users.uoi.grusers.uoi.gr/vkalpak/files/Notes_Heat-Transfer_Nikolos.pdfK. A. Hoffmann S.T. Chiang, ˜...

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ∆ΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑ∆ΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Ιωάννης Κ. Νικολός ∆ρ. Μηχανολόγος Μηχανικός

Λέκτορας

Χανιά 2007

δ

ΜΕΤΑ∆ΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΙΩΑΝΝΗΣ Κ. ΝΙΚΟΛΟΣ 2



ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το σύγγραµµα αυτό γράφτηκε για τις ανάγκες του µαθήµατος «Μετάδοση Θερµότητας» του Τµήµατος Μηχανικών Παραγωγής και ∆ιοίκησης του Πολυτεχνείου Κρήτης. Βασίστηκε σε µεγάλο βαθµό στα συγγράµµατα «Fundamentals of Heat and Mass Transfer» των Frank P. Incropera και David P. DeWitt και «A Heat Transfer Textbook – Third Edition» των John H. Lienhard IV και John H. Lienhard V (E-Book). Άλλα συγγράµµατα που χρησιµοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία είναι το “Computational Fluid Dynamics for Engineers” των K. A. Hoffmann και S.T. Chiang, καθώς και το “Computational Methods for Fluid Dynamics” των J. H. Ferziger και M. Peric.

Στο τέλος των κεφαλαίων της θεωρίας περιλαµβάνονται λίγες ενδεικτικές ασκήσεις, οι οποίες µπορούν να χρησιµοποιηθούν για εξάσκηση και επανάλληψη.

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ1.1 ΓΕΝΙΚΑ

Κατά τη διδασκαλία της θερµοδυναµικής έγινε φανερό ότι η ενέργεια συναλλάσσεται µεταξύ των συστηµάτων υπό µορφή έργου και θερµότητας. Ενώ όµως η θερµοδυναµική δίνει τη δυνατότητα υπολογισµού των ποσών θερµότητας ή έργου που συναλλάσσονται, καθώς και των τελικών καταστάσεων του συστήµατος ή του εργαζόµενου µέσου, δεν δίνει πληροφορίες όσον αφορά στους µηχανισµούς, µέσω των οποίων γίνεται η µετάδοση της θερµότητας, ούτε για τους ρυθµούς µε τους οποίους πραγµατοποιείται η συναλλαγή αυτή της ενέργειας.

Γνωρίζουµε από την καθηµερινή πρακτική ότι εάν ένα κοµµάτι θερµούµετάλλου τοποθετηθεί µέσα σε κρύο νερό, το κοµµάτι του µετάλλου ψύχεται ενώ το νερό θερµαίνεται, έως ότου και τα δύο αποκτήσουν την ίδια θερµοκρασία. Ηεξίσωση της θερµοκρασίας µεταξύ των δύο σωµάτων διαφορετικής θερµοκρασίας οφείλεται στην ροή θερµότητας από το θερµό σώµα προς το ψυχρό.

Η θερµότητα ορίζεται ως η µορφή ενέργειας που µεταδίδεται µέσα από το όριο ενός θερµοδυναµικού συστήµατος συγκεκριµένης θερµοκρασίας προς ένα άλλο σύστηµα – ή στο περιβάλλον – που βρίσκεται σε χαµηλότερη θερµοκρασία,λόγω ακριβώς αυτής της διαφοράς θερµοκρασίας των δύο συστηµάτων.

Η θερµότητα µεταδίδεται πάντα από σύστηµα υψηλότερης προς σύστηµαχαµηλότερης θερµοκρασίας. Η µοναδική αιτία αυτής της µεταφοράς ενέργειας είναι η διαφορά θερµοκρασίας. Πρέπει να σηµειωθεί ότι το ίδιο το σύστηµα δεν περιέχει θερµότητα. Η θερµότητα µπορεί να οριστεί µόνο στα όρια του συστήµατος, κατά τη διαδικασία της µεταφοράς της από ένα σύστηµα σε ένα άλλο και για όσο χρόνο διαρκεί η µεταφορά. Στο προηγούµενο παράδειγµα τα δύο συστήµατα του µετάλλου και του νερού δεν περιέχουν τα ίδια θερµότητα.Αυτό που περιέχουν είναι φυσικά ενέργεια (για την οποία θα µιλήσουµε στη συνέχεια). Η θερµότητα εµφανίζεται (στα όρια των συστηµάτων) µέχρι να επέλθει θερµοκρασιακή ισορροπία στα δύο συστήµατα.

Το αντικείµενο της Μετάδοσης Θερµότητας είναι η διερεύνηση των µηχανισµών µε τους οποίους η θερµότητα µεταδίδεται µεταξύ των σωµάτων και η ποσοτικοποίηση αυτής της συναλλαγής. Θα µπορούσε να διατυπωθεί οπαρακάτω ορισµός για τη µετάδοση θερµότητας:

Μετάδοση θερµότητας είναι η µεταφορά ενέργειας λόγω θερµοκρασιακής διαφοράς.

Έτσι, όταν υπάρχει θερµοκρασιακή διαφορά µεταξύ δύο εργαζόµενων µέσων ή δύο συστηµάτων, παρατηρείται µετάδοση θερµότητας από το θερµότερο προς το ψυχρότερο.

Υπάρχουν τρεις διαφορετικοί µηχανισµοί µε τους οποίους πραγµατοποιείται αυτή η µεταφορά ενέργειας. Ο πρώτος µηχανισµός αναφέρεται



σε ακίνητο µέσο (στερεό, υγρό ή αέριο) και ονοµάζεται αγωγή (conduction). Οδεύτερος µηχανισµός αναφέρεται σε µετάδοση θερµότητας µεταξύ µιας στερεής επιφάνειας και ενός κινούµενου ρευστού και ονοµάζεται συναγωγή (convection). Ο τρίτος µηχανισµός στηρίζεται στο γεγονός ότι κάθε σώµαπεπερασµένης θερµοκρασίας εκπέµπει ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία. Έτσι µεταξύ δύο σωµάτων διαφορετικής θερµοκρασίας θα υπάρχει µετάδοση θερµότητας, χωρίς την ανάγκη παρουσίας κάποιου ενδιάµεσου σώµατος, µε την εφαρµογή του τρίτου µηχανισµού, της θερµικής ακτινοβολίας (thermal radiation).

Κατά την εξέταση των φαινοµένων στα οποία υπόκειται µία δεδοµένη µάζα, εµφανίζονται αλληλεπιδράσεις µε τον υπόλοιπο εξωτερικό κόσµο. Για να λαµβάνονται σωστά υπ’ όψιν οι αλληλεπιδράσεις αυτές και για την ορθή εξέταση του εν λόγω αντικειµένου, εισάγεται η έννοια του συστήµατος.Σύστηµα είναι µία διάταξη ή συνδυασµός διατάξεων, που περιέχουν την υπό µελέτη ποσότητα µάζας. Ουσιαστικά είναι ένα υλικό τµήµα του σύµπαντος, το οποίο µπορεί να εξεταστεί χωριστά από το περιβάλλον του.

Για να περιγραφεί µε ακρίβεια το σύστηµα, χρησιµοποιείται ο όγκος ελέγχου (Control Volume), ο οποίος µέσω του ορίου του (της διαχωριστικής επιφάνειας – επιφάνειας ελέγχου – Control Surface) διαχωρίζει το σύστηµα από τον υπόλοιπο κόσµο. Ο όγκος ελέγχου περιλαµβάνει την υπό εξέταση µάζα ήακόµη και τις περιβάλλουσες τη µάζα διατάξεις. Κάθε τι εκτός του όγκου ελέγχου ανήκει στο εξωτερικό περιβάλλον. Η εξωτερική επιφάνεια που περικλείει και ορίζει τον όγκο ελέγχου, όπως προαναφέρθηκε, ονοµάζεται επιφάνεια ελέγχου.

Ο όγκος ελέγχου µπορεί να επιτρέπει ή όχι τη συναλλαγή µάζας,θερµότητας ή έργου µεταξύ του συστήµατος και του περιβάλλοντος. Μπορεί να έχει σταθερό σχήµα ή κινούµενα όρια. Ανάλογα µε το βαθµό συναλλαγής του συστήµατος µε το περιβάλλον του (και µε αυξανόµενο βαθµό αποµόνωσης) ένα σύστηµα µπορεί να χαρακτηριστεί ως:

Κλειστό σύστηµα, στο οποίο δεν είναι δυνατή οποιαδήποτε συναλλαγή µάζας, µέσω των ορίων του, µε το περιβάλλον. Ανοικτό σύστηµα, αντίθετα,είναι αυτό που επιτρέπει τη συναλλαγή µάζας µε το περιβάλλον, µέσω των ορίων του.

Μηχανικώς κλειστό σύστηµα, στο οποίο δεν γίνεται συναλλαγή έργου µετο περιβάλλον του.

Αδιαβατικό σύστηµα, στο οποίο δε γίνεται συναλλαγή θερµότητας µε το περιβάλλον.

Μονωµένο σύστηµα, στο οποίο δε γίνεται συναλλαγή µάζας, µηχανικού έργου ή θερµότητας µε το περιβάλλον.

Στην περίπτωση ενός κλειστού συστήµατος το όριο δεν πρέπει να είναι κατ’ ανάγκη σταθερό, αλλά µπορεί να µεταβάλλεται σε όγκο, ώστε να περικλείει συνεχώς τη σταθερή µάζα του συστήµατος. Χαρακτηριστικό παράδειγµα τέτοιου συστήµατος είναι το αέριο που περικλείεται στεγανά εντός ενός κυλίνδρου και



του εµβόλου του, το οποίο παλινδροµεί.

Η εξέταση της συµπεριφοράς ενός συστήµατος µπορεί να γίνει είτε µεµικροσκοπική είτε µε µακροσκοπική θεώρηση. Η δεύτερη θεώρηση, η οποία αποτελεί και το αντικείµενο της κλασικής Θερµοδυναµικής και της κλασικής Ρευστοµηχανικής, χρησιµοποιεί ένα µικρό αριθµό µεταβλητών για την περιγραφή της µακροσκοπικής συµπεριφοράς του συστήµατος. Με τον όρο µακροσκοπική εννοούµε την κατά µέσο όρο συµπεριφορά ενός µεγάλου αριθµού σωµατιδίων, όπως την αντιλαµβανόµαστε µε την παρατήρηση ή τις µετρήσεις µας. Για παράδειγµα η πίεση, την οποία εξασκεί ένα αέριο στις επιφάνειες του δοχείου στο οποίο το έχουµε περιορίσει, είναι το µακροσκοπικό αποτέλεσµα της µεταβολής της ορµής κάθε στοιχειώδους σωµατιδίου (ατόµου ή µορίου) που συγκρούεται µε τα τοιχώµατα του δοχείου. Αντί να θεωρήσουµε κάθε ένα στοιχειώδες σωµατίδιο του αερίου ξεχωριστά, εξετάζουµε τη χρονικά µέση επίδρασή τους (η οποία µπορεί να µετρηθεί µε τα µετρητικά µας όργανα). Ηµέση αυτή επίδραση είναι και ανεξάρτητη από υποθέσεις, όσον αφορά τη δοµήκαι τη φύση του προς εξέταση στοιχείου.

Στη µακροσκοπική θεώρηση, η οποία και θα µας απασχολήσει, οιδιαστάσεις των εξεταζόµενων συστηµάτων είναι κατά πολύ µεγαλύτερες από τις διαστάσεις των στοιχεωδών σωµατιδίων και συνεπώς τα συστήµατα απαρτίζονται από πολύ µεγάλο αριθµό στοιχειωδών σωµατιδίων. Στην περίπτωση αυτή, το εξεταζόµενο υλικό θεωρείται ότι είναι συνεχές σώµα. Ηυπόθεση αυτή χάνει την ισχύ της σε περιπτώσεις όπου η ελεύθερη διαδροµή των µορίων είναι της ίδιας τάξης µεγέθους µε τις διαστάσεις του όγκου ελέγχου,όπως συµβαίνει σε συνθήκες κενού στο εργαστήριο ή στα όρια της ατµόσφαιρας.

Η κατάσταση του σώµατος µπορεί να περιγραφεί µε συγκεκριµένες µακροσκοπικές µεταβλητές, όπως η θερµοκρασία, η πίεση και η πυκνότητα. Οι µεταβλητές αυτές χαρακτηρίζουν την κατάσταση και έχουν την ίδια πάντα τιµήστην ίδια κατάσταση, ανεξάρτητα µε τον τρόπο που επιτεύχθηκε η κατάσταση αυτή. Οι εν λόγω µεταβλητές καλούνται καταστατικά µεγέθη. Έτσι, ως καταστατικό µέγεθος µπορεί να οριστεί κάθε µεταβλητή, η οποία εξαρτάται µόνο από την κατάσταση του σώµατος και είναι ανεξάρτητη του τρόπου µε τον οποίο έχει επιτευχθεί η συγκεκριµένη θερµοδυναµική κατάσταση. Τα καταστατικά µεγέθη περιγράφουν τη συγκεκριµένη κατάσταση, ενώ ο ελάχιστος αριθµόςανεξάρτητων καταστατικών µεγεθών, που απαιτούνται για την πλήρη περιγραφή µιας κατάστασης, εξαρτάται από τη σύνθεση και την πολυπλοκότητα του συστήµατος.

Τα καταστατικά µεγέθη διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, τα εντατικά και τα εκτατικά µεγέθη. Στα εντατικά µεγέθη η τιµή τους δεν εξαρτάται από το µέγεθος – τη µάζα – του σώµατος, σε αντίθεση µε τα εκτατικά µεγέθη, των οποίων η τιµή εξαρτάται από το µέγεθος του σώµατος. Η πίεση, η θερµοκρασία και η πυκνότητα είναι παραδείγµατα εντατικών µεγεθών, ενώ η µάζα και ο όγκος είναι παραδείγµατα εκτατικών µεγεθών. Έτσι αν µια ποσότητα αερίου, που περικλείεται σε ένα δοχείο, χωριστεί στη µέση µε ένα διάφραγµα, τα εντατικά µεγέθη στα δύο ανεξάρτητα τµήµατα δε θα µεταβληθούν, θα µεταβληθούν όµως τα εκτατικά µεγέθη σε κάθε τµήµα (τόσο ο όγκος όσο και η µάζα θα υποδιπλασιαστούν).



Τα εκτατικά µεγέθη διαιρεµένα µε τη µάζα του σώµατος δίνουν τα ειδικά µεγέθη, όπως ο ειδικός όγκος, ο οποίος είναι ο λόγος του όγκου δια της µάζας του σώµατος. Τα ειδικά µεγέθη είναι εντατικά µεγέθη. Τα εκτατικά µεγέθη συµβολίζονται συνήθως µε κεφαλαία γράµµατα ενώ τα ειδικά µεγέθη µε πεζά.Ως παράδειγµα, ο όγκος του σώµατος συµβολίζεται µε το V ενώ ο ειδικός όγκος µε το v , και ορίζεται ως:

mVv =

όπου m η µάζα του υπό εξέταση σώµατος.



1.2 ΑΓΩΓΗ

Ο πρώτος µηχανισµός µετάδοσης θερµότητας που θα εξεταστεί είναι ηαγωγή θερµότητας. Αρχικά θα γίνει γενική αναφορά στο φαινόµενο, ενώ περισσότερες λεπτοµέρειες θα παρατεθούν σε επόµενα κεφάλαια. Η αγωγή θερµότητας αναφέρεται σε µακροσκοπικώς ακίνητα σώµατα (στερεά ή ρευστά σε ακινησία) και συνδέεται µε τη συναλλαγή ενέργειας σε µοριακό επίπεδο.Ουσιαστικά πρόκειται για τη µετάδοση ενέργειας από στοιχειώδη σωµατίδια υψηλότερης προς σωµατίδια χαµηλότερης ενέργειας, δια της µεταξύ τους αλληλεπίδρασης.

Ας θεωρήσουµε ένα αέριο το οποίο µακροσκοπικά βρίσκεται σε ακινησία.Έστω ότι το αέριο βρίσκεται µεταξύ δύο επιφανειών διαφορετικής θερµοκρασίας. Η υψηλότερη θερµοκρασία σε κάποιο σηµείο του αερίου συνδέεται µε υψηλότερη ενέργεια των σωµατιδίων του αερίου λόγω τυχαίας κίνησης, λόγω εσωτερικής περιστροφής και λόγω ταλάντωσης των ατόµων του κάθε µορίου του αερίου. Τα σωµατίδια σε επαφή µε τη πιο θερµή επιφάνεια διαθέτουν υψηλότερη ενέργεια, την οποία µεταδίδουν στα γειτονικά τους σωµατίδια χαµηλότερης ενέργειας µέσω των µεταξύ τους συγκρούσεων. Έτσι στην περίπτωση παρουσίας θερµοκρασιακής κλίσης στο εσωτερικό του αερίου υπάρχει µετάδοση ενέργειας από την περιοχή της υψηλότερης θερµοκρασίας προς την περιοχή της χαµηλότερης θερµοκρασίας, µέσω ακριβώς των συγκρούσεων των µορίων. Η µετάδοση αυτή της ενέργειας µέσω των τυχαίων συγκρούσεων των µορίων καλείται διάχυση ενέργειας (diffusion).

Παρόµοιος µηχανισµός εµφανίζεται και στην περίπτωση των ακίνητων υγρών. Στην περίπτωση όµως των υγρών οι αλληλεπιδράσεις µεταξύ των µορίων είναι πολύ πιο ισχυρές (παρουσία ισχυρών διαµοριακών δυνάµεων εκτός των συγκρούσεων), οπότε περιµένουµε λογικά το φαινόµενο της διάχυσης της ενέργειας µέσω της αλληλεπίδρασης των µορίων να είναι πιο έντονο. Στην περίπτωση των στερεών η διάδοση της ενέργειας πραγµατοποιείται µέσω δύο µηχανισµών. Στην περίπτωση των µονωτών, η ενέργεια διαδίδεται µε µορφή πλεγµατικών κυµάτων εντός της δοµής του στερεού. Τα κύµατα αυτά επάγονται από την ταλαντωτική κίνηση των ατόµων. Στην περίπτωση των αγωγών, τα ελεύθερα ηλεκτρόνια συµµετέχουν, µέσω της κίνησής τους, στη διάχυση της θερµικής ενέργειας στον όγκο του στερεού, µαζί µε τα πλεγµατικά κύµατα.

Η µετάδοση θερµότητας µε αγωγή µακροσκοπικά περιγράφεται (σε µία διάσταση) από τον Νόµο του Fourier. Ας θεωρήσουµε επίπεδο σώµα σταθερού πάχους L µε τις άλλες δύο διαστάσεις του να εκτείνονται στο άπειρο (Σχήµα 1.1). Αν επικρατεί στην µία πλευρά του θερµοκρασία 1T και στην άλλη πλευρά του θερµοκρασία 2T µικρότερη της 1T , ενώ η κλίση της θερµοκρασίας στο εσωτερικό του είναι σταθερή (γραµµική µεταβολή της θερµοκρασίας), τότε ορυθµός µετάδοσης θερµότητας κατά την x διεύθυνση (κάθετα στο επίπεδο του σώµατος) ανά µονάδα επιφανείας δίδεται:

dxdTkqx −=′′



Το παραπάνω µέγεθος ονοµάζεται πυκνότητα ροής θερµότητας ήπυκνότητα θερµοροής (heat flux), ενώ η µονάδα µέτρησής του είναι W/m2

(ισχύς ανά µονάδα επιφάνειας). Εκφράζει τη θερµική ενέργεια που περνά από µοναδιαία επιφάνεια στη µονάδα του χρόνου, λόγω της θερµοκρασιακή κλίσης σε διεύθυνση κάθετη στην εν λόγω επιφάνεια. Το αρνητικό πρόσηµο στην παραπάνω σχέση οφείλεται στο γεγονός ότι η µετάδοσης θερµότητας πραγµατοποιείται από υψηλότερες προς χαµηλότερες θερµοκρασίες, δηλαδή κατά τη φορά των αρνητικών θερµοκρασιακών κλίσεων.

ΣΧΗΜΑ 1.1 Μονοδιάστατη µετάδοση θερµότητας µεαγωγή σε σώµα πάχους L κατά τη x διεύθυνση και απείρων διαστάσεων στα δύο άλλες διευθύνσεις.

Ο συντελεστής k στην παραπάνω σχέση ονοµάζεται συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας (thermal conductivity) µε µονάδα µέτρησης W/(m K). Ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας εξαρτάται από το υλικό στο οποίο εφαρµόζεται η θερµοκρασιακή κλίση (ενώ µεταβάλλεται µε τη θερµοκρασία).

Στη συγκεκριµένη περίπτωση, που θεωρήσαµε σταθερή θερµοκρασιακή κλίση στο εσωτερικό του σώµατος (γραµµική µεταβολή της θερµοκρασίας), ηπαραπάνω σχέση γράφεται:

LTk

LTTkqx

∆=−

−=′′ 12

Ο συνολικός ρυθµός µετάδοσης θερµότητας µέσα από την επιφάνεια (θερµοροή µέσα από την εν λόγω επιφάνεια) προκύπτει πολλαπλασιάζοντας µετο εµβαδόν Α της επιφάνειας, δηλαδή:

dxdTAkAqq xx −=′′=

Στην καθηµερινή ζωή υπάρχουν πολλά φαινόµενα τα οποία συνδέονται µετην µετάδοση θερµότητας µε αγωγή. Η απώλεια θερµότητας από το εσωτερικό του σπιτιού προς το εξωτερικό περιβάλλον το χειµώνα πραγµατοποιείται µεαγωγή µέσα από τους τοίχους και τα παράθυρα. Η µετάδοση θερµότητας από το µάτι της κουζίνας προς το µαγειρικό σκεύος πραγµατοποιείται µε αγωγή.

Τ

x

T1

T2

L



1.3 ΣΥΝΑΓΩΓΗ

Η συναγωγή αναφέρεται στη µετάδοση θερµότητας σε κινούµενα ρευστά.Στην περίπτωσης αυτή συνυπάρχουν δύο µηχανισµοί µετάδοσης ενέργειας. Οπρώτος είναι η διάχυση ενέργειας µέσω των σωµατιδιακών αλληλεπιδράσεων (όπως και στην περίπτωσης της αγωγής), ενώ ο δεύτερος µηχανισµός συνδέεται µε τη µακροσκοπική κίνησης του ρευστού. Κατά τη µακροσκοπική κίνηση του ρευστού τα στοιχειώδη σωµατίδια, που απαρτίζουν τα στοιχεία του ρευστού,µεταφέρουν µαζί µε τη µάζα τους και την θερµική ενέργεια που σχετίζεται µετην τυχαία µεταφορική κίνησή τους, την εσωτερική περιστροφή τους και την ταλάντωσή τους. Έτσι η συνολική µετάδοση θερµικής ενέργειας είναι το άθροισµα της µετάδοσης λόγω συγκρούσεων (διάχυση) και της µετάδοσης λόγω της µεταφοράς της θερµικής ενέργειας των σωµατιδίων µέσω της µακροσκοπικής κίνησης του ρευστού.

Η κύρια περιοχή εφαρµογής της µετάδοσης θερµότητας µε συναγωγή είναι η µετάδοση από στερεή επιφάνεια προς κινούµενο ρευστό σε επαφή µε την επιφάνεια, ή το αντίθετο. Γνωρίζουµε από τη µηχανική των ρευστών ότι στην περιοχή επαφής του ρευστού µε στερεή επιφάνεια αναπτύσσεται το λεγόµενο οριακό στρώµα ταχύτητας (ή υδραυλικό οριακό στρώµα), ως αποτέλεσµα της δράσης των δυνάµεων συνεκτικότητας στο εσωτερικό του ρευστού. Στο οριακό στρώµα εµφανίζεται οµαλή µετάβαση από την ταχύτητα της ροής µακριά από το τοίχωµα (ταχύτητα ελεύθερης ροής) στην µηδενική ταχύτητα στην επιφάνεια του ακίνητου τοιχώµατος. Στην περίπτωση κινούµενης επιφάνειας, η ταχύτητα της ροής πάνω στην επιφάνεια ισούται, ως γνωστόν, µε την ταχύτητα της επιφάνειας (συνθήκη µη ολίσθησης). Το πάχος του οριακού στρώµατος αυξάνεται κατάντι της ροής.

Στην περίπτωση διαφοράς θερµοκρασίας µεταξύ της στερεής επιφάνειας και του ρευστού εµφανίζεται και το λεγόµενο θερµικό οριακό στρώµα (thermal boundary layer), του οποίου το πάχος µπορεί να είναι ίσο, µικρότερο ήµεγαλύτερο από αυτό του υδραυλικού οριακού στρώµατος. Εντός του θερµικού οριακού στρώµατος εµφανίζεται οµαλή µεταβολή της θερµοκρασίας από τη θερµοκρασία της στερεής επιφάνειας sT έως τη θερµοκρασία της κύριας ροής

oT . Στην περίπτωση που η πρώτη είναι µεγαλύτερη της δεύτερης, η ροή θερµότητας πραγµατοποιείται από την θερµή επιφάνεια στο ψυχρότερο ρευστό.

Επειδή στην περιοχή κοντά στο στερεό τοίχωµα οι ταχύτητες της ροής είναι πολύ µικρές, ο µηχανισµός της διάχυσης είναι αυτός που επικρατεί.Αντίθετα, µακριά από το τοίχωµα, όπου έχουν αυξηθεί οι ταχύτητες της ροής,επικρατεί η µετάδοση θερµότητας µε µεταφορά. Ειδικά πάνω στο τοίχωµα, όπου η σχετική ταχύτητα της ροής είναι µηδενική, υπάρχει αποκλειστικά µετάδοση θερµότητας µε διάχυση.

Η ροή που προκαλεί τη συναγωγή θερµότητας µπορεί να οφείλεται σε εξωτερικούς παράγοντες ή στην ίδια τη µετάδοσης θερµότητας. Έτσι, στην περίπτωση των σωµάτων κεντρικής θέρµανσης ενός σπιτιού, ο θερµαινόµενος (αρχικά µόνο µε αγωγή) ακίνητος αέρας, λόγω µείωσης της πυκνότητάς του ανέρχεται, προκαλώντας φυσική κυκλοφορία στο εσωτερικό του δωµατίου. Η



φυσική αυτή κυκλοφορία δίνει την αναγκαία µεταφορική κίνηση για την εµφάνιση συναγωγής µεταξύ του θερµαντικού σώµατος και του αέρα. Οµηχανισµός της συναγωγής είναι πολύ πιο έντονος από τον αντίστοιχο της αγωγής. Στην παραπάνω περίπτωση έχουµε συναγωγή µε φυσική κυκλοφορία.

Στην περίπτωση που η ροή του ρευστού συντηρείται από εξωτερικό αίτιο (µία αντλία ή έναν ανεµιστήρα) τότε έχουµε µετάδοση θερµότητας µε συναγωγή µε εξαναγκασµένη κυκλοφορία. Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι η θέρµανση του αέρα στο πιστολάκι των µαλλιών, ή η ψύξη µιας θερµής επιφάνειας µε τη χρήση ανεµιστήρα. Συνήθως µαζί µε την εξαναγκασµένη κυκλοφορία συνυπάρχει και φυσική κυκλοφορία λόγω των αντωτικών δυνάµεων από τη µεταβολή των πυκνοτήτων, µόνο που το πρώτο φαινόµενο είναι πιο έντονο στις περισσότερες των περιπτώσεων.

Συνήθως η συναλλαγή θερµότητας µε συναγωγή αναφέρεται στην εσωτερική θερµική ενέργεια, η οποία συνδέεται µε τη θερµική του κίνηση.Υπάρχουν όµως περιπτώσεις όπου η µετάδοση θερµότητας συνοδεύεται από αλλαγή φάσης, δηλαδή περιλαµβάνει και τη λανθάνουσα θερµότητα αλλαγής φάσης. Ένα παράδειγµα της παραπάνω περίπτωσης είναι η µετάδοση θερµότητας προς το ρευστό από τις φυσαλίδες ατµού που ανέρχονται προς την επιφάνεια, σε δοχείο µε νερό που βράζει. Αυτές προκαλούν ισχυρή κίνηση εντός του ρευστού,µε αποτέλεσµα να εντείνεται η συναγωγή. Η µετάδοση θερµότητας µε συναγωγή όταν υπάρχει και αλλαγή φάσης είναι πολύ πιο έντονη από την απλή περίπτωση της συναγωγής.

Το φαινόµενο της συναγωγής εξαρτάται από την ροή του ρευστού (και τα χαρακτηριστικά της) και από τη διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ του ρευστού και της στερεής επιφάνειας. Μια γενική σχέση που περιγράφει τη µετάδοση θερµότητας µε συναγωγή είναι ο νόµος του Newton για τη συναγωγή, ο οποίος δίνει την πυκνότητα ροής θερµότητας:

)( osx TThq −=′′

Ο συντελεστής h ονοµάζεται συντελεστής µετάδοσης θερµότητας µεσυναγωγή και δίδεται σε W/(m2 K). Η τιµή του εξαρτάται από το είδος της ροής,τη µορφή της επιφάνειας και τα θερµοδυναµικά και ρευστοµηχανικά χαρακτηριστικά του ρευστού. Ο προσδιορισµός του συνήθως απαιτεί σοβαρές γνώσεις ρευστοµηχανικής, ενώ για τυπικές ροές η τιµή του βρίσκεται από πίνακες και διαγράµµατα.

Ο συνολικός ρυθµός µετάδοσης θερµότητας µέσα από την επιφάνεια (θερµοροή µέσα από την εν λόγω επιφάνεια) προκύπτει πολλαπλασιάζοντας µετο εµβαδόν Α της επιφάνειας, δηλαδή:

)( osxx TThAAqq −=′′=



ΠΙΝΑΚΑΣ 1.1 Τυπικές τιµές µέσου συντελεστή µετάδοσης θερµότητας µεσυναγωγή h (W/m2 K).

Φυσική κυκλοφορία σε αέρια

Κάθετος τοίχος 0.3m µε φυσική κυκλοφορία αέρα (διαφορά θερµοκρασίας ∆T =30 οC): 4,33

Φυσική κυκλοφορία σε υγρά

Οριζόντιος κυκλικός αγωγός διαµέτρου 40 mm εντός νερού (∆T = 30 οC): 570

Μεταλλικό σύρµα διαµέτρου 0.25 mm εντός µεθανόλης (∆T = 50 οC): 4000

Βεβιασµένη κυκλοφορία σε αέρια

Αέρας ταχύτητας 30 m/s πάνω από επίπεδη πλάκα µήκους 1 m (∆T = 70 oC): 80

Βεβιασµένη κυκλοφορία σε υγρά

Νερό ταχύτητας 2 m/s πάνω από επίπεδη πλάκα µήκους 60 mm (∆T = 15 oC): 590

Μείγµα ανιλίνης-αλκοόλης σε σωλήνα διαµέτρου 25 mm που ρέει µε ταχύτητα 3 m/s (∆T = 80 oC): 2600

Νερό σε βρασµό

Νερό που βράζει εντός βρστήρα τσαγιού: 4000

Μέγιστη προσεγγιστική τιµή του µέσου συντελεστή µετάδοσης θερµότητας µεσυναγωγή, µε ταυτόχρονο βρασµό υπό ιδανικές συνθήκες: 1000000



1.4 ΜΕΤΑ∆ΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ

Κάθε σώµα (στερεό, υγρό ή αέριο), το οποίο βρίσκεται σε θερµοκρασία διαφορετική από 0 Κ, εκπέµπει θερµική ακτινοβολία. Η ακτινοβολία (σε µορφή ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων – φωτονίων) δηµιουργείται µε αλλαγές στην ενεργειακή κατάσταση των ηλεκτρονίων των ατόµων του σώµατος. Σε αντίθεση µε τους άλλους δύο µηχανισµούς µετάδοσης θερµότητας (αγωγή και συναγωγή), η µετάδοση θερµότητας µε ακτινοβολία δεν απαιτεί την ύπαρξη ύλης, αλλά µπορεί να πραγµατοποιείται και εν κενώ (στην πραγµατικότητα η µετάδοση θερµότητας µε ακτινοβολία πραγµατοποιείται πιο αποδοτικά εν κενώ). Στην παρούσα φάση θα ασχοληθούµε µε ακτινοβολία µεταξύ στερεών επιφανειών και δεν θα εξετάσουµε τις περιπτώσεις ακτινοβολίας από και προς υγρά και αέρια σώµατα.

Ας θεωρήσουµε τη στερεή εξωτερική επιφάνεια ενός σώµατος. Ηακτινοβολία που εξέρχεται από την επιφάνεια παράγεται στο εσωτερικό του σώµατος και ο ρυθµός µε τον οποίο η ενέργεια εξέρχεται από µοναδιαίο εµβαδόν της επιφάνειας καλείται πυκνότητα εκπεµπόµενης ακτινοβολίας Ε, ενώ ηµέγιστη τιµή της Εb δίδεται από τον νόµο Stefan – Boltzman ως:

4sb TE σ=

όπου sT η απόλυτη θερµοκρασία της επιφάνειας (σε Κ) και σ η σταθερά των Stefan – Boltzmann (σ = 5,67 x 10-8 W/(m2K4)). Η επιφάνεια που εκλύει τη µέγιστη αυτή ισχύ ακτινοβολίας ονοµάζεται µέλαν σώµα (blackbody). Σε µία πραγµατική επιφάνεια η ακτινοβολούσα ισχύς είναι προφανώς µικρότερη για την ίδια θερµοκρασία και δίδεται:

4sTE σε=

όπου ε η ικανότητα εκποµπής (emissivity) της επιφάνειας, µε τιµές µεταξύ 0 και 1. Η τιµή της εξαρτάται από το υλικό και τα χαρακτηριστικά της επιφάνειας και δείχνει πόσο προσεγγίζει η συγκεκριµένη επιφάνεια το µέλαν σώµα.

Εκτός από την εκποµπή ακτινοβολίας από µια επιφάνεια, γίνεται και πρόσπτωση ακτινοβολίας, η οποία παράγεται εκτός της επιφάνειας. Αν G ηπυκνότητα της προσπίπτουσας ακτινοβολίας (ισχύς ανά µονάδα επιφανείας), τότε ένα τµήµα της µπορεί να απορροφηθεί από το σώµα (αυξάνοντας την εσωτερική του ενέργεια), ένα τµήµα µπορεί να ανακλαστεί, ενώ το υπόλοιπο τµήµα µπορεί να διαπεράσει το σώµα (εάν αυτό είναι ηµιδιαφανές).

Το ποσοστό της προσπίπτουσας ακτινοβολίας που απορροφάται από το σώµα περιγράφεται µε την απορροφητικότητα α , οπότε ισχύει:

GG ααπορρ =

Προφανώς η απορροφητικότητα παίρνει τιµές µεταξύ 0 και 1. Ηαπορροφητικότητα της επιφάνειας δεν εξαρτάται µόνο από την επιφάνεια αλλά



και από το είδος της ακτινοβολίας. Η ίδια επιφάνεια µπορεί να έχει διαφορετική απορροφητικότητα σε ακτινοβολίες διαφορετικού µήκους κύµατος. Μόνο ηαπορροφώµενη ακτινοβολία µεταβάλει την εσωτερική ενέργεια του σώµατος,ενώ η ανακλώµενη και η ακτινοβολία που διαπερνά το σώµα δεν έχουν προφανώς καµία επίδραση σε αυτή.

Μία ειδική περίπτωση της µετάδοσης θερµότητας µε ακτινοβολία (µεσηµαντικές όµως εφαρµογές) αφορά στην περίπτωση µιας µικρής επιφάνειας ηοποία περικλείεται ολοκληρωτικά από µία αρκετά µεγαλύτερη επιφάνεια, ηοποία βρίσκεται σε διαφορετική (σταθερή) θερµοκρασία εξT (Σχήµα 1.2). Μία τέτοια περίπτωση επιφάνειας είναι τα τοιχώµατα ενός φούρνου. Στην περίπτωση αυτή η προσπίπτουσα ακτινοβολία στην µικρή εσωτερική επιφάνεια θερµοκρασίας sT µπορεί να προσεγγιστεί από την ακτινοβολία που παράγει ένα µέλαν σώµα θερµοκρασίας εξT , δηλαδή:

4εξσ TG =

Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία υποθέτουµε ότι η µικρή επιφάνεια είναι µία γκρίζα επιφάνεια θα ισχύει:

εα =

Η καθαρή ισχύς ανά µονάδα επιφάνειας που εξέρχεται από την µικρή εσωτερική επιφάνεια εµβαδού Α θα δίδεται:

)( 44εξσεεεαε TTGEGE

Aqq sbb

radrad −=−=−==′′

Η παραπάνω σχέση δίνει την καθαρή ισχύ που απελευθερώνεται από την επιφάνεια ως αποτέλεσµα της ισχύος που απορροφάται και της ισχύος που εκλύεται, λόγω της υπάρχουσας διαφοράς θερµοκρασίας µεταξύ της εσωτερικής και της περικλείουσας επιφάνειας.

Η θερµική ισχύς που ακτινοβολείται συχνά εκφράζεται σε µορφή αντίστοιχη µε αυτή που µεταδίδεται µε συναγωγή, δηλαδή:

)( εξTTAhq sradrad −=

όπου radh ο συντελεστής µετάδοσης θερµότητας µε ακτινοβολία, ο οποίος δίδεται:

)()( 22εξεξσε TTTh ssrad +Τ+≡

Προφανώς, ο συντελεστής µετάδοσης θερµότητας µε ακτινοβολία µεταβάλλεται ισχυρά µε τη θερµοκρασία (ουσιαστικά αυτό που γίνεται µε τις παραπάνω σχέσεις είναι µία γραµµικοποίηση της σχέσης που δίνει την µεταδιδόµενη µε ακτινοβολία ισχύ, στην περιοχή των θερµοκρασιών της µικρής εσωτερικής επιφάνειας και της περικλείουσας επιφάνειας). Η παραπάνω µοντελοποίηση είναι χρήσιµη στις περιπτώσεις που έχουµε ταυτόχρονη



µετάδοση θερµότητας µε ακτινοβολία και συναγωγή.

ΣΧΗΜΑ 1.2 Μετάδοση θερµότητας µε ακτινοβολία µεταξύ δύο επιφανειών, όπου ηµία περικλείει την άλλη.Οι δύο επιφάνειες βρίσκονται σε διαφορετικές θερµοκρασίες.

1.5 Ο ΠΡΩΤΟΣ ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ

Ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος αποτελεί βασικό εργαλείο για την επίλυση προβληµάτων µετάδοσης θερµότητας. Είναι ουσιαστικά η αρχή διατήρησης της ενέργειας και στην περίπτωση της µετάδοσης θερµότητας συνήθως εκφράζεται στη µορφή των ρυθµών µεταβολής (δηλαδή περιέχει όρους ισχύος).

Για την διατύπωση του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου (όπως και κάθε νόµου διατήρησης σε ολοκληρωτική µορφή), απαιτείται ο ορισµός ενός όγκου ελέγχου, ο οποίο περικλείεται εντός κλειστή επιφάνειας ελέγχου, η οποία ορίζει το σύστηµα το οποίο µελετάµε.

Μια απλή διατύπωση του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου σε µορφή ρυθµών µεταβολής είναι η ακόλουθη:

Η εισερχόµενη θερµική και µηχανική ισχύς από την επιφάνεια ελέγχου συν την παραγόµενη θερµική ισχύ εντός του σώµατος, µείον την εξερχόµενη θερµική και µηχανική ισχύ από την επιφάνεια ελέγχου, ισούται µε τον ρυθµό µεταβολής της αποθηκευµένης ενέργειας εντός του όγκου ελέγχου.

∆ηλαδή:

Τεξ

Τs

GE



αποθαποθ

παρ Edt

dEEE outin ==Ε−+

Η κλασική διατύπωση µε χρησιµοποίηση όρων ενέργειας δίδεται:

Η θερµική και µηχανική ενέργεια που εισέρχεται (σε δεδοµένο χρόνο) από την επιφάνεια ελέγχου, συν την ενέργεια που παράγεται (στον ίδιο χρόνο) εντός του όγκου ελέγχου, µείον την εξερχόµενη θερµική και µηχανική ενέργεια από την επιφάνεια ελέγχου, ισούται µε τη µεταβολή της αποθηκευµένης ενέργειας στον όγκο ελέγχου (στο δεδοµένο χρονικό διάστηµα).

∆ηλαδή:

αποθπαρ EEEE outin ∆=−+

Στην περίπτωση µονίµων καταστάσεων η αποθηκευµένη ενέργεια δεν µεταβάλλεται, οπότε ο όρος στο δεύτερο σκέλος των παραπάνω εξισώσεων είναι µηδενικός.

Στη θερµοδυναµική συχνά χρησιµοποιείται λίγο διαφορετική διατύπωση του παραπάνω νόµου, µε τη θερµότητα να θεωρείται θετική όταν εισέρχεται στο σύστηµα και το έργο να θεωρείται θετικό όταν εξέρχεται από το σύστηµα.

Οι όροι στις παραπάνω εξισώσεις διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, στους όρους που αναφέρονται σε µετάδοση ενέργειας µέσα από την επιφάνεια ελέγχου (πρώτος και τρίτος όρος) και στους όρους που αναφέρονται στην παραγωγή και αποθήκευση ενέργειας σε όλο τον όγκο ελέγχου (δεύτερος και τέταρτος όρος). Ηπρώτη κατηγορία περιλαµβάνει τη µετάδοσης θερµότητας (µε αγωγή, συναγωγή και ακτινοβολία), τη µετάδοση µηχανικού έργου µέσα από την επιφάνεια ελέγχου και τη µετάδοση ενέργειας, λόγω της κίνησης κάποιου ρευστού (το ρευστό µεταφέρει µαζί του εσωτερική ενέργεια, κινητική ενέργεια, δυναµική ενέργεια και δυνητική ενέργεια –λόγω πίεσης).

Η παραγόµενη θερµότητα εντός του όγκου ελέγχου είναι εκτατικό µέγεθος,εξαρτάται δηλαδή από τον όγκο του συστήµατος. Συνήθως εκφράζεται ως παραγόµενη θερµική ισχύς ανά µονάδα όγκου. Μπορεί να συνδέεται µεδιαφορετικά φαινόµενα, όπως η παραγόµενη θερµότητα κατά τη ροή ηλεκτρικού ρεύµατος µέσα από το σώµα λόγω της ηλεκτρικής του αντίστασης, ηπαραγόµενη θερµότητα από εξώθερµες χηµικές αντιδράσεις, ή η παραγόµενη θερµότητα από πυρηνικές αντιδράσεις.

Η αποθηκευµένη ενέργεια του συστήµατος διακρίνεται σε δύο κατηγορίες.Η πρώτη κατηγορία είναι αυτή που οφείλεται σε εξωτερικές επιδράσεις, όπως παρουσία εξωτερικών πεδίων δυνάµεων (βαρυτικό πεδίο, ηλεκτροµαγνητικά πεδία κ.λπ.) ή κίνηση της µάζας του συστήµατος. Η δεύτερη κατηγορία αναφέρεται στην ενέργεια που το ίδιο το σύστηµα περιέχει. Την ενέργεια λόγω εξωτερικών πεδίων ονοµάζουµε ∆υναµική Ενέργεια και συµβολίζουµε µε Ε∆ ,την ενέργεια λόγω της κίνησης της µάζας του συστήµατος ονοµάζουµεΚινητική Ενέργεια και τη συµβολίζουµε µε ΕΚ, ενώ την ενέργεια που περικλείει η µάζα του συστήµατος (το υπόλοιπο της ενέργειας αν αφαιρεθούν οι δύο



προηγούµενες κατηγορίες) ονοµάζουµε Εσωτερική Ενέργεια και τη συµβολίζουµε µε U . ∆ηλαδή έχουµε:

KEEUE ++= ∆

Η εσωτερική ενέργεια περιλαµβάνει όλες τις υπόλοιπες µορφές ενέργειας πλην της δυναµικής και της κινητικής και ουσιαστικά συνδέεται µε την θερµοδυναµική κατάσταση του συστήµατος. Είναι µία θερµοδυναµική ιδιότητα του συστήµατος και µπορεί συνεπώς να εκφραστεί µέσω δύο οποιωνδήποτε καταστατικών µεγεθών. Και οι δύο άλλες κατηγορίες Ενέργειας είναι καταστατικά µεγέθη (αφού εξαρτώνται από την κατάσταση του συστήµατος – υψοµετρική θέση ή ταχύτητα για έλλειψη άλλων πεδίων πλην βαρυτικού).

Η εσωτερική ενέργεια διακρίνεται στην αισθητή ή θερµική εσωτερική ενέργεια, η οποία συνδέεται µε την τυχαία κίνηση των ατόµων του σώµατος (µεταφορική, περιστροφική ή ταλάντωση), στη λανθάνουσα εσωτερική ενέργεια,η οποία συνδέεται µε τις αλλαγές των διαµοριακών δυνάµεων κατά τις αλλαγές φάσης, τη χηµική εσωτερική ενέργεια, η οποία συνδέεται µε τις δυνάµεις των χηµικών δεσµών των µορίων και την πυρηνική εσωτερική ενέργεια, που συνδέεται µε τις δυνάµεις στον πυρήνα των ατόµων του σώµατος. Όταν απουσιάζουν αλλαγές στη χηµική κατάσταση του σώµατος, αλλαγές φάσης και πυρηνικές αντιδράσεις, οι αλλαγές της εσωτερικής ενέργειας αναφέρονται µόνο στο θερµικό τµήµα της, οι οποίες εκφράζονται µε την αλλαγή της θερµοκρασίας του σώµατος.

Μία πολύ σοβαρή παρατήρηση, όσον αφορά στον Πρώτο Θερµοδυναµικό Νόµο, είναι ότι δεν µπορεί να δώσει καµία πληροφορία για την απόλυτη τιµή της ενέργειας που περιέχει ένα σύστηµα, αλλά µόνο για τη µεταβολή της ενέργειας αυτής (εσωτερική, δυναµική, κινητική) ή αντίστοιχα για το ρυθµό µεταβολή της.Αν θελήσουµε να δώσουµε συγκεκριµένες τιµές στα µεγέθη αυτά σε µία θερµοδυναµική κατάσταση θα πρέπει να ορίσουµε κάποια κατάσταση αναφοράς,στην οποία θα δώσουµε συγκεκριµένη τιµή στην κάθε µορφή ενέργειας. Έτσι για την δυναµική ενέργεια στο πεδίο βαρύτητας της Γης δίνουµε τιµή ίση µε µηδέν σε κάποιο συγκεκριµένο ύψος (το οποίο µπορεί να είναι το επίπεδο της θάλασσας). Στην κινητική ενέργεια δίνουµε τιµή ίση µε µηδέν αν το σύστηµαείναι ακίνητο ως προς σύστηµα αναφοράς που κινείται µε τη Γη. Κάτι αντίστοιχο πρέπει να γίνει και µε την εσωτερική ενέργεια του συστήµατος. Η τιµή της εσωτερικής ενέργειας σε µία συγκεκριµένη κατάσταση δίδεται σε σχέση µεκατάσταση αναφοράς όπου η εσωτερική ενέργεια λαµβάνεται ίση µε µηδέν. Ηκατάσταση αυτή µηδενικής εσωτερικής ενέργειας λαµβάνεται εντελώς αυθαίρετα.

Για ένα κλειστό σύστηµα ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος γράφεται

WQE −=∆

ή

WQdE δδ −=

Για την περίπτωση του ανοικτού συστήµατος (µε συναλλαγή µάζας



ρευστού), ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος γίνεται:

212

αποθt

CS CS

dE Q W h dm Q W (h c g Z) dmdt

= − + = − + + +∫ ∫

Με CS συµβολίζεται η επιφάνεια ελέγχου (Control Surface) του συστήµατος που εξετάζουµε. Το παραπάνω κλειστό επιφανειακό ολοκλήρωµαµπορεί να γραφεί και υπό µορφή αθροίσµατος, αν έχουµε διακριτές περιοχές απ’όπου εισέρχεται ή εξέρχεται µάζα. Στις περιοχές αυτές µπορούµε να θεωρήσουµεοµοιόµορφη ροή ή να πάρουµε τις µέσες τιµές των µεγεθών της ροής. Οι περιοχές αυτές εισόδου και εξόδου είναι συνήθως αγωγοί εισόδου και εξόδου του ρευστού. Για την περίπτωση αυτή η προηγούµενη σχέση γίνεται:

outt,outint,inαποθ mhmhWQ

dtdE ∑∑ −+−=

όπου h και th η στατική και ολική ειδική ενθαλπία αντίστοιχα. Στην προηγούµενη σχέση έχουν οµαδοποιηθεί οι περιοχές εισόδου του ρευστού και οι περιοχές εξόδου του, εντός των δύο αθροισµάτων. Στις προηγούµενες σχέσεις ηθερµότητα θεωρείται θετική όταν εισέρχεται στο σύστηµα, ενώ το µηχανικό έργο όταν εξέρχεται. Υπενθυµίζεται ότι η ολική ειδική ενθαλπία δίδεται:

ZgcvpuZgchht +++=++=22

22

όπου uη ειδική εσωτερική ενέργεια, p η στατική πίεση, v ο ειδικός όγκος, c το µέτρο της ταχύτητας του ρευστού, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και Z ηυψοµετρική διαφορά από το επίπεδο αναφοράς.

Συχνά σε διάφορα προβλήµατα µετάδοσης θερµότητας χρειάζεται να εφαρµοστεί ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος πάνω σε µία επιφάνεια (δηλαδή µεταξύ των δύο πλευρών της επιφάνειας). Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει περικλειόµενος όγκος αναφοράς, οπότε δεν εµφανίζονται στις σχέσεις οι όροι παραγωγής και αποθήκευσης ενέργειας στον όγκο αναφοράς. Οπότε για την έκφραση του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου µε όρους ρυθµών µεταβολής θα έχουµε:

outinoutin EEEE =⇒=− 0

Η παραπάνω σχέση ισχύει τόσο για µόνιµα όσο και για µη µόνιµαφαινόµενα. Στην περίπτωση που η µεταδιδόµενη ενέργεια είναι µόνο θερµότητα,τότε οι παραπάνω όροι υπολογίζονται από τις αντίστοιχες σχέσεις που δίνουν τη θερµοροή, για αγωγή, συναγωγή και ακτινοβολία, ανάλογα µε το φαινόµενο (ήτα φαινόµενα) που λαµβάνουν χώρα.



2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 2.1 Η ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ FOURIER

Στο κεφάλαιο αυτό θα γίνει µία πιο λεπτοµερής διατύπωση των νόµων της µετάδοσης θερµότητας µε αγωγή, στις τρεις πλέον διαστάσεις. Υπενθυµίζεται ότι η αγωγή θερµότητας είναι η µετάδοση θερµότητας σε µακροσκοπικώς ακίνητα σώµατα, λόγω της διάχυσης ενέργειας από την αλληλεπίδραση των στοιχειωδών σωµατιδίων του σώµατος.

Όπως έγινε φανερό στο προηγούµενο κεφάλαιο, η µετάδοση θερµότητας µε αγωγή περιγράφεται σε µία διάσταση από το Νόµο του Fourier. Ο παραπάνω νόµος δεν είναι αποτέλεσµα επιστηµονικής απόδειξης, αλλά βασίζεται σε πειραµατικά αποτελέσµατα και παρατηρήσεις. Είναι δηλαδή ένας φαινοµενολογικός νόµος, αποτέλεσµα γενίκευσης πολύ µεγάλου αριθµού πειραµάτων και παρατηρήσεων.

Για παράδειγµα ας θεωρήσουµε µία µεταλλική ράβδο σταθερής κυκλικής διατοµής, η οποία είναι περιµετρικά µονωµένη, ώστε η µετάδοση θερµότητας να πραγµατοποιείται µόνο κατά τη διεύθυνση του άξονα συµµετρίας της ράβδου.Αν διατηρούµε τις δύο βάσεις της ράβδου σε διαφορετικές θερµοκρασίες 1T και

2T , µε 1T µεγαλύτερη της 2T , και την θετική διεύθυνση x ορισµένη από την βάση θερµοκρασίας 1T στη βάση θερµοκρασίας 2T , τότε λόγω διαφοράς θερµοκρασίας παρατηρείται µετάδοση θερµότητας µε αγωγή από την θερµότερη βάση της ράβδου προς την ψυχρότερη.

Οι παράµετροι του προβλήµατος είναι η διαφορά θερµοκρασίας T∆µεταξύ των δύο πλευρών της ράβδου, το µήκος x∆ της ράβδου και η διατοµήτης A . Αλλάζοντας κάθε φορά διαφορετική παράµετρο και µετρώντας αντίστοιχα τη ροή θερµότητας xq µέσα από τη ράβδο, παρατηρούµε ότι ηθερµοροή είναι ανάλογη της διατοµής A , ανάλογη της διαφοράς θερµοκρασίας

T∆ και αντιστρόφως ανάλογη του µήκους x∆ . Η παραπάνω παρατήρηση εκφράζεται ως:

∆x∆TAqx ∝

Αν αλλαχθεί το υλικό της ράβδου (για παράδειγµα αντί για µέταλλο να χρησιµοποιηθεί ξύλο) και επαναληφθεί το πείραµα, θα συνεχίσει να ισχύει η ίδια αναλογία, αλλά τα ποσά ροής θερµότητας θα είναι µικρότερα. Εισάγοντας ένα συντελεστή αναλογίας διαφορετικό για κάθε υλικό η παραπάνω αναλογία µπορεί να µετατραπεί σε ισότητα, στη µορφή:

∆x∆TAkqx =

Ο συντελεστής k στην παραπάνω σχέση εξαρτάται από το υλικό και, όπως ήδη έχει αναφερθεί, ονοµάζεται συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας. Η



παραπάνω σχέση γραµµένη σε µορφή διαφορικού (όταν το x∆ τείνει στο µηδέν), γίνεται:

dxdTAkqx −=

ενώ διαιρώντας µε το εµβαδόν της διατοµής της ράβδου προκύπτει η πυκνότητα θερµοροής ως:

dxdTkqx −=′′

Το αρνητικό πρόσηµο στις παραπάνω σχέσεις δείχνει ότι η θερµότητα µεταδίδεται µε αγωγή σε αντίθετη διεύθυνση από τη θερµοκρασιακή κλίση,δηλαδή από υψηλότερες προς χαµηλότερες θερµοκρασίες. Πρέπει να σηµειωθεί ότι µε τις παραπάνω σχέσεις ορίζεται ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας του υλικού.

Η τελευταία σχέση αποτελεί το Νόµο του Fourier για την αγωγή θερµότητας. Η µετάδοση θερµότητας µε αγωγή πραγµατοποιείται σε διεύθυνση κάθετη στις δύο βάσεις της ράβδου, οι οποίες είναι επιφάνειες σταθερής θερµοκρασίας. Γενικότερα, η διεύθυνση της µετάδοσης θερµότητας είναι κάθετη στις ισοθερµοκρασιακές επιφάνειες του σώµατος. Είναι δηλαδή η πυκνότητα θερµοροής ένα διανυσµατικό µέγεθος, το οποίο στις τρεις διαστάσεις δίδεται:

)ˆˆˆ(zTk

yTj

xTikTkq

∂∂+

∂∂+

∂∂

−=∇−=′′

όπου ( )zyxT ,, το θερµοκρασιακό πεδίο εντός του σώµατος. Ο τελεστής ∇ εφαρµοζόµενος σε ένα βαθµωτό πεδίο, δίνει διάνυσµα, το οποίο έχει διεύθυνση κάθετη στις ισοεπιφάνειες του πεδίου, δίνει δηλαδή σε κάθε σηµείο του χώρου τη διεύθυνση προς την οποία υπάρχει η µέγιστη µεταβολή του πεδίου µε φορά προς την αύξουσα τιµή του.

Αφού η πυκνότητα θερµοροής είναι διάνυσµα, οι τρεις συνιστώσες της θα δίδονται προφανώς:

xTkqx ∂

∂−=′′

yTkqy ∂

∂−=′′

zTkqz ∂

∂−=′′

Για την εξαγωγή των προηγούµενων σχέσεων, καθώς και της γενικευµένης µορφής του Νόµου του Fourier, έγινε η υπόθεση ότι ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας παίρνει την ίδια τιµή σε κάθε διεύθυνση εντός του σώµατος,



δηλαδή το σώµα είναι ισότροπο ως προς την αγωγή θερµότητας.

2.2 ΘΕΡΜΟΦΥΣΙΚΕΣ Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ

Οι ιδιότητες της ύλης, που συνδέονται µε τη µετάδοση θερµότητας,συνήθως χαρακτηρίζονται ως θερµοφυσικές ιδιότητες. Αυτές διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, τις θερµοδυναµικές ιδιότητες και τις ιδιότητες µεταφοράς.Στην πρώτη κατηγορία συγκαταλέγονται ιδιότητες όπως η ειδική θερµοχωρητικότητα και η πυκνότητα, ενώ στη δεύτερη κατηγορία συγκαταλέγονται ιδιότητες όπως ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας k , που συνδέεται µε την αγωγή θερµότητας και η κινηµατική συνεκτικότητα ν , που συνδέεται µε τη συναγωγή θερµότητας.

Ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας δίνει µια ένδειξη του ρυθµού µετον οποίο η θερµότητα διαχέεται εντός της ύλης. Αφού η αγωγή θερµότητας πραγµατοποιείται σε ατοµικό επίπεδο, µέσω των αλληλεπιδράσεων των σωµατιδίων, ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας θα εξαρτάται από τη µοριακή δοµή του σώµατος.

Όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως, ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας ορίζεται από το Νόµου του Fourier ως:

)/( xTq

k x

∂∂′′

−≡

Αφού ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας εξαρτάται από τη µοριακή δοµή του σώµατος, θα µεταβάλλεται σηµαντικά ανάµεσα σε σώµατα διαφορετικής φάσης. Στα στερεά, όπου οι διαµοριακές αλληλεπιδράσεις είναι πολύ ισχυρές, περιµένουµε µεγάλες τιµές του συντελεστή. Μικρότερες τιµέςαναµένουµε να παίρνει στην περίπτωση των υγρών, ενώ στα αέρια, όπου οιαλληλεπιδράσεις µεταξύ των µορίων και των ατόµων είναι σχετικά πολύ ασθενείς, ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας θα παίρνει τις µικρότερες τιµές.

Στα στερεά σώµατα η µετάδοση θερµότητας µε αγωγή πραγµατοποιείται µέσω δύο µηχανισµών. Ο πρώτος συνδέεται µε τη διάδοση κυµάτων στην κρυσταλλική δοµή, ενώ ο δεύτερος συνδέεται µε τη µετακίνηση των ελευθέρων ηλεκτρονίων. Στα µη µεταλλικά υλικά ο πρώτος όρος είναι ο κυρίαρχος. Στην περίπτωση των κρυσταλλικών υλικών, η διάδοση των κυµάτων είναι πιο εύκολη,από την περίπτωση των άµορφων σωµάτων, οπότε ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας παίρνει µεγαλύτερες τιµές για κρυσταλλικά υλικά. Ειδικά για µερικά κρυσταλλικά µη µεταλλικά υλικά όπως το διαµάντι, ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας µπορεί να ξεπεράσει την τιµή µεταλλικών υλικών. Στα µεταλλικά υλικά κυρίαρχος όρος είναι αυτός που συνδέεται µε τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του µεταλλικού δεσµού. Ο συγκεκριµένος όρος είναι ανάλογος της ειδικής ηλεκτρικής αγωγιµότητας του µετάλλου, ή αντίστοιχα αντιστρόφως ανάλογος της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης του µετάλλου. Οι τιµές του συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας για τα στερεά, µεταβάλλονται µε τη θερµοκρασία, η δε µεταβολή τους εξαρτάται από το σώµα και τη δοµή του.



Ειδικά στις περιπτώσεις που παρατηρείται αλλαγή της κρυσταλλικής δοµής µε τη θερµοκρασία (π.χ. σίδηρος), η µεταβολή του συντελεστή δεν είναι µονότονη.

ΣΧΗΜΑ 2.1 Μεταβολή του συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας µε τη θερµοκρασία για διάφορα µεταλλικά στερεά.



ΣΧΗΜΑ 2.2 Μεταβολή του συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας µε τη θερµοκρασία για διάφορα υγρά και αέρια,τα οποία είτε βρίσκονται σε κεκορεσµένη κατάσταση είτε υπό πίεση 1 atm.

Στα ρευστά, όπου οι διαµοριακές αποστάσεις είναι µεγαλύτερες, ηµετάδοση θερµότητας µε διάχυση ενέργειας γίνεται λιγότερο αποδοτικά, αφού οιαλληλεπιδράσεις των µορίων είναι ασθενέστερες. Ειδικά για τα αέρια, η θερµική αγωγιµότητα και ο µηχανισµός της µπορεί να εξηγηθεί µε τη βοήθεια της κινητικής θεωρίας των αερίων. Βάσει της παραπάνω θεωρίας, η θερµική αγωγιµότητα είναι ανάλογη του αριθµού των µορίων n που βρίσκονται εντός µοναδιαίου όγκου, της µέσης ταχύτητας των µορίων c , και της µέσης ελεύθερης διαδροµής λ των µορίων. ∆ηλαδή:

λcnk ∝

Η µέση ταχύτητα των µορίων αυξάνεται µε τη θερµοκρασία και αυξάνεται µε τη µείωση της µοριακής µάζας. Έτσι µε την αύξηση της θερµοκρασίας και τη µείωση του µοριακού βάρους περιµένουµε να αυξάνεται ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας. Επειδή ο αριθµός των µορίων εντός µοναδιαίου όγκου είναι



ανάλογος της πίεσης του αερίου, ενώ η µέση ελεύθερη διαδροµή είναι αντιστρόφως ανάλογη της πίεσης, περιµένουµε ότι πρακτικά ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας θα είναι ανεξάρτητος της πίεσης του αερίου. Οι παραπάνω υποθέσεις υποστηρίζονται και από τα πειραµατικά δεδοµένα. Έτσι για µεγάλο εύρος πιέσεων που ενδιαφέρουν στην πράξη, ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας των αερίων θα λαµβάνεται ανεξάρτητος της πίεσης.

Για την περίπτωση των υγρών δεν έχουν γίνει πλήρως κατανοητοί οιµηχανισµοί που επιδρούν στη µεταβολή του συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας.Για τα µη µεταλλικά υγρά ο συντελεστής µειώνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας. ∆ύο χαρακτηριστικές εξαιρέσεις είναι το νερό και η γλυκερίνη.Επίσης εν γένει ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας µειώνεται µε την αύξηση του µοριακού βάρους. Τα υγρά µέταλλα έχουν συντελεστές θερµικής αγωγιµότητας πολύ µεγαλύτερους από τα µη µεταλλικά υγρά και χρησιµοποιούνται στις περιπτώσεις που είναι επιθυµητοί πολύ υψηλοί ρυθµοί µετάδοσης θερµότητας, όπως στους πυρηνικούς αντιδραστήρες.

Τα µονωτικά υλικά κατασκευάζονται µε συνδυασµό διαφορετικών υλικών,τα οποία έχουν χαµηλούς συντελεστές θερµικής αγωγιµότητας, µε τρόπο ώστε οσυνολικός (ενεργός) συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας του σύνθετου σώµατος να είναι µικρότερος των επιµέρους υλικών. Αυτό γίνεται µε την κατάλληλη διασπορά των υλικών (σε µορφή ινών, πούδρας ή φύλλων), ώστε να παρεµβάλλεται µεταξύ τους αέρας, ο οποίος χαρακτηρίζεται από πολύ χαµηλή θερµική αγωγιµότητα. Στην περίπτωση που χρησιµοποιείται κυψελοειδής δοµή,τα τµήµατα του περιεχόµενου αέρα δεν επικοινωνούν µεταξύ τους, µειώνοντας έτσι τη δυνατότητα µετάδοσης θερµότητας µε συναγωγή στο εσωτερικό του υλικού. Σε περιπτώσεις µονωτικών υλικών υψηλών απαιτήσεων, οι περιοχές µεταξύ των στερεών επιστρώσεων µπορεί να βρίσκονται εν κενώ. Τα επιλεγµένα υλικά επίσης πρέπει να έχουν χαµηλή δυνατότητα µετάδοσης θερµότητας µεακτινοβολία. Σε ειδικές περιπτώσεις χρησιµοποιούνται ειδικά υλικά µε υψηλή ανακλαστικότητα, ώστε η προσπίπτουσα ακτινοβολία στο µονωτικό υλικό να επιστρέφει στην πηγή.

Τα µονωτικά υλικά χαρακτηρίζονται από έναν ενεργό συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας, ο οποίος λαµβάνει υπ’ όψιν όλους τους µηχανισµούς µετάδοσης θερµότητας µέσα από το υλικό. Μία σηµαντική παράµετρος από την οποία εξαρτάται η τιµή του ενεργού συντελεστή µετάδοσης θερµότητας είναι η µέση πυκνότητα του υλικού, η οποία δείχνει το µέγεθος των διακένων στο εσωτερικό του υλικού.

Στη συνέχεια θα εξεταστεί η ικανότητα ενός σώµατος να άγει τη θερµότητα σε σχέση µε την ικανότητά του να αποθηκεύει θερµική εσωτερική ενέργεια. Η ικανότητα ενός σώµατος να αποθηκεύει θερµική εσωτερική ενέργεια εκφράζεται από την ειδική θερµοχωρητικότητα υπό σταθερή πίεση cp, που δίνει την αύξηση της αποθηκευµένης θερµικής εσωτερικής ενέργειας ανά µονάδα µάζας για µοναδιαία αύξηση της απόλυτης θερµοκρασίας. Πρέπει να σηµειωθεί ότι για τα υγρά και τα στερεά η ειδική θερµοχωρητικότητα υπό σταθερό όγκο και σταθερή πίεση ταυτίζονται.

Το γινόµενο της ειδικής θερµοχωρητικότητας υπό σταθερή πίεση µε την πυκνότητα δίνει την ειδική θερµοχωρητικότητα ανά µονάδα όγκου, που



εκφράζει την ικανότητα του σώµατος να αποθηκεύει ενέργεια στον όγκο του.Επειδή τα στερεά που έχουν µεγάλη πυκνότητα έχουν µικρές τιµές της ειδικής θερµοχωρητικότητας, ενώ τα υγρά, µε µικρότερη πυκνότητα έχουν µεγαλύτερες τιµές της ειδικής θερµοχωρητικότητας, µε την εφαρµογή του παραπάνω γινοµένου προκύπτει ότι πολλά υγρά και στερεά έχουν συγκρίσιµες τιµές της ειδικής θερµοχωρητικότητας ανά µονάδα όγκου. Τα αέρια αντιθέτως, λόγω της πολύ µικρής τους πυκνότητας, έχουν πολύ χαµηλές τιµές της παραπάνω ιδιότητας, το οποίο εκφράζει τη χαµηλή τους ικανότητα να αποθηκεύουν θερµική εσωτερική ενέργεια.

Η αγωγή θερµότητας και η αποθήκευση θερµικής εσωτερικής ενέργειας δρουν ανταγωνιστικά στο εσωτερικό ενός σώµατος. Το µέγεθος που εκφράζει την ικανότητα ενός σώµατος να άγει θερµότητα σε σχέση µε την ικανότητά του να την αποθηκεύει, ονοµάζεται θερµική διαχυτότητα (thermal diffusivity) a και δίδεται:

pck

ρα =

Τα υλικά µε µεγάλη τιµή του a αντιδρούν γρήγορα σε αλλαγές στη θερµοκρασία του περιβάλλοντος, σε αντίθεση µε υλικά µε µικρή τιµή της θερµικής διαχυτότητας, τα οποία απαιτούν µεγαλύτερο χρόνο για να έρθουν σε θερµική ισορροπία µε το περιβάλλον τους.

2.3 Η ΒΑΣΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ (ΕΞΙΣΩΣΗ ∆ΙΑΧΥΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ)

Για να µπορέσει να υπολογιστεί η πυκνότητα θερµοροής σε ένα τυχαίο σηµείο ενός σώµατος µε τη χρησιµοποίηση του Νόµου του Fourier, είναι απαραίτητη η γνώση του θερµοκρασιακού πεδίου εντός του σώµατος. Το θερµοκρασιακό πεδίο διαµορφώνεται µε βάση τις συνθήκες που επικρατούν στα όρια του σώµατος (οριακές συνθήκες) και την αρχική κατάσταση του σώµατος (αρχικές συνθήκες).

ΣΧΗΜΑ 2.3 Ο όγκος ελέγχου για την εξαγωγή της εξίσωσης διάχυσης θερµότητας σε Καρτεσιανό σύστηµασυντεταγµενων.

dx

dy

dz

qx qx+dx



Ας θεωρήσουµε ένα ισότροπο και οµογενές υλικό, το οποίο δεν κινείται,στο εσωτερικό του οποίου παίρνουµε στοιχειώδη όγκο αναφοράς, µε διαστάσεις

dzdydx ,, σε Καρτεσιανές συντεταγµένες. Στο εσωτερικό του σώµατος επικρατεί θερµοκρασιακό πεδίο ( )tzyxTT ,,,= , το οποίο µπορεί να µεταβάλλεται µε το χρόνο t .

Σε κάθε πλευρά του στοιχειώδους όγκου, λόγω της µεταβολής της θερµοκρασίας µεταξύ των πλευρών του στοιχειώδους κύβου, εµφανίζεται θερµοροή µε διεύθυνση κάθετη στην εν λόγω πλευρά. Χρησιµοποιώντας ανάπτυγµα Taylor (όπου αµελούνται οι όροι µεγαλύτερης τάξης), οι όροι της θερµοροής µεταξύ δύο απέναντι πλευρών του στοιχειώδους κύβου συνδέονται µετις σχέσεις:

dxx

qqq xxdxx ∂

∂+=+

dyy

qqq y

ydyy ∂

∂+=+

dzz

qqq zzdzz ∂

∂+=+

Ουσιαστικά γραµµικοποιείται η µεταβολή της θερµοροής µεταξύ δύο απέναντι πλευρών του στοιχειώδους κύβου, οπότε η µεταβολή της θερµοροής µεταξύ των δύο πλευρών ισούται µε την κλίση της συνάρτησης της θερµοροής στη συγκεκριµένη διεύθυνση επί το στοιχειώδες πλάτος του κύβου στη διεύθυνση αυτή.

Αν στο εσωτερικό του σώµατος υπάρχει παραγωγή θερµότητας µε ρυθµόq ανά µονάδα όγκου, τότε η ο ρυθµός παραγωγής θερµότητας στο εσωτερικό του στοιχειώδους όγκου θα δίδεται:

dzdydxqE =παρ

Εάν το σώµα δεν εµφανίζει αλλαγή φάσης και η ενέργεια αποθηκεύεται στο εσωτερικό του µόνο ως θερµική εσωτερική ενέργεια, τότε ο ρυθµός µεταβολής της αποθηκευµένης θερµικής ενέργειας στον στοιχειώδη όγκο θα δίδεται:

dzdydxtTcE

dtdE

p ∂∂== ραποθ

αποθ

Εφαρµόζοντας τον Πρώτο Θερµοδυναµικό Νόµο στον στοιχειώδη όγκο θα έχουµε:

αποθπαρ EEEE outin =−+

Αντικαθιστώντας τους όρους αγωγής θερµότητας στη θέση των όρων εισαγωγής



και εξαγωγής ισχύος, καθώς και τους αντίστοιχους όρους παραγωγής θερµότητας και µεταβολής της εσωτερικής ενέργειας, προκύπτει:

dzdydxtTcqqqdzdydxqqqq pdzzdyydxxzyx ∂

∂=−−−+++ +++ ρ

Αντικαθιστώντας τα αναπτύγµατα Taylor προκύπτει:

dzdydxtTcdzdydxqdz

zqdy

yq

dxx

qp

zyx

∂∂=+

∂∂

−∂

∂−

∂∂

− ρ

Εφαρµόζοντας τον νόµο του Fourier σε κάθε µία από τις τρεις πλευρές του κύβου στις θέσεις zyx ,, αντίστοιχα, προκύπτει:

xTdzdykqx ∂

∂−= )(

yTdzdxkq y ∂

∂−= )(

zTdydxkqz ∂

∂−= )(

όπου οι όροι στις παρενθέσεις είναι τα εµβαδά των αντίστοιχων πλευρών.

Αντικαθιστώντας στην έκφραση του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου και διαιρώντας µε τον στοιχειώδη όγκο ( )dzdydx ,, , προκύπτει η βασική διαφορική εξίσωση διάχυσης θερµότητας:

tTcq

zTk

zyTk

yxTk

x p ∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ ρ

Η λύση της παραπάνω διαφορικής µε τη βοήθεια των κατάλληλων οριακών και αρχικών συνθηκών δίνει το θερµοκρασιακό πεδίο στο εσωτερικό του σώµατος ως συνάρτηση των Καρτεσιανών συντεταγµένων και του χρόνου t .

Για σταθερή τιµή του συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας η παραπάνω διαφορική εξίσωση γίνεται:

tT

kq

zT

yT

xT

∂∂=+

∂∂+

∂∂+

∂∂

α1

2

2

2

2

2

2

Για µόνιµα θερµοκρασιακά πεδία η παραπάνω σχέση απλοποιείται περισσότερο,καταλήγοντας στη διαφορική εξίσωση Poisson:

kq

zT

yT

xT

−=∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

2

2

2

2



ενώ αν δεν υπάρχουν διανεµηµένες πηγές θερµότητας στο εσωτερικό του σώµατος προκύπτει η διαφορική εξίσωση Laplace:

02

2

2

2

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂

zT

yT

xT

Σε κυλινδρικές συντεταγµένες η εξίσωση διάχυσης θερµότητας γράφεται:

tTcq

zTk

zTk

rrTrk

rr p ∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ ρ

φφ

2

11

µε τις πυκνότητες θερµοροής να δίδονται:

Tkqr ∂∂

−=′′

φφ ∂∂

−=′′ Trkq

zTkqz ∂

∂−=′′

ΣΧΗΜΑ 2.4 Κυλινδρικές συντεταγµένες και οαντίστοιχος όγκος ελέγχου για την εξαγωγή της εξίσωσης διάχυσης θερµότητας.

Σε σφαιρικές συντεταγµένες η εξίσωση γράφεται:

tTc

qTkr

Tkrr

Trkrr

p ∂∂

=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

ρ

θθ

θθφφθsin

sin1

sin11

2222

2



µε τις αντίστοιχες πυκνότητες θερµοροής να δίδονται:

Tkqr ∂∂

−=′′

θθ ∂∂

−=′′ Tkq

φφ ∂∂

−=′′ Tθr

kqsin

ΣΧΗΜΑ 2.5 Σφαιρικές συντεταγµένες και οαντίστοιχος όγκος ελέγχου για την εξαγωγή της εξίσωσης διάχυσης θερµότητας.

2.4 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ∆ΙΑΧΥΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Η επίλυση της εξίσωσης διάχυσης θερµότητας, επειδή περιέχει µερικές παραγώγους στις τρεις διευθύνσεις και ως προς τον χρόνο, απαιτεί την χρησιµοποίηση κατάλληλων οριακών και αρχικών συνθηκών. Οι οριακές συνθήκες αφορούν στον προσδιορισµό της θερµοκρασιακής κατάστασης στα όρια του χωρίου στο οποίο θέλουµε να προσδιορίσουµε τη θερµοκρασιακή διανοµή. Οι αρχικές συνθήκες αφορούν στον προσδιορισµό του πεδίου θερµοκρασίας σε όλο το χωρίο στην αρχή του χρόνου και απαιτούνται στην περίπτωση που επιλύεται το µη µόνιµο (χρονικά) πρόβληµα (όταν η χρονική παράγωγος είναι µη µηδενική). Επειδή η χρονική παράγωγος είναι πρώτης τάξης,µία µόνο αρχική συνθήκη απαιτείται, ενώ αντίθετα, επειδή οι χωρικές παράγωγοι είναι δεύτερης τάξης απαιτούνται δυο οριακές συνθήκες για κάθε διεύθυνση.

Υπάρχουν δύο γενικές κατηγορίες οριακών συνθηκών στα προβλήµατα αυτού του τύπου, οι οριακές συνθήκες Dirichlet και οι οριακές συνθήκες Neumann. Το πρώτο είδος οριακών συνθηκών αφορά στον προσδιορισµό της θερµοκρασίας στο συγκεκριµένο όριο. Για παράδειγµα η οριακή συνθήκη τύπου Dirichlet µπορεί να εφαρµοστεί σε κάποιο όριο όταν αυτό έρχεται σε επαφή µε



µέσο το οποίο βρίσκεται στη διαδικασία αλλαγής φάσης (π.χ. νερό που βράζει), οπότε η θερµοκρασία του παραµένει σταθερή καθ’ όλη τη διάρκεια που πραγµατοποιείται η αλλαγή φάσης (µαζί µε το υγρό διατηρείται σταθερή και ηθερµοκρασία της αντίστοιχης επιφάνειας).

Η δεύτερη κατηγορία οριακών συνθηκών δεν αναφέρεται στον προσδιορισµό της θερµοκρασίας σε κάποιο όριο αλλά στον προσδιορισµό της πυκνότητας θερµοροής στα σηµεία του συγκεκριµένου ορίου, ή στον προσδιορισµό της θερµοκρασιακής κλίσης στο εν λόγω όριο (τα δύο παραπάνω είναι ισοδύναµα, µιας και συνδέονται µε τον νόµο του Fourier). Μία ειδική περίπτωση της δεύτερης κατηγορίας οριακών συνθηκών είναι η περίπτωση του αδιαβατικού τοιχώµατος. Τότε η πυκνότητα θερµοροής στο τοίχωµα µηδενίζεται και αντίστοιχα µηδενίζεται η θερµοκρασιακή κλίση κάθετα στο τοίχωµα.

Αν και αποτελεί ειδική περίπτωση των συνθηκών τύπου Neumann, χρησιµοποιείται ο χαρακτηρισµός ως οριακή συνθήκη τρίτου τύπου για την περίπτωση που σε κάποιο όριο υπάρχει µετάδοση θερµότητας µε συναγωγή.Στην περίπτωση αυτή η πυκνότητα θερµοροής σε κάθε σηµείο του ορίου προκύπτει από τον ισολογισµό ισχύος στην επιφάνεια του ορίου, µε την εφαρµογή του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου.



3 ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΜΟΝΙΜΟ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΟ ΠΕ∆ΙΟ

Ως µονοδιάστατη αγωγή θερµότητας ορίζουµε την κατάσταση όπου ηθερµοκρασία είναι συνάρτηση µόνο µίας χωρικής παραµέτρου, στη διεύθυνση της οποίας πραγµατοποιείται η µετάδοση θερµότητας. Τέτοιες περιπτώσεις είναι η αγωγή θερµότητας µέσα από τοίχο πεπερασµένου πάχους αλλά µε άπειρες τις άλλες δύο διαστάσεις, η αγωγή θερµότητας στα τοιχώµατα σωλήνα απείρου µήκους και η αγωγή θερµότητας στα τοιχώµατα σφαιρικού δοχείου. Στην πρώτη περίπτωση η διεύθυνση αγωγής θερµότητας είναι η διεύθυνση η κάθετη στις δύο πλευρές του τοίχου, ενώ στις άλλες δύο περιπτώσεις είναι η διεύθυνση της ακτίνας. Αρχικά θα µελετηθεί η περίπτωση της αγωγής θερµότητας χωρίς παραγωγή θερµότητας στο εσωτερικό του σώµατος.

3.1 ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΟΙΧΟ

Για τη διερεύνηση του προβλήµατος χρησιµοποιείται η εξίσωση διάχυσης θερµότητας εκφρασµένη σε καρτεσιανές συντεταγµένες. Θεωρούµε ότι ο τοίχος έχει άπειρες διαστάσεις, µε πεπερασµένο όµως (σταθερό) πάχος, ενώ σε κάθε πλευρά του η θερµοκρασία είναι παντού σταθερή. Ως αποτέλεσµα ηθερµοκρασία µεταβάλλεται µόνο σε διάσταση κάθετη στον τοίχο, οπότε το πρόβληµα είναι µονοδιάστατο. Αν αντίστοιχα θεωρηθεί µόνιµο θερµοκρασιακό πεδίο (οπότε µηδενίζεται ο αντίστοιχος χρονικός όρος) και δεν υπάρχουν πηγές θερµότητας εντός του τοίχου, η εξίσωση διάχυσης θερµότητας γίνεται:

0=

dxdTk

dxd

όπου η διεύθυνση x είναι κάθετη στις εξωτερικές επιφάνειες του τοίχου. Ο όρος εντός της παρενθέσεως στην παραπάνω σχέση είναι προφανώς η πυκνότητα θερµοροής κατά την x διεύθυνση και η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι αυτή δεν µεταβάλλεται κατά την εν λόγω διεύθυνση.

Υποθέτοντας σταθερή τιµή για τον συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας k, ηπαραπάνω διαφορική εξίσωση ολοκληρώνεται, µε τη γενική της λύση να προκύπτει:

21)( CxCxT +=

Οι σταθερές στην παραπάνω σχέση προσδιορίζονται µε τη βοήθεια των οριακών συνθηκών. Η παραπάνω σχέση είναι προφανώς γραµµική, δηλαδή ηθερµοκρασία εντός του τοίχου µεταβάλλεται γραµµικά µεταξύ των δύο πλευρών του. Για την περίπτωση που γνωρίζουµε τις θερµοκρασίες στις δύο πλευρές του τοίχου (περίπτωση οριακών συνθηκών τύπου Dirichlet) τότε οι δύο σταθερές προσδιορίζονται από την εφαρµογή της γενικής λύσης στις δύο επιφάνειες, για

0=x και Lx = , όπου το 0 αντιστοιχεί στην µία πλευρά και L το πάχος του



τοίχου.

Αν 1T και 2T οι δύο θερµοκρασίες τότε:

121211 0)0( TCTCCTT =⇒=+⇒=

LTTCTTLCTCLCTLT 12

12112212)( −=⇒=+⇒=+⇒=

Με αντικατάσταση των σταθερών στη γενική λύση προκύπτει:

( ) 112)( TLxTTxT +−=

Η πυκνότητα θερµοροής προκύπτει προφανώς:

( )21 TTLk

dxdTkqx −=−=′′

και όπως περιµέναµε είναι ανεξάρτητη της θέσης x . Αντίστοιχα η θερµοροή µέσα από επιφάνεια εµβαδού A , κάθετη στη διεύθυνση x , δίδεται:

( )21 TTLAkAqq xx −=′′=

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ

Κατά την επίλυση προβληµάτων µονοδιάστασης µετάδοσης θερµότητας χωρίς την παρουσία πηγών θερµότητας, µεγάλη διευκόλυνση προσφέρει ηεισαγωγή της έννοιας της θερµικής αντίστασης. Γενικά ως αντίσταση ορίζουµετο λόγo της δρώσας δύναµης προς το ρυθµό µετάδοσης, που είναι αποτέλεσµατης δρώσας δύναµης. Έτσι στην περίπτωση του ηλεκτρισµού, η ηλεκτρική αντίσταση δίδεται από το Νόµο του Ohm ως:

AL

IWRe σ

=∆=

όπου W∆ η διαφορά δυναµικού, I η ένταση του ρεύµατος, L το µήκος του αγωγού, A η διατοµή του και σ η ηλεκτρική αγωγιµότητα του σώµατος.

Με ανάλογο τρόπο, χρησιµοποιώντας τον νόµο του Fourier για τη µονοδιάστατη αγωγή θερµότητας µέσα από ένα τοίχο, µπορούµε να ορίσουµε τη θερµική αντίσταση αγωγής ως:

AkL

qTTR

xαt, =

−≡ 21

γ



Αντίστοιχα ορίζεται η θερµική αντίσταση συναγωγής:

AhqTT

Rx

st,

1=−

≡ ∞συν

Κατά τη µονοδιάστατη αγωγή θερµότητας (χωρίς παραγωγή θερµότητας εντός των σωµάτων) µπορούν να χρησιµοποιηθούν τεχνικές αντίστοιχες µε αυτές των ηλεκτρικών κυκλωµάτων για την εύρεση της συνολικής θερµικής αντίστασης επάλληλων σωµάτων. Ας θεωρήσουµε έναν τοίχο ο οποίος έρχεται σε επαφή από τις δύο πλευρές του µε ρεύµατα ρευστών διαφορετικής θερµοκρασίας (Σχήµα 3.1). Λόγω της διαφοράς θερµοκρασίας µεταξύ των δύο ρευµάτων, θερµότητα µεταδίδεται µε συναγωγή από το θερµότερο ρεύµα προς τον τοίχο. Στη συνέχεια, η θερµότητα αυτή µεταδίδεται µε αγωγή προς την άλλη πλευρά του τοίχου και από τη δεύτερη επιφάνεια µε συναγωγή προς το ψυχρότερο ρεύµα (έχουµε προς το παρόν αµελήσει την ύπαρξη ακτινοβολίας).

Επειδή έχουµε θεωρήσει µονοδιάστατο πρόβληµα (δηλαδή δεν υπάρχει θερµοκρασιακή κλίση και άρα και µετάδοση θερµότητας σε άλλη διεύθυνση πλην της κάθετης στο τοίχωµα), ενώ δεν υπάρχουν και όροι πηγής θερµότητας, ηεφαρµογή του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου σε οποιαδήποτε θέση κάθετα στον τοίχο δίνει ότι η πυκνότητα θερµοροής είναι σταθερή (άρα και η θερµοροή από επιφάνεια σταθερού εµβαδού A ). Οπότε θα ισχύει:

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2

1 21/ / 1/xT T T T T Tq

h A L kA h A∞ ∞− − −= = =

Όµως η θερµοροή µπορεί να εκφραστεί και µε βάση τη συνολική θερµοκρασιακή διαφορά µεταξύ των δύο ρευµάτων, χρησιµοποιώντας την έννοια της συνολικής θερµικής αντίστασης του συστήµατος:

tottotx R

TTTTTTR

TTq )()()( 22211121 ∞∞∞∞ −+−+−=

−=

Αντικαθιστώντας από την προηγούµενη σχέση τις θερµοκρασιακές διαφορές και λύνοντας ως προς την ολική θερµική αντίσταση προκύπτει:

AhAkL

AhRtot

21

11 ++=

Η παραπάνω σχέση είναι αντίστοιχη της εν σειρά άθροισης ηλεκτρικών αντιστάσεων, δηλαδή η συνολική θερµική αντίσταση του σώµατος ισούται µε το άθροισµα των επί µέρους αντιστάσεων που συναντά διαδοχικά η θερµοροή. Ηίδια τεχνική µπορεί να χρησιµοποιηθεί όταν ο τοίχος αποτελείται από διαδοχικά επάλληλα στρώµατα υλικών σταθερού πάχους και διαφορετικής θερµικής αγωγιµότητας.



ΣΧΗΜΑ 3.1 Μονοδιάστατη αγωγή θερµότητας µέσα από τοίχο µε παρουσία συναγωγής στις δύο πλευρές του – ηπερίπτωση των θερµικών αντιστάσεων σε σειρά.

Εκτός από την εν σειρά σύνδεση θερµικών αντιστάσεων µπορούµε να έχουµε και σύνδεση θερµικών αντιστάσεων εν παραλλήλω, όταν οι αντίστοιχοι µηχανισµοί θερµοροής δρουν παράλληλα. Έτσι στην περίπτωση ύπαρξης ταυτόχρονης µετάδοσης θερµότητας µε συναγωγή και µε ακτινοβολία, οι δύο µηχανισµοί µεταφέρουν θερµότητα παράλληλα και κατ’ αυτό τον τρόπο πρέπει να θεωρηθεί η σύζευξη των αντίστοιχων αντιστάσεων. Ειδικά για τη µετάδοση θερµότητας µε θερµική ακτινοβολία η αντίστοιχη αντίσταση θα δίδεται:

AhqTT

Rrrad

st,

1=−

≡ περακτ

Η παράλληλη σύνδεση των αντιστάσεων ακτινοβολίας και συναγωγής µπορεί να γίνει αν η θερµοκρασία του περιβάλλοντος χώρου (που περιέχει την επιφάνεια) περT ισούται µε τη θερµοκρασία της επ’ άπειρον ροής του ρευστού.

Ειδικά στην περίπτωση σύνδεσης επάλληλων στρωµάτων υλικών διαφορετικής θερµικής αγωγιµότητας πρέπει να λαµβάνεται υπ’ όψιν η θερµική αντίσταση που οφείλεται στην ατελή επαφή των στρωµάτων µεταξύ τους. Ηθερµική αυτή αντίσταση οφείλεται στην παρουσία κενών µεταξύ των δύο στρωµάτων, στα οποία η µετάδοση θερµότητας πραγµατοποιείται µε αγωγή (στον αέρα που παρεµβάλλεται) και µε ακτινοβολία. Επειδή ο αέρας είναι κακός αγωγός της θερµότητας, είναι προφανές ότι η παρουσία των κενών συνδέεται µεαντίσταση στην αγωγής θερµότητας. Η µείωση της αντίστασης αυτής µπορεί να γίνει µε συµπίεση των επάλληλων στρωµάτων και µε µείωση της τραχύτητας των επιφανειών τους, στην οποία οφείλεται η κακή επαφή τους. Επίσης µπορεί να χρησιµοποιηθεί κάποιο υγρό υψηλής θερµικής αγωγιµότητας, το οποίο θα γεµίζει επιτυχώς τα κενά µεταξύ των στρωµάτων, µειώνοντας τη θερµική τους αντίσταση.

Η θερµική αντίσταση επαφής µεταξύ διαφόρων υλικών, µε διαφορετικές τραχύτητες επιφάνειας, µπορεί να βρεθεί από πίνακες που υπάρχουν στη σχετική

11, , hT∞ 22, , hT∞

kAL

Ah1

1Ah2

1



βιβλιογραφία, οι οποίοι έχουν προκύψει πειραµατικά.

3.3 ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΣΩΜΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ∆ΙΑΤΟΜΗΣ, ΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΑ ΜΟΝΩΜΕΝΟΥ

Ας θεωρήσουµε ένα σώµα σχετικά µεγάλου µήκους ως προς τις άλλες του διαστάσεις, το οποίο είναι περιµετρικά µονωµένο (Σχήµα 3.2). Η µεταβολή της κάθετης στη διεύθυνση x διατοµής του ( )xA σε συνάρτηση µε τη θέση xθεωρείται γνωστή. Λόγω των µικρών διαστάσεων του σώµατος σε σχέση µε τη διάσταση x , µπορούµε να θεωρήσουµε µε καλή προσέγγιση ότι υπάρχει οµοιόµορφη διανοµή της θερµοκρασίας σε κάθε κάθετη διατοµή του σώµατος (οπότε η µετάδοση θερµότητας γίνεται σε κάθε κάθετη διατοµή, µόνο κατά τη διεύθυνση x ).

Για µόνιµη κατάσταση, λόγω της ύπαρξης της περιµετρικής µόνωσης, και της απουσίας πηγών θερµότητας, η θερµοροή µέσα από κάθε κάθετη διατοµήπρέπει να είναι σταθερή. Θεωρώντας δύο διαδοχικές διατοµές που απέχουν απόσταση dx ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος γράφεται (Σχήµα 3.2):

outinoutinV

outin EEEEdt

dEEEE =⇒=−⇒==+− 00παρ

Επειδή η παράπλευρη επιφάνεια είναι µονωµένη, η παραπάνω σχέση γίνεται:

dxxx qq +=

Η παραπάνω σχέση ισχύει ανεξάρτητα αν µεταβάλλεται η διατοµή A και οσυντελεστής θερµικής αγωγιµότητας του σώµατος.

Αφού η θερµοροή είναι σταθερή κατά µήκος της διεύθυνσης x ο Νόµοςτου Fourier µπορεί να ολοκληρωθεί, µε χωρισµό των µεταβλητών, αν και δεν είναι γνωστή ούτε η µεταβολή της θερµοκρασίας ούτε η ίδια η θερµοροή:

∫ ∫−=⇒−=⇒−=x T

Txxx dTTk

xAdxqdTTk

xAdxq

dxdTxATkq

0 0

)()(

)()(

)()(

Τα παραπάνω ολοκληρώµατα είναι εύκολο να υπολογιστούν αν υπάρχουν αναλυτικές σχέσεις που δίνουν τη µεταβολή της διατοµής A µε τη διεύθυνση xκαι τη µεταβολή του συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας µε τη θερµοκρασία.

Στην ειδική περίπτωση που η διατοµή είναι σταθερή και ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας δεν µεταβάλλεται µε τη θερµοκρασία, η παραπάνω σχέση προφανώς γίνεται:

TkAxqx ∆−=∆

Υπενθυµίζεται ότι βασική προϋπόθεση της ισχύος των παραπάνω σχέσεων



είναι η ύπαρξη µονοδιάστατης αγωγής θερµότητας σε µόνιµο πεδίο χωρίς ύπαρξη πηγών θερµότητας.

ΣΧΗΜΑ 3.2 Μονοδιάστατη αγωγή θερµότητας σε σώµαπεριµετρικά µονωµένο,µε σταθερή θερµοροή κατά τη x διεύθυνση.

3.4 ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΑΓΩΓΗ ΣΕ ΚΥΛΙΝ∆ΡΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ

Συχνά, σε κυλινδρικά σώµατα, όπου εµφανίζεται αγωγή θερµότητας, ηθερµοκρασία µεταβάλλεται µόνο (ή κυρίως) στην ακτινική κατεύθυνση, οπότε ηµετάδοση θερµότητας µοντελοποιείται ως µονοδιάστατη.

Ας θεωρήσουµε κυλινδρικό σωλήνα, µε εσωτερική διάµετρο 1 και εξωτερική διάµετρο 2 . Ο κυλινδρικός σωλήνας περιβρέχεται από ρευστό, ενώ ρευστό ρέει και στο εσωτερικό του (Σχήµα 3.3). Οι συνθήκες είναι χρονικά αµετάβλητες, ενώ δεν υπάρχει παραγωγή θερµότητας στο εσωτερικό του σωλήνα. Η εξίσωση διάχυσης για κυλινδρικά συστήµατα συντεταγµένων ως γνωστόν γράφεται:

tTcq

zTk

zTk

rrTrk

rr p ∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ ρ

φφ

2

11

Υποθέτοντας µονοδιάστατη θεώρηση (µεταβολή της θερµοκρασίας µόνο κατά την ακτίνα) και επειδή δεν υπάρχουν πηγές θερµότητας και το πεδίο θερµοκρασίας είναι χρονικά αµετάβλητο, µόνο ο πρώτος όρος είναι µηµηδενικός, οπότε η εξίσωση γίνεται:

01 =

drdTrk

drd

r

Η θερµοροή µέσα από µία κυκλική επιφάνεια σε ακτίνα σε µήκος Lσωλήνα θα δίδεται:

)(2)2(ddTrkL

ddTLrk

ddTAkqr ππ −=−=−=

Από τις δύο παραπάνω σχέσεις είναι φανερό ότι η θερµοροή κατά τη

x

x x+dx

A(x)



διεύθυνση της ακτίνας δεν µεταβάλλεται, δηλαδή από κάθε οµόκεντρο κύλινδρο σταθερού µήκους περνά η ίδια θερµοροή.

Ολοκληρώνοντας ως προς r την εξίσωση διάχυσης θερµότητας προκύπτει η γενική της λύση στη µορφή:

21 )ln()( CrCrT +=

Οι δύο σταθερές προσδιορίζονται από τις οριακές συνθήκες στην εσωτερική και την εξωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου.

Ας θεωρήσουµε το πρόβληµα µε οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, δηλαδή θεωρούµε ότι είναι γνωστές οι θερµοκρασίες στις δύο αυτές επιφάνειες.Έστω 1T η θερµοκρασία στην εσωτερική επιφάνεια σε ακτίνα 1 και 2T ηθερµοκρασία στην εξωτερική επιφάνεια σε ακτίνα 2 .

Αντικαθιστώντας στη γενική λύση της διαφορικής προκύπτει:

2111 )ln( CrCT +=

2212 )ln( CrCT +=

Λύνοντας ως προς 1C και 2C και αντικαθιστώντας στη γενική λύση προκύπτει:

2221

21 ln)/ln(

)( Trr

rrTTrT +

−=

∆ηλαδή προέκυψε µία λογαριθµική µεταβολή της θερµοκρασίας στο εσωτερικό του σωλήνα (και όχι γραµµική όπως στην περίπτωση του επίπεδου τοίχου).

Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς και αντικαθιστώντας στο Νόµο του Fourier, προκύπτει η θερµοροή µέσα από κύλινδρο ακτίνας και µήκους L ως:

)/ln()(2

12

21

rrTTkLqr

−=

π

Όπως ήταν αναµενόµενο, η θερµοροή είναι ανεξάρτητη της ακτίνας .Αντίστοιχα µπορεί να υπολογιστεί η θερµική αντίσταση ως:

kLrr

qTTR

rt παγ 2

)/ln( 1221, =

−=

Στην περίπτωση που υπάρχουν επάλληλα κυλινδρικά στρώµατα µεδιαφορετικούς συντελεστές θερµικής αγωγιµότητας, η συνολική αντίσταση προκύπτει από την άθροιση των επιµέρους αντιστάσεων (αντιστάσεις σε σειρά).



Ας εξετάσουµε την περίπτωση κατά την οποία δεν είναι γνωστή ηθερµοκρασία στις δύο επιφάνειες του σωλήνα, αλλά η επ’ άπειρον θερµοκρασίες των δύο ρευστών, καθώς και οι αντίστοιχοι συντελεστές συναγωγής. Τότε,εφαρµόζοντας την άθροιση των αντίστοιχων θερµικών αντιστάσεων, η συνολική θερµοροή από κύλινδρο µήκους L θα δίδεται:

22

12

11

21

2

12

1

21

21

2121

21

2)/ln(

21

12

)/ln(1

hLrkLrr

hLr

TTq

hAkLrr

hA

TTRRR

TTR

TTq

r

totr

πππ

πσυναγσυν

++

−=

⇒++

−=

++−

=−

=

∞∞

∞∞∞∞∞∞

ΣΧΗΜΑ 3.3 Μονοδιάστατη αγωγή θερµότητας σε κυλινδρικό σώµα.

3.5 ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΑΓΩΓΗ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ

Για την ανάπτυξη της γενικής λύσης της εξίσωσης διάχυσης θερµότητας στην περίπτωση σφαιρικών σωµάτων µπορεί να ακολουθηθεί η ίδια διαδικασία,όπως και για τα κυλινδρικά σώµατα, ξεκινώντας από τη γενική µορφή της διαφορικής, η οποία δίδεται:

tTc

qTkr

Tkrr

Trkrr

p ∂∂

=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

ρ

θθ

θθφφθsin

sin1

sin11

2222

2



Μηδενίζοντας όλους τους όρους εκτός από τον πρώτο, προκύπτει:

01 22 =

drdTrk

drd

r

Για εκπαιδευτικούς λόγους θα αναπτυχθεί η λύση όχι βασισµένη στη γενική λύση της παραπάνω διαφορικής, αλλά στην ολοκλήρωση του Νόµου Fourier. Ας θεωρήσουµε στοιχειώδη όγκο αναφοράς ο οποίος περιορίζεται µεταξύ των ακτίνων και drr + (Σχήµα 3.4). Η εφαρµογή του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου ορίζει ότι η θερµοροή µέσα από τις δύο σφαιρικές επιφάνειες (που καθορίζουν οι δύο ακτίνες) πρέπει να είναι ίδια (αφού δεν υπάρχει µεταβολή του θερµοκρασιακού πεδίου και δεν υπάρχουν όροι πηγής,δηλαδή:

0Vin out in out r r dr

dEE E E E E q qdtπαρ +− + = = ⇒ = ⇒ =

Άρα η θερµοροή δεν µεταβάλλεται µε την ακτίνα . Εφαρµόζοντας τον Νόµοτου Fourier σε µία σφαιρική επιφάνεια ακτίνας προκύπτει:

ddTrk

ddTAkqr )4( 2π−=−=

Χωρίζοντας τις µεταβλητές και ολοκληρώνοντας προκύπτει:

∫∫∫ ∫ −=⇒−=⇒−=2

1

2

1

2

1

2

1

)(4

)(4

)(4 222

T

T

r

r

rr

r

T

T

rr dTTkrdrqdTTk

rdrqdTTk

rdrq

πππ

Θεωρώντας σταθερή τιµή του k ανεξάρτητη της θερµοκρασίας, ηπαραπάνω σχέση δίνει τελικά:

)/1()/1()(4

21

21

rrTTkqr −

−=

π

Με αντίστοιχο τρόπο όπως και στις άλλες περιπτώσεις, η θερµική αντίσταση λόγω αγωγής θα δίδεται:

−=

−=

21

21,

114

1rrkq

TTRr

t παγ

Η συνολική αντίσταση σύνθετων τοιχωµάτων προκύπτει µε αντίστοιχο τρόπο,θεωρώντας σύνθεση αντιστάσεων.



ΣΧΗΜΑ 3.4 Μονοδιάστατη αγωγή θερµότητας σε σφαιρικό σώµα.

3.6 ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΑΓΩΓΗ ΣΕ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΤΟΙΧΟ ΜΕ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Στις προηγούµενες παραγράφους θεωρήσαµε ότι δεν υπάρχει παραγωγή θερµότητας εντός του όγκου αναφοράς, στον οποίο µελετούµε τη µετάδοση θερµότητας µε αγωγή. Θα θεωρήσουµε στη συνέχεια την περίπτωση κατά την οποία µία µορφή ενέργειας µετατρέπεται σε θερµική ενέργεια στο εσωτερικό του σώµατος. Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι η θερµότητα που απελευθερώνεται όταν το σώµα διαρέεται από ηλεκτρικό ρεύµα. Στην περίπτωση αυτή, η ηλεκτρική ισχύς, που µετατρέπεται σε θερµική ισχύ στο εσωτερικό του σώµατος, δίδεται ως γνωστόν:

eRIE 2=παρ

όπου I η ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος και eR η ηλεκτρική του αντίσταση.Αν η παραπάνω ισχύς παράγεται οµοιόµορφα εντός του όγκου του σώµατος,τότε η κατ’ όγκον παραγόµενη θερµική ισχύς (W/m3) θα δίδεται προφανώς:

VRIq e

2

=

Η παραγόµενη θερµική ισχύς εντός του όγκου του σώµατος θα µπορούσε να είναι αποτέλεσµα της επιβράδυνσης κινούµενων νετρονίων στο εσωτερικό ενός πυρηνικού αντιδραστήρα, αποτέλεσµα απορρόφησης ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας (π.χ. το φαγητό που ζεσταίνεται σε φούρνο µικροκυµάτων), ήαποτέλεσµα µιας εξώθερµης χηµικής αντίδρασης (π.χ. πήξη του τσιµέντου σε µία ανεγειρόµενη οικοδοµή). Στην περίπτωση που η χηµική αντίδραση είναι ενδόθερµη, µεταβάλλεται προφανώς το πρόσηµο του αντίστοιχου όρου.

Ας θεωρήσουµε αρχικά την περίπτωση ενός επίπεδου τοίχου σταθερού πάχους, µε τις δύο άλλες διαστάσεις του να τείνουν στο άπειρο, ώστε να µπορεί



να εφαρµοσθεί µονοδιάστατη ανάλυση. Έστω ότι στο εσωτερικό του παράγεται θερµότητα µε γνωστό (σταθερό) ρυθµό ανά µονάδα όγκου. Ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας k λαµβάνεται σταθερός, ενώ οι δύο πλευρές του τοίχου διατηρούνται σε σταθερές θερµοκρασίες 1sT και 2sT αντίστοιχα.

Αν x η διεύθυνση κάθετα στον τοίχο, η εξίσωση διάχυσης θερµότητας γίνεται για την περίπτωση αυτή:

02

2

=+kq

dxTd

Η γενική λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης έχει τη µορφή:

212

2CxCx

kqT ++−=

µε τις δύο σταθερές 1C και 2C να προσδιορίζονται από τις οριακές συνθήκες.

Θεωρούµε ότι η αρχή του άξονα x βρίσκεται στο µέσον του πάχους του τοίχου, µε το πάχος του να είναι ίσο µε L2 . Τότε οι οριακές συνθήκες γράφονται:

1)( sTLT =−

και

2)( sTLT =

Αντικαθιστώντας τις δύο παραπάνω σχέσεις στη γενική λύση της διαφορικής (για Lx −= και Lx = αντίστοιχα) προκύπτουν οι δύο συντελεστές ως:

LTT

C ss

212

1

−=

και

22212

2ss TT

Lk

qC+

+=

Αντικαθιστώντας στη γενική λύση της διαφορικής προκύπτει:

22)1(

2)( 2112

2

22ssss TT

LxTT

Lx

kLqxT

++

−+−=

Προφανώς, για άλλες οριακές συνθήκες προκύπτει διαφορετική λύση της διαφορικής. Όπως είναι φανερό από την παραπάνω σχέση, δεν είναι πια γραµµική η µεταβολή της θερµοκρασίας εντός του τοίχου, αλλά δευτεροβάθµια.



Αν παρατηρήσουµε την παραπάνω σχέση, αποτελείται από άθροισµα τριών όρων. Ο τρίτος δίνει τη µέση τιµή της θερµοκρασίας µεταξύ των δύο πλευρών του τοίχου (δίνει δηλαδή το επίπεδο της θερµοκρασίας). Ο δεύτερος δίνει τη γραµµική µεταβολή µεταξύ των δύο αυτών θερµοκρασιών, ενώ ο πρώτος όρος επιθέτει πάνω στους δύο επόµενους µια παραβολική µεταβολή της θερµοκρασίας, λόγω της ύπαρξης του όρου πηγής θερµότητας.

Η πυκνότητα θερµοροής σε κάθε σηµείο του τοίχου προκύπτει εφαρµόζοντας τον Νόµο Fourier. Προφανώς, η πρώτη παράγωγος της θερµοκρασίας, δεν είναι ανεξάρτητη της απόστασης x , οπότε η πυκνότητα θερµοροής µεταβάλλεται από θέση σε θέση εντός του τοίχου.

Για ίσες τιµές της θερµοκρασίας στις δύο πλευρές του τοίχου η παραπάνω σχέση απλοποιείται και γίνεται:

sTLx

kLqxT +−= )1(

2)( 2

22

όπου sT η κοινή θερµοκρασία των δύο επιφανειών του τοίχου. Η παραπάνω σχέση δίνει µια καθαρά παραβολική διανοµή της θερµοκρασίας εντός του τοίχου, µε τη µέγιστη τιµή της στο µέσο του τοίχου για 0=x :

2 2

(0) (1 0)2 2s sq L q LT T T

k k= − + = +

Συνεπώς αν συνδυάσουµε τις δύο προηγούµενες σχέσεις προκύπτει:

2( ) (0)(0)s

T x T xT T L

− = −

Παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση στο επίπεδο συµµετρίας του τοίχου ( 0=x ), προκύπτει προφανώς ότι η πρώτη παράγωγος είναι µηδενική (κάτι αναµενόµενο αφού είναι τοπικό ακρότατο). Αν λάβουµε υπ’ όψιν τον Νόµο του Fourier, αυτό σηµαίνει ότι δεν υπάρχει συναλλαγή θερµότητας στο σηµείο αυτό,δηλαδή το επίπεδο συµµετρίας του τοίχου δρα ως µονωµένο (προσοχή, δεν ισχύει στη γενική περίπτωση µε διαφορετικές θερµοκρασίες στις δύο πλευρές του τοίχου).

Ας εξετάσουµε στη συνέχεια την περίπτωση κατά την οποία δεν είναι γνωστή η θερµοκρασία στην επιφάνεια του τοίχου αλλά είναι γνωστή ηθερµοκρασία ∞T της επ’ άπειρον ροής περιρρέοντος ρευστού, καθώς και οσυντελεστής συναγωγής h µεταξύ επιφάνειας του τοίχου και ρευστού. Θεωρούµεγια απλότητα την ειδική περίπτωση όπου το ίδιο ρευστό περιβρέχει και τις δύο πλευρές του τοίχου, ενώ ίδιος είναι και ο συντελεστής συναγωγής στις δύο πλευρές του τοίχου.

Αν εφαρµόσουµε τον Πρώτο Θερµοδυναµικό Νόµο σε µια από τις δύο εξωτερικές επιφάνειες του τοίχου θα έχουµε:



)( ∞=

−=−⇒= TThdxdTkEE s

Lxoutin

Παραγωγίζοντας τη διανοµή της θερµοκρασίας που βρήκαµε προηγουµένως και αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση προκύπτει τελικά:

hLqTTs

+= ∞

Η ίδια σχέση µπορεί να προκύψει ευκολότερα αν εφαρµόσουµε τον Πρώτο Θερµοδυναµικό Νόµο συνολικά σε τµήµα του τοίχου. Θεωρούµε τµήµα του τοίχου επιφάνειας Α, που περιορίζεται µεταξύ του επιπέδου συµµετρίας και της µίας εκ των δύο εξωτερικών επιφανειών του. Επειδή το επίπεδο συµµετρίας δείξαµε ότι λειτουργεί ως µονωµένο, όλη η παραγόµενη θερµότητα στο εσωτερικό του τοίχου θα εξέρχεται από την επιφάνεια µέσω συναγωγής προς το ρευστό, οπότε θα ισχύει:

hLqTTTTAhALqEE ssout +=⇒−=⇒= ∞∞ )(παρ

3.7 ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΑΓΩΓΗ ΣΕ ΚΥΛΙΝ∆ΡΙΚΟ ΣΩΜΑ ΜΕ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Ας θεωρήσουµε κυλινδρικό σώµα µεγάλου µήκους σταθερής ακτίνας, στο εσωτερικό του οποίου παράγεται θερµότητα µε σταθερό ρυθµό ανά µονάδα όγκου. Ένα τέτοιο σώµα θα µπορούσε να είναι ένα ηλεκτροφόρο σύρµα ή ένα στοιχείο πυρηνικού καυσίµου σε πυρηνικό αντιδραστήρα. Θεωρούµε ότι ηεπιφάνεια του κυλίνδρου διατηρείται σε σταθερή θερµοκρασία sT .

Η εξίσωση διάχυσης θερµότητας σε κυλινδρικές συντεταγµένες γίνεται για τη µονοδιάστατη περίπτωση:

01 =+

kq

drdTr

drd

r

Με διαχωρισµό των µεταβλητών και ολοκλήρωση προκύπτει:

21 1

12 2

dT q dT qr r C r Cdr k dr k r

= − + ⇒ = − +

ενώ µε δεύτερη ολοκλήρωση προκύπτει η γενική λύση της διαφορικής:

212 )ln(

4)( CrCr

kqrT ++−=

Οι σταθερές της ολοκλήρωσης προκύπτουν από τις οριακές συνθήκες. Στην επιφάνεια είναι γνωστή η θερµοκρασία, οπότε ισχύει:



so TrT =)(

Στο κέντρο του αγωγού υπάρχει συνθήκη συµµετρίας, οπότε θα ισχύει:

00

==rdr

dT

Από τη δεύτερη οριακή συνθήκη προκύπτει ότι:

01 =C

ενώ από την οριακή συνθήκη στο τοίχωµα προκύπτει:

22 4 os r

kqTC

+=

Αντικαθιστώντας τις σταθερές στη γενική λύση της διαφορικής προκύπτει τελικά:

so

o Trr

krq

rT +

−= 2

22

14

)(

και σε αδιάστατη µορφή:

2

1)0()(

−=

−−

os

s

rr

TTTrT

όπου ( )0T η θερµοκρασία στο κέντρο του αγωγού.

Στην περίπτωση που δεν είναι γνωστή η θερµοκρασία στην επιφάνεια του κυλίνδρου αλλά η επ’ άπειρον θερµοκρασία του περιρρέοντος ρευστού,εφαρµόζεται ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος για τον προσδιορισµό της επιφανειακής θερµοκρασίας του κυλίνδρου. Ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος µπορεί να εφαρµοστεί είτε πάνω στην εξωτερική επιφάνεια είναι συνολικά για ένα τµήµα του αγωγού. Στη δεύτερη περίπτωση έχουµε:

)()2()()( 2∞∞ −=⇒−=⇒= TTLrhLrqTTAhVqEE soossout πππαρ

ή

hrqTT o

s 2

+= ∞

Πρέπει να σηµειωθεί ότι στην περίπτωση που εντός του σώµατος υπάρχει παραγωγής θερµότητας δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε τη διαδικασία της θερµικής αντίστασης.



3.8 ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΠΤΕΡΥΓΙΑ

Τα πτερύγια είναι επιφάνειες οι οποίες προεξέχουν από ένα σώµα και χρησιµοποιούνται για την αύξηση της θερµοροής από το εν λόγω σώµα προς το περιρέον ρευστό ή αντίστροφα. Στην επιφάνεια των πτερυγίων συντελείται µετάδοση θερµότητας µε συναγωγή προς το ρευστό (ή από το ρευστό), ενώ στο εσωτερικό τους συντελείται µετάδοση θερµότητας µε αγωγή. Προφανώς από την επιφάνεια των πτερυγίων συντελείται και µετάδοση θερµότητας µε ακτινοβολία,η οποία προς το παρόν δεν θα εξεταστεί.

Ας θεωρήσουµε την επίπεδη επιφάνεια ενός σώµατος η οποία έρχεται σε επαφή µε κινούµενο ρευστό. Προφανώς λαµβάνει χώρα µετάδοση θερµότητας µεσυναγωγής από το σώµα προς το ρευστό, στην περίπτωση που το σώµαβρίσκεται σε υψηλότερη θερµοκρασία. Αν η θερµοκρασία της επιφάνειας του σώµατος είναι σταθερή, τότε υπάρχουν τρεις διαφορετικοί τρόποι για να αυξηθεί η θερµοροή από το σώµα προς το ρευστό: να µειωθεί η θερµοκρασία του ρευστού (αύξηση της θερµοκρασιακής διαφοράς), να αυξηθεί η ταχύτητα της ροής (αύξηση του συντελεστή συναγωγής) ή να αυξηθεί η επιφάνεια συναλλαγής. Η πρώτη λύση είναι συνήθως πολύ ακριβή ή µη εφικτή, ενώ ηδεύτερη συνδέεται µε αύξηση της πολυπλοκότητας και της κατανάλωσης ισχύος (λόγω της ανάγκης τοποθέτησης κάπου ανεµιστήρα ή αντλίας). Η τρίτη λύση µπορεί να υλοποιηθεί µε την τοποθέτηση πτερυγίων κάθετων στην εξωτερική επιφάνεια του σώµατος, τα οποία επιτρέπουν την σηµαντική αύξηση της επιφάνειας συναλλαγής θερµότητας.

Για να επιτευχθεί σηµαντική αύξηση της θερµοροής µε την τοποθέτηση των πτερυγίων θα πρέπει η επιφανειακή τους θερµοκρασία να είναι όσο το δυνατόν υψηλότερη, ώστε η θερµοκρασιακή διαφορά µε το ρευστό να είναι ηµεγαλύτερη δυνατή. Η µέγιστη θεωρητική θερµοκρασία της επιφάνειας των πτερυγίων είναι η θερµοκρασία της επιφάνειας του σώµατος, η οποία µπορεί να επιτευχθεί για άπειρη τιµή του συντελεστή αγωγιµότητας του υλικού των πτερυγίων. Στην πράξη, όσο µεγαλύτερος ο συντελεστής αγωγιµότητας των πτερυγίων, τόσο µεγαλύτερη η επιφανειακή τους θερµοκρασία και τόσο µεγαλύτερη η θερµοροή προς το ρευστό.

Τα πτερύγια χρησιµοποιούνται σε πάρα πολλές εφαρµογές για την αύξηση της θερµοροής. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα είναι τα πτερύγια ψύξης των αερόψυκτων εµβολοφόρων µηχανών εσωτερικής καύσης, τα πτερύγια ψύξης των ηλεκτροκινητήρων και των µετασχηµατιστών, τα πτερύγια ψύξης των µικροεπεξεργαστών ή των ολοκληρωµένων κυκλωµάτων ενίσχυσης στους ενισχυτές των ηχητικών συστηµάτων, και τέλος τα πτερύγια ψύξης στα ψυγεία των αυτοκινήτων.

Τα πτερύγια µπορούν να έχουν διαφορετικές µορφές όπως επίπεδες πλάκες σταθερού πάχους που προεξέχουν από µια επιφάνεια, πτερύγια σταθερού πάχους,δίσκοι σταθερού ή µεταβλητού πάχους γύρω από σωλήνες, ή προεξέχουσες ράβδοι σταθερού ή µεταβλητού πάχους. Η επιλογή του κατάλληλου σχήµατος στηρίζεται σε περιορισµούς όπως το κόστος κατασκευής, το βάρος, η αντοχή, ο



διαθέσιµος χώρος και η επίδραση της παρουσίας των πτερυγίων στη ροή του περιρρέοντος ρευστού (αύξηση των αντιστάσεων και της πτώσης πίεσης).

Στη συνέχεια θα γίνει µια γενικευµένη ανάλυση της αγωγής θερµότητας στο εσωτερικό ενός πτερυγίου, η οποία είναι απαραίτητη για τον προσδιορισµότης θερµοροής από την επιφάνειά του.

3.9 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ ΠΤΕΡΥΓΙΟΥ

Ας θεωρήσουµε το πτερύγιο του σχήµατος (Σχήµα 3.5) και ας υποθέσουµεότι πραγµατοποιείται µονοδιάστατη αγωγή θερµότητας κατά µήκος του άξονα συµµετρίας του (διεύθυνση x ). Στην πραγµατικότητα η αγωγή θερµότητας στο εσωτερικό του είναι δισδιάστατη, όµως επειδή οι θερµοκρασιακές κλίσεις κατά τη x διεύθυνση είναι πολύ µεγαλύτερες από αυτές στις άλλες διευθύνσεις, ηπαραπάνω υπόθεση της µονοδιάστατης αγωγής θερµότητας είναι πολύ κοντά στην πραγµατικότητα. Υποθέτουµε επίσης ότι η ακτινοβολία από την επιφάνεια του πτερυγίου είναι αµελητέα, ο συντελεστής µετάδοσης θερµότητας µε αγωγή είναι σταθερός, ενώ το θερµοκρασιακό πεδίο είναι χρονικά αµετάβλητο (µόνιµηκατάσταση). Επίσης υποθέτουµε ότι στο εσωτερικό του πτερυγίου δεν υπάρχουν πηγές θερµότητας ενώ ο συντελεστής συναγωγής h είναι σταθερός σε ολόκληρη την επιφάνειά του.

ΣΧΗΜΑ 3.5

Θεωρούµε στοιχειώδες τµήµα το πτερυγίου, που ορίζεται από δύο επίπεδα κάθετα στον άξονα x στις θέσεις x και dxx + (Σχήµα 3.5). Στον στοιχειώδη αυτό όγκο έχουµε εισροή θερµότητας µε αγωγή από την µία επίπεδη πλευρά,εκροή θερµότητας µε αγωγή από την δεύτερη επίπεδη πλευρά και εκροή θερµότητας µε συναγωγή προς το περιρρέον ρευστό από την παράπλευρή επιφάνεια. Η εφαρµογή του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου στον στοιχειώδη όγκο αναφοράς δίνει:

x

qb

x+dx

x



συναγdqqqEE dxxxoutin +=⇒= +

Ο Νόµος του Fourier δίνει ότι:

dxdTAkq cx −=

όπου cA η διατοµή του πτερυγίου σε κάθε αξονική θέση (η οποία µπορεί να µεταβάλλεται από θέση σε θέση). Χρησιµοποιώντας ανάπτυγµα Taylor (κρατώντας µόνο τους πρώτους όρους) έχουµε για την αγωγή θερµότητας στη θέση dxx + :

dxdx

dqqq xxdxx +=+

Με αντικατάσταση του Νόµου Fourier στην παραπάνω σχέση προκύπτει:

dxdxdTA

dxdk

dxdTAkq ccdxx

−−=+

Η στοιχειώδης θερµοροή µε συναγωγή από την παράπλευρη επιφάνεια µπορεί να γραφτεί:

)( ∞−= TTdAhdq sσυναγ

όπου sdA το εµβαδόν της στοιχειώδους παράπλευρης επιφάνειας.Αντικαθιστώντας τις δύο παραπάνω σχέσεις στην έκφραση του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου προκύπτει:

0)( =−−

∞TTdx

dAkh

dxdTA

dxd s

c

ή

( ) 0112

2

=−

−

+ ∞TT

dxdA

kh

AdxdT

dxdA

AdxTd s

c

c

c

Η παραπάνω διαφορική εξίσωση, µε τη χρήση των κατάλληλων οριακών συνθηκών, δίνει τη διανοµή της θερµοκρασίας στο εσωτερικό του πτερυγίου.Στη συνέχεια, από την εφαρµογή του Νόµου του Fourier σε κάθε αξονική θέση προκύπτει η θερµοροή µε αγωγή στην εν λόγω θέση.

3.10 ΠΤΕΡΥΓΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ∆ΙΑΤΟΜΗΣ

Στην προηγούµενη διαφορική εξίσωση εµφανίζονται όροι µεταβολής της διατοµής και της εξωτερικής επιφάνειας του πτερυγίου, οπότε για τη λύση της θα



πρέπει να είναι γνωστός ο τρόπος της µεταβολής τους. Θα θεωρηθεί για απλότητα ότι η διατοµή του πτερυγίου είναι σταθερή, ενώ το πτερύγιο είναι προσαρµοσµένο σε βάση σταθερής θερµοκρασίας bT .

Αν P η σταθερή περίµετρος του πτερυγίου, τότε η παράπλευρη επιφάνεια από τη βάση έως τη θέση x θα δίδεται:

xPAs =

ενώ θα ισχύει:

0=dx

dAc

και

Pdx

dAs =

Αντικαθιστώντας στη διαφορική εξίσωση προκύπτει:

( ) 02

2

=−

− ∞TT

AkPh

dxTd

c

Για την απλοποίηση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης εισάγεται οµετασχηµατισµός:

∞−≡ TxTx )()(θ

οπότε η προηγούµενη διαφορική γίνεται:

022

2

=− θθ mdxd

όπου

cAkPhm ≡2

Η παραπάνω διαφορική είναι γραµµική οµογενής διαφορική δευτέρας τάξης, µεγενική λύση της µορφής:

xmxm eCeCx −+= 21)(θ

Οι σταθερές 1C και 2C της παραπάνω γενικής λύσης προσδιορίζονται από τις οριακές συνθήκες στα δύο άκρα του πτερυγίου. Η µία οριακή συνθήκη προκύπτει από τη θερµοκρασία στη βάση του πτερυγίου, η οποία θεωρήθηκε γνωστή:



bb TT θθ ≡−= ∞)0(

Η δεύτερη οριακή συνθήκη προσδιορίζεται στο ακροπτερύγιο ( Lx = ), όπου L το µήκος του πτερυγίου.

Στο ακροπτερύγιο µπορούν να εφαρµοστούν 4 διαφορετικοί τύποι οριακών συνθηκών, κάθε ένας από τους οποίους εξοµοιώνει διαφορετική κατάσταση. Οπρώτος τύπος οριακής συνθήκης θεωρεί µετάδοση θερµότητας µε συναγωγή προς το ρευστό από την επιφάνεια του ακροπτερυγίου. Στην περίπτωση αυτή ισχύει:

( )LxLx

cc dxdkLh

dxdTAkTLTAh

==∞ −=⇒−=−

θθ )()(

Με τις παραπάνω οριακές συνθήκες αποδεικνύεται ότι η λύση της διαφορικής είναι:

( )[ ] ( )[ ][ ] [ ]LmkmhLm

xLmkmhxLm

b sinh)/(coshsinh)/(cosh

+−+−=

θθ

Ένα µέγεθος πολύ σηµαντικό για την αξιολόγηση των πτερυγίων είναι ησυνολική θερµοροή από κάθε πτερύγιο. Αυτή µπορεί να προσδιοριστεί είτε µεολοκλήρωση σε ολόκληρη την εξωτερική του επιφάνεια ή µε εφαρµογή θερµικού ισολογισµού σε ολόκληρο το πτερύγιο (το οποίο είναι και πιο εύκολο).

Θεωρώντας έναν όγκο αναφοράς που περιβάλει το πτερύγιο, η συνολική θερµοροή που αποβάλλεται µε συναγωγή ισούται µε τη θερµοροή που εισέρχεται στο πτερύγιο µε αγωγή από τη βάση του. Αν fq η θερµοροή που αποβάλει το πτερύγιο και bq η θερµοροή που εισέρχεται από τη βάση του θα ισχύει προφανώς:

00 ==

−=−==x

cx

cbf dxdAk

dxdTAkqq θ

Εκτελώντας την παραγώγιση της θερµοκρασιακής διανοµής στη θέση 0=x και αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση προκύπτει:

[ ] [ ][ ] [ ]LmkmhLm

LmkmhLmAkPhq bcf sinh)/(coshcosh)/(sinh

++= θ

Όπως αναφέρθηκε προηγουµένως, το ίδιο αποτέλεσµα θα προέκυπτε και στην περίπτωση που γινόταν ολοκλήρωση της θερµοροής σε όλη την εξωτερική επιφάνεια του πτερυγίου (συµπεριλαµβανοµένης και της επιφάνειας του ακροπτερυγίου).

Η δεύτερη οριακή συνθήκη που µπορεί να εφαρµοστεί στο ακροπτερύγιο προκύπτει από την υπόθεση ότι η συναγωγή θερµότητας από αυτό είναι αµελητέα, οπότε το ακροπτερύγιο θεωρείται ότι είναι αδιαβατικό. Τότε



προφανώς θα ισχύει:

0==Lxdx

dθ

Στην περίπτωση αυτή η θερµοκρασιακή διανοµή προκύπτει:

( )[ ][ ]Lm

xLm

b coshcosh −=

θθ

ενώ αντίστοιχα η συνολική θερµοροή από το πτερύγιο δίδεται:

[ ]LmAkPhq bcf tanhθ=

Η τρίτη οριακή συνθήκη που µπορεί να εφαρµοστεί στο ακροπτερύγιο προκύπτει αν είναι γνωστή η θερµοκρασία του, δηλαδή:

( ) LL θθ =

Σε αυτή την περίπτωση οι προηγούµενες σχέσεις γίνονται:

( ) [ ] ( )[ ][ ]Lm

xLmxmbL

b sinhsinhsinh/ −+

=θθ

θθ

[ ] ( )[ ]Lm

LmAkPhq bL

bcf sinh/cosh θθ

θ−

=

Η τέταρτη οριακή συνθήκη αναφέρεται στην περίπτωση που το πτερύγιο έχει πολύ µεγάλο µήκος, το οποίο θεωρείται ότι τείνει στο άπειρο. Στην περίπτωση αυτή η θερµοκρασία στο ακροπτερύγιο τείνει στην επ’ άπειρον θερµοκρασία του περιρρέοντος ρευστού, δηλαδή:

∞→L

0→⇒→ ∞ LL TT θ

Στην περίπτωση αυτή αποδεικνύεται ότι η θερµοκρασιακή διανοµή και ησυνολική θερµοροή δίδονται αντίστοιχα:

xm

b

e−=θθ

bcf AkPhq θ=

Οι παραπάνω σχέσεις, που προέκυψαν µε τις τέσσερις διαφορετικές οριακές συνθήκες, εφαρµόζονται ανάλογα µε την µορφή του πτερυγίου και τη µορφή του θερµοκρασιακού πεδίου.



3.11 ΑΠΟ∆ΟΣΗ ΤΩΝ ΠΤΕΡΥΓΙΩΝ

Τα πτερύγια χρησιµοποιούνται για να αυξήσουν τη θερµοροή από το σώµαπρος το περιρρέον ρευστό (ή αντίστροφα). Η πεπερασµένη όµως τιµή του συντελεστή αγωγιµότητας του πτερυγίου συνεπάγεται την ύπαρξη αντίστασης στη µετάδοση της θερµότητας λόγω της παρουσίας του πτερυγίου. Έτσι εµφανίζεται µία ανταγωνιστική δράση µεταξύ της αύξησης της αντίστασης αγωγής µε την αύξηση του µεγέθους του πτερυγίου και την µείωση της αντίστασης συναγωγής µε την αύξηση της εξωτερικής του επιφάνειας. Για το λόγο αυτό δεν είναι σίγουρο εκ των προτέρων ότι µε την πρόσθεση του πτερυγίου θα αυξηθεί η θερµοροή από το σώµα προς το ρευστό.

Ένα µέγεθος που χρησιµοποιείται για την αξιολόγηση των πτερυγίων ως προς την αύξηση της θερµοροής είναι η αποτελεσµατικότητα fε . Ορίζεται ως ολόγος της θερµοροής από το πτερύγιο προς τη θερµοροή που θα υπήρχε από τη βάση του πτερυγίου χωρίς το πτερύγιο, δηλαδή:

bbc

ff Ah

qθ

ε,

=

όπου bcA , η διατοµή του πτερυγίου στη βάση του. Προφανώς το fε µπορεί να παίρνει τιµές οσοδήποτε µεγάλες. Η προσθήκη πτερυγίων σε µία επιφάνεια δικαιολογείται συνήθως εάν το fε παίρνει τιµές µεγαλύτερες του 2.

Ας εξετάσουµε την περίπτωση πτερυγίου σταθερής διατοµής απείρου µήκους (η τέταρτη περίπτωση της προηγούµενης παραγράφου). Αντικαθιστώντας τη συνολική θερµοροή στην παραπάνω σχέση προκύπτει:

2/1

=

cf Ah

Pkε

Από την παραπάνω σχέση είναι προφανές ότι η αποτελεσµατικότητα του πτερυγίου αυξάνεται µε τη χρησιµοποίηση υλικών µε µεγάλες τιµές του συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας. Από τα κοινά µέταλλα (όχι χρυσός και ασήµι) τα δύο µε τις µεγαλύτερες τιµές του k είναι ο χαλκός και το αλουµίνιο.Περισσότερο χρησιµοποιείται το δεύτερο (και τα κράµατά του) για την κατασκευή πτερυγίων, λόγω µικρότερου κόστους κατασκευής και µικρότερου βάρους.

Από την παραπάνω σχέση είναι επίσης φανερό ότι η αποτελεσµατικότητα αυξάνεται µε την αύξηση του λόγου της περιµέτρου προς τη διατοµή του πτερυγίου. Έτσι (για δεδοµένο όγκο µετάλλου) είναι προτιµότερη η κατασκευή λεπτότερων και περισσότερων πτερυγίων, πυκνά διατεταγµένων, παρά λιγότερων και παχύτερων. Πρέπει εδώ να σηµειωθεί όµως ότι δεν µπορούµε να πυκνώνουµε όσο θέλουµε τη διάταξη των πτερυγίων διότι εµποδίζεται η ροή του



περιρρέοντος ρευστού, µε αποτέλεσµα τη µείωση του συντελεστή συναγωγής h .

Ένα αρκετά σηµαντικό συµπέρασµα, που προκύπτει από την παραπάνω σχέση, είναι το γεγονός ότι η αποτελεσµατικότητα του πτερυγίου αυξάνεται µετη µείωση του συντελεστή συναγωγής h . Αυτό σηµαίνει ότι η παρουσία πτερυγίων δικαιολογείται περισσότερο στις περιπτώσεις που η ροή του ρευστού πραγµατοποιείται µε χαµηλές ταχύτητες και λιγότερο στις περιπτώσεις εξαναγκασµένης κυκλοφορίας. Αντίστοιχα, η αποτελεσµατικότητα είναι µεγαλύτερη στην περίπτωση που το ρευστό είναι αέριο παρά στην περίπτωση που είναι υγρό. Έτσι για παράδειγµα στην περίπτωση του ψυγείου του αυτοκινήτου, τα πτερύγια ψύξης είναι από την πλευρά του αέρα και όχι από την εσωτερική πλευρά των σωλήνων, όπου ρέει το ψυκτικό υγρό.

Η αποτελεσµατικότητα του πτερυγίου µπορεί να εκφραστεί διαφορετικά µετην εισαγωγή της έννοιας της θερµικής αντίστασης του πτερυγίου, η οποία ορίζεται ως:

f

bft q

Rθ

=,

Στην περίπτωση απουσίας πτερυγίου η αντίσταση λόγω συναγωγής στη βάση του πτερυγίου δίδεται:

bcbt Ah

R,

,1=

Αντικαθιστώντας στη σχέση ορισµού της αποτελεσµατικότητας του πτερυγίου προκύπτει:

ft

bt

bbc

ff R

RAhq

,

,

,

==θ

ε

Η παραπάνω σχέση δείχνει καθαρά ότι για να αυξηθεί η θερµοροή µε την προσθήκη πτερυγίου θα πρέπει η αντίσταση αγωγής του πτερυγίου να είναι µικρότερη της αντίστασης συναγωγής της βάσης του πτερυγίου.

Ένα δεύτερο µέτρο της απόδοσης του πτερυγίου είναι ο βαθµός απόδοσης fη . Ο βαθµός απόδοσης του πτερυγίου ορίζεται ως ο λόγος της συνολικής

θερµοροής από το πτερύγιο προς τη µέγιστη θεωρητική θερµοροή από το πτερύγιο. Η µέγιστη θεωρητική θερµοροή θα συνέβαινε στην περίπτωση άπειρης τιµής του συντελεστή αγωγιµότητας, οπότε ολόκληρη η επιφάνεια του πτερυγίου θα είχε την ίδια θερµοκρασία, ίση µε τη θερµοκρασία της βάσης του πτερυγίου.Συνεπώς ο βαθµός απόδοσης θα δίδεται:

bf

ff Ah

qθ

η ≡

όπου fA η εξωτερική επιφάνεια του πτερυγίου.



Για την ειδική περίπτωση πτερυγίου µε σταθερή διατοµή και αδιαβατικό ακροπτερύγιο προκύπτει µε αντικατάσταση στην παραπάνω σχέση:

[ ] [ ]Lm

LmLPh

LmAkPhb

bcftanhtanh ==

θθη

Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι η µέγιστη τιµή του βαθµούαπόδοσης είναι 1 όταν το µήκος L του πτερυγίου τείνει στο 0 και η ελάχιστη τιµή του βαθµού απόδοσης είναι 0, όταν το µήκος L τείνει στο άπειρο.



4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

4.1 ΓΕΝΙΚΑ

Για την επίλυση προβληµάτων αγωγής θερµότητας σε δύο και τρεις διαστάσεις, η εύρεση αναλυτικών λύσεων της διαφορικής εξίσωσης διάχυσης είναι εξαιρετικά δυσχερής και περιορίζεται µόνο σε απλές γεωµετρίες. Στις πολύπλοκες γεωµετρίες η εύρεση του θερµοκρασιακού πεδίου εντός του σώµατος µπορεί να γίνει µε τη χρήση αριθµητικών µεθόδων. Τέτοιες µέθοδοι είναι η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών (finite-difference method), ηµέθοδος των πεπερασµένων όγκων (finite-volume method), η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων (finite-element method) και η µέθοδος των συνοριακών στοιχείων (boundary-element method).

Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε την πρώτη, λόγω τη ευκολίας µε την οποία εφαρµόζεται στην επίλυση της εξίσωσης διάχυσης.

4.2 Η ΧΡΗΣΗ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ∆ΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Η αναλυτική λύση µιας διαφορικής εξίσωσης είναι µια συνάρτηση που επιτρέπει τον προσδιορισµό του αγνώστου µεγέθους σε κάθε σηµείο του χώρου.Στην περίπτωση των αριθµητικών µεθόδων επίλυσης, η διαφορική εξίσωση µετατρέπεται σε ένα σύνολο αριθµητικών πλέον εξισώσεων. Η λύση του συστήµατος των αριθµητικών εξισώσεων δίνει την τιµή του άγνωστου µεγέθους όχι σε όλα τα σηµεία του χώρου (του σώµατος) αλλά σε συγκεκριµένα σηµεία,τα λεγόµενα διακριτά σηµεία (discrete points), οπότε η µετατροπή της διαφορικής εξίσωσης σε ένα σύνολο αριθµητικών εξισώσεων καλείται διακριτοποίηση (discretization).

Η διακριτοποίηση της διαφορικής εξίσωσης γίνεται µε τη χρήση ενός πλέγµατος (grid ή mesh), οι κόµβοι του οποίου (nodes) είναι τα διακριτά σηµεία. Οι κόµβοι του πλέγµατος περιγράφονται από κάποιο σύστηµααρίθµησης (κοµβικές συντεταγµένες), για το οποίο συνήθως χρησιµοποιούνται τα σύµβολα kji ,, . Στην περίπτωση ορθογώνιων Καρτεσιανών πλεγµάτων αντιστοιχούν στις διευθύνσεις zyx ,, , µε τις οποίες συνδέονται µε σχετικά απλές σχέσεις. Τα πλέγµατα µπορούν όµως να είναι και καµπυλόγραµµα, οπότε οι κοµβικές συντεταγµένες συνδέονται µε τις ορθογώνιες Καρτεσιανές συντεταγµένες µε αρκετά πολύπλοκο τρόπο.

Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε για απλότητα µε ορθογώνια Καρτεσιανά πλέγµατα (ισαπέχοντα και µη). Τα ορθογώνια Καρτεσιανά πλέγµατα κατασκευάζονται στις δύο διαστάσεις απλούστατα, τραβώντας παράλληλες γραµµές προς τους δύο άξονες x και y . Αν οι παράλληλες αυτές γραµµές



ισαπέχουν µεταξύ τους τότε έχουµε προφανώς ισαπέχον πλέγµα. Οι αποστάσεις στις δύο διευθύνσεις µπορεί να είναι ίσες ή διαφορετικές σε ένα ισαπέχον πλέγµα. Στην περίπτωση υιοθέτησης µεταβαλλόµενων αποστάσεων µεταξύ των κόµβων του πλέγµατος, είναι δυνατή η πύκνωση των κόµβων στις περιοχές µεµεγάλες κλίσεις του ζητούµενου µεγέθους, ώστε να αυξηθεί η ακρίβεια της λύσης, ενώ σε περιοχές που δεν υπάρχουν µεγάλες κλίσεις το πλέγµα µπορεί να διατηρείται αραιό για τη µείωση του υπολογιστικού κόστους. Τα παραπάνω βρίσκουν εφαρµογή τόσο σε δισδιάστατα όσο και σε τρισδιάστατα προβλήµατα.

Η επίλυση των αριθµητικών εξισώσεων, που προκύπτουν στους κόµβους του πλέγµατος, δίνει µία τιµή του άγνωστου µεγέθους (π.χ. της θερµοκρασίας)για κάθε κόµβο του πλέγµατος. Η τιµή αυτή δεν αντιστοιχεί στην ακριβή τιµήπου θα είχε π.χ. η θερµοκρασία στο συγκεκριµένο σηµείο αν ήταν γνωστή ηαναλυτική λύση της διαφορικής, αλλά σε µια µέση τιµή της σε µια συγκεκριµένη περιοχή γύρω από τον συγκεκριµένο κόµβο του πλέγµατος.

Η ακρίβεια της λύσης εξαρτάται σηµαντικά από την πυκνότητα των κόµβων του πλέγµατος. Όσο πιο πυκνή η διάταξη των κόµβων (πυκνό πλέγµα –fine mesh), τόσο µεγαλύτερη η ακρίβεια της λύσης. Για την αξιολόγηση µιας αριθµητικής λύσης απαιτείται ο λεγόµενος έλεγχος της ανεξαρτησίας του πλέγµατος. Επιλύουµε το πρόβληµα διπλασιάζοντας συνεχώς τον αριθµό των κόµβων σε κάθε διάσταση. Αν σε δύο διαδοχικούς διπλασιασµούς δεν µεταβληθεί η ποιότητα της λύσης τότε έχουµε φτάσει σε λύση ανεξάρτητη του πλέγµατος, η οποία είναι και η καλύτερη δυνατή που µπορεί να επιτευχθεί µε τη δεδοµένη αριθµητική µέθοδο. Η αύξηση των κόµβων του πλέγµατος όµως αναγκαστικά συνοδεύεται από αύξηση της απαιτούµενης µνήµης και του αριθµού των εξισώσεων που θα λυθούν, άρα και του χρόνου επίλυσής τους.

Το παρόν κεφάλαιο δεν έχει σκοπό να δώσει όλες τις λεπτοµέρειες για την αριθµητική επίλυση των διαφορικών εξισώσεων µετάδοσης θερµότητας, αλλά να αποτελέσει µια εισαγωγή στο αντικείµενο αυτό. Η εξίσωση διάχυσης (στη µόνιµη και στη µη µόνιµη µορφή της) αποτελεί µια ιδανική διαφορική εξίσωση για την εισαγωγή στην αριθµητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων που συναντώνται σε προβλήµατα µετάδοσης θερµότητας και µηχανικής των ρευστών.

ΣΧΗΜΑ 4.1 Παράδειγµαδιακριτοποίησης µεχρήση Καρτεσιανού πλέγµατος. ∆x

∆y

i+1, j

i, j+1

i, j-1

i-1, j i, j



4.3 ΗΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ∆ΙΑΦΟΡΩΝ

Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι η πιο απλή µέθοδος για την διακριτοποίηση µιας διαφορικής εξίσωσης σε αριθµητική εξίσωση µε τη χρήση πλέγµατος. Ας θεωρήσουµε για απλότητα ένα δισδιάστατο ορθογώνιο Καρτεσιανό πλέγµα µε ισαπέχοντες κόµβους τόσο στην x όσο και στην yδιεύθυνση ( yx ∆=∆ ), όπως αυτό παρουσιάζεται στο Σχήµ 4.1. Ηδιακριτοποίηση αρχικά θα εφαρµοστεί σε κάποιον (τυχαίο) εσωτερικό κόµβο του πλέγµατος, δηλαδή όχι σε κόµβο πάνω στα όρια του σώµατος. Για τους οριακούς κόµβους χρησιµοποιείται διαφορετική διακριτοποίηση, ώστε να ληφθούν υπ’όψιν οι οριακές συνθήκες του προβλήµατος.

Στη συνέχεια θα διακριτοποιηθεί η εξίσωση µετάδοσης θερµότητας µεαγωγή σε διδιάστατη πλάκα, χωρίς πηγές θερµότητας και για µόνιµο πεδίο θερµοκρασιών (εξίσωση Laplace). Οι παράγωγοι θα προσεγγιστούν µε τη χρήση διαφορών, µεταξύ των τιµών στους γειτονικούς κόµβους του πλέγµατος.Θεωρούµε τη δεύτερη παράγωγο της θερµοκρασίας ως προς τη x διεύθυνση (Σχήµα 4.1), η οποία προσεγγίζεται ως εξής:

x

xTxT

xT jiji

ji ∆

∂∂−∂∂≈

∂∂ −+ ,2/1,2/1

,2

2 //

όπου οι θέσεις 21+i και 21−i αντιστοιχούν στο µέσο µεταξύ των κόµβων 1, +ii και 1, −ii αντίστοιχα (Σχήµα 4.1).

Με τον ίδιο τρόπο διακριτοποιούνται και οι πρώτες παράγωγοι στην παραπάνω σχέση:

xTT

xT jiji

ji ∆

−≈

∂∂ +

+

,,1

,2/1

και

xTT

xT jiji

ji ∆

−≈

∂∂ −

−

,1,

,2/1

Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση προκύπτει:

2,,1,1

,2

2

)(2

xTTT

xT jijiji

ji ∆

−+≈

∂∂ −+

Με τον ίδιο τρόπο εκτελείται η διακριτοποίηση στην y διεύθυνση:

2,1,1,

,2

2

)(2

yTTT

yT jijiji

ji ∆

−+≈

∂∂ −+



Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Laplace προκύπτει για κάθε εσωτερικό κόµβο:

0)(

2)(

20 2

,1,1,2

,,1,1

,2

2

,2

2

=∆

−++

∆

−+⇒=

∂∂+

∂∂ −+−+

yTTT

xTTT

yT

xT jijijijijiji

jiji

ή

0)(

2)(

2)()()()( 2

,2

,21,

21,

2,1

2,1 =

∆−

∆−

∆+

∆+

∆+

∆−+−+

yT

xT

yT

yT

xT

xT jijijijijiji

ή

0)(2

)(2

)(1

)(1

)(1

)(1

,221,21,2

,12,12

=

∆−+

∆−+

∆

+

∆

+

∆

+

∆

−+

−+

jijiji

jiji

Tyx

Ty

Ty

Tx

Tx

Για yx ∆=∆ η παραπάνω σχέση απλοποιείται και γίνεται:

04 ,1,1,,1,1 =−+++ −+−+ jijijijiji TTTTT

Με την παραπάνω διαδικασία η διαφορική εξίσωση Laplace µετατράπηκε σε µια προσεγγιστική αλγεβρική εξίσωση. Η επίλυση του συστήµατος των αλγεβρικών εξισώσεων για όλους τους εσωτερικούς κόµβους (µαζί µε τις οριακές συνθήκες, που θα υλοποιηθούν στους οριακούς κόµβους του πλέγµατος)θα δώσει το θερµοκρασιακό πεδίο σε όλους τους κόµβους του πλέγµατος (σε εκείνους που δεν είναι γνωστό, αφού σε κάποιους οριακούς κόµβους – µεοριακές συνθήκες τύπου Dirichlet – η τιµή της θερµοκρασίας είναι γνωστή).

Ένας διαφορετικός τρόπος αναγραφής των παραπάνω εξισώσεων περιγράφεται στη συνέχεια (Σχήµα 4.2). Ο κεντρικός κόµβος που εξετάζουµεχαρακτηρίζεται ως κόµβος P (αντιστοιχεί στη θέση ji, ), ενώ οι γειτονικοί κόµβοι χαρακτηρίζονται ως E, W, N, S, (East, West, North, South) και αντιστοιχούν στους κόµβους ( )ji ,1+ , ( )ji ,1− , ( )1, +ji , ( )1, −ji . Έτσι ηδιακριτοποιηµένη µορφή της εξίσωσης γίνεται:

0)(2

)(2

)(1

)(1

)(1

)(1

2222

22

=

∆−+

∆−+

∆

+

∆

+

∆

+

∆

PSN

WE

Tyx

Ty

Ty

Tx

Tx

ή

0=++++ PPSSNNWWEE TATATATATA



Ο παραπάνω τρόπος γραφής επιτρέπει την αποθήκευση των σταθερών συντελεστών των αγνώστων σε 5 µονοδιάστατους πίνακες, χωρίς να χρειάζεται ηαποθήκευση των υπολοίπων συντελεστών, που ούτως ή άλλως είναι µηδενικοί.Έτσι αντί να αποθηκεύονται NN × συντελεστές αποθηκεύονται µόνο οι N×5µη µηδενικοί συντελεστές (όπου N ο αριθµός των διακριτοποιηµένων αλγεβρικών εξισώσεων).

ΣΧΗΜΑ 4.2 Εναλλακτικός τρόπος συµβολισµού των κόµβων.

4.4 Η ΧΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟΥ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΥ

Η παραπάνω εξίσωση µπορεί να εξαχθεί και µε την εφαρµογή του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου σε κατάλληλο όγκο αναφοράς γύρω από τον κάθε εσωτερικό κόµβο, όπως φαίνεται στο Σχήµα 4.3. Στη συνέχεια θα εξάγουµε την πιο γενική µορφή της εξίσωσης, µε παρουσία όρων πηγής. Για τις ανάγκες της διακριτοποίησης θεωρούµε ότι όλη η θερµοροή εισέρχεται στον όγκο αναφοράς.Η σωστή φορά της ροής θερµότητας θα προκύψει από την επίλυση του θερµοκρασιακού πεδίου.

Ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος για µόνιµη κατάσταση γράφεται:

0=+ παρEEin

ή

( ) 0)1(0 =∆∆++++⇒=+ yxqqqqqVqE SNWEin

όπου για τον υπολογισµό του όγκου αναφοράς V θεωρήθηκε ότι η διδιάστατη πλάκα έχει µοναδιαίο πάχος, ενώ οι δείκτες E, W, N, S αναφέρονται στις αντίστοιχες πλευρές του όγκου αναφοράς.

Η θερµοροή από την αριστερή πλευρά του όγκου αναφοράς θα δίδεται σύµφωνα µε τον Νόµο του Fourier:

xTT

ykxTAkq jiji

W ∆

−∆≈

∂∂

−= − ,,1)1(

E

N

S

WP



Όµοια για τις τρεις άλλες πλευρές:

xTT

ykq jijiE ∆

−∆≈ + ,,1)1(

yTT

xkq jijiN ∆

−∆≈ + ,1,)1(

yTT

xkq jijiS ∆

−∆≈ − ,1,)1(

Αντικαθιστώντας στον Πρώτο Θερµοδυναµικό Νόµο προκύπτει:

0)1()1()1(

)1()1(

,1,,1,

,,1,,1

=∆∆+∆

−∆+

∆

−∆

+∆

−∆+

∆

−∆

−+

+−

yxqy

TTxk

yTT

xk

xTT

ykx

TTyk

jijijiji

jijijiji

ή

kqT

yxT

yT

y

Tx

Tx

jijiji

jiji

−=

∆−+

∆−+

∆

+

∆

+

∆

+

∆

−+

−+

,221,21,2

,12,12

)(2

)(2

)(1

)(1

)(1

)(1

ή όµοια µε προηγουµένως:

kqT

yxT

yT

y

Tx

Tx

PSN

WE

−=

∆−+

∆−+

∆

+

∆

+

∆

+

∆

2222

22

)(2

)(2

)(1

)(1

)(1

)(1

ή στη γενική µορφή

PPPSSNNWWEE QTATATATATA =++++

όπου

kqQP

−=

Για την περίπτωση ίσων πλεγµατικών αποστάσεων x∆ και y∆ προφανώς έχουµε:



kxqTTTTT PSNWE

2)(4 ∆−=−+++

Χρησιµοποιήθηκαν κεντρικές πεπερασµένες διαφορές για να εκφραστούν οι θερµοροές στις τέσσερις πλευρές του όγκου αναφοράς. Όπως φάνηκε καθαρά,η αλγεβρική εξίσωση σε κάθε κόµβο του πλέγµατος είναι στην ουσία ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος (εξίσωση διατήρησης της ενέργειας). Η παραπάνω διαδικασία είναι ιδιαίτερα χρήσιµη για την περίπτωση των κόµβων στα όρια του σώµατος, όπου πρέπει να εκφρασθούν οι κατάλληλες οριακές συνθήκες.

ΣΧΗΜΑ 4.3 Ο όγκος αναφοράς (ελέγχου), που χρησιµοποιείται για την εφαρµογή ενεργειακού ισολογισµού γύρω από τον κόµβο (i, j).

4.5 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

Όπως ήδη αναφέρθηκε σε προηγούµενο κεφάλαιο, υπάρχουν δύο βασικά είδη οριακών συνθηκών, οι συνθήκες Dirichlet και οι συνθήκες Neumann. Στην πρώτη περίπτωση είναι γνωστές οι τιµές της θερµοκρασίας στους οριακούς κόµβους, οπότε δεν απαιτείται να γραφτεί κάποια εξίσωση για τους συγκεκριµένους κόµβους. Στους γειτονικούς τους κόµβους, οι οποίοι περιέχουν στις εξισώσεις τους τις τιµές της θερµοκρασίας στα όρια, µεταφέρονται οιαντίστοιχοι (σταθεροί) όροι στο δεύτερο (σταθερό) σκέλος της αλγεβρικής εξίσωσης.

Έστω ότι ο οριακός κόµβος είναι ο Βόρειος (N) κόµβος. Τότε η αλγεβρική εξίσωση στον κόµβο P γίνεται:

NNPPPSSWWEE

PPPSSNNWWEE

TAQTATATATAQTATATATATA

−=+++⇒=++++

και η επίλυση της εξίσωσης γίνεται µόνο για τους υπόλοιπους άγνωστους κόµβους (Για υπολογιστικούς λόγους ο αντίστοιχος συντελεστής PA τίθεται ίσος µε 0, µετά την τροποποίηση του σταθερού όρου στο δεύτερο µέλος της εξίσωσης).

Στην περίπτωση που οι οριακοί κόµβοι είναι άγνωστοι (συνθήκες τύπου

∆x

∆y

i+1, j

i, j+1

i, j-1

i-1, j i, j



Neumann), πρέπει να γραφτεί µία εξίσωση για κάθε άγνωστο οριακό κόµβο. Ηµορφή της εξίσωσης εξαρτάται από το είδος της οριακής συνθήκης και προκύπτει από την εφαρµογή του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου σε κατάλληλο όγκο αναφοράς γύρω από τον εν λόγω οριακό κόµβο.

Ας θεωρήσουµε οριακή επιφάνεια δισδιάστατου σώµατος, η οποία έρχεται σε επαφή µε κινούµενο ρευστό, του οποίου ο συντελεστής συναγωγής h και ηεπ’ άπειρον θερµοκρασία είναι γνωστά. Έστω ο οριακός κόµβος του Σχήµατος 4.4, ο οποίος βρίσκεται σε γωνία του σώµατος. Ο όγκος αναφοράς που θα χρησιµοποιηθεί εκτείνεται µέχρι το µέσον των αποστάσεων µεταξύ των αντίστοιχων κόµβων, ενώ το πλέγµα θεωρείται ορθογώνιο Καρτεσιανό και ισαπέχον, µε ίσες αποστάσεις στις δύο διευθύνσεις.

Στον όγκο αναφοράς του σχήµατος θα εφαρµοσθεί ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος, θεωρώντας τις θερµοροές εισερχόµενες στον όγκο αναφοράς, από όλες τις πλευρές του. Στις δύο πλευρές από την µεριά του ρευστού η θερµοροή εµφανίζεται λόγω συναγωγής, ενώ στις υπόλοιπες λόγω αγωγής.

Ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος για την µόνιµη κατάσταση µε απουσία πηγών θερµότητα γράφεται:

00 ,, =+⇒= συναγαγωγ ininin EEE

ή

( ) ( )jiji

jijijiji

jijijiji

TTyhTTxh

yTTxk

xTTyk

yTT

xkx

TTyk

,,

,1,,,1

,1,,,1

12

12

12

12

)1()1(

−

∆+−

∆

+∆

−

∆+

∆

−

∆

+∆

−∆+

∆

−∆

∞∞

−+

+−

ή

( ) 0321

,1,,11,,1 =

∆+−

∆++++ ∞−++− jijijijiji Tk

xhTk

xhTTTT

ή

∞−+−+∆=

∆++−−−− T

kxhT

kxhTTTT jijijijiji ,1,1,,1,1 3

21

21

όπου διακρίνονται οι σταθεροί συντελεστές για κάθε κόµβο και ο σταθερός όρος του δεύτερου σκέλους. Στην τελευταία εξίσωση έχει υποτεθεί ότι yx ∆=∆ .

Για τον υπολογισµό της συναγωγής στις δύο πλευρές υποθέσαµε ότι οι θερµοκρασία στις πλευρές αυτές είναι σταθερή και ίση µε jiT , . Αυτό είναι



συµβατό µε την αρχική υπόθεση ότι η θερµοκρασία σε κάθε κόµβο αντιπροσωπεύει τη µέση θερµοκρασία σε κατάλληλο όγκο αναφοράς γύρω από τον συγκεκριµένο κόµβο.

ΣΧΗΜΑ 4.4 Ο όγκος αναφοράς για την περίπτωση κόµβου σε γωνία πάνω στο όριο.

4.6 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Αφού γραφτεί µια αλγεβρική εξίσωση για κάθε κόµβο µε άγνωστη θερµοκρασία, µένει να λυθεί το σύστηµα των αλγεβρικών αυτών εξισώσεων για τον προσδιορισµό της θερµοκρασίας στους παραπάνω κόµβους. Αν N ο αριθµόςτων κόµβων µε άγνωστη θερµοκρασία, προκύπτει ένα σύστηµα εξισώσεων

NN × , δηλαδή N εξισώσεων µε N αγνώστους:

NNNNNNN

NN

NN

CTATATATA

CTATATATACTATATATA

=++++

=++++=++++

...

......

332211

22323222121

11313212111

ή

[ ] [ ] [ ]CTA =⋅

όπου

≡

NNNN

N

N

AAA

AAAAAA

A

…

……

21

22221

11211

≡

NT

TT

T2

1

∆x

∆y

i+1,j

i, j+1

i, j-1

i-1,j



και

≡

NC

CC

C

2

1

Το σύστηµα αυτό µπορεί να λυθεί είτε µε ευθείς µεθόδους (αντιστροφή πίνακα) είτε µε επαναλληπτικές µεθόδους. Οι πρώτες απαιτούν συνήθως µεγάλη µνήµη και χρόνο υπολογισµού και είναι συνήθως απαγορευτικές για προβλήµατα µε µεγάλο αριθµό κόµβο. Για το λόγο αυτό συνήθως χρησιµοποιούνται επαναλληαπτικές µέθοδοι για την εύρεση των αγνώστων του προβλήµατος.

Στην περίπτωση που γίνει αντιστροφή πίνακα η λύση δίδεται από τη σχέση:

[ ] [ ] [ ]CAT ⋅= −1

Όσον αφορά στις επαναλληπτικές µεθόδους, αυτές είναι διαφόρων ειδών και πολυπλοκότητας. Μία από τις πιό απλές επαναλληπτικές µεθόδους είναι ηµέθοδος Gauss – Seidel, την οποία θα παρουσιάσουµε στη συνέχεια, όπως εφαρµόζεται στο συγκεκριµένο πρόβληµα.

Αρχικά οι εξισώσεις γράφονται σε µορφή τέτοια ώστε ο πίνακας των σταθερών συντελεστών να έχει διαγώνια υπεροχή. Η διαγώνια υπεροχή εξασφαλίζει ταχύτερη σύγκλιση.

Γίνεται µία αρχική υπόθεση για τις τιµές των αγνώστων θερµοκρασιών στους κόµβους του πλέγµατος. Όσο καλύτερη η αρχική υπόθεση τόσο µικρότερος ο χρόνος της σύγκλισης.

Κάθε εξίσωση γράφεται στην ακόλουθη µορφή:

( ))1()1()()()(

)1()1()()()(

1 −−

−−

−−−−=

⇒−−−−=

⇒=++++

kNN

kEE

kSS

kWWP

P

kP

kNN

kEE

kSS

kWWP

kPP

PPPSSNNWWEE

TATATATAQA

T

TATATATAQTA

QTATATATATA

όπου µε τον δείκτη ( )k συµβολίζεται η κάθε επανάληψη.

Το υπολογιστικό χωρίο σαρώνεται από αριστερά προς τα δεξιά και από κάτω προς τα πάνω και σε κάθε σάρωση επέρχεται ανανέωση των τιµών του κάθε κόµβου, χρησιµοποιώντας τις νεότερες τιµές στην αριστερή και κάτω πλευρά του και τις παλαιότερες τιµές στις άλλες δύο πλευρές της υπολογιστικής κυψέλης.

Η διαδικασία επαναλαµβάνεται εως ότου η διαφορά µεταξύ δύο διαδοχικών τιµών της θερµοκρασία πέσει κάτω από ένα προκαθορισµένο όριο.



Ως κριτήριο σύγκλισης χρησιµοποιείται συνήθως η µέση τιµη στους κόµβους του πλέγµατος της απόλυτης τιµής της παραπάνω διαφοράς, δηλαδή

ε≤−∑ −N

ki

ki TT

N 1

)1()(1

όπου ε κατάλληλο αποδεκτό σφάλµα.



5 ΜΗ ΜΟΝΙΜΗ ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ5.1 ΓΕΝΙΚΑ

Στα προηγούµενα κεφάλαια µελετήθηκαν περιπτώσεις µετάδοσης θερµότητας σε πεδία χρονικά αµετάβλητα. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµεµε την αγωγή θερµότητας σε θερµοκρασιακά πεδία χρονικά µεταβαλλόµενα. Τα µη µόνιµα (unsteady) ή µεταβατικά (transient) προβλήµατα µετάδοσης θερµότητας εµφανίζονται στις περιπτώσεις εκείνες όπου υπάρχει χρονική µεταβολή των οριακών συνθηκών στο πεδίο. Στην περίπτωση που οι οριακές συνθήκες αποκτήσουν χρονικά αµετάβλητες τιµές, τότε το σώµα αποκτά (µετά από κάποιο χρονικό διάστηµα) αµετάβλητο θερµοκρασιακό πεδίο, δηλαδή φθάνει στη µόνιµη κατάσταση (steady – state).

Για παράδειγµα φανταστείτε ένα σώµα το οποίο βρίσκεται αρχικά στο ψυγείο, και το οποίο στη συνέχεια τοποθετείται στο εξωτερικό περιβάλλον (όπου υποθέτουµε σταθερές συνθήκες). Το σώµα αρχίζει να προσλαµβάνει θερµότητα µε συναγωγή από την επιφάνειά του, ενώ στο εσωτερικό του η θερµότητα µεταδίδεται µε αγωγή. Καθώς προσλαµβάνει θερµότητα αυξάνεται ηθερµοκρασία του, οπότε µειώνεται η θερµοκρασιακή διαφορά µε το περιβάλλον,οπότε µειώνεται και ο ρυθµός µετάδοσης θερµότητας (η θερµοροή). Μετά από κάποιο χρονικό διάστηµα θα εξισωθεί η θερµοκρασία του σώµατος µε το περιβάλλον (θερµική ισορροπία), οπότε το σώµα θα αποκτήσει µόνιµηκατάσταση. Η παραπάνω διαδικασία χαρακτηρίζεται ως µεταβατικό φαινόµενο.Στην περίπτωση που το σώµα βρισκόταν εντός φούρνου του οποίου ηθερµοκρασία µεταβάλλεται (για παράδειγµα περιοδικά) έχουµε µη µόνιµοφαινόµενο.

Για τον προσδιορισµό του µεταβαλλόµενου θερµοκρασιακού πεδίου εντός του σώµατος θα πρέπει να λυθεί η εξίσωση διάχυσης (µε τον µη µόνιµο όρο). Ηεπίλυση της παραπάνω διαφορικής µπορεί να γίνει αριθµητικά, αλλά για συγκεκριµένες περιπτώσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν απλοποιητικές αναλυτικές µέθοδοι, όπως η µέθοδος της εντοπισµένης χωρητικότητας, η οποία αναλύεται στη συνέχεια.

5.2 ΗΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΕΝΗΣ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Ας θεωρήσουµε ένα απλό αλλά κλασικό µεταβατικό πρόβληµα µετάδοσης θερµότητας. Ένα θερµό σώµα τοποθετείται απότοµα σε περιβάλλον διαφορετικής (µικρότερης) θερµοκρασίας, για παράδειγµα ένα θερµό µέταλλο τοποθετείται σε λουτρό νερού χαµηλότερης θερµοκρασίας. Αρχικά το σώµα έχει παντού στο εσωτερικό του οµοιόµορφη θερµοκρασία iT , ενώ η θερµοκρασία του λουτρού είναι ∞T . Η αρχή των χρόνων ( )0=t θεωρείται τη στιγµή που γίνεται ηεµβάπτιση του σώµατος στο λουτρό. Λόγω της θερµοκρασιακής διαφοράς θερµότητα µεταδίδεται µε συναγωγή από το σώµα προς το λουτρό, οπότε ηθερµοκρασία του σώµατος µειώνεται σταδιακά µέχρι που τελικά θα εξισωθεί µετη θερµοκρασία του λουτρού. Θεωρούµε ότι η δεξαµενή είναι αρκετά µεγάλη,



ώστε να µην σηµειώνεται σηµαντική αύξηση της θερµοκρασίας του λουτρού.

Η µέθοδος της εντοπισµένης χωρητικότητας στηρίζεται στην υπόθεση ότι σε κάθε χρονική στιγµή η θερµοκρασία στο εσωτερικό του σώµατος θεωρείται οµοιόµορφη, δηλαδή δεν εµφανίζονται θερµοκρασιακές κλίσεις στο εσωτερικό του σώµατος. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι το σώµα έχει άπειρο συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας, κάτι το οποίο είναι φυσικά αδύνατο. Όµως η παραπάνω υπόθεση µπορεί να προσεγγιστεί στην περίπτωση που η θερµική αντίσταση αγωγής στο εσωτερικό του σώµατος είναι πολύ µικρότερη σε σχέση µε τη θερµική αντίσταση συναγωγής στην επιφάνεια του σώµατος. Αυτή θα είναι και ηαναγκαία συνθήκη για να µπορεί να εφαρµοστεί η συγκεκριµένη µέθοδος.

Αφού θεωρήθηκε ότι δεν υπάρχουν θερµοκρασιακές κλίσεις στο εσωτερικό του σώµατος δεν είναι δυνατόν να εφαρµοστεί η εξίσωση διάχυσης. Αντί αυτής θα χρησιµοποιηθεί θερµικός ισολογισµός στα όρια του σώµατος (εφαρµογή του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου).

.... AOoutAOoutin EEEEEE =−⇒=+− παρ

ή

dtdTcVTTAh s ρ=−− ∞ )(

όπου ρ η πυκνότητα του σώµατος, V ο όγκος του και c η ειδική θερµοχωρητικότητα του σώµατος.

Εισάγουµε τον µετασχηµατισµό της θερµοκρασίας:

∞−≡ TTθ

οπότε

dtdT

dtd =θ

και ο ισολογισµός θερµότητας γίνεται:

θθρ−=

dtd

AhcV

s

∆ιαχωρίζοντας τις µεταβλητές στην παραπάνω σχέση και ολοκληρώνοντας προκύπτει:

∫∫ −=⇒−=t

ss

dtdAh

cVdtdAh

cV

i 0

θ

θ θθρ

θθρ

όπου



∞−≡ TTiiθ

Εκτελώντας την ολοκλήρωση προκύπτει:

−=⇒= t

cVAh

tAh

cV s

i

i

s ρθθ

θθρ expln

Με βάση την παραπάνω σχέση είναι δυνατόν να προσδιοριστεί ο χρόνος που απαιτείται ώστε το σώµα να φτάσει σε συγκεκριµένη θερµοκρασία T , ήαντίστροφα να υπολογιστεί η θερµοκρασία του σώµατος µετά από συγκεκριµένο χρόνο. Όπως δείχνει η παραπάνω σχέση η θερµοκρασιακή διαφορά µεταξύ σώµατος και ρευστού µειώνεται εκθετικά και προσεγγίζει ασυµπτωτικά το 0 καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο. Η ποσότητα ( ) ( )( )sAhcVρ είναι ουσιαστικά η θερµική χρονική σταθερά, η οποία καθορίζει το ρυθµό µείωσης της θερµοκρασιακής διαφοράς µεταξύ σώµατος και ρευστού.

Η θερµική χρονική σταθερά µπορεί να γραφτεί:

( ) tts

t CRcVAh

=

= ρτ 1

όπου tR η θερµική αντίσταση συναγωγής από την επιφάνεια του σώµατος και tCη εντοπισµένη θερµοχωρητικότητα του σώµατος (το γινόµενο της µάζας του σώµατος επί την ειδική του θερµοχωρητικότητα). Ονοµάζεται εντοπισµένη διότι θεωρείται συγκεντρωµένη σε ένα σηµείο, αφού το σώµα θεωρείται ότι έχει παντού στο εσωτερικό του την ίδια θερµοκρασία κάθε χρονική στιγµή.

Αυξηµένες τιµές της χρονικής σταθεράς (της θερµικής αντίστασης ή της εντοπισµένης θερµοχωρητικότητας ή και των δύο) οδηγούν σε αυξηµένο απαιτούµενο χρόνο για να επιτευχθεί θερµική ισορροπία µεταξύ του σώµατος και του ρευστού. Η παραπάνω συµπεριφορά είναι ανάλογη της πτώσης τάσης σε πυκνωτή που αποφορτίζεται µέσω αντίστασης σε κύκλωµα RC .

Η συνολική µεταδιδόµενη θερµότητα Q σε χρόνο t υπολογίζεται µε απλή χρονική ολοκλήρωση της θερµοροής:

( ) ..00

exp1 AOt

i

tt

s EtcVdtAhdtqQ ∆−=

−−=== ∫∫ τ

θρθ

όπου ..AOE∆ η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του σώµατος.

5.3 ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟ∆ΟΥ ΕΝΤΟΠΙΣΜΕΝΗΣ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Για να εξαχθεί κάποιο χρήσιµο κριτήριο, όσον αφορά την εγκυρότητα της



µεθόδου, ας θεωρήσουµε τη µονοδιάστατη αγωγή θερµότητας, σε µόνιµηκατάσταση, µέσα από ένα τοίχο εµβαδού A . Αν και το πρόβληµα που εξετάζεται είναι µόνιµο, τα συµπεράσµατα που θα εξαχθούν έχουν εφαρµογή και σε µεταβατικά φαινόµενα (Σχήµα 5.1).

Έστω ότι η µία πλευρά του τοίχου διατηρείται σε σταθερή θερµοκρασία 1T , ενώ η δεύτερη πλευρά εκτίθεται σε κινούµενο ρευστό θερµοκρασίας ∞T

µικρότερης της 1T . Η θερµοκρασία 2T της δεύτερης πλευράς θα βρίσκεται κάπου µεταξύ των δύο παραπάνω θερµοκρασιών, δηλαδή (Σχήµα 5.1):

12 TTT <<∞

Η εφαρµογή του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου στη δεύτερη επιφάνεια,υπό µόνιµες συνθήκες, δίνει:

)()( 221 ∞−=−⇒= TTAhTTLAkEE outin

Η παραπάνω σχέση τροποποιείται και γίνεται:

( )( ) Bi

kLh

RR

AhAkL

TTTT

≡===−−

∞ συναγ

αγωγ

/1/

2

21

Η ποσότητα ( )kLh / είναι µια αδιάστατη παράµετρος που ονοµάζεται αριθµός Biot και παίζει σηµαντικότατο ρόλο σε προβλήµατα που συνδυάζουν αγωγή και συναγωγή. Όπως φαίνεται καθαρά από την προηγούµενη σχέση,αποτελεί ένα µέτρο της µεταβολής της θερµοκρασίας στο εσωτερικό του σώµατος σε σχέση µε τη µεταβολή της θερµοκρασίας µεταξύ της επιφάνειας του σώµατος και του ρευστού.

Στην περίπτωση που ο αριθµός Bi είναι πολύ µικρότερος της µονάδος, τότε υπάρχει µικρή µόνο µεταβολή της θερµοκρασίας στο εσωτερικό του σώµατος,οπότε πολύ λογικά µπορεί να υποτεθεί ότι η θερµοκρασία εντός του σώµατος είναι οµοιόµορφη, ακόµη και στην περίπτωση µεταβατικών φαινοµένων (για κάθε χρονική στιγµή). Στην περίπτωση αυτή, όπως δείχνει και η παραπάνω σχέση, η θερµική αντίσταση αγωγής στο εσωτερικό του σώµατος είναι πολύ µικρότερη της θερµικής αντίστασης συναγωγής στην επιφάνεια του σώµατος.

Ας θεωρήσουµε στη συνέχεια ένα επίπεδο σώµα οµοιόµορφης αρχικής θερµοκρασίας iT το οποίο βυθίζεται σε κινούµενο ρευστό θερµοκρασίας ∞Tµικρότερης της iT (Σχήµα 5.2). Για αριθµό Bi πολύ µικρότερο της µονάδος ηθερµοκρασιακή κλίση εντός του σώµατος είναι πολύ µικρή οπότε µπορούµε σε κάθε χρονική στιγµή να θεωρήσουµε τη θερµοκρασία εντός του σώµατος παντού οµοιόµορφη (διαφορετική όµως για κάθε χρονική στιγµή). Στην πράξη όλη ηθερµοκρασιακή διαφορά εµφανίζεται µεταξύ της επιφάνειας του σώµατος και του ρευστού. Για µεγάλες τιµές όµως του αριθµού Bi οι θερµοκρασιακές διαφορές εντός του σώµατος γίνονται σηµαντικές και στην περίπτωση που οαριθµός Bi γίνεται πολύ µεγαλύτερος της µονάδας η θερµοκρασιακές µεταβολές εντός του σώµατος είναι πολύ µεγαλύτερες από αυτές µεταξύ της επιφάνειας του



σώµατος και του ρευστού.

Οι παραπάνω παρατηρήσεις εξάγουν ένα σηµαντικό κριτήριο, όσον αφορά στη δυνατότητα εφαρµογής της µεθόδου εντοπισµένης χωρητικότητας. Το κριτήριο αυτό επιβάλει ότι:

1.0<=kLhBi c

όπου cL ένα χαρακτηριστικό µήκος του σώµατος. Στην περίπτωση πολύπλοκων σωµάτων το χαρακτηριστικό µήκος λαµβάνεται ως ο λόγος του όγκου προς την επιφάνεια του σώµατος, δηλαδή:

sc AVL /≡

Για απλά γεωµετρικά σχήµατα το χαρακτηριστικό µήκος θα πρέπει να συνδεθεί µε τη µέγιστη θερµοκρασιακή µεταβολή εντός του σώµατος. Για παράδειγµα σε ένα κύλινδρο µεγάλου µήκους είναι η ακτίνα, σε µια σφαίρα επίσης η ακτίνα, ενώ σε ένα τοίχο το ήµισυ του πάχους του.

Επιστρέφοντας στη µέθοδο της εντοπισµένης χωρητικότητας, ηθερµοκρασιακή µεταβολή εκφράζεται από τη σχέση:

−=

−−

=∞

∞ tcV

AhTTTT s

ii ρθθ exp

Ο εκθετικός όρος µπορεί να γραφεί σύµφωνα µε τα προηγούµενα:

FoBiL

tkLh

Lt

ck

kLh

Lcth

cVtAh

c

c

c

c

c

s ⋅==== 22

αρρρ

όπου µε Fo συµβολίζεται ο αριθµός Fourier, που αποτελεί στην ουσία αδιάστατη χρονική παράµετρο που χαρακτηρίζει µεταβατικά φαινόµενα µετάδοσης θερµότητας µε αγωγή:

2cLtFo α

≡

Αντικαθιστώντας στη σχέση της µεθόδου εντοπισµένης χωρητικότητας προκύπτει ότι:

[ ]FoBiTTTT

ii

⋅−=−−

=∞

∞ expθθ



ΣΧΗΜΑ 5.1 Επίδραση του αριθµού Biot στην θερµοκρασιακή διανοµήεντός επίπεδου τοίχου,µε συναγωγή στη µία πλευρά του, υπό µόνιµηκατάσταση.

ΣΧΗΜΑ 5.2 Μεταβατικές διανοµές θερµοκρασίας σε επίπεδο τοίχο, ο οποίος ψύχεται συµµετρικά µεσυναγωγή, για διαφορετικούς αριθµούς Biot.

5.4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ∆ΙΑΦΟΡΩΝ ΓΙΑ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Οι αναλυτικές µέθοδοι σε µη µόνιµα και µεταβατικά προβλήµατα έχουν εφαρµογή σε περιορισµένες και απλοποιηµένες περιπτώσεις. Σε πραγµατικά προβλήµατα βρίσκουν εφαρµογή οι αριθµητικές µέθοδοι. Στην παράγραφο αυτή θα αναπτυχθούν οι µέθοδοι πεπερασµένων διαφορών που χρησιµοποιούνται για την περίπτωση µεταβατικών φαινοµένων, και οι οποίες αποτελούν γενίκευση των µεθόδων που παρουσιάστηκαν στο αντίστοιχο κεφάλαιο για µόνιµα προβλήµατα.Οι µέθοδοι επίλυσης διακρίνονται σε ρητές (explicit) και σε πεπλεγµένες

Τ1 Τ2

∞T

Bi << 1

Bi = 1

Bi >> 1

L

Ti

∞T

Bi << 1

Ti

∞T

Bi >> 1 -L L



(implicit).

Ας θεωρήσουµε την εξίσωση διάχυσης σε δύο διαστάσεις, χωρίς πηγές θερµότητας και µε σταθερές τις παραµέτρους του σώµατος.

2

2

2

21yT

xT

tT

∂∂+

∂∂=

∂∂

α

Για την διακριτοποίηση της παραπάνω εξίσωσης στο χώρο θα χρησιµοποιηθούν κεντρικές διαφορές (όπως ήδη έγινε σε προηγούµενο κεφάλαιο). Επειδή όµως υπάρχει και παράγωγος ως προς το χρόνο, θα πρέπει να γίνει και διακριτοποίηση στη διεύθυνση του χρόνου. Για τη διακριτοποίηση ως προς το χρόνο εισάγεται χρονικό βήµα t∆ , το οποίο δίνει διακριτά χρονικά σηµεία µε τη σχέση:

tpt ∆=

όπου p ακέραιος αριθµός. Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο µπορεί να προσεγγιστεί µε πρόσω διαφόριση:

tTT

tT p

jip

jip

ji ∆

−≈

∂∂ +

,1

,

,

Στην περίπτωση που οι χωρικές παράγωγοι υπολογίζονται στη (γνωστή)χρονική στιγµή p , προκύπτει η ρητή µέθοδος επίλυσης, και η διαφορική γράφεται προσεγγιστικά (σε έναν εσωτερικό κόµβο του πλέγµατος) κατά τα γνωστά:

( ) ( )2,1,1,

2,,1,1,

1, 221

y

TTT

x

TTTtTT p

jip

jip

jip

jip

jip

jip

jip

ji

∆

−++

∆

−+=

∆

− −+−++

α

Ο µόνος άγνωστος στην παραπάνω σχέση είναι η θερµοκρασία τη χρονική στιγµή ( )1+p , στον κόµβο ( )ji, . Θεωρώντας ότι yx ∆=∆ , προκύπτει τελικά:

( ) pji

pji

pji

pji

pji

pji TFoTTTTFoT ,1,1,,1,11

, )41( −++++= −+−++

όπου Fo είναι η µορφή του αριθµού Fourier εκφρασµένη σε πεπερασµένες διαφορές:

( )2xtFo

∆∆= α

Όπως είναι φανερό, στην παραπάνω µέθοδο η τιµή της θερµοκρασίας σε κάθε κόµβο µία χρονική στιγµή προκύπτει ρητά από τις τιµές της θερµοκρασίας στον ίδιο και στους γειτονικούς του κόµβους την προηγούµενη χρονική στιγµή(που είναι γνωστές). ∆εν απαιτείται δηλαδή η λύση κάποιου συστήµατος εξισώσεων, αλλά υπολογίζονται ανεξάρτητα και διαδοχικά οι θερµοκρασίες σε



κάθε κόµβο του πλέγµατος.

Η οριακή συνθήκη που απαιτείται για την πρώτη παράγωγο ως προς το χρόνο είναι µία (αφού είναι πρώτη παράγωγος), και ονοµάζεται αρχική συνθήκη. Αυτή απαιτεί, όπως είναι φανερό, να είναι γνωστή η θερµοκρασία σε κάθε κόµβο του πλέγµατος τη χρονική στιγµή 0=t . Έτσι µε χρονική προέλαση,είναι δυνατός ο υπολογισµός των θερµοκρασιών σε κάθε κόµβο και σε κάθε διακριτή χρονική στιγµή (οι οποίες απέχουν µεταξύ τους σταθερή απόσταση

t∆ ).

Η ακρίβεια της µεθόδου αυξάνεται µειώνοντας τα x∆ και t∆ , εις βάρος όµως των υπολογιστικών πόρων (χρόνου και µνήµης). Το παραπάνω σχήµα,όπως αποδεικνύεται είναι υπό συνθήκη ευσταθές. Αν δηλαδή δεν ικανοποιείται συγκεκριµένη συνθήκη, ο υπολογισµός χαρακτηρίζεται από ταλαντώσεις και ηαριθµητική λύση αποκλίνει από την πραγµατική λύση. Η συνθήκη που απαιτείται για ευστάθεια της λύση έχει να κάνει µε το χρονικό βήµα ( t∆ ) που χρησιµοποιείται, το οποίο πρέπει να είναι µικρότερο από κάποιο όριο. Ηπαραπάνω συνθήκη καλείται κριτήριο ευστάθειας (stability criterion).

Για το συγκεκριµένο πρόβληµα το κριτήριο ευστάθειας απαιτεί όπως οσταθερός συντελεστής του όρου που αφορά στο συγκεκριµένο κόµβο ( )ji, να είναι µεγαλύτερος ή ίσος του µηδενός, δηλαδή (για τη δισδιάστατη περίπτωση):

41041 ≤⇒≥− FoFo

Με το παραπάνω κριτήριο είναι δυνατός ο προσδιορισµός του µέγιστου επιτρεπόµενου χρονικού βήµατος για δεδοµένες τιµές του x∆ και του α .

Η έκφραση πεπερασµένων διαφορών µπορεί να προκύψει και µε τη χρήση του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου, ενώ είναι ακριβώς αυτός ο τρόπος που χρησιµοποιείται για την εξαγωγή των αλγεβρικών εξισώσεων στους οριακούς κόµβους.

Ας θεωρήσουµε την περίπτωση µονοδιάστατης αγωγής σε επίπεδο τοίχο µεσυναγωγή στην επιφάνειά του (Σχήµα 5.3). Ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος σε όγκο αναφοράς στην επιφάνεια του τοίχου γράφεται:

..AOin EEE =+ παρ

Θεωρούµε, όπως και προηγουµένως, ότι όλη η θερµοροή εισέρχεται στον όγκο αναφοράς, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται (για απουσία πηγών θερµότητας):

( ) ( )1

0 00 1 0 2

p pp p p T Tk A xh A T T T T c A

x tρ

+

∞

−∆− + − =

∆ ∆

όπου A η επιφάνεια του όγκου αναφοράς πάνω στην εξωτερική πλευρά του τοίχου, ενώ ο δείκτης 0 αναφέρεται στον κόµβο πάνω στην εξωτερική επιφάνεια.Λύνοντας ως προς τη θερµοκρασία στον κόµβο 0 τη χρονική στιγµή ( )1+p



προκύπτει:

( )( )

( ) ppppp TTTx

tTTxcthT 00120

10

22 +−∆

∆+−∆∆= ∞

+ αρ

Επειδή

FoBix

tk

xhxcth 222

2 =

∆

∆

∆=

∆∆ α

ρ

η παραπάνω σχέση γίνεται:

( ) ( ) ppp TFoBiFoTBiTFoT 011

0 2212 −−++= ∞+

όπου

kxhBi /∆=

Όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως, το κριτήριο ευστάθειας απαιτεί όπως ο συντελεστής του pT0 να είναι µη αρνητικός, οπότε:

( ) 0221 ≥−− FoBiFo

ή

( )211 ≤+ BiFo

Οι εσωτερικοί και οι εξωτερικοί κόµβοι οδηγούν σε διαφορετικά κριτήρια ευστάθειας. Από αυτά επιλέγεται το πιο αυστηρό για τον καθορισµό του χρονικού βήµατος.

Πεπλεγµένη µέθοδος

Στην προηγούµενη µέθοδο η θερµοκρασία σε έναν κόµβο εξαρτάται από τις θερµοκρασίες στον ίδιο και τους γειτονικούς κόµβους την προηγούµενη χρονική στιγµή. Στην πεπλεγµένη µέθοδο, η θερµοκρασία σε κάποιο κόµβο εξαρτάται από τις θερµοκρασίες στους γειτονικούς κόµβους την ίδια χρονική στιγµή και τη θερµοκρασία στον ίδιο κόµβο την προηγούµενη χρονική στιγµή.Ενώ η προηγούµενη µέθοδος (η ρητή) είναι υπό συνθήκη ευσταθής, ηπεπλεγµένη είναι πάντα ευσταθής (unconditionally stable), ανεξάρτητα του χρονικού βήµατος που επιλέγεται, οπότε µπορούν να χρησιµοποιηθούν µεγαλύτερα χρονικά βήµατα (µε µείωση όµως της ακρίβειας για µεγάλα χρονικά βήµατα).

Για την εξαγωγή της πεπλεγµένης µεθόδου χρησιµοποιείται πίσω διαφόριση για το χρόνο, ενώ οι χωρικές παράγωγοι γράφονται την ( )1+pχρονική στιγµή, δηλαδή:



tTT

tT p

jip

jip

ji ∆

−≈

∂∂ ++

,1

,1

,

και

( ) ( )2

1,

11,

11,

2

1,

1,1

1,1,

1, 221

yTTT

xTTT

tTT p

jip

jip

jip

jip

jip

jip

jip

ji

∆

−++

∆

−+=

∆

− ++−

++

++−

++

+

α

Για yx ∆=∆ , η παραπάνω σχέση γίνεται:

( ) ( ) pji

pji

pji

pji

pji

pji TTTTTFoTFo ,

11,

11,

1,1

1,1

1,41 =+++−+ +

−++

+−

++

+

Η παραπάνω σχέση συνδέει την άγνωστη θερµοκρασία στον κόµβο ( )ji, τη χρονική στιγµή ( )1+p µε τις εν γένει άγνωστες γειτονικές θερµοκρασίες την ίδια χρονική στιγµή. Άρα οι εξισώσεις σε κάθε κόµβο πρέπει να λυθούν ταυτόχρονα, ως σύστηµα για να προκύψει η θερµοκρασιακή διανοµήκάθε χρονική στιγµή, όπως δηλαδή γίνεται για την περίπτωση του µόνιµου πεδίου θερµοκρασίας.

Η έκφραση πεπερασµένων διαφορών µπορεί να προκύψει και µε τη χρήση του Πρώτου Θερµοδυναµικού Νόµου, ενώ είναι ακριβώς αυτός ο τρόπος που χρησιµοποιείται για την εξαγωγή των αλγεβρικών εξισώσεων στους οριακούς κόµβους, µε τρόπο αντίστοιχο µε τη ρητή µέθοδο.

ΣΧΗΜΑ 5.3 Όγκος αναφοράς και πλέγµα για την ανάπτυξη της αλγεβρικής εξίσωσης στον οριακό κόµβο, µεταυτόχρονη παρουσία αγωγής και συναγωγής,σε µεταβατικό φαινόµενο.

5.5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΟΓΚΩΝ ΣΕ ΜΗ ∆ΟΜΗΜΕΝΑ ΠΛΕΓΜΑΤΑ

Η εξίσωση διάχυσης θερµότητας και γενικότερα οι νόµοι διατήρησης µπορούν να εκφραστούν τόσο σε διαφορική όσο και σε ολοκληρωτική µορφή. Η

Τ0 Τ1 Τ2

hT ,∞

Α

∆x



ολοκληρωτική µορφή της εξίσωσης διάχυσης θερµότητας είναι ο Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος. Όταν διακριτοποιείται η διαφορική µορφή της εξίσωσης τότε προκύπτουν οι εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών. Αντίστοιχα,όταν εκφράζεται η ολοκληρωτική µορφή της εξίσωσης σε κατάλληλους στοιχειώδεις όγκους, τότε προκύπτει η αριθµητική µέθοδος επίλυσης των πεπερασµένων όγκων.

Μία άλλη µέθοδος η οποία χρησιµοποιεί την ολοκληρωτική µορφή των εξισώσεων είναι η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων, η οποία όµως δεν θα µας απασχολήσει στο παρόν κείµενο.

Ενώ η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών απαιτεί για την εφαρµογή της ένα κανονικό δοµηµένο πλέγµα µε διακριτές διευθύνσεις ( )kji ,, , για την εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων όγκων δεν απαιτείται η χρήση δοµηµένου πλέγµατος (Σχήµα 5.4). Τα µη δοµηµένα πλέγµατα µπορούν να προσαρµοστούν πολύ πιο εύκολα σε πολύπλοκες γεωµετρίες, µειώνοντας τα αριθµητικά σφάλµατα που προκύπτουν από την µη σωστή προσαρµογή των δοµηµένων πλεγµάτων, ειδικά στα όρια του χωρίου. Τυπικά τα µη δοµηµένα πλέγµατα αποτελούνται από τρίγωνα στις 2 διαστάσεις και τετράεδρα στις 3. Υπάρχουν όµως και µη δοµηµένα πλέγµατα µε διαφορετικής µορφής δοµικά στοιχεία.

ΣΧΗΜΑ 5.4 ∆οµηµένο (αριστερά)και µη δοµηµένο (δεξιά)διδιάστατο πλέγµα.

Θα θεωρήσουµε στη συνέχεια τη διδιάστατη µορφή της εξίσωσης διάχυσης θερµότητας, την οποία θα ολοκληρώσουµε σε κάποιο τυχαίο εσωτερικό τρίγωνο ενός µη δοµηµένου πλέγµατος. Ως εσωτερικά ορίζονται τα τρίγωνα των οποίων καµία πλευρά δεν ανήκει στο εξωτερικό όριο του χωρίου, ενώ ως εξωτερικά ορίζονται τα τρίγωνα των οποίων έστω και µία πλευρά ανήκει στο εξωτερικό όριο του χωρίου.

Σε κάθε τρίγωνο οι κορυφές αριθµούνται µε φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού (µαθηµατικά θετική φορά). Απέναντι από µία κορυφή βρίσκεται ηαντίστοιχη πλευρά της, ενώ η πλευρά αυτή συνορεύει µε το αντίστοιχο γειτονικό τρίγωνο. Για παράδειγµα απέναντι από την κορυφή C1 βρίσκεται η πλευρά E1 ηοποία συνορεύει µε το γειτονικό τρίγωνο N1 (Σχήµα 5.5).

i

j



Η διακριτοποίηση που θα ακολουθηθεί στη συνέχεια ονοµάζεται κεντροκυψελική (cell - centered). Σύµφωνα µε την κεντροκυψελική διακριτοποίηση, η επίλυση της εξίσωσης πραγµατοποιείται για κόµβους στο κέντρο κάθε κυψέλης (τριγώνου), ενώ ο όγκος αναφοράς στον οποίο πραγµατοποιείται η ολοκλήρωση, είναι το ίδιο το τρίγωνο. Η εναλλακτική µορφή διακριτοποίησης ονοµάζεται κεντροκοµβική (vertex – centered), στην οποία οόγκος αναφοράς περιβάλλει τους κόµβους του πλέγµατος και περιλαµβάνει τµήµατα από όλα τα γειτονικά τρίγωνα.

ΣΧΗΜΑ 5.5 Όγκος αναφοράς για την ολοκλήρωση της διαφορικής εξισώσεως διάχυσης.

Η διαφορική εξίσωση διάχυσης θερµότητας σε δύο διαστάσεις γράφεται στη γενική µορφή:

∂∂+

∂∂=

∂∂

2

2

2

2

yT

xTa

tT

όπου a σταθερά (για απλότητα έχει αφερεθεί ο όρος πηγών θερµότητας).

Ολοκληρώνοντας την παραπάνω εξίσωση στον όγκο αναφοράς cba (Σχήµα 5.5) προκύπτει:

dydxyT

xTadydx

tT

cbacba ∫∫

∂∂+

∂∂=

∂∂

2

2

2

2

Το αριστερό ολοκλήρωµα διακριτοποιείται µε τον ακόλουθο τρόπο στο χρόνο, θεωρώντας τη θερµοκρασία στο σηµείο 4 ως τη µέση τιµή της θερµοκρασίας στο τρίγωνο cba :

cba

nn

cbacbaA

tTTdydx

tTdydx

tT

∆−

=

∂∂=

∂∂ +

∫∫ 41

4

C1 (a) C2 (b)

C3 (c)

E1

N1

1

23

4

i

jk

d

ef



όπου ο δείκτης n αντιστοιχεί στην παρούσα χρονική στιγµή όπου ηθερµοκρασία στο σηµείο 4 είναι γνωστή, ενώ ο δείκτης 1+n στην επόµενη χρονική στιγµή, στην οποία η θερµοκρασία στο σηµείο 4 είναι άγνωστη. Με

cbaA συµβολίζεται το εµβαδόν του τριγώνου.

Οι συντεταγµένες του σηµείου 4, καθώς και το εµβαδόν του τριγώνου δίδονται από τις σχέσεις:

( ) 3/4 cba xxxx ++=

( ) 3/4 cba yyyy ++=

( ) 2/cabcabacbacbcba yxyxyxyxyxyxA −−−++=

Η αρχική θερµοκρασία στο σηµείο 4 θα προκύψει από τις αρχικές θερµοκρασίες στις κορυφές του τριγώνου, σύµφωνα µε τη σχέση (µέσος όρος):

++

++=

cbac

nc

b

nb

a

nan

LLLLT

LT

LT

T444444

4111/

όπου µε L συµβολίζονται οι αντίστοιχες αποστάσεις των κορυφών από το σηµείο 4.

Επιστρέφοντας στο δεξί σκέλος της διαφορικής (RHS), ορίζουµε ως:

xTF∂∂=

και

yTG∂∂=

οπότε το αντίστοιχο σκέλος γίνεται:

( )∫∫∫ −=

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

cbacbacbadxGdyFdydx

yG

xFdydx

yT

xTRHS 2

2

2

2

Για την εξαγωγής της παραπάνω σχέσης χρησιµοποιήθηκε το θεώρηµα Green.

Το παραπάνω ολοκλήρωµα µπορεί να προσεγγιστεί, εάν θεωρήσουµεσταθερές τις τιµές των συναρτήσεων F και G σε κάθε πλευρά του τριγώνου, µετις τιµές τους ίσες µε τις αντίστοιχες τιµές στα µέσα των πλευρών ( )kji ,, . Στην περίπτωση αυτή το ολοκλήρωµα γίνεται:



( )( ) ( )cakbcjabicakbcjabi

cba

xGxGxGyFyFyF

dxGdyFRHS

∆+∆+∆−∆+∆+∆

=−= ∫

Οι τιµές των συναρτήσεων F και G στις θέσεις ( )kji ,, προκύπτουν ως ακολούθως, εάν θεωρήσουµε ότι αντιπροσωπεύουν τις µέσες τιµές στα αντίστοιχα τετράπλευρα που περιβάλλουν τα συγκεκριµένα σηµεία. Ως παράδειγµα το τετράπλευρο 41ba περιβάλει το σηµείο i .

4144

44

11

11

4141

/2222

/

baa

na

n

b

nnb

b

nb

n

a

nna

babai

i

AyTT

yTT

yTT

yTT

AdydxxT

xTF

∆

++∆

++∆

++∆

+

=

∂∂=

∂∂= ∫

Με αντίστοιχο τρόπο προκύπτουν και οι υπόλοιποι όροι. Τα εµβαδά των τριών τετραπλεύρων δίδονται ως συνάρτηση των εµβαδών των τριγώνων στα οποία ανήκουν:

( ) 3/41 bdacbaba AAA +=

και οµοίως για τα υπόλοιπα.

Η λύση του πεδίου προκύπτει από τον συνδυασµό του αριστερού µε το δεξί σκέλος της εξίσωσης, ως εξής (µε ρητή µέθοδο):

RHSA

taTTcba

nn ∆+=+4

14

Αφού σαρωθούν όλα τα εσωτερικά τρίγωνα, υπολογίζεται η νέα θερµοκρασία στο κέντρο κάθε τριγώνου. Στη συνέχεια πρέπει να ανανεωθούν οι θερµοκρασίες στους κόµβους του πλέγµατος. Αυτό γίνεται παίρνοντας τις µέσες τιµές των θερµοκρασιών στα κέντρα των τριγώνων που συνορεύουν µε τον κάθε κόµβο του πλέγµατος. Αν για παράδειγµα µε τον κόµβο a συνορεύουν 5 τρίγωνα (σχήµα 5.6), τότε η θερµοκρασία στον κόµβο a υπολογίζεται από τη σχέση:

= ∑∑

==

++

5

1

5

1

11 1

m amm am

nmn

a LLT

T

όπου m είναι τα κέντρα των τριγώνων που συνορεύουν µε τον κόµβο a .

Για τα οριακά τρίγωνα, εάν ισχύουν συνθήκες τύπου Dirichlet, ηθερµοκρασία στο κέντρο κάθε τριγώνου, προκύπτει από τη θερµοκρασία στις κορυφές του τριγώνου από τη σχέση:



++

++=

cbac

nc

b

nb

a

nan

LLLLT

LT

LT

T444444

4111/

Τη χρονική στιγµή 1=n θέτουµε παντού τη θερµοκρασία ίση µε 0 στους κεντρικούς κόµβους των εσωτερικών τριγώνων, ενώ στα οριακά τρίγωνα ηθερµοκρασία στους κεντρικούς κόµβους τους προκύπτει από την παραπάνω σχέση, λαµβάνοντας υπ’ όψιν τη θερµοκρασία στους οριακούς κόµβους, η οποία δίδεται από τις οριακές συνθήκες.

ΣΧΗΜΑ 5.6 Τα γειτονικά τρίγωνα στον κόµβο a. Με τις τιµές της θερµοκρασίας στα κέντρα τους ανανεώνεται ηθερµοκρασία στον κόµβο a του πλέγµατος.

a



6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ6.1 ΓΕΝΙΚΑ

Η µέχρι τώρα αναφορά µας στη συναγωγή περιοριζόταν στη χρησιµοποίησή της ως οριακής συνθήκης σε προβλήµατα αγωγής. Επιπλέον υποθέταµε σταθερούς και γνωστούς συντελεστές συναγωγής, πράγµα που απλοποιούσε εξαιρετικά το πρόβληµα.

Το φαινόµενο της συναγωγής είναι πολύ περισσότερο πολύπλοκο από τη µετάδοση θερµότητας µε αγωγή, διότι εξαρτάται κυρίως από τις λεπτοµέρειες της ροής του ρευστού. Αν και η συναγωγή περιέχει και µετάδοση θερµότητας µεθερµική διάχυση, είναι η µετάδοση θερµότητας µε µεταφορά που καθορίζει το φαινόµενο. Η µεταφορική κίνηση του ρευστού ευθύνεται για την µέση µετακίνηση των σωµατιδίων του, µεταφέροντας ταυτόχρονα και την εσωτερική τους ενέργεια.

Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε περισσότερο µε τους µηχανισµούς που κρύβονται πίσω από το φαινόµενο της συναγωγής, καθώς και µε τον ορισµόβασικών εννοιών, απαραίτητων για την ποσοτικοποίηση των σχετικών φαινοµένων.

Ας θεωρήσουµε τη ροή ρευστού ταχύτητας V και θερµοκρασίας ∞T πάνω από σώµα ακανόνιστου σχήµατος, επιφανειακού εµβαδού sA και σταθερής επιφανειακής θερµοκρασίας sT , διαφορετικής από αυτής του περιρρέοντος ρευστού. Η τοπική πυκνότητα θερµοροής δίδεται:

)( ∞−=′′ TThq s

όπου h ο τοπικός συντελεστής συναγωγής. Τόσο η τοπική πυκνότητα θερµοροής όσο και ο τοπικός συντελεστής συναγωγής µεταβάλλονται µε τη θέση πάνω στην επιφάνεια του σώµατος, λόγω της µεταβολής των χαρακτηριστικών της ροής. Η ολική θερµοροή προφανώς µπορεί να προκύψει µε την επιφανειακή ολοκλήρωση της πυκνότητας θερµοροής σε ολόκληρη την επιφάνεια του σώµατος, δηλαδή:

( ) ∫∫∫∫ ∞−=′′=SS A

sA

ss dAhTTdAqq

Εισάγοντας ένα µέσο συντελεστή συναγωγής h για ολόκληρη την επιφάνεια του σώµατος, η ολική θερµοροή µπορεί να εκφραστεί ως:

)( ∞−= TTAhq ss

οπότε από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει:



∫∫=SA

ss

dAhA

h 1

Στην περίπτωση σώµατος (όπως µία επίπεδη πλάκα) που το hµεταβάλλεται µόνο µε την αξονική θέση, η παραπάνω σχέση απλοποιείται και γίνεται:

∫=L

dxhL

h0

1

6.2 ΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Ας θεωρήσουµε τη ροή πάνω από µια επίπεδη πλάκα. Οι κρούσεις των σωµατιδίων ενός κινούµενου ρευστού µε το στερεό όριο ενός σώµατος έχουν ως αποτέλεσµα το µηδενισµό της µέσης ταχύτητας του ρευστού στο στερεό τοίχωµα(ή γενικότερα το µηδενισµό της σχετικής ταχύτητας του ρευστού ως προς το τοίχωµα).

Τα ανακλώµενα από το τοίχωµα σωµατίδια επιβραδύνουν τα γειτονικά τους σωµατίδια που βρίσκονται πιο µακριά από το τοίχωµα, ενώ η επίδραση αυτή µεταφέρεται σταδιακά και µε συνεχώς µειούµενη ένταση µακριά από το τοίχωµα. Έτσι προοδευτικά η µέση ταχύτητα του ρευστού (µεταφορική ταχύτητα) µεταπίπτει από τη µηδενική τιµή της επάνω στο τοίχωµα στην επ’άπειρον ταχύτητα του ρευστού (αδιατάρακτη ροή) µακριά από το τοίχωµα(Σχήµα 6.1). Η επιβράδυνση αυτή του ρευστού συνοδεύεται από την εµφάνιση διατµητικών τάσεων παράλληλων στο τοίχωµα. Η απόσταση από το τοίχωµαεντός της οποίας µεταβάλλεται η ταχύτητα µέχρι να φτάσει την επ’ άπειρον ταχύτητα ονοµάζεται πάχος οριακού στρώµατος και συµβολίζεται µε δ .Συνήθως το πάχος του οριακού στρώµατος ορίζεται συµβατικά ως εκείνη ηαπόσταση από το τοίχωµα στην οποία η ταχύτητα έχει φτάσει το 99% της επ’άπειρον ταχύτητας.

Ως προφίλ οριακού στρώµατος ορίζεται η διανοµή της ταχύτητας σε συνάρτηση µε την απόσταση από το τοίχωµα. Εντός του οριακού στρώµατος εµφανίζονται ισχυρές κλίσεις της ταχύτητας, µε αποτέλεσµα την εµφάνιση ισχυρών διατµητικών τάσεων. Απεναντίας, εκτός του οριακού στρώµατος οικλίσεις της ταχύτητας είναι σχετικά µικρές, και συνεπώς οι διατµητικές τάσεις είναι κατά πολύ µικρότερες, µε αποτέλεσµα η επίδραση της συνεκτικότητας να είναι µικρή έξω από το οριακό στρώµα. Το οριακό αυτό στρώµα, επειδή αναφέρεται στην κλίση της ταχύτητας, ονοµάζεται οριακό στρώµα ταχύτητας.

Για ένα Νευτώνειο Ρευστό, οι διατµητικές τάσεις µπορούν να υπολογιστούν από τη γνωστή σχέση του Newton:

yu

∂∂= µτ



όπου µ η δυναµική συνεκτικότητα του ρευστού, ενώ οι διατµητικές τάσεις πάνω στο τοίχωµα (για 0=y ) δίδονται προφανώς:

0=∂∂=

ys y

uµτ

Με βάση αυτές ορίζεται ο τοπικός συντελεστής τριβής (για εξωτερικές ροές) ως:

2/2∞

≡u

C sf ρ

τ

Το οριακό στρώµα αναπτύσσεται καθώς κινούµαστε κατάντη της ροής και αυξάνεται σε πάχος (Σχήµα 6.1).

ΣΧΗΜΑ 6.1 Η ανάπτυξη οριακού στρώµατος ταχύτητας πάνω από επίπεδη πλάκα.

6.3 ΤΟ ΘΕΡΜΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

Σε αναλογία µε το οριακό στρώµα ταχύτητας αναπτύσσεται και το θερµικό οριακό στρώµα, όταν υπάρχει διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ του ρευστού και του στερεού σώµατος. Ας θεωρήσουµε επίπεδη πλάκα σταθερής επιφανειακής θερµοκρασίας sT πάνω από την οποία ρέει ρευστό µικρότερης θερµοκρασίας

∞T . Στην αρχή της πλάκας (ακµή πρόσπτωσης) το θερµοκρασιακό προφίλ είναι οµοιόµορφο, µε τη θερµοκρασία παντού στο ρευστό ίση µε ∞T (Σχήµα 6.2). Μετά όµως την ακµή πρόσπτωσης, τα σωµατίδια του ρευστού που βρίσκονται σε επαφή µε την πλάκα έρχονται σε θερµική ισορροπία µε αυτή, αποκτούν δηλαδή θερµοκρασία sT . Τα σωµατίδια αυτά συναλλάσουν ενέργεια µε τα γειτονικά τους, οπότε η θερµοκρασία µεταπίπτει οµαλά από τη θερµοκρασία sT στο τοίχωµα στη θερµοκρασία ∞T µακριά από το τοίχωµα. Η περιοχή εντός της

δ



οποίας συντελείται η οµαλή µετάπτωση από τη θερµοκρασία του τοιχώµατος στη θερµοκρασία της επ’ άπειρον ροής ονοµάζεται θερµικό οριακό στρώµα. Το πάχος του θερµικού οριακού στρώµατος tδ ορίζεται ως η απόσταση από το τοίχωµα για την οποία ισχύει:

99.0=−−

∞TTTT

s

s

Καθώς αποµακρυνόµαστε από την ακµή προσβολής της πλάκας, ηµεταφορά ενέργειας επεκτείνεται βαθύτερα εντός του ρευστού και το πάχος του θερµικού οριακού στρώµατος µεγαλώνει (Σχήµα 6.2).

Στην επιφάνεια της πλάκας η µεταφορική ταχύτητα του ρευστού είναι µηδενική, οπότε η µεταφορά θερµότητας από την πλάκα στο ρευστό πραγµατοποιείται µόνο µε θερµική διάχυση. Ως αποτέλεσµα η πυκνότητα θερµοροής στην επιφάνεια θα δίδεται από τον Νόµο του Fourier:

0=∂∂

−=′′y

fs yTkq

όπου fk ο συντελεστής αγωγής του ρευστού.

Αφού το θερµικό οριακό στρώµα αναπτύσσεται κατάντη της ροής και µεγαλώνει το πάχος του είναι φυσικό να µικραίνει η θερµοκρασιακή κλίση στο τοίχωµα, άρα µειώνεται και η πυκνότητα θερµοροής καθώς µετακινούµαστε µακριά από την ακµή προσβολής της πλάκας. Το ίδιο συµβαίνει και για τον τοπικό συντελεστή συναγωγής, αφού ισχύει:

( )[ ]

( )∞

=

∞ −

∂∂−=

−′′

=TT

yTkTT

qhs

yf

s

s 0/

και η θερµοκρασιακή διαφορά έχει υποτεθεί σταθερή σε όλη την επιφάνεια της πλάκας.

ΣΧΗΜΑ 6.2 Ανάπτυξη θερµικού οριακού στρώµατος πάνω από επίπεδη πλάκα.

δt

∞T

Ts

∞Ty

x



ΣΧΗΜΑ 6.3 Στρωτή ροή γύρω από αεροδυναµικά σώµατα

6.4 ΣΤΡΩΤΗ ΚΑΙ ΤΥΡΒΩ∆ΗΣ ΡΟΗ

Στις χαµηλές ταχύτητες ροής για ρευστά µε µεγάλη τιµή της συνεκτικότητας, οι διατµητικές τάσεις λόγω της συνεκτικότητας δρουν ως σταθεροποιητές της ροής, αποσβένοντας τις τυχόν αναταράξεις εντός του ρευστού. Στη συγκεκριµένη περίπτωση η ροή χαρακτηρίζεται ως στρωτή, ενώ το πεδίο ροής περιγράφεται από γραµµές ροής «παράλληλες» µεταξύ τους (στρωµατοποιηµένες). Εντός του στρωτού οριακού στρώµατος (όπου κυριαρχούν οι δυνάµεις συνεκτικότητας) η ροή είναι επίσης στρωµατοποιηµένη, ενώ ηταχύτητα εµφανίζει συνιστώσες τόσο κατά την κύρια διεύθυνση της ροής όσο και κάθετα προς αυτήν (µε πολύ µικρότερο όµως µέτρο) – Σχήµα 6.3.

Η ροή εντός του τυρβώδους οριακού στρώµατος χαρακτηρίζεται από διαρκείς αναταράξεις της ταχύτητας. Οι αναταράξεις αυτές, σε µορφή ακανόνιστων µικροδινών ποικίλων µεγεθών, εντείνουν τη µεταφορά ορµής και



ενέργειας, αυξάνοντας την επιφανειακή τριβή αλλά και την θερµοροή λόγω συναγωγής (Σχήµα 6.4). Η ύπαρξη των µικροδινών αυξάνει την ανάµιξη του ρευστού και προκαλεί αύξηση του πάχους των οριακών στρωµάτων (ταχύτητας και θερµικό) µε µεγαλύτερο ρυθµό από ότι στο στρωτό. Τα προφίλ (διανοµές)της ταχύτητας και της θερµοκρασίας προκύπτουν πολύ πιο επίπεδα στο τυρβώδες από ότι στο στρωτό οριακό στρώµα, µε µεγαλύτερη κλίση της ταχύτητας και της θερµοκρασίας στο τοίχωµα (στο οποίο οφείλονται οι µεγαλύτερες τιµές της τριβής και της πυκνότητας θερµοροής).

ΣΧΗΜΑ 6.4 Στρωτό (πάνω) και τυρβώδες (κάτω) οριακό στρώµα.

Αν τοποθετηθεί µια λεία επίπεδη πλάκα σε µία οµοιόµορφη ροή, θα αρχίσει να αναπτύσσεται οριακό στρώµα ακριβώς από την ακµή της πλάκας. Το οριακό στρώµα αρχικά θα είναι στρωτό, αλλά σε κάποια απόσταση από την ακµήθα αρχίσουν να εµφανίζονται µικρές αναταράξεις εντός του οριακού στρώµατος,οι οποίες δεν έχουν σταθερή θέση ούτε εµφανίζονται συνεχώς. Η ζώνη αυτή ονοµάζεται ζώνη µετάβασης (transition region). Οι αναταράξεις αυτές στη συνέχεια αναπτύσσονται, καλύπτουν όλο το οριακό στρώµα και η ροή γίνεται πλήρως τυρβώδης (Σχήµα 6.4 – πάνω). Το οριακό στρώµα αποκτά σχετικά απότοµα µεγαλύτερο πάχος, ενώ η ροή εντός του χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη τρισδιάστατων σχηµατισµών – δινών, που εντείνουν την µεταφορά µάζας, θερµότητας και ορµής µεταξύ των διαφορετικών υψών εντός του οριακού στρώµατος (Σχήµα 6.5).

Το προφίλ του τυρβώδους οριακού στρώµατος µπορεί να χωριστεί σε τρεις περιοχές. Στην περιοχή πολύ κοντά στο τοίχωµα εµφανίζεται το λεγόµενο στρωτό οριακό υπόστρωµα, όπου η ροή είναι στρωτή και επικρατεί το φαινόµενο της διάχυσης, τόσο για τη µεταφορά ορµής όσο και θερµότητας. Στο υπόστρωµα η ταχύτητα µεταβάλλεται γραµµικά µε την απόσταση από το τοίχωµα. Πάνω από το υπόστρωµα υπάρχει µία µεταβατική περιοχή (buffer layer), όπου η διάχυση και η τυρβώδης ανάµιξη είναι συγκρίσιµες, ενώ στη συνέχεια ακολουθεί η τυρβώδης ζώνη (turbulent zone), όπου κυριαρχεί η



µετάδοση ορµής και θερµότητας λόγω της τυρβώδους ανάµιξης.

Ο Osborne Reynolds παρατήρησε ότι το σηµείο που συµβαίνει η µετάβαση από το στρωτό στο τυρβώδες οριακό στρώµα καθορίζεται από ένα σύνολο µεταβλητών. Η αδιάστατη παράµετρος που πρότεινε ονοµάζεται αριθµόςReynolds (Re) και δίδεται:

νµρ xUxU

x =≡Re

όπου x η απόσταση από την ακµή της πλάκας, U η ταχύτητα της αδιατάρακτης ροής πριν την πλάκα, ρ η πυκνότητα του ρευστού, µ η δυναµική και ν ηκινηµατική του συνεκτικότητα. Ως κρίσιµος αριθµός Reynolds ορίζεται η τιµήπου αντιστοιχεί στη θέση που αρχίζει η µετάβαση στην τυρβώδη ροή. Για επίπεδη πλάκα κυµαίνεται µεταξύ 105 και 3 x 106 (µε τυπική τιµή 5 x 105), ανάλογα µε την επιφανειακή τραχύτητα της πλάκας και το επίπεδο της τύρβης της αδιατάρακτης ροής.

ΣΧΗΜΑ 6.5 Μεταβολή του πάχους του οριακού στρώµατος ταχύτητας και του τοπικού συντελεστή συναγωγής, κατά τη µετάβαση από το στρωτό στο τυρβώδες οριακό στρώµα, σε ροή πάνω από επίπεδη πλάκα.

6.5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΤΡΩΜΑΤΩΝ

Ας θεωρήσουµε τη διδιάστατη µόνιµη ροή ενός ρευστού πάνω από µία επιφάνεια µε ταυτόχρονη παρουσία διαφοράς θερµοκρασίας µεταξύ του ρευστού και της επιφάνειας του σώµατος. Λόγω της παρουσίας της θερµοκρασιακής διαφοράς αναπτύσσεται, µαζί µε το οριακό στρώµα ταχύτητας και θερµικό οριακό στρώµα. Θεωρούµε ορθογώνιο Καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων µετη x διεύθυνση παράλληλα µε την επιφάνεια του σώµατος και την y διεύθυνση κάθετα στην επιφάνεια του σώµατος.

Η βασική εξίσωση που διέπει την κίνηση των ρευστών είναι η εξίσωση συνέχειας, η οποία, στη διαφορική της µορφή, γράφεται για τις δύο διαστάσεις και µόνιµο πεδίο ροής συµπιεστού ρευστού:

h(x)

δ(x)

Περιοχή µετάβασης



( ) ( ) 0=∂

∂+∂

∂y

vxu ρρ

Η παραπάνω εξίσωση είναι η έκφραση της αρχής διατήρησης της µάζας.

Η δεύτερη βασική εξίσωση που διέπει την κίνηση των ρευστών είναι ηεξίσωση της ορµής, η οποία αποτελεί έκφραση του ∆εύτερου Νόµου του Newton για τα ρευστά. Για τριδιάστατο µη µόνιµο πεδίο ροής µέσα σε πεδίο βαρύτητας,έχουµε στις τρεις διευθύνσεις, τις γνωστές εξισώσεις Navier-Stokes:

xgρzu

xwµ

zxv

yuµ

y

cdivµxuµ

xxp

DtDuρ

+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂

+

−

∂∂

∂∂+

∂∂

−= 322

ygρzv

ywµ

zyu

xvµ

x

cdivµyvµ

yyp

DtDvρ

+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂

+

−

∂∂

∂∂+

∂∂

−= 322

zgρzv

ywµ

yzu

xwµ

x

cdivµzwµ

zzp

DtDwρ

+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂

+

−

∂∂

∂∂+

∂∂

−= 322

όπου ο τελεστής Euler δίδεται:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )z

wy

vx

utDt

D∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

≡

µε τις τάσεις να δίδονται για νευτώνειο ρευστό:

xxxx p τσ +−=

yyyy p τσ +−=

zzzz p τσ +−=

cdivµxuµτ xx

322 −

∂∂=



cdivµyvµτ yy

322 −

∂∂=

cdivµzwµτ zz

322 −

∂∂=

∂∂+

∂∂=

xv

yuµτ xy

∂∂+

∂∂=

yw

zvµτ yz

∂∂+

∂∂=

xw

zuµτ xz

Για σταθερή πυκνότητα ρ και σταθερή δυναµική συνεκτικότητα µ ,προκύπτει:

gρc∆µpDt

cDρ ++−∇=

Που αναλύεται σε Καρτεσιανές συντεταγµένες:

xgρzu

yu

xuµ

xp

DtDuρ +

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

−= 2

2

2

2

2

2

ygρzv

yv

xvµ

yp

DtDvρ +

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

−= 2

2

2

2

2

2

zgρzw

yw

xwµ

zp

DtDwρ +

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

−= 2

2

2

2

2

2

Στις δύο διαστάσεις οι εξισώσεις γίνονται:

xgρxv

yu

y

yv

xu

xu

xxp

yuv

xuuρ

+

∂∂+

∂∂

∂∂

+

∂∂+

∂∂

−∂∂

∂∂+

∂∂

−=

∂∂+

∂∂

µ

µ322



ygρxv

yu

x

yv

xu

yv

yyp

yvv

xvuρ

+

∂∂+

∂∂

∂∂

+

∂∂+

∂∂

−∂∂

∂∂+

∂∂

−=

∂∂+

∂∂

µ

µ322

Οι δύο παραπάνω εξισώσεις µαζί µε την εξίσωση της συνέχειας περιγράφουν πλήρως την ανάπτυξη ενός διδιάστατου οριακού στρώµατος ταχύτητας.

Η εξίσωση ενέργειας σε διαφορική µορφή στις δύο διαστάσεις γράφεται:

qyv

xup

yTk

yxTk

xyev

xeu +Φ+

∂∂+

∂∂

−

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂ µρρ

όπου e η ειδική εσωτερική ενέργεια και Φµ η συνεκτική διάχυση ενέργειας,που δίδεται:

∂∂+

∂∂

−

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

≡Φ2222

322

yv

xu

yv

xu

xv

yuµµ

Ο παραπάνω όρος εκφράζει την κινητική ενέργεια που µετατρέπεται σε θερµότητα µε µη αντιστρεπτό τρόπο, λόγω της δράσης των δυνάµεων συνεκτικότητας.

Εισάγοντας την ειδική ενθαλπία από τη γνωστή σχέση:

ρpei +=

και χρησιµοποιώντας την εξίσωση της συνέχειας, η εξίσωση ενέργειας γίνεται:

qypv

xpu

yTk

yxTk

xyiv

xiu +Φ+

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂ µρρ

Για να εκφραστεί το αριστερό σκέλος της παραπάνω σχέσης ως συνάρτηση της θερµοκρασίας, πρέπει να είναι γνωστή η φύση του συγκεκριµένου ρευστού. Έτσι για τέλειο αέριο ως γνωστόν ισχύει:

dTcdi p=

και η παραπάνω εξίσωση γίνεται:

qypv

xpu

yTk

yxTk

xyTv

xTuc p +Φ+

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂ µρ



Στην περίπτωση που το ρευστό είναι ασυµπίεστο τότε:

vp cc =

dTcdTcde pv ==

και η εξίσωση συνέχειας γίνεται:

0=∂∂+

∂∂

yv

xu

ενώ η εξίσωση ενέργειας απλοποιείται και δίδεται:

qyTk

yxTk

xyTv

xTuc p +Φ+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂ µρ

Οι εξισώσεις που αναπτύχθηκαν προηγουµένως µπορούν να απλοποιηθούν σηµαντικά, θεωρώντας ασυµπίεστο ρευστό (πυκνότητα ρ σταθερή), σταθερές χαρακτηριστικές ιδιότητες του ρευστού ( µ,k κ.λπ.) αµελητέες πεδιακές δυνάµεις στο ρευστό (π.χ. δύναµη βαρύτητας) και απουσία όρων πηγής θερµότητας ( 0=q ).

Επιπλέον, µπορούν να εφαρµοστούν οι λεγόµενες απλοποιήσεις οριακού στρώµατος, οι οποίες προκύπτουν από το γεγονός του µικρού πάχους του οριακού στρώµατος σε σχέση µε την αδιατάρακτη ροή. Οι απλοποιήσεις αυτές είναι οι ακόλουθες:

Για το οριακό στρώµα ταχύτητας:

vu >>

xu

yu

∂∂>>

∂∂

yv

yu

∂∂>>

∂∂

xv

yu

∂∂>>

∂∂

Για το θερµικό οριακό στρώµα αντίστοιχα:

xT

yT

∂∂>>

∂∂

∆ηλαδή η ταχύτητα κάθετα στο τοίχωµα είναι πολύ µικρότερη από την ταχύτητα παράλληλα στο τοίχωµα, ενώ οι κλίσεις της θερµοκρασίας και της uσυνιστώσας είναι πολύ µεγαλύτερες σε διεύθυνση κάθετη στο τοίχωµα παρά στη



διεύθυνση της κύριας ροής (δηλαδή τα προφίλ µεταβάλλονται λίγο κατά τη xδιεύθυνση σε σχέση µε τη µεταβολή τους κατά την y διεύθυνση).

Με τις παραπάνω απλοποιήσεις οι διαφορικές εξισώσεις συνέχειας, ορµής και ενέργειας του οριακού στρώµατος γίνονται:

0=∂∂+

∂∂

yv

xu

2

21yu

xp

yuv

xuu

∂∂+

∂∂

−=∂∂+

∂∂ ν

ρ

Η εξίσωση της y -ορµής απλοποιείται και γίνεται:

0=∂∂

yp

δηλαδή η πίεση εντός του οριακού στρώµατος δεν µεταβάλλεται σε διεύθυνση κάθετη στο τοίχωµα, αλλά µόνο παράλληλα µε το τοίχωµα. Η εξίσωση ενέργειας γίνεται:

2

2

2

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂

yu

cyT

yTv

xTu

p

να

Όπως φαίνεται από τις παραπάνω σχέσεις, οι εξισώσεις συνέχειας και ορµής είναι ανεξάρτητες από την εξίσωση ενέργειας, για την περίπτωση ασυµπίεστου ρευστού µε σταθερά χαρακτηριστικά του ρευστού. Έτσι µπορεί να υπολογιστεί πρώτα το πεδίο ταχύτητας, να βρεθούν οι κλίσεις των συνιστωσών της ταχύτητας και µετά να λυθεί η εξίσωση ενέργειας, η οποία θα δώσει τη διανοµή της θερµοκρασίας.

6.6 Α∆ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ

Οι εξισώσεις των οριακών στρωµάτων µπορούν να κανονικοποιηθούν,εισάγοντας αδιάστατες παραµέτρους. Για το µήκος εισάγουµε:

Lxx ≡′

και

Lyy ≡′

όπου L κατάλληλο χαρακτηριστικό µήκος. Για την ταχύτητα:



Uuu ≡′

και

Uvv ≡′

όπου U η ταχύτητα της ελεύθερης ροής ανάντη της επιφάνειας. Για τη θερµοκρασία εισάγεται η αδιάστατη παράµετρος:

s

s

TTTTT

−−

≡′∞

ενώ για την πίεση:

2Upp

ρ≡′

Χρησιµοποιώντας τις παραπάνω παραµέτρους οι εξισώσεις των διδιάστατων οριακών στρωµάτων (ταχύτητας και θερµικό) γίνονται:

2

2

yu

LUxdpd

yvv

xuu

′∂′∂+

′′

−=′∂′∂′+

′∂′∂′ ν

και

2

2

yT

LUyTv

xTu

′∂∂=

′∂′∂′+

′∂′∂′ α

Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτουν δύο παράµετροι οµοιότητας. Οι αριθµοί αυτοί είναι ο αριθµός Reynolds:

µρ

νLULU

L =≡Re

και ο αριθµός Prandtl:

αν

≡Pr

Ο αριθµός Reynolds εκφράζει το λόγο των δυνάµεων αδρανείας προς τις δυνάµεις συνεκτικότητας (τριβής) εντός του ρευστού. Έτσι σε µεγάλες τιµές του Re επικρατούν οι αδρανειακές δυνάµεις, ενώ σε µικρές τιµές του επικρατούν οιδυνάµεις συνεκτικότητας. Έτσι σε µικρούς αριθµούς Re οι αναταράξεις στη ροή αποσβένονται, λόγω της επικράτησης των δυνάµεων συνεκτικότητας, µεαποτέλεσµα η ροή να διατηρείται στρωτή. Αντίθετα στους υψηλούς αριθµούς Re, απουσιάζει η αποσβεστική δράση των δυνάµεων συνεκτικότητας, µε



αποτέλεσµα οι αναταράξεις της ροής να µην εξοµαλύνονται αλλά να ενισχύονται, οπότε η ροή µεταπίπτει σε τυρβώδη. Η τιµή του αριθµού Re επιδρά και στο πάχος του οριακού στρώµατος. Για δεδοµένη θέση πάνω στην επιφάνεια,η αύξηση του Re σηµαίνει µείωση της επίδρασης της συνεκτικότητας, άρα µείωση και του πάχους του οριακού στρώµατος.

Ο αριθµός Prandtl είναι ο λόγος της διαχυτότητας της ορµής (που εκφράζεται από την κινηµατική συνεκτικότητα ν ) προς τη θερµική διαχυτότητα a . Αποτελεί ένα µέτρο της σχετικής αποτελεσµατικότητας της µεταφοράς ορµής και ενέργειας µέσω διάχυσης εντός του οριακού στρώµατος ταχύτητας και του θερµικού οριακού στρώµατος αντίστοιχα. Ο αριθµός Pr στα αέρια είναι κοντά στη µονάδα, το οποίο σηµαίνει ότι η µετάδοση ορµής και ενέργειας µέσω διάχυσης είναι συγκρίσιµες και ως αποτέλεσµα συγκρίσιµα είναι και τα πάχη των αντίστοιχων οριακών στρωµάτων (ταχύτητας και θερµικού). Στην περίπτωση των υγρών µετάλλων ο Pr είναι πολύ µικρότερος της µονάδος, οπότε το θερµικό οριακό στρώµα θα έχει πολύ µεγαλύτερο πάχος από το οριακό στρώµαταχύτητας. Στην περίπτωση ενός λιπαντικού ο Pr είναι πολύ µεγαλύτερος της µονάδος, οπότε το θερµικό οριακό στρώµα έχει πολύ µικρότερο πάχος από το αντίστοιχο οριακό στρώµα ταχύτητας.

Με τη χρήση των παραπάνω αριθµών και προσθέτοντας την εξίσωση συνέχειας έχουµε:

0=′∂′∂+

′∂′∂

yv

xu

2

2

Re1

yu

xdpd

yvv

xuu

L ′∂′∂+

′′

−=′∂′∂′+

′∂′∂′

2

2

PrRe1

yT

yTv

xTu

L ′∂∂=

′∂′∂′+

′∂′∂′

Οι παράµετροι οµοιότητας επιτρέπουν την εφαρµογή αποτελεσµάτων από µία περίπτωση σε µια άλλη γεωµετρικά όµοια περίπτωση υπό διαφορετικές συνθήκες ταχύτητας και θερµοκρασίας (αρκεί να υπάρχει ισότητα των παραµέτρων οµοιότητας).

Η αδιάστατη µορφή των εξισώσεων δίνει σηµαντικές πληροφορίες όσον αφορά την εξάρτηση των αγνώστων µεγεθών. Έτσι από την εξίσωση ορµής κατά την x διεύθυνση προκύπτει ότι η αδιάστατη ταχύτητα u′ είναι µια συνάρτηση της µορφής:

′′

′′=′xdpdyxfu L ,Re,,1

όπου η ταχύτητα v στην παραπάνω σχέση απουσιάζει αφού είναι συνάρτηση της u µέσω της εξίσωσης συνέχειας. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι:



′′

′=′∂′∂

=′ xdpdxf

yu

Ly

,Re,20

(όπου η επίδραση του y′ αφαιρείται αφού το διαφορικό ορίζεται σε συγκεκριµένο y′ ). Όµως (από τον ορισµό του) ο συντελεστής τριβής δίδεται:

02 Re

22/ =′

′∂′∂==

yL

sf y

uU

Cρ

τ

άρα

′′

′=xdpdxfC L

Lf ,Re,

Re2

2

Όµως η µεταβολή της πίεσης κατά τη x διεύθυνση είναι ένα µέγεθος που εξαρτάται καθαρά από τη γεωµετρία. Εποµένως για δεδοµένη γεωµετρία ηπαραπάνω σχέση γίνεται:

( )LL

f xfC Re,Re

22 ′=

Η παραπάνω πολύ σηµαντική σχέση δείχνει ότι ο συντελεστής τριβής είναι συνάρτηση µόνο του αριθµού Re και της θέσης για δεδοµένη γεωµετρία. Μπορεί (αν είναι γνωστή) να εφαρµοστεί για διαφορετικά ρευστά, διαφορετικές ταχύτητες ροής και διαφορετικά µεγέθη γεωµετρίας. Έτσι, αν ο Re κρατηθεί σταθερός, για όµοιες γεωµετρίες στην ίδια αδιάστατη θέση θα ισχύει ο ίδιος συντελεστής τριβής.

Ανάλογα αποτελέσµατα προκύπτουν από την εξέταση της εξίσωσης ενέργειας, η οποία (σε συνδυασµό µε την εξίσωση x -ορµής) δείχνει ότι ηαδιάστατη θερµοκρασία µπορεί να γραφεί σε µορφή συνάρτησης ως:

′′

′′=′xdpdyxfT L Pr,,Re,,3

Από τον υπολογισµό της πυκνότητας θερµοροής στο τοίχωµα προέκυψε στην αρχή του κεφαλαίου ότι:

( )[ ]

( )( )( ) [ ]

[ ] 0

00

/

//

=′

=′∞

∞

∞

=

∞

′∂′∂=

⇒′∂′∂−−

−=−

∂∂−=

−′′

=

yf

ys

sf

s

yf

s

s

yTL

kh

yTTTTT

Lk

TTyTk

TTqh

Από την παραπάνω σχέση προκύπτει µια άλλη σηµαντική παράµετρος για τη µετάδοση θερµότητας µε συναγωγή, που είναι ο αριθµός Nusselt:



0

Nu=′

′∂′∂=≡

yf yT

kLh

Ο αριθµός Nu ισούται µε την αδιάστατη κλίση της θερµοκρασίας στο στερεό τοίχωµα και δίνει ένα µέτρο της πυκνότητας θερµοροής στο τοίχωµα.Αποτελεί για το θερµικό οριακό στρώµα ότι αποτελεί ο συντελεστής τριβής για το οριακό στρώµα ταχύτητας. Έτσι αν είναι γνωστός ο αριθµός Nu, τότε είναι δυνατός ο υπολογισµός του h , άρα και της πυκνότητας θερµοροής στο συγκεκριµένο σηµείο.

Η σχέση που δίνει την εξάρτηση της αδιάστατης θερµοκρασίας τροποποιείται για την περίπτωση δεδοµένης γεωµετρίας ως:

( )Pr,Re,,3 LyxfT ′′=′

αφού η κλίση της πίεσης εξαρτάται µόνο από τη γεωµετρία. Συνδυάζοντας τις δύο προηγούµενες σχέσεις, ο αριθµός Nu προκύπτει ως συνάρτηση:

( )Pr,Re,Nu 4 Lxf ′=

Στην παραπάνω σχέση η εξάρτηση από το y′ δεν εµφανίζεται αφού ο Nu δίδεται από την αδιάστατη θερµοκρασιακή κλίση σε δεδοµένο y′ (=0). Ηπαραπάνω σχέση µας δείχνει ότι για δεδοµένη γεωµετρία (ανεξάρτητα της κλίµακάς της) ο Nu είναι συνάρτηση µόνο της αδιάστατης θέσης πάνω στη γεωµετρία, του ReL και του Pr. Άρα σε δύο γεωµετρικά όµοιες γεωµετρίες στις αντίστοιχες θέσεις, για ίδιο Re και Pr θα προκύπτει ο ίδιος Nu, οπότε εύκολα µπορεί να υπολογιστεί το h και η πυκνότητα θερµοροής στη δεύτερη γεωµετρία αν είναι γνωστά στην πρώτη. Οι αδιάστατοι παράµετροι Re και Pr µπορεί να είναι ίδιοι ακόµη και αν οι δύο γεωµετρίες περιβρέχονται από διαφορετικά ρευστά µε διαφορετικές ταχύτητες και διαφορετικές θερµοκρασίες.



7 ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΡΟΕΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ7.1 Η ΡΟΗ ΣΕ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥΣ ΣΩΛΗΝΕΣ

Ας θεωρήσουµε ευθύγραµµο σωλήνα σταθερής διατοµής στον οποίο εισέρχεται στρωτή ροή µε οµοιόµορφο προφίλ, από στρογγυλεµένο στόµιο. Με την είσοδο της ροής στο σωλήνα, αρχίζει να αναπτύσσεται οριακό στρώµα στα τοιχώµατα του σωλήνα, ενώ η ροή έξω από το οριακό στρώµα µπορεί (µε καλή προσέγγιση) να θεωρηθεί µη συνεκτική, λόγω της απουσίας κλίσεων ταχύτητας.Το οριακό στρώµα αναπτύσσεται κατάντη του στοµίου εισόδου, ενώ ο µησυνεκτικός πυρήνας της ροής µειώνεται, έως ότου το οριακό στρώµα καταλάβει ολόκληρο το σωλήνα. Από το σηµείο αυτό η ροή ονοµάζεται πλήρως ανεπτυγµένη.

ΣΧΗΜΑ 7.1 Η µεταβολή της πίεσης εντός ευθύγραµµου αγωγού.

Στρωτή ροή σε ευθύγραµµους σωλήνες εµφανίζεται µέχρι αριθµό2300Re ≈ (ανώτατη τιµή για στρωτή ροή σε ευθύγραµµους σωλήνες). Ο

αριθµός Re (Reynolds) για σωλήνες ορίζεται µε βάση της εσωτερική διάµετρο Dτου σωλήνα:

νDU

µDUρ

D =≡Re

όπου U η µέση ταχύτητα της ροής, που υπολογίζεται µε βάση την παροχή µάζας m :

c

A c

c A

dAu

AmU C

ρ

ρ

ρ∫

==

όπου cA το εµβαδόν της διατοµής του αγωγού. Για ασυµπίεστο ρευστό η µέση

p

x

Μεταβατικό µήκος Πλήρως ανεπτυγµένη ροή



ταχύτητα της ροής υπολογίζεται µε βάση την παροχή όγκου V και προφανώς δίδεται:

2RπVU

≡

Για µόνιµη ροή ασυµπίεστου ρευστού, η διανοµή της ταχύτητας της πλήρως ανεπτυγµένης ροής σε συνάρτηση µε την ακτίνα είναι ανεξάρτητη της αξονικής απόστασης και εµφανίζει παραβολικό προφίλ, το οποίο δίδεται:

2

2

1Rr

uum

−=

όπου:

u : η ταχύτητα στην ακτινική θέση

mu : η ταχύτητα στο κέντρο του αγωγού ( )0=r

R : η εσωτερική ακτίνα του κυκλικού σωλήνα

Εύκολα αποδεικνύεται (µε ολοκλήρωση του παραβολικού προφίλ της ταχύτητας σε ολόκληρη τη διατοµή του αγωγού) ότι ισχύει η ακόλουθη σχέση:

Uum 2=

Η (σταθερή) κλίση της πίεσης κατά µήκος του αγωγού δίδεται:

UR

µdxdp

2

8−=

ή

2/8 RULp µ−=∆

∆ηλαδή παρατηρείται γραµµική πτώση της πίεσης κατά µήκος του αγωγού. Σε συνάρτηση µε τον αριθµό Re η πτώση πίεσης γράφεται ως:

2

2Uρ

DLλp −=∆

όπου

DRe64=λ

ο συντελεστής των γραµµικών απωλειών του σωλήνα (για κυκλικό σωλήνα και στρωτή ροή).



Για να αναπτυχθεί πλήρως η δεδοµένη ροή απαιτείται κάποια αρχική απόσταση από το στόµιο του αγωγού. Η απόσταση αυτή δx από την είσοδο του σωλήνα µέχρι τη διαµόρφωση της παραπάνω ροής ονοµάζεται µεταβατικό µήκος και δίδεται για στρωτή ροή:

Dδ .Dx Re040/ ≈

Για µη κυκλικούς σωλήνες, ορίζεται η υδραυλική διάµετρος hD ως:

SADh

4=

όπου A η βρεχόµενη επιφάνεια του σωλήνα και S η βρεχόµενη περίµετρος του σωλήνα. Στην περίπτωση αυτή ο αριθµός DRe ορίζεται:

νh

DDU

=Re

ενώ ο συντελεστής των γραµµικών απωλειών λ παίρνει τις ακόλουθες τιµές για στρωτή ροή:

Ισόπλευρο τρίγωνο:

DRe128=λ

Τετράγωνο:

DRe2,57=λ

Ορθογώνιο ( )2/1/ =lb :

DRe62=λ

Ορθογώνιο ( )bl >> :

DRe96=λ

Για αριθµούς DRe :

4000Re2300 ≤≈≤≈ D



η ροή εισέρχεται στη µεταβατική περιοχή (µεταξύ τυρβώδους και στρωτής ροής). Η περιοχή αυτή πρέπει να αποφεύγεται, λόγω της αστάθειας της ροής. Ηπτώση πίεσης σε ευθύγραµµούς σωλήνες (τυχαίας διατοµής) δίδεται για τη µεταβατική περιοχή ως

2

21 Uρ

DLλp

h

−=∆

όπου ο συντελεστής γραµµικών απωλειών παίρνει τιµές:

0400280 ,,λ ÷≈

Τυρβώδης ροή εµφανίζεται για αριθµό DRe µεγαλύτερο από περίπου 4000. Το προφίλ ταχύτητας δεν είναι πλέον παραβολικό αλλά περισσότερο οµοιόµορφο. Η πτώση πίεσης εντός του αγωγού για τυρβώδη ροή είναι επίσης γραµµική και δίδεται:

2

21 Uρ

DLλp

h

−=∆

όπου για πλήρως λείο σωλήνα, ο συντελεστής γραµµικών απωλειών λ δίδεται (κατά Prandtl) από την πεπλεγµένη σχέση:

( ) 80Relog21 ,λλ D −=

ενώ η ταχύτητα στο µέσον του αγωγού προκύπτει:

λ,Uum 32611+=

ή

( ) U,,um 151251 ÷≈

Για πλήρως τραχύ σωλήνα έχουµε για τον συντελεστή γραµµικών απωλειών τλ :

2741Re

log2 −+

= ),(λ

s

Dτ ε

Για οποιονδήποτε σωλήνα το λ προκύπτει από το διάγραµµα Moody, σε συνάρτηση του αριθµού Re και της σχετικής τραχύτητας

hs D/εε =

όπου ε η τραχύτητα, η οποία διαφέρει για κάθε υλικό και παρέχεται από πίνακες.



ΣΧΗΜΑ 7.2 Το διάγραµµα Moody χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του συντελεστή γραµµικών απωλειών εντός ευθύγραµµων σωλήνων (µε βάση τον αριθµόReD της ροής και την σχετική τραχύτητα της εσωτερικής επιφάνειας του αγωγού).



7.2 ΤΟ ΘΕΡΜΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΝΤΟΣ ΤΟΥ ΣΩΛΗΝΑ

Ας θεωρήσουµε έναν σωλήνα σε µεγαλύτερη θερµοκρασία από αυτή του εισερχόµενου ρευστού. Έστω ότι το ρευστό εισέρχεται στο σωλήνα µεοµοιόµορφο θερµοκρασιακό προφίλ. Λόγω της διαφοράς θερµοκρασίας µεταξύ τοιχώµατος και ρευστού θα εµφανιστεί µετάδοση θερµότητας µε συναγωγή από το τοίχωµα προς το ρευστό και θα αναπτυχθεί θερµικό οριακό στρώµα εντός του ρευστού. Αν στο σωλήνα επικρατεί είτε σταθερή θερµοκρασία τοιχώµατος είτε σταθερή πυκνότητα θερµοροής, µετά από κάποιο µήκος θα επικρατήσει συνθήκη πλήρους ανεπτυγµένου θερµικού οριακού στρώµατος, κατ’ αντιστοιχία µε το οριακό στρώµα ταχύτητας (µε την ύπαρξη όµως κάποιων διαφορών, που θα αναλυθούν στη συνέχεια). Το µήκος για την επικράτηση πλήρως ανεπτυγµένων συνθηκών ονοµάζεται θερµικό µεταβατικό µήκος tx , το οποίο για στρωτή ροή δίδεται:

PrRe05.0/ Dt Dx ≈

Για Pr µεγαλύτερο της µονάδας το οριακό στρώµα ταχύτητας αναπτύσσεται πιο γρήγορα (σε µικρότερο µεταβατικό µήκος) από το θερµικό. Το αντίθετο συµβαίνει για Pr µικρότερο της µονάδος. Για πολύ µεγάλους αριθµούς Pr (>100), όπως στα λιπαντικά, είναι λογικό να υποθέσει κανείς ότι το οριακό στρώµα ταχύτητας είναι πλήρως ανεπτυγµένο σε όλη την περιοχή του θερµικού µεταβατικού µήκους.

Σε αντίθεση µε τη στρωτή ροή, στην τυρβώδη ροή το µεταβατικό µήκος είναι πρακτικά ανεξάρτητο του αριθµού Pr και µπορεί, σε πρώτη προσέγγιση, να ληφθεί:

10/ ≈Dxt

Για τη µελέτη του θερµικού οριακού στρώµατος εισάγεται η µέση θερµοκρασία mT της ροής, όπως εισήχθη η µέση ταχύτητα για το οριακό στρώµαταχύτητας. Η µέση θερµοκρασία ορίζεται µε βάση τη θερµική ενέργεια που διέρχεται από τη συγκεκριµένη διατοµή του αγωγού και η οποία δίδεται:

cA vA cAt dATcudAuemdeECC C

∫∫ ∫ === ρρ

Η µέση θερµοκρασία ορίζεται από τη σχέση:

mvt TcmE ≡

δηλαδή, πολλαπλασιαζόµενη µε την παροχή µάζας m και την ειδική θερµοχωρητικότητα υπό σταθερό όγκο vc , δίνει το ρυθµό µεταφοράς θερµικής ενέργειας µαζί µε το ρευστό στη συγκεκριµένη διατοµή. Από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει:



v

cA v

m cm

dATcuT C

∫

=ρ

Η παραπάνω σχέση για κυκλικό αγωγό µε ασυµπίεστο ρευστό σταθερής τιµής της ειδικής θερµοχωρητικότητας υπό σταθερό όγκο vc γίνεται:

∫=R

m drrTuRU

T0

2

2

αφού η παροχή µάζας δίδεται (για ασυµπίεστο ρευστό) σε σχέση µε τη µέση ταχύτητα της ροής (από τον ορισµό της µέσης ταχύτητας):

2RUAUm c πρρ ==

Με βάση τη µέση θερµοκρασία εκφράζεται και ο νόµος του Newton για τη συναγωγή σε αγωγούς:

)( mss TThq −=′′

όπου h ο τοπικός συντελεστής συναγωγής. Πρέπει εδώ να σηµειωθεί ότι η µέση θερµοκρασία µεταβάλλεται µε την αξονική θέση, εφ’ όσον υπάρχει συναγωγή θερµότητας, σε αντίθεση µε τη µέση ταχύτητα U του ρευστού, η οποία παραµένει σταθερή για σωλήνα σταθερής διατοµής.

7.3 ΘΕΡΜΙΚΑ ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΕΠΤΥΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

Η επίτευξη θερµικά πλήρως ανεπτυγµένων συνθηκών είναι διαφορετική από την αντίστοιχη για το οριακό στρώµα ταχύτητας, διότι, εφ’ όσον συντελείται µετάδοση θερµότητας προς το ρευστό, θα µεταβάλλεται και η θερµοκρασίας του,οπότε δεν µπορεί να επιτευχθεί ένα σταθερό προφίλ ταχύτητας για κάθε αξονική θέση εντός του σωλήνα. Το εµπόδιο αυτό προσπερνιέται µε την εισαγωγή ενός αδιάστατου προφίλ της θερµοκρασίας µε τη µορφή:

( )( )ms

s

TTTT

−−

Για το παραπάνω θερµοκρασιακό προφίλ µπορούν να υπάρξουν συνθήκες για τις οποίες αυτό δεν µεταβάλλεται µε την αξονική απόσταση. Στην περίπτωση που το προφίλ της αδιάστατης αυτής θερµοκρασίας δεν µεταβάλλεται µε την αξονική απόσταση, δηλαδή ισχύει η σχέση:

0)()(),()(

=

−−

∂∂

xTxTxrTxT

x ms

s

τότε έχουν επιτευχθεί συνθήκες πλήρως ανεπτυγµένου θερµικού οριακού



στρώµατος. Οι συνθήκες αυτές µπορούν να επιτευχθούν είτε για οµοιόµορφη επιφανειακή θερµοροή στο σωλήνα είτε για οµοιόµορφη θερµοκρασία του σωλήνα, όπως θα φανεί στη συνέχεια. Η πρώτη περίπτωση αφορά π.χ. σε σωλήνα, τα τοιχώµατα του οποίου διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύµα, ενώ ηδεύτερη αναφέρεται σε σωλήνα, ο οποίος εξωτερικά έρχεται σε επαφή µε ρευστό πού βρίσκεται σε κατάσταση αλλαγής φάσης (συµπύκνωση ή βρασµός).

Αφού το αδιάστατο προφίλ της ταχύτητας είναι ανεξάρτητο της αξονικής θέσης, και η κλίση του προφίλ (ως προς ) θα είναι ανεξάρτητη του x , οπότε θα ισχύει:

( )s r R

s m s mr R

TT T r f x

r T T T T=

=

∂− −∂ ∂= ≠ ∂ − −

Επειδή στο τοίχωµα του αγωγού η ταχύτητα είναι µηδενική, η µετάδοση θερµότητας πραγµατοποιείται µε διάχυση, οπότε θα ισχύει ο νόµος του Fourier:

)(0

msRry

s TThrTk

yTkq −=

∂∂=

∂∂

−=′′==

Συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις προκύπτει η ακόλουθη σχέση:

)(xfkh

≠

δηλαδή στο πλήρως ανεπτυγµένο θερµικό οριακό στρώµα, για ρευστό µεσταθερή τιµή του k , ο τοπικός συντελεστής συναγωγής h παραµένει σταθερός και ανεξάρτητος της αξονικής θέσης x . Τα παραπάνω δεν ισχύουν προφανώς στο τµήµα εισόδου του αγωγού, µέχρι την είσοδο στην πλήρως διαµορφωµένη κατάσταση. Ακριβώς στην είσοδο του αγωγού το ρευστό µπαίνει µε οµοιόµορφο θερµοκρασιακό προφίλ και συνεπώς δηµιουργείται πολύ µεγάλη θερµοκρασιακή κλίση στο τοίχωµα, οπότε το h τοπικά εµφανίζει πολύ µεγάλες τιµές. Με την ανάπτυξη όµως του θερµικού οριακού στρώµατος, οιθερµοκρασιακές κλίσεις εξοµαλύνονται, οπότε µειώνεται προοδευτικά και οτοπικός συντελεστής συναγωγής, µέχρι που γίνεται τελείως σταθερός στην περιοχή του πλήρως διαµορφωµένου θερµικού οριακού στρώµατος.

Ειδικά στην περίπτωση που επικρατεί οµοιόµορφη πυκνότητα θερµοροής κατά µήκος του αγωγού, προκύπτουν µεγαλύτερες απλοποιήσεις στο πρόβληµα.Από τον νόµο του Newton για τη συναγωγή, επειδή τόσο το h όσο και ηπυκνότητα θερµοροής είναι σταθερά εντός της διαµορφωµένης περιοχής,προκύπτει:

dxdT

dxdT

TTTThq

ms

msmss

=

⇒=−⇒−=′′ .)( σταθ

οπότε η µέση και η επιφανειακή θερµοκρασία είναι καµπύλες παράλληλες σε



σχέση µε την αξονική θέση x , εντός της πλήρως διαµορφωµένης περιοχής.

Από το γεγονός της σταθερότητας του αδιάστατου προφίλ θερµοκρασίας προκύπτει:

dxdT

TTTT

dxdT

TTTT

dxdT

xT

xTxTxrTxT

x

m

ms

ss

ms

ss

ms

s

−−

+

−−

−=∂∂

⇒=

−−

∂∂ 0

)()(),()(

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση την προηγούµενη, προκύπτει για σταθερή πυκνότητα θερµοροής:

dxdT

xT m=∂∂

Η παραπάνω σχέση εκφράζει ότι η κλίση της θερµοκρασίας κατά την αξονική διεύθυνση είναι ανεξάρτητη της ακτινικής θέσης και ισούται µε την κλίση της µέσης θερµοκρασίας, η οποία µε τη σειρά της ισούται µε την κλίση της επιφανειακής θερµοκρασίας, όπως δείξαµε προηγουµένως.

Για την περίπτωση σταθερής επιφανειακής θερµοκρασίας θα ισχύει προφανώς:

0=dxdTs

και το ανάπτυγµα της αδιάστατης θερµοκρασίας γίνεται:

dxdT

TTTT

xT

dxdT

TTTT

dxdT

TTTT

dxdT

xT

xTxTxrTxT

x

m

ms

s

m

ms

ss

ms

ss

ms

s

−−

=∂∂

⇒

−−

+

−−

−=∂∂

⇒=

−−

∂∂ 0

)()(),()(

οπότε στην περίπτωση αυτή η θερµοκρασιακή κλίση ως προς x εξαρτάται από την ακτινική θέση (αφού είναι συνάρτηση και του ( )xrT , ).

Για να µπορέσουν τα παραπάνω να ποσοτικοποιηθούν, είναι απαραίτητη ηγνώση της µεταβολής της µέσης θερµοκρασίας του ρευστού. Αυτή θα προκύψει εφαρµόζοντας ισολογισµό ενέργειας σε κατάλληλο όγκο αναφοράς του σωλήνα.



ΣΧΗΜΑ 7.3 Αξονική µεταβολή του τοπικού συντελεστή συναγωγής για τη µετάδοση θερµότητας εντός σωλήνα.

ΣΧΗΜΑ 7.4 Στοιχειώδης όγκος ελέγχου για τον ενεργειακό ισολογισµόεντός του σωλήνα.

7.4 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟΣ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟ ΣΩΛΗΝΑ

Θεωρούµε στοιχειώδη όγκο αναφοράς εντός του σωλήνα (σε σχήµακυλινδρικό µε ύψος κυλίνδρου στοιχειώδες µήκος dx , και βάση την εσωτερική διατοµή του σωλήνα – Σχήµα 7.4). Το ρευστό κινείται µε σταθερή παροχή µάζας (εξίσωση συνέχειας), ενώ οι µεταβολές στην κινητική και δυναµική του ενέργεια είναι αµελητέες. Παράλληλα θεωρούµε ότι η µετάδοση θερµότητας µε αγωγή κατά την αξονική διεύθυνση είναι αµελητέα, σε σχέση µε την µεταφορά θερµότητας στην ίδια διεύθυνση. Εφαρµόζουµε τον Πρώτο Θερµοδυναµικό Νόµο στον στοιχειώδη όγκο αναφοράς για µόνιµη ροή (Σχήµα 7.4):

x

h

xt

m

συνqd

i i+di



( )

( )

)/(

0/

)/())/((

0/)/())/((

0)(

0

ρ

ρρρ

ρρρ

συν

συν

συν

συν

παρ

pTcdmdq

dxdx

pTcdmpTcmpTcmdq

dxdx

pedmpempemdq

dxdxdimimimdq

EEdtEd

EEE

mv

mvmvmv

outinOA

outin

+=

⇒=

+++−++

⇒=

+++−++

⇒=

+−+

⇒=−⇒=+−

όπου e η ειδική εσωτερική ενέργειας και i η ειδική ενθαλπία του ρευστού. Στην παραπάνω σχέση η ροή ενέργειας µαζί µε το ρευστό εξισώθηκε µε τη ροή ενθαλπίας, ενώ θα έπρεπε να είναι ίση µε τη ροή ολικής ενθαλπίας. Οι επιπλέον όροι κινητικής και δυναµικής ενέργειας θεωρήθηκαν αµελητέοι, όπως προαναφέρθηκε.

Στην περίπτωση τελείου αερίου ισχύει η γνωστή καταστατική εξίσωση:

mTRp =ρ/

και επίσης

Rcc vp +=

Για σταθερή τιµή της ειδικής θερµοχωρητικότητας υπό σταθερή πίεση cp οισολογισµός ενέργειας γίνεται:

mp dTcmdq =συν

Η παραπάνω σχέση µπορεί, µε καλή προσέγγιση, να εφαρµοστεί για ασυµπίεστο ρευστό. Στην περίπτωση αυτή:

vp cc =

και επειδή η πυκνότητα είναι µεγάλη, ο όρος του έργου του ρευστού είναι πολύ µικρός σε σχέση µε τον όρο της µεταβολής της εσωτερικής ενέργειας, οπότε µπορεί να αµεληθεί και προκύπτει η ίδια σχέση.

Η ίδια διαδικασία µπορεί να εφαρµοστεί για ολόκληρο το µήκος του σωλήνα. Ολοκληρώνοντας από την είσοδο µέχρι την έξοδο του σωλήνα (για τέλειο αέριο ή ασυµπίεστο ρευστό) προκύπτει:

)( ,, imomp TTcmq −= συν

Η παραπάνω σχέση είναι µια γενική σχέση η οποία ισχύει ανεξάρτητα από την κατάσταση της θερµοκρασίας του σωλήνα ή της ροής του ρευστού.



Χρησιµοποιώντας τη διαφορική µορφή της εξίσωσης και εισάγοντας την πυκνότητα θερµοροής, προκύπτει:

)( mspp

smmps TTh

cmP

cmqP

dxdT

dTcmdxPq −=′′

=⇒=′′

όπου P η περίµετρος του σωλήνα. Η παραπάνω σχέση είναι ιδιαίτερα χρήσιµη,διότι δίνει τη δυνατότητα υπολογισµού της κλίσης της µέσης θερµοκρασίας κατά µήκος του σωλήνα. Αν και η διατοµή του σωλήνα µπορεί να µεταβάλλεται,συνήθως είναι σταθερή, άρα και η περίµετρός του, οπότε το κλάσµα στο δεύτερο σκέλος της παραπάνω σχέσης είναι σταθερό κατά µήκος του σωλήνα. Στην περιοχή του πλήρως διαµορφωµένου θερµικού οριακού στρώµατος σταθερό είναι και το h , όπως ήδη έχει δειχθεί. Η επιφανειακή θερµοκρασία sT µπορεί να είναι σταθερή, µπορεί και όχι. Η µέση όµως θερµοκρασία πρέπει να µεταβάλλεται (αλλιώς δεν υπάρχει ροή θερµότητας από ή προς το ρευστό).

Στη συνέχεια θα εξετάσουµε ειδικότερα τις δύο περιπτώσεις σταθερής πυκνότητας θερµοροής και σταθερής θερµοκρασίας του σωλήνα.

7.5 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΡΜΟΡΟΗΣ

Αφού η πυκνότητα θερµοροής είναι σταθερή και ανεξάρτητη της αξονικής θέσης x , είναι πολύ εύκολο να υπολογιστεί η συνολική θερµοροή από τον αγωγό στο ρευστό:

LPqq s′′=συν

όπου P η περίµετρος του αγωγού και L το µήκος του. Χρησιµοποιώντας ισολογισµό ενέργειας για το σύνολο του αγωγού, µπορεί να υπολογιστεί ηµεταβολή της µέσης θερµοκρασίας του ρευστού από τη σχέση που αναπτύχθηκε προηγουµένως:

)( ,, imomp TTcmq −= συν

(για ασυµπίεστο ρευστό ή τέλειο αέριο). Επίσης για σταθερή πυκνότητα θερµοροής, το δεύτερο σκέλος της σχέσης που δίνει την κλίση της µέσης θερµοκρασίας είναι σταθερά:

)(xfcmqP

dxdT

p

sm ≠′′

=

άρα ολοκληρώνοντας προκύπτει:

xcmqP

TxTp

simm

′′+= ,)(



δηλαδή η µέση θερµοκρασία µεταβάλλεται γραµµικά µε την αξονική θέση xκατά µήκος του αγωγού.

Από τη σχέση:

)( mss TThq −=′′

για σταθερή πυκνότητα θερµοροής sq ′′ και σταθερό h εντός της περιοχής πλήρους ανεπτυγµένου θερµικού οριακού στρώµατος, συνάγεται όπως προαναφέρθηκε, ότι υπάρχει σταθερή διαφορά µεταξύ µέσης και επιφανειακής θερµοκρασίας. Επειδή η µέση θερµοκρασία δείξαµε ότι µεταβάλλεται γραµµικά,το ίδιο θα συµβαίνει και για την επιφανειακή θερµοκρασία (µετά το σηµείο µετάβασης στην περιοχή πλήρους ανεπτυγµένου θερµικού οριακού στρώµατος). Πριν το σηµείο µετάβασης η θερµοκρασιακή διαφορά είναι αρχικά µικρότερη και αυξάνεται λόγω της µείωσης του h , µέχρι να φτάσει στη σταθερή τιµή της (Σχήµα 7.5).

Πρέπει να σηµειωθεί ότι για µη σταθερή διανοµή της πυκνότητας θερµοροής, η ολοκλήρωση της σχέσης:

)( mspp

sm TThcm

PcmqP

dxdT

−=′′

=

θα δώσει τη µεταβολή της µέσης θερµοκρασίας κατά µήκος του αγωγού (για τέλειο αέριο ή ασυµπίεστο ρευστό). Η ολική θερµοροή θα προκύψει από ολοκλήρωση της πυκνότητας θερµοροής σε όλη την εσωτερική επιφάνεια του αγωγού:

dxPxqqL

s )(0∫ ′′=συν

ΣΧΗΜΑ 7.5 Αξονική µεταβολή της θερµοκρασίας για µετάδοση θερµότητας υπό σταθερή πυκνότητα θερµοροής. Ts(x)

Ts-Tm Tm(x)

T

xL

Πλήρως ανεπτυγµένο προφίλ



7.6 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΑΓΩΓΟΥ

Αν ορισθεί η διαφορά θερµοκρασίας T∆ από τη σχέση:

ms TTT −=∆

τότε η σχέση της κλίσης της µέσης θερµοκρασίας γίνεται:

Thcm

PcmqP

dxTd

dxdT

pp

sm ∆=′′

=∆−=

)(

∆ιαχωρίζοντας τις µεταβλητές και ολοκληρώνοντας από την είσοδο µέχρι την έξοδο του αγωγού προκύπτει:

∫∫ −=

∆∆∆Τ

∆Τ

L

p

dxhcm

PTTd

0

)(

ο

ι

ή

Lp

L

pi

o hcmLPdxh

LcmLP

TT

−=

−=

∆∆

∫01ln

ή

−=

−

−=

∆∆

Lpims

oms

i

o hcmLP

TTTT

TT

exp

,

,

Εκτελώντας την ολοκλήρωση µέχρι κάποια θέση x του αγωγού προκύπτει η πιο γενική σχέση

−=

−−

=∆

∆x

pims

ms

i

hcmxP

TTxTT

TxT

exp

)()(

,

όπου η µέση τιµή του συντελεστή συναγωγής αναφέρεται στο µήκος x από την είσοδο του σωλήνα. Οι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι η διαφορά θερµοκρασίας ( )ms TT − µειώνεται εκθετικά µε το µήκος x και η mT τείνει ασυµπτωτικά στη σταθερή θερµοκρασία sT (Σχήµα 7.6).

Για τον υπολογισµό της θερµοροής από το σωλήνα στο ρευστό χρησιµοποιείται η σχέση του συνολικού ενεργειακού ισολογισµού:

)(

)]()[()( ,,,,

oip

omsimspimomp

TTcmTTTTcmTTcmq

∆−∆

=−−−=−=

συν

Όµως, όπως αναπτύχθηκε προηγουµένως:



)/ln(ln

io

LpL

pi

o

TThLPcmh

cmLP

TT

∆∆−=⇒−=

∆∆

και αντικαθιστώντας στην προηγούµενη σχέση προκύπτει

lmL TLPhq ∆=συν

όπου lmT∆ η λογαριθµική µέση θερµοκρασία:

( )io

iolm TT

TTT

∆∆∆−∆

≡∆/ln

οδηγώντας έτσι σε µια σχέση αντίστοιχη µε τον νόµο του Newton για τη συναγωγή, µε κατάλληλο όµως ορισµό της µέσης τιµής της θερµοκρασίας.

ΣΧΗΜΑ 7.6 Αξονική µεταβολή της θερµοκρασίας για µετάδοση θερµότητας υπό σταθερή επιφανειακή θερµοκρασία σωλήνα.

∆Ti

∆T

∆To

T

xL



8 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 18.1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων (Scalar product)

Το αποτέλεσµα του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων είναι αριθµός και δίδεται:

)cos(θbababababa kkjjii =++=⋅

όπου θ η γωνία που σχηµατίζουν τα δύο διανύσµατα.

Το εσωτερικό γινόµενο ενός διανύσµατος επί ένα µοναδιαίο διάνυσµα είναι η προβολή του πρώτου στη διεύθυνση του δευτέρου:

)cos(ˆ θama =⋅

Για δύο διανύσµατα ορθογώνια µεταξύ τους προφανώς θα ισχύει:

0=⋅ba

Ισχύει:

abba ⋅=⋅

ενώ για δύο µοναδιαία διανύσµατα:

)cos(ˆˆ θ=⋅ nm

Εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων (Vector product)

Το εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα δύο διανύσµατα. Η διεύθυνση του διανύσµατος προκύπτει αν θεωρήσουµε ότι τα δύο αρχικά διανύσµατα και το εξωτερικό τους γινόµενο ορίζουν ένα δεξιόστροφο ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων.

Το µέτρο του διανύσµατος που προκύπτει δίδεται:

)sin(θbaba =×

όπου θ η γωνία µεταξύ των δυο διανυσµάτων. Προφανώς το µέτρο του εξωτερικού γινοµένου ισούται µε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που ορίζουν τα δύο διανύσµατα.

Από το ορισµό της φοράς του διανύσµατος θα ισχύει:



baab ×−=×

Το εξωτερικό γινόµενο συναρτήσει των συντεταγµένων των διανυσµάτων δίδεται:

kbabajbabaibababbbaaakji

ba ijjikiikjkkj

kji

kjiˆ)(ˆ)(ˆ)(

ˆˆˆ

−+−+−==×

Αν το εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε µηδέν τότε τα διανύσµατα είναι παράλληλα µεταξύ τους.

Βαθµωτό γινόµενο τριών διανυσµάτων

Το βαθµωτό γινόµενο τριών διανυσµάτων δίδεται

( )cba ×⋅

και είναι προφανώς αριθµός (βαθµωτό µέγεθος) ως εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων.

Αν τα τρία διανύσµατα είναι συνεπίπεδα τότε ισούται µε µηδέν, αφού το εξωτερικό των δύο είναι κάθετο στο επίπεδό τους και το εσωτερικό δύο κάθετων διανυσµάτων είναι ίσο µε µηδέν. Το παραπάνω γινόµενο εκφράζει τον όγκο παραλληλεπιπέδου µε πλευρές τα τρία διανύσµατα.

∆ιανυσµατικό γινόµενο τριών διανυσµάτων

Για το διανυσµατικό γινόµενο τριών διανυσµάτων ισχύει η ταυτότητα:

( ) ( ) ( ) cbabcacba ⋅−⋅=××

Από την παραπάνω σχέση φαίνεται ότι το διάνυσµα που προκύπτει βρίσκεται στο επίπεδο των διανυσµάτων b

και c , αφού τα εσωτερικά γινόµενα

στις παρενθέσεις είναι αριθµοί.

Ισχύει η ταυτότητα:

( ) ( ) ( ) 0=××+××+×× bacacbcba

Κλίση (gradient) βαθµωτού µεγέθους

Η κλίση ενός βαθµωτού µεγέθους ( )zyx ,,Φ=Φ συµβολίζεται µε τον τελεστή )(Φ∇ , ή ως )(Φgrad . Η κλίση βαθµωτού µεγέθους είναι διάνυσµα και δίδεται:

kz

jy

ix

grad ˆˆˆ)()(∂Φ∂+

∂Φ∂+

∂Φ∂=Φ≡Φ∇



Απόκλιση (divergence) διανυσµατικού πεδίου

Η απόκλιση ενός διανυσµατικού πεδίου συµβολίζεται µε τον όρο div ή µετο βαθµωτό γινόµενο του τελεστή ∇ και του διανυσµατικού πεδίου. Η απόκλιση του διανυσµατικού πεδίου είναι βαθµωτό µέγεθος.

za

ya

xaaadiv zyx

∂∂+

∂

∂+

∂∂

=⋅∇≡)(

Το πεδίο του οποίου η απόκλιση είναι ίση µε µηδέν καλείται σωληνοειδές.

Τελεστής Laplace

Στην περίπτωση που ένα διανυσµατικό πεδίο προκύπτει ως η κλίση βαθµωτού πεδίου Φ , η απόκλισή του ονοµάζεται Λαπλασιανή (Laplacian) του Φ :

2

2

2

2

2

22 )(

zyxgraddiv

∂Φ∂+

∂Φ∂+

∂Φ∂=Φ=Φ∇=∆Φ

Το βαθµωτό πεδίο το οποίο ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση Laplace

0=∆Φ

ονοµάζεται δυναµικό πεδίο (potential field).

Στροβιλότητα (curl) διανυσµατικού πεδίου

Η στροβιλότητα ( curl ) διανυσµατικού πεδίου είναι επίσης διανυσµατικό πεδίο και συµβολίζεται ως το εξωτερικό γινόµενο του τελεστή ∇ µε το διάνυσµα.

( ) ( ) ( )

kya

xa

jxa

zai

za

ya

aaazyx

kji

aacurl

xyzxyz

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

)(

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂∂

+

∂

∂−

∂∂=

=∂∂

∂∂

∂∂=×∇=

Συνδέεται µε την περιστροφή (rotation) του διανυσµατικού πεδίου και γι’αυτό παλαιότερα συµβολιζόταν και ως ( )rot . Το διανυσµατικό πεδίο µεµηδενική τιµή της στροβιλότητας παντού εντός του πεδίου ονοµάζεται αστρόβιλο.



9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ1. Σε τριδιάστατο ορθογωνικό πλέγµα, µε ίσες αποστάσεις στις τρεις διευθύνσεις γράψτε την εξίσωση οριακών συνθηκών (µε πεπερασµένες διαφορές), για τον κόµβο P που βρίσκεται στην κορυφή µεταλλικού κύβου µε συντελεστή αγωγιµότητας k και πυκνότητα παραγωγής θερµότητας εντός του ίση µε q . Οι πλαϊνές πλευρές του κύβου είναι εκτεθειµένες σε ρεύµα αέρος θερµοκρασίας Τοκαι συντελεστή συναγωγής h, ενώ η κάτω πλευρά είναι µονωµένη. Γράψτε αναλυτικά τους συντελεστές της εξίσωσης, οι οποίοι χρησιµοποιούνται για την επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων. Σχεδιάστε στο παρακάτω σχήµα τον όγκο αναφοράς, που χρησιµοποιείται για την εφαρµογή του ισολογισµού ενέργειας.

2. Ράβδος σιδήρου µε k = 64 W/mK και διαστάσεις 20x16x80 cm υπόκειται σε µετάδοση θερµότητας µε συναγωγή (h = 113.5 W/m2K). Ελέγξτε αν µπορεί να εφαρµοστεί η µέθοδος εντοπισµένης χωρητικότητας. Αν η αρχική θερµοκρασία της ράβδου είναι 600Κ και η θερµοκρασία του ρεύµατος αέρα είναι 300Κ,υπολογίστε το χρόνο που απαιτείται ώστε η θερµοκρασία της ράβδου να πέσει στους 400Κ. Ποια η συνολικά µεταδιδόµενη ποσότητα θερµότητας στο χρόνο αυτό προς το περιβάλλον; Ποια η στιγµιαία θερµοροή προς το περιβάλλον τη συγκεκριµένη χρονική στιγµή; (ρ=7870 kg/m3, cp(400K)=490 J/kgK, cp(600K)=574 J/kgK.

3. Για την κατασκευή ενός ψυχόµενου ακροφυσίου πυραυλοκινητήρα εξετάζεται η χρησιµοποίηση ως υλικού χαλκού και ανοξείδωτου χάλυβα. Το ψυχόµενο εξωτερικό του ακροφυσίου διατηρείται σε θερµοκρασία 150ο C, ενώ τα θερµάκαυσαέρια στο εσωτερικό του έχουν θερµοκρασία 2750ο C και συντελεστή συναγωγής h = 2x104 W/m2K. Η ακτίνα του ακροφυσίου είναι πολύ µεγαλύτερη από το πάχος του τοιχώµατός του (µπορεί τοπικά να θεωρηθεί επίπεδο). Για λόγους αντοχής, η θερµοκρασία του χαλκού και του χάλυβα αντίστοιχα δεν πρέπει να υπερβεί τους 540 και τους 980ο C αντίστοιχα. Ποιο είναι το µέγιστο πάχος του υλικού που µπορεί να εφαρµοστεί στις δύο περιπτώσεις; Αν το ακροφύσιο κατασκευαστεί µε το µέγιστο επιτρεπόµενο πάχος, ποιο υλικό θα προτιµήσετε;

Cu: ρ=8933 kg/m3 cp=385 J/kgK k(300K)=401 W/mK k(400K)=393 W/mK

PW

T

N



k(600K)=379 W/mK, k(800K)=366 W/mK, k(1000K)=352 W/mK, k(1200K)=339 W/mK.

Χάλυβας: ρ=7900 kg/m3, cp=477 J/kgK, k(300K)=14.9 W/mK, k(400K)=16.6 W/mK, k(600K)=19.8 W/mK, k(800K)=22.6 W/mK, k(1000K)=25.4 W/mK, k(1200K)=28 W/mK, k(1500K)=31.7 W/mK.

Αµελήστε τη µετάδοση θερµότητας µε ακτινοβολία.

4. Σε τρισδιάστατο ορθογωνικό πλέγµα, µε διαφορετικές αποστάσεις στις τρεις διευθύνσεις γράψτε την εξίσωση οριακών συνθηκών (µε πεπερασµένες διαφορές), για τον κόµβο P που βρίσκεται σε ακµή µεταλλικού κύβου µεσυντελεστή αγωγιµότητας k και πυκνότητα παραγωγής θερµότητας εντός του ίση µε q . Οι πλαϊνές πλευρές του κύβου είναι εκτεθειµένες σε ρεύµα αέρος θερµοκρασίας Το και συντελεστή συναγωγής h. Γράψτε αναλυτικά τους συντελεστές της εξίσωσης, οι οποίοι χρησιµοποιούνται για την επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων. Σχεδιάστε στο παρακάτω σχήµα τον όγκο αναφοράς που απαιτείται για την εφαρµογή του ισολογισµού ενέργειας.

Λύση

PW

T

N

Β



Με κόκκινο χρώµα διακρίνεται ο όγκος ελέγχου γύρω από τον κόµβο P. Εφαρµόζουµε τον Α’ Θερµοδυναµικό Νόµο στον όγκο ελέγχου του σχήµατος για µόνιµο πεδίο θερµοκρασίας και θεωρώντας ότι έχουµε µόνο εισερχόµενη θερµοροή:

0inE Eπαρ+ =

Όµως, η παραγόµενη θερµική ισχύς θα δίδεται:

2 2x yE q V q zπαρ

∆ ∆= ∆ = ∆

Υπολογίζουµε στη συνέχεια την εισερχόµενη θερµοροή στον όγκο ελέγχου, από όλες τις επιµέρους επίπεδες επιφάνειες της επιφάνειας ελέγχου. Λαµβάνουµευπόψη ότι οι εξωτερικές πλευρές του σώµατος (άρα και οι αντίστοιχες πλευρές του όγκου ελέγχου) είναι εκτεθειµένες σε ρεύµα αέρος. Συνεπώς, από τις εν λόγω πλευρές η µετάδοση θερµότητας πραγµατοποιείται µε συναγωγή.

( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 2

W P N Pin

T P B P

o P o P

T T T Ty xE k z k zx y

T T T Tx y x yk kz z

y xh T T z h T T z

− −∆ ∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ∆ + ∆ ∆ − −∆ ∆ ∆ ∆ ⋅ + ⋅ + ∆ ∆

∆ ∆ − ⋅ ∆ + − ⋅ ∆

Συνεπώς, αντικαθιστώντας στον Α’ Θερµοδυναµικό Νόµο προκύπτει:

∆z

PW

T

N

Β∆x∆y



( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 24 4 4

1 14 4

2 2 04 4

W P N P

T P B P

o P o P

T T T Tq x y z x y z x y zk x y

T T T Tx y z x y z

z z

T T T Th hx y z x y zk x k y

− −∆ ∆ ∆ + ⋅ ∆ ∆ ∆ + ⋅ ∆ ∆ ∆ +∆ ∆

− −⋅ ∆ ∆ ∆ + ⋅ ∆ ∆ ∆ +

∆ ∆

− −⋅ ∆ ∆ ∆ + ⋅ ∆ ∆ ∆ =

∆ ∆

Ή

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

1 1

2 2 0

W P N P

T P B P

o P o P

q T T T Tk x y

T T T Tz zh hT T T T

x k y k

+ − + − +∆ ∆

− + − +∆ ∆

− + − =∆ ∆

Αναπτύσουµε ώστε να εµφανιστούν οι συντελεστές των θερµοκρασιών στους κόµβους του πλέγµατος:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 1 1

2 2 1 1 2 2

2 2 0

W N T B

P P P P P P

o o

T T T Tx y z z

h hT T T T T Tx k y kx y z z

q h hT Tk x k y k

+ + + +∆ ∆ ∆ ∆

− − − − − − + ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆

+ + =∆ ∆

ή ισοδύναµα:

E E W W N N S S T T B B P P PA T A T A T A T A T A T A T Q+ + + + + + =

όπου:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 20, , , 0

1 1,

E W N S

T B

A A A Ax y

A Az z

= = = =∆ ∆

= =∆ ∆

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2P

h hAk x k yx y z

= − − − − −∆ ∆∆ ∆ ∆



2 2P o o

q h hQ T Tk k x k y

= − − −∆ ∆

5. Ραδιενεργά κατάλοιπα φυλάσσονται εντός µεταλλικού κυλίνδρου µεγάλου µήκους µε σχετικά λεπτά τοιχώµατα. Η θερµική ισχύς που παράγεται από το ραδιενεργό υλικό ανά µονάδα όγκου είναι µη οµοιόµορφα διανεµηµένη κατά την ακτίνα r και δίδεται από τη σχέση:

( )[ ]20 /1 Rrqq −=

όπου R η ακτίνα του κυλινδρικού δοχείου. Η θερµοκρασιακή διανοµή εντός του δοχείου διατηρείται σταθερή µε τη βοήθεια ψυχρού ρεύµατος που διαβρέχει εξωτερικά το δοχείο, θερµοκρασίας Το και συντελεστή συναγωγής h.

α) Υπολογίστε το ρυθµό παραγωγής ενέργειας ανά µοναδιαίο µήκος του δοχείου.

β) Στη συνέχεια υπολογίστε τη θερµοκρασία στην επιφάνεια του δοχείου.

γ) Αν το δοχείο καλυφθεί εξωτερικά µε µονωτικό στρώµα εξωτερικής ακτίνας R1και συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας k, υπολογίστε τις θερµοκρασίες στο εσωτερικό και στο εξωτερικό τοίχωµα του µονωτικού στρώµατος.

Λύση

α) Η παραγόµενη θερµική ισχύς εντός του δοχείου σε µήκος L θα δίδεται:

2

00 0

2

00

3

0 20 0

2 4

0 20 0

2 2 2

0 0

2 1 2

2 1

2

122 4

22 4 2

R R

L

R

R R

R R

rQ q L r dr q L r drR

rLq r drR

rLq r dr drR

r rLqR

R R RLq Lq

π π

π

π

π

π π

= = − =

− =

− =

− =

− =

∫ ∫

∫

∫ ∫

Για µοναδιαίο µηκος L η παραπάνω σχέση γίνεται:

2

0 2RQ qπ=



β) Εφαρµόζουµε Α’ Θερµοδυναµικό Νόµο στην επιφάνεια του δοχείου. Ηεισερχόµενη στην επιφάνεια του δοχείου θερµότητα (από το εσωτερικό του) θα πρέπει να ισούται µε την εξερχόµενη λόγω συναγωγής. Η εισερχόµενη στην εξωτερική επιφάνεια θερµότητα είναι όµως αυτή που παράγεται στο εσωτερικό του δοχείου (δεν υπάρχει παραγωγή θερµότητας επί της επιφάνειας του δοχείου). Το πεδίο είναι µόνιµο, οπότε, για µοναδιαίο µήκος αγωγού (L=1), πάνω στην εξωτερική επιφάνεια του δοχείου θα ισχύει:

( )

( )

( ) ( )

0

2

0 0

00 0 0

00

2 12

22 4

4

in out s

s

s s

s

E E Q hA T T

Rq h R T T

q RRq h T T T Th

q RT Th

π π

= ⇒ = − ⇒

= − ⇒

= − ⇒ = − ⇒

= +

γ) Εντός του µονωτικού στρώµατος δεν παράγεται θερµική ισχύς. Η θερµική ισχύς που διαπερνά το µονωτικό στρώµα είναι αυτή που παράγεται στο εσωτερικό του κυλίνδρου. Αυτό είνι αποτέλεσµα του Α’ Θερµοδυναµικού Νόµου. Από κάθε φλοιό του µονωτικού στρώµατος περνά η ίδια θερµοροή (αυτή που παράγεται εσωτερικά στον κύλινδρο, η οποία για µοναδιαίο µήκος κυλίνδρου δίδεται (από το ερώτηµα α):

2

0 2RQ qπ=

Στην εξωτερική επιφάνεια του µονωτικού η παραπάνω θερµική ισχύς θα ισούται µε τη θερµική ισχύ που αποβάλλεται προς το περιβάλλον λόγω συναγωγής:

( )2

0 1 0

2 2

0 0 0 01 1

22

4 4

S

S S

RQ q R T T h

R Rq T T T T qR h R h

π π ′= = − ⇒

′ ′= − ⇒ = +

Στην παραπάνω σχέση µε ST ′συµβολίζεται η θερµοκρασία στην εξωτερική επιφάνεια του µονωτικού στρώµατος.

Η συνολική αντίσταση από την εσωτερική επιφάνεια του µονωτικού έως τη θερµοκρασία Τ0 του ψυχρού ρεύµατος θα δίδεται (για µήκος L του δοχείου):

( )1

1

ln 12 2tot

R RR R R

Lk R Lhαγ συν π π= + = +

Οπότε η θερµοροή από το εσωτερικό τοίχωµα µέχρι το ρευστό, που ισούται µετην παραγόµενη εντός του δοχείου, θα δίδεται:



( )

2 20

0 0 0

21

0 01

2 2

ln 12 2 2

L tottot

T TR RQ q L T T R q LR

R R RT T qk R h

π π

ππ π

′ − ′= = ⇒ = + ⇒

′ = + +

Στην παραπάνω σχέση µε T ′συµβολίζεται η θερµοκρασία στην εσωτερική επιφάνεια του µονωτικού στρώµατος.

6. Η κεφαλή ενός θερµοστοιχείου µπορεί να προσεγγιστεί ως σφαίρα και πρόκειται να χρησιµοποιηθεί για τη µέτρηση της θερµοκρασίας ενός ρεύµατος αερίου. Ο συντελεστής συναγωγής µεταξύ του θερµοστοιχείου και του ρευστού είναι ίσος µε h = 400 W/m2K, ενώ το υλικό της κεφαλής έχει k = 20 W/mK, c =400 J/kgK και ρ = 8500 kg/m3.

α) Προσδιορίστε τη διάµετρο της κεφαλής ώστε να προσδίδει στο θερµοστοιχείο χρονική σταθερά ίση µε 1 s. Ελέγξτε την ισχύ της µεθόδου που χρησιµοποιήσατε.

β) Αν η κεφαλή βρίσκεται σε θερµοκρασία 25 oC και τοποθετηθεί σε ρεύµα 200oC, πόσος χρόνος θα απαιτηθεί για να φτάσει η κεφαλή σε θερµοκρασία 199 οCκαι ποιο το ποσό θερµότητας που µεταφέρθηκε στο χρόνο αυτό; (για τη σφαίρα:Α = πD2, V = πD3/6).

Λύση

Θα χρησιµοποιηθεί η µέθοδος της εντοπισµένης χωρητικότητας. Πρώτα όµως θα προσδιορίσουµε τη διάµετρο της κεφαλής και στη συνέχεια θα εξετάσουµε την ισχύ της µεθόδου.

Η χρονική σταθερά δίδεται:

( )3

2

4

1 16

6 7,06 10

ts

t

DVc chA h DhD mc

πτ ρ ρπ

τρ

−

= = ⇒

= = ×

Το χαρακτηριστικό µήκος για την περίπτωση της σφαίρας είναι η ακτίνα R.

Ο αριθµός Bi δίδεται:

37,06 10 0,12

hR hDBik k

−= = = × <

Άρα ορθώς εφαρµόστηκε η µέθοδος της εντοπισµένης χωρητικότητας.



β)

3

2

ln ln

ln ln6 6

25 200ln ... 5,26 199 200

i i

s s

i i

T TVc VcthA hA T T

T T T TD c Dch D T T h T T

Dc sh

θρ ρθ

ρπ ρπ

ρ

∞

∞

∞ ∞

∞ ∞

− = = = − − −= = − −

− = = −

( )3

1 exp

5, 225 200 1 exp ... 0,1096 1

it

tQ Vc

D sc K Js

ρ θτ

πρ

= − − =

− − − = = −

7. Το τοίχωµα ενός εργαστηριακού φούρνου είναι κατασκευασµένο από πυρίµαχα τούβλα πάχους 0,1 m µε συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας ίσο µε 1W/mK. Εξωτερικά καλύπτεται από στρώµα µονωτικού υλικού πάχους 0,05 m µεσυντελεστή θερµικής αγωγιµότητας 0,07 W/mK, ενώ ακολουθεί λαµαρίνα από ανοξείδωτο χρωµιο-νικελιούχο χάλυβα πάχους 0,002 m µε συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας 16,5 W/mK. Η θερµοκρασία του περιβάλλοντος αέρα είναι 300 Κ,ενώ ο συντελεστής συναγωγής είναι ίσος µε 20 W/m2K. Η θερµοκρασία του εσωτερικού τοιχώµατος του φούρνου είναι 1100 K.

α) Υπολογίστε την πυκνότητα θερµοροής µέσα από τον τοίχο.

β) Υπολογίστε τη θερµοκρασία της εξωτερικής επιφάνειας της λαµαρίνας.

γ) Ποια η θερµοκρασία της εξωτερικής επιφάνειας και το πάχος της µόνωσης για πυκνότητα θερµοροής 800 W/m2.

Λύση



α) Για τη λύση του προβλήµατος θα χρησιµοποιηθεί η µέθοδος των θερµικών αντιστάσεων. Θεωρούµε ότι τα τοιχώµατα του φούρνου έχουν µεγάλες διαστάσεις σε σχέση µε το πάχος (για να µπορέσουµε να εφαρµόσουµε τη θεωρία της µονοδιάστατης αγωγής θερµότητας κάθετα στο τοίχωµα).

Θεωρούµε επιφάνεια εµβαδού Α στο τοίχωµα του φούρνου. Τότε οι αντίστοιχες αντιστάσεις θα δίδοναται:

31 21 2 3

1 2 3

1, , , hLL LR R R R

k A k A k A hA= = = =

Η συνολική αντίσταση θα δίδεται (σύνδεση σε σειρά):

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 2 3

31 2

1 2 3

2

2

1 1

1 0,1 0,05 0,002 11 0,07 16,5 20

1 0,86442

hR R R R R

LL LA k k k h

m m mA W m K W m K W m K W m K

m KA W

= + + + =

+ + + =

+ + + =

=

Η θερµοροή δια µέσου του εµβαδού Α του τοιχώµατος θα δίδεται:

( )2

0

2 2

1100 3001 0,86442

800 925,50,86442

KTqm KR

A WK Wq A A qm K mW

−∆= = ⇒

′′ ′′= ⇒ =

β) Η πυκνότητα θερµοροής είναι σταθερή διαµέσου του τοιχώµατος. Το ίδιο

k1 k2

k3

hT1 T4

R1 R2 R3 Rh



σταθερή είναι και η θερµοροή διαµέσου σταθερής επιφάνειας εµβαδού Α (σε κάθε διατοµή εντός του τοιχώµατος). Συνεπώς η θερµοροή θα µπορεί να υπολογιστεί χρησιµοποιώντας τη θερµοκρασιακή διαφορά µεταξύ ρεύµατος αέρα και της επιφάνειας του εξωτερικού τοιχώµατος (χρησιµοποιώντας την αντίστοιχη θερµική αντίσταση hR ):

4 0 4 04 0

2

4 0

2

4

1

925,5300

20

300 46,3 346,3

h

T T T T qq q A T TR hAh

Wq mT T K Wh

m KT K K K

′′− −′′= ⇒ = ⇒ = − ⇒

′′= + = + ⇒

= + =

γ) Στην περίπτωση αυτή ψάχνουµε να βρούµε το πάχος 2L που θα µας δώσει δεδοµένη πυκνότητα θερµοροής µέσα από το τοίχωµα του φούρνου.Χρησιµοποιούµε πάλι τη µέθοδο των θερµικών αντιστάσεων.

0 31 2

1 2 3

31 2

1 2 3

32 1

2 1 3

312 2

1 3

2

2 2

2

1 1

1

1

1

800 0,1 0,002 10,07800 1 16,5 20

0,0595 0,06

T Tq q AR LL L

A k k k hLL L T

k k k h qLL LT

k q k k h

LLTL kq k k h

W K m mL W W W WmKm mK mK m K

L m m

∆ ∆′′= ⇒ = ⇒

+ + + ∆+ + + = ⇒′′

∆= − − − ⇒′′

∆= − − − ⇒ ′′

= − − − ⇒

= ≈

Όπως και στο προηγούµενο ερώτηµα, επειδή η θερµοροή είναι σταθερή σε όλο το πάχος του τοιχώµατος (διαµέσου σταθερής διατοµής Α), θα ισχύει:



4 0 4 04 0

2

4 0

2

4

1

800300

20

300 40 340

h

T T T T qq q A T TR hAh

Wq mT T K Wh

m KT K K K

′′− −′′= ⇒ = ⇒ = − ⇒

′′= + = + ⇒

= + =

8. ∆ύο πλάκες παράλληλες µεταξύ τους βρίσκονται σε θερµοκρασία Tb και σε απόσταση L. Η θερµοκρασία του αέρα µεταξύ των πλακών είναι To, ενώ οσυντελεστής συναγωγής είναι h. Για την ψύξη των δύο πλακών, αυτές πρόκειται να ενωθούν µε Ν παράλληλα πτερύγια σταθερής διατοµής. Το υλικό το οποίο θα χρησιµοποιηθεί έχει δεδοµένο όγκο V και συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας k.Χρησιµοποιώντας τα παραπάνω δεδοµένα και παρατηρώντας τη συµµετρία του προβλήµατος, εκτελέστε τους ακόλουθους υπολογισµούς:

α) Βρείτε τη σχέση που δίνει τη θερµοκρασία στο µέσον κάθε πτερυγίου για κυλινδρικά πτερύγια.

β) Βρείτε τη σχέση που δίνει τη θερµοκρασία στο µέσον κάθε πτερυγίου για πτερύγια τετραγωνικής διατοµής.

γ) Ποια η συνολική θερµοροή στις δύο περιπτώσεις από τις πλάκες προς τον αέρα, µέσω των πτερυγίων;

δ) Ποια η πυκνότητα θερµοροής ανά µονάδα µήκους πτερυγίου προς τον αέρα στο µέσον του πτερυγίου στις δύο περιπτώσεις;

∆ίδεται ότι sinh(y) = (exp(y)-exp(-y))/2, cosh(y) = (exp(y)+exp(-y))/2

Λύση



α) Λόγω συµµετρίας στο µέσον κάθε πτερυγίου θα έχουµε µηδενική θερµοκρασιακή κλίση, δηλαδή θα ισχύει:

0dTdx

=

Συνεπώς, στο µέσον κάθε πτερυγίου δεν θα υπάρχει µετάδοση θερµότητας κατά την αξονική διεύθυνση. Ως αποτέλεσµα το πρόβληµα που εξετάζουµε είναι αντίστοιχο µε αυτό ενός αδιαβατικού ακροπτερυγίου σε πτερύγιο µε µήκος L/2.

Στην περίπτωση αυτή η θερµοκρασιακή διανοµή κατά µήκος του πτερυγίου θα δίδεται (σύµφωνα µε τη θεωρία) ως:

cosh2

cosh2

b

Lm x

Lm

θθ

− =

Όπου

2

c

hPmkA

=

Στο µέσον του πτερυγίου, για x=L/2, σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση ηθερµοκρασία θα δίδεται:

L

Tb Tb

T0



[ ]

( )000

0

cosh 0 1

cosh cosh2 2

1

cosh cosh2 2

b

b

b

L Lm m

T TT T T TL LT T m m

θθ

= = ⇒

−− = ⇒ = +−

Ο όγκος των Ν πτερυγίων θα δίδεται:

c cVV N L A A

N L= ⇒ =

Για κυλινδρικά πτερύγια:

2 cc

AA R Rππ

= ⇒ =

Όµως η περίµετρος της διατοµής των πτερυγίων για κυλινδρικά πτερύγια δίδεται:

2 2 2cA VP RN Lππ π

π= = =

Συνεπώς θα έχουµε:

2

22 1 2 3,545

c

VhN LhP h h N L h N Lm VkA k k V k VVk

N L N L

π

π π= = = = =

β) Στην περίπτωση πτερυγίων τετραγωνικής διατοµής η σχέση που δίνει τη θερµοκρασία στο µέσον του πτερυγίου είναι η ίδια όπως και στην α) περίπτωση,δηλαδή:

( )00

cosh2

bT TT T

Lm

−= +

Μεταβάλλεται όµως ο υπολογισµός του m . Θα ισχύει:

c cVV N L A A

N L= ⇒ =

Για τετραγωνική διατοµή:



2c c

VA a a AN L

= ⇒ = =

Όπου a η πλευρά του τετραγώνου της τετραγωνικής διατοµής. Η περίµετρος της διατοµής θα δίδεται:

4 4 VP aN L

= =

Συνεπώς:

2

44

c

VN Lh P h h N Lm Vk A k k V

N L

= = =

Άρα στην β) περίπτωση προκύπτει µεγαλύτερη τιµή του 2m από ότι στην α)περίπτωση που εξετάστηκε.

γ) Για κάθε ηµιπτερύγιο (θεωρώντας το ως µονωµένο στο µέσον της απόστασης µεταξύ των πλακών) η συνολική θερµοροή που πραγµατοποιείται προς τον αέρα ισόυται µε τη θερµοροή που περνά από τη βάση του, η οποία δίδεται (και για τις δύο διαφορετικές διατοµές) ως:

tanh2f c bLq h P k A mθ =

Για όλα τα πτερύγια θα έχουµε:

( )0

2 2 tanh2

2 tanh2

f c b

c b

LQ N q N h P k A m

LN h P k A T T m

θ = = = −

Στην α) περίπτωση υπολογίσαµε τα ακόλουθα:

2 VPN L

π=

cVA

N L=

2 2 h N Lmk V

π=



Με αντικατάσταση προκύπτει:

( ) ( )32

02 2 tanh2bLQ N h k V NL T T mπ = −

Στη β) περίπτωση ισχύει αντίστοιχα:

4 VPN L

=

cVA

N L=

2 4 h N Lmk V

=

Συνεπώς:

( ) ( )32

02 4 tanh2bLQ N h k V NL T T m = −

δ) Η πυκνότητα θερµοροής ανά µονάδα µήκους στο µέσον του πτερυγίου θα δίδεται:

( )0q P dx q P h T T P

dx′′

′′= = −

Όπως είδαµε στο α) ερωτηµα, στο µέσον του πτερυγιου ισχύει ότι:

[ ]

( )000

0

cosh 0 1

cosh cosh2 2

1

cosh cosh2 2

b

b

b

L Lm m

T TT T T TL LT T m m

θθ

= = ⇒

−− = ⇒ − =−

Για την α) περίπτωση θα έχουµε:

( ) ( )00 2

cosh2

bT T Vq P h T T P hL N Lm

π−

′′ = − =

Όπου



2 2 h N Lmk V

π=

Για τη β) περίπτωση θα έχουµε:

( ) ( )00 4

cosh2

bT T Vq P h T T P hL N Lm

−′′ = − =

Όπου

2 4 h N Lmk V

=

9. Σε δισδιάστατο ορθογωνικό πλέγµα (που αφορά σε ορθογώνια µεταλλική πλάκα), µε διαφορετικές αποστάσεις στις δύο διευθύνσεις γράψτε την εξίσωση οριακών συνθηκών (µε πεπερασµένες διαφορές) για τον κόµβο P για χρονικά µεταβαλλόµενο πεδίο θερµοκρασίας σε πεπλεγµένη (implicit) και σε ρητή (explicit) µορφή:

α) για την περίπτωση που ο κόµβος Ρ βρίσκεται στην κάτω ακµή της πλάκας (όχι σε κορυφή), η οποία βρέχεται από ρευστό µε συντελεστή συναγωγής h και θερµοκρασία Το και

β) για την περίπτωση που ο κόµβος Ρ βρίσκεται στην δεξιά ακµή της πλάκας (όχι σε κορυφή), η οποία είναι µονωµένη.

Η σταθερά αγωγιµότητας της πλάκας είναι ίση µε k και η ειδική θερµοχωρητικότητα ίση µε c. Γράψτε αναλυτικά τους συντελεστές της κάθε εξίσωσης, οι οποίοι χρησιµοποιούνται για την επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων (όπου προκύπτει σύστηµα, όπου δεν προκύπτει σύστηµα γράψτε την εξίσωση υπολογισµού της θερµοκρασίας σε κάθε χρονική στιγµή). Σχεδιάστε σε σχήµα τον όγκο αναφοράς που απαιτείται για την εφαρµογή του ισολογισµού ενέργειας.

10. Υποθαλάσσιος αγωγός ηλεκτρικού ρεύµατος καλύπτεται µε µονωτικό υλικό.Η θερµική ισχύς που παράγεται ανά µονάδα όγκου του αγωγού είναι µηοµοιόµορφα διανεµηµένη κατά την ακτίνα r και µεταβάλλεται γραµµικά από την τιµή 0q στο κέντρο του αγωγού, µέχρι την τιµή Rq στην ακτίνα R του αγωγού.Η θερµοκρασιακή διανοµή εντός του αγωγού και του µονωτικού διατηρείται σταθερή λόγω του ψυχρού νερού που διαβρέχει εξωτερικά τον αγωγό,θερµοκρασίας Το και συντελεστή συναγωγής h.

α) Γράψτε τη σχέση που δίνει τη διανοµή της παραγόµενης θερµικής ισχύος ανά µονάδα όγκου, σε σχέση µε την ακτίνα..

β) Υπολογίστε την παραγόµενη θερµική ισχύ ανά µονάδα µήκους του αγωγού.



γ) Αν το µονωτικό στρώµα έχει εξωτερική ακτίνα R1 και συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας k, υπολογίστε τις θερµοκρασίες στο εσωτερικό και στο εξωτερικό τοίχωµα του µονωτικού στρώµατος.

11. ∆ίδεται πτερύγιο µε ορθογωνική βάση σταθερής θερµοκρασίας Tb και διατοµή ισοσκελούς τριγώνου. Η βάση έχει διαστάσεις HxΒ όπου H το µήκος του πτερυγίου και B το πάχος του στη βάση, ενώ το ύψος του πτερυγίου ισούται µε L. Αν η µεταβλητή x έχει αρχή στη βάση του πτερυγίου και εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του ύψους του, διατυπώστε τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη διανοµή της µέσης θερµοκρασίας κατά τη διεύθυνση x, εάν ο συντελεστής θερµικής αγωγιµότητας του πτερυγίου ισούται µε k και ο συντελεστής συναγωγής µε το περιρρέον ρευστό θερµοκρασίας Το ισούται µε h. ∆ιατυπώστε τις οριακές συνθήκες που απαιτούνται για τη λύση του προβλήµατος και αναγνωρίστε το είδος κάθε µίας από αυτές.

12. Σύρµα πολύ µικρής διαµέτρου (ηλεκτρικά µονωµένο) διατρέχει το κέντρο µεταλλικής κυλινδρικής ράβδου µεγάλου µήκους µε συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας 16.5 W/mK και διαµέτρου 8 mm. Το εξωτερικό της ράβδου ψύχεται λόγω φυσικής συναγωγής (h = 6.7 W/m2K) από αέρα θερµοκρασίας 22οC. Αν το σύρµα εκλύει θερµότητα µε ρυθµό 12 W/m, τότε βρείτε και σχεδιάστε τη θερµοκρασιακή διανοµή στο εσωτερικό της ράβδου συναρτήσει της ακτίνας.

Β

ΗL x



10 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2Το παρακάτω λογισµικό υπολογίζει µε πεπερασµένες διαφορές το θερµοκρασιακό πεδίο σε µία επίπεδη πλάκα στα όρια της οποίας επιβάλονται συνθήκες τύπου Dirichlet της ακόλουθης µορφής:

T(0,X) = 0.0, T(X,0)=0.0, T(1,Y)=Y, T(X,1)=X Η αναλυτική λύση της εξίσωσης Laplace για τις παραπάνω οριακές συνθήκες είναι γνωστή και είναι ηακόλουθη:

T(X,Y) = X*Y Το παρακάτο λογισµικό γραµµένο σε FORTRAN λύνει αριθµητικά το παραπάνω πρόβληµα.

Η γραφική παράσταση της θερµοκρασιακής διαννοµής σε επίπεδη πλάκα 1x1 δίδεται στο ακόλουθο σχήµα (η λύση επιτεύχθηκε για πλέγµα 51x51 σε 5000 βήµατα, µε τελικό µέσο σφάλµα µεταξύ της αναλυτικής και της αριθµητικής λύσης ίσο µε 2,076x10-6):



C============================================================= PROGRAM LAPLACE2D C============================================================= C THIS PROGRAM SETS UP THE MATRIX EQUATION [A]F=Q WHICH C RESULTS FROM FINITE DIFFERENCE DISCRETIZATION OF THE C LAPLACE EQUATION, USING UNIFORM GRID IN EACH DIRECTION AND C CENTRAL DIFFERENCE APPROXIMATION OF THE SECOND DERIVATIVES. C BOUNDARY CONDITIONS ARE OF DIRICHLET TYPE: C T(0,X) = 0.0, T(X,0)=0.0, T(1,Y)=Y, T(X,1)=X. C THE EXACT SOLUTION IS: T(X,Y) = X*Y. C THE EQUATION CAN THEN BE SOLVED BY DIFFERENT ITERATIVE C SOLVERS. CENTRAL DIFFERENCES LEAD TO EXACT SOLUTION ON ANY C GRID, SO THE ITERATION CONVERGENCE ERROR CAN BE EASILY C DETERMINED. CC I.K. NIKOLOS C============================================================== PARAMETER (NX=51,NY=51,NXY=NX*NY) REAL DX,DY,XL,YL,X,Y,T,AE,AW,AN,AS,AP,Q COMMON /INDI/ NI,NJ,NIM,NJM,NIJ,NIJK,LI(NX),LTEST COMMON /INDR/ RESMAX,ALFA COMMON /COEF/ AE(NXY),AW(NXY),AN(NXY),AS(NXY),AP(NXY),Q(NXY) COMMON /GRID/ X(NX),Y(NY) DIMENSION T(NXY) CC.....INPUT DATA C

OPEN (UNIT=6,FILE='RESULT.PLT') REWIND 6 PRINT *, ' ENTER: NI, NJ, MAXIT, RESMAX : ' READ(*,*) NI,NJ,MAXIT,RESMAX PRINT *,' ENTER DOMAIN SIZE: XL, YL: ' READ(*,*) XL,YL CC MAXIT is the limit on iterations in the solver (here we have C a linear problem - fixed coefficient matrix - and are doing C only inner iterations); RESMAX is the level of residual norm C at which iterations are stopped. NI, NJ are the numbers C of grid points in X, Y directions, respectively. Note: here C FD method is used, so nodes are uniformly distributed between C boundaries, i.e. the spacing in X-direction is XL/ (NI-1), etc. C

NIM=NI-1 NJM=NJ-1 NIJ=NI*NJ CC.....DEFINE THE GRID (HERE UNIFORM) C

DX=XL/REAL(NIM) DY=YL/REAL(NJM) X(1)=0. Y(1)=0. DO I=2,NI X(I)=X(I-1)+DX END DO DO J=2,NJ Y(J)=Y(J-1)+DY END DO



CC The grid is assumed here to be uniformly spaced in each direction C and these are then the coefficients needed to set up the matrix: C

DXR2=-1./DX**2 DYR2=-1./DY**2 APC=-2.*(DXR2+DYR2) CC.....INITIALIZE FIELD VALUES C

DO IJ=1,NXY T(IJ)=0. END DO CC.....SET UP BOUNDARY VALUES WHERE NON-ZERO C

I=NI DO J=1,NJ IJ=(J-1)*NI+I T(IJ)=X(I)*Y(J) END DO C

J=NJ DO I=1,NI IJ=(J-1)*NI+I T(IJ)=X(I)*Y(J) END DO CC.....CALCULATE NON ZERO ELEMENTS OF MATRIX [A] C.....ONLY THE DIAGONALS ARE STORED IN 1-D MATRICES C

DO J=2,NJM DO I=2,NIM IJ=(J-1)*NI+I AE(IJ)=DXR2 AW(IJ)=DXR2 AN(IJ)=DYR2 AS(IJ)=DYR2 AP(IJ)=APC CC IF Q(IJ)><0.0 THEN THERMAL SOURCES INSIDE THE DOMAIN C

Q(IJ)=0. END DO END DO CC.....IMPLEMENT BOUNDARY CONDITIONS (DIRICHLET) CC Product of the coefficient and a fixed boundary value is added to C the source term, and the coefficient then set to zero (not C necessarily required by the solver, but it is cleaner this way). CC.....SOUTH AND NORTH BOUNDARY C

DO I=2,NIM J=2 IJ=(J-1)*NI+I Q(IJ)=Q(IJ)-AS(IJ)*T(IJ-NI) AS(IJ)=0. C



J=NJM IJ=(J-1)*NI+I Q(IJ)=Q(IJ)-AN(IJ)*T(IJ+NI) AN(IJ)=0. END DO CC.....WEST AND EAST BOUNDARY C

DO J=2,NJM I=2 IJ=(J-1)*NI+I Q(IJ)=Q(IJ)-AW(IJ)*T(IJ-1) AW(IJ)=0. C

I=NIM IJ=(J-1)*NI+I Q(IJ)=Q(IJ)-AE(IJ)*T(IJ+1) AE(IJ)=0. END DO C

CALL GSS(T, MAXIT) CC.....PRINT ERROR NORM AND SOLUTION FIELD CC In this case we know the exact solution and can calculate the error C norm (and also check if the solver does the job properly). C

ERR=0. DO J=2,NJM DO I=2,NIM IJ=(J-1)*NI+I ERR=ERR+(T(IJ)-X(I)*Y(J))**2 END DO END DO ERR=SQRT(ERR/REAL(NI*NJ)) CC.....ERR is the actual mean error between the true and the calculated solution C

WRITE(*,*)'ERROR =',ERR C

CALL PRINT1(T) C

STOP END CC############################################################### SUBROUTINE PRINT1(FI) C############################################################### PARAMETER (NX=51,NY=51,NXY=NX*NY) COMMON /INDI/ NI,NJ,NIM,NJM,NIJ,NIJK,LI(NX), * LTEST COMMON /COEF/ AE(NXY),AW(NXY),AN(NXY),AS(NXY),AP(NXY),Q(NXY) COMMON /GRID/ X(NX),Y(NY) DIMENSION FI(NXY) CC Export to TECPLOT Format C

WRITE(6,*)'VARIABLES = "X", "Y", "T", "I", "J"' WRITE(6,*)'ZONE I=',NI,', J=',NJ,', F=POINT' DO J=1, NJ



DO I=1, NI IJ=(J-1)*NI+I WRITE(6,10)X(I), Y(J), FI(IJ),I, J ENDDO ENDDO C10 FORMAT(2F10.4, F15.6, 2I5) C

RETURN END C

C############################################################## SUBROUTINE GSS(FI, MAXIT) C############################################################## C This routine contains the Gauss-Seidel solver C============================================================== PARAMETER (NX=51,NY=51,NXY=NX*NY) COMMON /INDI/ NI,NJ,NIM,NJM,NIJ,NIJK,LI(NX), * LTEST COMMON /INDR/ RESMAX,ALFA COMMON /COEF/ AE(NXY),AW(NXY),AN(NXY),AS(NXY), * AP(NXY),Q(NXY) DIMENSION FI(NXY) C

DO N=1,MAXIT CC.....CALCULATE "FALSE" RESIDUAL AND UPDATE VARIABLE C

DO J=2,NJM DO I=2,NIM IJ=(J-1)*NI+I RES=Q(IJ)-AP(IJ)*FI(IJ)-AE(IJ)*FI(IJ+1)- * AW(IJ)*FI(IJ-1)-AS(IJ)*FI(IJ-NI)-AN(IJ)*FI(IJ+NI) FI(IJ)=FI(IJ)+RES/AP(IJ) END DO END DO CC.....CHECK CONVERGENCE C

RESN=0. DO J=2,NJM DO I=2,NIM IJ=(J-1)*NI+I RES=Q(IJ)-AP(IJ)*FI(IJ)-AE(IJ)*FI(IJ+1)- * AW(IJ)*FI(IJ-1)-AS(IJ)*FI(IJ-NI)-AN(IJ)*FI(IJ+NI) RESN=RESN+ABS(RES) END DO END DO C

IF(N.EQ.1) RES0=RESN RSM=RESN/RES0 WRITE(*,*) N,' SWEEP, RSM = ',RSM IF(RSM.LT.RESMAX) RETURN C

END DO C

RETURN END



ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5

1.1 ΓΕΝΙΚΑ 5 1.2 ΑΓΩΓΗ 9 1.3 ΣΥΝΑΓΩΓΗ 11 1.4 ΜΕΤΑ∆ΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 14 1.5 Ο ΠΡΩΤΟΣ ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ 16

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Η ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ FOURIER 20 2.2 ΘΕΡΜΟΦΥΣΙΚΕΣ Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ 22 2.3 Η ΒΑΣΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ (ΕΞΙΣΩΣΗ ∆ΙΑΧΥΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ) 26 2.4 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ∆ΙΑΧΥΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 30

3 ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΜΟΝΙΜΟ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΟ ΠΕ∆ΙΟ 32 3.1 ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΟΙΧΟ 32 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ 33 3.3 ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΣΩΜΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ∆ΙΑΤΟΜΗΣ, ΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΑ ΜΟΝΩΜΕΝΟΥ 36 3.4 ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΑΓΩΓΗ ΣΕ ΚΥΛΙΝ∆ΡΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ 37 3.5 ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΑΓΩΓΗ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ 39 3.6 ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΑΓΩΓΗ ΣΕ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΤΟΙΧΟ ΜΕ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 41 3.7 ΜΟΝΟ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΑΓΩΓΗ ΣΕ ΚΥΛΙΝ∆ΡΙΚΟ ΣΩΜΑ ΜΕ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 44 3.8 ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΠΤΕΡΥΓΙΑ 46 3.9 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ ΠΤΕΡΥΓΙΟΥ 47 3.10 ΠΤΕΡΥΓΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ∆ΙΑΤΟΜΗΣ 48 3.11 ΑΠΟ∆ΟΣΗ ΤΩΝ ΠΤΕΡΥΓΙΩΝ 52

4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 55 4.1 ΓΕΝΙΚΑ 55 4.2 Η ΧΡΗΣΗ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ∆ΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 55 4.3 Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ∆ΙΑΦΟΡΩΝ 57 4.4 Η ΧΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟΥ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 59 4.5 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 61 4.6 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 63

5 ΜΗ ΜΟΝΙΜΗ ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 66 5.1 ΓΕΝΙΚΑ 66 5.2 Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΕΝΗΣ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 66 5.3 ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟ∆ΟΥ ΕΝΤΟΠΙΣΜΕΝΗΣ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 68 5.4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ∆ΙΑΦΟΡΩΝ ΓΙΑ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 71 5.5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΟΓΚΩΝ ΣΕ ΜΗ ∆ΟΜΗΜΕΝΑ ΠΛΕΓΜΑΤΑ 75

6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ 81 6.1 ΓΕΝΙΚΑ 81 6.2 ΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ 82 6.3 ΤΟ ΘΕΡΜΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ 83 6.4 ΣΤΡΩΤΗ ΚΑΙ ΤΥΡΒΩ∆ΗΣ ΡΟΗ 85 6.5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΤΡΩΜΑΤΩΝ 87 6.6 Α∆ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ 92

7 ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΡΟΕΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ 97 7.1 Η ΡΟΗ ΣΕ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥΣ ΣΩΛΗΝΕΣ 97 7.2 ΤΟ ΘΕΡΜΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΝΤΟΣ ΤΟΥ ΣΩΛΗΝΑ 102 7.3 ΘΕΡΜΙΚΑ ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΕΠΤΥΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 103 7.4 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟΣ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟ ΣΩΛΗΝΑ 106 7.5 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΡΜΟΡΟΗΣ 108 7.6 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΑΓΩΓΟΥ 110

8 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 112 8.1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 112

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 115 10 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 132

users.uoi.grusers.uoi.gr/vkalpak/files/Notes_Heat-Transfer_Nikolos.pdfK. A. Hoffmann S.T. Chiang, ˜...

Documents

Transcript of users.uoi.grusers.uoi.gr/vkalpak/files/Notes_Heat-Transfer_Nikolos.pdfK. A. Hoffmann S.T. Chiang, ˜...