03/05/2012

1

Variabili aleatorie

discrete

In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni

possibile risultato di un esperimento. Tale assegnamento viene chia-

mato variabile aleatoria o casuale (random variable).

0 1 2 3

( )X ωT T T

TT

T T

TT

T

T

T

C

C

C

CC

CC

CC

C C C

1ω

2ω

3ω

4ω

5ω

6ω

7ω

8ω

03/05/2012

2

In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni

possibile risultato di un esperimento. Tale assegnamento viene chia-

mato variabile aleatoria o casuale (random variable).

S ( )X ω

3

2

2

2

1

1

1

0

{ }( )1

1

8P ω =

{ }( )2

1

8P ω =

{ }( )3

1

8P ω =

{ }( )4

1

8P ω =

{ }( )5

1

8P ω =

{ }( )6

1

8P ω =

{ }( )7

1

8P ω =

{ }( )8

1

8P ω =

( )2 ?P X = =

T T T

TT

T T

TT

T

T

T

C

C

C

CC

CC

CC

C C C

1ω

2ω

3ω

4ω

5ω

6ω

7ω

8ω

( )2 ?P X = =

( ) { }2 X = = TT T T TTC C C, ,

( )2P X P= = { } TT T T TTC C C, ,

3

8=

x 0 1 2 3

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Massa di probabilità

03/05/2012

3

LANCIO

DI

DUE

DADI

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Media [ ] ( )1

n

i i

i

E X x P X x=

= =∑

1 3 3 1 Lancio 3 monete: 0 1 2 3

8 8 8 8• × + × + × + ×

1 2 2 1 Lancio 2 dadi: 2 3 11 12

36 36 36 36• × + × + + × + ×⋯

PROPRIETA’ DI LINEARITA’ [ ] [ ]E aX b aE X b+ = +

Ex: Supponiamo che nel lancio di 3 monete, si vincano Y=3X+2 euro in

corrispondenza del numero X di teste che si verificano. Calcolare

massa di probabilità e media.

03/05/2012

4

VARIABILI ALEATORIE DISCRETE E CAMPIONI CASUALI.

x 0 1 2 3

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Come per le frequenze relative, è possibile costruire un “istogramma”

anche per la massa di probabilità (point frequencies).

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

1 2 3 4

Serie2

Che relazione c’è con l’isto-

gramma costruito nelle scorse

lezioni?

Con un generatore di numeri

pseudocasuali…

03/05/2012

5

GENERATORI GENERATORI GENERATORI GENERATORI DIDIDIDI NUMERI PSEUDOCASUALI IN STATVIEWNUMERI PSEUDOCASUALI IN STATVIEWNUMERI PSEUDOCASUALI IN STATVIEWNUMERI PSEUDOCASUALI IN STATVIEW

03/05/2012

6

1,600

,894

,163

30

0,000

3,000

0

,800

,559

3,000

48,000

100,000

•

•

-,306

-,605

2,000

1,000

2,000

1,625

1,000

Mean

Std. Dev.

Std. Error

Count

Minimum

Maximum

# Missing

Variance

Coef. Var.

Range

Sum

Sum Squares

Geom. Mean

Harm. Mean

Skew ness

Kurtosis

Median

IQR

Mode

10% Tr. Mean

MAD

Column 1

Descriptive Statistics

[ ] 1.5E X =

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

1 2 3 4

Serie2

MODELLO TEORICO E

MODELLO EMPIRICO A

CONFRONTO

03/05/2012

7

Scelta delle classi

E se selezioniamo un nuovo campione….

1,533

,776

,142

30

0,000

3,000

0

,602

,506

3,000

46,000

88,000

•

•

-,337

-,310

2,000

1,000

2,000

1,583

,500

Mean

Std. Dev.

Std. Error

Count

Minimum

Maximum

# Missing

Variance

Coef. Var.

Range

Sum

Sum Squares

Geom. Mean

Harm. Mean

Skew ness

Kurtosis

Median

IQR

Mode

10% Tr. Mean

MAD

II esempio

Descriptive Statistics

II campioneI campione

1,600

,894

,163

30

0,000

3,000

0

,800

,559

3,000

48,000

100,000

•

•

-,306

-,605

2,000

1,000

2,000

1,625

1,000

Mean

Std. Dev.

Std. Error

Count

Minimum

Maximum

# Missing

Variance

Coef. Var.

Range

Sum

Sum Squares

Geom. Mean

Harm. Mean

Skew ness

Kurtosis

Median

IQR

Mode

10% Tr. Mean

MAD

Column 1

Descriptive Statistics

[ ] 1.5E X =

03/05/2012

8

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

1 2 3 4

Serie2

MODELLO TEORICO E

MODELLO EMPIRICO A

CONFRONTO

Varianza [ ] ( ) ( )2

1

n

i i

i

Var X x P X xµ=

= − =∑

( ) ( )2 21 3

Lancio 3 monete: 0-1.5 1-1.5 ...8 8

• × + × +

Ex: calcolare la varianza nel caso del lancio dei 2 dadi•

PROPRIETA’ DI LINEARITA’ [ ] [ ]2Var aX b a Var X+ =

Ex: Supponiamo che nel lancio di 3 monete, si vincano Y=3X+2 euro in

corrispondenza del numero X di teste che si verificano. Calcolare

la varianza.

03/05/2012

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Altro esempio

Variabili standardizzate XZ

µ

σ

−=

[ ] 0, [ ] 1E Z Var Z= = Facilita il confronto di modelli

teorici diversi.

03/05/2012

10

VARIABILE ALEATORIA BINOMIALE

{ },S successo insuccesso=

( ) 1X successo =

( ) 0X insuccesso =

x 0 1

P(X=x) 1-p=q p

0.6p =

Se lanciamo una moneta più volte…

1n =

2n = 3n = 4n =

PARAMETRI

numero di prove

di Bernoulli

n =

prob. successop =

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11

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,00 1,00

B(1,0.5)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,00 1,00 2,00

B(2,0.5)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,00 1,00 2,00 3,00

B(3,0.5)B(3,0.5)B(3,0.5)B(3,0.5)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

B(4,0.5)B(4,0.5)B(4,0.5)B(4,0.5)

Esempio: se p è la probabilitā di occorrenza annua di un evento franoso, il numero di eventi

franosi in un periodo di n anni è dato dall a distribuzione binomiale

[ ] , [ ]= (1- )E X np Var X np p=

MEDIA E VARIANZA (MEDIA E VARIANZA (MEDIA E VARIANZA (MEDIA E VARIANZA (BinoMIALEBinoMIALEBinoMIALEBinoMIALE))))

Campione Casuale di taglia 20, di una binomiale n=4,p=0.5

[ ] [ ]2 1E X Var X= =

Per un campione di taglia 40 1.87, 0.99x s= =

Per un campione di taglia 80 1.97, 1.16x s= =

03/05/2012

12

E se lanciamo un solo dado?S

1

2

3

4

5

6

VARIABILE ALEATORIA UNIFORME

x 1 2 3 4 5 6

P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

X

DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DIDIDIDI POISSONPOISSONPOISSONPOISSON Limite della distribuzione

Binomiale quando

n diventa grande

p la probabilità di succes-

so decresce

np λ→

Nell’esempio delle frane,

se le frane sono eventi

rari rispetto al numero

di anni considerato (per

n>30 oppure per p<0.02)

allora è possibile usare

l’approssimazione con la

poissoniana. [ ] [ ]E X Var X λ= =

03/05/2012

13

10λ =

Poisson distr.

50

1/ 5

n

p

=

=

50λ =

Poisson distr.

500

1/10

n

p

=

=

03/05/2012

14

DISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICADISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICADISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICADISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICA

Molto utile nella teoria dei “piccoli

campioni”

Si usa nelle estrazioni senza RIPETIZIONI

11

N n

N

approx

binomiale

−≈ ⇒

−

LA TAVOLA DELLE APPROSSIMAZIONILA TAVOLA DELLE APPROSSIMAZIONILA TAVOLA DELLE APPROSSIMAZIONILA TAVOLA DELLE APPROSSIMAZIONI

IPERGEOMETRICA

GAUSSIANA

POISSONBINOMIALE

9λ >

100

0.05

n

p

>

<

(1 ) 9np p− >

2000

/ 0.1

N

n N

>

<