Variabili aleatorie discreteold · variabili aleatorie discrete e campioni casuali. ... generatori...
of 14
/14
Embed Size (px)
Transcript of Variabili aleatorie discreteold · variabili aleatorie discrete e campioni casuali. ... generatori...
03/05/2012
1
Variabili aleatorie
discrete
In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni
possibile risultato di un esperimento. Tale assegnamento viene chia-
mato variabile aleatoria o casuale (random variable).
0 1 2 3
( )X ωT T T
TT
T T
TT
T
T
T
C
C
C
CC
CC
CC
C C C
1ω
2ω
3ω
4ω
5ω
6ω
7ω
8ω
03/05/2012
2
In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni
possibile risultato di un esperimento. Tale assegnamento viene chia-
mato variabile aleatoria o casuale (random variable).
S ( )X ω
3
2
2
2
1
1
1
0
{ }( )1
1
8P ω =
{ }( )2
1
8P ω =
{ }( )3
1
8P ω =
{ }( )4
1
8P ω =
{ }( )5
1
8P ω =
{ }( )6
1
8P ω =
{ }( )7
1
8P ω =
{ }( )8
1
8P ω =
( )2 ?P X = =
T T T
TT
T T
TT
T
T
T
C
C
C
CC
CC
CC
C C C
1ω
2ω
3ω
4ω
5ω
6ω
7ω
8ω
( )2 ?P X = =
( ) { }2 X = = TT T T TTC C C, ,
( )2P X P= = { } TT T T TTC C C, ,
3
8=
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
Massa di probabilità
03/05/2012
3
LANCIO
DI
DUE
DADI
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Media [ ] ( )1
n
i i
i
E X x P X x=
= =∑
1 3 3 1 Lancio 3 monete: 0 1 2 3
8 8 8 8• × + × + × + ×
1 2 2 1 Lancio 2 dadi: 2 3 11 12
36 36 36 36• × + × + + × + ×⋯
PROPRIETA’ DI LINEARITA’ [ ] [ ]E aX b aE X b+ = +
Ex: Supponiamo che nel lancio di 3 monete, si vincano Y=3X+2 euro in
corrispondenza del numero X di teste che si verificano. Calcolare
massa di probabilità e media.
03/05/2012
4
VARIABILI ALEATORIE DISCRETE E CAMPIONI CASUALI.
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
Come per le frequenze relative, è possibile costruire un “istogramma”
anche per la massa di probabilità (point frequencies).
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
1 2 3 4
Serie2
Che relazione c’è con l’isto-
gramma costruito nelle scorse
lezioni?
Con un generatore di numeri
pseudocasuali…
03/05/2012
5
GENERATORI GENERATORI GENERATORI GENERATORI DIDIDIDI NUMERI PSEUDOCASUALI IN STATVIEWNUMERI PSEUDOCASUALI IN STATVIEWNUMERI PSEUDOCASUALI IN STATVIEWNUMERI PSEUDOCASUALI IN STATVIEW
03/05/2012
6
1,600
,894
,163
30
0,000
3,000
0
,800
,559
3,000
48,000
100,000
•
•
-,306
-,605
2,000
1,000
2,000
1,625
1,000
Mean
Std. Dev.
Std. Error
Count
Minimum
Maximum
# Missing
Variance
Coef. Var.
Range
Sum
Sum Squares
Geom. Mean
Harm. Mean
Skew ness
Kurtosis
Median
IQR
Mode
10% Tr. Mean
MAD
Column 1
Descriptive Statistics
[ ] 1.5E X =
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
1 2 3 4
Serie2
MODELLO TEORICO E
MODELLO EMPIRICO A
CONFRONTO
03/05/2012
7
Scelta delle classi
E se selezioniamo un nuovo campione….
1,533
,776
,142
30
0,000
3,000
0
,602
,506
3,000
46,000
88,000
•
•
-,337
-,310
2,000
1,000
2,000
1,583
,500
Mean
Std. Dev.
Std. Error
Count
Minimum
Maximum
# Missing
Variance
Coef. Var.
Range
Sum
Sum Squares
Geom. Mean
Harm. Mean
Skew ness
Kurtosis
Median
IQR
Mode
10% Tr. Mean
MAD
II esempio
Descriptive Statistics
II campioneI campione
1,600
,894
,163
30
0,000
3,000
0
,800
,559
3,000
48,000
100,000
•
•
-,306
-,605
2,000
1,000
2,000
1,625
1,000
Mean
Std. Dev.
Std. Error
Count
Minimum
Maximum
# Missing
Variance
Coef. Var.
Range
Sum
Sum Squares
Geom. Mean
Harm. Mean
Skew ness
Kurtosis
Median
IQR
Mode
10% Tr. Mean
MAD
Column 1
Descriptive Statistics
[ ] 1.5E X =
03/05/2012
8
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
1 2 3 4
Serie2
MODELLO TEORICO E
MODELLO EMPIRICO A
CONFRONTO
Varianza [ ] ( ) ( )2
1
n
i i
i
Var X x P X xµ=
= − =∑
( ) ( )2 21 3
Lancio 3 monete: 0-1.5 1-1.5 ...8 8
• × + × +
Ex: calcolare la varianza nel caso del lancio dei 2 dadi•
PROPRIETA’ DI LINEARITA’ [ ] [ ]2Var aX b a Var X+ =
Ex: Supponiamo che nel lancio di 3 monete, si vincano Y=3X+2 euro in
corrispondenza del numero X di teste che si verificano. Calcolare
la varianza.
03/05/2012
9
Altro esempio
Variabili standardizzate XZ
µ
σ
−=
[ ] 0, [ ] 1E Z Var Z= = Facilita il confronto di modelli
teorici diversi.
03/05/2012
10
VARIABILE ALEATORIA BINOMIALE
{ },S successo insuccesso=
( ) 1X successo =
( ) 0X insuccesso =
x 0 1
P(X=x) 1-p=q p
0.6p =
Se lanciamo una moneta più volte…
1n =
2n = 3n = 4n =
PARAMETRI
numero di prove
di Bernoulli
n =
prob. successop =
03/05/2012
11
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,00 1,00
B(1,0.5)
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,00 1,00 2,00
B(2,0.5)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,00 1,00 2,00 3,00
B(3,0.5)B(3,0.5)B(3,0.5)B(3,0.5)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
B(4,0.5)B(4,0.5)B(4,0.5)B(4,0.5)
Esempio: se p è la probabilitā di occorrenza annua di un evento franoso, il numero di eventi
franosi in un periodo di n anni è dato dall a distribuzione binomiale
[ ] , [ ]= (1- )E X np Var X np p=
MEDIA E VARIANZA (MEDIA E VARIANZA (MEDIA E VARIANZA (MEDIA E VARIANZA (BinoMIALEBinoMIALEBinoMIALEBinoMIALE))))
Campione Casuale di taglia 20, di una binomiale n=4,p=0.5
[ ] [ ]2 1E X Var X= =
Per un campione di taglia 40 1.87, 0.99x s= =
Per un campione di taglia 80 1.97, 1.16x s= =
03/05/2012
12
E se lanciamo un solo dado?S
1
2
3
4
5
6
VARIABILE ALEATORIA UNIFORME
x 1 2 3 4 5 6
P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
X
DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DIDIDIDI POISSONPOISSONPOISSONPOISSON Limite della distribuzione
Binomiale quando
n diventa grande
p la probabilità di succes-
so decresce
np λ→
Nell’esempio delle frane,
se le frane sono eventi
rari rispetto al numero
di anni considerato (per
n>30 oppure per p<0.02)
allora è possibile usare
l’approssimazione con la
poissoniana. [ ] [ ]E X Var X λ= =
03/05/2012
13
10λ =
Poisson distr.
50
1/ 5
n
p
=
=
50λ =
Poisson distr.
500
1/10
n
p
=
=
03/05/2012
14
DISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICADISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICADISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICADISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICA
Molto utile nella teoria dei “piccoli
campioni”
Si usa nelle estrazioni senza RIPETIZIONI
11
N n
N
approx
binomiale
−≈ ⇒
−
LA TAVOLA DELLE APPROSSIMAZIONILA TAVOLA DELLE APPROSSIMAZIONILA TAVOLA DELLE APPROSSIMAZIONILA TAVOLA DELLE APPROSSIMAZIONI
IPERGEOMETRICA
GAUSSIANA
POISSONBINOMIALE
9λ >
100
0.05
n
p
>
<
(1 ) 9np p− >
2000
/ 0.1
N
n N
>
<
