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5/11/2018 USP - Slides - slidepdf.com

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Elementos de Lógica MatemáticaUma Breve Iniciação

Glaucio Terra

[email protected]

Departamento de Matematica

IME - USP

Elementos de Logica Matematica – p. 1/

http://www.ime.usp.br/~glaucio






Vamos aprender a falar aramaico?

∀ǫ > 0∃

δ > 0∀x(0 <

|x

|< δ

→ |x2

|< ǫ)




Proposições• Uma proposição é uma afirmação passível

de assumir valor lógico verdadeiro ou falso ;





de assumir valor lógico verdadeiro ou falso ;• Toda proposição é verdadeira ou falsa

(princípio do terceiro excluído );





de assumir valor lógico verdadeiro ou falso ;• Toda proposição é verdadeira ou falsa

(princípio do terceiro excluído );

• Uma proposição não pode ser verdadeira Efalsa (princípio da não-contradição ).




Exemplos de Proposições• 2 > 1 (V);




Exemplos de Proposições• 2 > 1 (V);

• 5 = 1 (F).




Conectivos LógicosProposições podem ser conectadas através dos

seguintes conectivos :





seguintes conectivos :• “¬” ou “!” (negação);






• “∧” (conectivo “e”);






• “∧” (conectivo “e”);• “∨” (conectivo “ou”);







•“

→” (conectivo “implica”);







•“

→” (conectivo “implica”);

• “↔” (conectivo “se, e somente se”).




Conectivos LógicosSejam “P” e “Q” proposições.





• “¬P ” é verdadeira se “P” for falsa, evice-versa;






•“P e Q” é verdadeira se ambas foremverdadeiras, e falsa caso contrário;






•“P e Q” é verdadeira se ambas foremverdadeiras, e falsa caso contrário;

• “P ou Q” é verdadeira se pelo menos uma

delas for verdadeira, e falsa caso contrário.




Conectivos Lógicos• “P→Q” é a mesma coisa que “(¬P) ou Q”; ou

seja, é falsa se o lado esquerdo forverdadeiro e o lado direito falso, e verdadeiraem qualquer outro caso; exemplos:






• “2 > 1 → 3 > 1” (V);






• “2 > 1 → 3 > 1” (V);• “2 > 1 → 1 > 3” (F);






• “2 > 1 → 3 > 1” (V);• “2 > 1 → 1 > 3” (F);

• “5 = 2 → 0 = 1 (V);






• “2 > 1 → 3 > 1” (V);• “2 > 1 → 1 > 3” (F);

• “5 = 2 → 0 = 1 (V);• “P ↔Q” é a mesma coisa que “P→Q e

Q

→P”, ou seja, é verdadeira se ambas forem

verdadeiras ou ambas forem falsas.Elementos de Logica Matematica – p. 7/



Variáveis LivresSeja P uma expressão na qual ocorre uma ou

mais variáveis x, y, z , . . . . Dizemos que umadada ocorrência de uma variável x na expressãoP é livre se x não está no escopo de algum

quantificador ∀ (quantificador universal ) ou ∃(quantificador existencial ).




Variáveis LivresExemplos:





• x > 0





• x > 0 (x é variável livre);





• x > 0 (x é variável livre);• ∃y(y > x)





• x > 0 (x é variável livre);• ∃y(y > x) (x é livre, y é não-livre);






• ∀x∃y(y > x)






• ∀x∃y(y > x)

(nenhuma das variáveis é

livre);






• ∀x∃y(y > x)


livre);

• ∀ǫ∃

δ(0 <|x

−a|

< δ→ |

x2

−a2

|< ǫ)






• ∀x∃y(y > x)


livre);

• ∀ǫ∃

δ(0 <|x

−a|

< δ→ |

x2

−a2

|< ǫ)

(x e a são livres, ǫ e δ são não-livres).




Sentenças abertas

Uma expressão proposicional ou sentença

aberta é uma expressão P na qual ocorre umaou mais variáveis x, y, z , . . . , sendo pela menosuma ocorrência livre.




Sentenças abertas

Uma expressão proposicional ou sentença

aberta é uma expressão P na qual ocorre umaou mais variáveis x, y, z , . . . , sendo pela menosuma ocorrência livre.

Usaremos daqui em diante a notaçãoP (x1, . . . , xn) para designar uma sentença abertana qual as variáveis livres são x1, . . . , xn.


Expressões Proposicionais e



Expressões Proposicionais eProposições

Podemos construir proposições (i.e. sentenças

que podem assumir valor lógico verdadeiro oufalso) a partir de uma dada sentença aberta P ,de duas maneiras:








• atribui-se valores às variáveis livres de P , i.e.substitui-se as variáveis livres de P porelementos de um dado conjunto, o universo

das variáveis;








• atribui-se valores às variáveis livres de P , i.e.substitui-se as variáveis livres de P porelementos de um dado conjunto, o universo

das variáveis;• quantifica-se as variáveis livres de P ,

usando-se os quantificadores∀

ou∃

.




O Quantificador Existencial (“∃

”)

Sejam x uma variável cujo universo é um dado

conjunto U , e P (x) uma sentença aberta.Considere a proposição:

∃xP (x)




O Quantificador Existencial (“∃

”)



∃xP (x)

Por definição, a proposição acima é verdadeira se existir algum elemento do conjunto

U tal que

a substituição da variável livre x de P (x) por esteelemento resulte numa proposição verdadeira.

Caso contrário, diz-se que

∃xP (x) é uma

proposição falsa.Elementos de Logica Matematica – p. 12/



Exemplos

Nos exemplos a seguir, x e y são variáveis reais

(i.e. cujo universo é o conjuntoR

dos númerosreais).




Exemplos



dos númerosreais).

•

∃x(x > 0)




Exemplos



dos númerosreais).

•

∃x(x > 0) (V);




Exemplos



dos númerosreais).

•

∃x(x > 0) (V);

• ∃x(x2 < 0)




Exemplos



dos númerosreais).

•

∃x(x > 0) (V);

• ∃x(x2 < 0) (F);




Exemplos



dos númerosreais).

•

∃x(x > 0) (V);

• ∃x(x2 < 0) (F);

• ∃x∃y(y + 1 < x)




Exemplos



dos númerosreais).

•

∃x(x > 0) (V);

• ∃x(x2 < 0) (F);

• ∃x∃y(y + 1 < x)

(V).




O Quantificador Universal (“∀

”)



∀xP (x)




O Quantificador Universal (“∀

”)



∀xP (x)

Por definição, a proposição acima é verdadeira se a substituição da variável livre x de P (x) por

qualquer elemento do conjunto universo U resultar numa proposição verdadeira. Caso

contrário, diz-se que

∀xP (x) é uma proposição

falsa.Elementos de Logica Matematica – p. 14/



Exemplos

Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são

reais.


E l



Exemplos

Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são

reais.• ∀x(x > 0)


E l



Exemplos

Nos exemplos a seguir, todas as variáveis sãoreais.

• ∀x(x > 0) (F);


E l



Exemplos


• ∀x(x > 0) (F);

• ∀x(x2 0)


E l



Exemplos


• ∀x(x > 0) (F);

• ∀x(x2 0) (V);


E l



Exemplos


• ∀x(x > 0) (F);

• ∀x(x2 0) (V);

• ∀x∀y(x > y)


E l



Exemplos


• ∀x(x > 0) (F);

• ∀x(x2 0) (V);

• ∀x∀y(x > y)

(F);


E emplos



Exemplos


• ∀x(x > 0) (F);

• ∀x(x2 0) (V);

• ∀x∀y(x > y)

(F);

• ∀x∃

y(x > y)


Exemplos



Exemplos


• ∀x(x > 0) (F);

• ∀x(x2 0) (V);

• ∀x∀y(x > y)

(F);

• ∀x∃

y(x > y) (V);


Exemplos



Exemplos


• ∀x(x > 0) (F);

• ∀x(x2 0) (V);

• ∀x∀y(x > y)

(F);

• ∀x∃

y(x > y) (V);

• ∃y∀x(x > y)


Exemplos



Exemplos


• ∀x(x > 0) (F);

• ∀x(x2 0) (V);

• ∀x∀y(x > y)

(F);

• ∀x∃

y(x > y) (V);

• ∃y∀x(x > y)

(F).


Implicações Lógicas




Sejam P (x1, . . . , xn) e Q(x1, . . . , xn) sentençasabertas e

U um conjunto.






Sejam P (x1, . . . , xn) e Q(x1, . . . , xn) sentençasabertas e

U um conjunto.

• Diz-se que P implica logicamente Q, nouniverso U , e escreve-se P ⇒ Q, se a

seguinte proposição for verdadeira,tomando-se U como universo das variáveisx1, . . . , xn:

∀x1

· · · ∀xn(P (x1, . . . , x

n) → Q(x1, . . . , xn)) · · · .






• Noutras palavras, isto significa que quaisquervalores de x1, . . . , xn no universo

U que

tornam P verdadeira também tornam Qverdadeira.






• Noutras palavras, isto significa que quaisquervalores de x1, . . . , xn no universo

U que

tornam P verdadeira também tornam Qverdadeira.

• Diz-se que P é logicamente equivalente a Q,e escreve-se P ⇔ Q, se P ⇒ Q e Q ⇒ P .


Exemplos



Exemplos

• Seja U o conjunto dos triângulos do plano.Então:T retângulo ⇒ o quadrado de um dos ladosde T é a soma dos quadrados dos outrosdois.


Exemplos



Exemplos

• Seja U o conjunto dos triângulos do plano.Então:T retângulo ⇒ o quadrado de um dos ladosde T é a soma dos quadrados dos outrosdois.Com efeito, no universo U , a seguinteproposição é verdadeira:

∀T (T retângulo

→o quadrado de um dos

lados de T é a soma dos quadrados dosoutros dois).


Exemplos



Exemplos

• Em U = R, 0 x 2 ⇒ x2 4, masx2 4 0 x 2.


Exemplos



Exemplos

• Em U = R, 0 x 2 ⇒ x2 4, masx2 4 0 x 2.

• Um teorema é um enunciado da formaH ⇒ T , onde H e T são sentenças

chamadas, respectivamente, de hipótese etese.




Exercícios


Como dizer “não”



Como dizer não

Sejam, P, Q proposições. Verifique que sãoverdadeiras:





Como dizer não


•¬(P ∧ Q)

↔ (¬P ) ∨ (¬Q)





Como dizer não


•¬(P ∧ Q)

↔ (¬P ) ∨ (¬Q)

• ¬(P

∨Q) ↔ (

¬P )

∧(¬

Q)





Como dizer não


•¬(P ∧ Q)

↔ (¬P ) ∨ (¬Q)

• ¬(P

∨Q) ↔ (

¬P )

∧(¬

Q)•

P → Q) ↔ (¬Q) → (¬P )





Como dizer não

Sejam, P (x), Q(x) sentenças abertas, U ouniverso de x. Verifique que são verdadeiras:





Como dizer não


•¬(∀x(P (x)))

↔ ∃x(¬P (x))





Co o d e ão


•¬(∀x(P (x)))

↔ ∃x(¬P (x))

• ¬(∃

x(P (x))) ↔ ∀x(

¬P (x)))




Encontre a negação das seguintes proposições.A seguir, decida se são verdadeiras ou falsas(todas as variáveis são reais); justifique.

1. ∀x∃y(y > x)

.

2.

∀ǫ > 0∃

δ > 0∀x(0 <

|x|

< δ→ |

5x|

< ǫ).

OBS.: usa-se correntemente as abreviações:

“∃δ > 0

P (δ)

” para “∃δ

δ > 0 ∧ P (δ)

”;“∃δ ∈ A

P (δ)

” para “∃δ

δ ∈ A ∧ P (δ)

”;

“

∀ǫ > 0

P (ǫ)

” para “

∀ǫ

ǫ > 0

→P (ǫ)

”, etc.




Respostas:

1. Verdadeira; dado x ∈ R qualquer, tomey = x + 2 > x. Negação: ∃x∀y(y x)

.

2. Verdadeira; dado ǫ > 0 qualquer, tome

δ = ǫ/5. Negação:

∃ǫ > 0∀δ > 0

∃x(0 < |x| < δ ∧ |5x| ǫ)

.




Encontre a negação das seguintes proposições.A seguir, decida se são verdadeiras ou falsas

(todas as variáveis são reais); justifique.

1.∀

ǫ > 0∃δ > 0∀

x(0 <|x|

< δ→ |

x2

|< ǫ).

2. ∀ǫ > 0∃δ > 0

∀x(0 < |x| < δ → |x2 − 1| <

ǫ)

.




Respostas:

1. Verdadeira: dado ǫ > 0 qualquer, tomeδ = √ǫ. Negação:

∃ǫ > 0

∀δ > 0∃

x(0 <

|x

|< δ

∧ |x2

| ǫ)

.

2. Falsa (sugestão: verifique que a negação éverdadeira). Negação:

∃ǫ > 0∀δ > 0

∃x(0 < |x| < δ ∧|x2− 1| ǫ)

.


Referências



• Jaime Ferreira de Campos, Elementos de Lógica

Matemática e Teoria dos Conjuntos , in Lições de

Análise Real , Instituto Superior Técnico, Lisboa, 2001.

http://www.math.ist.utl.pt/ jmatos/ltc/ltc.pdf

• Edgar de Alencar Filho, Iniciação à Lógica Matemática , Nobel, São Paulo, 1986.


http://www.math.ist.utl.pt/~jmatos/ltc/ltc.pdf

http://www.math.ist.utl.pt/~jmatos/ltc/ltc.pdf

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