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Unidad 2

Dinámica:movimiento y equilibrio

35ELEMENTOS DE FíSICA

2.1. Movimiento rectilíneo uniforme

(M.R.U.)

Decimos que un cuerpo está animado por un movimiento rectilíneo uniforme

M.R.U. si:

• Sutrayectoriaesrectilínea(esdecir,semueveenlínearecta).• Su velocidad es constante (es decir, se desplaza siempre a la misma

velocidadsinaumentarlanidisminuirla).

A partir de esta definición podrás pensar que este tipo de movimiento es demasiado irreal. Nos es difícil imaginar automóviles que se desplacen siempre en línea recta (sin esquivar baches) o que viajen sin frenar ni acelerar (debido a los topes). Sin embargo, muchos de los movimientos que observamos a nuestro alrededor son de este tipo o pueden suponerse de este tipo para un estudio más sencillo. El sonido, por ejemplo, se desplaza en el aire a velocidad

constante (aproximadamente 340 m

s) y, si bien viaja en todas direcciones,

entre el emisor del sonido y el receptor (que pueden ser nuestros oídos) se mueve en línea recta, por lo que el análisis del sonido puede hacerse bajo la suposición de un M.R.U. También la luz, en determinadas condiciones (medio homogéneo, sin interacción con grandes masas, etc.) viaja con M.R.U. a la nada despreciable velocidad de:

3 × 108 m

s

(300,000,000 m

s ó 300,000 km

s ó 1.08 × 109 km

h ó 1,080,000,000 km

h)

Además, muchos de los movimientos complejos que realiza, por ejemplo, un automóvil, pueden reducirse por tramos a M.R.U. Por ejemplo, cuando nos desplazamos por una carretera sin curvas o con curvas tan leves que no necesitamos disminuir la velocidad.

Ejemplos

• Calcula el desplazamiento de un automóvil que viaja a 30 m

s durante 20 s.

Solución:

Datos:

v =30 m

s

Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio36

Δt = 20 s (fíjate que 20 s ya son el intervalo de tiempo en que se realiza

el movimiento y que en realidad el problema no nos dice a qué hora comenzó

ni finalizó el recorrido). Por lo tanto, queremos saber cuánto vale Δx, para ello

usaremos la fórmula Δx = v Δt de la siguiente manera:

Δx = v Δt = 30 20m

ss

( ) = 600 m

Los segundos se cancelan por estar tanto en el numerador como en el

denominador.

• Calcula el intervalo de tiempo de un automóvil que recorre 7.14 km a una

velocidad de 42 m

s.

Solución:

Datos:

v = 42 m

s

Δx = 7.14 km = 7 140 m (como notarás 7.14 km son iguales a 7 140 m,

y esta conversión hace falta para que las unidades sean consistentes con

las de la velocidad).

Por lo tanto, queremos saber cuánto vale Δt, por ello usaremos la fórmula

Δt = Dxv

de la siguiente manera:

Δt = Dxv

=7140m

42m

s

= 170 s @2.83 min

Nota que los metros se cancelan por estar tanto en el numerador como

en el denominador, y que por la llamada “ley del sandwich”1 el resultado está

dado en segundos. Recuerda que los corchetes quieren decir que sólo nos

ocuparemos de las unidades y no de las cantidades:

[ ][ ]

[ ]∆

∆t

x

v= = = =m

m

s

m

1

m

s

m s

ms

1 “Ley del sandwich” es el producto de extremos dividido entre productos de medios.


Ejercicios

1. Calcula el tiempo necesario para recorrer 31 km a una velocidad constante de 35 m

s.

Datos:

v = 35 m

s

Δx = 31 km

Conversión:

Δx = ___________________________

Entonces los datos del problema son:

v =

Δx =

Y por lo tanto el Δt será:

Δt = Dxv

t = ___________________________

2. Calcula la distancia que recorre un móvil en 23 segundos a una velocidad constante de 58 m

s.

Datos:

v = 58 m

s

Δt = 23 s

Y por lo tanto el Δx será:

Δx = v Δt

d = ___________________________

3. Calcula el tiempo necesario para recorrer 2.3 km a una velocidad constante de 81 m

s.

Datos:

v = 81 m

s

Δx = 2.3 km

t = ___________________________


Todavía nos falta desmenuzar algo más, las fórmulas del M.R.U. Sabemos que Δx = x − x

0 y que Δt = t − t

0, esto quiere decir que no solamente

podemos calcular desplazamientos e intervalos de tiempo, sino que podemos calcular cuándo o dónde comenzó o finalizó el movimiento si conocemos los datos relevantes:

a) Como Δx = v Δt, entonces podemos afirmar que Δx = v(t − t0) o

bien x − x0 = v(t − t

0) o despejando x tenemos:

x = x0 + v(t − t

0) [2.1]

Donde x y t son la posición y el tiempo finales para el movimiento que nos permite calcular la posición del móvil x para cualquier tiempo t.

b) Como ∆∆

tx

v= , entonces podemos afirmar que ∆t

x x

v=− 0 o bien

t tx x

v- =

-

00 o despejando t tenemos:

t tx x

v= +

-

00 [2.2]

Donde x y t son la posición y el tiempo finales para el movimiento, lo cual nos permite calcular el tiempo final del movimiento conociendo la velocidad, las posiciones inicial y final, y el tiempo en que comenzó el movimiento.

Sin embargo, en la mayoría de los casos podemos considerar cero al tiempo inicial (t

0= 0), es decir, ponemos el reloj en cero cuando comienza el

movimiento, con lo que las fórmulas 2.1 y 2.2 se simplifican de esta manera:

x = x0 + vt [2.3]

tx x

v=

- 0 [2.4]

Que son las más habituales.

4. Calcula la distancia que recorre un móvil en 2 minutos a una velocidad constante de 3.4 m

s.

5. Calcula la velocidad, considerada constante, de un móvil que se desplaza 25.4 kilómetros en 30 minutos.

Datos:

Δx = 25.4 km

Δt = 30 min

v = ___________________________


Ejemplos

• Calcula la posición final de un automóvil animado con M.R.U. que viaja a una

velocidad de 30 m

s durante 20 s si parte de una posición inicial de 35 m.

Solución:

Datos:

v = 30 m

s

Δt = 20 s (al igual que en un ejemplo anterior, los 20 segundos ya son

el intervalo de tiempo en que se realiza el movimiento, o lo que es lo mismo,

equivalen a t = 20 s y t0 = 0).

x0 = 35 m

Por lo tanto, queremos saber cuánto vale x, por ello usaremos la fórmula

x = x0 + v(t − t

0) de la siguiente manera:

x = x0 + v(t − t

0) = 35 m + 30

m

s2

(20 s) = 35 m + 600 m = 635 m

Nota que por prioridad de operaciones debemos multiplicar la velocidad

por el tiempo antes de sumar la posición inicial y que, por consistencia de

unidades, no lo podríamos hacer de otra manera.

• ¿A qué hora llegará un automóvil a una ciudad que se encuentra a una

distancia de 70 kilómetros, si parte a las 8 h y mantiene una velocidad

promedio de 80 km

h?

Solución:

Datos:

v = 80 km

h

Δx = 70 km (ahora, los 70 kilómetros ya son el desplazamiento Δx)

t = t0 + Dxv

= 8 h + 70 km

80km

h

= 8 h + 0.875 h @8 h 53 min


2.2. Aceleración

La velocidad es el cambio de posición en un determinado tiempo. Así, la velocidad mide qué tan rápido o lento se mueve un cuerpo. Sin embargo, esta magnitud no es suficiente para describir los movimientos más generales que pueden realizar los móviles. Para ello los físicos definen otra magnitud que llamaremos aceleración.

La aceleración de un cuerpo es la variación o cambio de velocidad en un intervalo de tiempo. O bien:

Laaceleracióndeunmóvileselcocienteentreelcambiodevelocidadyeltiempoempleadoenesecambio.

En símbolos:

av

t=∆

∆ [2.5]

Ejercicios

1. Calcula el tiempo final si un móvil recorre una distancia de 3.1 kilómetros a 30 m

s con un tiempo

inicial de 40 segundos.

Datos: v = 30

m

s Δx = 3.1 km t

0 = 40 s

t = ? (es la incógnita) t = ___________________________

2. Calcula la posición final de un móvil que se mueve a 80 m

s durante 43 segundos si parte a 432 metros

del origen de coordenadas.

Datos:

v = 80 m

s

Δt = 43 s x

0 = 432 m

x = ? (es la incógnita) x = ___________________________


Donde Δv es el cambio de velocidad, es decir:

Δv = v − v0 [2.6]

(v y v0 son las velocidades final e inicial respectivamente) y Δt es el tiempo

empleado. Así resulta que Δt = t − t0, los tiempos en que finaliza y comienza

el cambio de velocidad. Para entender mejor esta definición veamos algunos ejemplos que te

indiquen cómo manipularla:

Ejemplos

• Calcula la aceleración de un automóvil que aumenta su velocidad de 20 m

s

a 40 m

s en 5 segundos.

Solución:

Como indica el problema, “aumenta su velocidad de 20 m

s”, es decir que

su velocidad inicial era de v0 = 20

m

s, y su velocidad final es de v = 40

m

s.

Por otra parte, el cambio de velocidad se realiza en 5 segundos, es decir que Δt = 5 s, por lo tanto:

av

t

v v

t= =

−=

−

= =∆

∆ ∆

0

40 20 20

4

m

s m

s

5 s

m

s

5 s

1

m

s2

Como ves, la aceleración es una nueva magnitud que mide la rapidez de cambio de la velocidad de un cuerpo, esto es, qué tan rápido o qué tan lento aumenta o disminuye su velocidad.

Sus unidades, son de a[ ]=longitud

tiempo2 . En el Sistema Internacional de

Unidades, la velocidad se medirá en m

s2, pero también pueden usarse

km2h

, cm

s2

o cualquier otra relación de distancia entre tiempo al cuadrado, aunque la más habitual es la del Sistema Internacional.

Fíjate que al igual que para calcular una velocidad lo importante era el cambio de posición (desplazamiento) y no sus posiciones respecto a algún sistema de referencia, para calcular la aceleración no importan sus velocidades reales, sino el cambio en ella. De la misma manera, no importa a qué hora comenzó la aceleración ni a qué hora terminó, sino cuánto tardó en realizar esa variación, es decir, lo importante es la variación de tiempo; en símbolos:

Δt = tf − t

0

Quétanrápidocambiala velocidad es lo que

llamamosaceleración.


• Calcula la aceleración de un móvil que varía su velocidad de 20 m

s a 80

m

s

en 8 segundos.

Solución:

Datos:

v0 = 20

m

s

v = 80 m

s

Δt = 8 s

Por lo tanto:

av

t

v v

t= =

−=

−

= =∆

∆ ∆

0

80 20 60

7 5

m

s m

s

8 s

m

s

8 s

l

m

s2.

• Calcula la aceleración de un móvil que viaja a 180 km

h durante 1 hora.

Solución:

Datos:

v0 = 180

km

h

v = 180 km

h

Δt = 1 h

Por lo tanto:

av

t

v v

t= =

−=

−

= =∆

∆ ∆

0

180 180 0

0

km

h km

h

1 h

km

h

1 h km

h2

¡Es decir que tiene aceleración cero! Para la aceleración no es importante

“ir rápido” o “lento”, sino que haya cambio en la velocidad.


• Calcula la aceleración de un móvil que varía su velocidad de 25m

s a 1

m

s

en 4 segundos.

Solución:

Datos:

v0 = 25

m

s

v = 1 m

s

Δt = 4 s

Por lo tanto:

av v

t=

−=

−

=

−

= −0

1 25 24

6∆

m

s

m

s

4 s

m

s

4 s s2m

En este ejemplo el móvil disminuyó su velocidad (lo que comúnmente llamamos frenar) y por ello la aceleración tuvo signo negativo.

Haytantaaceleracióncuandoaumentamoslavelocidadcomocuandola disminuimos, pero no debemos confundirnos cuando decimos que“aceleramos” porque tenemos apretado el acelerador de un vehículo;

sinuestroautomóvilsedesplazaavelocidadconstante,suaceleraciónescero.

Ejercicios

1. Calcula la aceleración de un automóvil que aumenta su velocidad de 12 m

s a 34

m

s en 5 segundos.

a = ___________________________

2. Calcula la aceleración de un móvil que varía su velocidad de 2 m

s a 12

m

s en 30 segundos.

a = ___________________________


Sin embargo, las unidades en que se reportan las velocidades inicial y final y los tiempos inicial y final, pueden no ser iguales. En ese caso habrá que convertirlas, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

• Calcula la aceleración de un automóvil que viaja a 80 kmh

y frena totalmente en 10 segundos.

Solución:

Como indica el problema, los datos son los siguientes:

v0 = 80

km

h

v = 0 km

hΔt = 10 s

Como ves, las velocidades inicial y final no están dadas en las mismas unidades que el tiempo, por lo que debemos convertir o bien los 10 s a

horas, o los 80 km

h a

m

s (no es preciso convertir la velocidad final, ya que

0 km

h= 0

m

s). Para ser consistentes con el Sistema Internacional de Unidades,

hagamos lo segundo:

v0 = 80

km

h= 80

1000

1

1

3600

80000

360022 22

km

h

m

km

h

s

m

s

m

s

= ≅ .

Entonces los datos del problema son:

v0 = 22.22

m

s

v = 0 m

s

Δt = 10 s

3. Calcula la aceleración de un móvil que viaja a una velocidad constante de 28 m

s durante

35 minutos.

a = ___________________________

4. Calcula la aceleración de un móvil que varía su velocidad de 180 km

h a 30

km

h en 0.1 horas.

a = ___________________________


Y por lo tanto, la aceleración será:

α = =−

=

−

≅ −∆

∆ ∆

v

t

v v

t

0

0 m

s

22.22m

s

10s2.2

m

s2

2.3. Movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado (M.R.U.A.)

Ya estamos en condiciones de definir el movimiento más simple después del rectilíneo uniforme: el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado o simplemente, M.R.U.A.

Decimos que un cuerpo está animado por un movimiento rectilíneo

uniformemente acelerado si:

• Sutrayectoriaesrectilínea(esdecir,semueveenlínearecta).• Suaceleraciónesconstante(esdecir,queelaumentoodisminuciónde

velocidadessiemprelamismaparaintervalosdetiempoiguales).

Muchos de los movimientos complejos que realiza, por ejemplo, un automóvil, pueden reducirse por tramos a M.R.U. y M.R.U.A. Por ejemplo, cuando nos desplazamos por una carretera sin curvas o con curvas leves que permiten una variación uniforme de la velocidad.

Ejercicios

1. Calcula la aceleración de un automóvil que viaja a 50 km

h y frena totalmente en 50 segundos.

a = ___________________________

2. Calcula la aceleración de un móvil que disminuye su velocidad de 30 km

h a 24

m

s en 8 segundos.

a = ___________________________

3. Calcula la aceleración de un móvil que disminuye su velocidad de 80 km

h a 20

m

s en 2.3 segundos.

a = ___________________________


Ejemplo

• Calcula el cambio de velocidad de un automóvil al que se le imprime una

aceleración de 3 m

s2 durante 20 s.

Solución:

Datos:

a = 3 m

s2

Δt = 20 sΔv = ?

Por ello usaremos la fórmula Δv = a Δt de la siguiente manera:

∆ ∆v a t= =

= =3 20

6060

m

ss

m s

s

m

s2 2( )

2.4. Movimiento en un campo gravitatorio

¿Qué cae antes, el cuerpo más pesado o el más liviano? La pregunta anterior tuvo para la humanidad una respuesta evidente durante muchos siglos. Aproximadamente unos 300 años antes de nuestra era, Aristóteles afirmó que el cuerpo más pesado debía caer primero. De hecho, nuestra intuición parece confirmarlo. Todo el mundo ha visto caer una piedra antes que un papel cuando se dejan caer simultáneamente (si no estás seguro, es un buen momento para probarlo. Toma un lápiz, una canica o cualquier otro objeto más pesado que una hoja de papel y suéltalos, al mismo tiempo. Verás cómo planea la hoja y demora más en caer que el otro objeto).

Sin embargo, Galileo Galilei, el primer físico moderno, dudó de la simplicidad de este enunciado y, a diferencia del gran filósofo griego, realizó muchos experimentos arrojando objetos diversos (diferente peso e igual forma, igual peso pero diferente forma, etc.) desde lo alto de la torre de Pisa, en la ciudad italiana del mismo nombre. Con esos experimentos, Galileo demostró que la caída de los cuerpos no se ve afectada por su peso, sino por su forma, ya que el aire frena los objetos más extendidos.

De la misma manera que un paracaídas abierto o cerrado tiene el mismo peso, vemos que el tiempo de caída depende de qué tanta resistencia oponga el objeto al aire. Por ello podemos decir que:

Enausenciadelaresistenciadelaireuotroluido,todosloscuerposcaenconlamismaaceleración.


Si dudas de la veracidad de esta afirmación, luego de haber probado que un lápiz cae antes que un papel desplegado, arruga el papel, hazlo una bola, y vuelve a realizar el experimento. Verás que ahora los dos cuerpos caen juntos y, sin embargo, el peso del papel no se modificó por haberlo arrugado.

Existen dudas históricas sobre si realmente Galileo arrojó o no los objetos desde la torre mencionada. Lo más probable es que haya usado un plano inclinado, es decir, una tabla que se levanta en un extremo y los objetos pueden rodar sobre ella. Sin embargo, esta precisión histórica resulta irrelevante para nuestro estudio.

Si ahora aceptas que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, es conveniente medir esa magnitud. Los físicos posteriores a Galileo se abocaron a esa empresa y particularmente Lord Cavendish realizó una medición sumamente precisa a partir de un péndulo de torsión. Esta cantidad se conoce como aceleración de la gravedad, se la simboliza con la letra g, y su valor a 450 de latitud terrestre y a nivel del mar es aproximadamente de:

g = 9.81 m

s2

En la Ciudad de México, el valor de g es aproximadamente de 9.78 m

s2

debido a su altitud.

2.4.1. Caída libre

Si todos los cuerpos caen con la misma aceleración ya no es necesario conocer

su cantidad, que a lo largo de este libro tomaremos como 9.81 ms2

, salvo que

se especifique lo contrario. Por esto llamaremos caída libre al movimiento que realizan los cuerpos al caer en las cercanías de un cuerpo celeste como la Tierra, en la suposición de que la fricción del aire es despreciable y que, por lo tanto, todos los cuerpos caerán con la misma aceleración, independientemente de su forma y peso.

Por ello, las fórmulas desarrolladas en las secciones anteriores siguen siendo válidas para el movimiento de caída libre con la sustitución de x por y (ya que el movimiento será siempre vertical) y la de a por g. Es decir:

gv

t=∆

∆ [2.7]

Δv = gΔt [2.8]

∆∆

tv

g= [2.9]

v = v0 + gt [2.10]

y y v t g t= + +0 0

21

2 [2.11]


Ejemplos

• Calcula la velocidad con que choca con el piso un objeto que se suelta desde la azotea de un edificio y tarda 4 segundos en llegar al suelo.

Solución:

Datos:

a = g = 9.81 m

s2Δt = 4 sv

0 = 0, ya que se suelta, lo que equivale a decir que no se le imprime

ninguna velocidad inicial.v = ?, por ello usaremos la fórmula Δv = g Δt de la siguiente manera:

∆ ∆v g t= =

=9 81 4 39 24. ( ) .

m

s s

m

s2

Donde el Δv ya implica la velocidad final porque v0 = 0. O bien,

despejando v:

v v g t= + =

+

( ) = + =0 0 9 81 4 0 39 24 39 2∆

m

s m

s s

m

s m

s2

. . . 44 m

s

• Calcula el tiempo que tarda en caer una piedra que se suelta desde lo alto de

un puente y llega a la superficie del agua a 5 m

s.

Solución:

Datos:

a = g = 9.81 ms2

v0 0= m

s

v = 5 ms

Δt = ? (Es equivalente suponer que se quiere averiguar el intervalo de tiempo, que arbitrariamente colocar el origen en el tiempo t

0 = 0 en el momento

en que se suelta la piedra).

∆∆

tv

a= =

−

= = ≅

5 0 55

0 5

m

s m

s

9.81 m

s

m

s

9.81 m

s

ms

9.81 ms s

2 2

2

.

Fíjate que los metros y los segundos se cancelan por estar tanto en el numerador como en el denominador, y las unidades resultantes (s) son consistentes con la magnitud velocidad.


• Calcula la altura de un edificio si una piedra que se suelta desde su azotea choca con el piso en 2.3 segundos.

Solución:

Datos:a = g = 9.81

m

s2t = 2.3 sv

0 = 0, ya que se suelta.

y = ?

y g t= =

( ) = ≅

1

2

1

29 81 2 3 4 905 5 29 25 952 2. . . ( . ) .

m

s s

m

ss m

2 2

2

Es un edificio de más de 8 pisos. En realidad, un cuerpo que es soltado desde esa altura sufre un efecto de retraso importante por la fricción con el aire, por lo que un objeto soltado desde una altura mucho menor tardaría ese tiempo.

• Calcula el tiempo que tarda en caer una piedra que se suelta desde lo alto de un puente de 30 metros de alto, y la velocidad con que llega al suelo.

Solución:

Datos:a = g = 9.81 m

s2

vm

s0 0=

Δy = 30 mt = ?v = ?

Calculemos el tiempo

Δy = v0 t +

1

2 g t2

el término v0 t = 0, ya que v

0 = 0

Δy = + 1

2 g t2 t =

2Dyg

t = 2 30

9 81

( )

.

m

m

s2

≅ 2.47 s


Calculemos ahora la velocidad

v = v0 + g t = 9.81

m

s2 (2.47 s)

ya que v0 = 0

v = 24.23 m

s

2.4.2. Tiro vertical

No todos los movimientos son efectuados en el mismo sentido en que actúa g (hacia abajo). Todos hemos experimentado la caída de un objeto que había sido arrojado previamente hacia arriba. Este movimiento lo llamaremos tiro vertical, es decir que el tiro vertical es el movimiento que realizan los cuerpos al subir y luego bajar por influencia del campo gravitatorio de la Tierra.

Esto quiere decir que el sentido de la aceleración de la gravedad de la Tierra, es decir g, es contrario al de la velocidad inicial, lo que matemáticamente se expresa colocándole un signo menos a g. Sin embargo, el movimiento sigue siendo uniformemente variado, por lo que las fórmulas usadas hasta ahora

siguen siendo válidas si sustituimos a = g = −9.81 m

s2

Ejercicios

1. Calcula la velocidad con que choca con el piso un objeto que se suelta desde la azotea de un edificio y tarda 5 segundos.

v = ___________________________

2. Calcula el tiempo que tarda en caer una piedra que se suelta desde lo alto de un puente y llega a la

superficie del agua a 12 m

s.

t = ___________________________

3. Calcula la altura de un edificio si una piedra que se suelta desde su azotea choca con el piso en 1.23 segundos.

a = ___________________________

4. Calcula el tiempo que tarda en caer una piedra que se suelta desde lo alto de un puente de 40 metros de alto, y la velocidad con que llega al suelo.

t = ___________________________


Por ello, las fórmulas desarrolladas en las secciones anteriores siguen siendo válidas para el movimiento de caída libre con la sustitución de a

por g. Es decir:

− =gv

t

∆

∆ [2.12]

Δv = −g Δt [2.13]

∆∆

tv

g=− [2.14]

O despejando convenientemente:

v = v0 − g Δt [2.15]

2.4.3. Tiro parabólico

Hasta ahora hemos estudiado el movimiento de los cuerpos en una sola dimensión. Sin embargo, muchos de los movimientos que observamos en la naturaleza no se pueden reducir fácilmente a este tipo de movimiento. En esta sección, estudiaremos el movimiento que realiza una piedra lanzada en cualquier dirección diferente a la vertical dentro de un campo gravitatorio como el terrestre.

Por experiencia, tú sabes que una piedra así lanzada se alejará del tirador al mismo tiempo que realiza un movimiento vertical. Si es hacia arriba, subirá un poco para después caer a la Tierra. Al movimiento que realizan los cuerpos que son lanzados no verticalmente en un campo gravitatorio se le llama tiro parabólico.

2.4.4. Tiro horizontal

Un experimento interesante (aunque también extraño) consiste en arrojar desde una mesa el mismo objeto varias veces con diferentes impulsos y siempre en forma horizontal, como se indica en la figura:

Lo extraño de este experimento es que nuestra intuición nos indica que el que es lanzado con más fuerza debería caer más lejos y tardar más tiempo en tocar el suelo. Si bien es cierto que aquel cuerpo lanzado con más fuerza cae más lejos, lo interesante es que todos tardan el mismo tiempo en caer.

Puedes hacer la prueba de lanzar un objeto con mucha fuerza horizontal, al mismo tiempo que dejas caer (v

o = 0) otro objeto desde la altura de la mesa.

Los dos caerán al mismo tiempo. (Casos A y B de la figura 2.3).

Figura 2.1. Al movimiento que

realizan los cuerpos que son

lanzados no verticalmente en

un campo gravitatorio se le

llama tiro parabólico.

Figura 2.2. Si bien es cierto

que el cuerpo que es lanzado

con más fuerza cae más lejos,

lo interesante es que todos

tardan el mismo tiempo en

caer.


Para poder comprender lo que sucede en este experimento vamos a recurrir a la noción de magnitud vectorial.

La aceleración es una cantidad vectorial que nos indica el vector cambio de velocidad con respecto al tiempo. Nosotros sabemos que si soltamos un cuerpo en las cercanías de la Tierra, caerá hacia su

centro.2 Como estamos soltando el objeto, su velocidad inicial será cero (vo = 0),

porque no le estamos dando ningún impulso. Al llegar al suelo, tendrá una determinada velocidad final diferente de cero (v ≠ 0). Este cambio de velocidad se debe, de acuerdo con la fórmula 2.20, a la existencia de una aceleración, la cual es la misma para todos los cuerpos; la llamamos g y su valor aceptado es de 9.81 m/s2.

Esta aceleración de la gravedad es una cantidad vectorial, por lo que no basta con dar su módulo (9.81 m/s2), hace falta dar su dirección y sentido. La dirección de la aceleración de la gravedad es la llamada vertical del lugar y coincide con la dirección que toma el hilo de una plomada y su sentido es hacia el centro de la Tierra.

Como esta aceleración está dirigida hacia el centro de la Tierra (es decir, que no tiene ninguna componente horizontal) es la misma en ambos casos.

Todosloscuerposquesonlanzadoshorizontalmentedesdelamismaalturacaeránalmismotiempoindependientementedelimpulsohorizontal.

Si arrojamos un cuerpo en un campo gravitatorio, describirá un movimiento parabólico cuyas características estarán determinadas por la velocidad inicial.

Si colocáramos una lámpara arriba del lugar donde se realizará el movimiento parabólico, como lo indica la figura anterior, veríamos que la sombra proyectada sobre el piso realiza un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.). Y si colocáramos una lámpara a la derecha del movimiento, veríamos que la sombra proyectada sobre la pared de la izquierda realiza un movimiento de tiro vertical (es decir, M.R.U.A. con g = –9.81 m/s2).

Por ello podemos decir que el movimiento parabólico que realiza el cuerpo es la composición de un movimiento rectilíneo uniforme sobre el eje horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sobre el eje vertical con aceleración g = –9.81 m/s2.

2 Habitualmente decimos que cae “hacia abajo”; sin embargo, piensa que la Tierra tiene una forma aproximadamente esférica, y lo que para un mexicano es “hacia abajo”, para un australiano sería “hacia arriba”. Lo que realmente sucede es que los objetos son atraídos por la Tierra y, por ello, se dirigen hacia su centro.

Figura 2.3. Si pruebas lanzar

un objeto con mucha fuerza

horizontal, al mismo tiempo

que dejas caer (vo = 0)

otro objeto desde la altura

de la mesa, los dos caerán

al mismo tiempo (casos A y B

de la igura).

Figura 2.4. Esquema que

simboliza el experimento

que comprueba la composición

de movimientos. La sombra

sobre el piso se mueve en

M.R.U. (movimiento horizontal),

mientras que la sombra que se

proyecta sobre la pared realiza

un movimiento de tiro vertical

(M.R.U.A. con a = –9.81 m/s2).


Si descomponemos la velocidad inicial sobre los ejes x y y, tendremos que:

v0x

= v0 cos α [2.16]

v0y

= v0 sen α [2.17]

El movimiento de la sombra sobre el eje horizontal es un M.R.U., donde v = v

0x = v

0cos α (ya que en un M.R.U. la velocidad inicial, final y aquella que

anima al móvil durante todo el proceso es la misma), y por lo tanto:

x = x0 + (v

0 cos α) t [2.18]

El movimiento de la sombra sobre el eje vertical es un M.R.U.A. Así, indicaremos la posición por y en lugar de x, v

0 = v

0y = v

0 sen , y

a = −g = −9.81 m/s2, y por lo tanto:

y = y0 +(v

0 sen α) t − ½ g t2 [2.19]

vy = v

0 sen α − g t [2.20]

Y el movimiento real es la composición de ambos movimientos, resultando el tiro parabólico que observamos al arrojar una piedra.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

• Si un cuerpo se deja caer desde una altura de 1.2 m:

a) ¿Cuánto tiempo tardará en caer?b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?

Solución:

Si el objeto “se deja caer”, quiere decir que su velocidad inicial es cero, v

0 = 0, por lo que las componentes tanto horizontal como vertical también

serán cero (v0x

= 0, v0y

= 0). Además, parte de una altura inicial de 1.2 m (y

0 = 1.2 m) y llega al suelo, lo cual significa que su posición final será

cero (y = 0), por lo cual, de la fórmula 2.19 tenemos que:

a) y = y0 + (v

0 sen α) t − ½ g t2, es decir que 0 = 1.2 m − ½ (9.81 m/s2) t2,

donde se anula todo el término v0 sen α t, y despejando t:

t = ( . )( )

.

.

.. .

−

−

=−

−

= ≅1 2 2

9 81

2 4

9 810 24 0 5

2 2

2m

m

s

m

m

s

s s

(Aproximadamente medio segundo.)

Figura 2.5.


b) De la fórmula 2.20 tenemos que:

vy = v

0 sen α − g t

es decir v

y = (−9.81 m/s2) t

donde t = 0.5 s (hallado en el punto anterior) v

y = (−9.81 m/s2) (0.5 s) = −4.9 m/s

donde el signo negativo indica que la velocidad va hacia abajo, es decir, que fue disminuyendo su altura a lo largo del movimiento.

• Si un cuerpo se lanza horizontalmente desde una altura de 1.2 m, a una velocidad de 3 m/s:

a) ¿Cuánto tiempo tardará en caer?b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?c) ¿A qué distancia cae?

Solución:

Si el objeto “se lanza horizontalmente”, quiere decir que su velocidad inicial tiene sólo una componente, la horizontal (el ángulo es cero) y la componente vertical también será cero (v

0x =

v

0 cos 0 = v

0, mientras

que v0y

= v0 sen 0 = 0), por lo que el movimiento sobre el eje vertical es el

mismo que para el ejemplo anterior. Además, parte de una altura inicial de 1.2 m (y

0 = 1.2 m) y llega al suelo, es decir, que su posición final será

cero (y = 0), pero en el eje horizontal no nos dicen desde dónde parte, así que podemos tomar el origen en el lugar de partida, entonces x

0 = 0, y de la

fórmula 2.19 tenemos que:

a) y = y0 + (v

0 sen α) t – ½ g t2

es decir que:

0 = 1.2 m – ½ (9.81 m/s2) t2 t = 0.5 s

(igual que en el ejemplo anterior, significa que tarda lo mismo en caer)

b) Ya que v0 = 0, de la fórmula 2.20 tenemos que:

vy = (–9.81 m/s2) t


donde:

t = 0.5 s

vy = –4.9 m/s

Pero ahora la velocidad en el eje horizontal no es cero, sino que

es vx = v

0x =

v

0 cos 0= 3m/s, por lo que la velocidad total será la

composición de la vx y la v

y, es decir:

v = v vx y

2 2

2 2

3 4 9 9 24 01+ =

+ −

= +

m

s

m

s

m

s

m

s

2

2

2

2. .

= 33 01=m

s

2

2. == 5 7.

m

s

c) vx = v

o = 3

m

s x

o = 0

t = 0.55

x = xo + v × t

x = 0 + 3 (0.5) = 1.5 m

x = 1.5 m

• Un objeto es lanzado con una velocidad inicial de 50 m/s con una inclinación de 60° sobre la horizontal:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en caer?

b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?

c) ¿A qué distancia del punto desde donde es lanzado toca el piso?

(A esta distancia se la llama alcance).

d) ¿Cuál es la altura máxima?

Solución:

Datos:

v0

= 50 m/s

α = 60°

g = −9.81 m/s2

y0

= 0 (parte del piso)

x0 = 0 (elegimos arbitrariamente el origen en el lugar de partida para

facilitar los cálculos)


a) De la fórmula 2.19

y = y0 + (v

0 sen α) t − ½ g t2

tenemos que:

y = 0 + (50 m/s sen 60°) t − ½ 9.81 m/s2 t2

o bien:

y = (43.3 m/s) t − (4.9 m/s2) t2,

que es una ecuación cuadrática en el tiempo. Si queremos obtener el tiempo en que la piedra llega al suelo, vemos que en ese momento la altura final será cero, es decir, y = 0, por lo que tenemos:

0 = (43.3 m/s) t − (4.9 m/s2) t2

y factorizando t, tenemos:

0 = t (43.3 m/s − 4.9 m/s2 t)

Esta ecuación tiene solución cuando alguno de los factores es cero, es decir que:

t = 0

O bien:

43.3 m/s – 4.9 m/s2 t = 0

La primera de estas soluciones es más que evidente, ya que nos indica que y = 0 (es decir que está en el piso) a t = 0 (esto es, al comenzar el movimiento estaba en el piso). Esto ya lo sabíamos, por lo que esta solución no nos interesa y la descartamos. La segunda solución es la que buscábamos, entonces:

43.3 m/s – 4.9 m/s t = 0

y despejando t:

t =−

−

43 3

4 9

.

.

m

sm

s2

= 8.8 s

Esto significa que tarda 8.8 segundos en llegar al suelo.


b) La velocidad con que llega al suelo será la composición de la velocidad horizontal y la vertical. En el eje horizontal la velocidad es constante, así que:

vx = v

0 cos 60° = 50 m/s (0.5) = 25 m/s

En el eje vertical: v

y = 50 m/s sen 60° – 9.81 m/s2 t

donde:

t = 8.8 s

vy = 43.3 m/s –86.33 m/s = –43 m/s

Y por lo tanto:

v = 25 43 50 2474 49 74 50

2 2

2

m

s

m

s

m

s

m

s

+ −

≅ = = ≅

m

s.

y

a = ang tan −43 m

sm

s25

= ang tan –1.72 = –59.83° = 300.17°

c) En el eje horizontal se realiza un M.R.U., donde:

v = vx = v

0 cos 60° = 50 m/s (0.5) = 25

m

s

x0 = 0 y t = 8.8 s (al final)

Entonces x = 0 + 25 m/s 8.8 s = 220 m

El alcance es de 220 m.

d) La velocidad en el eje vertical disminuirá paulatinamente hasta llegar al punto máximo y luego comenzará a aumentar pero hacia abajo. La altura máxima es el punto donde cambia el sentido de la velocidad vertical, por lo cual en ese punto v

y = 0, así que:

vy = v

0 sen α − g t = 50 m/s sen 60° – (9.81 m/s) t

0 = 43 m/s – (9.81 m/s2) t


de donde, despejando t:

t =−

−

≅

43

9 814 4

m

sm

s.

. s

Es decir, el tiempo de la altura máxima es la mitad del tiempo total,

lo que resulta muy lógico, y por lo tanto la altura máxima será:

y = y0 + (v

0 sen ) t − ½ g t2

y = 0 + (50 m/s sen 60°) t – ½ (9.81 m/s2) t2

o bien

y = 43.3 m/s t − 4.9 m/s2 t2

haciendo t = 4.4 s

y = 43.3 m/s 4.4 s – 4.9 m/s2 (4.4 s)2

y = 190.52 m – 4.9 m/s2 19.36 s2

y = 190.52 m – 94.86 m

y = 95.66 m

Que es la altura máxima.

Ejercicios

1. Si un cuerpo se deja caer desde una altura de 60 cm:

a) ¿Cuánto tiempo tardará en caer?


2. Si un cuerpo se lanza horizontalmente desde una altura de 25 m, a una velocidad de 8 m/s:

a) ¿Cuánto tiempo tardará en caer?


c) ¿A qué distancia cae del lugar del que fue lanzado?


2.5. Leyes de Newton

Las llamadas leyes de Newton constituyen el cuerpo que forma la base de la física conocida. Sin pretender que toda la información esté contenida en ellas, sí podemos afirmar que es a partir de ellas que se construye el resto.

2.5.1. Primera Ley de Newton o de la inercia

¿Qué es más fácil, mover un librero lleno de libros o uno vacío?La Primera Ley de Newton se refiere a la inercia. Pero, ¿qué es la

inercia? Para contestar esta pregunta, desarrollemos un experimento mental, de aquellos que tanto le gustaban a Albert Einstein. Un experimento mental es un juego mental en donde resumimos el conjunto de experiencias que cada uno ha construido a lo largo de su vida en una suerte de “experimento” que se concretiza en aprendizaje. Claro está que los experimentos mentales no sustituyen a los verdaderos experimentos, los cuales son la verdadera respuesta a nuestras preguntas.

Como dijimos, Aristóteles esbozó una teoría del movimiento al suponer que los cuerpos buscaban su lugar natural, los pesados hacia el centro de la Tierra y los livianos hacia el cielo. Esta teoría sostenía que los cuerpos más pesados caerían más rápidamente que los más livianos. Esta concepción parece verificarse en nuestra experiencia.

Galileo Galilei dudó de esta afirmación. Si dejamos caer dos cuerpos, M y m, de los cuales el primero es más “pesado” (en realidad deberíamos decir de mayor masa) que el segundo, de acuerdo con esta concepción M debe llegar al

3. Un objeto es lanzado desde el piso con una velocidad inicial de 30 m/s con una inclinación de 30° sobre la horizontal:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en caer? b) ¿Con qué velocidad llega al suelo? c) ¿A qué distancia del punto de donde es lanzado toca el piso? d) ¿Cuál es la altura máxima?

4. Si un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo desde una altura de 20 m, a una velocidad de 3 m/s:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en caer? b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?

5. Si un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 20 m, a una velocidad de 3 m/s:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en caer? b) ¿Con qué velocidad llega al suelo? c) ¿Cuál es la altura máxima?


suelo primero. Pero si los unimos en un solo cuerpo, el más liviano retrasará al más pesado debiendo caer en un tiempo menor de lo que caería el más pesado, pero antes de lo que lo haría el más liviano. Por otra parte, el cuerpo formado por los dos sería más pesado que cada uno de ellos por separado, por lo tanto, debería caer antes que el más pesado. La contradicción es evidente.

A veces nuestra intuición nos engaña y sacamos conclusiones algo precipitadas. Ya vimos qué sucede cuando arrojamos dos cuerpos de distinto peso. Al dejar caer una piedra y una hoja de papel desplegada, simultáneamente, vemos que la piedra llega al suelo antes que el papel.

Vimos también que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, llamada aceleración de la gravedad, que en el caso de la Tierra es aproximadamente

de 9.81 m

s2. Vemos que esta aceleración no depende de qué tan pesados sean

los cuerpos, ya que es la misma para todos.Con estos antecedentes podemos recuperar los experimentos que

realizó Galileo y que sirvieron de base a la formulación de la Primera Ley de la Mecánica.

Supongamos que tenemos dos planos inclinados enfrentados, como se muestra en la figura 2.9. Un plano inclinado es simplemente una tabla que está levantada en un extremo.

Si dejamos caer un cuerpo de un plano inclinado bien pulido, donde la fricción con el suelo y la resistencia del aire sean despreciables (como el marcado con las letras AB de la figura anterior), el cuerpo subirá sobre el plano inclinado CD hasta la misma altura en que fue soltado, ya que la aceleración que sufre el cuerpo sobre el plano CD, y que es responsable de irlo frenando, es la misma que la aceleración recibida a lo largo del plano AB.

Si ahora procedemos a disminuir la inclinación del segundo plano inclinado (CD), la aceleración será menor y, por lo tanto, recorrerá más distancia de tal forma que llegue, si no hay fricción con el suelo ni con el aire, hasta la misma altura que antes. Si seguimos este proceso, veremos que el cuerpo tiende a recorrer cada vez mayor distancia, y en el caso límite en que el plano CD estuviese totalmente horizontal, el cuerpo no se detendría nunca, ya que no podría alcanzar la altura inicial.

Figura 2.6. Si arrojamos una

piedra y una hoja de papel,

simultáneamente, la piedra llega

al suelo antes que el papel.

Figura 2.7. Si arrojamos

simultáneamente una piedra

y una hoja de papel hecho bola,

llegan al suelo al mismo tiempo.

Figura 2.8. Si arrojamos una piedra y una hoja

de papel desplegado pero en una campana de

vacío, caen simultáneamente, ya que no existe

resistencia que frene la caída del papel.


De este experimento crucial se deduce uno de los más grandes logros de la ciencia moderna, que ahora estamos en condiciones de formular:

La Primera Ley de Newton, que dice:

Todocuerposobreelcualnoseaplicaningunafuerzaexterna,permaneceráenreposoosemoveráenformarectilíneayuniforme.

Esto quiere decir que si un cuerpo se encuentra en reposo con respecto a algún sistema de referencia, seguirá en reposo a menos que se le aplique una fuerza. Y si un cuerpo se encuentra en M.R.U., seguirá moviéndose en forma rectilínea y uniforme (velocidad constante) a menos que sobre él actúe una fuerza externa.

Esta importante ley nos habla de la inercia que poseen los cuerpos en movimiento o en reposo. Llamamos inercia a la resistencia al cambio de movimiento o en reposo. Esto es, que si un cuerpo se encuentra en reposo tenderá a quedarse en reposo y opondrá una resistencia a comenzar a moverse. Si en cambio, el cuerpo se encontraba en movimiento, opondrá resistencia a cambiar el módulo de su velocidad o a torcer su trayectoria rectilínea. A pesar de que parezca extraña, has vivido muchas veces esta ley. Piensa en estas tres situaciones:

Ejemplos

• Te encuentras parado dentro de un autobús que está detenido frente a un semáforo. En el momento del arranque, tu cuerpo tiende a irse para atrás. Es decir, estabas en reposo y tu cuerpo, por inercia, tiende a quedarse en reposo.

• Estás parado en el mismo autobús que se desplaza a velocidad constante, y frena de repente. Tu cuerpo se va para adelante. Es decir, estabas desplazándote a velocidad constante y ante el cambio de velocidad (disminución) tu cuerpo tiende a seguir moviéndote para adelante. Si en lugar de frenar, el camión que estaba moviéndose a velocidad constante aumenta su velocidad (acelera), tu cuerpo se va para atrás. En otras palabras, tu cuerpo tiende a seguir a la misma velocidad que tenía antes del cambio.

Figura 2.9. Si dejamos caer un cuerpo

por un plano inclinado sin fricción, llega hasta la misma

altura de la que fue arrojado.

Figura 2.10. Si vamos bajando el plano CD, el cuerpo

recorre cada vez mayor distancia.

En el límite tendría un movimiento continuo.

La inercia es la propiedad

delosobjetosderesistircambiosdemovimiento.


• Si el conductor del mismo vehículo que se está desplazando a velocidad constante decide dar vuelta sin disminuir la velocidad, tu cuerpo se desplazará en el sentido contrario al giro. Es decir que, te estabas desplazando en forma rectilínea y, ante el cambio, tu cuerpo tiende a seguir la trayectoria rectilínea.

Figura 2.12. Si el autobús dobla, tú sigues en movimiento rectilíneo.

El efecto es creer que te vas para “afuera”.

Si atas una piedra a un hilo y lo haces girar en círculo en forma horizontal sobre una mesa y en determinado momento sueltas el hilo, ¿cómo se moverá la piedra durante los instantes siguientes?

La ley de la inercia fue hallada por Galileo y posiblemente por otros físicos anteriores, como Leonardo da Vinci (el autor de La Gioconda, quien también realizó investigaciones científicas), sin embargo, fue Isaac Newton quien la enunció en su forma actual y le proporcionó consistencia, al unirla con las otras dos leyes para fundar la mecánica actual.

Si bien puedes haber “creído” lo dicho hasta ahora, esta importante ley no se intuye fácilmente. Aristóteles había dicho que los cuerpos se ven animados por fuerzas hasta que se detienen. Para él, una piedra que es lanzada sigue animada de fuerzas que la impulsan hacia adelante hasta que se detiene. Para Newton, la piedra se sigue moviendo por inercia y su explicación es mucho más plausible, ya que Aristóteles no podía justificar quién ejercía esa fuerza una vez que se desprendía de la mano impulsora.

Pero para hacer realmente ciencia, no aceptes ciegamente lo dicho; mejor compruébalo tú mismo. Construye un péndulo, atando al extremo de un hilo un peso determinado. Cuando el péndulo esté sostenido de la punta del hilo, tomará una posición vertical hacia abajo (dirección y sentido de la aceleración de la gravedad). Cuelga ese péndulo del espejo interior de tu automóvil o del de un amigo. En un trayecto relativamente corto en el que frenes, aceleres y gires, podrás comprobar esta ley, que es la fundadora del pensamiento físico moderno.

Esta inercia que muestran los cuerpos está estrechamente relacionada con otra magnitud que es de fundamental importancia para la física: la masa. La masa de un cuerpo está relacionada con la cantidad de materia que posee el cuerpo. Así, decimos que un camión tiene más masa que un automóvil pequeño.

Figura 2.11. a) Si el móvil

está parado y arranca,

tu cuerpo se desplaza hacia

atrás del colectivo.

b) Si el móvil frena,

tu cuerpo se desplaza hacia

adelante del colectivo.

Figura 2.13. ¿Cuál es la

trayectoria que sigue una

piedra que es soltada en

un punto de un movimiento

circular, la A o la B?

Pruébalo experimentalmente.


Pensemos en la ley de la inercia en función de las masas de los cuerpos.

Supongamos que yendo en tu pequeño automóvil, te quedas sin gasolina a

100 metros de una gasolinera. Sería posible que decidas empujarlo hasta ella.

Sin embargo, si las circunstancias te llevan a quedarte sin gasolina mientras

manejas un gran camión cargado con materiales de construcción, difícilmente

decidirías empujarlo. No podrías hacerlo. Más bien, buscarías un recipiente para

transportar algo de gasolina. Lo que sucede es que el camión tiene más masa

y, por ello, mayor inercia, y si el camión está detenido te va a costar mucho

más vencer su estado de reposo que en el caso del auto. De la misma manera,

prefieres vaciar un librero antes de moverlo, con ello disminuyes su masa, es

decir su inercia, y lo puedes mover más fácilmente.

Si ahora suponemos que dejas tu pequeño auto en una pendiente, te

bajas y olvidas colocar el freno de mano, éste comenzará a desplazarse. En ese

momento, puedes decidir colocarte para detenerlo; si, en cambio, te sucede lo

mismo con el camión cargado, dudo mucho que intentes ponerte delante para

frenarlo, más bien buscarás subirte y frenarlo de otra manera. ¿Por qué? El

camión tiene más masa y mayor inercia y, por ende, una vez que se encuentra

en movimiento, es más difícil cambiar su estado que el del auto.

En la época de las direcciones hidráulicas y asistidas, es más difícil

identificar la tendencia al movimiento rectilíneo de la inercia, pero puedes

preguntar a las personas mayores qué características físicas tenían antes los

conductores de camiones. Te dirán que eran hombres grandes y fuertes, y es

que para doblar la dirección de un camión hacía falta hacer mucha fuerza para

vencer la inercia al movimiento rectilíneo.

2.5.2. Segunda Ley de Newton o de la masa

Ya tenemos las bases para poder dar el paso fundamental a la mecánica de

Newton: su segunda ley. De la primera ley vemos que un cuerpo sobre el cual

no actúan fuerzas externas a él, o cuya suma se anula (resultante igual a cero),

se moverá en forma rectilínea y uniforme. De ahí podemos deducir que si

sobre un cuerpo actúa alguna fuerza externa se acelerará. Recuerda que cuando

decimos que un cuerpo se acelera, no queremos afirmar que necesariamente

aumenta su velocidad, sino que cambia, es decir, la velocidad puede aumentar

o disminuir.

Segunda Ley de Newton. Cuandoseaplicaunafuerzaqueesunamagnitudvectorial,sobreuncuerpo,seproduceunaaceleraciónsobreésteen lamismadirecciónysentidoqueaquélla.

Figura 2.14. La aceleración

que produce una fuerza

externa a un cuerpo es un

vector que tiene la misma

dirección y el mismo sentido

que la fuerza; sin embargo,

sus módulos son, en general,

diferentes.

¿Qué pasa con la velocidad

de un automóvil en el

instante posterior a soltar

el pedal de la aceleración?


El hallazgo de Newton fue que los módulos de esos vectores son

proporcionales. Si recuerdas tus cursos de matemáticas, esta afirmación significa

que los cocientes entre las diferentes fuerzas que se aplican a un mismo cuerpo

y las aceleraciones que producen son una constante. Esta relación es conocida

como Segunda Ley de Newton y en símbolos esto quiere decir que:

F

a

F

a

F

a

1

1

2

2

3

3

= = = etcétera

Es decir que si sobre un cuerpo se aplica una fuerza de módulo doble a otra, se obtendrá una aceleración también de doble intensidad.

El cociente (resultado de la división) entre la fuerza y la aceleración es

una magnitud que es función del cuerpo y no de las fuerzas externas aplicadas.

Esa magnitud es empleada como la masa del cuerpo, que es una magnitud

escalar. Es decir que:

F

am= o bien F = m a [2.21]

La unidad de masa en el Sistema Internacional es el kilogramo (kg). Si

hacemos un análisis dimensional veremos que la unidad de la fuerza debe ser el

producto de la unidad de la masa por la de la aceleración m

s2

, es decir que:

F m a[ ]=[ ][ ]= kgm

s2

A esta relación, kgm

s2

, la llamamos newton (N), y en el Sistema

Internacional es la unidad de fuerza, en honor a Isaac Newton. Es decir, que

una fuerza de 1 newton aplicada a un cuerpo de 1 kilogramo de masa, produce

una aceleración de 1m

s2. En símbolos:

1 N= (1 kg) 1 m

s= 1 kg

m

s2 2

Figura 2.15. Las fuerzas

aplicadas a un mismo cuerpo

son proporcionales a las

aceleraciones que provocan

sobre él. Es decir que, a mayor

fuerza, mayor aceleración,

y a menor fuerza, menor

aceleración.


Ejemplos

• ¿Qué fuerza es necesaria aplicar a un cuerpo de 5 kg de masa para producir

una aceleración de 2 m

s2?

Solución:

A pesar de que tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, ya sabemos que la dirección y el sentido de la fuerza necesaria serán las de la aceleración. Es decir, solamente hace falta conocer el módulo de la fuerza necesaria, por lo que sólo necesitamos hacer operaciones escalares.

De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, F = m a y como m = 5

kg y a = 2 m

s2.

Datos:

m = 5 kg

a = 2 m

s2

F = ?

Entonces, como F = m a = (5 kg) 2m

s2

= 10 kg

m

s2 = 10 N.

• ¿Qué masa tendrá un cuerpo si una fuerza de 13.28 N produce una aceleración de 2 ?

Solución:

De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, en la forma en que la introducimos, existe una proporcionalidad entre la fuerza y la aceleración, por

lo tanto su cociente es la masa. En símbolos: m = F

a.

Volviendo al problema, como

F = 13.28 N y a = 2 m

s2

los datos son:

F = 13.28 N

pero como

1 N = 1 kg m

s2

Unidad 2. Dinámica: movimiento y equilibrio66

entonces

F = 13.28 kg m

s2

a = 2 m

s2

m = ?

por lo tanto, mF

a= = =

13.28 N

2 m

s

= 6.64 N

m

s

kg m

sm

s

= 6.64 kg

2 2

2

2

6 64. .

• ¿Qué aceleración produce una fuerza de 54.28 N a un cuerpo de 5 kg de masa?

Solución:

De acuerdo con la fórmula 2.21, a = F

m.

Datos:

m = 5 kg

F = 54.28

N = 54.28 kg m

s2

a = ?

entonces, aF

m= = = = ≅

54 2854 28

10 856 10 86.

.. .

N

5 kg

kgm

s5 kg

m

s

m

s

2

2 2.

Ejercicios

1. ¿Qué fuerza es necesaria aplicar a un cuerpo de 15 kg de masa para producir una aceleración de

2.5 m

s2?

Datos:

m = 15 kg

a = 2.5 m

s2

F = ?

Entonces, como F = m a = ____________________


2. ¿Qué masa tendrá un cuerpo si una fuerza de 54.27 N produce una aceleración de 7.3 m

s2?

Datos:

F = 54.27 N = 54.27 kg m

s2

a = 7.3 m

s2

m = ?

Entonces, m = F

a = ____________________

3. ¿Qué aceleración produce una fuerza de 184 N a un cuerpo de 5.1 kg de masa?

Datos:

m = 5.1 kg

F = 184 N = 184 kg m

s2

a = ?

Entonces, a = F

m = ____________________

4. ¿Qué fuerza es necesaria aplicar a un cuerpo de 75.43 kg de masa para producir una aceleración de

−9.81 m

s2.

Datos:

m = a = F = ?

5. ¿Qué masa tendrá un cuerpo si una fuerza de −32.54 N produce una aceleración de −7 m

s2?

Datos:

F = a = m = ?

6. ¿Qué aceleración produce una fuerza de −166.77 N a un cuerpo de 17 kg de masa?

Datos:

F = m = a = ?


La Segunda Ley de Newton habla de una fuerza externa. Sin embargo,

por lo general sobre un cuerpo actuará más de una fuerza. Pero la ley de la

masa habla siempre de la resultante. ¿Recuerdas cómo sumar vectores? Las

fuerzas son vectores, por lo que para hallar la resultante, que es la fuerza

equivalente a dos de éstas o más aplicadas a un mismo cuerpo, habrá que

sumarlas.

Ejemplos

• Imagina que sobre un mismo cuerpo de 4 kg de masa, actúan tres fuerzas de 3, 5 y 8 N cada una, dirigidas en la misma dirección y sentido. ¿Cuál es la

aceleración del cuerpo?

Solución:

Como las fuerzas tienen el mismo punto de aplicación

(están aplicadas en un mismo cuerpo) y tienen además la

misma dirección y sentido, el módulo de la resultante será la

simple suma de las fuerzas componentes, y la dirección y el

sentido serán los de cualquiera de ellas.

Datos:

m = 4 kg

F = 16 N

a = ?

Y entonces a = F

a= =16

4N

4 kg

m

s2.

Hay dos argumentos para saber que la aceleración de este problema debe

tener unidades de m

s2, uno matemático y otro físico:

1. Argumento matemático: [ ][ ]

[ ]

kg m

skg

m

s

2

2a

F

m= = = , ya que N = kg

m

s2.

2. Argumento físico: a[ ] = unidades de longitud

unidades de tiempo al cuadrado =

m

s2

Tanto la fuerza como la masa están dadas en unidades del S.I., en consecuencia la aceleración debe darse en unidades de aceleración del S.I.

Figura 2.16. La resultante

de tres fuerzas de 3, 5 y 8 N

con la misma dirección y

sentido es otra fuerza de

“módulo 16” (su suma), con el

mismo sentido.


• ¿Qué masa tendrá un cuerpo si una fuerza de 13.28 N contrarrestada por otra de 5.23 N en sentido contrario,

produce una aceleración de 2 m

s2?

Solución:

Datos:

F = 8.05 N

a = 2 m

s2

Símbolos: mF

a= = ≅

8.05 N

2 m

s

4 kg

2

Uso de la Segunda Ley de Newton para unidades que no

pertenecen al S.I.

Pero, ¿qué sucede si las unidades de la fuerza, de la aceleración y de la masa no

están en el S.I.? Como hicimos con el caso de la cinemática, tendremos que

convertir unidades.

Vamos a practicar la conversión de unidades.

La unidad de fuerza en el sistema c.g.s. (cm, g, s) es la dina cuya

abreviatura es din, entonces:

dincm

s2=[ ]=[ ][ ]=F m a g

Significa que una fuerza de 1 dina aplicada sobre un cuerpo de 1 gramo

de masa produce una aceleración de 1 m

s2.

Ejercicios

1. Imagina que sobre un mismo cuerpo de 42 kg de masa, actúan tres fuerzas de 30, 5 y 15 N cada una, dirigidas en la misma dirección y sentido. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo?

a = ____________________

2. ¿Qué masa tendrá un cuerpo si una fuerza de 328 N contrarrestada por otra de 53 N en sentido

contrario, produce una aceleración de 21 m

s2?

m = ____________________

Figura 2.17. La resultante

de dos fuerzas, de 13.28 N

y 5.23 N, con la misma

dirección pero de sentido

contrario, es otra fuerza de

módulo igual a su diferencia

(8.05 N) con la misma dirección

y sentido de la mayor de ellas.


Ejemplos

• Imagina que sobre un mismo cuerpo de 4 500 g de masa, actúa una fuerza de 8 N. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en unidades del S.I.?

Solución:

En este caso, la masa no está dada en kilogramos, que es la unidad correspondiente al Sistema Internacional. Por ello vamos a convertirla a kg.

4 500 g = 4 500 g 1 kg

1 000 g

= 4.5 kg

Datos:

m = 4.5 kgF = 8 Na = ?

a = F

m =

8 N

4.5 kg =

8 kg m

s4.5 kg

1.78 m

s

2

2≅ .

• ¿Cuál es la masa de un cuerpo en kg si una fuerza de 3 N le produce una

aceleración de 25 cm

s2?

Solución:

En este caso, la aceleración no está dada en m

s2, que es la unidad

correspondiente al Sistema Internacional. Por ello vamos a convertirla.

25 25 0 25cm

s

cm

s

1 m

100 cm

m

s2 2 2=

= .

Datos:

a = 0.25 m

s2

F = 3 Nm = ?

mF

a= = = =3

312

N

0.25m

s

kgm

s

0.25m

s

kg

2

2

2

.

• Imagina que sobre un mismo cuerpo de 4 kg de masa, actúa una fuerza de 800 000 din. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en unidades del S.I.?

Solución:

En este caso, la fuerza no está dada en N, que es la unidad correspondiente al Sistema Internacional. Por ello vamos a convertirla.


800 000 din = 800 000 g cm

s

1 m

100 cm

1 kg

1 000 g2

= 8 N.

Datos:

m = 4 kg F = 8 Na = ?

a = F

m= = =8 8

2N

4 kg

kgm

s4 kg

m

s

2

2 .

No obstante, puede suceder que todas las cantidades estén dadas en el sistema c.g.s. Veamos cómo podemos trabajarlo en ese caso.

Ejemplo

• Imagina que sobre un mismo cuerpo de 4 500 g de masa, actúa una fuerza de 800 000 dinas. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo?

Solución:

En este caso, ni la masa ni la fuerza están dadas en el Sistema Internacional. Por ello vamos a convertirlas:

4 500 g = 4 500 g 1 kg

1 000 g

= 4.5 kg.

Ejercicios

1. ¿Cuál es la masa de un cuerpo en kg si una fuerza de 13 N produce una aceleración de 52 cm

s2?

m = ____________________

2. Imagina que sobre un cuerpo de 750 g de masa, actúa una fuerza de 15 N. ¿Cuál es la aceleración del

cuerpo en m

s2?

a = ____________________

3. Imagina que sobre un cuerpo de 2 kg de masa, actúa una fuerza de 750 000 din. ¿Cuál es la aceleración

del cuerpo en m

s2?

m = ____________________

Unidad 2. Dinámica: movimiento y equilibrio72

800 000 din = 800 000 g cm

s

1 kg

1 000 g

1 m

100 cm= 8 kg

m

s2 2

= 8 N.

Datos:

m = 4.5 kgF = 8 Na = ?

a = F

m=

8 N

4.5 kg=8 kg

m

s4.5 kg

1.78 m

s

2

2≅

Que resulta ser el mismo problema del ejemplo anterior.También podríamos haber resuelto el problema en el sistema c.g.s. primero

y luego convertir la aceleración al S.I., como se muestra a continuación:

Datos:

m = 4 500 gF = 80 000 dina = ?

a = F

m= = ≅800 000

800 000

178din

4 500 g

gcm

s4 500 g

cm

s

2

2

Pero 178cm

s=178

cm

s

1 m

100 cm=1.78

m

s2 2 2

Ejercicios

1. ¿Cuál es la masa de un cuerpo si una fuerza de 130 000 din produce una aceleración de 52 cm

s2?

m = ____________________

2. Imagina que sobre un cuerpo de 750 g de masa, actúa una fuerza de 1 500 din. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo?

a = ____________________

3. Imagina que sobre un cuerpo de 2 000 g de masa, actúa una fuerza de 750 000 din. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo?

a = ____________________


2.5.3. Tercera Ley de Newton o de interacción

Ya estamos en condiciones de estudiar la tercera ley, que es la culminación

de los prerrequisitos para comprender la física clásica. La Segunda Ley de

Newton refiere a una fuerza externa. En otras palabras, que las fuerzas deben

ser externas a los cuerpos. Un cuerpo jamás podrá hacerse fuerza a sí mismo.

Las fuerzas aparecen como interacción entre dos cuerpos y siempre en pares,

por lo que es costumbre llamarlas acción y reacción (es decir, si existe una

fuerza necesariamente existe su compañera aplicada al otro cuerpo), debido

a esto, muchos autores le llaman ley de acción y reacción.

La Tercera Ley de Newton afirma que:

Cuandouncuerpointeractúaconotro,elprimeroejerceunafuerzasobreelsegundo,perosimultáneamenteelsegundoejerceráotrafuerzasobreelprimero,deigualmóduloydirección,perodesentidocontrarioyaplicadasobrecuerposdiferentes.

Es necesario resaltar que las fuerzas que surgen en una interacción

de dos cuerpos llamadas acción y reacción son simétricas. Es decir que no

existe una preferente respecto a la otra. En otras palabras, no existe una de

esas fuerzas que sea la acción y otra la reacción, sino que cualquiera de las

dos son la acción y dado que una de ellas es considerada la acción, la otra es

la reacción.

Por lo tanto, los pares de fuerzas de acción y reacción:

• Tienen igual módulo, es decir, si una es de 30 N, la otra también tiene módulo 30 N.

• Tienen igual dirección, lo cual significa que las fuerzas se sitúan sobre la recta de acción que une los centros de los cuerpos.

• Tienen sentido contrario, esto es que si una va hacia la derecha la otra va hacia la izquierda.

• Tienen distinto punto de aplicación. Es decir, una fuerza está aplicada sobre un cuerpo y la otra sobre el otro. Es habitual hablar

de la fuerza que ejerce el cuerpo A sobre el cuerpo B y escribirla FBA

.

De la misma manera, escribiremos FAB

para designar a la fuerza que

ejerce el cuerpo B sobre el A. A estas fuerzas las llamamos pares de

acción y reacción.

Silosparesdefuerzasdeacciónyreacciónsondeigualmóduloydirecciónperodesentidocontrario,¿por qué no se anulan

siempre?Estaairmación¿quiere decir que el

movimientonoesposible?


Ejemplo

• ¿Cuáles de los siguientes pares de fuerzas pueden ser de acción y reacción?

a) No, ya que tienen diferentes módulos.b) No, ya que no están en la misma línea de acción.c) No, ya que tienen el mismo punto de aplicación. d) Sí. Tienen igual módulo, igual dirección, diferente sentido, diferente

punto de aplicación y están situadas en la misma línea de acción.

2.6. Gravitación

En la naturaleza se identifican cuatro tipos de fuerzas: la gravitacional, la electromagnética y las nucleares fuerte y débil. De ellas, la gravitacional es la dominante. Las fuerzas nucleares se manifiestan a escalas atómicas y subatómicas, las fuerzas electromagnéticas y sus efectos no siempre se pueden observar a simple vista, mientras que la fuerza gravitacional es la responsable del movimiento planetario.

Newton (1642-1727) publicó en su obra Philosophiæ Naturalis Principia

Mathematica de 1687, la vinculación entre la fuerza que mantiene a la Luna orbitando alrededor de la Tierra y la que provoca la caída de los cuerpos debido sólo a su masa.

Fue Newton quien le dio a estos eventos un sustento matemático y físico, basándose en el trabajo experimental de Kepler y en la estructura de pensamiento de Galileo.

De acuerdo con la segunda ley de Newton, si un cuerpo experimenta una aceleración, entonces hay una fuerza que actúa sobre él. De igual manera se sabe que dos cuerpos, por el hecho de tener masa, ejercen una fuerza uno sobre otro. Newton examinó estos fenómenos sobre el tipo de fuerza que actúa sobre la Luna para que mantenga una orbita casi circular alrededor de la Tierra, llegó a la conclusión que debe haber una fuerza que se ejerce sobre la Luna, a la cual llamó fuerza de gravedad y que debía ser la Tierra la que ejerce esta fuerza, que es la misma que regula tanto la caída de una manzana, como a la órbita lunar.

La gravitación es, por lo tanto, una sola fuerza universal y fundamental que influye en el movimiento de una partícula con masa apreciable tanto como en el de una galaxia.

Esta fuerza universal ha sido discutida como una de las más amplias generalizaciones de la mente humana. Su fenomenología ha sido plasmada en un principio elegantemente simple llamado la Ley de la gravitación universal.


Antes de comenzar con el estudio de la ley de la gravitación universal es necesario recordar las leyes de Newton y el concepto de masa.

1. Un cuerpo tiende a permanecer en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme mientras no actúe una fuerza externa que modifique dicho estado.

2. La aceleración producida en un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a su masa. La expresión matemática de esta ley está dada por

F ma��

∑ = [2.22]

donde F��• es la suma de fuerzas externas que actúan sobre el

cuerpo. m: masa del cuerpoa

: es la aceleración

3. Para cada fuerza de acción siempre existe una fuerza de reacción de la misma magnitud pero de sentido opuesto. Las fuerzas de reacción y de acción actúan, de manera independiente, para cada uno de los cuerpos que interactúan.

¿Qué es esta ley de la gravitación?

Consiste en que todo objeto A en el universo atrae a todo otro objeto B con una fuerza que para dos cuerpos cualesquiera varía inversamente con el cuadrado de la distancia entre ellos. Lo anterior se puede analizar de la siguiente manera.

Sea

F

rG∝ 1

2 [2.23]

La fuerza gravitacional (FG) ejercida por la Tierra

sobre cualquier otro cuerpo, la cual es proporcional a la variación inversa del cuadrado de la distancia que los separa, considerando dicha distancia el centro de la Tierra.

Para poder hacer uso algebraico de la relación 2.23 es común añadir una constante k, eliminar el signo de proporcionalidad α y agregar el signo de igualdad, de la siguiente manera

F

k

rG 2= o k = F

G r 2 [2.24]

Así, FG corresponde a la fuerza gravitacional entre dos partículas como

se ilustra en la figura 2.18.

Figura 2.18. Esquema que

ilustra la fuerza gravitacional

que se ejerce mutuamente

entre dos partículas.


La tercera ley de Newton establece que si la Tierra ejerce fuerza gravitacional sobre cualquier cuerpo, a su vez, dicho cuerpo ejerce una fuerza de dirección opuesta y de igual magnitud sobre la Tierra. (F

BA = –F

AB, figura

2.18). Por tanto, la fuerza de gravedad también depende de las masas. Así, la constante k es directamente proporcional al producto de las dos masas:

k ∝ mA m

B [2.25]

Convirtiendo la proporcionalidad en igualdad queda:

k = G mA m

B [2.26]

Donde G es la constante de la gravitación universal, que se ha determinado experimentalmente, y cuyo valor aceptado es de 6.67 × 10–11 (N m2/kg2).

Sustituyendo 2.26 en 2.24 obtenemos:

FGm m

rG

A B

2= [2.27]

Esta ecuación es la expresión de la ley de la gravitación universal, que se define de la siguiente manera:

TodocuerpoenelUniversoatraeaotroscuerposconunafuerzaqueesproporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al

cuadradodeladistanciaentresuscentrosdemasa.Estafuerzaactúaalolargodelalíneadeacciónqueunealosdoscuerpos.

Dicho de otra manera, (figura 2.19) la fuerza varía con el inverso del cuadrado de la separación de los cuerpos, y además la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional al producto de las masas de dichos cuerpos. De acuerdo con la ley de gravitación universal, la fuerza de atracción entre un cuerpo que se encuentra sobre la superficie de la tierra y ésta, es máxima y tiende a disminuir a medida que el cuerpo se aleja ya que aumenta la distancia entre las masas (la fuerza de atracción gravitacional es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa a dos cuerpos). Sin embargo, si un cuerpo se adentrara en la tierra, la masa por debajo del cuerpo disminuye la fuerza gravitacional (la fuerza es directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos que interaccionan).

Una vez que se ha establecido la Ley de gravitación se comenzará con la idea de la intensidad del campo gravitatorio o, simplemente, gravedad. La fuerza gravitacional, de acuerdo con Newton, es una fuerza universal en la que cada cosa atrae a las demás. En otras palabras, es una fuerza de atracción entre cuerpos.

Figura 2.19.


El campo gravitatorio representa la interacción gravitatoria y puede

interpretarse como la fuerza gravitatoria por unidad de masa. El concepto

intensidad de campo gravitatorio o simplemente de gravedad es el más intuitivo,

a diferencia del concepto de fuerza. En física, la aceleración de la gravedad se

representa con el vector g��

. Las unidades de la aceleración de la gravedad

en el Sistema Internacional están dadas por m/s2.

Sobre la superficie de un planeta típicamente esférico la aceleración de

la gravedad está dada por:

g

GM

Rur

��

sup=

2 [2.28]

Donde G es la constante de gravitación universal en N • m2/kg2; M es la masa del planeta en kg, R es el radio del planeta en m y ur

��

es un vector unitario que toma una dirección hacia el centro del planeta.

El valor de la constante de la gravitación universal G en el sistema

internacional SI de unidades es de 6.67 × 10–11 N m2/kg2.

Los valores de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra

varían, de 9.781 m/s2 (o en el sistema Inglés de 32.09 ft/s2) en el ecuador, hasta

alcanzar un valor de 9.833 m/s2 (o de 32.26 ft/s2) en los polos; para efectos de

cálculo se usará el valor aproximado de 9.81 m/s2 (o de 32.2 ft/s2).

El valor de la aceleración de la gravedad tiene su valor máximo en la

superficie del planeta, disminuyendo de forma aproximadamente parabólica

con la altura y de forma lineal con la profundidad.

La aceleración de la gravedad en la Tierra varía según la altura. Para el

caso de una altura H sobre la superficie terrestre, el valor de la gravedad se

encuentra determinado por la siguiente expresión:

g HGM

R Hur

��

( )( )

=+ 2 [2.29]

Equivalentemente g��

puede definirse como el peso por unidad de masa de un objeto que se encuentra sobre la superficie de la Tierra. De esta manera:

gw

m

��

��

= [2.30]

La lista adjunta muestra la aceleración de la gravedad

en el Sol, en las superficies de cada planeta del Sistema Solar

y en la Luna, tomando como referencia su relación con el

valor de g en la Tierra.

Para el caso de la Luna, la gravedad lunar representa

0.16 veces la gravedad que existe en la Tierra.

AstroFactor

de multiplicación

Sol 27.90

Mercurio 0.37

Venus 0.88

Tierra 1.00

Luna 0.16

Marte 0.38

Júpiter 2.64

Saturno 1.15

Urano 0.93

Neptuno 1.22

Elementos de física Unidad 2. Dinámica: movimiento y equilibrio

Nombre:

Grupo: Número de cuenta:

Profesor: Campus:

79

Autoevaluación

1. Calcula la posición final de un automóvil que viaja a 80 km/h, si se mueve durante 75 minutos y su punto de partida es en el kilómetro 58.

2. Calcula la velocidad de una pelota que es lanzada contra un muro a 12 metros de él y tarda 5 segundos en llegar a golpearlo.

3. Un proyectil es disparado hacia el espacio con una velocidad constante de 1 000 m/s, ¿cuánto vale la aceleración del proyectil?

4. Cuando se detiene un automóvil, los frenos aplican una fuerza al auto que produce una aceleración que hace que la velocidad varíe desde la velocidad v que tenía el auto al iniciar el frenado hasta que se detiene v = 0.

a) ¿Qué trabajo realizan los frenos al detener un automóvil cuya velocidad al iniciar a frenar es de 50 m/s, y el tiempo en detenerse es de 3 s?

b) ¿Varía el trabajo realizado si el automóvil duplica su masa de 500 a 1 000 kg? Explica tu respuesta. c) Si el tiempo de frenado disminuye a la mitad, ¿cambia el trabajo realizado por los frenos?d) Por experiencia, cuando dejamos de “acelerar” en un terreno plano después de un tiempo

determinado el auto se detiene. Explica en términos de la conservación de la energía porqué sucede esto.

5. a) ¿Cuál es la altura de un edificio si al dejar caer un cuerpo tarda 4.2 s en chocar con el piso?b) ¿Cuál es el valor de la velocidad cuando ha recorrido la mitad de la altura del edificio?c) ¿En qué punto la energía mecánica del sistema es igual a la energía cinética?

6. Un cuerpo es disparado en tiro vertical con una velocidad de 5 m/s.

a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cuerpo? b) ¿A qué altura son iguales la energía cinética y la potencial?c) ¿En cuánto tiempo el móvil regresa al punto de lanzamiento?

7. a) ¿Cuánto tiempo tardará en tocar el suelo un cuerpo que es lanzado horizontalmente con una velocidad de 10 cm/s desde un edificio de 50 m de altura?

b) ¿Qué velocidad tiene el cuerpo al llegar al suelo?

8. a) ¿A qué distancia cae un cuerpo que es lanzado horizontalmente a 25 m/s?b) ¿Qué tiempo tarda el cuerpo en tocar el suelo?

80

9. En un tiro parabólico, el alcance se refiere a la distancia horizontal a que llega un proyectil, supongamos que tenemos un cañón que puede disparar en diferentes ángulos.

a) ¿Con qué ángulo se debe disparar el cañón para tener el máximo alcance?b) Si queremos acertar a un blanco a una distancia de 100 m con un proyectil que tiene una velocidad

v0= 50 m/s, ¿cuál será el ángulo con que hay que disparar el cañón?

c) ¿Cuál será el tiempo empleado en dar en el blanco? 10. a) ¿Cuál es la altura máxima de un objeto que es lanzado desde el piso con una velocidad de 16 m/s y

una inclinación de 35° sobre la horizontal?b) ¿Cuánto vale la velocidad en el eje horizontal al llegar a la altura máxima?

11. Calcular la aceleración que sufre un cuerpo con masa de 5 kg, el cual se ve sujeto a un conjunto de

fuerzas, como se observa en la siguiente figura. La superficie donde se mueve el cuerpo no ofrece rozamiento.

12. ¿Qué masa tendrá un cuerpo si una fuerza de 50 N es contrarrestada por una de 30 N y la aceleración

que se produce es de 4 m/s2? 13. ¿Cuál será la aceleración que le produce una fuerza de 300 N si se aplica a un cuerpo de 60 kg de

masa? 14. ¿Cuál será la fuerza que se aplica a un cuerpo de 12 kg y le produce una aceleración de 3 m/s2? 15. ¿Cuál será la fuerza que ejerce una barda contra un coche, si el coche de 1 000 kg tiene una aceleración

de 20 m/s2?

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