Ut t () 1, 0 = ≥ Ut t () 0, 0 = < - Α.Τ.Ε.Ι.Θ. Τμήμα ...32835423-4A6D... ·...

32
1 ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Μοναδιαία βηματική συνάρτηση (Unit Step Function) () 1, 0 () 0, 0 Ut t Ut t = = < -4 -2 2 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Κρουστική Συνάρτηση δέλτα του Dirac (γενικευμένη συνάρτηση) () 0, 0 () 1, 0 t t t dt ε ε δ δ ε = = > -2 -1 1 2 -1 -0.5 0.5 1 1 ( ) ( ), για α= 1 δ(-t)=δ(t) Αρτια Συνάρτηση at t a δ δ =

Transcript of Ut t () 1, 0 = ≥ Ut t () 0, 0 = < - Α.Τ.Ε.Ι.Θ. Τμήμα ...32835423-4A6D... ·...

1

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-I

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ

Μοναδιαία βηµατική συνάρτηση (Unit Step Function)

( ) 1, 0( ) 0, 0

U t tU t t

= ≥= <

-4 -2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Κρουστική Συνάρτηση δέλτα του Dirac (γενικευµένη συνάρτηση)

( ) 0, 0

( ) 1, 0

t t

t dtε

ε

δ

δ ε−

= ≠

= >∫

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

1( ) ( ), για α= 1 δ(-t)=δ(t) Αρτια Συνάρτησηat ta

δ δ= − ⇒

2

( )( ) du ttdt

δ =

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ

u(t+2)

-5 -4 -3 -2 -1 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u(t-2)

-4 -2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

( 2)tδ +

-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1

3

( 2)tδ +

-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1

Μοναδιαία Συνάρτηση Ράµπας

( )2

u t τ+

Τετραγωνικός Παλµός

( ) 1,2 2

( ) 0, λλού

P t t

P t

τ

τ

τ τ

α

= − ≤ <

=

4

( ) ( )2 2

u t u t pττ τ

+ − − =

-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1

-τ/2

( / 2)u t τ+

τ/2

( / 2)u t τ− −

1

1

5

ΓΝΩΣΤΑ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙ∆Η ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ

( ) a ty t e−=

( ) siny t tω=

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-1

-0.5

0.5

1

ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ EULER

sinj te Cos t j tω ω ω= +

6

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΣΗΜΑΤΟΣ

2

1

2

1

2 1

0

12 2

2 1

1( ) ( ) (1)t

ΜΕ ΠΕΡΙΟ∆Ο Τ

1X(t)= ( ) (2)T

ΤΙΜΗ(RMS)

1X(t)=[ ( ) ] (3)t

t

t

T

t

t

X t x t dtt

x t dt

x t dtt

=−

ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΟ ΣΗΜΑ

ΕΝΕΡΓΟΣ

Παράδειγµα

του x(t)=Asinωt απο την (3) έχουµε x(t)=2Aό ήνεργ ς ιµΕ Τ

Κάθε σήµα (συνάρτηση του χρόνου) µπορεί να γραφτεί σαν το άθροισµα ενός άρτιου και ενός περιτού σήµατος.

( ) ( ) ( )

1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2

even odd

even

odd

x t x t x t

x t x t x t

x t x t x t

= +

= + −

= − −

Ι∆ΙΟΤΗΤΑ ∆ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΤΗΣ δ(t):

0 0( ) ( ) ( )

t=0 έχουµε f(t)δ(t)=f(0)

f t t t f tδ

ια

− =

Γ

∫∫

ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΟ ΣΗΜΑ: Υπάρχει σταθερά Τ (περίοδος) για την οποία ισχύει:

( ) ( ),x t x t t+ Τ = −∞ < < ∞

7

ΣΗΜΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (ΟΛΑ ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ):

2 ( ) Πεπερασµένη ενέργειαE x t dt= < ∞∫

ΣΗΜΑ ΙΣΧΥΟΣ:

2

2 11

2

2 1

1lim [ ( ) ] 0 π.χ. Περιοδικά σήµαταt

t tt

P x t dtt t− →∞

= >− ∫

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΙΑΣ ΕΙΣΟ∆ΟΥ ΚΑΙ ΜΙΑΣ ΕΞΟ∆ΟΥ

ΣΧΕΣΗ ΕΙΣΟ∆ΟΥ-ΕΞΟ∆ΟΥ

( ) ( )Y t F x t=

Γενικώς,η τιµή της εξόδου την χρονική στιγµή t εξαρτάται απο όλες τις τιµές της εισόδου x(t) µέχρι και την χρονική στιγµή t και όχι µόνο απο την τιµή της εισόδου

x(t) την χρονική στιγµή t.

AITIOTHTA

Ενα σύστηµα ( ) ( )Y t F x t= λέγεται αιτιατό (φυσικό) εαν, για κάθε χρονική στιγµή

0t , η έξοδος 0( )y t του συστήµατος εξαρτάται µόνο απο την είσοδο x(t) µέχρι την χρονική στιγµή 0t .

F X(t) Y(t)

Αδιαφανές Μαύρο κουτί (Black Box)

8

∆ηλαδή η έξοδος δεν εξαρτάται απο µελλοντικές τιµές της εισόδου. Όλα τα φυσικά συστήµατα είναι αιτιατά. Μη-αιτιατά δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσµο, µπορούν

όµως να προσεγγιστούν µε χρονο-καθυστερήσεις.

Παράδειγµα

Το σύστηµα ( ) ( 1)y t x t= − είναι αιτιατό

Το σύστηµα ( ) ( 1)y t x t= + είναι µη αιτιατό.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ (ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ)

Ενα σύστηµα ( ) ( )y t F x t= αν για κάθε 1t ,η έξοδος στην είσοδο 1( )x t t− είναι η

1( )y t t− . ∆ηλαδή 1 ( )F x t t− = 1( )y t t− .

Χρονική ολίσθηση στο σήµα εισόδου, οδηγεί σε αντίστοιχη ολίσθηση στο σήµα εξόδου.

9

F X(t) Y(t)

Αδιαφανές Μαύρο κουτί (Black Box)

( )Y t

1( )x t t−

( )x t

1( )Y t t−

10

Ένα αιτιατό σύστηµα ( ) ( )y t F x t= δεν έχει µνήµη αν για κάθε 1t η έξοδος 1( )y t εξαρτάται µόνο απο την τιµή της εισόδου 1( )x t την χρονική στιγµή 1t . Το σύστηµα αυτό ονοµάζεται και στιγµιαίο.

Π.χ. το σύστηµα ( ) ( )y t kx t= δεν έχει µνήµη. Είναι ενισχυτής για κ>1 και εξασθενητής για κ<1.

Ένα αιτιατό σύστηµα έχει µνήµη εαν για κάθε 1t η έξοδος 1( )y t εξαρτάται απο τις τιµές της εισόδου ( )x t για t µέσα σε ένα διάστηµα µέχρι την χρονική στιγµή 1t :

0 1t t t≤ ≤

Π.χ. το σύστηµα µε σχέση εισόδου εξόδου 0

( ) ( )t

y t x dτ

τ

τ τ=

=

= ∫ (ολοκληρωτής) έχει

µνήµη διοτι η έξοδος εξαρτάται απο τις τιµές της εισόδου χ(τ) για 0 tτ≤ ≤

Ένα σύστηµα ( ) ( )y t F x t= ονοµάζεται:

1. προσθετικό αν για κάθε ζεύγος εισόδων 1 2( ), ( )x t x t ισχύει

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )F x t x t F x t F x t+ = +

2. οµογενές εαν για κάθε α ισχύει ( ) ( )F ax t aF x t=

3. Γραµµικό αν είναι προσθετικό και οµογενές. ∆ηλαδή:

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ( ) ( )F ax t bx t aF x t bF x t+ = +

Ο ολοκληρωτής 0

( ) ( )t

y t x dτ

τ

τ τ=

=

= ∫ ειναι γραµµικό σύστηµα αφού

1 2 1 20 0 0

[ ( ) ( )] ( ) ( )t t t

ax bx d a x d b x dτ τ τ

τ τ τ

τ τ τ τ τ τ τ= = =

= = =

+ = +∫ ∫ ∫

Παράδειγµα

Το σύστηµα µε σχέση εισόδου-εξόδου 2( ) ( )y t x t= για είσοδο ( )ax t η έξοδος είναι 2 2 ( )a x t και όχι 2 ( )ax t ,εποµένως το σύστηµα δεν είναι οµογενές και άρα δεν είναι

και γραµµικό.

11

ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ(IMPULSE RESPONSE)

Έστω το σύστηµα F το οποίο είναι γραµµικό και χρονοαµετάβλητο. Κρουστική απόκριση ονοµάζεται η έξοδος του συστήµατος για είσοδο ( ) ( )x t tδ= , την

συνάρτηση Dirac.

( ) ( )h t F tδ=

Αν γράψουµε την ( ) ( ) ( )x t x t dτ δ τ τ= −∫ σύµφωνα µε την ιδιοτητα δειγµατοληψίας της συνάρτησης δ τότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )y t F x t F x t d x F t d x h t dτ δ τ τ τ δ τ τ τ τ τ= = − = − = −∫ ∫ ∫ δηλαδή

F X(t) Y(t)

Αδιαφανές Μαύρο κουτί (Black Box)

F δ(t) h(t)

Αδιαφανές Μαύρο κουτί (Black Box)

Κρουστική απόκριση

12

( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ= −∫

Εποµένως, εαν γνωρίζουµε την κρουστική απόκτριση ενός γραµµικού-χρονοαµετάβλητου συστήµατος,µπορούµε να υπολογίσουµε την έξοδο του για

οποιαδήποτε είσοδο χ(t) µεσω του συνελικτικού ολοκληρώµατος.

ΣΥΝΕΛΙΞΗ (CONVOLUTION)

( ) ( )* ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t dτ τ τ= = −∫

Παράδειγµα

Να υπολογιστεί η συνέλιξη ( ) ( )* ( )y t x t h t= οταν ( ) ( ), 0atx t e u t a−= > και ( ) ( )h t u t= .u(t) είναι η µοναδιαία βηµατική συνάρτηση(unit step function)

Το γινόµενο µέσα στο ολοκλήρωµα είναι 0≠ µόνο για 0 , 0t tτ< < >

Για 0t < εχουµε ( ) ( ) 0x h tτ τ− =

1

t

( ), 0u t tτ− < τ

1

t

( ), 0u t tτ− > τ

1

t τ

( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ= −∫

ΣΥΝΕΛΙΚΤΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ (CONVOLUTION INTEGRAL)

13

Για 0t > έχουµε

( ) ( ) ,0x h t e tαττ τ τ−− = < <

( ) ( ) 0,x h tτ τ αλλου− =

Αρα για t>0 εχουµε 00

1 1( ) [ ] (1 ) ( )t

a a t aty t e d e e u ta

τ ττα

− − −= = − = −∫

Λύση: 1( ) (1 ) ( )aty t e u ta

−= −

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ

( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ= −∫

Γενικά ισχύει 1 2 1 2( )* ( ) ( ) ( )f t f t f f t dτ τ τ= −∫

• Αντιµεταθετική 1 2 2 1( )* ( ) ( )* ( )f t f t f t f t=

• Προσεταιριστική 1 2 3 1 2 3[ ( )* ( )]* ( ) ( )*[ ( )* ( )]f t f t f t f t f t f t=

• Συνέλιξη µε δ(t) δίνει την f(t): ( )* ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )f t t t f t f t d f tδ δ δ τ τ τ= = − =∫

1/a

t

14

• Ιδιότητα δειγµατοληψίας της δ του Dirac: 0 0( ) ( ) ( )f t d t t dt f t− =∫

• Επιµεριστική ιδιότητα: 1 2 3 1 2 1 3( )*[ ( ) ( )] ( )* ( ) ( )* ( )f t f t f t f t f t f t f t+ = +

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

00 0

1

0 0

( ) [ cos sin ]2

2 , η περιοδος του σηµατος

n nn

af t a n t b n t

s f TT

ω ω

πω π

=

= + +

= =

ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ!!!

Οι συντελεστες ,n na b υπολογίζονται σε µία περίοδο: 1

1

02 ( )t T

t

a f t dtT

+

= ∫

1

0

1

02 ( ) cos

n

t T

nt

a f t tdtT

ω>

+

= ∫

1

1

02 ( )sint T

nt

b f t tdtT

ω+

= ∫

Βιβλίο Fourier:”Théorie analytique de la chaleur” 1822. Μετάδοση Θερµότητας Μαθηµατικες συνθήκες για σύγκλιση (Ικανές αλλα όχι απαραίτητες) Dirichlet (1829):

1. 1

1

( )t T

t

f t dt+

< ∞∫ ,πεπερασµένο

2. Πεπερασµένο πλήθος min-max και ασυνεχειών σε µια περίοδο

Στις ασυνέχειες το ανάπτυγµα Fourier συγκλίνει στο 0 0 01( ) [ ( ) ( )]2

f t f t f t− += +

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ FOURIER ΜΟΝΟ ΜΕ COS KAI ΑΣΚΗΣΕΙΣ:

0 01

( ) cos( )n nn

f t A A n tω θ∞

=

= + +∑

2 2 10

0 , , tan ( )2

nn n n n

n

a bA A a ba

θ −= = + = −

15

ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΜΙΓΑ∆ΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΣΕΙΡΑΣ FOURIER

0( ) in tn

nf t c e ω

=−∞

= ∑

1

0

1

1 ( )t T

in tn

t

c f t e dtT

ω+

−= ∫

Οι συναρτήσεις 0

( )in t

netT

ω

Φ = αποτελούν πλήρη βάση συναρτήσεων

∆ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ:

ΣΧΕΣΕΙΣ:

Parseval: Ενέργεια σήµατος = Ε =

1

1

22 2 2 2 2 20

1 1( ) ( )

4 2 2

t

n n n nn n nt

Ta T Tf t dt a b TA A T c∞ ∞ ∞

= = =−∞

= + + = + =∑ ∑ ∑∫

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1 ΣΕΙΡΑΣ FOURIER

Ανάπτυξη σειράς Dirac σε σειρά Fourier (Εκθετική Fourier):

( ) ( )k

S t kTδ τ∞

=−∞

= −∑

0 0 02

2

1 1 1( )T

in t inTnc s t e dt e

T T Tω ω− −

−= = =∫

∆ιότι 0 0( ) ( ) ( )f t t t dt f tδ∞

−∞− =∫

01( ) in t

ns t e

=−∞

= ∑

16

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2 ΣΕΙΡΑΣ FOURIER

Ανάπτυξη σειράς παλµών σε σειρά Fourier (εκθετική)

( ) 1,2

( ) 0,2

P t t

P t t

τ

τ

τ

τ

= ≤

= >

0 00

0 0

2 2 2 202

0 0 022 2

00

0

( ) ( )

1 1 1 1 2( ) [ ] [ ] sin( )2

sin( )2 sin ( )

22

k

Tjn jnin t

in t in tn

T

n

s t p t kT

ne e ec s t e dt e dtT T T jn T jn Tn

n nc cT Tn

τ

τ τ τω ωτωω ω

ττ

ω τω ω ω

τω ω ττ ττω

=−∞

−−− −

−− −

= −

−= = = = =

− −

= =

∫ ∫

Αφού ισχύουν:

0

sinsin ( )

2 ( )2 2

xc xx

n n nT T

ω τ π ττ π

=

= =

t

S(t)

T 2T -2T -T

−2τ−Τ Τ

17

Εποµένως: ( ) sin ( ( ))nc c nTτ τπ=

Τ

Και το ανάπτυγµα Fourier της παλµοσειράς είναι:

0( ) sin [ ] in t

n

ns t c eT T

ωτ πτ∞

=−∞

= ∑

ΣΕΙΡΑ FOURIER ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ

Ισχύς του σήµατος της παλµοσειράς s(t):

222

22

1 1( )EP s t dt dtT T T T

ττ

ττ

τ−

= = = =∫ ∫

01

( ) 2 sin ( )cosn

ns t c n tT T Tτ τ πτ ω

=

= + ∑

DC ορος(σταθερός) n-στή αρµονική

18

Ισχυς του DC όρου: 2 20 0 ( )P c

= =

Ισχύς της n-στής αρµονικής: 2 2 2 2 22 2( ) sin ( )2n n n n

n aP c c c cT Tτ πτ

−= + = = =

(RMS τιµή ηµιτονοειδούς σήµατος = 2

2na )

ΠΟΣΟΣΤΟ ΙΣΧΥΟΣ ΤΗΣ Ν-ΟΣΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ:

2100 % 100 2( )sin ( )n

np np cP T T

τ πτ= = i

Π.χ. γιά duty cycle = 20%=|t/T=1/5 έχουµε

0

2 2

21

22

23

100( ) 20%

1100 2( )sin ( ) 40sin ( )5 2 2

40sin ( ) 35%5240sin ( ) 23%5

340sin ( ) 10%5

n

p

n np c c

p c

p c

p c

τ

π π

π

π

π

= =Τ

= =

= =

= =

= =

i

Για η

5

0 1 2 3

5 0, 1, 2,3,..... H 5 ,10 , αρµονικές είναι µηδενικέςp 88% της ισχύος στους 4 πρώτους όρους=DC όρος + 3 αρµονικές

kn k p kp p p

η κτλ= → = =+ + + =

Για Duty cycle=50%, 12T

τ= έχουµε:

19

0

2

21

22

23

0 1 2 3

1100 50%2

100sin ( )2

100sin ( ) 40,5%22100sin ( ) 02

3100sin ( ) 4,5%2

95% της ισχύος στους 4 πρώτους όρους

n

p

np c

p c

p c

p c

p p p p

π

π

π

π

= =

=

= =

= =

= =

+ + + =

Οι 2 0kp = , άρτιες αρµονικές είναι µηδενικές.

ΕΠΟΜΕΝΩΣ: Πλουσιότερο φάσµα για µικρό duty cycle.

0 01

0

( ) cos( )

1 0.25

n nn

s t A A n t

AT

ω θ

τ

=

= + +

= = =

2sin c

20

1

2

3

1

5

2 sin ( ), 1, 2,3,...

12 sin ( ) 0.375 51 22 sin ( ) 0.35 51 32 sin ( ) 0.215 51 42 sin ( ) 0.095 5

0

nnA c n

T T

A c

A c

A c

A c

A

τ πτ

π

π

π

π

= =

= =

= =

= =

= =

=

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3

ΑΠΛΗ ΑΝΟΡΘΩΣΗ-ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΗΜΙΑΝΟΡΘΩΜΕΝΗΣ ΤΑΣΗΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER(AC->DC)

0.370.3

0.21

nA

21

D1: Ιδανική δίοδος

0 2

2

( ) cos( ), ( ) 0( ) 0, ( ) 0L

L

V t A t u tV t u t

ω= >= ≤

0

0 0

0 00 0 0 0 0 0

2

0

2

0

( 1) ( 1)2 4 4( 1) ( 1) 4 4

0 04 42 4 4

1 cos

cos( )2

1[ ] [ ] [ ]2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1)

T

in tn

T

i t i t

T T TT Ti n t i n t

i t in t i t in t i n t i n tn T T

T T T

c A te dtT

e et

A A A e A ec e e e e dt e dt e dtT T T T j n T j n

ω

ω ω

ω ωω ω ω ω ω ω

ω

ω

ω ω

− − − +− − − − − +

− −− − −

=

+=

= + = + = + =− − − +

=

∫ ∫ ∫

0 0 0 0( 1) ( 1) ( 1) ( 1)4 4 4 4 0 0

0 0 0 0

0

sin[( 1) ] sin[( 1) ]4 4[ ] [ ]

2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1)2 2

T T T Ti n i n i n i n T Tn nA e e A e e A AT j n T j n T n T n

T TT

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ωπω π

− − − − + + − +− −+ = +

− − − + − +

= =

εποµένως:

sin( 1) sin( 1)2 2[ ]

2 1 1n

n nAcn n

π π

π

− += +

− +

22

ΑΣΚΗΣΗ. ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΤΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ

Σε µία περίοδο ( ) , 0

2

( ) ,02

Tf t A t

Tf t A t

= − − < <

= < <

Έχουµε:

02 2

00

2 2

1 1( ) [ ] 0

T T

T T

a f t dt Adt AdtT T

− −

= = − + =∫ ∫ ∫ εποµένως το τετραγωνικό σήµα δεν έχει

συνεχή (DC) συνιστώσα (Μέσος όρος µηδέν).

02 2

0 0 00

2 2

2 2( ) cos [ cos cos ] 0

T T

nT T

a f t n tdt A n tdt A n tdt nT T

ω ω ω− −

= = − + = ∀∫ ∫ ∫

Η σειρά δεν έχει συνηµιτονοειδείς όρους λόγω περιττής συµµετρίας( ( ) ( )f t f t− = − ).

02 200 0 2

0 0 0 00 020

2 2

cos cos2 2 2( )sin [ sin sin ] [ ] [ ]

0,2(cos 0 cos( ) cos( ) cos 0) [1 cos( )] 4 ,

T TT

n TT T

n t n tAb f t n tdt A n tdt A n tdtT T T n n

nA An n n An n n ό

n

ω ωω ω ωω ω

αρτιοπ π π

π π περιττπ

−− −

= = − + = + − =

== − − + = − =

=

∫ ∫ ∫

εποµένως:

0 0 0 01

00

2 1 cos( ) 4 1 1( ) sin [sin sin 3 sin 5 ....]3 5

n=2k+1:4 1( ) sin(2 1)

2 1

n

k

A n Af t n t n t t tn

Af t k tk

π ω ω ω ωπ π

ια

ωπ

=

=

−= = + + +

Γ

= ++

0( )f t A= 01

2 2

1 1 0

cos( )

tan ( ) tan ( ) 90

n nn

n n n n

nn

n

A n t

A a b bba

ω θ

θ

=

− −=

+ +

= + =

− = − ∞ = −

23

ΑΣΚΗΣΗ Έστω οι ορθοκανονικές συναρτήσεις ( )i tφ στο διάστηµα [a,b]:

0,( ) ( )

1,

b

i ja

i jt t dt

i jφ φ

≠=

=∫

Έστω η προσέγγιση της συνάρτησης f(t) από:

0( ) ( )

N

i ii

f t a tφ=

=∑

Να επιλεγούν οι συντελεστές ia του παραπάνω αναπτύγµατος ώστε να

1,27A0.42A

0.25A0.18A

nA

n 1 3 5 7

1 3 5 7

090−

24

ελαχιστοποιείται το RMS σφάλµα: 2 2

0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] (1)b b N

i iia a

S f t f t dt f t a t dtφ=

= − = −∑∫ ∫

Λύση

Θα πρέπει 0, 0,1,2,...,k

S k Na∂

= =∂

Χρησιµοποιούµε το k για να µην µπερδευτούµε µε την µεταβλητή i του αθροίσµατος. Παραγωγίζουµε την (1) και έχουµε:

0

2 [ ( ) ( )] ( ) 0, 0,1,2,3,...,b N

i i kik a

S f t a t t dt k Na

φ φ=

∂= − = =

∂ ∑∫

Ή ισοδύναµα:

0

( ) ( ) ( ) ( )b bN

k i i k kia a

f t t dt a t t dt aφ φ φ=

= =∑∫ ∫

Αφού ( ) ( ) 0 µόνο για i=kb

i ka

a t t dtφ φ ≠∫

Το άθροισµα στα δεξιά έχει έναν µόνο µη µηδενικό όρο, τον ka .Έτσι προκύπτει οτι

οι συντελεστές ( ) ( )b

ka

f t t dtφ∫ ελαχιστοποιούν το RMS σφάλµα της προσέγγισης.

• Γενικευµένη ανάλυση FOURIER σε βάση ορθογώνιων συναρτήσεων

• Ειδική περίπτωση η τριγωνοµετρική σειρά FOURIER περιοδικών

συναρτήσεων σε ηµίτονα και συνηµίτονα µε αρµονικό λόγο συχνοτήτων. 0 , 1, 2,3,4,....n k kω ω= = ακέραια πολλαπλάσια µιας θεµελιώδους

συχνότητας 0 02 2 fTπω π= =

25

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ BONUS:

ΑΣΚΗΣΗ 1.Ορθογωνικότητα των συναρτήσεων 0 01,cos ,n t sin tω ω στο διάστηµα [0,1] Να αποδειχθούν οι σχέσεις:

0 00

0 00

0 00

00

00

0,sin sin

,20,

cos cos,

2

sin cos 0, ,

sin 0,

0, 0cos

, 0

T

T

T

T

T

m nm t n tdt T m n

m nm t n tdt T m n

m t n tdt m n

m tdt m

nn tdt

T n

ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω

≠=

=

≠=

=

= ∀

= ∀

≠=

=

Άρτια συνάρτηση: µόνο συνηµιτονοειδείς όρους και χρονικά αµετάβλητες. Περιττή συνάρτηση:µόνο ηµιτονοειδείς όρους.

ΑΣΚΗΣΗ 2. Υπολογίστε τις τιµές των ολοκληρωµάτων:

42

44

2

4

( ) cos

( )sin

( 2)[ ( ) 3 ( 2)]

[ ( ) ( 2) ( 5)]

a

aa

a

t tdt

t tdt

t t t dt

t t t t dt

δ ω

δ ω

δ δ

δ δ δ

+ + −

+ + + +

ΑΣΚΗΣΗ 3. Αναπτύξτε σε τριγωνοµετρική σειρά FOURIER:

1. Το τετραγωνικό σήµα: , 0

2( ),0

2

TA tf t

TA t

− − < <=

< <

2. Το τριγωνικό σήµα: (1 2 ), 0

2( )(1 2 ),0

2

t TA tTf tt TA tT

+ − ≤ <=

− < ≤

26

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

( ) ( ) [ ( )]i tF f t e dt FT f tωω∞

−∞

= =∫

Αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier: 11( ) ( ) [ ( )]

2i tf t F e d FT Fωω ω ω

π

+∞−

−∞

= =∫

Ιδιότητες:

Αν f(t) πραγµατική συνάρτηση του χρόνου τότε:

( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )sin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) cos ( )

( ) ( )sin ( )ή

F j f t tdt j f t tdt

f t f t f t

f t tdt

f t tdt

αρτια περιττη

αρτια αρτ

περιττ περ

ω ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω

∞ ∞

−∞ −∞

−∞

+∞

−∞

= ℜ + ℑ = −

= +

ℜ = =ℜ

ℑ = − = ℑ

∫ ∫

Οι άρτιες συναρτήσεις έχουνε πραγµατικό FT και οι περιττές φανταστικό. Το πραγµατικό µέρος του FT είναι άρτια συνάρτηση ενώ το φανταστικό µέρος είναι περιττή συνάρτηση του ω (αυτό ισχύει γενικά για µιγαδικό F.T.).

Παράδειγµα

( )( ) ( )

00

2 2 2 2 2 2

( )

1

2 2

( ) ( ), 0

1( ) ( ) [ ]( )

1( ) ( ) ( )

( ) ( )1( ) , ( ) tan

at

a j tat j t a j t a j t

j

f t e u t a

eF e u t e dt e dt e dta j a j

a j aF j ja j a a a

F A e

aa

ωω ω ω

φ ω

ωω ω

ω ωω ω ωω ω ω ω

ω ωωω ω

ω

∞ − +− − − + − + ∞

= >

= = = = =− + +

−= = = − =ℜ + ℑ

+ + + +

=

Α = Φ = −+

∫ ∫ ∫

27

Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός FOURIER της συνάρτησης δ-Dirac:

00 ( ) ( ) 1j t j t j

tFT t t e dt e eω ω ωδ δ − − −== = = =∫

Αφού ισχύει οτι ( ) ( ) (0)f t t dt fδ =∫ (ιδιότητα δειγµατοληψίας), εποµένως

( ) 1FT tδ = .

( )ate u t−

( )u t

FT ( )tδ

1

28

Να υπολογιστεί ο F.T. της συνάρτησης τετραγωνικού παλµού: 1,

( ) 2 20,

T TtP t

ύτ

λλο

− < <=

Α

Λύση

2 2 22

22

sin( )2 2( ) ( ) [ ] sin( ) sin ( )2 2

2sinsin ( )

T T Tj jTj ti t j t

TT

Te e e T TP P t e dt e dt T T cTj j

xc xx

ω ωωω ω

τ τ

ωω ω ω

ω ω ω ω

−−− −

−−

−= = = = = = =

=

∫ ∫

∆ίπλευρος εκθετικός παλµός

, 0( )

, 0

at

at

e tx t

e t

− ≥=

<

0 ( ) ( )0

00

2 2 2 2

1 1( ) [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2

a j t a j tat j t at j t e eX e e dt e e dt

a j a j a j a ja j a j a

a a

ω ωω ωω

ω ω ω ωω ω

ω ω

∞ − − −− − − ∞

−∞−∞

= + = + = + =− − − +

+ + −= =

+ +

∫ ∫

/ 2T− / 2T

1

29

Γραµµική ιδιότητα

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )FT

af t bf t aF bFω ω+ ↔ +

Συµµετρική ιδιότητα

Αν ( ) ( )FT

f t F ω↔

Τότε ( ) 2 ( )FT

F t fπ ω↔ −

Απόδειξη

1( ) ( )2

2 ( ) ( )

j t

j t

f t F e d

f t F e d

ω

ω

ω ωπ

π ω ω

−∞

−∞

=

=

Εαν θέσουµε t t= − τότε 2 ( ) ( ) j tf t F e dωπ ω ω∞

−∞

− = ∫

και όπου t ω← και όπου tω ← τότε έχουµε

2 ( ) ( ) ( )j tf F t e dt FT f tωπ ω∞

−∞

− = =∫

Μετατόπιση στον χρόνο

Αν ( ) ( )FT

f t F ω↔ Τότε 0

0( ) ( ) j tf t t F e ωω −− ↔

Απόδειξη

0) 0[ ( ] ( ) j tFT f t t f t t e dtω∞

−∞

− = −∫

Θέτουµε 0t t ξ− = ,αλλαγή µεταβλητής οπότε 0t t ξ= + και dt dξ=

0 0 00[ ( )] ( ) ( ) ( )j t j t j tj jFT f t t f e e d e f e d e Fω ω ωωξ ωξξ ξ ξ ξ ω

∞ ∞− − −− −

−∞ −∞

− = = =∫ ∫

30

Επειδή 0

( )

( ( ) )0

( ) ( )

( ) ( )

j

FTj t

F A e

f t t A e

φ ω

φ ω ω

ω ω

ω −

=

− ↔

Μετατόπιση στον χρόνο ↔Αλλαγή φάσης µόνο,το πλάτος παραµένει ως έχει

Μετατόπιση στη συχνότητα-∆ιαµόρφωση (Modulation)

00

( ) ( )

( ) ( )

FT

FTj t

f t F

f t e Fω

ω

ω ω

↔ −

Απόδειξη

0 0 0

0 0

( )0

0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

[ ( ) cos ] ( )2

1 1( )cos ( ) ( )2 2

j t j t j t

j t j tj t

FT f t e f t e dt f t e dt F

e eFT x t t x t e dt

x t t X

ω ω ω ω

ω ωω

ω ω

ω

ω ω ω ω ω

∞ ∞− − −

−∞ −∞

∞ −−

−∞

= = = −

+=

↔ − + Χ +

∫ ∫

Κλιµάκωση στον χρόνο (µικρή διάρκεια στον χρόνο,µεγάλη στη συχνότητα)

1( ) ( )f at Fa

ωα

Προκύπτει ότι για 1a = − είναι ( ) ( )FT

f t F ω− ↔ −

Συνέλιξη στον χρόνο

Αν 1 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )

FT

FT

f t F

f t F

ω

ω

Τότε 1 2 1 2( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )FT

f t f t f t F F Fω ω ω= ↔ =

31

Απόδειξη

Μετασχηµατισµός FOURIER παραγώγου συνάρτησης

Αν ( ) ( )FT

f t F ω↔

Τότε ( ) ( )FTdf t j F

dtω ω↔ και γενικά ισχύει:

( ) ( ) ( )

n FTnd f t j F

dtω ω↔

Απόδειξη

( ) 1[ ( ) ]2

σειράς της παραγώγισης και ολοκλήρωσης:

1 1 1= ( ) ( ) [ ( )]2π 2 2

j t

j tj t j t

df t d F e ddt dt

ή

deF d F j e d j F e ddt

ω

ωω ω

ω ωπ

λλαγ

ω ω ω ω ω ω ω ωπ π

−∞

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= =

Α

= =

∫ ∫ ∫

Εφαρµογή για την δ-Dirac:

( ) ( )n nFT t jδ ω=

Σχέση Parseval2

21( ) ( )2

f t dt A dω ωπ

∞ ∞

−∞ −∞

∈= =∫ ∫

1 2 1 2

1 2 1 2 2 1 1-

[ ( )] [ ( )* ( )] [ ( ) ( ) ]

Αλλάζουµε την σειρά ολοκλήρωσης t µε τ:

= ( )[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

j t j t

j t j j

FT f t f t f t e dt f f t d e dt

f f t e dt d f F e d F f e d F F

ω ω

ω ωτ ωτ

τ τ τ

τ τ τ τ ω τ ω τ τ ω

∞ ∞ ∞− −

−∞ −∞ −∞

∞ ∞ ∞ ∞− − −

∞ −∞ −∞ −∞

= = − =

− = = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

1( )F ω

32

ΑΣΚΗΣΗ

Να υπολογιστεί η ενέργεια που βρίσκεται στην ζώνη συχνοτήτων απο 0ω = εως 20 ( )radω π= του σήµατος ( ) ( )tf t e u t−= . Επίσης το ποσοστό % της ενέργειας.

Λύση

( ) 1

2

22 2

0 0 0

12

1 1( ) , ( ) tan ( )1 1

1[ ] [ ]2 2

1 1 1 1[tan ] ( )2 1 2 2 2 2 2

j

tt t

F ej

ee dt e dt

d

φ ωω φ ω ωω ω

ω π πωπ ω π π

∞∞ ∞ −− −

∞− ∞

−∞−∞

= = = −+ +

∈= = = =−

∈= = = + =+

∫ ∫

Αρα ισχύει η ταυτότητα του Parseval

201 62.8

1 62.8220

1

1 1 1[tan ] (1.55 1.55) 0.4952 1 2 20.495 0.99 99%0.5

π

ω ωπ ω π π

−−

∈ = = = + =+

∈= = =