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COMPORTAMIENTO MACROMECÁNICO Carlos Navarro Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
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COMPORTAMIENTO MACROMECÁNICO
Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
MACROMECANICA DE LA LAMINA
EJES MATERIALES Y GLOBALES DE LA LÁMINA:
Ejes materiales
Ejes globales
1
2
12
MACROMECANICA DE LA LAMINA
1
3
222σ
21σ
23σ
13σ
12σ
31σ 32σ
11σ
33σ
y
x
z
xσ xyτ
xzτ
zxτ zyτ
zσ
yσyxτ
yzτ
Nomenclatura de las tensiones:
Tensorial Clásica
ε6γxy = 2ε12σ6τxy (σ12)
ε5γzx = 2ε31σ5τzx (σ31)
ε4γyz = 2ε23σ4τyz (σ23)
ε3εz (ε33)σ3σz (σ33)
ε2εy (ε22)σ2σy (σ22)
ε1εx (ε11)σ1σx (σ11)
Notacióncontractada
Notacióntensorial
Notacióncontractada
Notacióntensorial
DEFORMACIONESTENSIONES
MACROMECANICA DE LA LAMINA
1
3
22σ
6σ
4σ
5σ
6σ
5σ 4σ
1σ
3σ
MACROMECANICA DE LA LAMINA
NOTACIÓN CONTRACTADA:
Elongación
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
6
5
4
3
2
1
εεεεεε
σσσσσσ
CCCSimCCCCCCCCCCCCCCCCCC
LLLLM
LLM
LLM
LM
M
.
Acoplamientoentre elongaciones
Acoplamientoelongación-cortante
Acoplamientoentre cortantes
Cortante
MACROMECANICA DE LA LAMINA
1
3
22σ
6σ6σ
1σ
MACROMECANICA DE LA LAMINA
Si la lámina trabaja en sólo tensión plana en el plano 1-2:
MACROMECANICA DE LA LAMINA
1
2
τ21
τ12
τ21
σ11 σ11
τ12
σ22
σ22
MACROMECANICA DE LA LAMINA
1
2
σ6
σ6
σ6
σ1 σ1
σ6
σ2
σ2
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
6
2
1
000
εεεεεε
σ
σσ
CCCSimCCCCCCCCCCCCCCCCCC
LLLLM
LLM
LLM
LM
M
.
MACROMECANICA DE LA LAMINA
En tensión plana (1-2) la relación tensión-deformación será:
( )
( )
( )
G
G
G
EE
EE
EE
3232
3131
1212
213
3
312
2
321
1
τγ
τγ
τγ
σσνσε
σσνσε
σσνσε
=
=
=
+−=
+−=
+−=
LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS (material isótropo)
MACROMECANICA DE LA LAMINA
( )
00
ó
32
31
66
1212
213
12
2
21
1
=
=
==
+−=
−=
−=
γγ
σετγ
σσνε
σνσε
σνσε
GG
E
EE
EE
En tensión plana (plano 1-2):
LEYES DE HOOKE (material ortótropo)
MACROMECANICA DE LA LAMINA
00
ó
32
31
12
6612
1212
22
321
1
313
11
21
2
22
22
12
1
11
==
==
−−=
−=
−=
γγ
σετγ
σνσνε
σνσε
σνσε
GG
EE
EE
EE
En tensión plana (plano 1-2):
EE11
EE22 1
2
1
21
2
1212
1266
222
111
1
1
1
EES
GS
ES
ES
νν−=−=
=
=
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
6
2
1
66
2212
1211
6
2
1
0 0
0
0
σ
σ
σ
ε
ε
ε
S
SS
SS
Matriz de flexibilidad de la lámina en tensión plana(Leyes de Hooke generalizadas)
MACROMECANICA DE LA LAMINA
{ } [ ]{ }σε S=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
6
2
1
66
2212
1211
6
2
1
0 0
0
0
ε
ε
ε
σ
σ
σ
Q
Matriz de rigidez de la lámina en tensión planaMACROMECANICA DE LA LAMINA
( )( ) ( )
( )61266
2112222
2112112211222112
2112111
EGQ1/EQ
1/E1/EQ1/EQ
==−=
−=−=−=
νννννννν
νν
{ } [ ]{ }σε S=
{ } [ ] { } [ ]{ }εεσ QS == −1
[ ] [ ] 1−= SQ
MACROMECANICA DE LA LAMINA
xy
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
sssysx
ysyyyx
xsxyxx
xy
y
x
QQQQQQQQQ
γεε
τσσ
Matriz de rigidez en tensión plana (cualquier orientación)MACROMECANICA DE LA LAMINA
{ } [ ]{ }'' εσ Q=
12
21
x
y
x
1
θ
xσxyτ
xyτyσ
xσ
xyτyσ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
QQQQQQQQQ
γεε
τσσ
666261
262221
161211
MACROMECANICA DE LA LAMINA
O, también:
)cos(cos)(
cos)(cos)(
cos)(cos)(
coscos)(
)cos(cos)(
cos)(cos
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
4466
2266122211
3662212
3661211
3662212
3661211
422
226612
411
4412
22662211
422
226612
411
22
22
22
22
4
22
++−−+=
+−+−−=
+−+−−=
+++=
++−+=
+++=
senQsenQQQQQ
senQQQsenQQQQ
senQQQsenQQQQ
QsenQQsenQQ
senQsenQQQQ
senQsenQQQQ
ss
ys
xs
yy
yx
xx
MACROMECANICA DE LA LAMINA
[ ][ ] )materiales ejesen rigidez de (matriz defunción en
globales) ejesen rigidez de (matriz deExpresión QQ
MACROMECANICA DE LA LAMINA
¿Qué diferencias existen entre las matrices de rigidez de
una lámina a +θ y otra a –θ?
)cos(cos)(
cos)(cos)(
cos)(cos)(
coscos)(
)cos(cos)(
cos)(cos
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
4466
226612221166
3662212
366121126
3662212
366121116
422
226612
41122
4412
2266221121
422
226612
41111
22
22
22
22
4
22
++−−+==
+−+−−==
+−+−−==
+++==
++−+==
+++==
senQsenQQQQQQ
senQQQsenQQQQQ
senQQQsenQQQQQ
QsenQQsenQQQ
senQsenQQQQQ
senQsenQQQQQ
ss
ys
xs
yy
yx
xx
Sólo estos dos términos
cambiarían de signo
Matriz de flexibilidad en tensión plana (cualquier orientación)
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
sssysx
ysyyyx
xsxyxx
xy
y
x
SSSSSSSSS
τσσ
γεε
MACROMECANICA DE LA LAMINA
{ } [ ]{ }'' σε S=
[ ] [ ] 1−= QS
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
SSSSSSSSS
τσσ
γεε
666261
262221
161211
MACROMECANICA DE LA LAMINA
O, también:
)cos(cos)(
cos)(cos)(
cos)(cos)(
coscos)(
)cos(cos)(
cos)(cos
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
4466
226612221166
3662212
366121126
3661222
366121116
422
226612
41122
4412
2266221121
422
226612
41111
4222
22222
2222
2
2
++−−+==
−+−−−−==
−−−−−==
+++==
++−+==
++⋅+==
senSsenSSSSSS
senSSSsenQSSSS
senSSSsenSSSSS
SsenSSsenSSS
senSsenSSSSS
senSsenSSSSS
ss
ys
xs
yy
yx
xx
[ ][ ] )materiales ejesen adflexibilid de (matriz defunción en
globales) ejesen adflexibilid de (matriz deExpresión SS
MACROMECANICA DE LA LAMINA
MACROMECANICA DE LA LAMINA
REQUISITOS DE LAS MATRICES DE FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
{ } 021
xy
zx
yz
z
y
x
xyzxyzzyx ≥
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
τττσσσ
γγγεεεω
Densidad de energía de deformación:
MACROMECANICA DE LA LAMINA
{ }[ ] 0Q21
xy
zx
yz
z
y
x
xyzxyzzyx ≥
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
γγγεεε
γγγεεεω
O, expresando las tensiones en función de las deformaciones:
[ ]QLa matriz tiene que ser definida positiva. Lo anterior implica que,
también, la matriz debe serlo. De la misma manera, estas matrices,
expresadas en ejes materiales será definidas positivas.
[ ]S
MACROMECANICA DE LA LAMINA
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
66
55
44
333231
232221
131211
S000000S000000S000000SSS000SSS000SSS
S
Para un material ortótropo, la condición anterior se satisface si,
para la matriz
se cumpliera los siguiente:0S0S0S0S0S0S 665544332211 ≥≥≥≥≥≥
0002221
1211
3331
1311
3332
2322 ≥≥≥SSSS
SSSS
SSSS
0SSSSSSSSS
333231
232221
131211
≥
MACROMECANICA DE LA LAMINA
Lo anterior se cumple si:
a) Material ortótropo:0E0E0E 321 ≥≥≥
0G0G0G 122313 ≥≥≥
0EE2
EE
EE
EE1
1
3323121
1
3231
1
2212
2
3232 ≥−−−− νννννν
2
1221
3
1231
1
2232 E
EEE
EE
≤≤≤ ννν
b) Material transversalmente isótropo:0G0E0E 1221 ≥≥≥
221
1
232 E
E211 νν −≤≤−
2
1221 E
E≤ν
MACROMECANICA DE LA LAMINA
0E ≥c) Material isótropo:
5,01 ≤≤− ν
MACROMECANICA DE LA LAMINA
Ejemplo:
Las constantes de una lámina unidireccional carbono/epoxi son:29
1229
229
1 m/N1055,4Gm/N1065,9Em/N10148E ×=×=×=
6,03,0 3221 == νν
Determinar si estas constantes son físicamente posibles.
Solución (Método 1):
La matriz de flexibilidad de la lámina es:
MACROMECANICA DE LA LAMINA
[ ] ( ) 1212 m/N10
78,21900000078,21900000061,33100000063,10318,6203,200018,6263,10303,200003,203,276,6
S−−×
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
Cuyos autovalores (x109) son: 3316,02198,02198,01658,00417,00065,0
Puesto que todos ellos son positivos, podemos afirmar que la matriz es
definida positiva y, por tanto, que las constantes mecánicas de la lámina
son físicamente posibles.
Solución (Método 2):
Para un material transversalmente isótropo:
MACROMECANICA DE LA LAMINA
0m/N1055,4G0m/N1065,9E0m/N10148E 2912
292
291 ≥×=≥×=≥×=
221
1
232 E
E211 νν −≤≤− 988,06,01 ≤≤−
2
1221 E
E≤ν 3,1509,0 ≤
Puesto que se verifican todas, y cada una de las relaciones anteriores,
podemos afirmar que la matriz es definida positiva y, por tanto, que las
constantes mecánicas de la lámina son físicamente posibles.
Ejemplo (Para casa):
Las constantes de una lámina unidireccional carbono/epoxi son:29
1229
229
1 m/N1055,4Gm/N1065,9Em/N10148E ×=×=×=
6,03,0 3212 == νν
Determinar si estas constantes son físicamente posibles.
MACROMECANICA DE LA LAMINA
