VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

2

Variável aleatória

Ω é o espaço amostral de um experimento aleatório. Uma variávelaleatória, X, é uma função que atribui um número real a cada resultadoem Ω.

Exemplo. Retira-se, ao acaso, um item produzido de um lote de seis unidades.Variáveis:

X: Número de defeitos no item selecionado.

Y: Tempo de vida do item (em h).

3

O espaço amostral associado a este experimento aleatório é

.,,, 621 aaa L=Ω

Os possíveis valores da variável X são 0,1,2,..., e os possíveis valoresda variável Y são os números reais não negativos.

Classificação:

•Variáveis aleatórias discretas. O conjunto de possíveis valores é finitoou infinito enumerável.

•Variáveis aleatórias contínuas. O conjunto de possíveis valores éinfinito não enumerável (um intervalo, por exemplo).

No exemplo acima, X é discreta e Y é contínua.

4

Variáveis aleatórias discretas (VAD)

Exemplo. Um lote de um certo produto é formado por 35 itens, sendo21 itens do tipo H e 14 do tipo M. Uma amostra de 3 itens será formadasorteando-se, sem reposição, três itens do lote. Qual a probabilidadede encontrarmos na amostra pelo menos dois itens do tipo M?

X é uma VAD com possíveis valores no conjunto RX. Uma função f(x) é uma função de probabilidade se

∑∈

=

∈==≤≤

Xi Rxi

iii

i

xf

xxfxX

xf

.1)( (iii)

e R ),()(P (ii)

,1)(0 (i)

X

Definimos X como o número de itens do tipo M na amostra.

5

Espaço amostral Probabilidade X HHH 203,0

33

19

34

20

35

21 =×× 0

HHM 150,033

14

34

20

35

21 =×× 1

HMH 150,033

20

34

14

35

21 =×× 1

MHH 150,033

20

34

21

35

14 =×× 1

HMM 097,033

13

34

14

35

21 =×× 2

MHM 097,033

20

34

21

35

14 =×× 2

MMH 097,033

21

34

13

35

14 =×× 2

MMM 056,033

12

34

13

35

14 =×× 3

x 0 1 2 3 P(X=x) 0,203 0,450 0,291 0,056

0,347.0,0560,2913P2P2)P(X Assim, =+==+==≥ )(X)(X

6

Exemplo. A demanda diária de um item é uma variável aleatória discretacom a função de probabilidade

.4 ,3 ,2 ,1;!

2)(P === d

d

CdD

d

(a) Determinar a constante C.

(b) Calcular P(D ≥ 2).

Solução. (a) Para que P(D = d) seja uma função de probabilidade,devemos ter (i) C > 0 e(ii) P(D = 1) + P(D = 2) + P(D = 3) + P(D = 4) = 1. Ou seja,

.6

11

!4

2

!3

2

!2

2

1

21)(P

432

=⇒=

+++⇒==∑

∈

CCdDDRd

.3

2

6

4

6

21)1(P1)2(P1)2(P)(

.4,3,2,1;!6

2)(P Logo,

==−==−=<−=≥

===

DDDb

dd

dDd

7

Função de distribuição acumulada de uma VAD

Função de distribuição acumulada (FDA) X é uma VAD com valores em RX = x1,x2,... e função de probabilidade f(x) = P(X =x). Para qualquer x, a FDA de X, denotada por F(x), é definida como

.que em ,)(P)()(P)( Xixx

ixx

i RxxXxfxXxFii

∈===≤= ∑∑≤≤

Exemplo. Uma variável aleatória X tem função de probabilidade

,

c.c.,0

3,2se,15/7

,1se,15/1

)(P)(

==

=== x

x

xXxf

Determinar F(x).

8

∑

∑

∑

∑

∑

∑

≤

≤

≤

≤

≤

≤

==+=+====≤=≥

=++=

=+=+====≤==

==+====≤=<≤

=+==+====≤==

=====≤=<≤

======≤==

=≤=<

xxi

xi

xxi

xi

xxi

xi

i

i

i

i

i

i

XXXxXxXxFx

XXXxXXFx

XXxXxXxFx

XXxXXFxSe

XxXxXxFx

fXxXXFx

xXxFx

.1)3(P)2(P)1(P)(P)(P)(,3Se

.115

7

15

7

15

1

)3(P)2(P)1(P)(P)3(P)3(,3Se

.15

8)2(P)1(P)(P)(P)(,32Se

.15

8

15

7

15

1)2(P)1(P)(P)2(P)2(,2

.15

1)1(P)(P)(P)(,21Se

.15

1)1()1(P)(P)1(P)1(,1Se

.0)(P)(,1Se

3

2

1

9

.R de elementos são eque sendo

)()(então ),[ se geral, Em

).2()(então),3,2[se

);1()(então),2,1[ Se

x1

1

+

+ =∈=∈=∈

ll

lll

xx

xFxFxxx

FxFx

FxFx

Observação.

Logo, a FDA é dada por

≥<≤<≤

<

=

.3se,1

,32se,15/8

,21se,15/1

,1se,0

)(

x

x

x

x

xF

10

X é uma VAD 1. Para todo x, 0≤ F(x) ≤ 1. 2. F(x) é uma função monótona não decrescente.

3. 1)(lim0)(lim ==+∞→−∞→

xFexFxx

4. Se RX = x1, x2,......, em que x1<x2<..., então f(xi) = P(X = xi) = F(xi) - F(xi-1). 5. Se a e b são tais que a<b, então

).(P)()()(P)(

e )(P)()()(P)(

),()()(P)(

),(P1)(P)(

),()(P)(

bXaFbFbXav

aXaFbFbXaiv

aFbFbXaiii

aXaXii

aFaXi

=−−=<<=+−=≤≤

−=≤<<−=≥

=≤

Propriedades da função de distribuição acumulada

11

Exemplo. A variável aleatória X tem função de distribuição acumulada

≥<≤<≤<≤

<

=

.3

,32

se

se

,1

,8/5,21se,2/1

,10se,8/1

,0se,0

)(

x

xx

x

x

xF

Determinar

==

===

====<=≥

=−=−=≤<

≥≤<

c.c.,0

,3 ,1se,8/3

,2 ,0se,8/1

)(P)(

é X de adeprobabilid de função a quemostrar se-pode

FDA, da 4 epropriedad Pela.3,2,1,0 que se-FDA tem Da (c)

1/2.1/2-1F(1)-12)P(X-12)P(X :FDA da 5(i) ePropriedad)(

.2/12/11)1()3()31(P (a)

:FDA da 5(iii) epropriedad a Usando

).()( e )2(P)( ),31(P)(

x

x

xXxf

R

b

FFX

xfcXbXa

X

12

Exem

plos

3.0

3.5

4.0

4.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x

F(x)

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x

F(x)

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x

F(x)

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x

F(x)

13

Variáveis aleatórias contínuas (VAC)

Função densidade de probabilidade

Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade de umaVAC X se

∫

∫

=≤≤=≤≤=

=

≥∞

∞−b

a

dxxfbXaAbxaxA

dxxf

xxf

.)()(P)(Pentão ,; Se.3

.1)(.2

. todopara ,0)(.1

Exemplo. O tempo de produção de um componente (em minutos) é uma variávelaleatória X com função densidade

≤≤−

=contrário.caso,0

,42se,4

5)( x

xxf

Verificar se f(x) é uma função densidade de probabilidade e calcular a probabilidadeque o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso seja menor do que 3minutos.

14

Primeiro notamos que f(x) ≥ 0, para todo x.Falta verificar a condição (2), ou seja a áreasob o gráfico de f(x) deve ser igual a 1.

.1)2

5(4

1

4

50

4

50)(

4

2

22 4

2 4

4

2

=−=−=+−+==∞−

∞∞

∞−∫ ∫ ∫ ∫∫

x

xxdx

xdxdx

xdxdxxf

A probabilidade de que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acasoseja menor do que 3 minutos é a probabilidade do evento A = x; x < 3, ou seja,

.8

5)

25(

4

1)5(

4

10)()3(P)(P

3

2

23 2 3

2

=−=−+==<= ∫ ∫ ∫∞− ∞−

xxdxxdxdxxfXA

15

Observação. Se X é uma VAC, então

. todo para),(P)(P (iii)

, com e todospara ),(P

)(P)(P)(P (ii)

,todo para,0)(P (i)

aaXaX

bababXa

bXabXabXa

xxX

<=≤<≤<=

≤≤=<≤=<<==

Função de distribuição acumulada. X é uma VAC com função densidadef(x). A função de distribuição acumulada (FDA) de X é

. todopara ,)()()( ∫∞−

=≤=x

xdttfxXPxF

Exemplo. Uma variável aleatória X tem função densidade

≤≤−

=contrário.caso,0

,42se,4

5)( x

xxf Determinar F(x).

Obs. Se X é um tempo de vida, utilizamos a função de confiabilidade(reliability function): R(x) = P (X > x) = 1 – F(x).

16

( )

.1)()(

,4 Se

.8

)5(9

8

5

4

50

4,x2Se

.0logo, ;0)( ,2 Se

0

x

4

1

4

2

0

2x

-

2

2

22

2

x

-

=++==

≥

−−=−−=−+==

<≤==<

∫∫∫∫

∫ ∫∫

∞−∞

∞−∞

3214342143421

f(t)dtdttfdttff(t)dtF(x)

x

xtdt

tdtf(t)dtF(x)

F(x)xfx

xx

≥

<≤−−<

=

.4se,1

,42se8

)5(9,2se,0

)(2

x

xx

x

xF

Logo, a FDA de X é

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xF

(x)

17

Observação.

A FDA de X permite o cálculo de probabilidades de eventos da forma

E = x; a ≤ x ≤b, com a ≤ b. Isto é,

P(E) = F(b) – F(a).

Exemplo. Considere a FDA abaixo. Obtenha P(X ≤3) e P(3 ≤X < 5).

,

.4se,1

42se,8

)5(9,2se,0

)(2

≥

≤≤−−<

=

x

xx

x

xF

.8

3

8

51)3()5()53(P

e 8

5

8

)35(9)3()3(P

2

=−=−=<≤

=−−==≤

FFX

FX

Solução.

18

Propriedades

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1, para todo x.

2. F(x) é uma função monótona não decrescente.

3. F(x) é uma função contínua para todo x.

.1)(lim)(lime0)(lim)(lim .4 ∫∫∞−

∞→∞→∞−

−∞→−∞→====

x

xx

x

xxdttfxFdttfxF

).(xFdx

df(x) =

5. Do teorema fundamental do cálculo obtemos

Exemplo. Suponha que o tempo de vida de um processador é uma variável aleatóriaX com

<≥−=

−

.0 se,0

,0 se,1)(2

x

xkexF

x

Determinar (a) o valor de k, (b) P(X ≥ 2), P(2 ≤ X ≤ 4) e P(X ≤ -1) e (c) f(x).

19

Solução. (a) Propriedade 3 de F(x): F(0) = 0.

≥−==⇒=−−

−

c.c.,0

,0se,1 Logo, .10120 xeF(x)kke

x

.0)1()1(P

.233,0)1()1()2()4()42(P

.368,0)1(1)2(P1)2(P)(2112

11

=−=−≤=−=−−−=−=<≤

==−−=<−=≥−−−−

−−

FX

eeeeFFX

eeXXb

0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xF

(x)

e R

(x)

F(x)

R(x)

≥==

−

c.c.,0

,0 se,2

1)()(

: de 5 ePropriedad )(

2 xexFdx

dxf

F(x)cx

20

Valor esperado e variância

Valor esperado de uma variável aleatória. X é uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade f(x). O valor esperado (ou esperança matemática ou média da variável aleatória), denotado por E(X) = µX é definido como

,)()(

:contínua aleatória variáveluma é X .2

e )()(

:discreta aleatória variáveluma é X 1.

∫

∑

∞

∞−

∈

=

=

dxxxfXE

xxfXEXRx

supondo que o somatório e a integral existem.

21

Valor esperado de uma função de variável aleatória

Y = h(X), sendo h uma função de X.

O valor esperado de h(X) é dado por

.)()()(

:contínua aleatória variáveluma é X .2

e )()()(

:discreta aleatória variáveluma é X 1.

∫

∑

∞

∞−

∈

=

=

dxxfxhYE

xfxhYEXRx

22

Variância de uma variável aleatória. X é uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade f(x) e com média E(X) = µX. A variância de X, denotada por 2)(

XXVar σ= é definida como o valor

esperado de (X - µX)2.

.)()()(

:contínua aleatória variáveluma é X .2

e )()()(

:discreta aleatória variáveluma é X 1.

2

2

∫

∑

∞

∞−

∈

−=

−=

dxxfxXVar

xfxXVarXRx

µ

µ

Desvio padrão. É a raiz quadrada da variância:

.)()( XVarXDP X == σ

23

Solução. Gráfico de f(x).

Exemplo. Suponha que a demanda diária de uma peça é uma variávelaleatória discreta com função de probabilidade

====

.c.c,0

,4 ,3 ,2 ,1,!6

2)()( x

xxXPxf

x

Determinar (a) a demanda esperada e (b) o desvio padrão da demanda.

x

P(X

= x

)

1 2 3 4

0.15

0.20

0.25

0.30

24

.99,081

80)(

,81

80

!46

2)

9

194(

!36

2)

9

193(

!26

2)

9

192(

6

2)

9

191(

)()()( )(

42

32

222

2

≅==

=×

×−+×

×−+×

×−+×−=

=−= ∑∈

X

Rx

XDP

xfxXVarbX

σ

µ

Solução. (a) Pela definição de valor esperado, temos

.1,29

19

!46

24

!36

23

!26

22

6

21)()(

432

≅=×

×+×

×+×

×+×== ∑∈ XRx

xxfXE

x

P(X

= x

)

1 2 3 4

0.15

0.20

0.25

0.30

Gráfico de f(x) com µ – σ, µe µ + σ.

25

Moda, mediana e média (VAC)

x

f(x)

Mod

a

Med

iana

Mé

dia

x

f(x)

Mé

dia

Med

iana

Mod

a

Assimetria à direita:

Moda < Mediana < Média

Assimetria à esquerda:

Moda > Mediana > Média

Simetria: Mediana = Média (se existir).

26

Variáveis aleatórias independentes

X e Y são duas variáveis aleatórias. Dizemos que X e Y sãoindependentes se, e somente se,

. e todospara ),(P)(P))()((P yxyYxXyYxX =×===∩=

Em particular, se X e Y são duas variáveis aleatórias discretas, X e Ysão independentes se, e somente se,

, e todospara ),()(

))(P)(P))()((P

yxyFxF

yYxXyYxX

YX ×=≤×≤=≤∩≤

sendo que FX e FY são as FDA’s de X e Y.

27

).()()()(X

então tes,independen variáveis são ,,Se.9

).()(Y)X(

então tes,independen aleatórias variáveissão e Se.8

).()(.7

.0)(.6

2121

1

22

2

nn

n

XVarXVarXVarXXVar

nXX

YVarbXVarabaVar

YX

XVaraaXVar

aVar

+++=++

+=±

==

LL

L

Propriedades do valor esperado e da variância

X e Y são duas variáveis aleatórias e a e b dois números reais.

( ).)()(.5

).()(.4

.)()(.3

).()(.2

.)(.1

22 µX

XEXVar

YbEXaEbYaXE

bXaEbaXE

XaEaXE

aaE

−=

±=±±=±

==

28

Exemplo. O total de vendas diárias de um empresa que comercializaequipamentos eletrônicos (em dezenas de milhares de R$) é uma variávelaleatória com função densidade

≤<−

≤≤−

=

c.c.,0

,64se,6

6

,42se,3

2

)( xx

xx

xf X

(a) Para um certo dia, determine a probabilidade de que as vendas daempresa sejam maiores do que R$ 22.000,00, mas não ultrapassemR$ 45.000,00.

(b) A média e o desvio padrão das vendas diárias.(c) Se o lucro diário é dado pela função Y = 0,2X - 0,5, calcule a média e

o desvio padrão do lucro diário.

29

Solução. Denotamos as vendas diárias (em dezenas de milhares de R$)por X.

Gráfico de f(x):

.806,02

66

12

23

1

6

6

3

2)()5,42,2(P)(P

5,4

4

24

2,2

2

5,4

2,2

5,4

4

4

2,2

=

−+

−=

−+−==≤<= ∫ ∫∫

xxx

x

dxx

dxx

dxxfXA

(a) Definimos A = 2,2 < X ≤ 4,5 e calculamos

0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

V e n d a s (1 0 4 R $ )

Den

sida

de

30

.89,149

134

6

6

3

2)()( e

78,39

34

6

6

3

2)()(

6

4

24

2

222

6

4

4

2

≅=

−+

−==

≅=

−+

−==

∫∫∫

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

dxx

xdxx

xdxxfxXE

dxx

xdxx

xdxxxfXE

(b) Iniciamos calculando

Logo,

.786,081/50)( e

81/50

9

34

9

134)()(

2222

≅==

=

−=−==

XVar

XEXVar

X

XX

σ

µσ

(c) Definimos Y = 0,2X – 0,5. Das propriedades do valor esperado e da variânciaobtemos E(Y) = E(0,2X – 0,5) = 0,2 E(X) – 0,5 = 0,2 × 34/9 –0,5 ≅ 0,256,

.157,0)(

)81/50(2,0)(2,0)5,02,0()( 22

≅=⇒

×==−=

YVar

XVarXVarYVar

Yσ