Vehículos Espaciales: Práctica 1

Vehículos Espaciales y Misiles - Grado Ingeniería Aeronáutica - UPV

Lucas Bernácer Soriano

ETSID - UPV

30/5/17

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a) Diseño de parámetros orbitales. Obtener a, e, Ω, i, ω. (2/10)

En un primer momento, debemos valorar todos aquellos datos de los cuales disponemos

antes de obtener los parámetros orbitales deseados. El enunciado nos ofrece tanto el periodo

orbital de nuestro satélite como la altura de perigeo con respecto a la superficie terrestre.

Quedarán definidos entonces como:

𝑻 = 𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎 𝑠

𝒉 = 𝟕, 𝟐𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝐾𝑚

El siguiente paso será definir tanto el semieje menor de nuestra órbita elíptica, como la

excentricidad que ésta tendrá. A partir de la geometría y de las relaciones obtenidas de la tercera

ley de Kepler, somos capaces de calcular dichos parámetros:

𝒂 = √𝑇2 ∗ 𝜇

(2𝜋)2

3

= 𝟐, 𝟎𝟑𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝐾𝑚

𝒆 =𝑎 − ℎ − 𝑅

𝑎= 𝟎, 𝟓𝟖𝟕

A continuación, deberemos establecer aquellos giros necesarios para alinear sendos

sistemas de referencia que vamos a utilizar. Para ello, a través de la figura 1 comentaremos la

naturaleza de dichas rotaciones.

Partimos entonces de una situación en la cual los sistemas de referencia ECI y ECEF se

encuentran alineados, hecho que facilitará nuestros cálculos. Primeramente, debemos alinear

la línea de nodos con el sistema ECI, para ello será necesario un giro respecto al eje “z1” de valor

omega. El valor de omega puede ser determinado, ya que, conocida la longitud del punto de

estudio (VLC) y el hecho de que la línea de nodos es perpendicular a ésta, omega será obtenido

por relaciones de ángulos. Representaremos como resultado el sistema x2 e y2.

Seguidamente, procederemos a la alineación del ángulo de ambos planos. El giro se

realizará respecto a x2 y modificará la inclinación tanto de y2 como de z1. El valor de la rotación

corresponderá con la latitud del punto característico sobre el cual orbitará nuestro satélite.

Por último, deberemos

establecer la colinealidad entre la

línea que une el origen con el

perigeo de la órbita, y nuestro eje

x2. Realizaremos un último giro

de valor 270 grados respecto a z2

para finalmente obtener x3 e y3.

Quedan resumidos los ángulos:

𝛀 = 𝐋𝐨𝐧 − 𝟗𝟎º

𝐢 = 𝐋𝐚𝐭

𝐰 = 𝟐𝟕𝟎º

Figura 1: Representación en plano XY de las rotaciones realizadas

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b) Obtener velocidades en perigeo y apogeo, velocidad de áreas, momento cinético. ¿En qué posición se encontrará 1h después de pasar por el apogeo? ¿Qué anomalías (verdadera, excéntrica y media) le corresponden? (3/10)

La obtención de las velocidades en el perigeo y apogeo puede realizarse de dos maneras

diferentes. Atendiendo a la definición, la cual establece que la velocidad en estos puntos será

igual al momento cinético dividido por el radio en dichas posiciones, podemos obtener las

distancias de interés directamente a través de los parámetros de la elipse o utilizar el desarrollo

de las anomalías.

Dado que posteriormente se nos cuestiona por determinar las anomalías una hora

después de pasar por el apogeo, comentaremos como hemos obtenido dichas anomalías en

toda la órbita para luego representar las buscadas.

Estos valores han sido calculados a través de la implementación del método numérico

Newton-Rapshon y la ecuación de Kepler. En un primer momento, deberemos obtener el valor

de la anomalía media en cada punto de la órbita y para el intervalo de evaluación deseado. Con

dicho fin, estableceremos el origen de tiempo en la mitad del periodo orbital de nuestro satélite,

ya que, el enunciado establece que nuestro inicio de tiempos es en el apogeo, y recurriremos a

la siguiente fórmula:

𝑴 =2 ∗ 𝜋

𝑇𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑖𝑡𝑒∗ (𝑡 +

𝑇𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑖𝑡𝑒2

)

La ecuación será evaluada en un bucle para cada instante de tiempo en el que dividamos

los cálculos, obteniendo distintos valores de la anomalía dependiendo del punto de la órbita en

el cual nos encontremos. A continuación, definiremos el esquema del método numérico a través

del cual calcularemos la anomalía excéntrica:

𝑬𝒏+𝟏 = 𝐸𝑛 −(−𝑒 ∗ sin(𝐸𝑛)) − 𝑀

1 − 𝑒 ∗ cos (𝐸𝑛)

Destacamos que en este caso hemos definido un error entre iteraciones de diez elevado

a menos seis. Consideramos que se encuentra dentro de una tolerancia admisible para este tipo

de cálculos. Una vez hemos calculado el valor, buscaremos su relación con la anomalía verdadera

y con el radio que describe el satélite en la órbita.

𝒇 = 2 ∗ tan−1( √1 + 𝑒

1 − 𝑒∗ tan

𝐸

2 )

𝒓 = cos(𝑓) ∗ (ℎ2

1 + 𝐴 ∗ ℎ2)

Deberemos tener en cuenta que las operaciones han sido realizadas en radianes, por

ello, emplearemos una conversión a grados en caso de querer visualizar las anomalías en dichas

unidades.

Del mismo modo, el programa implementado en matlab realiza el cálculo de todos los

parámetros citados anteriormente a lo largo del tiempo que sea introducido, con la posibilidad

de definir un cierto paso temporal. Así pues, ha sido introducida una condición que nos permite

escoger la hora a la que queremos visualizar los resultados.

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Para el caso de las velocidades en el perigeo y apogeo, estaremos interesados en usar

tanto el valor máximo como el mínimo del vector r que previamente hemos definido. Usando la

definición de momento cinético y las relaciones previas, llegamos a los siguientes valores:

𝒉 = √𝑎 ∗ (1 − 𝑒2) ∗ 𝑢 = 𝟕𝟐𝟖𝟎𝟗, 𝟗𝟏𝟔 𝑘𝑚2/𝑠

𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒈𝒆𝒐 = ℎ

𝑟𝑝𝑒𝑟𝑖𝑔𝑒𝑜= 𝟖, 𝟔𝟗 𝑘𝑚/𝑠

𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒂𝒑𝒐𝒈𝒆𝒐 = ℎ

𝑟𝑎𝑝𝑜𝑔𝑒𝑜= 𝟐, 𝟐𝟔 𝑘𝑚/𝑠

Atendiendo a la ecuación de conservación de la energía, en ambos puntos obtenemos el mismo valor, asegurando que dicha condición se ha mantenido a lo largo de la órbita.

A continuación, obtendremos la velocidad areolar. Desarrollando la segunda ley de Kepler llegamos a la siguiente expresión de la cual obtendremos el valor constante de dicho parámetro:

𝒅𝑨

𝒅𝒕= 𝑐𝑡𝑒 =

ℎ

2= 𝟑𝟔𝟒𝟎𝟒, 𝟗𝟓𝟖 𝑘𝑚2/𝑠

Finalmente, únicamente nos quedará por calcular las anomalías una hora después de

haber pasado el punto de apogeo. Dado que ya disponemos del valor de todas ellas a lo largo

de la órbita, buscaremos las correspondientes al tiempo requerido:

- La anomalía excéntrica (E) para t=1 horas es 208,79 grados

- La anomalía verdadera (f) para t=1 horas es 194,91 grados

- La anomalía media (M) para t=1 horas es 225 grados

En la figura 2 ha sido representada la

posición del satélite una hora después de

pasar el apogeo.

Sin embargo, y debido a que

gráficamente no disponemos de tanta

precisión, el ángulo mostrado en la figura por

la anomalía media debería ser mayor que el

representado por la anomalía excéntrica.

Coincidiendo así con los resultados obtenidos

previamente.

A pesar de ello, queda reflejado de una

forma aproximada cual sería la relación entre

los tres parámetros.

Los cálculos representados a lo largo del ejercicio han sido almacenados y se puede

acceder a ellos a través del fichero: “Pregunta_2_3_LucasBernacer.m”

Figura 2: Esquema de las anomalías tras una hora

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c) Desarrollar expresiones para determinar si existe cobertura o eclipse. Mediante un programa en MATLAB, exponer mediante un gráfico representativo la existencia de cobertura y estimar la duración típica de un eclipse y el porcentaje medio de eclipses a lo largo de un año. (5/10)

Este ejercicio guarda relación con el apartado anterior, por ello, partiremos de los

valores previamente calculados. Además, dado que se nos pide calcular tanto la cobertura como

la duración típica y porcentaje medio de eclipses, dividiremos el ejercicio en dos apartados.

c1) Cálculo de la cobertura:

Con la finalidad de calcular la cobertura del satélite, lo primero que tendremos que hacer

será representar tanto el punto de interés (VLC) como el satélite en el mismo sistema de

referencia.

Para el caso del satélite, será necesario recurrir a las tres rotaciones definidas en el

primer ejercicio. Trasladaremos nuestro vector distancia entre la tierra y el satélite desde el

plano orbital hasta el sistema de referencia ECI. Dado que trabajamos con ejes móviles,

realizaremos la premultiplicación de los tres giros citados anteriormente.

𝑹𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝑙−𝐸𝐶𝐼 = 𝑅𝑧(𝒘) ∗ 𝑅𝑥(𝒊) ∗ 𝑅𝑧(𝛀)

𝒓𝐸𝐶𝐼 = 𝑹𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝑙−𝐸𝐶𝐼 ∗ 𝒓𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝑙

Una vez hemos realizado dichas operaciones, obtendremos el vector r representado en

el sistema de referencia ECI con sus tres componentes (x,y,z). Por el contrario, para calcular la

representación de VLC recurriremos a las siguientes fórmulas, teniendo en cuenta que en cada

instante evaluado su posición será cambiante hasta su completa rotación:

𝒙𝑉𝐿𝐶 = 𝐜𝐨𝐬(𝒍𝒂𝒕𝒊𝒕𝒖𝒅) ∗ 𝐜𝐨𝐬(𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 + 𝒕 ∗ 𝑾)

𝒚𝑉𝐿𝐶 = 𝐜𝐨𝐬(𝒍𝒂𝒕𝒊𝒕𝒖𝒅) ∗ 𝐬𝐢𝐧(𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 + 𝒕 ∗ 𝑾)

𝒛𝑉𝐿𝐶 = 𝐬𝐢𝐧(𝒍𝒂𝒕𝒊𝒕𝒖𝒅)

La posición de VLC será calculada para cada paso temporal, añadiendo su

correspondiente variación con el tiempo en dependencia de la velocidad angular de la tierra.

Con la finalidad de comprobar la localización de dichos puntos, ha sido realizado un

gráfico interactivo en matlab donde podemos observar la posición tanto del punto de interés

(VLC) como del satélite a medida que avanzamos en tiempo. El video grabado ha sido guardado

y nombrado como: “CoberturaSatelite”

A continuación, calcularemos la existencia de cobertura o no entre el satélite y VLC. Para

ello, utilizaremos la proyección de dos vectores. Aquel que une el punto de interés con el satélite

(vector línea de vista), y el normal a la superficie terrestre a través de VLC.

Mediante el producto escalar seremos capaces de obtener el ángulo que ambos

mantienen, significando que si dicho ángulo es mayor de 90 grados no existirá visión entre las

dos localizaciones.

𝜷 = acos (𝑢. 𝑣

|𝑢| ∗ |𝑣|)

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Cabe aclarar que dependiendo del paso temporal que establezcamos obtendremos una

mejor o peor precisión en el cálculo de la cobertura. Del mismo modo, evaluaremos los puntos

a lo largo de 24 horas, ya que, es el tiempo que tarda el punto de interés en volver a su posición

de origen. De forma que para un paso temporal de 0,001 horas (3,6 segundos), el valor de la

cobertura será del 29,013%.

Todos los cálculos y gráficos pertenecientes a este apartado se encuentran en la carpeta

entregada y en el mismo fichero que el ejercicio anterior: “Pregunta_2_3_LucasBernacer.m”

c2) Cálculo del eclipse:

El esquema a utilizar para calcular los eclipses será similar al de apartados anteriores.

Llegados a este punto, ya disponemos de la implementación de la posición del satélite con

respecto a la tierra, por ello, únicamente debemos añadir la influencia del sol en nuestro

sistema.

Una de las primeras cosas que deberemos hacer para trabajar en el sistema sol-tierra

será definir las efemérides de la tierra, recurrimos entonces a las formulas aportadas en el

anexo. Cabe destacar que debemos ser consistentes con las unidades que vamos a emplear a lo

largo de todo el proceso.

El primer aspecto que resaltamos es el cálculo de los siglos julianos transcurridos desde JD2000. Será necesario añadir el número de días transcurridos hasta la fecha actual más aquellos que añadiremos en la simulación a realizar. En mi caso particular, he decidido establecer el origen en el 1 de Enero de 2017, donde la variable t será el paso temporal aplicado en cada iteración.

𝑻 =17 ∗ 365 + 𝑡/24

36525

Tras definir esta variable, podemos implementar el resto de parámetros que dependerán de ella y que modificarán su valor a medida que avancemos en el tiempo.

𝐞 = 0,01670862 − T ∗ 0,00004204

𝛚 = 102,937348 + T ∗ (1.719539 + T ∗ 0,000460 deg

𝐋 = 100,466449 + T ∗ (36000.769823 + T ∗ 0,000304) deg

A continuación, procederemos a la obtención de las anomalías que definirán la posición de la tierra con respecto al sol. El método a emplear será el mismo que en el apartado anterior, sin embargo, el valor de las anomalías estará sujeto al cambio en el paso temporal.

A partir de la ecuación que nos ofrece el valor de la anomalía media, calcularemos tanto

la anomalía verdadera como la excéntrica, para finalmente llegar al valor del radio.

𝑴𝒔 = 𝐿 − ω

Las dos variables de la formula anterior serán convertidas a radianes para ser consistentes con las unidades empleadas. Además, con la finalidad de hacer una distinción al trabajar en distintas sistemas de referencia, nombraremos a las variables características del plano sol-tierra con un subíndice s.

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𝑬𝒔𝒏+𝟏 = 𝐸𝑠𝑛 −(−𝑒 ∗ sin(𝐸𝑠𝑛)) − 𝑀𝑠

1 − 𝑒 ∗ cos (𝐸𝑠𝑛)

𝒇𝒔 = 2 ∗ tan−1( √1 + 𝑒𝑠

1 − 𝑒𝑠∗ tan

𝐸𝑠

2 )

𝒓𝒔 = cos(𝑓𝑠) ∗ (ℎ𝑠2

1 + 𝐴𝑠 ∗ ℎ𝑠2)

Llegados a este punto, habremos calculado el vector de unión entre el sol y la tierra, así

pues, también podríamos haber estado interesados en calcular el inverso de éste (tierra-sol) donde solo habría sido necesario añadir un giro de pi radianes a la anomalía verdadera en el cálculo de rs. Para futuras operaciones, he decidido utilizar este segundo vector.

Seguidamente, procederemos a la representación del vector rs en el sistema de

coordenadas ECI para que nos sea más fácil tratar el cálculo de eclipses. Emplearemos una matriz de rotación con la finalidad de alinear el plano de la eclíptica con el plano terrestre. Por ello, realizaremos un giro de valor i = 23,44 grados alrededor del eje x obteniendo finalmente el vector tierra-sol en el sistema de referencia ECI.

Una vez tenemos todos los datos necesarios, procederemos a establecer aquellas

condiciones que nos determinarán cuando se produce un eclipse. A través de los vectores que unen tierra-sol y tierra-satélite, fijamos ciertas condiciones en relación a sus ángulos que definirán la aparición de eclipse.

Primeramente calculamos el ángulo entre el centro de la tierra y la localización del satélite (semidiámetro de la tierra):

𝜽𝒕 = 𝑎𝑠𝑖𝑛(𝑅/𝑟)

A continuación, establecemos el ángulo entre el centro del sol y el satélite (semidiámetro del sol):

𝜽𝒔 = 𝑎𝑠𝑖𝑛(𝑅𝑠/𝑟𝑠)

Estos ángulos serán equivalentes a la proyección de los semidiámetros, tanto de la tierra como del sol. Por último, también nos será necesario el ángulo entre el centro de la tierra y el sol:

𝜽𝒕𝒔 = 𝑎𝑐𝑜𝑠(𝑟𝑠. 𝑟

|𝑟𝑠||𝑟|)

Una vez tenemos todas las relaciones de ángulos, las condiciones que deben cumplirse

para que tenga lugar un eclipse serán que el semidiámetro de la tierra tiene que ser más grande que el semidiámetro del sol, y además, que el ángulo entre ambos tiene que ser menor que la diferencia entre sus centros. Con estas condiciones, el satélite se encontraría en posición de eclipse (umbra).

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A partir de la figura 3, definimos el ángulo mantenido entre el vector que une la tierra y el satélite con aquel vector que une el satélite y el sol. Además, podemos observar tanto la zona de umbra como de penumbra que se generará durante la trayectoria de la tierra alrededor del sol. Aclaramos que nuestro programa únicamente tratará como umbra la región encerrada por la superficie cónica más pequeña. No siendo tratada la zona de penumbra porque consideramos que al satélite aún le llega cierta luz solar.

Del mismo modo, utilizamos la figura 4 para establecer aquella condición que supondrá una localización de eclipse (umbra) en el satélite. Si el semidiámetro de la tierra (𝜃𝑡) es mayor que el semidiámetro del sol (𝜃𝑠), y el ángulo entre el centro de la tierra y el sol es menor que la resta de ambos, tendremos eclipse:

𝜽𝒕 > 𝜽𝒔

𝜽𝒕𝒔 < 𝜽𝒕 − 𝜽𝒔

Tras realizar la simulación y evaluando cada posición con un paso temporal de 1 minuto, obtenemos los gráficos pertenecientes al número de minutos en eclipse por día y el porcentaje de eclipses por año. Además, ha sido posible calcular el tiempo medio de duración de eclipse, el cual corresponde a aproximadamente 27,91 minutos.

Figura 3: Representación del ángulo satélite-tierra-sol y de las zonas umbra-penumbra

Figura 4: Situación de eclipse (umbra) en el satélite

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En la siguiente figura podemos observar la distribución de eclipses a lo largo de un año. El programa ha sido únicamente evaluado en dicho intervalo temporal. A pesar de ello, al incrementar del número de años los datos obtenidos cambiarían ligeramente pero sin alcanzar una variación demasiado significativa.

Podemos ver como el período de eclipses se encuentra distribuido en dos temporadas,

siendo la segunda de ellas aquella que presenta un mayor número de minutos de eclipse por día. Del mismo modo, en caso de haber variado el origen del año Juliano al día actual, la gráfica quedaría desplazada. Sin embargo, los valores obtenidos serían los mismos.

También observamos cómo durante una gran cantidad de días el satélite no

experimenta ningún eclipse, lo cual queda patente al calcular el porcentaje de tiempo que pasa en situación de eclipse, siendo este valor un 3,39% del año.

Los cálculos pertenecientes a este apartado se encuentran en el fichero nombrado

como: “Pregunta_2_3_Eclipse_LucasBernacer.m”

Figura 5: Gráfico representativo de los minutos de eclipse a lo largo de un año

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