UNIDAD I CONTROL ANALOGO

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Analisis de señales fundamentales

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Escalón

)()( tutf s

sF1

)(

Polo en el origen

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atetf )(as

sF

1

)(

a > 0 creciente. Ej: e2t

a < 0 decreciente. Ej: e-2t

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)()( tsentf 22)(

ssF

Polos imaginarios puros jw

Un resultado similar para cos(wt)

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)()( tsenetf t 22)()(

ssF

Polos complejos p1,2 = σ±jw

Crece o decrece según σ

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El primer paso al analizar un sistema de control es

establecer un modelo matemático del sistema.

Obtenido este modelo matemático se dispone de

diversos métodos para analizar el comportamiento

del sistema

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La solución se puede obtener mediante:

Resolución de las ecuaciones diferenciales.

Métodos basados en la transformada de Laplace.

Solución de las ecuaciones de estado.

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Un sistema continuo de primer orden, cuya FT es de

la forma

Tomando como entrada δ(t),(C.I.=0), la respuesta y(t)es:

Donde τ =1/a, se conoce como la constante de tiempo

del sistema.

as

ksG

t

at ekekty

)(

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Si la entrada es el escalón unitario

Aplicando fracciones parciales, para t≥0

sas

ksUsGsY

1

)()()()(

)1()1()( t

at ekea

kty

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Al cambiar el valor de a también cambia el valor del

único polo de la FT

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o Para t=τ el valor de y(t) ha alcanzado el 63.2 % de

su variación total.

o Cuanto más pequeña es la constante de tiempo más

rápida es la respuesta del sistema

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Si los polos están en semiplano izquierdo

el sistema es estable mientras que si

están en el derecho será inestable.

Page 15: UNIDAD I CONTROL ANALOGO

Tiempo a partir del cual la respuesta natural (su

valor absoluto) no supera un porcentaje de su

valor máximo, por ejemplo el 5%. Para el caso del

sistema continuo de primer orden, este tiempo tas

que satisface:

Page 16: UNIDAD I CONTROL ANALOGO

Al alejar el polo del origen (al desplazarlo hacia

la izquierda) disminuye el tiempo de asentamiento,

es decir, la respuesta es más rapida.

Si el polo de la FT cae en esa región podemos

asegurar que su tiempo de asentamiento satisface

tas ≤ 3/a.

Nótese que la región de tas máximo esta contenida

dentro de la región de estabilidad; ya que esta

definición de tas solo tiene sentido para sistemas

estables.

Page 17: UNIDAD I CONTROL ANALOGO

Expresados por EDO de la siguiente forma

Se estudiara el caso en el cual b1=0, en su forma

normalizada

Donde ωn se llama frecuencia natural no

amortiguada, mientras que ζ se denomina

coeficiente de amortiguamiento

nn

n

sssG

22

2

2)(

)()(

)()()(

01012

2

tubdt

tdubtya

dt

tdya

dt

tyd

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Los polos de la FT serán:

)()(2 21

2

22

2

pspssssG n

nn

n

2

4)(4222

2,1

nnnp

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o Sistema oscilatorio

o Sistema Criticamortiguado

o Sistema Subamortiguado

o Sistema Sobreamortiguado

njp 2,1ζ= 0

d

nn

j

jp

2

2,1 10<ζ <1

np 2,1ζ =1

12

2,1 nnpζ >1

12

2,1 nnp

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21 nj

21 nj

n

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La distancia de los polos al origen (la magnitud

del complejo) es justamente

Además, el coseno del ángulo formado con el

semieje real negativo, es justamente ζ:

nnnd )1( 222

n

n)cos(

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Donde

ssssUsGsY

nn

n 1

2)()()(

22

2

ttety dd

tn

sen1

cos1)(2

tety d

tn sen1

11)(

2

)(cos 1

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ζ = 0.5

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a. Parte real constante

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b. Parte imaginaria constante.

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c. Factor de Amortiguamiento constante

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Page 28: UNIDAD I CONTROL ANALOGO

o Estabilidad

o Tiempo de Asentamiento

o Frecuencia de Oscilación

o Sobrepico

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deeMp

21

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El sistema es estable

El tiempo de asentamiento es menor o

igual que 3/a

La frecuencia máxima de oscilación

de la respuesta natural es ω*

Al estimularlo con un escalón

unitario el sobrepico máximo es menor

que

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La respuesta transitoria de un sistema de

control real ante entrada escalón

frecuentemente presenta oscilaciones

amortiguadas antes de alcanzar el estado

estacionario.

Si se conoce la respuesta a una entrada

escalón, matemáticamente es posible

calcular la respuesta a cualquier entrada.

Page 37: UNIDAD I CONTROL ANALOGO

Al especificar las características de

respuesta transitoria de un sistema

de control a una entrada escalón

unitario, es habitual especificar lo

siguiente:

1. Tiempo de retardo.

2. Tiempo de crecimiento.

3. Tiempo de pico.

4. Sobreimpulso máximo.

5. Tiempo de establecimiento.

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Page 38: UNIDAD I CONTROL ANALOGO

Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el

tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por

primera vez la mitad del valor final.

Tiempo de crecimiento, tr: el tiempo de

crecimiento es el tiempo requerido para que la

respuesta crezca del 10 al 90%, del 5 al 95% o del

0 al 100% de su valor final.

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Page 39: UNIDAD I CONTROL ANALOGO

Tiempo de pico, tp: el tiempo de pico es el tiempo

requerido por la respuesta para alcanzar el primer

pico del sobreimpulso.

Máximo sobrepico(por ciento), Mp: el máximo

sobreimpulso es el valor pico máximo de la curva

de respuesta medido desde la unidad, es común

utilizar el máximo sobreimpulso porcentual. Está

definido del siguiente modo:

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%100)(

)()(

y

ytyM

p

p

%10021

eMp

Page 40: UNIDAD I CONTROL ANALOGO

Tiempo de establecimiento, ts: el tiempo de

establecimiento es el tiempo requerido por la

curva de respuesta para alcanzar y mantenerse

dentro de determinado rango del valor final de

dimensión especificada en porcentaje absoluto del

valor final (habitualmente 5% o 2%). Se relaciona

el tiempo de establecimiento con la constante de

tiempo más grande del sistema de control. El

criterio para la fijación del porcentaje de error

a usar depende de los objetivos del diseño del

sistema en cuestión. Donde

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Constante de tiempo del

sistema subamortiguado

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Excepto en ciertas aplicaciones en que no sepueden tolerar oscilaciones, es deseableque la respuesta transitoria seasuficientemente rápida y estésuficientemente amortiguada.

Para una respuesta transitoria deseable deun sistema de segundo orden, la relación deamortiguamiento debe estar entre 0.4 y 0.8.

Valores pequeños de ζ (0.4<ζ) dan excesivosobreimpulso en la respuesta transitoria y

un sistema con un valor grande de ζ (0.8<ζ)responde muy tardíamente.

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Page 42: UNIDAD I CONTROL ANALOGO

El MP y el tiempo de crecimiento

están en conflicto entre sí. En otras

palabras no se puede simultáneamente

lograr un máximo sobreimpulso y un

tiempo de crecimiento pequeños. Si se

hace pequeño a uno de ellos,

necesariamente el otro se hace

grande.

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Page 43: UNIDAD I CONTROL ANALOGO

Hallar FT y parámetros de tiempo de un sistema

cuya constante de amortiguamiento es de 0.7 y con

una frecuencia natural de 63Hz y ganancia

estacionaria unitaria.

Hallar la FT para un sistema con un máximo

sobrepíco de 10% y un tiempo de establecimiento

menor de 3s y ganancia estacionaria de 2.

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