Self-Gravitating Lattice Gas

Divana Boukari and Gerhard MullerUniversity of Rhode Island

Benaoumeur Bakhti and Philipp Maass

Universität Osnabrück

Michael KarbachBergische Universität Wuppertal

11/9/2017 [selgra1 – 1/22]

Ideal Lattice Gas

• volume of cell: Vc

• number of cells: Nc

• number of particles: N

• density: ρ = N/Nc

occupied cell

D = 3D = 2D = 1

vacant cell

Equations of state (EOS):

• Lattice gas:pVc

kBT= − ln

`

1 − ρ´

• FD gas:p

PT= fD/2+1(z), ρ

.=

vT

v= fD/2(z)

p ∼ ρ(D+2)/D (isotherm)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Ρ

pVc�

k BT

0 1 2 30

5

vT�v

p�p T

11/9/2017 [selgra2 – 2/22]

Equilibrium Condition

Heterogeneous environment:

• Presence of external potential U(r).

• Equilibrium condition has two parts:

- equation of state (EOS):(local) thermal equilibrium from minimized free energy density,

- equation of motion (EOM):mechanical equilibrium from balanced forces.

• Equilibrium establishes density profile ρ(r) and pressure profile p(r).

• Temperature T remains uniform.

• Potential U(r) here represented by long-range gravitational interactions.

• Mean-field approach proven exact.

• Ensemble inequivalence to be heeded.

11/9/2017 [selgra3 – 3/22]

Gravity in D = 1, 2, 3 Dimensions

Interaction potential Vij and force Fij between occupied cells of mass mc at distance rij :

Vij

Gm2c

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

rij : D = 1,

ln rij : D = 2,

−r−1ij : D = 3.

Fij = − Gm2c

rD−1ij

.

Gauss’ law:I

dA · g(r) = −ADGmin, AD =2πD/2

Γ(D/2)=

8

>

<

>

:

2 : D = 1,

2π : D = 2,

4π : D = 3.

Symmetric self-gravitating cluster with center of mass at r = 0.

Gravitational field: g(r) = − min

rD−1.

Gravitational potential U(r) from g(r) = −dUdr

.

11/9/2017 [selgra4 – 4/22]

Self-Gravitating Lattice Gas at Equilibrium

Thermal and hydrostatic equilibrium:

• EOS:p(r)Vc

kBT= − ln

“

1 − ρ(r)”

,

• EOM:dp

dr=

mc

Vcρ(r)g(r), g(r) = −Gmin

rD−1, min =

mc

Vc

Z r

0dr′

`

ADr′D−1´

ρ(r′).

Scaled variables:

• r.=

r

rs, p

.=

p

ps, T

.=

kBT

psVc, U .

=U

psVc,

• rDs =NVcDAD

, ps =ADG

2Dm2

c

V 2c

r2s .

Relations between profiles:

• EOS & EOM: p(r) = −T ln`

1 − ρ(r)´

,dp

dr= −2Dρ(r)

Z r

0dr′

„

r′

r

«D−1

ρ(r′),

• U(r) = T ln

„

1 − ρ(r)

1 − ρ(0)

ρ(0)

ρ(r)

«

. Reference value: U(0) = 0.

11/9/2017 [selgra5 – 5/22]

Profiles at T = 0: Solid Cluster

• ρ(r) =

(

1 : 0 ≤ r < 1,

0 : r > 1,

• p(r) =

(

1 − r2 : 0 ≤ r < 1,

0 : r > 1,

• U(r) = r2 : 0 ≤ r ≤ 1,

U(r) =

8

>

<

>

:

2r − 1 : D = 1,

2 ln r + 1 : D = 2,

3 − 2/r : D = 3,

9

>

=

>

;

r ≥ 1.0 1 2 3

0

1

2

3

r`

ΡHr`L

p`Hr`L

U`Hr`L

D = 1 D = 2

D = 3

Escape velocity finite in D > 2.

Stable clusters of finite mass exist

• at all T (D = 1),

• at T < Tc (D = 2),

• at T = 0 only (D = 3).

11/9/2017 [selgra6 – 6/22]

Differential Equations for Profiles

Analysis of EOS & EOM at T > 0:

• density: ρ′′ +D − 1

rρ′ − 1 − 2ρ

ρ(1 − ρ)(ρ′)2 +

2DT

ρ2(1 − ρ) = 0, ρ′(0) = 0,

• pressure: p′′ +D − 1

rp′ − 1 − ρ

T ρ(p′)2 + 2D(ρ)2 = 0, p′(0) = 0,

• potential: U ′′ +D − 1

rU ′ − 2Dρ = 0, U(0) = U ′(0) = 0,

with ρ(r) = 1 − e−p(r)/T ; ρ(r) =1

e(U(r)−µ)/T + 1, µ

.=

µ

psVc= −T ln

„

1 − ρ(0)

ρ(0)

«

.

Additional boundary conditions:

• density: DZ ∞

0dr rD−1ρ(r) = 1,

• pressure: 2D(D − 1)

Z ∞

0dr r2D−3p(r) = 1,

• in D = 1 only: p(0) = 1, ρ(0) = 1 − e−1/T .

11/9/2017 [selgra7 – 7/22]

Ideal Classical Gas Limit (1)

ICG assumption: low density ρ(r) ≪ 1 realized throughout the cluster.

ODE for density profile:ρ′′

ρ+

D − 1

r

ρ′

ρ−

„

ρ′

ρ

«2

+2DT

ρ = 0,

with boundary conditions as in ILG.

Analytic solutions for finite clusters:

• D = 1: ρ(r)ICG =1

Tsech2

„

r

T

«

,

solution normalized at all T ,

exponential decay: ρ(r) ∼ e−2r/T .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

r`

Ρ

HdL

T`= 0, 0.1,

0.5, 1.0, 2.0

• D = 2: ρ(r)ICG =4c

T

"

1 + 2c

„

r

T

«2#−2

,

solution normalizable only for Tc =1

2,

power-law decay: ρ(r) ∼ r−4.

11/9/2017 [selgra8 – 8/22]

Ideal Classical Gas Limit (2)

ICG in D = 3 confined to sphere of radius R.= R/rs.

Rescaled variables: r.= r/R, ρ

.= R3ρ, T

.= RT .

ODE:ρ′′

ρ+

2

r

ρ′

ρ−

„

ρ′

ρ

«2

+6ρ

T= 0, ρ′(0) = 0, 3

Z 1

0dr r2ρ(r) = 1.

Normalizable solutions exist for T ≥ TC = 0.794422 . . .

Vega and Sanchez (2006) predict

• spinodal point: TC = 0.79442,

• transition point: TT = 0.8215,

based on computer simulations.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.5

1.0

2.0

5.0

10.0

r

Ρ

T = T c

T = 0.8, 0.9, 1.0, 1.1

11/9/2017 [selgra22 – 9/22]

ILG Profiles in D = 1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r`

p`

HaL

T`= 0, 0.1,0.5, 1.0, 2.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r`

Ρ

HbL

T`= 0, 0.1,

0.5, 1.0, 2.0

Analytic ICG profile:

ρ(r)ICG =1

Tsech2

„

r

T

«

Exact ILG asymptotics:

ρ(r)as ∼ e−2r/T : r ≫ 1

0 1 2 3 4 5 60.01

0.02

0.05

0.10

0.20

0.50

1.00

r`

Ρ

HcLT`= 1.0, 2.0, 3.0

11/9/2017 [selgra9 – 10/22]

ILG Profiles for D = 2: Unconfined Space

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r`

p`

HaL

T`= 0.1, 0.2,

0.3, 0.4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r`

Ρ

HbL

T`= 0.1, 0.2,

0.3, 0.4

Critical ILG profile: T . Tc = 12

ρ(r)ICG =4c

T

"

1 + 2c

„

r

T

«2#−2

Exact ILG asymptotics: 0 ≤ T ≤ Tc

ρ(r)as ∼ r−2/T : r ≫ 11.0 5.02.0 3.01.510-8

10-6

10-4

0.01

1

r`

Ρ

HcL

T`= 0.1, 0.2,

0.3, 0.4

11/9/2017 [selgra10 – 11/22]

ILG Profiles for D = 2: Confined Space

1 2 5 10 20 50 100

10-7

10-5

0.001

0.1

r`

Ρ T`= 0.45

T`= 0.5

HaL

1 2 5 10 20 50 10010-6

10-5

10-4

0.001

0.01

r`

Ρ T`= 0.55

HbL

ILG in D = 2 confined to disk of radius R = 20, 30, 50, 100.

• T = 0.45: stable cluster,

• T = 0.5: stability limit,

• T = 0.55: unstable cluster.

11/9/2017 [selgra23 – 12/22]

ILG Profiles for D = 3: Confined Space

ILG in D = 3 confined to sphere of radius R.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.001

0.0050.010

0.0500.100

0.5001.000

r`

Ρ

T`= 0.21, 0.22, 0.23,

0.235, 0.24, 0.25

0 1 2 3 4

0.001

0.0050.010

0.0500.100

0.5001.000

r`

Ρ

T`= 0.19, 0.195, 0.20,

0.205, 0.21

R = 3

• one normalizable solution at all T ,

• gradual cluster formation,

• no phase transition.

R = 4

• three normalizable solutions in T interval,

• two mechanically stable solutions,

• free energy minimum switches,

• first-order phase transition.

11/9/2017 [selgra24 – 13/22]

ILG Profiles for D = 3: First-Order Transition

ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé

é

ééééééééééééé éé ééééééééééééééé ééééééééééééééé é éééééééééééééé

é

ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

ΡH0L

T`t

ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé

0 0.01

0.14

0.15

0.16

0.17 ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé

0.99 1.

0.14

0.15

0.16

0.17

HaL

ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééé

é

éééééééééééééééééééééééééééééé

0 0.1 0.2 0.30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1�R`

T`t

HbL

Guggenheim plot transition temperature Tt

• critical temperature: Tc . 0.23,

• critical radius: Rc & 3.1

11/9/2017 [selgra25 – 14/22]

Open ILG Clusters

• Closed system: finite mass, confined or unconfined space.

ρ′′ +D − 1

rρ′ − 1 − 2ρ

ρ(1 − ρ)(ρ′)2 +

2DT

ρ2(1 − ρ) = 0, ρ′(0) = 0, DZ R

0dr rD−1ρ(r) = 1.

r.=

r

rs, p

.=

p

ps, T

.=

kBT

psVc, U .

=Umc

psVc, rDs =

NVcDAD

, ps =ADG

2Dm2

c

V 2c

r2s .

• Open system: finite or infinite mass, unconfined space.

ρ′′ +D − 1

rρ′ − 1 − 2ρ0ρ

ρ(1 − ρ0ρ)

`

ρ′´2

+ ρ2(1 − ρ0ρ) = 0, ρ(0) = 1, ρ′(0) = 0.

r.=

s

2Dρ0

Tr, ρ

.=

ρ

ρ0.

• ICG limit ρ0 → 0:

ρ′′

ρ+

D − 1

r

ρ′

ρ−

„

ρ′

ρ

«2

+ ρ = 0 ⇒ ρ(r) ∼

8

>

>

>

<

>

>

>

:

e−√

2 r : D = 1,

r−4 : D = 2,

r−2 : D = 3.

11/9/2017 [selgra26 – 15/22]

Open ILG Cluster in D = 1

Use inverse function r(ρ) for analytic solution:

• r′′ +1 − 2ρ

ρ(1 − ρ)r′ − 1

ρ0ρ2(1 − ρ)(r′)3 = 0, ρ = ρ0ρ, r(ρ0) = 0, r′(ρ0) = −∞

• r(ρ) =

r

ρ0

2

Z 1

ρ

dρ′

ρ′(1 − ρ0ρ′)q

ln 1−ρ0ρ′

1−ρ0

: 0 ≤ ρ ≤ 1

• ρ(r)as ∼ e−ν1(ρ0)r

• ν1(ρ0) =

s

− 2

ρ0ln(1 − ρ0)

• ρ(r)ICG = sech2

„

r√2

«

• finite mass, exponential decay law

2 4 6 8 1010-6

10-5

10-4

0.001

0.01

0.1

1

r�

Ρ�

Ρ0 = 0, 0.9,0.99, 0.999

11/9/2017 [selgra27 – 16/22]

Open ILG Cluster in D = 2

Numerical solution:

• ρ(r)as ∼ r−ν2(ρ0), ν2(ρ0)ρ0→1−→ −2 ln(1 − ρ0)

• ρ(r)ICG =1

`

1 + r2/8´2

• finite mass, algebraic decay law

0.1 1 10 100 100010-9

10-7

10-5

0.001

0.1

r�

Ρ�

Ρ0 = 0, 0.9,0.99, 0.999 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•

•

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

5

10

15

20

ρ0

ν2

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

0.5 0.75 1.

1

2

3

4

ν2 / |2 ln(1-ρ0)|

11/9/2017 [selgra28 – 17/22]

Open ILG Cluster in D = 3

Numerical solution:

• ρ(r)as ∼ 2

r2

• infinite mass, algebraic decay law

• ICG: Bonnor-Ebert sphere◦ gaseous core◦ gaseous halo

• ILG: emerging horizon◦ condensed matter core◦ gaseous shell◦ gaseous halo

0.1 1 10 100 1000 10410-8

10-6

10-4

0.01

1

r�

Ρ�

Ρ0 = 0, 0.9, 0.99, 0.999

11/9/2017 [selgra29 – 18/22]

ICG Asymptotics in D ≥ 3

ρ′′

ρ+

D − 1

r

ρ′

ρ−

„

ρ′

ρ

«2

+ ρ = 0 ⇒ ρ(r) ∼

8

>

>

>

<

>

>

>

:

e−√

2 r : D = 1,

r−4 : D = 2,

r−2 : D = 3.

• ρ(r) ∼ ar−α; α = 2, a = 2(D − 2).

• infinite mass, algebraic decay law

0.1 1 10 100 1000 104

10-7

10-5

0.001

0.100

r˜

ρ˜

D = 3

(a)

1 2 5 10 20 500.001

0.005

0.010

0.050

0.100

0.500

1

r˜

ρ˜

D = 3, 4, 5

(b)

11/9/2017 [selgra30 – 19/22]

ICG Asymptotics in 2 ≤ D ≤ 3

• infinite mass, crossover between algebraic decay laws

0.1 1 10 100 1000 104

10-

10-5

0.001

0.100

r˜

ρ˜

D = 2.5

(a)

0.1 1 10 100 1000 104

10-7

10-5

0.001

0.100

r˜

ρ˜

D = 2.3

(b)

0.1 1 10 100 1000 104

10-7

10-5

0.001

0.100

r˜

ρ˜

D = 2.1

(c)

0.1 1 10 100 1000 104

10-

10-

0.001

0.100

r˜

ρ˜

D = 2.05

( )

11/9/2017 [selgra31 – 20/22]

ICG Asymptotics in 1 ≤ D ≤ 2

ρ′′

ρ+

D − 1

r

ρ′

ρ−

„

ρ′

ρ

«2

+ ρ = 0 ⇒ ρ(r) ∼

8

>

>

>

<

>

>

>

:

e−√

2 r : D = 1,

r−4 : D = 2,

r−2 : D = 3.

• ρ(r) ∼ exp“

−brβ”

; β = 2 −D, limD→1

b(D) =√

2, limD→2

β(D)b(D) = 4.

• finite mass, stretched exponential decay law

0 6 8 10 12-20

-15

-10

-5

0

r˜ 2-D

lnρ˜

� = �� ���� ���� ���

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00

1

2

3

4

5

6

7

D

b(D)

(2-D)·b(D)

11/9/2017 [selgra32 – 21/22]

Outlook

Rotating clusters:

• Competition between gravitational and centrifugal forces.

• Multivalued functional relation between ~L and ~ω.

• instabilities of density profiles:

- binary configurations in D = 1,- ring configurations in D = 2,- effects of hysteresis.

Quantum gas clusters:

• ODE for fugacity profile z(r).

• Comparison between FD and BE gases, CS generalization.

• FD Pauli principle vs ILG hardcore repulsion.

• Relativistic effects.

• BE condensation vs gravitational collapse.

• FD cluster drifting into region of magnetic field.

11/9/2017 [selgra33 – 22/22]