UNIVERSITE PAUL SABATIER ANNEE 2004-2005 M2 RECHERCHE ... · l'heure, de l'époque de l'année, de...

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UNIVERSITE PAUL SABATIER ANNEE 2004-2005 M2 RECHERCHE, ASTROPHYSIQUE, SCIENCES DE L’ESPACE, PLANETOLOGIE, INTRODUCTION AUX SYSTEMES DE COORDONNEES MECANIQUE CELESTE

S

EQUATEURAEZ

N

L,

γ α , δ

ϕ

ORBITE

PR R. TALON

3 1 ASTROMETRIE ........................................................................................................................................................................ 5

1.1 INTRODUCTION ......................................................................................................................................................... 5 1.1.1 LE PROBLEME .................................................................................................................................................... 5 1.1.2 LA METHODE ..................................................................................................................................................... 7

1.2 COORDONNEES GEOGRAPHIQUES ....................................................................................................................... 8 1.3 COORDONNEES HORIZONTALES LOCALES ....................................................................................................... 9

1.3.1 LA REALITE ........................................................................................................................................................ 9 1.3.2 L'APPARENCE................................................................................................................................................... 10

1.4 SYSTEME DE COORDONNEES EQUATORIALES CELESTES........................................................................... 13 1.5 SYSTEME DE COORDONNEES ECLIPTIQUES.................................................................................................... 13 1.6 SYSTEME DE COORDONNEES GALACTIQUES ................................................................................................. 15 1.7 LE TEMPS , L'ANGLE HORAIRE, LA LONGITUDE............................................................................................. 16

1.7.1 TEMPS SIDERAL, TEMPS SOLAIRE.............................................................................................................. 16 1.7.2 L'ANGLE HORAIRE.......................................................................................................................................... 18 1.7.3 RELATIONS GENERALES DU TEMPS SIDERAL ........................................................................................ 18 1.7.4 EXPRESSION DE L'ANGLE HORAIRE D'UNE ETOILE.............................................................................. 20 1.7.5 RELATION GENERALE DE L'ANGLE HORAIRE D'UNE ETOILE............................................................. 21

1.8 TRIANGLES SPHERIQUES DE PASSAGE D'UN SYSTEME A UN AUTRE....................................................... 22 1.8.1 TRIANGLE HORIZONTAL - EQUATORIAL.................................................................................................. 22 1.8.2 TRIANGLE ECLIPTIQUE - EQUATORIAL .................................................................................................... 23 1.8.3 TRIANGLE GALACTIQUE - EQUATORIAL................................................................................................. 23

1.9 RELATIONS DANS LES TRIANGLES SPHERIQUES........................................................................................... 24 1.9.1 RELATIONS GENERALES............................................................................................................................... 24 1.9.2 RELATIONS DANS LES SYSTEMES DE COORDONNEES......................................................................... 27

1.10 RESOLUTION DES TRIANGLES SPHERIQUES ................................................................................................... 29 1.11 FORMULAIRE DE TRIGONOMETRIE SPHERIQUE ............................................................................................ 31

2 MECANIQUE CELESTE ........................................................................................................................................................ 33 2.1 PRINCIPE DYNAMIQUE DU MOUVEMENT ORBITAL ...................................................................................... 33 2.2 DEFINITION DU PLAN ORBITAL .......................................................................................................................... 33 2.3 LOI DES AIRES ......................................................................................................................................................... 35

2.3.1 RELATION R EN FONCTION DE θ ................................................................................................................. 36 2.4 EXPRESSION DE LA VITESSE ............................................................................................................................... 38 2.5 ANOMALIE VRAIE, ANOMALIE EXCENTRIQUE............................................................................................... 39

2.5.1 RELATION ENTRE u ET v................................................................................................................................ 39 2.5.2 RELATION ENTRE u ET t: TROISIEME EQUATION DE KEPLER ............................................................ 40

2.6 POSITION DE L'ORBITE PAR RAPPORT AUX SYSTEMES DE COORDONNEES: PARAMETRES DE KEPLER.................................................................................................................................................................................. 41 2.7 LES PARAMETRES D'ORBITE DEFINIS A PARTIR DES CONDITIONS DU LANCEMENT DU SATELLITE ARTIFICIEL ........................................................................................................................................................................... 42

2.7.1 CONDITIONS DU LANCEMENT..................................................................................................................... 43 2.7.2 PARAMETRES D'ORBITE................................................................................................................................ 44

2.8 POSITION DU SATELLITE A UN INSTANT t ...................................................................................................... 49 2.8.1 PAR RAPPORT A LA SPHERE CELESTE....................................................................................................... 49 2.8.2 PAR RAPPORT A LA SPHERE TERRESTRE ................................................................................................. 50 2.8.3 POSITION DU SATELLITE PAR RAPPORT A UN POINT QUELCONQUE ............................................... 50 2.8.4 POSITION DU SATELLITE PAR RAPPORT A UN LIEU SUR TERRE........................................................ 52

2.9 LES ORBITES PARTICULIERES............................................................................................................................. 52 2.9.1 SATELLITE GEOSTATIONNAIRE.................................................................................................................. 53 2.9.2 SATELLITE HELIOSYNCHRONE................................................................................................................... 53

3 EXERCICES ............................................................................................................................................................................ 55 3.1 ASTRONOMIE DES POSITIONS ............................................................................................................................. 55

3.1.1 ANGLE HORAIRE ............................................................................................................................................. 55 3.1.2 COORDONNEES HORIZONTALES LOCALES ............................................................................................. 55 3.1.3 SYSTEME DE COORDONNEES ECLIPTIQUES GEOCENTRIQUES.......................................................... 55 3.1.4 SYSTEME DE COORDONNEES EQUATORIALES CELESTES................................................................... 57 3.1.5 SYSTEME DE COORDONNEES GALACTIQUES ......................................................................................... 58

3.2 MECANIQUE CELESTE ........................................................................................................................................... 60 3.2.1 SATELLITE ARTIFICIEL DE LA TERRE ....................................................................................................... 60 3.2.2 SONDE INTERPLANETAIRE ET COMETE ................................................................................................... 63

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1 ASTROMETRIE

1.1 INTRODUCTION Le présent cours a pour but de définir les systèmes de coordonnées utilisés en Astronomie et en orbitologie. Ces systèmes de coordonnées sont de trois types: le système géographique, le système local et trois systèmes rattachés à la sphère céleste. Ils permettent de positionner les objets célestes (étoiles, planètes, satellites artificiels, sondes interplanétaires) dans un référentiel absolu défini à partir de la Terre et qui s'appuie sur des points, ou des objets, situés à l'infini et considérés comme immobiles les uns par rapport aux autres: les étoiles. Ces étoiles étant à l'infini (ou quasiment à l'infini), leur distance ne sera pas prise en compte, on supposera que tous les objets seront repérés uniquement par deux angles et le système de coordonnées adopté sera sphérique.

1.1.1 LE PROBLEME Le but de tout référentiel est de donner la position d'une étoile ou d'un objet céleste à l'aide de paramètres spécifiques reliés à des plans ou à des axes caractéristiques repérables sur Terre (axe Nord-Sud, équateur, horizon, verticale, Ecliptique). Les coordonnées locales d'une étoile varient en fonction de l'heure, de l'époque de l'année, de la latitude et la longitude d'un point, il faut trouver un système qui ne dépend pas de ces paramètres et qui sera le référentiel absolu. Formellement il faudra être capable de dire à chaque instant (heure, date), en n'importe quel lieu sur la Terre (qui est le repère local ou relatif), où se trouve le repère absolu et ensuite déduire la position de n'importe quelle étoile, qui aura été repérée dans ce système absolu, dans le repère relatif . La prédiction de la position d'une étoile en un lieu donné permet: A/ de se repérer sur la Terre, B/ d'établir une carte du ciel avec un très grande précision, C/ de déterminer les distances d'objets qui ne sont pas très éloignés (étoiles, planètes.....) et le mouvement de ces étoiles. Ceci permettra de déterminer leur masse par les lois de Képler et ainsi de définir leurs paramètres physiques. Ce dernier point fera l'objet du deuxième chapitre. Le problème est résumé dans le tableau et la figure ci-dessous: L 'apparence La réalité Vitesses Mouvement diurne

Les étoiles et le Soleil tournent d'Est en Ouest dans le sens trigonométrique inverse

La Terre tourne sur son axe d'Ouest en Est dans le sens trigonométrique direct

~ 1800 Km/h pour un point sur Terre

Mouvement annuel

1/ de jour, le Soleil est plus ou moins haut dans le ciel à midi tout au long de l'année,⇒ la durée des jours est plus ou moins longue⇒ les saisons, 2/ de nuit, on ne voit pas les mêmes étoiles à la même heure tout au long de l'année, 3/ les signes du Zodiaque changent ⇒ le Soleil décrit le Zodiaque ⇒ Le Soleil se déplace parmi les étoiles

La Terre tourne sur son orbite en un an

~ 30km/s

Mouvement séculaire

Les étoiles proches du système solaire semblent se déplacer les unes par rapport aux autres

Le système solaire se déplace dans la Galaxie

~ 250 km/s

Les deux premiers mouvements sont illustrés sur la figure 1.

6

SOLEILEQUATEUR

PLAN DE L'ECLIPTIQUE

SENS DE DESCRIPTION DE L'ECLIPTIQUE

12

E

1

2

N

S

Z

S

S

SN

N

N

VOUS ETES ICI ET VOUS FAITES UN TOUR EN 24 HEURES

LE SOLEIL SEMBLE SE DEPLACER PARMI LES ETOILES ET DECRIT LE ZODIAQUE

Figure 1. Composition des mouvements (les étoiles sont à l'infini)

Par rapport à un observateur placé sur la Terre, qui est dans le référentiel relatif, l'aspect du ciel dépendra: 1/ de l'heure de la journée, 2/ de l'angle sous lequel il voit le Soleil, et les étoiles la nuit, à différentes époques de l'année, i. e. le Soleil apparaîtra plus ou moins haut dans la journée à un même heure (figure 1, figure 2) et il semblera de jour en jour se déplacer imperceptiblement parmi les étoiles (le Zodiaque), 3/ de la latitude et de la longitude du lieu.

ZENITH EN UN MEME LIEU

ETE HIVER

DIRECTION DU SOLEIL

HORIZON EN UN MEME LIEU

N

S

+ HAUTE L'ETE ( HEM. NORD)

ε = 23°27'

N

S

SOLEIL

Figure 2. Les saisons

Le problème sera de formaliser et de calculer la position des étoiles en tenant compte de tous ces mouvements.

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1.1.2 LA METHODE Chaque référentiel sera défini par rapport à un axe spécifique et à un plan déduit de cet axe ou inversement. Le repérage du point est fait en coordonnées sphériques dont la coordonnée métrique est supposée égale à 1 quelle que soit sa dimension réelle. On établira toutes les relations en supposant que le point est sur une sphère de rayon unité et dans une étape ultérieure on établira un formalisme qui permettra de restituer cette coordonnée dimensionnelle. L'approche systématique sera de déterminer: 1°/ l'axe principal, 2°/ le plan principal, perpendiculaire à l'axe principal, 3°/ les deux paramètres angulaires, 4°/ leur origine et leur sens d'orientation. La représentation d'un système élémentaire est donnée sur la figure 3.

MERIDIEN DE REFERENCE

MERIDIEN DONNE

POINT DONNER=1

AXE DE REFERENCE

PLAN DE REFERENCE

λ

λ

ϕϕ

Figure 3. Repère élémentaire

En un point dont on veut déterminer les coordonnées, on fait passer un plan contenant le point et le centre de la sphère (et qui contient l'axe de référence). Ce plan définit sur cette sphère un grand cercle qui coupe le plan principal à angle droit. Les coordonnées ( λ, ϕ ) sont définies par les angles entre: 1°/ le plan principal et la direction partant du centre vers le point considéré (ϕ). Cet angle définit un arc qui est une portion du grand cercle contenant le point. 2°/ les deux plans perpendiculaires contenant le point origine et le point dont on veut connaître la coordonnée λ. Une propriété résulte des hypothèses: l'arc et l'angle sous-tendu par l'arc sont exprimés par la même grandeur.

8

1.2 COORDONNEES GEOGRAPHIQUES Objet: définir un point sur la Terre, (figure 4). Axe principal: axe de rotation de la Terre (axe Nord, Sud). Plan principal: Equateur terrestre. Coordonnées: 1°/ latitude d'un point: ϕ comprise entre -90°, 0° dans l'hémisphère Sud et 0°,+90° dans l'hémisphère Nord 2°/ longitude d'un point: L positive vers l'Ouest de Greenwich et comprise entre 0° et 360°, on peut aussi exprimer la longitude en heures, minutes, secondes d'après le tableau suivant (24 h => 360°): 1 h = 15°, 1 mn = 15', 1 sec = 15". REMARQUE: La principale source d'erreur est la confusion entre les angles exprimés en heures ou en degrés Certaines disciplines prennent pour les longitudes la convention inverse.

NORD

SUD

EQUATEUR

GREENWICHTOULOUSE

L < 0

ϕ

Figure 4. Système de coordonnées géographiques

Une autre façon de représenter la longitude est d'effectuer une projection le long de l'axe Nord, Sud. Les longitudes sont représentées par des rayons et l'équateur par un grand cercle (figure 5).

N , S

G

T

EQUATEUR

AXE NORD,SUD

L < 0

L > 0

EST

OUEST

Figure 5. Représentation plane des longitudes

9

REMARQUE: la longitude peut être prise négative en s'orientant vers l'Est Exemples: L = + 90° =====> L = - 270° vers l'Ouest vers l'Est Sur la figure 5 la longitude portée est environ - 45° ou + 315°.

1.3 COORDONNEES HORIZONTALES LOCALES 1.3.1 LA REALITE

On peut repérer les étoiles par rapport à l'Equateur et à l'axe Nord-Sud qui sont les entités de base et incontournables! Mais puisque les étoiles sont à l'infini il revient au même de les repérer, en un point donné (i.e. de latitude et de longitude donnée), par rapport au plan parallèle à l'Equateur et à l'axe parallèle à l'axe Nord-Sud. Ces deux entités s'appelleront l'axe Nord-Sud céleste et l'Equateur céleste AE. Une figure particulière consiste à représenter une coupe passant par un point donné (figure 6).

ETOILE A L'INFINI

EQUATEUR

AXE NORD-SUDZENITH

ϕ

ϕ

ϕ HORIZON

MERIDIEN

MERIDIEN CELESTE

EQUATEUR CELESTE

AXE NORD-SUD CELESTE

Figure 6. Position de l'axe Nord-Sud et de l'Equateur céleste en un lieu

10

La figure dans l'espace donne:

NORD

SUD

ZENITH

LIEU D'OBSERVATION

EQUATEUR

EQUATEURCELESTE

NORD CELESTE

PLAN HORIZONTAL

MERIDIEN

MERIDIENCELESTE

ϕ

ϕ

Figure 7. Représentation en perspective du repère horizontal local et du repère céleste

Sur cette figure le plan horizontal et le plan équatorial céleste sont représentés par une seule droite d'intersection avec le plan méridien.

1.3.2 L'APPARENCE Le système de coordonnées horizontales locales est référencé au plan méridien qui contient l'axe des pôles et qui coupe la sphère locale céleste selon un grand cercle, appelé méridien céleste, mais dont le plan est le méridien terrestre. Objet: le système de coordonnées horizontales locales est relatif à un lieu de longitude et de latitude données. Le point est placé sur une sphère (de rayon unité) centrée sur l'observateur et appelée: sphère locale céleste. Les étoiles semblent se déplacer sur cette sphère, elles sont à l'infini et leur direction est la même où que l'on soit sur Terre. Axe principal: la verticale du lieu (matérialisée par la direction du fil à plomb) qui, en première approximation, passe par le centre de la Terre. Plan principal: le plan horizontal, - matérialisé par le plan d'eau- perpendiculaire à la verticale du lieu, et qui est aussi le plan tangent à la sphère terrestre en un lieu donné. Ce méridien est l'origine d'une des coordonnées locales (figure 8). Coordonnées: Azimut A compris entre 0° et 360°, positif vers l'Ouest du méridien du lieu d'observation. Mais il peut aussi être négatif vers l'Est. hauteur h de l'étoile est comprise entre 0° et +90° au dessus de l'horizon et 0° et -90° au dessous de l'horizon.

11 VERTICALE DU LIEU

ZENITH

NADIR

PLAN HORIZONTAL

MERIDIEN DU LIEU

h

A

Figure 8. Système de coordonnées horizontales locales

Exemple: Les points cardinaux ont pour coordonnées horizontales locales : Nord Sud Est Ouest A +180°

-180° 0° +270°,

-90° +90° -270°

h 0° 0° 0° 0° Le mouvement apparent des étoiles en un lieu donné se fait autour de l'axe des pôles céleste et la durée de révolution sera définie plus bas dans ce cours. On peut représenter le mouvement apparent d'une étoile par un petit cercle perpendiculaire à l'axe des pôles (figure 9).

ZENITH

HORIZON

EQUATEUR CELESTE AE

AXE NORD SUD

LEVER

COUCHER

CULMINATION

h MIN

ϕ δπ/2−ϕ

Figure 9. Mouvement apparent d'une étoile

12 D'après la figure 9, en un lieu on a: 1°/ l'axe parallèle à l'axe de rotation de la Terre appelé axe Nord, Sud céleste, 2° / le plan parallèle au plan équatorial terrestre appelé plan équatorial céleste qui sera toujours par la suite noté AE, 3°/ l'angle entre la direction du pôle céleste et l'horizon représente la latitude du lieu, 4°/ la trajectoire apparente d'une étoile - due à la rotation de la Terre - et en un lieu de latitude donnée, sera dans un plan perpendiculaire à l'axe Nord,Sud passant par l'étoile. Le coucher de l'étoile est à l'intersection du plan de sa trajectoire avec l'horizon . Cette trajectoire présente quatre positions d'étoile particulières dans la journée: a/ le lever, b/ la culmination au moment du passage au méridien côté Sud, c/ le coucher, d/ le passage au méridien côté Nord (hauteur minimum). On constate en particulier sur cette figure que la position de l'étoile par rapport à l'équateur céleste reste constante dans le temps (au cours de la journée), ce qui permet de définir une coordonnée céleste: δ, la déclinaison. Cette figure permet, en outre, d'établir la première relation entre la hauteur, la latitude et la déclinaison dans le méridien côté Sud - c'est à dire à la culmination -:

h max = π ϕ δ2

− + . Le mouvement apparent d'une étoile à l'Equateur donnerait:

ZENITH

HORIZON

EQUATEUR CELESTE AE

AXE NORD SUD

LEVER

COUCHER

CULMINATION

h MIN

δ

ϕ = 0

MERIDIEN

Figure 10. Mouvement apparent d'une étoile à l'Equateur

13

1.4 SYSTEME DE COORDONNEES EQUATORIALES CELESTES Objet: ce système, référencé aux étoiles, est indépendant de la position sur la Terre et de l'heure d'observation. Axe principal: axe de rotation de la Terre (céleste). Plan principal: plan équatorial céleste. Coordonnées: déclinaison δ, comprise entre 0° et 90° dans l'hémisphère Nord et 0 et-90 dans l'hémisphère Sud, ascension droite α, comprise entre 0 et 24 heures, positive dans le sens trigonométrique direct. Remarque: α est toujours positif La représentation des coordonnées équatoriales célestes est donnée sur la figure 11.

NORD

SUD

EQUATEUR

E

α

δ

γ

Figure 11. Système de coordonnées équatoriales célestes

Le point γ est une étoile fictive, origine des ascensions droites que l'on définira ultérieurement.

1.5 SYSTEME DE COORDONNEES ECLIPTIQUES Rappels: la Terre tourne autour du Soleil en 365,25 jours solaires moyens. Le plan d'orbite de la Terre est appelé plan de l'Ecliptique. Ce plan passant par le centre de la Terre et par le centre du Soleil, découpe sur la sphère céleste géocentrique un grand cercle appelé aussi Ecliptique. Par rapport au centre de la Terre, et à l'observateur, le Soleil semblera se déplacer sur ce grand cercle (et donc parmi les étoiles) dans le même sens que la Terre sur son orbite, soit le sens trigonométrique direct (figure 12).

14

_

SOLEILEQUATEUR

PLAN DE L'ECLIPTIQUE

ECLIPTIQUE A LA TERRE

SENS DE DESCRIPTION DE L'ECLIPTIQUE

12

E

1

2

N

S

POSITION APPARENTE DU SOLEIL PARMI LES ETOILES

ETE

AUTOMNE

HIVER

PRINTEMPS

Figure 12. Plan de l'écliptique et sa représentation sur la Terre

Objet: ce système permet de positionner un objet par rapport à l'écliptique et en particulier les planètes et les sondes interplanétaires. Axe principal: l'axe perpendiculaire au plan de l'Ecliptique et passant par le centre de la Terre. Plan principal: le plan de l'Ecliptique passant par le centre de la Terre qui découpe un grand cercle sur la sphère céleste. Coordonnées: latitude écliptique β, comprise entre 0° et 90° dans l'hémisphère Nord écliptique, comprise entre -90° et 0° dans l'hémisphère Sud écliptique longitude écliptique λ, comprise entre 0° et 360° à partir du point γ, positive dans le sens trigonométrique direct. Nous verrons ultérieurement que le point γ appartient par définition au plan de l'Ecliptique et à l'équateur (figure 13, figure 14).

SUD

E

NORD ECLIPTIQUE

ECLIPTIQUE

ECLIPTIQUE

λ

β

γ

15

Figure 13. Coordonnées écliptiques géocentriques

Cas du Soleil: de la définition du cercle Ecliptique il résulte que le Soleil se trouve toujours sur celui-ci. Le Soleil se déplace de jour en jour dans le sens trigonométrique pour atteindre des valeurs caractéristiques aux solstices et aux équinoxes (figure 14).

PRINTEMPS

ETEAUTOMNE

HIVER

AE

ECLIPTIQUE

POINT VERNALPOINT NODAL ASCENDANT

γ

ε = 23°27 '

Figure 14. Coordonnées équatoriales du Soleil

Les coordonnées du Soleil sont donc:

PRINTEMPS ETE AUTOMNE HIVER α 0 h 6 h 12 h 18 h δ 0° +23° 27' 0° - 23°27' λ 0° 90° 180° 270° β 0° 0° 0° 0°

Le point γ est à l'intersection du plan de l'Equateur et du plan de l'Ecliptique. Il est défini comme le point nodal ascendant du Soleil, c'est à dire lorsque le Soleil est au point Printemps. Ces différentes notions permettront d'établir les relations générales du temps sidéral au paragraphe 1.7.

1.6 SYSTEME DE COORDONNEES GALACTIQUES Objet: positionner une étoile par rapport à la Galaxie. Axe principal: l'axe perpendiculaire à la Galaxie. Plan principal: la Galaxie (voie lactée). Coordonnées: latitude galactique b, comprise entre 0° et 90° dans l'hémisphère Nord galactique , et entre - 90° et 0° dans l'hémisphère Sud galactique.

16 longitude galactique l, comprise entre 0° et 360° positive dans le sens trigonométrique direct à partir du centre galactique (figure 15).

E

NORD GALACTIQUE

SUD GALACTIQUE

PLAN GALACTIQUE

l

b

CENTRE GALACTIQUE

C

Figure 15. Système de coordonnées galactiques

1.7 LE TEMPS , L'ANGLE HORAIRE, LA LONGITUDE 1.7.1 TEMPS SIDERAL, TEMPS SOLAIRE

Sur la figure 9, qui définit le mouvement apparent d'une étoile, il reste à déterminer en combien de temps l'étoile va faire un tour complet et comment le formaliser. Le temps est mesuré par la durée que met un objet (le Soleil, une étoile) pour passer successivement au méridien. Le Soleil met 24 heures solaires pour repasser dans le méridien, l'étoile met 24 heures sidérales. Ces deux temps sont différents comme l'indique la figure 16. Le seul moyen de mesurer le temps est donné par l'horloge solaire -une montre- qui mesure le temps qui s'est écoulé entre deux passages consécutifs du Soleil au méridien. Comme le Soleil se déplace parmi les étoiles en décrivant le Zodiaque, la durée de révolution d'une étoile sera différente de celle du Soleil. Ceci est illustré sur la figure 16: la durée de deux passages d'une étoile au méridien n'est pas identique à celle de deux passages du Soleil au méridien. Sur cette figure on voit en particulier que, si l'on se réfère au Soleil, la Terre a effectué un tour +θ, si l'on réfère aux étoiles la Terre a effectué un tour. Il faut déterminer le rapport qui existe entre ces deux durées ou la valeur de θ.

17 La réalité

J

J + 1

UN JOUR SOLAIRE

UN JOUR SIDERAL

SOLEIL

SOLAIRE

θ

Figure 16. Notion de temps sidéral et de temps solaire

En une année solaire soit 365,25 jours solaires, le temps mesuré à partir d'une étoile sera incrémenté de 24 heures (figure 17). L'apparence

EVOLUTION DE L'HORLOGE SIDERALE

PAR RAPPORT A L'HORLOGE SOLAIRE

SOLEIL

HOR.SOL 0H

HOR.SOL 0H

HOR.SOL 0H

HOR.SOL 0H

DIRECTION DE L'ETOILE*

*

*

*

*

HOR.SID 0H

HOR.SID 6H

HOR.SID 12H

HOR.SID 18H

EN RELATIF

MERIDIEN

HOR.SID 24 H1 AN APRES

Figure 17. Décalage entre l'horloge sidérale et solaire

Par jour solaire, le décalage de l'horloge sidérale est de: 1 jour (24 Heures) /365.25.

Le jour sidéral est donc de 1 jour solaire + 1/365.25, soit : 366.25/365.25.

Ce rapport est égal à 1,002738 qui, exprimé en minutes et secondes est égal à: 3 mn 56,56sec

18 Chaque jour les deux horloges s'annulent et l'horloge sidérale , lorsque l'horloge solaire s'annule, marque de jours en jours un temps égal à k fois 3mn 56 sec.

1.7.2 L'ANGLE HORAIRE

Nous disposons d'un moyen de passer indifféremment du temps solaire au temps sidéral. Nous connaissons donc la norme du temps qui fait évoluer les étoiles, il faut donc définir un paramètre physique qui représente le temps et qui aura un sens (toujours positif!!!) . Dans la figure 18 qui complète la figure 9 ce nouveau paramètre est introduit pour une étoile et pour le point γ.

ZENITH

HORIZON

EQUATEUR CELESTE AE

AXE NORD SUD

ϕ

δ

π/2−ϕEH

γ

α

Figure 18. Représentation du système de coordonnées célestes et locales

L'angle H est l'angle entre le plan méridien et le plan passant par l'étoile et l'axe Nord-Sud céleste. Cet angle s'incrémente de 360° en 24 heures sidérales, il est nul dans le plan méridien, positif vers l'Ouest du plan méridien, négatif vers l'Est. Sur la figure 18 l'angle horaire est positif. On peut de la même manière définir l'angle horaire d'une étoile particulière, origine du système de coordonnées célestes: le point γ. L'angle horaire du point γ référencé au méridien céleste de longitude L est appelé: temps sidéral local, qui sera noté pour l'instant H L

γ . Cet angle s'incrémente aussi de 360° en 24 heures sidérales.

1.7.3 RELATIONS GENERALES DU TEMPS SIDERAL

Le temps sidéral est devenu un paramètre physique, il faut le normaliser pour établir des expressions qui permettront d'introduire l'époque de l'année et l'heure dans la journée. Pour cela on adopte un jour de l'année où, à une heure solaire donnée (0h), les deux pendules marquent 0h, il est alors possible de déduire l'heure sidérale à n'importe quelle époque de l'année. Bien entendu ce décalage ne sera valable qu'à 0 heure solaire. Si on adopte maintenant un méridien de référence pour lequel ceci est vrai, on dispose d'une base de normalisation pour toutes les longitudes.

19 Il est nécessaire en outre de définir quand il sera 0 heure solaire astronomiquement: il est 0 heure TU lorsque le Soleil est à Greenwich dans le méridien côté Nord. Le temps solaire universel est le temps solaire de Greenwich appelé Temps Universel (T. U.). Une représentation générale du temps du temps est donnée sur la figure 19.

GREENWICH

H

SOLEIL A 0H TU

H REPRESENTE LE TEMPS SIDERALγ

γ

γ

Figure 19. Représentation du temps

REMARQUE: si on positionne le Soleil, pour une époque et une heure donnée, le point γ est aussi positionné puisque l'on connaît l'ascension droite du Soleil et donc le temps sidéral à Greenwich est connu (figure 20).

0 h TU

PRINTEMPS

AUTOMNESOLEIL

ETE

HIVER

GREENWICH

N,S

21 DECEMBRE

21 SEPTEMBRE

21 JUIN

21 MARS

γ γ

γ

γα = 6h

α = 12h

= 18h

= 0h

α

α

Figure 20. Position du point gamma à 0h TU au cours de l'année à Greenwich

Le point γ sert de base à la détermination du temps sidéral et on dispose d'un système qui permet de passer indifféremment de la sphère céleste à la sphère terrestre régie par le temps solaire.

20

Le temps sidéral universel est celui du point γ à Greenwich, il est défini par H Gγ qui est l'angle horaire du

point γ à Greenwich. Le temps sidéral de Greenwich à 0h TU varie donc en fonction de l'époque de l'année. Il peut être déterminé en première approximation sachant que l'heure TU s'annule lorsque le Soleil est de l'autre côté du méridien de Greenwich (côté Nord, origine des dates) et que l'heure sidérale s'annule lorsque le point γ se trouve dans le méridien côté Sud. Les deux horloges s'annuleront lorsque le Soleil et γ seront à l'opposé l'un de l'autre, c'est à dire en automne le 21 septembre à 0h TU. Plus généralement la figure 21 permet d'établir l'expression du temps sidéral (l'angle horaire du point γ) en n'importe quel point du globe de longitude donnée.

L

N,SGREENWICH

H

HL

Gγ

γ

γ

Figure 21. Temps sidéral de Greenwich et temps sidéral local

Si on appelle: H L

γ = TSL et

H Gγ =TSG.

La relation entre les temps sidéraux est:

TSL + L = TSG (1) Cette relation est vraie est vraie à 0 H T.U., mais aussi pour n'importe quelle 'heure de la journée.

1.7.4 EXPRESSION DE L'ANGLE HORAIRE D'UNE ETOILE Puisque la position du point γ est connue pour n'importe quel point du globe, il est possible de positionner une étoile de coordonnée α par son angle horaire qui est défini par rapport au méridien (figure 22).

21

L

N,SGREENWICH

E

T

H

γ

α

Figure 22. Angle horaire d'une étoile

L'expression qui donne l'angle horaire est:

TSL = H + α (2)

1.7.5 RELATION GENERALE DE L'ANGLE HORAIRE D'UNE ETOILE Il reste à déterminer une relation qui exprime l'angle horaire en fonction de l'heure T U puisque dans le paragraphe 1.7.3 nous avons supposé que le point γ était positionné pour 0 h T.U.. Il suffit dans la relation (1) d'établir l'interpolation de TSG entre deux passages successifs à 0 h TU à Greenwich. Nous savons positionner γ à 0 h TU. Nous savons que l'horloge sidérale se décale de 3mn 56 sec par jour. C'est à dire qu'il faut rajouter cette valeur au temps sidéral de Greenwich toutes les 24 heures solaires. L'expression de l'interpolation est donc obtenue par:

HTU x 366.25 / 365.25 ceci se rajoute à la valeur du temps sidéral de Gr. à 0h TU ce qui donne

TSG = TSG0 + HTU x 366.25/365.25

ou encore

H + α + L = TSG0 + HTU * 366 (3) 25365 25

.

.expression générale pour déterminer l'angle horaire d'une étoile de coordonnée α, en un lieu de longitude L, à une heure TU donnée et pour une époque donnée. Tous les moyens du calcul des coordonnées sont établis, il reste à déterminer les relations de base dans les triangles sphériques.

22

1.8 TRIANGLES SPHERIQUES DE PASSAGE D'UN SYSTEME A UN AUTRE Rappels: nous avons vu les différents systèmes de coordonnées, il reste à se donner les moyens de calculer ces coordonnées, afin de pouvoir passer indifféremment d'un système à l'autre. Pour cela on utilise la méthode des triangles sphériques, puisque tous les paramètres ont été définis sur des sphères de rayon unité. Un triangle sphérique est composé d'arcs de grands cercles et d'angles dièdres. La connaissance de trois paramètres du triangle permet de calculer tous les autres. Dans une première étape nous définirons les triangles sphériques de passage d'un système à l'autre et dans un prochain paragraphe nous établirons le formalisme permettant de calculer ces paramètres. Remarque: Tous les triangles sont définis à partir du système équatorial céleste.

1.8.1 TRIANGLE HORIZONTAL - EQUATORIAL

Le triangle est obtenu en rassemblant les figures 8 et 11 (figure 23).

ZENITH

NADIR

SUD

h

A

H

E

NORD

h

δ

α

Figure 23. Et le triangle de passage est donné sur la figure 24.

π/2 − ϕ

π/2 − δ

π − Α

π/2 − h

HN Z

E

Figure 24. Triangle de passage horizontal équatorial

23 Sur cette figure on remarque l'apparition d'un nouveau paramètre: H. H est un angle exprimé en heures, minutes, secondes qui permet de rendre compte de la marche du temps. H est directement proportionnel au temps, il est orienté positif vers l'Ouest et il est nul dans le plan du méridien côté Sud, sa variation entraîne la variation de tous les paramètres; associé à δ, il constitue le système de coordonnées équatoriales locales. Comme son nom l'indique, ce système est valable pour n'importe quel lieu de longitude donné car H est défini entre le méridien et un grand cercle passant par l'étoile et l'axe Nord, Sud.

1.8.2 TRIANGLE ECLIPTIQUE - EQUATORIAL

Le triangle est obtenu en rassemblant les figures 11 et 13 (figure 25).

NORD ECLIPTIQUE

SUD ECLIPTIQUE

NORD

SUD

E

N

AE

ECLIPTIQUE

γ

α

λ

βδ

ε

ε

π

Figure 25.

La valeur de ε est égale à 23° 27'. Le triangle de passage est donné sur la figure 26.

E

N

E

π/2 − λ

π/2 − βπ/2 − δ

επ

π/2 + α

Figure 26. Triangle de passage écliptique équatorial

1.8.3 TRIANGLE GALACTIQUE - EQUATORIAL

Le triangle est obtenu en rassemblant les figures 11 et 15 (figure 27). La construction de ce triangle nécessite la connaissance de la position du centre galactique et du pôle galactique dans le système équatorial.

24

α = 17 h 42.4 mn C δ = -28° 55'

α = 12 h 49 mn πG δ =+27° 24'

L ' inclinaison de la Galaxie sur l'équateur est égale à 62°36' (d'où la valeur de 27° 24').

33

PLAN GALACTIQUE

AE

NORD GALACTIQUENORD

SUD

E

G

αδ

γ

π

l

b

C

Figure 27. Le triangle de passage est donné sur la figure 28.

E

G

N + 11 h 11 mn62°36'π/2−( − 33°) α

π/2−δππ/2 − b

l

Figure 28. Triangle de passage galactique équatorial

1.9 RELATIONS DANS LES TRIANGLES SPHERIQUES 1.9.1 RELATIONS GENERALES

Ces relations s'établissent en considérant que l'on est sur une sphère, ce qui est l'hypothèse de base utilisée jusqu'à maintenant. La méthode consistera à prendre les coordonnées cartésiennes d'un point (l'étoile) dans deux systèmes de références déduits l'un de l'autre par une rotation d'angle égale à un arc et autour d'un axe commun aux deux référentiels (figure 29). La rotation d'angle c est effectuée autour de l'axe oxx'. r Les coordonnées sont calculées pour le vecteur C

25

A

B

C

ab

c

x

y

z

x'

y'z'

o

Figure 29. Relations dans le triangle sphérique

Les coordonnées à calculer dans le référentiel o xyz sont portées sur la figure 30.

A

B

C

b

c

x

y

z

x'

o

a

C'

R=1

A'

B

x= sina sinBy=-sinacosBz = cosa

Figure 30.

Les coordonnées dans le référentiel o x'y'z' sont portées sur la figure 31. A

B

C

ab

c

xx'

y'

z'

oC"

AC

x'= sinA sinby'= sinb cosAz'= cosb

Figure 31.

26 En appelant C le vecteur de coordonnées x,y,z et

r rC le vecteur de coordonnées x',y',z' la

relation qui lie ces deux vecteurs est: '

rC = [ A ] x

rC '

Ou [ A ] est la matrice de rotation d'angle c autour d'un des axes de références:

A= 1 0 000

cos sinsin cos

c cc c

−

Bien entendu on effectue une rotation aussi autour des deux autres axes principaux et le produit matriciel conduit aux relations suivantes: analogie des sinus

sinsin

sinsin

sinsin

aA

bB

cC

= = (4)

cos c

cos a = cos b. cos c + sin c. sin b. cos A 1cos b = cos a. cos c + sin a. sin c. cos B 2 (5)

= cos a. cos b + sin a. sin b. cos C 3sin b. cos A. cos c = cos b. sin c - sin a. cos Bsin c. cos B. cos a = cos c. sin a - sin b. cos C (6)sin a. cos C. cos b = cos a. sin b - sin c. cos A

Formule des cotangentes: Si dans la formule 5-2 on substitue la valeur de cos c donnée par 5-3 il vient:

cos b sin a = cos a. sin b. sin a. cos C + sin a. sin c. cos B2

en divisant par sina. sinb il vient:

cot .sin cos .cos sinsin

cosb a a c cb

B= +

de la relation (4) il vient: sinsin

sinsin

cb

CB

=

coscos .cos sin .cot sin .cot

.cos sin .cot sin .cotcos cos sin .cot sin .cot

a C a b C Bc B c a Bb A b c A

AC

= −= −= −

(7-a)

et:

coscos .cos sin .cot sin cot

.cos sin cot sin cotcos .cos sin .cot sin .cot

c A c b A Bb C b a Ca

AB a c B C

= −= −= −

(7-b)

Cas particulier d' un angle dièdre droit: pentagone de Néper

27

Si un angle dièdre est droit (figure 32) il ressort du faisceau de formules 4, 5, 6, 7 , lorsque B = π/2, une simplification qui peut être résumée sur la figure 33.

A B

C

c

ab

PENTAGONE DE NEPER

Figure 32. Pentagone de Neper

A

/2 - /2 -c a

C

REPRESENTATION SYMBOLIQUE DU PENTAGONE DE NEPER

COT COT

SIN SIN

COS b

π π

Figure 33. Le cosinus d'un des paramètres est égal au produit des sinus des côtés faces et au produit des cotangentes latérales à ce paramètre. Il faut remarquer que ceci est vrai quel que soit le paramètre.

exemple: cos sin( ).sin( )

cos cot .cot

b c

b A

a

C

= − −

=

π π2 2

mais aussi

cos sin .sin( )

cos cot .cot( )

C A

C b

= −

= −

c

a

π

π2

2

Le cas particulier du pentagone de Néper est très utile en astronomie des positions

1.9.2 RELATIONS DANS LES SYSTEMES DE COORDONNEES 1.9.2.1 TRIANGLE HORIZONTAL - EQUATORIAL

Dans ce triangle les relations sont les suivantes:

cos( ) cos( ).cos( ) sin( ).sin( )cosπ πδ

πϕ

πδ

πδ

2 2 2 2 2− = − − + − −h H

cos( ) cos( ).cos( ) sin( ).sin( )cos( )πδ

πϕ

π πϕ

ππ

2 2 2 2 2− = − − + − − −h h A

28 analogie des sinus

sin( )

sin( )

sin( )

sin

π δ

π

π2 2

−

−=

−

A

h

H

D ' où en transformant ces expressions: sinh sin .sin cos .cos .cos= +ϕ δ ϕ δ H et sin sin .sinh cos .cosh.cosδ ϕ ϕ= − A et

cossin

coshsin

δA H

= ( 10 )

Cas particuliers: Hauteur de l'étoile dans le méridien: Dans le méridien H = 0° donc de (8) il vient:

sinh cos( )= −φ δ d'où

hmax = − +π ϕ δ2

expression déjà établie au paragraphe 1.3.2. Remarques: Cette formule permet aussi de retrouver certaines latitudes caractéristiques sur le globe. En effet si on prend un point du globe où le Soleil passe au moins une fois dans l'année au zénith, dans l'hémisphère Nord, au moment où le Soleil est le plus haut par rapport aux étoiles δ=23° 27', c'est à dire le 21 juin,

l'expression de la hauteur maximum qui dans ce cas précis sera π2

aboutit à:

ϕ= 23° 27' qui est la latitude des tropiques. De la même manière en exprimant que la hauteur maximum du Soleil est égale a 0° pour l'hiver δ=-23° 27' il vient:

ϕ = π2

+ 23°27'

comme la latitude est toujours comprise entre 0° et 90° ceci correspond à une latitude réelle de:

ϕ = π2

- 23°27'= 66° 33' latitude du cercle polaire.

Heure de lever et de coucher d'une étoile en fonction de la latitude et de la déclinaison δ: De (8) il vient, en écrivant que l'heure de lever et de coucher est obtenue pour h = 0°:

cos tan . tanH = − ϕ δ Connaissant H qui ici est égal à ± H et en appliquant la formule (3) on peut calculer HTU. Remarque: A l'aide de cette expression on peut aussi déterminer les cas particuliers suivants: a/ δ=0 , ∀ δ

29

cosH = 0 ====> H= ± π2

donc H = 6±Heures, ∀ δ ====> à l'équateur une étoile (et le Soleil) reste

toujours le même temps (12 heures) au dessus de l'horizon. Il y a toujours égalité des jours et des nuits à l'équateur. b/ δ=0 , ∀ ϕ cosH = 0 ====> pour le Soleil δ = 0° au printemps et à l'automne ====> il y a égalité des jours et des nuits aux équinoxes.

c/ ϕ = π2

-23°27', δ=23° 27'

====> cosH = ±π => H = ± 12 heures ====> au solstice et au cercle polaire le jour dure 24 heures.

1.9.2.2 TRIANGLE ECLIPTIQUE-EQUATORIAL Les relations sont les suivantes:

sin cos sin sin cos sinsin cos sin sin cos sin

β ε δ ε δ α

δ ε β ε β λ

= −

= +

Formule des sinus: coscos

coscos

δλ

βα

=

1.9.2.3 TRIANGLE GALACTIQUE - EQUATORIAL

Les relations sont les suivantes, si i = 62°36' est l'inclinaison de la Galaxie sur l'équateur: sin cos sin sin cos cos( )sin cos sin sin cos sin( )

b i i h mi b i b l

= n+ +

= + − °

δ δ α

δ

11 1133

Formule des sinus: cos

sin( )cos

cos( )bh mn lα

δ+

=− °11 11 33

1.10 RESOLUTION DES TRIANGLES SPHERIQUES La résolution des triangles sphériques pose le problème de l'ambiguïté de la solution lorsqu'on fait appel aux fonctions trigonométriques inverses qui sont: x = sinA A, et π-A x = cosA A, et -A x = tgA A, et π+A Afin de lever cette ambiguïté, une méthode consiste à définir à l'aide de deux formules le même paramètre, ce qui est aisé car on dispose, par exemple, dans le paragraphe 1.8.1 de la formule de l'analogie des sinus, et de celle des cotangentes. La figure 34 illustre cette méthode où on compare le signe de la cotangente ou de la tangente à celui du sinus.

30

SIN >0

COS>COS<

π A = a A= - a

a

Figure 34. Résolution des triangles sphériques

On définit ainsi quatre quadrants, et si on appelle a l'angle compris entre - π2

et + π2

tel que sina = sin(π - A)=sin A il vient: si cotA ou tgA>0 : A=a sinA>0 : 0<a<π/2 si cotA ou tgA<0 : A=π -a si cotA ou tgA>0 : A=π -a soit π+a sinA<0 :-π/2 <a<0 si cotA ou tgA<0 : A=2π+a soit 2π+a Ceci peut, en particulier, s'appliquer à la détermination de l'azimut. La formule des cotangentes donnerait:

sin cos H = cos tg + sin H cot Aϕ ϕ δ Bien entendu on peut aussi comparer le signe du sinus et du cosinus lorsque les conditions du problème le permettent.

SIN<0

A = 2 -!a! A = + !a! π π -a

COS< COS>

31

1.11 FORMULAIRE DE TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

I TRIANGLES RECTANGLES A = π/2

Cos a = cos b . cos c = cotg B . cot C Sin b = sin a . sin B = tg c . cotg C Sin c = sin a . sin C = tg b . cotg B Cos B = cos b . sin C = cotg a . tg b Cos c = cos c . sin B = cotg a . tg b

II TRIANGLES RECTANGLES a = π/2

Cos A = -cos B cos C = - cotg b cotg c Sin B = sin A sin b = tg C cotg c Sin C = sin A sin c = tg B cotg b Cos b = cos B sin c = - cotg A tg C Cos c = cos C sin b = - cotg A tg B

III TRIANGLES QUELCONQUES 1 formules de Borda a+b+c = 2 p

cb

cpbpAsinsin

)sin()sin(2

sin −−=

cb

appAsinsin

)sin(sin2

cos −=

)sin(sin

)sin()sin(2 app

cpbpAtg−

−−=

2 formules corrélatives A+B+C = π + 2S

CB

SASasinsin

)sin(sin2

sin −=

CB

SCSBasinsin

)sin()sin(2

cos −−=

)sin()sin()sin(sin

2 SCSBSASatg−−

−=

3 formules de Néper et de Delambre

2

sec2

cos22

babaCtgBAtg +−=

+

32

2

cos2

sin22

baecbaCtgBAtg +−=

−

2

sec2

cos2

cot2

BABAcgbatg +−=

+

2

cos2

sin2

cot2

BAecBAcgbatg +−=

−

2

sec2

cos2

sec2

sin cCbaBA=

−+

2

cos2

cos2

cos2

sin cecCbaecBA=

−−

2

sec2

sin2

sec2

cos cCbaBA=

++

2

cos2

sin2

cos2

cos cecCbaecBA=

+−

4 formules de Simon Lhuillier

22224

cptgbptgaptgptgtg −−−=

σ

33

2 MECANIQUE CELESTE Les systèmes de coordonnées étant définis, nous abordons maintenant le positionnement d'un objet (satellite, compagnon d'étoile....) par rapport à un système de coordonnées. Le problème va être de repérer un objet se mouvant autour d'un autre et de le positionner en tenant compte des lois qui régissent son mouvement. Nous essaierons de dégager des relations pratiques permettant rapidement de placer l'objet par rapport à la sphère céleste. En outre dans ce mémoire nous ne considérerons qu'une loi d'attraction idéale entre deux corps sans tenir compte des perturbations apportées par d'autres corps. De même l'inhomogénéité des corps sera négligée et on supposera que leur masse est concentrée au centre de gravité.

2.1 PRINCIPE DYNAMIQUE DU MOUVEMENT ORBITAL Chaque corps de masse M attire un autre corps de masse m avec une force proportionnelle au produit des deux masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. C'est la relation bien connue:

F GMmr

= 2

G est la constante de la gravitation universelle: 6,670 10 -11 M K S A.

2.2 DEFINITION DU PLAN ORBITAL Plaçons les deux corps dans deux référentiels, l'un absolu (A, B, C,) et l'autre lié à un des deux corps ξ, η, ζ figure 35. Soient S et P les positions respectives des deux corps repérées par leurs coordonnées cartésiennes (X1, Y1, Z1), et (X, Y, Z).

A

B

C

S

P(X ,Y, Z)

(X1, Y1, Z1)

r

O

ξ

ζ

η

Figure 35.

La masse m est attirée vers M selon la loi de gravitation et sa composante le long de OA est:

rXX

rGMm )1(

2

− ou 3

1)(r

XXGMm −−

34

Si on note &&X d Xdt

=2

2 l'accélération de P parallèle à OA il vient:

mX GMm X Xr

&& ( )= −

− 1

3

Pour les mêmes raisons en considérant maintenant l'attraction de M attirée par m il vient:

3

11

)(r

XXGMmXM −=&&

En divisant respectivement ces deux relations par m et M et en les soustrayant il vient:

3

11 )(

rXXmMGXX −

+−=− &&&&

Nous aurions le même type d'équation en Y et Z. Remarque: on pose µ = G(M+m) . En écrivant, ξ = X-X1, η = Y-Y1, ζ = Z-Z1, où (ξ,η,ζ) sont les coordonnées de P dans un système centré sur S on a donc:

&&

&&

&&

ξ µξ

η µη

ζ µζ

+ =

+ =

+ =

r

r

r

3

3

3

0

0

0

Ce sont les équations qui régissent le mouvement de P dans le système centré sur S. En multipliant la deuxième équation par ζ et la troisième équation par η et en soustrayant il vient:

0.. =− ζηηζ &&&& ou:

0)..( =− ζηηζ &&dtd

en intégrant il vient: A=− ζηηζ &&

De la même manière pour les autres coordonnées on obtient:

ξζ ζξ

ξη ηξ

& &

& &

− =

− =

B

C

En multipliant ces trois équations par ξ, η, ζ et en ajoutant il vient: A B Cξ η ζ+ + = 0

qui est l'équation d'un plan passant par S et plan orbital de l'objet P.

==> L 'orbite de P est plane et elle passe par P et S.

35

EQUATION DU MOUVEMENT Pour déterminer l'équation du mouvement de P nous pouvons utiliser un référentiel (Sx,Sy) contenu dans le plan de l'orbite. Les paramètres nécessaires à la définition de l'orbite sont donnés sur la figure 36.

AB

C

D

x

y

S

F

P

θ

Figure 36.

2.3 LOI DES AIRES Les équations qui régissent le mouvement de P sont donc:

&&x xr

+ =µ 3 0

(1)

&&y yr

+ =µ 3 0

(2)

Si on pose SP = r et Sx,SP = θ on a donc le changement de variable: x = r cosθ et y = r sinθ En appelant α et β les composantes du vecteur accélération de P il vient:

α θ θ

β θ θ

= +

= −

&&cos &&sin&&cos &&sinx yy x

Avec le changement de variable donné plus haut il vient:

& & cos sin . &x r r= −θ θ θθ θ

et && &&cos & sin . & cos & sin .&&x r r r r= − − −θ θ θ θθ2 2

Pour la coordonnée y il vient:

θθθθθθθ &&&&&&&&& .cossin.cos2sin 2 rrrry +−+=

en insérant &&x et &&y dans α et β on obtient après plusieurs réductions: α θ= −&& &r r 2

et en combinant les équations (1) et (2) avec ce résultat il vient:

)sincos(sincos 3 θµθθα yxr

yx +−=+= &&&& ou

36

2sincosr

yx µθθ −=+ &&&&

et:

22

rrr µθ −=− &&& (3)

De même pour β on obtient:

β θ θ= + =2 0&& &&r r mais

2 1 2&& && ( &)r rr

ddt

rθ θ θ+ = et

et en intégrant il vient la deuxième relation fondamentale:

ddt

r( &)2 0θ = LOI DES AIRES

DEUXIEME EQUATION DE KEPLER 2.3.1 RELATION R EN FONCTION DE θ

Les équations (3) et (4) vont nous permettre d'établir la relation entre r et θ en éliminant le temps t dans (3) à partir de la relation (4). Posons:

ur

=1 (5)

donc de (4) il vient θ = (6)

& hu2

et:

&r drdt u

dudt u

dud

ddt

= = − = −1 1

2 2 θθ

ainsi d'après (6) il vient:

&r h dud

= −θ

et de plus:

&& (&) (&)r ddt

r dd

r ddt

= =θ

θ

= −

hu d

dh du

d2

θ θ

de telle sorte que

&& (7) r h u d ud

= − 2 22

2θ en utilisant la relation (6) il vient: (8) r h&θ2 2= u3

l'équation (3) devient par l'intermédiaire de (7) et (8):

37

− − = −h u d ud

h u u2 22

22 3 2

θµ et

d ud

uh

2

2θµ

+ = 2 (9)

La solution générale de (9) est donnée par:

[uh

e= + − ]µθ ω2 1 cos( )

(10) dans laquelle e et ω des constantes d'intégration. D'après (5) il vient:

r he

=+ −

2

1µθ ωcos( )

(11) PREMIERE EQUATION DE KEPLER

En posant p h= 2 µ l'équation (11) est l'équation d'une conique qui est:

(i) (ii) (iii) (iv)

un cercle une ellipse une parabole une hyperbole

si e=0 si e<1 si e=1 si e>1

RAPPEL: dans une ellipse si on appelle a le demi grand axe, b le demi petit axe, e l'excentricité la relation qui lie ces trois grandeurs est:

b a e2 2 21= −( ) p b a a e= = −2 21( )

En utilisant la deuxième relation il vient: (12)

h a e2 1= −µ ( 2 )

L'équation (11) devient:

r a ee

=−

+ −( )cos( )1

1

2

θ ω

(12a) Dans l'expression (4) le terme r d2 θ représente le double de l'élément d'aire en coordonnées polaires parcouru pendant un intervalle dt. Le taux d'accroissement de cet élément d'aire est h. Donc l'aire parcourue pendant une période de révolution T est : 2 πab et

2πabT

si on appelle n moyen mouvement la vitesse angulaire moyenne de révolution de P soit : n = 2 π /T] et d'après la relation (12) il vient: n a G M m2 3 = = +µ ( )(13)

38

2.4 EXPRESSION DE LA VITESSE Le vecteur vitesse s'exprime par: (14)

V r r2 2 2= +& &θ2

sachant que

&r h dud

= −θ

et que

dud h

eθ

µθ ω= − −2 sin( )

il vient

& sin( )rh

e= −µ

θ ω

(15) puisque r h2 &θ = on a:

[r huh

e& cos( )θ ]µθ ω= = + −1

(16) et en élevant au carré (15) et (16) on a venant de (14)

[Vh

e22

221 2= + − +

µθ ωcos( ) ]e

(17) qui peut être écrit

[ ]Vh

e e22

222 2 1= + − − −

µθ ωcos( ) ( )

et en utilisant (10)

V uh

e22

222 1= − −µ

µ ( )

et d'après (12) et si u=1/r,

Vr a

2 2 1= −

µ

(18) Remarque: le vecteur vitesse est contenu dans le plan orbital. En mécanique céleste, l'expression µ intervient souvent (expressions 13,18), et pour des raisons de commodités de calcul on utilise des unités spécifiques relatives à la nature du centre attractif. Si le centre attractif est la Terre, µ est égal à 631.4 pour des distances exprimées en kilomètres et des temps exprimés en secondes de temps solaire. En utilisant cette valeur de

µ , n sera exprimé en radians par secondes, et V en km/sec. Si le centre attractif est le Soleil, µ est égal à 0.017202 pour des distances exprimées en unités astronomiques et des temps exprimés en jours solaires moyens. n sera exprimé en radians par jours solaires moyens et V en unités astronomiques par jours solaires moyens.

39

Ces valeurs peuvent être retrouvées dans l'un et l'autre cas en sachant que la dimension de G est L3M-1T-2, avec a = 1UA demi grand axe de l'orbite de la Terre:

MT=5.976 1024 Kg

M⊗=1.989 1030Kg

1UA=1.495979 108 Km

2.5 ANOMALIE VRAIE, ANOMALIE EXCENTRIQUE En effectuant un changement de coordonnées polaires en posant v = θ - ω la figure 26 peut être simplifiée, v s'appelle l'anomalie vraie. L'ellipse se déduit d'un cercle par affinité orthogonale (figure 37).

AB

DP

Q

Ra

b

ae

vu

C S

APOGEEAPHELIE

PERIGEEPERIHELIE

les paramètres "métriques" de l'orbite

Figure 37.

Le point A est appelé périhélie ou périgée, le point B est l'aphélie ou l'apogée. L'affinité orthogonale se traduit par la relation:

PRQR

ba

=

La distance CS est égale à ae, l'angle u est l'anomalie excentrique, il est parfois appelé E dans certaines littératures. Sur la base de l'affinité on pourra établir des relations liant u et v, le principal résultat de cette transformation est la simplicité de la relation liant u à t car on peut considérer que Q est un satellite fictif animé d'un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire n, le mouvement de P se déduit de celui de Q par affinité orthogonale.

2.5.1 RELATION ENTRE u ET v On a PR = r sinv et QR = CQ sin u = a sin u. On a donc, déduit de l'affinité:

r sin v = b sin u Et aussi SR = r Cos v et SR = CR-CS= a cosu -a e donc: r cos v = a(cos u - e) (19)

40

En élevant ces deux relations au carré, en les ajoutant et en posant on obtient:

b a e2 2 21= −( )

r a e u= −( cos1 ) (20) De même:

)cos1(2

sin2 2 uervr −=

= − − −a e u a u e( cos ) (cos1 ) En appliquant (19) et (20) on obtient:

22

1 12r v a e usin ( )( cos )= + −

(21) De manière identique on a:

2 22

1 1r v a e ucos ( )( cos )= − +

(22)

Et enfin en divisant (21) par (22) tan tan/v e

eu

211 2

1 2

=+−

2.5.2 RELATION ENTRE u ET t: TROISIEME EQUATION DE KEPLER

Cette relation peut s'établir aisément à partir de l'expression de l'élément d'aire en coordonnées cartésiennes et pour une représentation paramétrique soit:

xdy-ydx=h dt ou

x=r cos v = a(cos u-e) y = r sin v = b sin u]

en différenciant x et y il vient: ba u e udu ba udu hdt(cos )cos sin− + =2

d'où ba e u du hdt( cos )1− =

avec hba a

=µ

3 2/

donc l'équation se résume ainsi: u e u n t t− = −sin ( )0 (24)

TROISIEME EQUATION DE KEPLER RESOLUTION DE L'EQUATION DE KEPLER: l'équation de Képler peut se résoudre simplement lorsque e < 1. En effet si on pose M = n(t-t0) on peut construire une suite convergente de la forme:

41

u Mu M e uu M e u

u M e uu M e u

n n

n n

0

1 0

2 1

1 2

1

== += +

= += +

− −

−

sinsin

.

.sinsin

La précision ε de calcul est donnée par le terme: u un n− ≤− 1 ε

2.6 POSITION DE L'ORBITE PAR RAPPORT AUX SYSTEMES DE COORDONNEES: PARAMETRES DE KEPLER

L'orbite et sa description dans le temps est définie, il reste à la placer par rapport aux systèmes de coordonnées utilisés au premier chapitre. Nous envisagerons les deux cas du système géocentrique et du système héliocentrique. Nous avons vu au paragraphe 2.2 que l'orbite est plane et qu'elle passe par le centre des deux corps. Rappelons que le centre de la Terre et le centre du Soleil sont à l'origine des deux systèmes de coordonnées, le plan orbital passe donc par ce point et il découpe sur la sphère rattachée au système un grand cercle sur lequel on peut placer les paramètres de l'orbite. Ces paramètres (de Képler) sont au nombre de 6 et définis par rapport au plan de référence (équateur, écliptique) et au plan orbital. Certains sont implicites (a,e,t0) d'autres peuvent être explicités sur le grand cercle du plan orbital (figure 38).

i

N

S,TEQUATEUR

ECLIPTIQUE

PLAN ORBITAL

γ Ω

ωp

paramètres de Kepler Figure 38.

Les paramètres de Képler sont donc: a = demi grand-axe de l'orbite

e = excentricité de l'orbite

i = inclinaison de l'orbite

Ω = argument du noeud ascendant

ω = argument du périgée

42

t0 instant de passage au périgée

Conventions: a / l'orbite est décrite à priori dans le sens direct, nous verrons que ceci est lié aux conditions du lancement, b/ le nœud est le nœud ascendant, c/ i est compris entre 0° et 180°, si i >90°, l'orbite est rétrograde, d/ les angles sont toujours pris positifs dans le sens direct.

2.7 LES PARAMETRES D'ORBITE DEFINIS A PARTIR DES CONDITIONS DU LANCEMENT DU SATELLITE ARTIFICIEL La position de l'orbite par rapport à la sphère céleste et par rapport à la sphère terrestre est donnée sur la figure 39 Tant que les paramètres sont angulaires il y a correspondance exacte entre les paramètres terrestres et célestes.

S

EQUATEURAEZ

N

L,

γ α , δ

ϕ

ORBITE

Figure 39.

Considérons la figure 40 qui résume les conditions du lancement.

i

N

A EQUATEUR

PLAN ORBITAL

AE

N

S

V->

H

T

VERTICALE

γ Ω

ω ϕ = δ

43

paramètres d'orbite en fonction des conditions du lancement Figure 40.

Le plan orbital est défini par deux conditions: 1°/ il contient le foyer attractif - la Terre - dont la masse est concentrée en son centre de gravité 2°/ il contient le vecteur vitesse. Le premier paramètre est implicite, incontournable et invariable, le second va dépendre des conditions du lancement. 2.7.1 CONDITIONS DU LANCEMENT

Paramètres implicites: a/ le lieu du lancement défini par sa longitude et sa latitude ϕ, b/ l'instant et l'époque du lancement (t0, TSG0), Paramètres explicites: * le vecteur vitesse défini par sa direction, son sens, et son module:

44

A = Azimut du vecteur vitesse

h = hauteur du vecteur vitesse

V = module du vecteur vitesse

* l'azimut, la hauteur du vecteur vitesse sont définis par rapport au système local du point d'injection sur orbite soit le plan perpendiculaire à la normale du lieu et passant par le point de la mise sur orbite. * l'altitude au point d'application de la vitesse ou la distance au centre da la Terre (RT +

Za ou Zp).

2.7.2 PARAMETRES D'ORBITE

Le point de lancement et l'instant du lancement étant fixés, c'est le vecteur vitesse qui définit l'orbite initiale. Sur la figure 41 le triangle sphérique NHA contient tous les paramètres angulaires de l'orbite, ce triangle est un pentagone de Néper (figure 41).

/2 - /2 - NH

iA -L

π ϕ π

ω

π

Figure 41. Il faut donc définir le vecteur vitesse par rapport à ce triangle sphérique (figure 42):

N H

A

i

VAL

A -L

π

ϕω

position du vecteur vitesse dans l'espace Figure 42.

45

1°/ l'azimut du vecteur vitesse. C'est par définition l'angle entre la direction du vecteur et la direction du Sud, il est noté AL sur la figure 43. L'angle dièdre en A est donc égal

à AL − π . 2°/ la hauteur du vecteur vitesse, c'est l'angle entre le plan normal à la verticale (l'horizon local) du lieu et le vecteur vitesse. Pour des raisons que nous verrons plus loin cet angle sera égal à zéro ce qui implique que l'on se trouve soit à l'apogée soit au périgée, (le vecteur vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur), tout dépendra de la distance au foyer du vecteur vitesse comparée à son module (figure 43, figure 44).

Vp

Va

R T

T

Zp

ZA

Figure 43.

T

Va

ZaR T

Figure 44.

Orbite dont la vitesse par rapport à l'altitude est insuffisante Dans le cas où l'on se trouverait à l'apogée pour une altitude insuffisante, l'orbite peut recouper la Terre. Remarque: on note en général la distance périgée ou périhélie:

q= a(1-e) et la distance apogée ou aphélie:

Q= a(1+e) 3°/ le module du vecteur vitesse et la distance au centre du point d'application de la vitesse: ce module du vecteur vitesse est donné par l'expression:

Vr a

2 2 1= −µ( )

dans le cas de la vitesse périgée on aura: V

R Zp aP

T

2 2 1=

+−µ( )

46

de même pour la vitesse apogée

VR Z a

AT A

2 2 1=

+−µ( )

ces deux relations permettent d ' écrire VA . V P= µ/a

vitesses caractéristiques: à une altitude donnée et pour un vecteur vitesse perpendiculaire à la verticale du lieu, on peut délimiter deux vitesses caractéristiques:

a= RT + Z VR Z

CT

2 =+µ

ORBITE CIRCULAIRE

a → ∞ VR Z

parT

2 2=

+µ ORBITE PARABOLIQUE

si VC < V< Vpar l'orbite est elliptique au périgée, si V < VC l'orbite est elliptique à l'apogée et si V > Vpar l'orbite est hyperbolique. Vpar est la vitesse de libération du satellite pour une altitude donnée. Vitesse d'entraînement de la Terre: au point A au moment du lancement le vecteur vitesse

rV est la résultante de deux

vecteurs, l'un est la vitesse V0 du moteur, l'autre est la vitesse d'entraînement de la Terre (figure 45).

VV

Ve

0

N

S

AL

A 0

A B

C

Figure 45.

composition des vitesses au lancement Cette vitesse d'entraînement de la Terre dépend de la latitude du lieu et de la vitesse de

rotation de le Terre (figure 46).

47

R

RT

N

S

EQUATEUR

+

V

ϕ

Figure 46.

De la figure 46 il résulte que V Re T= Ω .

2

24π

ϕH

Rsid

T cos

ou 0.4645.cosϕ km/sec

si RT est supposé égal à 6370 kilomètres.

A0 et V0 étant les conditions initiales du lancement, on peut calculer l'azimut et la vitesse réels en résolvant le triangle ABC. Il vient:

V Ve V V V Ae2 2

02

0 022

= + − −cos( )π

et V

A

V

ALsin( ) sin( )0

0

232

−=

−π π .

Pour un azimut de lancement quelconque et pour utiliser au maximum la vitesse d'entraînement de la Terre, il faut que V0 soit dans le plan horizontal local, le point A est, soit le périgée, soit l'apogée, nous avons vu que le lancement doit s'effectuer au périgée.

Résumé

V0 est vitesse communiquée par le moteur, Ve est la vitesse d'entraînement de la Terre au point de mise à poste,

V ou Vrou VT est le vecteur total de mise à poste, dont le module est utilisé dans la formule:

Vr a

2 2 1= −µ( )

On obtient donc le pentagone de Néper suivant (figure 47), où AL et φ sont connus:

48

i

π/2−φ π/2−ΝΗ

LΑ − π

ω Figure 47.

Les relations du pentagone de Néper donnent:

cos sin( ).sin( )

sin .cos

i AL

AL

= − −

= −

ππ

ϕ

ϕ2

et cos( ) cot( ).cot( )

sin .

πϕ π

π

ϕ2 2

− = − −

=

A N

tgNH tgA

L

L

H

enfin cos( ) cot

cos

A tg

tg tgA

L

L

− =

= −

π ϕ ω

ωϕ

Cas particulier du lancement vers l'Est. Conséquences. Si maintenant on veut que le vecteur vitesse d'entraînement de la Terre s'applique

totalement il faut lancer vers l'Est avec un azimut de π2

, les formules précédentes

donnent: 1°/ cos i = cosϕ

2°/ NH = π2

3°/ ω = π2

conséquence: un satellite, s'il est lancé vers l'Est, ne peut survoler une latitude supérieure à sa latitude de lancement. Pour qu'il survole une latitude supérieure, il faut

le lancer avec un azimut différent de 32π .

La figure correspondant à l'azimut de 32π est donnée figure 48.

49

i

N

S,TEQUATEURECLIPTIQUE

PLAN ORBITALA

POINT DE LANCEMENT

γ

Ω

ω

cas particulier du lancement vers l'EST Figure 48.

2.8 POSITION DU SATELLITE A UN INSTANT t Le problème est maintenant de définir la position du satellite par rapport au référentiel absolu et au référentiel "mobile": la Terre. 2.8.1 PAR RAPPORT A LA SPHERE CELESTE

La sphère céleste étant le référentiel absolu, les équations du mouvement s'appliquent à ce référentiel le problème est de calculer α et δ du satellite à un instant t. Soit un instant t au bout duquel on souhaite connaître la position du satellite, les paramètres de Képler a,e,i, ω, Ω,t0 sont connus et l'équation de Képler donne:

u e u n t t− = −sin ( )0 et

tg v ee

tg u2

11 2

=+−

d'où l'on déduit v. v, porté sur la figure 49, est la distance angulaire entre les deux points "distants" de t-t0.

i

N

AS,T EQUATEURECLIPTIQUE

PLAN ORBITAL

B

t

t

0

v( )

vr

HH'

( )

γ

Ω

ω

position du satellite à un instant t

Figure 49.

50

Pour calculer les coordonnées célestes il suffit de se souvenir que le satellite est "à la verticale du lieu qu'il survole", donc il est dans le méridien de ce lieu, son angle horaire

H par rapport à ce lieu est nul et sa hauteur est π2

.

Le triangle NH'B est un pentagone de Néper dont l'hypoténuse est égale à ω+v où i est connu. H'B est la déclinaison du satellite et Ω + NH' est son ascension droite. Les relations de ce pentagone donnent:

tgNH i tg vi v

' cos . ( )sin ' sin sin( )

= +

= +

ωδ ω

2.8.2 PAR RAPPORT A LA SPHERE TERRESTRE

Dans ce triangle sphérique, H'B représente la nouvelle latitude survolée, elle est donc égale à δ. Remarque: puisqu'à chaque instant le satellite est à la verticale d'un lieu de latitude et de longitude

donnés, sa hauteur est égale à π2

, celle ci est reliée à ϕ et δ par l'équation:

h max ' '= − +π

ϕ δ2

⇒ ϕ'=δ' pour hmax= π2

.

Pour connaître la nouvelle longitude survolée il faut tenir compte du mouvement du satellite sur son orbite, mais aussi de la rotation de la Terre sur son axe durant l'intervalle de temps t-t0. On sait que H = 0 et on connaît la nouvelle ascension droite α' = Ω + NH', la relation TSL'+ L'= TSG0 + t.366.25/365.25 s'applique toujours d'où:

L TSG t NH' . ..

'= + − −0366 25365 25

Ω

et puisque:

L TSG t NH= + − −0 0366 25365 25

. ..

Ω

il vient:

L L t t NH NH' ( ). ..

( '− = − − −0 366 25365 25

)

Le terme (t-t0).366.25/365.25 représente la rotation de la Terre et NH-NH' représente le mouvement du satellite sur son orbite.

2.8.3 POSITION DU SATELLITE PAR RAPPORT A UN POINT QUELCONQUE

Les dernières relations ont été établies par rapport au point de la Terre survolé, c'est à dire lorsque le satellite est dans le méridien d'un lieu. Si on veut maintenant connaître sa position par rapport à un point quelconque placé sur la sphère céleste et qui n'est pas à l'infini (le Soleil), il est nécessaire de tenir compte de la distance réelle de chaque point. Il en est de même pour définir sa position par rapport à la Terre.

51

La figure 50 illustre le problème. Le satellite est repéré: 1°/ par ces coordonnées équatoriales célestes et sa distance au centre de la Terre 2°/ par la latitude et la longitude du point qu'il survole. Le point sur la Terre par rapport auquel on veut connaître la position du satellite est défini par ses coordonnées géographiques ainsi que sa distance au centre de la Terre. On peut aussi rajouter un point de la sphère céleste (le Soleil) qui est défini par ces coordonnées célestes et sa distance au centre de la Terre.

N

S

L-L'

A

C

SAT

O

SOLEIL

Z

S

D

S

S-

d S

S

γ

ϕδ

δ

α

α

ψ

ξ

α α

Figure 50.

L'angle ξ qu'il faut donner pour viser le point sur la Terre à partir du satellite peut se calculer en résolvant le triangle O A SAT. Dans ce triangle OA est connu (RT), O SAT est connu (r distance au centre de la Terre) il reste à calculer l'angle au sommet AOC. Cet angle peut être calculé par la résolution du triangle sphérique NAC, dont on connaît deux coté (NA,NC) et un angle dièdre (L-L'). Il vient donc:

cos cos( )cos( ) sin( )sin( )cos( ' )AC L L= − − + − − −π ϕ π δ π ϕ π δ2 2 2 2

et ASAT R r R r ACT T

2 2 2 2= + − . cos . Les angles se déduisent de la relation:

sin sinψOA

CAASAT

=

De même pour connaître l'angle au Soleil on aboutit aux relations:

52

cos cos( )cos( ) sin( )sin( )cos( )CD S S= − − + − − −Sπ δ π δ π δ π δ α2 2 2 2

α

et SSAT d r d Cs sr

2 2 2 2 D= + − cos enfin

sin sinξd

CDSSATs

=

2.8.4 POSITION DU SATELLITE PAR RAPPORT A UN LIEU SUR TERRE

Lorsque le satellite n'est pas dans le méridien d'un lieu, il n'est pas possible de calculer son azimut et sa hauteur en connaissant son ascension droite et sa déclinaison car celles ci ont été calculée à partir du centre de la Terre. Or le satellite n'est pas à l'infini par rapport à la Terre. Il est donc aussi nécessaire de tenir compte des positions réelles de chaque point, pour calculer l'azimut et la hauteur apparents (figure 51).

N

S

L'-L

A

B

C

a

bSAT

Az

/2 - h

L L'

H'

O

γ

ϕ θ

δ

π

Figure 51.

L'azimut apparent est l'angle BAC et la hauteur apparente est exprimée par la distance

zénithale π2

-h qui elle même est égale à π-θ.

Dans le précédent paragraphe, le triangle OASAT a été résolu, l'angle θ est déterminé par la relation:

sin sinθr

CAASAT

=

L'azimut réel est calculé par la résolution du triangle BAC. L'arc a peut être calculé par la résolution du triangle BH'C. Il vient:

cos a=cos(L'-L)cos δ et

cos cos( ' )cos cos cossin sin

A L L CCA

Z =A− −δ ϕ

ϕ

2.9 LES ORBITES PARTICULIERES

53

L'orbite standard d'un satellite est une orbite circulaire d'altitude 320 Kms - navette spatiale - ou 500Kms - satellite astronomique, géophysique -. Si on veut étudier la cavité géomagnétique et l'espace interplanétaire, il existe des satellites scientifiques d'orbite très excentriques - 2000, 200000 Kms -. Cependant, l'utilisation de l'espace étant de plus en plus appliquée, il existe des orbites spécifiques à des applications précises: 1/ les télécommunications et l'observation de la Terre à grande échelle, (satellites géostationnaires): Télécom, TV sat, Météosat, 2°/ l'observation de la Terre (satellite héliosynchrone). 2.9.1 SATELLITE GEOSTATIONNAIRE

Objectif: ce satellite doit rester fixe par rapport à un point sur Terre. Ceci permet, en Télécommunications, de pointer les antennes avec une très grande précision nécessitée par leur très grand gain et donc leur très grande directivité. Pour être fixe par rapport à la Terre un satellite doit remplir deux conditions: a/ sa vitesse angulaire doit être exactement celle de la Terre,

b/ la latitude de survol doit être constante (h max = − +π ϕ2

δ , si φ est constant, δ est

constant, hmax est constant. Condition a: la vitesse angulaire de la Terre est:

224

πHsidérales

qui doit être exprimée en temps solaire (système S.I.), Soit: 2

365 25366 25

86400732921 10 5 1π

.

.*

.= − −s ,

cette expression est elle même égale à: 631 4

3 2

./a

ce qui correspond à une altitude de 35796 Kms. Condition b: la seule inclinaison possible est 0°, soit l'orbite équatoriale, d'où la nécessité de lancer très prés de l'équateur, pour utiliser au maximum la vitesse d'entraînement de la Terre.

2.9.2 SATELLITE HELIOSYNCHRONE Nous ne traiterons pas dans ce paragraphe tout le problème du satellite héliosynchrone qui fait appel à la théorie des perturbations d'orbite. Nous ne considérerons que les définitions. Pour plus de détails on pourra consulter le cours de technologie spatiale du C.N.E.S.: " Le mouvement du véhicule spatial en orbite" édition de 1980. Objectif du satellite héliosynchrone: assurer une répétitivité d'observation de la terre à des angles horaires avec le Soleil identiques: un satellite héliosynchrone doit survoler le même point de latitude et de longitude donné de telle façon que l'ombre portée de la végétation et du relief soit la même qu'au précédent passage. Pour cela le satellite doit satisfaire -en première approximation- deux conditions:

54

a/ couvrir toutes les latitudes, donc l'orbite est quasiment polaire ceci permet en outre de survoler les mêmes latitudes au bout d'une même période de temps ==> il doit y avoir un phasage entre la période de révolution du satellite et la rotation de la Terre. Ainsi pour Spot on a choisi 14 révolutions du satellite pendant une période de rotation de la Terre. Au bout de 24 heures sidérales (une révolution de la Terre) le satellite survolera exactement le même point, mais il existe aussi une contrainte de couverture afin de prendre des prises de vue de tout le globe. Cette contrainte tient compte du champs de l'appareil de prise de vue. En fait on introduit ainsi un léger décalage en longitude qui permet de photographier -compte tenu du champs d'ouverture- la même zone qu'au dernier passage mais aussi une nouvelle zone. Pour Spot le nombre de révolutions est donc de 14+5/26. b/ contrainte d'héliosynchronisme: en plus du survol du même point le satellite doit se trouver sous le même angle au soleil, c'est à dire que l'angle horaire solaire doit être constant par rapport à la longitude survolée. Ceci n'est possible que si le plan d'orbite "suit" le soleil qui se déplace -rappelons le- par rapport au système de coordonnées géocentriques (figure 52).

PLAN D'ORBITEDE JOUR EN JOUR

POSITION DU SOLEILDE JOUR EN JOUR

d dd dtt

=

ECLIPTIQUE

α Ω

Figure 52.

55

3 EXERCICES

3.1 ASTRONOMIE DES POSITIONS 3.1.1 ANGLE HORAIRE

1 Le 5 février, on observait le Soleil, les pendules locales indiquaient: heure T.U. = 14h 28mn 48,3 s TSL = 18h 21mn 27,5s Sachant qu'à 0h T.U., Le Temps sidéral de Greenwich était égal à: 8h 58mn 32,3s, calculer la longitude du lieu d'observation. Réponse: L = 5h 8mn 15,82s 2 Le 10 mars, à 3h T.U., à Sydney (longitude Est: 10h 04mn 49,2s), les coordonnées équatoriales célestes du Soleil étaient: α = 23h 20mn 16,6s δ = -4°,2827 Calculer à l'instant ci-dessus, le Temps Sidéral ainsi que le temps vrai (H0 du Soleil) à Sydney sachant que ce 10 mars à 0h TU, le temps Sidéral de Greenwich était égal à 11h 9mn 12,9s. Réponse: Temps Sidéral de Sydney: 0h 14mn 31,67s H0 = 0h 54mn 15,07s

3.1.2 COORDONNEES HORIZONTALES LOCALES 1 Calculer l'azimut et la hauteur de Vega (α= 18H 32mn 40sec,δ = 38° 39' 57") en un lieu de latitudeφ = 48° 23' 35", à l'heure sidérale locale TSL= 3H 45mn 25sec. Réponse: h= 4° 37' 49" A= 148° 30' 57" 2 En un point de l'équateur, on observe une étoile dont les coordonnées sont: α= 6H 40mn 27sec δ = 16° 34' 05" Cette étoile est à l'Ouest de l'observateur et sa hauteur est h = 57° 47' 40" Calculer l'heure sidérale d'observation. Réponse: TSL = 8H 32mn 31sec

3.1.3 SYSTEME DE COORDONNEES ECLIPTIQUES GEOCENTRIQUES 1 Le 22 Décembre on veut observer à Toulouse, et vers l'Ouest, la planète Venus. 1°/ Jusqu'à quelle heure, exprimée en temps universel, la planète se trouve au-dessus de l'horizon ?

56

2°/ Quelle est la distance angulaire, à cette heure et sur le cercle écliptique, entre le Soleil et la planète ? En déduire si cette planète est visible. On donne: TSG0 = 6 H VENUS α =18H 50mn 21sec δ= - 22°56'43" SOLEIL α = 18H δ =-23°27' TOULOUSE L = 0H 05mn 51 sec EST ϕ = 43°36'44" Réponse: 1°/ Hv = 4H 24mn 51sec HTU = 17H 06mn 18sec 2°/ λ = 281° 34' 37", λ⊕ = 270°, ∆λ = 11° 34' 37" 2 Le 16 Décembre à 8 h 58 mn 32 sec TU les coordonnées équatoriales célestes de la planète Venus sont: α = 14 h 36 mn 00 sec et δ = -12°49'00". 1°/ Déterminez, pour le Méridien de Greenwich, l'angle horaire de la planète à cet instant. 2°/ Déterminez si elle se trouve exactement sur l'écliptique en calculant sa latitude β On donne: Temps sidéral de Greenwich à 0h TU, TSG0 = 5 h 36 mn 00 sec Inclinaison de l'écliptique sur l'équateur, ε = 23°27'. Réponse: 1°/ H=0 2°/ Calculer la valeur de δ de l'écliptique dans le méridien et la comparer à la valeur de δ de Venus. δ e =-15°26' , β = 2°19'54" 3 Le 10 Octobre, la longitude écliptique du Soleil est 195° 57' 33", l'ascension droite de Jupiter est 7H 22mn 57sec.Les deux astres sont dans l'écliptique. Calculer: 1°/ L'ascension droite et la déclinaison du Soleil 2°/ La déclinaison de Jupiter 3°/ La distance angulaire des deux astres On donne ε = 23°27'. Réponse: 1°/ α = 12H 58mn 48sec δ =-6° 16' 54" 2°/δJ = 22° 04' 51" 3°/∆λ = 86° 48' 13" 4 Le 21 Déc à 3H 29mn 25,6sec TU en un lieu de Longitude 3H 30mn Ouest et de Latitude 45° Nord, on observe une planète située dans le plan de l'Ecliptique et dans le Méridien du lieu.

Déterminez pour cette planète et à cet instant: 1°/ les coordonnées équatoriales célestes, 2°/ les coordonnées écliptiques géocentriques,

57

3°/ les coordonnées horizontales locales, 4°/ où se trouve le Soleil à cet instant sur l'Ecliptique si son ascension droite est la même qu'à 0H TU ?. 5°/ déterminez les coordonnées horizontales locales du Soleil. On tracera toutes les figures nécessaires à la démonstration. On donne: - Temps sidéral de Greenwich à 0h TU = 6H - Inclinaison de l'Ecliptique sur l'Equateur i = 23° 27'. Réponse: 1°/ α = 6H , δ = 23°27 2°/ λ = 90°, β = 0° 3°/ A = 0° h = 68°27' 4°/ Dans le Méridien vers le Nord 5°/ A =180° h = -68°27' 5 Le 21 juin à 14h 57mn 33sec T. U. en un lieu de latitude ϕ = 45° Nord et de longitude 3 h Ouest, on observe une sonde interplanétaire dont les coordonnées écliptiques géocentriques sont: λ = 90° et β = -23°27'. 1°/ Déterminez les coordonnées équatoriales célestes de la sonde 2°/ Quelles sont les coordonnées horizontales locales de cette sonde. 3°/ Quelle est la distance angulaire du Soleil à la sonde. 4°/ Quelle est l'expression de la distance du Soleil à la sonde, si on connaît la distance d de la Terre au Soleil ainsi que la distance ρ de la Terre à la sonde. On donne: les coordonnées équatoriales célestes du Soleil à l'instant d'observation α = 6 H et δ = +23°27' i = ε = 23°27' inclinaison de l'Ecliptique sur l'Equateur TSG0 = 18 h N. B. On construira les figures nécessaires à la démonstration et on démontrera tous les résultats. Réponse: 1°/ α = 6h , δ = 0° 2°/ A = 0° , h=45° 3°/ distance angulaire = 23°27' 4°/ Soit ∆ la distance cherchée, on a:

∆2 2 2 2= + −d dρ ρ ε. cos

3.1.4 SYSTEME DE COORDONNEES EQUATORIALES CELESTES 1 Une tache solaire émet une onde sphérique dans le domaine des rayons x. Cette onde est reçue par deux sondes repérées par leurs coordonnées équatoriales célestes et leurs distances géocentriques. Calculer la différence de temps d'arrivée de l'onde sur les deux stations.

58

Tache S1 S2 α = 249°.942 290°.839 214°.490 δ = -22°.3364 55°.500 -7°.480 R = 147045242 KM 198250 KM 48495700 KM Réponse: C centre de la Terre. Construire des triangles sphériques qui contiennent CT,CS2 et CT,CS1. Calculer TS2 et TS1 par le théorème de Pythagore généralisé. TS1= 147028957 KM TS2= 112310900 KM (TS1 - TS2)/c = 1mn 55 sec 43.6ms. Solution: figure 53

S

S 1

2

Figure 53.

3.1.5 SYSTEME DE COORDONNEES GALACTIQUES

1 Le 21 Décembre à 16 h 16 mn 20 sec T U ;la hauteur et l'azimut d'une étoile sont respectivement 17°36' et 180° en un lieu de latitude 45°Nord et de longitude 9h 30 mn Ouest Déterminez: 1°/ l'angle horaire H et les coordonnées équatoriales célestes α et δ de cette étoile. 2°/ Sa latitude et sa longitude galactique Tracez les figures correspondant aux différentes questions du problème. On donne: inclinaison du plan galactique sur l'équateur i = 62°36' temps sidéral de Greenwich à 0h TU TSG0 = 6 H coordonnées du pôle galactique α = 12H 49mn δ = 27°24' coordonnées du centre galactique α = 17H42,4mn δ = -28°55' Réponse: 1°/ α = 0H49mn , δ = 62°36' 2°/ l=123°, b=0

59

2 Le 21 décembre à 4h 48mn 13secT.U., on observe une étoile dont le lever se trouve exactement sur le point cardinal Est, en un lieu de latitude 45° Nord et de longitude 10h Ouest. Déterminez: a/ les coordonnées équatoriales célestes de cette étoile, b/ les coordonnées galactiques de cette étoile. On donne: Temps sidéral de Greenwich à 0h T.U.: TSG0 = 6 h coordonnées du pôle galactique α = 12H 49mn δ = 27°24' coordonnées du centre galactique α = 17H42,4mn δ = -28°55' Réponse : 1°/ α = 6h 49 mn, δ = 0° 2°/ l = 213°, b=0°. N. B. On tracera toutes les figures nécessaires à la démonstration. On démontrera toutes les relations qui permettent d'établir ces figures et les calculs numériques pourront être arrondis aux valeurs caractéristiques.

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3.2 MECANIQUE CELESTE 3.2.1 SATELLITE ARTIFICIEL DE LA TERRE

REMARQUES : DANS TOUS LES CAS OU LE SATELLITE EST LANCE A PARTIR DE L’EQUATEUR ON SE DONNERA ω, NH=0° SI L’ORBITE EST CIRCULAIRE LE POINT « PERIGEE » EST AU POINT DE LANCEMENT I. E. t0 EST AU POINT DE LANCEMENT

1 Le 15 Déc on lance un satellite artificiel à 10H TU en un lieu de Latitude 0° et de Longitude 3H 30mn Ouest. Sa vitesse V0 de mise sur orbite est à l'horizontale, de module 7,422 Km/s, son azimut de lancement est 176°,421 et son altitude de lancement est de 893,33 Km. 1°/ calculez l'azimut réel et la vitesse réelle de lancement. 2°/ déterminez les paramètres de l'orbite du satellite. 3°/ quelle latitude survolera le satellite 24H solaires après le lancement? On donne:

µ = 631.4 km3.s-2 ve = 0.4645 km/s RT = 6370 kms TSG0 = 5H 58mn 21s Réponse 1°/ Ar = 180° , Vr = 7.4075 Km/s 2°/ a = 7261.16 km , e ~ 0, i = 90°, ω = 0, Ω = 12 H 30mn 3°/ ϕ = 11°38'20" 2 Un satellite artificiel est lancé, vers l'EST, à 12H TU en un lieu de Latitude 30° Nord et de Longitude 3H 30mn Ouest. 1°/ si on place ce satellite à une altitude de 990 km, déterminez la vitesse totale qu'il faut lui communiquer pour le placer sur orbite circulaire. 2°/ quels sont les paramètres de l'orbite? 3°/ quelles sont la Latitude et la Longitude que survole le satellite 26mn 10 sec après le lancement. On donne: TSG0 = 3H 28mn 02sec RT = 6370 km

µ = 631.4 km3.s-2 Réponse: 1°/ Vr = 7.3598 km/s 2°/ a = 7360 km, e = 0, i = 30°, ω = 90°, Ω = 90° 3°/ ϕ = 0°, L = 2H 03mn 45s Est 3 Le 15 Mai à 0 H TU en un lieu de l'Equateur de Longitude 3H 30 mn Ouest on veut placer, en le lançant vers l'Est, un satellite sur orbite géostationnaire. 1°/ Déterminer: l'inclinaison i, le rayon de l'orbite R, le moyen mouvement n de l'orbite géostationnaire ainsi que la vitesse du satellite de ce type d'orbite.

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2°/ Si on suppose que le satellite ne peut être porté qu'à une altitude Z1 de 4686.9 km au moment du lancement, déterminer: le demi grand-axe a, l'excentricité e, la période P d'une orbite dont le périgée serait à l'instant du lancement à l'altitude Z1 et l'apogée à l'altitude déduite du 1°/. Quelle vitesse faut il communiquer au satellite à l'instant de passage à l'apogée pour le placer sur orbite géostationnaire ? 3°/ quelles sont les coordonnées équatoriales célestes α , δ du satellite à cet instant ? 4°/ si on pointe les antennes du satellite vers Toulouse, l'axe du satellite étant dirigé vers le centre de la Terre, quel angle faut-il donner aux antennes, par rapport à l'axe, pour les pointer vers Toulouse ? On donne: Temps Sidéral de Greenwich à 0 H TU TSG0 = 15 H 30 mn Rayon de la Terre RT = 6370 km Toulouse: Latitude ϕ = 46° 36' Nord Longitude 0H 05mn Est

µ = 631.4 km3.s-2 Réponse: 3° / Le satellite est sur le point γ au moment de la mise à poste. 4° / Le problème se résume au calcul d'un triangle plan dont un des angles au sommet (au centre de la Terre) est exprimé par la résolution d'un triangle sphérique droit contenant la latitude de Toulouse et la différence des Longitudes de Toulouse et du lieu que survole le satellite (figure 54).

SAT

TOUL

Figure 54.

4 Le 21 décembre à 21h 26mn 28sec T.U., on place sur orbite circulaire un satellite artificiel en un lieu de latitude 0° et de longitude 3 h 30 mn OUEST et à une altitude de 8050,73 Km. Si le vecteur vitesse réel a un azimut de 225° et si son module est Vr = 5,2578 Km/sec, a/ déterminez les paramètres d'orbite de ce satellite. b/ Déterminez les coordonnées équatoriales célestes α, δ à un instant t =11h 58mn 02sec après son lancement.

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c/ Donnez l'expression de l'angle entre l'axe de spin du satellite - dont la direction est supposée passer par le centre de la Terre - et la direction du Soleil. d/ Déterminez l'expression de la distance du Soleil au satellite à cet instant. e/ Quelle longitude survolera-t'il à l'instant t ? On donne: TSG0 = 6 h i = 23°27', inclinaison de l'Ecliptique sur l'Equateur

µ = 631.4 km3.s-2 RT = 6370 Km, rayon de la Terre

Coordonnées du Soleil α = 18 h à l'instant t δ = -23°27' Distance au Soleil d = 1 unité astronomique. N. B. Certains résultats ont des valeurs caractéristiques, arrondir les calculs numériques à ces valeurs. Pour confirmer ces résultats, on s'appuiera sur les figures nécessaires à la démonstration. Réponse: a/ a = 14420.73 Km, e = 0, i = 45° b/ α = 12 h, δ = 0°

c/ π2

d/ ∆2 2= +d 2R e/ la même longitude. 5 a/ déterminez les caractéristiques de l'orbite géostationnaire. b/ Un satellite géostationnaire est mis à poste à partir d'une orbite basse située dans le plan équatorial, d'altitude 153.656 kms, qui sera le périgée d'une orbite de transfert dont l'apogée est l'altitude de l'orbite géostationnaire. Si l'instant de départ au périgée de l'orbite de transfert est t0=3h 29mn 26sec T.U., le 21 septembre, au dessus d'un point de longitude 3h 30mn Ouest, de latitude 0° et si l'orbite est décrite dans le sens direct, déterminez les coordonnées équatoriales célestes du satellite au moment de la mise à poste. c/ Si à l'instant de la mise à poste, le Soleil est exactement au point Automne sur l'écliptique, où se trouve le Soleil par rapport au satellite et au lieu survolé? d/ Quel lieu survolera-t-il? On donne: Temps sidéral de Greenwich à 0h T.U.: 0h

µ =631.4 où µ est exprimé en km3.s-2 Rayon de la Terre: 6370 km 6 Un satellite est mis sur orbite géostationnaire, le 21 mars à 0h TU, à partir d'une orbite de transfert dans le plan équatorial, dont le point de départ, le périgée, est au dessus d'un

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lieu de longitude 12 h Ouest et de latitude 0°. L'orbite est circularisée pour devenir une orbite géostationnaire au moment du passage du satellite à l'apogée de l'orbite de transfert dont la demi-période est 5h 59mn 01sec. 1°/ déterminez l'altitude de l'orbite géostationnaire. 2°/ quelles sont les ascensions droites du satellite au périgée et à l'apogée de l'orbite de transfert. 3°/ quelles sont la latitude et la longitude du point survolé au moment de la mise sur orbite géostationnaire? 4°/ déterminez l'azimut et la hauteur du satellite par rapport à un point de longitude L = 12 heures Ouest et de latitude 45° Nord. On donne: 21 mars :Temps sidéral de Greenwich à 0h T.U.= 12h

µ = 631.4 où µ est exprimé en km3.s-2. Rayon de la Terre: 6370 km 7 Le 21 décembre à 0h TU un satellite est mis sur orbite circulaire au dessus d'un lieu de longitude 3 heures Ouest et de latitude 45° Nord. Si le vecteur total de mise sur orbite à un azimut de 180° et un module de 7.41077 km/sec déterminez: 1°/ les paramètres de Képler de l'orbite. Pour la détermination des paramètres qui sont normalement définis par rapport au périgée, on supposera -puisque l'orbite est circulaire- que celui-ci est au point de lancement. 2°/ l' ascension droite et la déclinaison du satellite au moment du lancement. 3°/ quelles sont la latitude et la longitude du point survolé par le satellite 86164.1 secondes après le lancement. 4°/ déterminez l'angle entre la direction du point sous satellite et un lieu de longitude 9 heures Ouest placé sur l'Equateur. On donne: 21 décembre: Temps sidéral de Greenwich à 0h T.U.= 6h

µ =631.400 où µ est exprimé en km3.s-2. Rayon de la Terre: 6370 km

3.2.2 SONDE INTERPLANETAIRE ET COMETE Remarque: dans les exercices qui suivent on note d0 la distance Terre-Soleil qui est le rapport de cette distance à 1 unité astronomique. Ainsi d0 = 0.99 veut dire une distance de 0.99 x 1UA. 1 Le passage au périhélie de la comète de Halley s'est effectué le 9 février 1986. Calculer, pour le 6 Nov 1988, la distance géocentrique ∆ de la comète. On étudiera en outre le problème du calcul des coordonnées équatoriales célestes de la comète (sans application numérique). On donne:

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e = 0,96727 ω = 111°.8534 Ω = 58°.1531 1UA= 150 000 000 Kms

q =0.5871 i = 162°.238

µ = 0.017202 t-t0= 1000 JSM

λ = 232° 50' 58" d = 0.98907 N.B. l'Indice est relatif au Soleil Réponse: figure 55 a =17.9376 UA, v = 155°,6888 , r = 9,7463 UA ∆ = 1,4886 E +09 KM

COMETE

Figure 55.

2 Etudier les conditions du rendez-vous avec Vénus. On déterminera: 1°/ la vitesse (direction et sens) communiquée à la sonde pour que son orbite soit tangente à celle de Vénus. 2°/ l'angle entre les directions Soleil-Terre et Soleil-Vénus pour que le rendez-vous soit possible. 3°/ les coordonnées équatoriales célestes de la sonde au moment du rendez-vous. On donne: rayon de l'orbite de la Terre 1 UA rayon de l'orbite de Vénus 0,723 UA

au départ de l'orbite de transfert λT = 0°

Réponse: figure 56, 57

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R

R1

2

ORBITE DE VENUS

ORBITE DE LA TERRE

ORBITE DE TRANSFERT

SONDE

TERRE

VENUS

Figure 56.

POINT DE RENDEZ-VOUS

POSITION DE LA TERRE

AU MOMENT DU

RENDEZ-VOUS

DIRECTION DE

VU DE LA TERRE

A B

C

Figure 57.

3 On veut effectuer un rendez-vous entre une comète et une sonde interplanétaire. Si la longitude écliptique héliocentrique de la Terre est λT= 80° au moment du lancement de la sonde et si le seul point de rendez vous possible est dans la direction du noeud descendant de l'orbite de la comète, déterminez: 1°/ la longitude et la latitude écliptiques héliocentriques du point de rendez-vous, ainsi que sa distance au Soleil 2°/ les paramètres d'orbite de la sonde ainsi que la durée de son voyage 3°/ la distance géocentrique de la comète au moment du rendez-vous.

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On donne: q = 1 UA e = 0,37 i = 120°

ω = 0° Ω = 80° R= 1 UA

µ = 0.017202

Réponse: 1°/ λ = 260°, β = 0°, a = 1,5873 UA, d =2.1746 UA 2°/ les mêmes que ceux de la comète sauf i = 0 3°/ 3,1746 UA 4 Connaissant les paramètres d'orbite d'une comète, déterminez: a/ la position de la Terre au passage à l'aphélie de cette comète, b/ la distance géocentrique de cette comète à son passage à l'aphélie, exprimée en Unités Astronomiques, c/ ses coordonnées équatoriales célestes à cet instant. On donne :

a = 19.9336 Unités Astronomiques (UA) e = 0.5 i = 45° Ω = 180° ω = 270° t0 = 21 sept à 0 H TU

R rayon de l'orbite de la Terre, supposée circulaire, 1 UA λ = 180°

µ = 0.017202 pour des distances exprimées en UA et des temps exprimés en jours solaires dans les relations de mécanique céleste.

Dans la démonstration du 2° c, et uniquement pour la détermination de paramètres angulaires, on supposera que la comète est à l'infini lorsqu'elle est à l'aphélie. Réponse: figure 58 b/ ∆ = ∆ = +( )1 2 2UA Qc/ α = 270° , δ = 21°33'

PER

APH

TERRE PER

TERRE APH

Figure 58.

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