1

∆ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο 0x του πεδίου

ορισµού της, όταν υπάρχει στο � , το

0

0 )()(lim

0xx

xfxf

xx −

−

→

Το όριο αυτό ονοµάζεται παράγωγος της f στο 0x και συµβολίζεται µε )(' 0xf .

Συνεπώς θα έχουµε

0

00

)()()(' lim

0xx

xfxfxf

xx −

−=

→

(1)

Αν στην παραπάνω ισότητα θέσουµε όπου hxx += 0 , τότε αφού 0xx → θα είναι

0→h και έτσι θα έχουµε τη γνωστή από το βιβλίο της Γενικής Παιδείας ισοδύναµη

µορφή

h

xfhxfxf

h

)()()(' 00

00 lim

−+=

→

(2)

Ο τύπος (2) χρησιµοποιείται κυρίως σε ασκήσεις όπου αντί του τύπου της f δίνεται

µία συναρτησιακή σχέση, όπως π.χ η ασκ.2Β/220 του σχολικού βιβλίου.

Μπορούµε επίσης να συµβολίσουµε µε 0xxx −=∆ (µεταβολή του x ) και µε

)()()( 00 xfxfxf −=∆ οπότε µπορούµε να έχουµε και τη µορφή

x

xfxf

x ∆

∆=

→∆

)()(' 0

0

0 lim (3)

Η παράγωγος επίσης αντί για το )(' 0xf συµβολίζεται και µε 0/ xxdx

df= .

2

Προφανώς από τη θεωρία των ορίων γνωρίζουµε ότι

Η f είναι παραγωγίσιµη σε ένα εσωτερικό σηµείο 0x ενός διαστήµατος του πεδίου

ορισµού της, αν υπάρχουν στο � και είναι ίσα µεταξύ τους τα πλευρικά όρια

0

0 )()(lim

0xx

xfxf

xx −

−−→

, 0

0 )()(lim

0xx

xfxf

xx −

−+→

.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

1) Εάν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο 0x , τότε ο αριθµός

)(' 0xf εκφράζει το συντελεστή διεύθυνσης λ της εφαπτοµένης της fC στο σηµείο

( ))(, 00 xfxΑ . Εποµένως η εξίσωση εφαπτοµένης της fC στο σηµείο ( ))(, 00 xfxΑ

θα δίνεται από τη σχέση

( )000 )(')( xxxfxfy −⋅=−

Ο αριθµός )(' 0xf λέγεται και κλίση της fC στο σηµείο Α.

2) Με βάση τον ορισµό της παραγώγου η στιγµιαία ταχύτητα ενός κινητού τη

χρονική στιγµή 0t , θα δίνεται από την παράγωγο της συνάρτησης θέσης του )(tS τη

χρονική στιγµή 0t . Θα έχουµε δηλαδή

)(')( 00 tstu =

3

Παράγωγος και συνέχεια

Θεώρηµα

Αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο 0x , τότε θα είναι και

συνεχής στο σηµείο αυτό.

Απόδειξη

Αρκεί να δείξουµε ότι ( ) ( ) 0)()()( 00 limlim00

=−⇔=→→

xfxfxfxfxxxx

, σύµφωνα µε

τον ορισµό της συνέχειας.

Έτσι για 0xx ≠ , θα έχουµε

( )00

00

)()()()( xx

xx

xfxfxfxf −⋅

−

−=− , εποµένως

( ) ( )

( )

0 0

0 0

00 0

0

00

0

0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

'( ) 0 0

lim lim

lim lim

x x x x

x x x x

f x f xf x f x x x

x x

f x f xx x

x x

f x

→ →

→ →

−− = ⋅ − = − −

= ⋅ − =−

= ⋅ =

Συνεπώς είναι ( )0)(lim0

xfxfxx

=→

, δηλαδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0x .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

1) Το αντίστροφο του προηγούµενου θεωρήµατος ∆ΕΝ ισχύει κατ’ ανάγκη, αφού

µπορεί η f να είναι συνεχής σε κάποιο σηµείο 0x , αλλά να µην είναι παραγωγίσιµη σε

αυτό.

4

2) Χαρακτηριστικό παράδειγµα τέτοιας συνάρτησης είναι η xxf =)( , η οποία

είναι συνεχής στο 0, αλλά όχι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, όπως αποδεικνύεται

5

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο – Λ Α Θ Ο Σ

2.1 Αν είναι +∞=−

−

→ 0

0 )()(lim

0xx

xfxf

xx

,τότε η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιµη

στο 0x

Σ Λ

2.2 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο 0x ∈� , τότε θα ισχύει

( ) ( ) ( ) ( )h

xfhxf

h

xfhxf

hh

00

0

00

0limlim

−−=

−+

→→

Σ Λ

2.3 Αν xexf =)( , τότε h

eexf

xhx

h

00

lim0

0 )('−

=+

→

Σ Λ

2.4 Αν µία συνάρτηση είναι συνεχής στο 0x , τότε ορίζεται πάντα η εφαπτοµένη της

fC στο σηµείο ( ))(, 00 xfxΜ

Σ Λ

2.5 Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο ( ))(, 00 xfxΜ , δεν

έχει άλλο κοινό σηµείο µε την fC .

Σ Λ

2.6 Για µία συνάρτηση f ισχύει ( ) xexxf ⋅+= 3)(' , τότε η fC στο σηµείο

( )( )3,3 −− f δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη.

Σ Λ

6

2.7 Η συνάρτηση f , της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο

σχήµα, έχει εφαπτοµένη στο ( )( )00 , xfx .

Σ Λ

2.8 Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης µιας σταθερής

συνάρτησης σε οποιοδήποτε σηµείο της, συµπίπτει µε τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης.

Σ Λ

2.9 Αν δύο συναρτήσεις τέµνονται, τότε στο κοινό τους σηµείο δέχονται πάντα κοινή

εφαπτοµένη.

Σ Λ

7

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ

2.10 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη στο

σηµείο ( ))(, 00 xfxΜ , όταν ισχύει

Η f είναι συνεχής στο 0x

Το 0x είναι άκρο του πεδίου ορισµού της συνάρτησης

είναι 0)(' 0 =xf

είναι +∞=−

−

→ 0

0 )()(lim

0xx

xfxf

xx

.

2.11 Η συνάρτηση xxf =)( , [ )+∞∈ ,0x είναι παραγωγίσιµη

στο πεδίο ορισµού της

στο ),0( +∞

στο 00 =x

στο ( ) ( )+∞∪∞− ,00,

σε κανένα σηµείο του πεδίου ορισµού της.

2.12 Η γραφική παράσταση fC της συνάρτησης ( ) xxf ηµ= ,

[ ]π,0∈x και της ευθείας (ε) µε συντελεστή διεύθυνσης 2

1=λ ,

φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Το σηµείο ( )( )00 , xfxΑ στο οποίο η

εφαπτοµένη της fC είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) έχει

τετµηµένη

6

π

4

π

3

π

2

π

4

3π.

8

2.13 Αν η ευθεία µε εξίσωση 13 += xy είναι εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης f στο σηµείο της ( ))2(,2 fΑ τότε

α) Η τιµή )2(f είναι ίση µε

7 6 3 2 -2

β) Η κλίση της f στο 2 είναι ίση µε

1 2 -4 3 5.

2.14 Αν είναι 3)0()(

lim0

=−

→ x

fxf

x

, τότε

0)3(' =f

Η f είναι συνεχής στο 3

3)0(' =f

∆εν ισχύει κανένα από τα παραπάνω.

2.15 Ποια από τις επόµενες γραφικές παραστάσεις αντιστοιχεί σε συνάρτηση

παραγωγίσιµη στο 0;

9

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ

2.16 Υπολογίστε, εφόσον υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων

α) .2,1)( 03 =−= xxxf στο β) .0,1)( 0 =+= xxxf στο

2.17 Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιµη στο 00 =x η συνάρτηση f µε

xxxxf ηµ⋅+⋅= 2)( .

2.18 Ν’ αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 00 =x η συνάρτηση

=

≠⋅=0,0

0,1

)(3

x

xx

xxf

συν.

2.19 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

)()( xfxxg ⋅=ηµ , είναι παραγωγίσιµη στο 0.

2.20 Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε

10

2.22 Αν για µία συνάρτηση f ισχύει ότι 125)4( 3 +−=− hhhf , για κάθε h∈� , να

αποδείξετε ότι

α) 1)4( =−f β) 2)4(' −=−f .

2.23 ∆ίνεται η συνάρτηση :f →� � µε ).(4)( xgxxf ⋅+= Αν στο 40 −=x η g

είναι συνεχής και η f παραγωγίσιµη, δείξτε ότι η εξίσωση 0)( =xg έχει ρίζα τον

αριθµό –4.

2.24 Έστω η συνάρτηση f µε

>+

≤++⋅=

0,

0,4)(

2

xx

xxxxf

βηµα

. Να βρείτε τους

,α β ∈� , ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη στο .00 =x

2.25 Οµοίως να βρεθούν οι , ,α β γ ∈� ώστε η f µε

>++

=

11

2.29 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ,)( xxf συν= στο σηµείο

Μ

0,

2

π έχει εφαπτοµένη που σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο εµβαδού ...

8

2

µτπ

2.30 Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε για κάθε x∈� να ισχύει

3)(3 32 ++≤≤++ xxxfxx . ∆είξτε ότι

α) 3)0( =f

β) ).1()0()()1( 2 +⋅≤−≤+⋅ xxfxfxx

γ) Η f είναι παραγωγίσιµη στο .00 =x

δ) Η fC έχει εφαπτοµένη στο ,00 =x της οποίας να βρεθεί η εξίσωση.

2.31 Αν η συνάρτηση f είναι άρτια και στο 2 έχει κλίση ίση µε 2

3− , να βρείτε την

κλίση της συνάρτησης f στο –2.

2.32 Αν είναι )()()( yfxfyxf ⋅=+ , για κάθε ,x y∈� και υπάρχει συνάρτηση g

µε 1)()( +⋅= xgxxf για κάθε 0≠x και ,1)(lim0

=→

xgx

να αποδείξετε ότι η f είναι

παραγωγίσιµη σε κάθε Rx ∈0 και ότι )()(' 00 xfxf = .

12

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2

Παραγωγίσιµες συναρτήσεις-Παράγωγος συνάρτηση

Ορισµοί

1) Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο (α,β), εάν είναι παραγωγίσιµη σε

κάθε ( )βα ,0 ∈x .

2) Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [α,β], εάν είναι παραγωγίσιµη σε

κάθε ( )βα ,0 ∈x και επιπλέον ισχύουν

( ) ( )limx

f x f

xα

αα+→

−∈

−� ,

( )( )limx

f x f

xβ

ββ−→

−∈

−�

Παράγωγος Συνάρτηση

Έστω συνάρτηση f ορισµένη σε ένα σύνολο Α και έστω Α΄ ένα υποσύνολο του Α

για κάθε x του οποίου η f είναι παραγωγίσιµη. Ορίζεται τότε µία νέα συνάρτηση που

συµβολίζεται µε 'f και καλείται πρώτη παράγωγος της f .

Έχουµε συνεπώς

' : ' '( )f x f x∈Α → ∈�

Με ανάλογο τρόπο µπορούµε να ορίσουµε και την παράγωγο της 'f που λέγεται

δεύτερη παράγωγος της f και συµβολίζεται µε ''f . Επαγωγικά µπορεί να οριστεί και η

ν-οστή παράγωγος της f , η οποία θα συµβολίζεται µε )(νf , δηλαδή

( ) [ ] ')1( )()( xfxf −= νν

13

Παράγωγοι µερικών βασικών συναρτήσεων

1) Η σταθερή συνάρτηση ( ) ,f x c c= ∈� είναι παραγωγίσιµη µε

( ) 0' =c

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Για 0xx ≠ , υπολογίζω το 0

)()(

00

0 =−−

=−

−

xx

cc

xx

xfxf, συνεπώς

00)()(

limlim00 0

0 ==−

−

→→ xxxx xx

xfxf

2) Η ταυτοτική συνάρτηση xxf =)( , είναι παραγωγίσιµη στο � µε

( ) 1' =x

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Για 0xx ≠ , υπολογίζω το 1)()(

0

0

0

0 =−

−=

−

−

xx

xx

xx

xfxf, συνεπώς

11)()(

limlim00 0

0 ==−

−

→→ xxxx xx

xfxf

3) Η συνάρτηση { }*( ) , 1f x xν ν= ∈ −� είναι παραγωγίσιµη στο � , µε

( ) 1' −⋅= νν ν xx ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Για 0xx ≠ , υπολογίζω το

( ) ( ) 100

21

0

1

00

21

0

0

0

0

0 )()( −−−−−−

++⋅+=−

++⋅+⋅−=

−

−=

−

− νννννννν

xxxxxx

xxxxxx

xx

xx

xx

xfxf�

�

Εποµένως θα έχουµε

( ) 10101010100210

0

limlim00

)()( −−−−−−−

→→

⋅=+++=++⋅+=−

− ννννννν ν xxxxxxxxxx

xfxf

xxxx

��

14

4) Η συνάρτηση xxf =)( είναι παραγωγίσιµη στο ( )+∞,0 και ισχύει

( )x

x⋅

=2

1'

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Πράγµατι, αν 0x είναι ένα σηµείο του ( )+∞,0 , τότε για 0xx ≠ ισχύει

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 000

0

00

00

0

0

0

0 1)()(

xxxxxx

xx

xxxx

xxxx

xx

xx

xx

xfxf

+=

+⋅−

−=

+⋅−

+⋅−=

−

−=

−

−

Εποµένως θα έχουµε

000

0

2

11)()(limlim

00 xxxxx

xfxf

xxxx

=+

=−

−

→→

Παρατήρηση Στο 00 =x , η xxf =)( ∆ΕΝ είναι παραγωγίσιµη αφού

+∞===−−

+++ →→→ xx

x

x

fxf

xxx

1

0

)0()(limlimlim

000

.

5) Η συνάρτηση xxf ηµ=)( είναι παραγωγίσιµη στο � µε

( ) xx συνηµ =' .

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Για x∈� και 0≠h ισχύει

( )

( )h

hx

h

hx

h

xhxhx

h

xhx

h

xfhxf

ηµσυν

συνηµ

ηµηµσυνσυνηµηµηµ

⋅+−⋅

=

=−⋅+⋅

=−+

=−+

1

)()(

Εποµένως θα έχουµε

xxxh

hx

h

hx

h

hx

h

hx

h

xfhxf

hh

hh

συνσυνηµηµ

συνσυν

ηµ

ηµσυν

συνηµ

=⋅+⋅=⋅+−

⋅=

=

⋅+−

⋅=−+

→→

→→

101

1)()(

limlim

limlim

00

00

15

6) Η συνάρτηση xxf συν=)( , είναι παραγωγίσιµη στο � , µε

( ) xx ηµσυν −='

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Για x∈� και 0≠h ισχύει

( )

( )h

hx

h

hx

h

xhxhx

h

xhx

h

xfhxf

ηµηµ

συνσυν

συνηµηµσυνσυνσυνσυν

⋅−−−⋅

=

=−⋅−⋅

=−+

=−+

1

)()(

Εποµένως θα έχουµε

xxx

h

hx

h

hx

h

xfhxf

hhh

ηµηµσυν

ηµηµ

συνσυν

−=⋅−⋅=

=⋅−−⋅

=−+

→→→

10

)1()()(limlimlim

000

7) Η συνάρτηση xexf =)( είναι παραγωγίσιµη στο � µε

( ) xx ee ='

8) Η συνάρτηση xxf ln)( = είναι παραγωγίσιµη στο ( )+∞,0 µε

( )x

x1

'ln =

16

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο- Λ Α Θ Ο Σ

2.33 Στη συνάρτηση 4)( xxf = υπάρχουν σηµεία της fC στα οποία οι εφαπτόµενες

είναι παράλληλες

Σ Λ

2.34 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο 3, τότε θα είναι [ ]')3()3(' ff = .

Σ Λ

2.35 Ισχύει ,00 == xxdx

dcόπου c σταθερά και 0x ∈� .

Σ Λ

2.36 Αν xxf ηµ=)( , τότε 12

' =

πf .

Σ Λ

2.37 Η συνάρτηση 0,log)( >= xxxf είναι παραγωγίσιµη στο ( )+∞,0 µε

10ln

1)('

⋅=

xxf .

Σ Λ

2.38 Η ευθεία (ε) στο σχήµα είναι εφαπτοµένη της fC . Ισχύει

( ) 12 =′f

Σ Λ

17

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ

2.39 Να υπολογίσετε, εάν ορίζεται, την παράγωγο των ακόλουθων συναρτήσεων

α)

≥

<=

2,

2,)(

3

xx

xxxf β)

>

≤=

πηµπσυν

xx

xxxf

,

,)(

γ)

>

≤=

0,

0,)(

xx

xxxf

ηµ δ) .)( 2 xxxf ⋅=

2.40 ∆ίνεται η συνάρτηση

≥

<=

0,

0,)(

100

1000

xx

xxxf .

α) Να βρείτε την παράγωγο της .f

β) Να εξετάσετε την 'f ως προς τη συνέχεια.

2.41 ∆ίνεται η συνάρτηση f µε 2)( xxf = και η ευθεία ε: .022 =+− yx Να

βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της fC η οποία είναι κάθετη στην ε.

2.42 Έστω η συνάρτηση xxf =)( και ( )αα 2,4Α , όπου α>0, ένα σηµείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία που διέρχεται από τα

σηµεία ( )αα 2,4Α και Β ( )αα −− ,8 εφάπτεται της γραφικής παράστασης στο σηµείο Α.

2.43 Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε 4)( xxf = .

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της fC η οποία διέρχεται από το σηµείο

(0,-3)

β) Να βρείτε την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f η οποία

έχει κλίση ίση µε -4.

2.44 ∆ίνεται η συνάρτηση f µε 3)( xxf = καθώς και η ευθεία ε: .13

1+−= xy

18

α) Να βρεθεί, αν υπάρχει, σηµείο της fC στο οποίο η εφαπτοµένη διέρχεται απ’ την

αρχή των αξόνων

β) Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτοµένης της fC η οποία είναι κάθετη στην (ε)

γ) ∆είξτε ότι υπάρχουν δύο εφαπτόµενες της fC παράλληλες σε κάθε ευθεία

κάθετη στην (ε).

2.45 ∆ίνονται οι συναρτήσεις xxf ln)( = και xexg =)( .

α) Να βρεθεί η παράγωγος της gf �

β) Να προσδιοριστούν οι εφαπτόµενες της γραφικής παράστασηςC της gf � ,στα

κοινά της σηµεία µε την ευθεία .xy =

γ) Να βρεθούν οι κάθετες στις εφαπτόµενες του β) στα κοινά της C µε την .xy =

2.46 ∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση :f →� � για την οποία ισχύει

4'( ) ,f x x x= ∈� .

α) Υπολογίστε την )('' xf

β) Να λύσετε την εξίσωση )('')(' xfxf =

γ) Αν ( ) 0,)(', 000 ≠Α xxfx είναι το κοινό σηµείο των ''' , ff CC , να βρείτε την

εξίσωση εφαπτοµένης ε της 'fC στο σηµείο Α

δ) Να βρείτε τις τετµηµένες των κοινών σηµείων της ε µε τη ''fC .

2.47 Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης

>−

≤=

1,2

1,)(

3

xx

xxxf στο σηµείο Μ(1,1).

2.48 Αποδείξτε ότι ο άξονας xx ' είναι εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης h µε .)( xxxh ηµ⋅=

19

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3

Κανόνες Παραγώγισης

Θεώρηµα 1 (Παράγωγος αθροίσµατος)

Αν οι συναρτήσεις gf , είναι παραγωγίσιµες στο 0x , τότε και η συνάρτηση gf +

είναι παραγωγίσιµη στο 0x και ισχύει

( ) )(')(')( 000'

xgxfxgf +=+

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Για 0xx ≠ , θα έχουµε

( )( ) ( )( )0

0

0

0

0

00

0

0 )()()()()()()()(

xx

xgxg

xx

xfxf

xx

xgxfxgxf

xx

xgfxgf

−

−+

−

−=

−

−−+=

−

+−+

Εποµένως θα έχουµε

( ) ( ))(')('

)()()()()()(00

0

0

0

0

0

0

limlimlim000

xgxfxx

xgxg

xx

xfxf

xx

xgfxgf

xxxxxx

+=−

−+

−

−=

−

+−+

→→→

Γενικεύοντας αν gf , παραγωγίσιµες για ∆∈x , τότε θα ισχύει

( ) )(')(')(' xgxfxgf +=+

Ο παραπάνω κανόνας επεκτείνεται και για περισσότερες από 2 παραγωγίσιµες

συναρτήσεις, και έτσι µπορούµε να έχουµε

( ) )()()()( ''2'1'

21 xfxfxfxfff κκ +++=+++ ��

Θεώρηµα 2 (Παράγωγος γινοµένου)

Αν οι συναρτήσεις gf , είναι παραγωγίσιµες στο 0x , τότε και η συνάρτηση gf ⋅

είναι παραγωγίσιµη στο 0x και ισχύει

( ) )(')()()(')( 00000'

xgxfxgxfxgf ⋅+⋅=⋅

20

Ο κανόνας επεκτείνεται και για περισσότερες από 2 παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Έτσι

για 3 παραγωγίσιµες συναρτήσεις hgf ,, , θα έχουµε

[ ]( ) ( ) ( )[ ]

)(')()()()(')()()()('

)(')()()()(')()()('

)(')()()('

xhxgxfxhxgxfxhxgxf

xhxgxfxhxgxfxgxf

xhxgfxhxgfxhgf

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅+⋅=

=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅

Πόρισµα Αν c∈� και f παραγωγίσιµη συνάρτηση σε ένα διάστηµα ∆, τότε και η

fc ⋅ είναι επίσης παραγωγίσιµη στο ∆ και ισχύει

( ) )(')(' xfcxfc ⋅=⋅

Θεώρηµα 3 (Παράγωγος πηλίκου)

Αν οι συναρτήσεις gf , είναι παραγωγίσιµες στο 0x , τότε και η συνάρτηση g

f είναι

παραγωγίσιµη στο 0x και ισχύει

( )[ ]20

00000

'

)(

)(')()()('

xg

xgxfxgxfx

g

f ⋅−⋅=

Εποµένως, αν η f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ∆, µε 0)( ≠xf , ∆∈x , τότε

και η f

1 είναι παραγωγίσιµη στο ∆ και ισχύει

( ))(

)('12

'

xf

xfx

f−=

Παράγωγοι µερικών βασικών συναρτήσεων

1) Η συνάρτηση ( ) ,f x x ν ν− ∗= ∈� είναι παραγωγίσιµη στο *� µε

( )( )

1

2

1

2

1'' 1

)(' −−−−

− ⋅−=⋅−

=⋅

−=

== νν

ν

ν

ν

νν ν

ννx

x

x

x

x

xxxf

21

Συνεπώς για το οποιοδήποτε κ ∈� η κxxf =)( είναι παραγωγίσιµη στο *� µε

( ) 1' −⋅= κκ κ xx

2) Η συνάρτηση ( ) ,2

f x x xπ

εφ κ π = ∈ − ⋅ +

� είναι παραγωγίσιµη µε

( )x

x2

' 1

συνεφ =

Πράγµατι, αν θέσουµε x

xx

συνηµ

εφ = και εφαρµόσουµε τον κανόνα παραγώγισης του

πηλίκου, θα έχουµε

( ) ( ) ( )xx

xx

x

xxxx

x

xx

22

22

2

'''

' 1

συνσυνηµσυν

συνσυνηµσυνηµ

συνηµ

εφ =+

=⋅−⋅

=

=

3) Η συνάρτηση { }( ) ,f x x xσφ κ π= ∈ − ⋅� είναι παραγωγίσιµη µε

( )x

x2

' 1

ηµσφ −=

Προκύπτει µε παρόµοιο τρόπο µε την προηγούµενη, αν θέσουµε όπου x

xx

ηµσυν

σφ =

και εφαρµόσουµε τον κανόνα παραγώγισης του πηλίκου.

22

Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης

Θεώρηµα Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο 0x και η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιµη στο )( 0xg , τότε και η συνάρτηση gf � είναι παραγωγίσιµη στο 0x και

ισχύει

( ) ( ) )(')(')( 000'

xgxgfxgf ⋅=�

∆ηλαδή προηγείται η παράγωγος της f θεωρώντας ως ανεξάρτητη µεταβλητή το

)( 0xg και πολλαπλασιάζουµε επί την παράγωγο της g στο 0x .

Παραδείγµατα

1) ( ) ( ) ( ) ( )'

8 7 ' 72 2 2 23 1 8 3 1 3 1 48 3 1x x x x x + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ +

2) ( ) ( )42422

242

422

142

''

+=

+=+⋅

+⋅=+

x

x

x

xx

xx

ηµ

συν

ηµ

συνηµ

ηµηµ

3) ( ) ( ) ( )1'21'1 222 21 +−+−+− ⋅−=+−⋅= xxx exxee

Κανόνας της αλυσίδας

Γενικά αν g παραγωγίσιµη στο ∆ και f παραγωγίσιµη στο ( )∆g , τότε η gf �

είναι παραγωγίσιµη στο ∆, µε

( ) ( ) )(')(')(' xgxgfxgf ⋅=� , ∆∈x .

Αν θέσουµε τώρα όπου )(xgu = , τότε ))(()( xgfufy == και έχουµε

dx

du

du

dy

dx

dy⋅=

Προσοχή! Το dx

dy ∆ΕΝ είναι πηλίκο, αλλά σύµβολο.

23

Παράγωγοι µερικών ακόµη βασικών συναρτήσεων

Με εφαρµογή του κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης, αποδεικνύονται και τα

εξής

1) Η συνάρτηση αxxf =)( , α∈ −� � είναι παραγωγίσιµη στο ),0( +∞ µε

( ) 1' −⋅= αα α xx ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Ισχύει ως γνωστόν ότι xaex ln⋅=α , εποµένως θα έχουµε

( ) ( ) ( ) 1'ln'ln' ln −⋅⋅ ⋅=⋅=⋅⋅== ααααα ααα xx

xxeex xx

2) Η συνάρτηση xxf α=)( , µε 10 ≠

24

Παρατηρήσεις για ασκήσεις που αφορούν εφαπτοµένη καµπύλης

1) Όταν ζητείται η εξίσωση εφαπτοµένης της fC που διέρχεται από το σηµείο

( )00 , yxΑ θα εξετάζουµε

α) Αν το σηµείο Α είναι το σηµείο επαφής, δηλαδή ανήκει στη fC , τότε θα έχουµε

την γνωστή µας εξίσωση ( )000 )(')( xxxfxfy −⋅=− .

β) Αν το Α δεν είναι το σηµείο επαφής, τότε υποθέτουµε ένα σηµείο Μ ως το

σηµείο επαφής, γράφουµε την εξίσωση εφαπτοµένης για το σηµείο αυτό και απαιτούµε

οι συντεταγµένες του Α να επαληθεύουν την εξίσωση. Χαρακτηριστικό παράδειγµα

βλέπουµε στην άσκηση 10/239.

2) Κοινή εφαπτοµένη δύο καµπυλών

∆ιακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

α) Αν έχουµε ευθεία που είναι κοινή εφαπτοµένη δύο καµπυλών gf CC , σε κοινό

του σηµείο τότε θα ισχύουν οι σχέσεις

)()( 00 xgxf = και )(')(' 00 xgxf =

Χαρακτηριστικό παράδειγµα βλέπουµε στην άσκηση 3/240.

β) Έστω ευθεία (ε) που εφάπτεται δύο καµπυλών gf CC , σε 2 διαφορετικά σηµεία

( ))(, 11 xfxΑ , ( ))(, 22 xfxΒ αυτών.

Για την fC η εξίσωση εφαπτοµένης στο Α θα είναι

( ) ( ) )(')(')(')( 1111111 xfxxfxxfyxxxfxfy +⋅−⋅=⇔−⋅=−

Για την gC η εξίσωση εφαπτοµένης στο Β θα είναι

( ) )()(')(')(')( 2222222 xgxgxxxgyxxxgxgy +⋅−⋅=⇔−⋅=−

Για να ταυτίζονται οι 2 παραπάνω θα πρέπει

)(')(' 21 xgxf = και )(')()(')( 222111 xgxxgxxfxf ⋅−=⋅−

25

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο- Λ Α Θ Ο Σ

2.49 Η συνάρτηση 10,)( ≠

26

2.55 Οι εφαπτοµένες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

20)(,3)(,)( 222 −=+== xxhxxgxxf στα σηµεία τοµής τους µε την ευθεία

0xx = , είναι παράλληλες.

Σ Λ

2.56 Αν xxf συν=)( , τότε ( ) 1' 22 =+ ff .

Σ Λ

2.57 Αν 2)( xxf = , τότε ( ) 24)(' xxff =

Σ Λ

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ

2.58 Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 2ln)( += xxf , στο

σηµείο ( ))(, 00 xfxΑ είναι κάθετη στην ευθεία µε εξίσωση 22

3−−= xy . Το

0x θα

είναι ίσο µε

4

5

2

3 2 3

2

5

2.59 Οι συναρτήσεις gf , είναι παραγωγίσιµες στο � και ισχύει )(')(' 00 xgxf = ,

για κάποιο 0x ∈� . Τότε

)()( 00 xgxf =

00 ≠x

)('')('' 00 xgxf =

)(')(' xgxf = για κάθε x∈�

οι εφαπτόµενες των gf CC , στα σηµεία ( ))(, 00 xfx και ( ))(, 00 xgx αντίστοιχα,

είναι παράλληλες.

27

2.60 Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 1)( 2 += xxf ηµ στο

σηµείο της

Α 2,

2

π έχει εξίσωση

2+⋅= xy π 22 += xy 2

π=y καµία από αυτές.

2.61 Αν για τις συναρτήσεις gf , ισχύουν 2)1( =f και )1('3)2(' fg == , τότε η

( ) )1('fg � είναι ίση µε

9 8 6 3 5

2.62 Η κλίση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

2)(

xxf

⋅=

πηµ στο σηµείο Α(2,0) είναι

π 2 2

π -π

2

π−

2.62 ∆ίνεται η συνάρτηση 12965)( 23 +−+= xxxxf . Η πέµπτη παράγωγος της

συνάρτησης είναι ίση µε

12 1 0 5 x

28

2.63 Αν xexf 2)( = , τότε η ( ) )(xf ν θα ισούται µε

xe 2 xe ⋅ν ( )νxe 2 xe 22 ⋅ν xe 2⋅ν

2.64 Ένα σφαιρικό µπαλόνι φουσκώνει µε

σταθερή παροχή αέρα. Τότε η ακτίνα του R

συναρτήσει του χρόνου µπορεί να δίνεται

από τη γραφική παράσταση

29

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ

2.65 Να υπολογίσετε την παράγωγο των επόµενων συναρτήσεων

α) 23)( exxxf +−= συνηµ β) xxxf ln)( 2 ⋅=

γ) x

xxf

συνηµ−

=1

)( δ) xxxxf ln)( 2 ⋅⋅=

ε) ( ) 2 4x xf x x xηµ συν= ⋅ + ⋅ στ) x

exxf

x

ln)(

⋅= .

2.66 Οµοίως να υπολογιστεί η παράγωγος των συναρτήσεων

α) xxxf συν⋅−= )2()( β) x

xxf

5

3)(

ηµ⋅

= .

γ) 123

1)(

23 +⋅−⋅= xxxf συνεφ δ) ( )xxf ln)( εφ=

ε) ( ) ( )xxxf ηµσυνσυνηµ −=)( στ) ).1ln()( 2 ++= xxxf

2.66 Αν είναι xexy1

−⋅= , να δειχθεί ότι ισχύει η σχέση .0'''3 =+⋅−⋅ yyxyx

2.67 Να υπολογίσετε την παράγωγο των ακόλουθων συναρτήσεων

α) ( )xxxf 1)( 2 += β) xxxf =)( γ) xxxxf =)( .

2.68 Έστω η συνάρτηση f µε

=

≠⋅=0,0

0,1

)(2

x

xx

xxf

συν.

Να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο .�

2.69 Αν ( )πηµσυνσυνηµ

,0,)( ∈⋅+

⋅−= x

xxx

xxxxf ν’ αποδειχθεί ότι

.32

'2

=

+

⋅ππ

π ff

30

2.70 Έστω η συνάρτηση f µε xxxf ⋅−= 3)( 2 . Να εξετάσετε αν υπάρχει σηµείο

του διαγράµµατος της f τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη στο σηµείο αυτό

α) Να είναι παράλληλη προς την ευθεία .1+−= xy

β) Να είναι παράλληλη προς τον άξονα .' xx

γ) Να σχηµατίζει γωνία 3

π µε τον άξονα .' xx

δ) Να διέρχεται από το σηµείο Α(0,2).

2.71 ∆είξτε ότι υπάρχει εφαπτοµένη του διαγράµµατος της ,20046)( 3 +−= xxxf

στην οποία είναι κάθετη η ευθεία ε: 0213 =−− yx . Ποιο είναι το σηµείο επαφής και

ποια η εξίσωση της εφαπτοµένης;

2.72 Έστω C η γραφική παράσταση της συνάρτησης

.129)(23 −+⋅+⋅= xxxxf βα Να προσδιορίσετε τους α,β∈� ώστε το σηµείο

Α(2,-10) ν’ ανήκει στη C και η εφαπτοµένη της C στο σηµείο Α να έχει συντελεστή

διεύθυνσης τον αριθµό -3.

2.73 Να υπολογίσετε τους α,β∈� ώστε να εφάπτεται η γραφική παράσταση της

συνάρτησης βα +⋅+= xxxf 2)( στην ευθεία 17 −= xy στο σηµείο Α(2,5).

2.74 ∆ίνεται η συνάρτηση ( )x

xf x

eα

συνα⋅

⋅= . Υπολογίστε τον α∈� ώστε η

εφαπτοµένη στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο της Α(0,1) να έχει κλίση –3.

2.75 Βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

6)(2 −+= xxxf , που περνά από το σηµείο Α(3,2).

31

2.76 ∆ίνονται οι συναρτήσεις f µε 33)( 2 +−= xxxf και g µε 1

1)(

−=

xxg . Ν’

αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων gf , έχουν ένα µόνο κοινό

σηµείο στο οποίο οι εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων είναι κάθετες.

2.77 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2)( xx

xf ⋅+= βα

διέρχεται από το

σηµείο Α(1,5) και η κλίση της εφαπτοµένης της fC στο Α είναι 4. Προσδιορίστε τους

α,β∈� .

2.78 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου του παρακάτω σχήµατος.

2.79 Να εξετάσετε αν υπάρχει κοινή εφαπτοµένη των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων

322

3)(

2 +−= xxxf και 32

1)(

2 +−= xxg .

2.80 ∆ίνεται η συνάρτηση 0,)( 23 ≠+⋅+⋅+⋅= αδγβα xxxxf . Να βρείτε τη

συνθήκη για τα α,β,γ∈� , ώστε η fC να µην έχει σε κανένα σηµείο της οριζόντια

εφαπτοµένη.

2.81 ∆είξτε ότι η ευθεία ,2 βα +⋅= xy εφάπτεται στη γραφική παράσταση της

συνάρτησης 22)()( αβα −++= xxf στο σηµείο τοµής της µε τον .' yy

32

2.82 Ν’ αποδειχθεί ότι οι εφαπτόµενες στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

xexf =)( και xexg −=)( στα σηµεία τους µε κοινή τετµηµένη είναι κάθετες.

2.83 Έστω οι συναρτήσεις gf , ορισµένες στο � µε την g παραγωγίσιµη και για

κάθε x∈� να ισχύουν οι σχέσεις: 1)()( =⋅ xgxf και )()(' xgxg −= . Να δείξετε ότι οι

εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων των f και g στα σηµεία ( )( )αα f,Μ και

( )( )αα g,Ν αντίστοιχα είναι

α) κάθετες και

β) τέµνουν τον άξονα 'xx σε δύο σηµεία που η µεταξύ τους απόσταση είναι σταθερή.

2.84 Για την παραγωγίσιµη συνάρτηση f ισχύει η σχέση

xxfxf 2)2()2( −=−−+ , x∈�

Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης στο σηµείο ( ))2(,2 f

είναι κάθετη στην ευθεία xy = .

2.85 Έστω η συνάρτηση f µε

=

≠=0,0

0,)(

)(

2

x

xx

xxf

ηµ

α) Να βρείτε την παράγωγο της .f

β) Ν’ αποδείξετε ότι η 'f είναι συνεχής στο .00 =x

γ) Να βρείτε το )(lim xfx +∞→

.

2.86 Βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων

α) 0,2)( 2 >++= xxxxf xx β) 0,1

1)( >

+= xx

xf

x

γ) .1,)(ln)1()(1ln >++= + xxxxf xx δ) .0,)(ln)( >= xxxf xσυν

33

2.87 Να βρείτε πολυώνυµο )(xP δευτέρου βαθµού τέτοιο ώστε για κάθε x∈� να

ισχύει

2)1('')1(')0( === PPP .

2.88 ∆ίνεται η συνάρτηση .)( 32 xxx eeexf ⋅+⋅+⋅= γβα ∆είξτε ότι

).(6)('11)(''6)()3(

xfxfxfxf ⋅=⋅+⋅−

2.89 Αν ,ln)( xxf = να βρείτε τις συναρτήσεις

• ( ) ( '( ))g x f f x=

• ( ) '( ( ))g x f f x=

• ( ) ln( '(ln )).g x f x=

2.90 ∆ίνεται η συνάρτηση xxxf

2

)( = , .0>x ∆είξτε ότι η εφαπτοµένη της fC στο

10 =x σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο εµβαδού Ε= ..4

1µτ

2.91 α) Αν )(xP πολυώνυµο βαθµού ,2≥ν τότε ν’ αποδείξετε ότι το ( )2α−x είναι

παράγοντας του )(xP , αν και µόνο αν .0)(')( == αα PP

β) Να βρείτε τις τιµές των ,α β ∈� ώστε το πολυώνυµο ( )21−x είναι

παράγοντας του πολυωνύµου 2 2( ) 1,P x x xνα β ν ν ∗= ⋅ + ⋅ + − ∈� , .1>ν

2.92 Έστω Α ( ))(, 11 xfx , Β ( ))(, 22 xfx σηµεία της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης .)( 2 γβ +⋅+= xxxf Ν’ αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της fC στο σηµείο

της Μ ,2

,2

2121

++ xxf

xx είναι παράλληλη προς την ΑΒ.

34

2.93 Θεωρούµε τη συνάρτηση 12)( 2 +−= xxxf

α) Να βρείτε τις εφαπτοµένες της fC στα σηµεία Α ( )( )αα f, και Β ( )( )αα −− 2,2 f ,

όπου .1≠α

β) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων τοµής των παραπάνω εφαπτόµενων,

όταν .1≠α

2.94 ∆ίνεται η συνάρτηση ( )

0,0,ln

)( >>⋅

= xx

xxf α

α.

α) Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτοµένης της fC στο σηµείο ( ))(, 00 xfx

β) Να αποδείξετε ότι όλες οι παραπάνω εφαπτόµενες στο σηµείο ( ))(, 00 xfx καθώς

µεταβάλλεται το α, διέρχονται από το ίδιο σηµείο.

2.95 Έστω f πολυωνυµική συνάρτηση για την οποία ισχύουν 0)4(' =f και

( ) )()(' 2 xfxf = , για κάθε x∈� .

α) Να βρεθεί ο τύπος της f

β) Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτοµένης της fC που είναι παράλληλη στην ευθεία

1+−= xy .

2.96 Θεωρούµε µία συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο � για την οποία ισχύει

( ) ( ) ( ) , ,x y

f x y e f y e f x x y x yα+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ∈�

α) Να δείξετε ότι α−=)0(f

β) Να δείξετε ότι η fC περνά από την αρχή των αξόνων

γ) Να δείξετε ότι 0000)0(')()(' xefxfxf

x +⋅+= , για το τυχαίο 0x ∈� .

35

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4

Ο Ρυθµός Μεταβολής

Ορισµός Αν δύο µεταβλητά µεγέθη yx, συνδέονται µεταξύ τους µε µία σχέση της

µορφής )(xfy = , όπου f παραγωγίσιµη συνάρτηση στο 0x , τότε ο ρυθµός

µεταβολής, του y ως προς x στο 0x , είναι η παράγωγος της f στο 0x , δηλαδή το

)(' 0xf .

Από την Φυσική γνωρίζουµε ότι, ρυθµός µεταβολής του διαστήµατος είναι η

ταχύτητα, ενώ ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας είναι η επιτάχυνση.

)(tudt

ds= και )(ta

dt

du= .

36

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ

2.97 Η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγµή t δίνεται µε τη

βοήθεια του τύπου

42012)(23 −+−= ttttS .

όπου t ο χρόνος σε sec. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κινητού τις χρονικές

στιγµές sec1=t και sec3=t αντιστοίχως, καθώς και το συνολικό διάστηµα που έχει

διανύσει το κινητό στο χρόνο των 3 πρώτων δευτερολέπτων.

2.98 Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την σχέση

19951994253

1)(

23 −+−= xxxxK ,

ενώ η είσπραξη από την πώληση του προϊόντος από την σχέση: .1594)( xxE = Να

βρείτε για ποιες τιµές του x ∗+∈� ο ρυθµός µεταβολής του κέρδους είναι αρνητικός.

2.99 Αν ο ρυθµός µεταβολής του κόστους παραγωγής ενός προϊόντος είναι ίσος µε το

ρυθµό µεταβολής της είσπραξης από την πώληση του, να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής του

κέρδους.

2.100 Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του όγκου µίας σφαιρικής µπάλας χιονιού ως

προς το χρόνο t , όταν η ακτίνα της δίνεται από τον τύπο .3

50,35 ≤≤−= ttr

2.101 Ένα µεγάλο σφαιρικό µπαλόνι χάνει αέρα µε ρυθµό 0.2sec

3cm .

α) Να υπολογίσετε πόσο γρήγορα µειώνεται η ακτίνα του τη χρονική στιγµή που η

ακτίνα είναι 4 cm .

β) Ποιος είναι τότε ο ρυθµός µεταβολής της επιφάνειας του;

37

2.102 Μία ραδιενεργός ουσία διασπάται σύµφωνα µε το νόµο teNtN 2.00)(−⋅= , όπου

t ο χρόνος σε δευτερόλεπτα και 0Ν η ποσότητα της ουσίας που υπάρχει τη χρονική

στιγµή 0=t σε mg .

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάσπασης ανά πάσα χρονική στιγµή

β) Υπολογίστε τη χρονική στιγµή κατά την οποία έχει αποµείνει η µισή ποσότητα

από την αρχική, την ταχύτητα διάσπασης

γ) Σε ποια χρονική στιγµή ο ρυθµός µεταβολής θα µηδενιστεί;

2.103 Υλικό σηµείο Μ κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

xxf =)( . Αν η τετµηµένη του σηµείου Μ µεταβάλλεται µε ρυθµό 4sec

cm , να βρείτε

τη χρονική στιγµή 0t που είναι 4=x το ρυθµό µεταβολής

α) Της τεταγµένης y του σηµείου Μ

β) Της γωνίας που σχηµατίζεται από τη διανυσµατική ακτίνα ΟΜ και τον θετικό

ηµιάξονα Ox.

2.104 Οι διαστάσεις ΑΒ και Α∆ ενός ορθογωνίου ΑΒΓ∆ αυξάνονται µε ρυθµούς

αντίστοιχα sec

mt και sec

2 mt σε χρόνο sect . Αν κατά τη χρονική στιγµή 0=t είναι

(ΑΒ)=4m και (Α∆)=3m, να υπολογιστεί ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού Ε του

ορθογωνίου ΑΒΓ∆ όταν sec12=t .

2.105 Ένα σηµείο Ρ κινείται πάνω στην έλλειψη µε εξίσωση 12516

22

=+yx

. Αν κατά

την χρονική στιγµή 0t η τετµηµένη του σηµείου είναι 22− και η τεταγµένη του

µειώνεται µε ρυθµό 2

215, να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της τετµηµένης.

38

2.106 Προβολέας είναι τοποθετηµένος στο έδαφος σε απόσταση 50m από έναν τοίχο.

Ένας άνθρωπος ύψους 1,8m βαδίζει προς τον προβολέα µε ταχύτητα 3sec

m . Να

υπολογίσετε την ταχύτητα µε την οποία µεγαλώνει το ύψος της σκιάς του στον τοίχο,

όταν απέχει από τον προβολέα 10m.

2.107 Μία πέτρα ρίχνεται στην ήρεµη επιφάνεια της λίµνης και δηµιουργεί κυκλικά

κύµατα που αυξάνουν σταθερά την περίµετρο τους µε ρυθµό sec

8cm

dt

dSπ⋅= .

α) Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της ακτίνας των κυκλικών κυµατισµών

β) Βρείτε το ρυθµό µεταβολής της επιφάνειας που περικλείει ο εξωτερικός (πρώτος)

κύκλος 5sec µετά την πτώση της πέτρας.

2.108 Μία δύναµη εφαρµόζεται σε κινητό που κινείται σε άξονα και του οποίου η

απόσταση από την αρχή Ο τη χρονική στιγµή t δίνεται από τη συνάρτηση

0),1ln()( >+= tttS , όπου t ο χρόνος σε .sec

α) Να δείξετε ότι το κινητό δεν ήταν σε κατάσταση ηρεµίας όταν εφαρµόστηκε η

δύναµη.

β) Να δείξετε ότι η κίνηση ήταν επιβραδυνόµενη.

γ) Να βρείτε το µέτρο της ταχύτητας και της επιβράδυνσης του κινητού, 3sec µετά

τη εφαρµογή της δύναµης.

2.109 Μια κωνική δεξαµενή ύψους 10µ. και ακτίνας 5µ. έχει κατακόρυφο άξονα

και την κορυφή προς τα κάτω. Νερό ρέει στη δεξαµενή µε ρυθµό min/5 3µ . Να

υπολογίσετε το ρυθµό µεταβολής της στάθµης του νερού τη χρονική στιγµή που αυτή

είναι 6µ.

39

2.110 Ένας πληθυσµός µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση t

tN−⋅+

=2191

40)( όπου t

ο χρόνος σε λεπτά. Αν οι φυσιολογικές απώλειες Μ κάθε λεπτό είναι ανάλογες

του τετραγώνου του υπάρχοντα πληθυσµού µε συντελεστή 310−=κ , να βρείτε το

ρυθµό µεταβολής των απωλειών Μ.

2.111 Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης )(xf . Η

καµπύλη fC δέχεται σε κάθε σηµείο της (µη κατακόρυφη) εφαπτοµένη. Οι

ευθείες xy 5:1 =ε και 5

24

5

1:2 += xyε είναι οι εφαπτόµενες της fC στα σηµεία

Ο και Α αντίστοιχα.

α) Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου Α

β) Ποιος είναι ο ρυθµός αύξησης της )(xf για 01 =x και 62 =x ;

2.112 Ένα σηµείο ( )yx,Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

32)(3 +−= xxxf . Η τετµηµένη του σηµείου Μ αυξάνεται µε ρυθµό sec/2cm .

α) Να δειχθεί ότι: 46 2 −= xdt

dy, όπου )(xfy = .

β) Να βρεθεί η τετµηµένη του σηµείου Μ τη χρονική στιγµή 0t που η κλίση της

γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Μ είναι ίση µε 25.

γ) Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της τεταγµένης του Μ τη χρονική στιγµή 0t .

40

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 5

Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του ∆ιαφορικού Λογισµού

Θεώρηµα Rolle (Ειδική περίπτωση του Θ.Μ.Τ)

Έστω µία συνάρτηση f για την οποία υποθέτουµε ότι

� Είναι συνεχής στο [α,β]

� Είναι παραγωγίσιµη στο (α,β)

� ισχύει )()( βα ff =

Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )βαξ ,∈ τέτοιο ώστε

0)(' =ξf

Γεωµετρική ερµηνεία Όταν µία συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του

θεωρήµατος Rolle,αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο της γραφικής της

παράστασης στο οποίο µπορούµε να χαράξουµε οριζόντια εφαπτοµένη.

Θεώρηµα Μέσης Τιµής

Έστω µία συνάρτηση f για την οποία υποθέτουµε ότι

� Είναι συνεχής στο [α,β]

� Είναι παραγωγίσιµη στο (α,β)

Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )βαξ ,∈ τέτοιο ώστε

( )αβ

αβξ

−

−=

fff

)()(' .

41

Γεωµετρική ερµηνεία Όταν µία συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του

θεωρήµατος µέσης τιµής, αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο της

γραφικής της παράστασης στο οποίο µπορούµε να χαράξουµε εφαπτοµένη παράλληλη

προς την «χορδή» που ορίζουν τα σηµεία ( )( )αα f,Α και ( ))(, ββ fΒ .

Παρατηρήσεις για ασκήσεις που αφορούν σε ρίζες εξίσωσης

1) Όταν ζητείται να αποδείξουµε ότι µία εξίσωση «έχει τουλάχιστον µία ρίζα»,

τότε ακολουθούµε έναν από τους εξής τρόπους

α) Βρίσκουµε µία προφανή ρίζα, αν αυτό είναι εύκολο

β) Χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα Bolzano

γ) Υπολογίζουµε το σύνολο τιµών της f και διαπιστώνουµε ότι το 0 ανήκει σε αυτό

δ) Εφαρµόζουµε το θεώρηµα Rolle, αλλά για την αρχική της f (βλέπε εφαρµογή

1/σελ.247 ή άσκηση 1Β΄ οµάδας σελ.249)

2) Όταν ζητείται να αποδείξουµε ότι µία εξίσωση « έχει το πολύ µία ρίζα», τότε θα

υποθέτουµε ότι έχει τουλάχιστον δύο ρίζες 21 ,ρρ , εφαρµόζουµε το θεώρηµα Rolle στο

[ ]21 ,ρρ και καταλήγουµε σε κάτι άτοπο(βλέπε άσκηση 3/250 του σχολικού βιβλίου).

3) Όταν ζητείται να αποδείξουµε ότι µία εξίσωση « έχει ακριβώς µία ρίζα»,

τότε δείχνουµε ότι έχει τουλάχιστον µία, µε µία από τις µεθόδους της παρατήρησης

(1) και στη συνέχεια η µοναδικότητα µπορεί να προκύψει µε έναν από τους ακόλουθους

τρόπους:

α) Αποδεικνύουµε ότι η f είναι γνησίως µονότονη και συνεπώς 1-1

β) Εφαρµόζουµε την παρατήρηση (2).

42

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο- Λ Α Θ Ο Σ

2.113 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο � και )()( βα ff ≠ , όπου

,α β ∈� , τότε 0)(' ≠xf για κάθε ( )βα ,∈x .

Σ Λ

2.114 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο � και 0x ∈� , τότε για κάθε

x∈� υπάρχει ξ ∈� , ώστε ( ) ( )00 ')()( xxfxfxf −⋅=− ξ .

Σ Λ

2.115 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιµη στο (α,β), τότε

υπάρχει ένα µόνο ( )βαξ ,∈ , ώστε ( ) ( ) ( ) ( )βαξβα −⋅=− 'fff

Σ Λ

2.116 Αν f είναι µία πολυωνυµική συνάρτηση, τότε µεταξύ δύο ριζών της f ,

υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της 'f .

Σ Λ

2.117 Αν f είναι µία πολυωνυµική συνάρτηση, τότε µεταξύ δύο διαδοχικών ριζών

της 'f , υπάρχει το πολύ µία ρίζα της f .

Σ Λ

2.118 Αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [α,β], τότε υπάρχει εφαπτοµένη

της fC στο ( ))(, 00 xfxΑ , µε ( )βα ,0 ∈x , η οποία να έχει συντελεστή διεύθυνσης

( )αβαβ

λ−−

=)(ff

.

Σ Λ

43

2.119 Υπάρχουν συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το συµπέρασµα του θεωρήµατος

Rolle , χωρίς να ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος.

Σ Λ

2.120 Για τη συνάρτηση του σχήµατος, υπάρχει τουλάχιστον ένα

σηµείο ( )( )ξξ f,Μ της fC µε ( )βαξ ,∈ , όπου η εφαπτοµένη της f ,

να είναι παράλληλη µε την ΑΒ.

Σ Λ

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ

2.121 Μία συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το [α,β]. Το θεώρηµα µέσης τιµής ισχύει

για την f , όταν

η f είναι συνεχής στο [α,β]

η f είναι παραγωγίσιµη στο (α,β)

η f είναι παραγωγίσιµη στο (α,β) και συνεχής στα σηµεία α και β.

η f έχει ίσες τιµές στα α και β.

2.122 Το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού για τη συνάρτηση

xxf ln)( = , για κάθε 0, 21 >xx εξασφαλίζει ένα ξ µεταξύ των 21 , xx ώστε να ισχύει

212

1lnxxx

x

−=

ξ

ξ21

2

1lnxx

x

x −= ( ) ( )2121

1ln xxxx −⋅=−

ξ

( ) ( )2121ln xxxx −⋅=− ξ ( )21

2

1ln xxx

x−= ξ

44

2.123 ∆ίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 1f , 2f , 3f , 4f .

Αυτές που ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο [ ]βα , είναι οι

2f και 4f

µόνο η 4f

µόνο η 2f

2f και 3f

1f και 4f

2.124 Αν f µία συνεχής και µη σταθερή συνάρτηση στο [α,β], παραγωγίσιµη

τουλάχιστον στο (α,β) και )()( βα ff = , τότε

για κάθε ( )βα ,∈x είναι 0)(' ≠xf

υπάρχει ( )βα ,∈x ώστε 0)(' =xf

για κάθε ( )βα ,∈x είναι 0)(' =xf

δεν αληθεύει τίποτα από τα παραπάνω.

45

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ

2.125 Να εξετάσετε αν εφαρµόζεται το θεώρηµα Rolle για τη συνάρτηση:

α) [ ]1,0,)( 32 ∈−= + xxexf xx

β) [ )[ ]

∈−

−∈−=

2,0,3

0,1,)(

3

2

xxx

xxxxh

Αν ναι, να βρείτε το ξ του θεωρήµατος.

2.126 ∆ίνεται η συνάρτηση f µε ( ) [ )

( ) [ ]

∈+++

−∈−++−=

1,0,1

0,1,221)(

2

2

xxx

xxxxf

γβ

γα .

Υπολογίστε τους α,β,γ∈� ώστε να ισχύει για την f το θεώρηµα Rolle στο [ ].1,1−

2.127 ∆ίνεται η συνάρτηση xxf log)( = .

α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1,20]

για τη συνάρτηση αυτή

β) Να δείξετε ότι υπάρχει ( )20,1∈ξ τέτοιο ώστε 2log1

log19

+

⋅=

eξ .

2.128 ∆είξτε ότι υπάρχει σηµείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

xxxf ln)3()( ⋅−= , µε τετµηµένη ξ )3,1(∈ στο οποίο η εφαπτοµένη είναι παράλληλη

στον άξονα .' xx

2.129 ∆ίνεται η συνάρτηση µγγβα

++−

+−

= xxxxf3

2

3

2

4

1)(

23, όπου

α,β,γ,µ∈� και α .1≠ Αν είναι 3α+4β=3, τότε ν’ αποδείξετε ότι υπάρχει )1,0(0 ∈x τέτοιο

ώστε η εφαπτοµένη της fC στο σηµείο της ( ))(, 00 xfx να είναι παράλληλη προς τον

.' xx

46

2.130 Αν µία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο � και µηδενίζεται

για τρεις διαφορετικές τιµές του x , τότε να δείξετε ότι η εξίσωση

α) ,0)(' =xf έχει δύο τουλάχιστον ρίζες άνισες

β) ,0)('' =xf έχει µία τουλάχιστον ρίζα.

2.131 ∆ίνεται η συνάρτηση µ++−= xxxxf 32

7

3

2)(

23, όπου µ .∈� Να δείξετε ότι

η εξίσωση 0)( =xf δεν µπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο(1,2).

2.132 α) ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) νµβα νµ ,,)( −⋅−= xxxf θετικοί ακέραιοι. Να

αποδείξετε ότι υπάρχει ( )βαξ ,∈ τέτοιο ώστε νµ

βµανξ

+⋅+⋅

= .

β) Να αποδείξετε ότι το παραπάνω ξ χωρίζει το διάστηµα [α,β] σε λόγο νµ

,

δηλαδή ισχύει

νµ

ξβαξ=

−−

.

2.133 ∆είξτε ότι η εξίσωση 0155 =++ xx έχει ακριβώς µία ρίζα στο (-1,2).

2.134 ∆είξτε ότι η εξίσωση xx 626 −= λ έχει δύο το πολύ ρίζες στο (-1,5).

2.135 Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [ ]βα , και ισχύουν )()( βfaf = και ,0)(')(' == βα ff τότε ν’ αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο

τουλάχιστον σηµεία γ,δ ( )βα ,∈ , τέτοια ώστε να ισχύει ).('')('' δγ ff =

47

2.136 Έστω gf , συναρτήσεις συνεχείς στο [α,β] και παραγωγίσιµες στο (α,β). Αν

είναι 0)( ≠xg , [ ]βα ,∈x και [ ]βα ,,0)(' ∈≠ xxg καθώς και ,0)()()()( =⋅−⋅ βααβ gfgf τότε ν’ αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

∈0x (α,β) τέτοιο ώστε

.)(

)(

)('

)('

0

0

0

0

xg

xf

xg

xf=

2.137 Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση :f →� � , για την οποία ισχύει

(1) ( 1)( ) ,

2

f ff x x x

+ −≤ + ∈� . Να δείξετε ότι

α) 2)1()1( =−− ff

β) υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )1,10 −∈x , ώστε να είναι ( )11)( 0 −+= fxf

γ) υπάρχουν ( )1,1, 21 −∈ξξ , µε 21 ξξ < , ώστε ( ) ( ) 2'' 21 =+ ξξ ff .

2.138 ∆ίνεται η f µε .16)( 2 −= xxf Να εξετάσετε αν εφαρµόζεται στο [4,16]:

α) Το Θ. Rolle β) Το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισµού.

Ακολούθως να βρείτε το ξ όποιου θεωρήµατος εφαρµόζεται.

2.139 Οµοίως για τις συναρτήσεις

α) [ ]

[ ]

−∈

−−∈+−=

2,1,ln

1,2,1)(

2

xx

xxxxf

β) [ )

( ]

∈

−∈−=

1,0,

0,1,)(

2

xx

xxxxg .

2.140 Να δείξετε ότι ( ) ,συναηµααηµ ⋅+

48

2.141 Εφαρµόζοντας το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισµού στη συνάρτηση

xxf ηµ=)( , ν’ αποδείξετε ότι για κάθε α,β∈� ισχύει

.βαηµβηµα −≤−

2.142 Ν’ αποδειχθούν οι σχέσεις

• βααβ

βαβ

α

49

2.146 α)∆είξτε ότι για κάθε x∈� ισχύει .111

322

≤+

+⋅

x

x

β) Αν f παραγωγίσιµη συνάρτηση στο � µε ,11

32)('

2 +

+⋅=

x

xxf δείξτε ότι για

κάθε ,α β ∈� µε α

50

2.150 ∆ίνεται η συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο [ ]βα , , 0>α

και ( ) ( ) ( )αβ

γαγ

ββγ

α1

,1

,1

=== fff , µε ( )βαγ ,∈ . Να δείξετε ότι

α) Υπάρχουν ( )γακ ,∈ και ( )βγλ ,∈ τέτοια ώστε ( ) ( )κκ

κf

f =' και ( ) ( )λλ

λf

f ='

β) Αν η ευθεία που ορίζεται από τα σηµεία ( )( )κκ f,Α και ( )( )λλ f,Β διέρχεται από

την αρχή των αξόνων, τότε υπάρχει ( )λκξ ,∈ τέτοιο ώστε ( ) 0'' =ξf .

51

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 6

Συνέπειες Του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής

Το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισµού θεωρείται µία από τις πιο σηµαντικές προτάσεις

της Ανάλυσης, καθώς µε τη βοήθεια του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήµατα, όπως

αυτά που θα γνωρίσουµε παρακάτω.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω µία συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆. Αν

� Η f είναι συνεχής στο ∆ και

� 0)(' =xf , για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆,

τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα ∆.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Αρκεί να αποδείξουµε ότι για οποιαδήποτε ∆∈21 , xx ισχύει )()( 21 xfxf =

∆ιακρίνουµε λοιπόν τις ακόλουθες περιπτώσεις

α) Αν 21 xx = , τότε λόγω ορισµού της συνάρτησης )()( 21 xfxf =

β) Αν 21 xx < , τότε στο διάστηµα [ ]21 , xx η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήµατος µέσης τιµής. Εποµένως, υπάρχει ( )21, xx∈ξ τέτοιο, ώστε

12

12 )()()('xx

xfxff

−

−=ξ (1)

Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σηµείο του ∆, ισχύει 0)(' =ξf , οπότε λόγω της (1), θα

είναι )()( 21 xfxf = .

γ) Αν 12 xx < , τότε οµοίως αποδεικνύεται ότι )()( 21 xfxf = .

Σε όλες εποµένως τις περιπτώσεις είναι )()( 21 xfxf = .

52

ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω δύο συναρτήσεις gf , ορισµένες σε ένα διάστηµα ∆. Αν

• οι gf , είναι συνεχείς στο ∆ και

• )(')(' xgxf = , για κάθε εσωτερικό σηµείο του ∆

τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε ∆∈x να ισχύει

cxgxf += )()(

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Η συνάρτηση gf − είναι συνεχής στο ∆ και για κάθε εσωτερικό σηµείο ∆∈x ισχύει

( ) 0)(')(')(' =−=− xgxfxgf

Εποµένως σύµφωνα µε το παραπάνω θεώρηµα, η συνάρτηση gf − είναι σταθερή

στο ∆. Υπάρχει δηλαδή σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε ∆∈x να ισχύει

cxgxf += )()(

Παρατήρηση Τόσο το θεώρηµα όσο και το πόρισµα που προηγήθηκαν ισχύουν µόνο

σε διάστηµα και όχι σε ένωση διαστηµάτων, όπως άλλωστε φαίνεται και στην επόµενη

συνάρτηση

>

53

Μονοτονία Συνάρτησης

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω µία συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆.

• Αν 0)(' >xf , για κάθε εσωτερικό σηµείο του ∆, τότε η f είναι γνησίως

αύξουσα στο ∆.

• Αν 0)(' ξf και 012 >− xx , άρα

( ) 0)( 12 >− xfxf , δηλαδή )()( 21 xfxf < .

Στην δεύτερη περίπτωση εργαζόµαστε αναλόγως.

Παρατήρηση Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει, όπως φαίνεται

για παράδειγµα και από την 3)( xxf = , η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο � ,

µολονότι η παράγωγος της δεν είναι υποχρεωτικά θετική, αφού 03)(' 2 ≥= xxf .

54

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο- Λ Α Θ Ο Σ

2.151 ∆ίνεται µία συνεχής συνάρτηση f , µε 0)(' >xf για 72

55

2.157 Αν 4)(' 2 += xxf , τότε η εξίσωση 0)( =xf έχει το πολύ µία ρίζα.

Σ Λ

2.158 Αν υπάρχει ( )βα ,0 ∈x µε ,0)(' 0 =xf τότε η f είναι σταθερή στο [ ]βα , .

Σ Λ

2.159 Αν gf , παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο[α,β] και γνωρίζουµε ότι

ααα += )()( gf και 1)(')(' += xgxf , για κάθε ( )βα ,∈x , τότε xxgxf += )()( , για

κάθε [ ]βα ,∈x .

Σ Λ

2.160 Στο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της ( )tΒ′′ , όπου ( )tΒ

είναι η συνάρτηση του βάρους κάποιου ανθρώπου που βρίσκεται σε δίαιτα,

µετά από χρόνο t . Τότε ο ρυθµός µείωσης του βάρους, στην αρχή µειώνεται

και µετά αυξάνει.

Σ Λ

56

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ

2.161 Αν για τις παραγωγίσιµες συναρτήσεις gf , ισχύει )(')(' xgxf = ,µε x∈� ,

τότε

cxgxf +−= )()( cxgxf +−= )()( cxgxf −= )()(

cxgxf =−+ )()( κανένα από τα προηγούµενα.

2.162 Αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο � και γνησίως αύξουσα, τότε

0)(' >xf , για κάθε x∈�

0)(' ≥xf , για κάθε x∈�

0)('

57

2.165 Αν f παραγωγίσιµη συνάρτηση στο � µε 0)(' , αληθεύει για

( )0,∞−∈x ( )+∞∈ ,0x 1xf , για κάθε ( )+∞∈ ,0x , τότε

( )21 ff >

+α

α ( )21 ff

58

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ

2.168 Αν για τις συναρτήσεις gf , ισχύουν

α) 0)()(' =− xgxf και ( ) '( ) 0,f x g x x+ = ∈�

β) .1)0(,0)0( == gf

Ν’ αποδείξετε ότι η συνάρτηση [ ] [ ]22 )()()( xgxfxh += είναι σταθερή και κατόπιν να βρεθεί ο τύπος της.

2.169 α)Να βρείτε όλες τις καµπύλες )(xfy = οι οποίες δέχονται εφαπτοµένη σε

κάθε σηµείο τους 0x µε συντελεστή διεύθυνσης .423 02

0 −+ xx

β) Να βρείτε ποια από τις καµπύλες που προσδιορίσατε διέρχεται από το σηµείο

Μ(1,3).

2.170 ∆ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο � για την οποία

γνωρίζουµε ότι

''( ) ( ) 0,f x f x x+ = ∈� .

α) Αν είναι 0)0('')0( == ff , να δείξετε ότι η συνάρτηση

( ) ( )22 )()(')( xfxfxh += είναι σταθερή σε όλο το � και κατόπιν να προσδιορίσετε την

τιµή της.

β) Αν είναι xxxfxg ηµβσυνα ⋅−⋅−= )()( , βα == )0(',)0( ff , να δείξετε ότι

η συνάρτηση ( ) ( )22 )()(' xgxg + είναι επίσης σταθερή σε όλο το � .

2.171 Έστω οι παραγωγίσιµες στο � συναρτήσεις gf , για τις οποίες ισχύουν οι

επόµενες προϋποθέσεις

α) 0)( ≠xf και 0)( ≠xg , για κάθε x∈� .

β) 1)0()0( == gf

γ) )(

1)('

xgxf = και

)(

1)('

xfxg −=

Να δείξετε ότι

59

1) ( ) ( ) 1=⋅ xgxf , για κάθε x∈�

2) Υπολογίστε τους τύπους των f και g .

2.172 Να βρείτε συνάρτηση f για την οποία γνωρίζουµε ότι

α) 1)(,1,)(ln)(' =>=+⋅⋅ efxxxfxxfx .

β) efxxxfxfx =>=−⋅ )1(,0,)()(' 2 .

2.173 Έστω gf , δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο � για τις οποίες γνωρίζουµε

ότι: )0(')0()0()0('),('')()()('' gfgfxgxfxgxf ⋅=⋅⋅=⋅ και 0)( ≠xg για κάθε

.Rx ∈ Να αποδείξετε ότι υπάρχει R∈λ , τέτοιος ώστε )()( xgxf ⋅= λ για κάθε x∈� .

2.174 Έστω δύο συναρτήσεις gf , παραγωγίσιµες στο ( )+∞,0 για τις οποίες

γνωρίζουµε ότι ισχύουν οι σχέσεις

1)(,0)(),(1

)('),(1

)(' −==⋅−=⋅= −− ππ egefxfx

xgxgx

xf .

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση [ ] [ ]22 )()()( xegxefxh xx συνηµ −++= −− είναι σταθερή στο ( )+∞,0

β) Να υπολογίσετε τον τύπο των gf ,

2.175 Να µελετηθούν ως προς τη µονοτονία οι συναρτήσεις

α) 11292)( 23 −+−= xxxxf β) ).3()2()1()( −⋅−⋅−= xxxxf

γ) 2)2()1()( −⋅−= xxxf δ) .65)( 2 +−= xxxf

2.176 Οµοίως και για τις συναρτήσεις

α) xxxf −=)( β) 3 2 1)( −= xxf

γ)45

4)(

2

2

+−

+=

xx

xxf δ) .

2

1)(

2

2

−+

−=

xx

xxf

60

2.177 Οµοίως και για τις συναρτήσεις:

α) .1)( 2 −⋅= xxxf β) .0,)(2

>= xxxf x

γ) [ ]πσυνσυν 2,0,322)( ∈+−⋅= xxxxf .

2.178 ∆ίνεται η παραγωγίσιµη στο � συνάρτηση για την οποία είναι xxf

61

2.184 ∆ίνεται µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [ ]7,8− , της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήµα.

α) Να µελετήσετε το πρόσηµο της ( )xf

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 1>xf

γ) Να βρείτε το πρόσηµο της ( )xf ′ και να σχηµατίσετε

τον πίνακα µεταβολής της ( )xf

δ) Αν ( ) ( )xfexg = και ( ) ( )[ ]xfxh ln= , ( )2,6−∈x να εξετάσετε τις g, h ως προς τη µονοτονία και το πρόσηµο.

2.185 ∆ίνεται η συνάρτηση f µε 1)12ln()( 2 −++= xexf x .

α) Να εξεταστεί η f ως προς τη µονοτονία

β) ∆είξτε ότι η εξίσωση 0)( =xf , έχει µοναδική ρίζα την .0=x

2.186 Ν’ αποδείξετε ότι:

α)Η συνάρτηση 4

( ) 4 2,3

x

xf x x

= + − ∈

� είναι γνησίως αύξουσα στο .�

β)Η εξίσωση: xxx 32124 ⋅=+ , έχει µοναδική ρίζα την .0=x

2.187 α)Να µελετηθεί η µονοτονία της συνάρτησης .)( 52 xexf x +=

β)Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( )

2 52 52 6 2 26 2 , .e eλ λ λ λ λ λ λ

⋅ − ⋅ −− = − − − ∈�

2.188 ∆ίνεται η συνάρτηση f µε .2)2()( −+⋅−= xexxf x

α) Να εξεταστεί ως προς τη µονοτονία η '.f

β) Να εξεταστεί ως προς τη µονοτονία η .f

γ) ∆είξτε ότι για κάθε 3>x , ισχύει .32)1( 3 ++⋅>⋅+ eexe xx

δ) Να βρείτε το σύνολο τιµών της

ε) ∆είξτε ότι η εξίσωση 0)( =xf έχει µία ακριβώς ρίζα στο (0,3).

62

2.189 α)Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της συνάρτησης

xxxf

2

)( = .0>x

β) ∆είξτε ότι για κάθε ),(, +∞∈ eβα µε ,βα > ισχύει .lnln

ββ

αα<

γ) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης ].,0(,)(

2

exxxg x ∈=

2.190 ∆ίνεται η συνάρτηση f µε ).1ln()( −−= xxxf

α) Να εξεταστεί ως προς τη µονοτονία η .f

β) Να βρείτε το σύνολο τιµών αν ).1,2[ +∈ ex

2.191 Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της συνάρτησης xxxf ln)( ⋅−= π , και

ακολούθως να δείξετε ότι ππ π⋅< eee 2 .

2.192 ∆είξτε ότι

α)

∈⋅+2

,0,1

1π

συνεϕ x

xxx

γ) .0,1ln

>< xx

x

2.193 Ν’ αποδείξετε ότι

α) 1 0,xe x x− + > ∈�

β) η εξίσωση ,222 2 +=+⋅ xxe x έχει ακριβώς µία ρίζα.

63

2.194 Αν για τη συνάρτηση :f →� � ισχύει ( ) '( ) '( ),f x f x f x x⋅ = ∈� , να δείξετε

ότι

α) Υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε να είναι

2( ) 2 ( ) ,f x f x c x= + ∈� .

β) Αν 1)0( =f , τότε ( ) 1,f x x= ∈� .

2.195 Η αξία(σε χιλιάδες €) ενός οικοπέδου t έτη µετά την αγορά του, δίνεται από τον

τύπο 1

10)(2

2

++=

t

ttP . Να δείξετε ότι η αξία του οικοπέδου θα αυξάνει συνεχώς χωρίς

όµως να γίνει µεγαλύτερη από το διπλάσιο της αρχικής του αξίας.

2.196 ∆είξτε ότι για κάθε 0>x το διάγραµµα της συνάρτησης

1669)( 234 ++−= xxxxf βρίσκεται πάνω από τον .' xx

2.197 ∆ίνεται η συνάρτηση .0,1ln)( >+−= xxxxf

α) Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία.

β) Να λυθε