) = cos(ω1t− k1x) + cos(ω2t− k2x)

ω1 = ω + δω , ω2 = ω − δω , ω >> δω

k1 = k + δk , k2 = k − δk , k >> δk

∴ u(x, t) = cos(ωt+ δωt− kx− δkx) + cos(ωt+ δωt− kx+ δkx)

= 2 cos(ωt− kx) cos(δωt− δkx)

El envolvente tiene velocidadu = δω/δk, la velocidad del grupo.

Cimas individuales tienen velocidadesc = ω/k, la velocidad de fase.

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 2/13

2.3.1 Una demostración simple

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 3/13

2.3.2 Relación entreu y c

La relación entreu y c puede estar escrito como:

u = dω

dk= d

dk(ck)

= c+ k dc

dk

= c(

1 + k

c

dc

dk

)

= c

(1−kdc

dω)✘✘✘✘

✘✘✘✘✘✘✿ 1

[(

1 + k

c

dc

dk

)(

1− k dc

)]

= c

(1−kdc

dω)

(2.25)

Entonces la manera de la dispersión de las ondas de superficiedetermina su forma física.

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 4/13

IntermezzoPara demostrar que

A =

(

1 +k

c

dc

dk

)(

1 − kdc

dw

)

= 1

usaremos la siguiente relación:

c = ω

kdc

dω= 1

k−

ω

k2

dk

dc

dk= dc

dk= −

ω

k2+ 1

k

dk

Luego

A =

(

1 + k

c

dc

dk

) (

1 − kdc

dw

)

= 1 + k

c

dc

dk− k

dc

dω−

k2

c

dc

dk

dc

= 1 + k

c

(

−ω

k2+ 1

k

dk

)

− k

(

1

k−

ω

k2

dk

)

−k2

c

(

−ω

k2+ 1

k

dk

) (

1

k−

ω

k2

dk

)

= 1 −ω

kc+ 1

c

dk− 1 + ω

k

dk

dω−

k2

c

(

−ω

k3+ 1

k2

dk+ ω

2

k4

dk

dω−

ω

k3

)

= −ω

kc+ 1

c

dk+ ω

k

dk

dω+ ω

kc−

1

c

dk−

ω2

ck2

dk

dω+ ω

kc

= ω

k

dk

dω−

ω2

ck2

dk

dω+ ω

kc

Recordando quec = ω

kescribimos

A = cdk

dω− c

dk

dω+ 1

= 1

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 5/13

2.3.3 Dispersión en un sismograma

La forma de una onda de superficie en un sismograma contiene inicialmentebajas frecuencias, después una mezcla de bajas y altas frecuencias, y al final lafase de Airy. (Por supuesto, siempre es mas complicado que este ejemplosimplificado).

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 6/13

2.4 Tierra esférica, ondas de superficie

Las ondas de superficie pueden recorrer la circunferencia dela Tierra variasveces. Cada vez que pasan a un instrumento muestran mayor dispersión ytienen menor amplitud.

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 7/13

2.4 Tierra esférica, ondas de superficie

La figura muestra muchos sismogramas (6 horas de datos, componentevertical) amontonados, por estaciones entre cero y 180 grados de distanciadesde la fuente. Se puede claramente notar R1, R2, R3 y R4, entre otras fases.

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 8/13

2.5 Oscilaciones libres de la TierraCuando la longitud de onda esta comparable con el tamaño de laTierra,se deben usar modos normales en vez de la teoría de rayos.

Para una Tierra esférica, homogénea, isotrópica y elástica, podemosescribir el desplazamiento como:

u = ∇Φ+∇×Ψ = ∇Φ+∇×∇× Sr+∇×Tr (2.26)

Y la ecuación de movimiento es:

α2∇(∇u)− β2

∇×∇× u = u (2.27)

Las soluciones paraΦ, Sr y Tr tienen la forma:

Φ(r, θ, φ) =∞∑

l=0

jl(kαr)l

m=−l

Y m

l(θ, φ) (2.28)

Y ml (θ, φ) = Pm

l (cos θ)e±imφ son las funciones armónicas esféricas yjl(kαr) son funciones esféricas de Bessel.

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 9/13

2.5 Oscilaciones libres de la TierraLa solución puede estar escrito en términos de modos esferoidalesnSm

l

(asociados con los potenciales de las ondas P y SV -Φ y Sr), y modostoroidalesnTm

l (asociados con el potencial de la onda SH -Tr).

n es el número de nodos del desplazamiento radial.

l determina la distribución de desplazamiento con la colatitud.

Existen2m nodos en360◦ de longitud.

Algunos ejemplos de modos se muestran en la próxima diapositiva.

Estos modos significan que la Tierra vibra como una campana despuésde grandes terremotos. Las frecuencias resonantes dan pistas sobre laspropiedades elásticas de las diferentes capas de la Tierra.

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 10/13

2.5 Oscilaciones libres de la Tierra

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 11/13

2.5 Oscilaciones libres de la Tierra

El espectro de la componente radial, con los modos esferoidales visible, de240 horas de datos del terremoto de 2004 Sumatra-Andaman (Mw=9.1),registrado en la estación ARU (en Rusia).

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 12/13

2.6 Rayos y modos: correspondencia

Un rayo puede estar representado por una suma sobre los modos.

La aproximación de rayos asume que el rayo no es sensible a laestructura bajo del punto del doblamiento del rayo. Actualmente estaprofundidad representa la profundidad en que la solución usandomodos cambia a decaimiento exponencial; entonces la onda esinfluenciada por esta estructura de la Tierra debajo de ella.

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 13/13