Velocidad Crtica -- Pgina 1 de 18

Repblica Argentina Universidad de Buenos Aires Facultad de Ingeniera Departamento de Ingeniera Mecnica

67.12 -- MECANISMOS B

VELOCIDAD CRTICA de RBOLES(TERIA)

3ra. Edicin

Prof. Ing. MAYER, Omar E. omayer@fi.uba.ar

JUNIO 2.003

Velocidad Crtica -- Pgina 2 de 18

Figura 01W -- X0 Sin peso W W+k*X Pos. reposo O W

stX

X0 X

W

W

W

VIBRACIN NATURAL LIBRESea un cuerpo de peso W suspendido de una suspensin elstica como por ejemplo un resorte (elemento elstico por excelencia), tal como indica la Figura 01 anterior y de masa propia a considerar nula (despreciable frente a la del peso W ). Los resultados que as se obtengan, resultan ser de gran aplicacin en numerosas configuraciones de pesos suspendidos y/o apoyados de/en estructuras elsticas, como lo son todas, por menos que se quiera. Sin peso W , se indica la posicin del extremo libre de la suspensin elstica cuando la misma no se encuentra cargada con el peso W . Cargada la suspensin elstica dentro de su lmite elstico y de manera esttica, con el peso W y siendo k = Constante elstica (o de rigidez) de la suspensin, la misma se deformar la magnitud

st,

valiendo:

W = k * st

Velocidad Crtica -- Pgina 3 de 18

Separando el cuerpo W , siempre unido a la suspensin, de su posicin de equilibrio (st), la magnitud X0, el mismo oscilar indefinidamente si el amortiguamiento del sistema resulta nulo (rozamiento con el gas que rodea al sistema y rozamiento intercristalino en la suspensin, nulos) entre X0 (amplitud del movimiento) y -- X0, siendo O (posicin de equilibrio en estado de reposo) el origen de la coordenada X. Para una posicin instantnea cualquiera X, la ecuacin de equilibrio establece:

Fxcon

=

M * ax

W -- ( W + k * X )

=

M

d2 X * -----dt2

M ax t k*X W+k*X

= Masa del peso W = Aceleracin (instantnea) que presenta el movimiento de = Tiempo = Componente elstica de recuperacin de la suspensin. = Fuerza con que acta la suspensin sobre el peso W

W

Operando se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento:

d2 X -----dt2Haciendo

+

k --M =

*

X k --M

=

0

n^2

se obtiene:

d2 X -----dt2

+

n^2

*

X

=

0

Esta ltima expresin corresponde a la ecuacin diferencial del movimiento armnico simple, obtenido el mismo como la proyeccin de un punto animado de movimiento circular uniforme, sobre cualquiera de los dimetros de la circunferencia (trayectoria) respectiva, siendo n la velocidad angular, de valor constante, del radio vector correspondiente, tal cual muestra la Figura 02 en la siguiente pgina. Rotando el vector X0 con velocidad angular el eje X, suponiendo resulta:

n

constante, su proyeccin X sobre

0

(ngulo inicial) nulo y siendo t la variable tiempo,

X = X0 * cos () = X0 * cos (n * t)

Velocidad Crtica -- Pgina 4 de 18

-- X

Figura 02O

X0

X X

n

X-----= -- X0 *

n

*

sen (n * t)

t 2 X-----= -- X0 *

n^2

*

cos (n * t)

t2siendo:

X = X0 * cos () +

resulta:

2 X------

n^2

*

X

=

0

t2Volviendo al esquema del peso W y de la suspensin (Figura 01), n resulta ser la pulsacin natural de vibracin del sistema, propia de la masa (W / g) del cuerpo que vibra (se desprecia la de la suspensin elstica) y de la constante elstica de su suspensin.

n^2

=

k --M

La frecuencia natural de vibracin y con g = aceleracin gravitatoria, resulta en:

Velocidad Crtica -- Pgina 5 de 18

nfn = ---------2 * Npi =

1 ---------2 * Npi fn =

*

k (1 / 2) --- M * g (1 / 2) ---- st

siendo

W k = ---- resulta

st1 ---fn 980

1 ---------2 * Npi

El perodo Tn natural de vibracin, resulta en:

Tn

=

Tn

=

2 * Npi

st (1 / 2) * ---- g 300 ----------------------[st (cm)]^(1 / 2)

Con

g

=

cm -------seg^2

fn (v.p.m)

As entonces la pulsacin, la frecuencia y el periodo natural de vibracin dependen slo de la masa del cuerpo que vibra y de la constante elstica de su sustentacin y no de las condiciones iniciales del movimiento.

VIGA CON CARGA W CENTRADASea la viga isostticamente sustentada de la siguiente Figura 03, cargada en su centro con la carga W y con Je (momento areolar ecuatorial de segundo orden de la seccin transversal) constante sobre toda su longitud:

Figura 03

W

st

L/2 L

L/2

Siendo:

W

=

k * st 1 ---------2 * Npi

;;;;;;

st

=

W * L^3 --------------48 * E * Je (1 / 2)

resulta:

fn

=

*

48 * g * E * Je ------------------W * L^3

De esta ltima expresin surge:

Velocidad Crtica -- Pgina 6 de 18

a) Cuando L (longitud) aumenta de valor, tambin lo hace st y fn (n) disminuye: Las vigas largas poseen frecuencias (pulsaciones) naturales de vibracin ms bajas que las vigas cortas. b) Cuando Je aumenta de valor (si se trata de secciones circulares, aumenta el dimetro de las mismas) st disminuye y fn (n) aumenta: Las vigas de mayor Je (si son circulares, de mayor dimetro) tienen frecuencias (pulsaciones) naturales de vibracin ms altas que las vigas de menor Je (s son circulares, de menor dimetro) De lo arriba escrito se deduce que el aumento de la rigidez (disminucin de la flexibilidad) de las vigas aumenta la frecuencia (pulsacin) natural de vibracin. Lo expuesto tiene validez tambin atendiendo a otras clases de esfuerzos, esto es la torsin y los esfuerzos normales de traccin - compresin.

VELOCIDAD LATERAL CRTICA DE RBOLESSea el rbol ROTANTE (suspensin elstica) de la siguiente Figura 04 con un volante (polea, rueda dentada, rotor) de masa M y que presenta, el volante, una cierta excentricidad e entre su centro G de masas y el eje de rotacin del sistema, dado por la lnea recta que une los cojinetes sobre el cual el sistema rota, sometido asimismo a la accin de una cierta carga exterior Q como lo puede ser un tiro de correas.

Figura 04e X e G Fc + fQ

G

Q

Como consecuencia de la excentricidad e, cuando el sistema es colocado en rotacin y siendo x la deflexin (deformacin por flexin) que experimenta el rbol, el mismo responde a la solicitacin resultante con una fuerza centrpeta Fc de valor M *

^2 * (x + e).

Velocidad Crtica -- Pgina 7 de 18

Siendo que la fuerza Q tambin flexiona el rbol y considerando que la misma, conforme sea el instante observado, puede coincidir o no en direccin con la fuerza Fc y en el caso de direcciones coincidentes, ambas pueden ser del mismo sentido o no; respecto a Fc (la misma rotatoria) y haciendo -- Q fQ + Q (fQ variable en el tiempo (respecto a Fc) de manera seno / cosenoidal ) resulta:

k * x = M * ^2 * (x + e) + fQen donde k * x representa la fuerza elstica de recuperacin que opone el rbol a travs de su constante elstica k a la flexin. Operando:

k * x -- M * ^2 * x = M * ^2 * e + fQ x * k --M k --M = --

^2

=

^2 * e

+

fQ ---M

como:

n^2

y dividiendo por

n^2:

x

=

e * ( ^2 / n^2 ) + ( fQ / ( M * n^2 )) ----------------------------------------------------------1 -- ( ^2 / n^2 ) M * n^2=

como:

M

*

k ---M

=

k

x

=

e * ( ^2 / n^2 ) + ( fQ / k ) -------------------------------------------1 -- ( ^2 / n^2 )

Estando representada la ecuacin anterior en la Figura 05 en la siguiente pgina: A) S B)

= 0 ;;;; x = ( fQ / k )S

n ;;;; x = e * ( ^2 / n^2 ) + ( fQ / k ) -------------------------------------------1 -- ( ^2 / n^2 )

C)

Siendo:

x

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resulta:

x

=

e + (( fQ * n^2 ) / ( k * ^2 ) ---------------------------------------------( 1 / ( ^2 / n^2 )) -- 1

+X

Figura 05 Asintotas

Q/k O

1

/n

e

-- X

^2S

1

;

------

;

----------------

0

n^2fQ * n^2 --------------( k * ^2 )Resumiendo: A) B) C) S S S

^2 / n^2x = 0 e + 0 ---------0 -- 1 ; x x x = = -- e ( fQ / k )

0

;

n ; ;

-- e

Velocidad Crtica -- Pgina 9 de 18

Velocidad Crtica -- Pgina 10 de 18

se la llama velocidad angular lateral crtica del sistema, pues produce el colapso del mismo (exclusivamente sustentacin A lineal elstica no amortiguada) al hacer tender x (deflexin) a

= n = (k / M)^(1 / 2)

.

En estas circunstancias ( = n ) el rbol se comporta como un sistema elstico en resonancia, por coincidir la frecuencia de excitacin exterior ( Fc) con su frecuencia natural de vibracin lateral.

Obsrvese que el fenmeno aun subsiste con e = 0 y / o Q = 0Cuando ; x -- e. Esta situacin indica que el centro de masa del volante se alinea con el eje de rotacin, que dicho volante rota alrededor de su centro de masa y que consecuente desaparece toda vibracin. El rbol gira alrededor del eje de rotacin como un arco de flecha alrededor de su cuerda, como muestra la siguiente Figura 06.

Figura 06

G X = -- e

El anlisis desarrollado supone la no existencia de amortiguamientos, los cuales, de existir, morigeran (aplanan) los picos. Las conclusiones revelan que el sistema constituido por el rbol y las masas a el acopladas, tiene una velocidad crtica lateral independiente de las excentricidades de las masas y solo dependen de: A) B) C)

Las condiciones de sustentacin del rbol La posicin y el valor de las masas a el acopladas. Las dimensiones y naturaleza (material) del rbol. APLICACIONES

Es posible concebir gran nmero de configuracin de rotores que pueden incluir varias masas, varios soportes y secciones variables del rbol, cuyo comportamiento es cualitativamente similar al estudiado. La diferencia consiste en que en configuraciones mas complicadas existen varias velocidades crticas, tantas como grados de libertad posee el sistema.

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A) rbol de seccin uniforme con una sola masa. Ejemplo 1: Apoyos con rodamientos a rtula. Volante (disco) central Ref.: Figura 07 siguiente

st =

W * L^3 ------------------48 * E * Je

;

n =

48 * E * Je * g ------------------W * L^3

(1/2)

Figura 07

W

st

L/2 L

L/2

Ejemplo 2: Apoyos con cojinetes (cojinetes de deslizamiento). Volante (disco) central. Ref.: Figura 09 (Anexo Figuras)

st =

W * L^3 ------------------192 * E * Je

;

n

=

192 * E * Je * g -------------------W * L^3

(1/2)

Figura 08

stW

Relacionando los ejemplos 1 y 2 anteriores, resulta:

n n

ejemplo 2

----------------ejemplo 1

=

192 -----48

(1/2) = 2

La diferencia radica en que en el ejemplo 2, el sistema es ms rgido por cuanto en los extremos, no es posible la libre rotacin longitudinal de las secciones transversales del rbol entre s, como sucede en el ejemplo 1 (ver figuras).

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Ejemplo 3: Apoyos con rodamientos a rtula. Volante (disco) no central Ref.: Figura 09 siguiente

st =

W * a^2 * b^2 ------------------3 * E * Je * L

;

n

=

3 * E * Je * L * g ---------------------W * a^2 * b^2

(1/2)

W

Figura 09

a L

b

RBOL DE SECCIN UNIFORME CON VARIAS MASAS. Ref.: Figura 10 siguiente

Figura 10 O X1 X2 X3 Z

X

Fc1

Fc2

Fc3

Suponiendo que la proyeccin sobre un plano longitudinal (plano XZ) del movimiento de las masas sigue la ley del movimiento armnico simple, y considerando solamente dicha proyeccin, los desplazamientos instantneos xi en funcin de sus amplitudes (desplazamientos mximos) Xi, resultan:

xi = Xi * cos ( * t)Las velocidades instantneas resultan en:

xiVi = ----= -- Xi *

*

sen ( * t)

tSiendo:

Vimx = Xi *

Vi = Vimx * sen ( * t)

Velocidad Crtica -- Pgina 13 de 18

Vi = Vimx se verifica en el centro de la oscilacin y en los extremos de esta, resulta nula (Vi = 0).Aplicando el principio de la conservacin de la energa (sin que la energa exista, recurdese que se est considerando la proyeccin de un movimiento circular de velocidad angular sobre un plano longitudinal), se tiene (tratndose de un sistema conservativo inclusive de por s) que la suma de las energas potencial y cintica se mantiene constante: Ec + U = constante. En los extremos de la oscilacin, la energa cintica es nula y la potencial, mxima (por ser mxima la deformacin proyectada) y por el contrario, en el centro de la oscilacin, la energa cintica es mxima y la potencial, nula. No pudindose sobrepasar el lmite elstico (falla del sistema) y valiendo la ley de proporcionalidad entre cargas y deformaciones en dicho perodo, resulta: n

Umx

=

i=1

Fci * Xi -----------2n

;

Ecmx

=

n 1 --- 2 i=1

Mi

*

Vimx^2

igualando: n

i=1

Fci * Xi -----------2 =

=

n 1 --- 2 i=1 n

Mi

*

Vimx^2

i=1

Fci * Xi

^2

i=1

Mi

*

Xi^2

haciendo = n (velocidad angular crtica lateral) Xi = Xin (deformacin crtica) y operando se obtiene:

n^2

=

( Fci * Xin ) ---------------------

( Mi * Xin^2 )

Dicha expresin resulta no resoluble por el desconocimiento de las variables Fci y Xin, sin embargo y como es condicin no sobrepasar el lmite elstico, Fci es a Xin como lo es el peso Wi de la masa correspondiente, a la deformacin esttica existente donde dicho peso existe y provocada por la accin esttica de los pesos de todos los volantes, luego:

k

=

Fci ----Xin

=

Wi --------

sti

Fci ---Wi

=

Xin ------

=

Cte

sti

Velocidad Crtica -- Pgina 14 de 18

( Fci * Xin )luego:

( Wi * Cte * sti * Cte )= ---------------------------------------

n^2 =

---------------------

( Mi * Xin^2 ) ( Wi * sti ) n^2= ----------------------= g

( Mi * sti^2 * Cte^2 ) ( Wi * sti )* ------------------------

( Mi * sti^2 )

( Wi * sti^2 )

La expresin anterior es llamada Expresin o Frmula de Rayleigh - Ritz y permite calcular la frecuencia natural de vibracin lateral para un rbol con n volantes, conociendo los pesos de los mismos y las deflexiones estticas que dichos pesos (actuando en conjunto) producen. En el caso de una nica masa, se tiene y con resultado idntico a lo ya tratado:

n^2 = g *

W * st ----------------W * st^2

g = -----

st

Siendo ni la velocidad angular crtica lateral que provocara cada volante si el mismo actuara independientemente, la velocidad angular crtica lateral que provocara el conjunto de los n volantes, conforme a Dunkerley, resulta ser:

1 ------

n

=

i=1

1 -------

n^2

ni^2

La velocidad angular crtica lateral que se calcula con las expresiones de Rayleigh - Ritz y de Dunkerley es la fundamental o ms baja del sistema; en general, el rbol presentar distintos modos de vibrar, tantos como masas existan, como se muestra en las Figuras 11, 12 y 13 siguiente pgina: VELOCIDADES de OPERACIN en la REGIN SUPERCRTICA Para equipos industriales, tales como compresores centrfugos, que operan por encima de la primer crtica, las normas establecen condiciones mnimas que deben reunir, para evitar efectos no deseables en la operacin de los mismos. Por ejemplo (ver Figura 14 subsiguiente pgina), el Instituto Americano del Petrleo (norma A.P.I. 617, 4ta. edicin, compresores centrfugos para servicios generales en refineras) establece:

c1factor de amplificacin permitido:

Af

=

------------2 -- 1

5

Velocidad Crtica -- Pgina 15 de 18

Figura 11 1er. modo

Figura 12 2do. modo

Figura 13 3er. modo

Velocidad Crtica -- Pgina 16 de 18

Valores del factor de amplificacin superiores a 8 constituyen un riesgo potencial. Un sistema bien amortiguado, posee curvas de respuesta redondeadas y no en picos con lo cual se logran operaciones adecuadas.

Amplitud Ac Ac1 0,707 * Ac1

15%

Rango Operacion

20%

c1

c2Ac2

Figura 14O

1

c1

2

c2

VELOCIDADES CRTICAS LATERALES Y TORSIONALESSea un tren rotativo, como el representado en la Figura 15 siguiente pgina, constituido por una mquina motora (rotativa) (turbina, motor elctrico,) identificada con Mm, accionando la misma y en tandem, un par de compresores, sopladores, bombas centrfugas, (tambin rotativas) identificadas con Mc. Resultan as, 3 (tres) rboles vinculados entre s y de a dos por un acoplamiento en cada vinculacin. Si se golpeara con una maza y lateralmente, uno de dichos rboles, ese rbol y por ser el mismo un elemento elstico, vibrar a su frecuencia natural de vibracin lateral, mientras que los restantes y si los acoplamientos resultan ser flexibles, mantendrn escasa o ninguna respuesta a consecuencia de que las excitaciones laterales que se produzcan, propias o provocadas, quedan aisladas por los acoplamientos, se reitera, si es que los mismos son flexibles. En cambio, si los acoplamientos resultan ser rgidos, dichas vibraciones laterales sern transmitidas, por transmitir los mismos, las deformaciones por flexin que se verifican entre los rboles que conectan. Resulta as que atendiendo a este concepto, resultan ms convenientes los acoplamientos flexibles que los rgidos. Surge entonces que las frecuencias naturales de vibracin laterales deben ser analizadas en cada uno de los rboles del tren o en conjunto, conforme sea / n l / los tipo/s de acoplamiento/s que s utilice/n (debe pensarse en que los acoplamientos pueden resultar ser o de baja o alta flexibilidad (alta o baja rigidez, respectivamente)); teniendo entonces el tren tantas frecuencias naturales de vibracin laterales (iguales o distintas) como rboles tenga el mismo, si los acoplamientos son absolutamente flexibles (imposible tal vez) o una nica si todos los acoplamientos son absolutamente rgidos (imposible tal vez, nuevamente).

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Podra darse (al menos matemticamente), que en el caso dibujado, uno de los acoplamientos sea flexible y el otro rgido o ambos de distinta rigidez / flexibilidad. El proyecto y / o verificacin de cada mquina en particular, exige el anlisis, en cuanto al tema se refiera, de su propio rbol, tomado este como una nica entidad.

AcoplamientosMaquina motora Maquina conducida 1 Maquina conducida 2

Mm

Mc1

Mc2

Bastidor - cojinetes Rotor motor

AcoplamientosRotor conducido 1

Figura 15Rotor conducido 2

Rm

Rc1

Rc2

Sin embargo, si uno de los rboles es sometido a torsin, los dems respondern, a causa de que los acoplamientos, cualquiera su tipo, si transmiten torsin. En este caso, corresponde entonces estudiar el fenmeno de la frecuencia natural de vibracin torsional de la cadena en su totalidad, como as tambin en cada una de las mquinas componentes, consideradas las mismas, una a una, como un ente particular. Si ahora, de algn modo, se golpeara reiteradamente al rbol (tomado el mismo desconectado o acoplado de manera absolutamente flexible a los dems) con la misma frecuencia que la natural del mismo, la amplitud de su vibracin crecer hasta un valor alto y constante, determinado por la energa del golpe, el tamao y geometra del rbol y la vinculacin (elasticidad y amortiguamiento) del mismo. Corresponde preguntarse si existe alguna forma ms efectiva de excitar el rbol a un rgimen rpido y uniforme, la respuesta es: rotndolo. Un desbalanceo y / o desalineacin de cualquier rbol, sin importar cuan cuidadosamente haya sido construido y montado, como as tambin de las masas a el acopladas, sirve muy bien para producir una excitacin si se considera la proyeccin de la rotacin del mismo sobre uno de los planos que contiene a su eje de rotacin, por cada revolucin que se verifica.

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Resulta as, que cuando se llega con la velocidad de rotacin a la frecuencia natural de vibracin lateral propia del rbol, nos encontramos con serios problemas. Cuando mayor sea el desbalanceo inherente o la velocidad de rotacin, mayor ser la excitacin y as tambin mayor ser la amplitud de las vibraciones observadas en los vnculos. Una mquina muy bien balanceada, normalmente no produce altos niveles de vibraciones, siendo difcil a veces, en el banco de pruebas, determinar su frecuencia natural de vibracin lateral. Sin embargo; agregando un contrapeso en un acoplamiento colocado ad - hoc, resulta muy fcil localizarla. Una mquina rotativa que se disea para operar a velocidades inferiores a la primera (hay varias) frecuencia natural de vibracin lateral, se la denomina subcrtica o de rbol rgido y aquella que opera por encima de dicha frecuencia y por debajo de la que le sigue en valor (segunda), es llamada supercrtica o de rbol flexible. Aquellas mquinas que con su velocidad de funcionamiento, superan su segunda frecuencia natural de vibracin, son consideradas de diseo pobre.