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Elementos de Lgica MatemticaUma Breve Iniciao Glaucio Terraglaucio@ime.usp.br

Departamento de Matematica IME - USP

Elementos de Logica Matematica p. 1/2

Vamos aprender a falar aramaico? > 0 > 0 x(0 < |x| < |x2 | < )

Elementos de Logica Matematica p. 2/2

Proposies

Uma proposio uma armao passvel de assumir valor lgico verdadeiro ou falso;

Elementos de Logica Matematica p. 3/2

Proposies

Uma proposio uma armao passvel de assumir valor lgico verdadeiro ou falso; Toda proposio verdadeira ou falsa (princpio do terceiro excludo);

Elementos de Logica Matematica p. 3/2

Proposies

Uma proposio uma armao passvel de assumir valor lgico verdadeiro ou falso; Toda proposio verdadeira ou falsa (princpio do terceiro excludo); Uma proposio no pode ser verdadeira E falsa (princpio da no-contradio).

Elementos de Logica Matematica p. 3/2

Exemplos de Proposies

2 > 1 (V);

Elementos de Logica Matematica p. 4/2

Exemplos de Proposies

2 > 1 (V); 5 = 1 (F).

Elementos de Logica Matematica p. 4/2

Conectivos LgicosProposies podem ser conectadas atravs dos seguintes conectivos:

Elementos de Logica Matematica p. 5/2

Conectivos LgicosProposies podem ser conectadas atravs dos seguintes conectivos:

ou ! (negao);

Elementos de Logica Matematica p. 5/2

Conectivos LgicosProposies podem ser conectadas atravs dos seguintes conectivos:

ou ! (negao); (conectivo e);

Elementos de Logica Matematica p. 5/2

Conectivos LgicosProposies podem ser conectadas atravs dos seguintes conectivos:

ou ! (negao); (conectivo e); (conectivo ou);

Elementos de Logica Matematica p. 5/2

Conectivos LgicosProposies podem ser conectadas atravs dos seguintes conectivos:

ou ! (negao); (conectivo e); (conectivo ou); (conectivo implica);

Elementos de Logica Matematica p. 5/2

Conectivos LgicosProposies podem ser conectadas atravs dos seguintes conectivos:

ou ! (negao); (conectivo e); (conectivo ou); (conectivo implica); (conectivo se, e somente se).

Elementos de Logica Matematica p. 5/2

Conectivos LgicosSejam P e Q proposies.

Elementos de Logica Matematica p. 6/2

Conectivos LgicosSejam P e Q proposies.

P verdadeira se P for falsa, e vice-versa;

Elementos de Logica Matematica p. 6/2

Conectivos LgicosSejam P e Q proposies.

P verdadeira se P for falsa, e vice-versa; P e Q verdadeira se ambas forem verdadeiras, e falsa caso contrrio;

Elementos de Logica Matematica p. 6/2

Conectivos LgicosSejam P e Q proposies.

P verdadeira se P for falsa, e vice-versa; P e Q verdadeira se ambas forem verdadeiras, e falsa caso contrrio; P ou Q verdadeira se pelo menos uma delas for verdadeira, e falsa caso contrrio.

Elementos de Logica Matematica p. 6/2

Conectivos Lgicos

PQ a mesma coisa que (P) ou Q; ou seja, falsa se o lado esquerdo for verdadeiro e o lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso; exemplos:

Elementos de Logica Matematica p. 7/2

Conectivos Lgicos

PQ a mesma coisa que (P) ou Q; ou seja, falsa se o lado esquerdo for verdadeiro e o lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso; exemplos: 2 > 1 3 > 1 (V);

Elementos de Logica Matematica p. 7/2

Conectivos Lgicos

PQ a mesma coisa que (P) ou Q; ou seja, falsa se o lado esquerdo for verdadeiro e o lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso; exemplos: 2 > 1 3 > 1 (V); 2 > 1 1 > 3 (F);

Elementos de Logica Matematica p. 7/2

Conectivos Lgicos

PQ a mesma coisa que (P) ou Q; ou seja, falsa se o lado esquerdo for verdadeiro e o lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso; exemplos: 2 > 1 3 > 1 (V); 2 > 1 1 > 3 (F); 5 = 2 0 = 1 (V);

Elementos de Logica Matematica p. 7/2

Conectivos Lgicos

PQ a mesma coisa que (P) ou Q; ou seja, falsa se o lado esquerdo for verdadeiro e o lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso; exemplos: 2 > 1 3 > 1 (V); 2 > 1 1 > 3 (F); 5 = 2 0 = 1 (V);

P Q a mesma coisa que PQ e QP, ou seja, verdadeira se ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas.

Elementos de Logica Matematica p. 7/2

Variveis LivresSeja P uma expresso na qual ocorre uma ou mais variveis x, y, z, . . . . Dizemos que uma dada ocorrncia de uma varivel x na expresso P livre se x no est no escopo de algum quanticador (quanticador universal) ou (quanticador existencial).

Elementos de Logica Matematica p. 8/2

Variveis LivresExemplos:

Elementos de Logica Matematica p. 9/2

Variveis LivresExemplos:

x>0

Elementos de Logica Matematica p. 9/2

Variveis LivresExemplos:

x > 0 (x varivel livre);

Elementos de Logica Matematica p. 9/2

Variveis LivresExemplos:

x > 0 (x varivel livre); y(y > x)

Elementos de Logica Matematica p. 9/2

Variveis LivresExemplos:

x > 0 (x varivel livre); y(y > x) (x livre, y no-livre);

Elementos de Logica Matematica p. 9/2

Variveis LivresExemplos:

x > 0 (x varivel livre); y(y > x) (x livre, y no-livre); x y(y > x)

Elementos de Logica Matematica p. 9/2

Variveis LivresExemplos:

x > 0 (x varivel livre); x y(y > x) (nenhuma das variveis livre); y(y > x) (x livre, y no-livre);

Elementos de Logica Matematica p. 9/2

Variveis LivresExemplos:

x > 0 (x varivel livre); x y(y > x) (nenhuma das variveis livre); (0 < |x a| < |x2 a2 | < ) y(y > x) (x livre, y no-livre);

Elementos de Logica Matematica p. 9/2

Variveis LivresExemplos:

x > 0 (x varivel livre); x y(y > x) (nenhuma das variveis livre); (0 < |x a| < |x2 a2 | < ) (x e a so livres, e so no-livres). y(y > x) (x livre, y no-livre);

Elementos de Logica Matematica p. 9/2

Sentenas abertasUma expresso proposicional ou sentena aberta uma expresso P na qual ocorre uma ou mais variveis x, y, z, . . . , sendo pela menos uma ocorrncia livre.

Elementos de Logica Matematica p. 10/2

Sentenas abertasUma expresso proposicional ou sentena aberta uma expresso P na qual ocorre uma ou mais variveis x, y, z, . . . , sendo pela menos uma ocorrncia livre. Usaremos daqui em diante a notao P (x1 , . . . , xn ) para designar uma sentena aberta na qual as variveis livres so x1 , . . . , xn .

Elementos de Logica Matematica p. 10/2

Expresses Proposicionais e ProposiesPodemos construir proposies (i.e. sentenas que podem assumir valor lgico verdadeiro ou falso) a partir de uma dada sentena aberta P , de duas maneiras:

Elementos de Logica Matematica p. 11/2

Expresses Proposicionais e ProposiesPodemos construir proposies (i.e. sentenas que podem assumir valor lgico verdadeiro ou falso) a partir de uma dada sentena aberta P , de duas maneiras:

atribui-se valores s variveis livres de P , i.e. substitui-se as variveis livres de P por elementos de um dado conjunto, o universo das variveis;

Elementos de Logica Matematica p. 11/2

Expresses Proposicionais e ProposiesPodemos construir proposies (i.e. sentenas que podem assumir valor lgico verdadeiro ou falso) a partir de uma dada sentena aberta P , de duas maneiras:

atribui-se valores s variveis livres de P , i.e. substitui-se as variveis livres de P por elementos de um dado conjunto, o universo das variveis; quantica-se as variveis livres de P , usando-se os quanticadores ou .

Elementos de Logica Matematica p. 11/2

O Quanticador Existencial ()Sejam x uma varivel cujo universo um dado conjunto U, e P (x) uma sentena aberta. Considere a proposio: x P (x)

Elementos de Logica Matematica p. 12/2

O Quanticador Existencial ()Sejam x uma varivel cujo universo um dado conjunto U, e P (x) uma sentena aberta. Considere a proposio: x P (x) Por denio, a proposio acima verdadeira se existir algum elemento do conjunto U tal que a substituio da varivel livre x de P (x) por este elemento resulte numa proposio verdadeira. Caso contrrio, diz-se que x P (x) uma proposio falsa.

Elementos de Logica Matematica p. 12/2

ExemplosNos exemplos a seguir, x e y so variveis reais (i.e. cujo universo o conjunto R dos nmeros reais).

Elementos de Logica Matematica p. 13/2

ExemplosNos exemplos a seguir, x e y so variveis reais (i.e. cujo universo o conjunto R dos nmeros reais).

x(x > 0)

Elementos de Logica Matematica p. 13/2

ExemplosNos exemplos a seguir, x e y so variveis reais (i.e. cujo universo o conjunto R dos nmeros reais).

x(x > 0) (V);

Elementos de Logica Matematica p. 13/2

ExemplosNos exemplos a seguir, x e y so variveis reais (i.e. cujo universo o conjunto R dos nmeros reais).

x(x > 0) (V); x(x2 < 0)

Elementos de Logica Matematica p. 13/2

ExemplosNos exemplos a seguir, x e y so variveis reais (i.e. cujo universo o conjunto R dos nmeros reais).

x(x > 0) (V);

x(x2 < 0) (F);

Elementos de Logica Matematica p. 13/2

ExemplosNos exemplos a seguir, x e y so variveis reais (i.e. cujo universo o conjunto R dos nmeros reais).

x(x > 0) (V);

x(x2 < 0) (F);

x y(y + 1 < x)

Elementos de Logica Matematica p. 13/2

ExemplosNos exemplos a seguir, x e y so variv