Um Primeiro Curso sobre Teoria Ergódica com Aplicações · [sec. 1.2: espac¸os de medida 7 σ...

of 101/101
Um Primeiro Curso sobre Teoria Ergódica com Aplicações
  • date post

    08-Dec-2018
  • Category

    Documents

  • view

    227
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of Um Primeiro Curso sobre Teoria Ergódica com Aplicações · [sec. 1.2: espac¸os de medida 7 σ...

Um Primeiro Curso sobre Teoria Ergdica com Aplicaes

Publicaes Matemticas

Um Primeiro Curso sobre Teoria Ergdica com Aplicaes

Krerley Oliveira UFAL

impa 25o Colquio Brasileiro de Matemtica

Copyright 2005 by Krerley Oliveira Direitos reservados, 2005 pela Associao Instituto Nacional de Matemtica Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Srgio R. Vaz

25o Colquio Brasileiro de Matemtica

A Short Introduction to Numerical Analysis of Stochastic Differential Equations - Luis Jos Roman

An Introduction to Gauge Theory and its Applications - Marcos Jardim Aplicaes da Anlise Combinatria Mecnica Estatstica - Domingos H. U.

Marchetti Dynamics of Infinite-dimensional Groups and Ramsey-type Phenomena - Vladimir

Pestov Elementos de Estatstica Computacional usando Plataformas de Software

Livre/Gratuito - Alejandro C. Frery e Francisco Cribari-Neto Espaos de Hardy no Disco Unitrio - Gustavo Hoepfner e Jorge Hounie Fotografia 3D - Paulo Cezar Carvalho, Luiz Velho, Anselmo Antunes Montenegro,

Adelailson Peixoto, Asla S e Esdras Soares Introduo Teoria da Escolha - Luciano I. de Castro e Jos Heleno Faro Introduo Dinmica de Aplicaes do Tipo Twist - Clodoaldo G. Ragazzo, Mrio

J. Dias Carneiro e Salvador Addas-Zanata Schubert Calculus: an Algebraic Introduction - Letterio Gatto Surface Subgroups and Subgroup Separability in 3-manifold Topology - Darren

Long and Alan W. Reid Tpicos em Processos Estocsticos: Eventos Raros, Tempos Exponenciais e

Metaestabilidade - Adilson Simonis e Cludia Peixoto Topics in Inverse Problems - Johann Baumeister and Antonio Leito Um Primeiro Curso sobre Teoria Ergdica com Aplicaes - Krerley Oliveira Uma Introduo Simetrizao em Anlise e Geometria - Renato H. L. Pedrosa Distribuio: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ E-mail: [email protected] - http://www.impa.br ISBN: 85-244-0223-7

25coloquiotext2005/5/4page 1

Agradecimentos

Este texto e um subconjunto de um livro escrito em colaboracaocom o Prof. Marcelo Viana, o qual se torna imediatamente colabo-rador direto deste texto. Agradeco a ele por seu incentivo na escrita,pelas correcoes e as varias sugestoes. Agradeco tambem aos colegasprofessores da UFAL, Adan Corcho e Hilario Alencar, que dividemcomigo as dificuldades e alegrias do dia-a-dia, por seu apoio e peloprazer de um ambiente cientfico agradavel. Agradeco tambem aos es-tudantes Joao Gouveia, Vitor Saraiva, Ricardo Andrade, Maria Joaoe Marcio Batista, que contibuiram com melhoria e clareza do textocom leituras e sugestoes.

Agradeco a Fundacao de Amparo a Pesquisa em Alagoas e aoCNPq pelo suporte financeiro e a Associacao do Instituto Nacionalde Matematica Pura e Aplicada e seus funcionarios, onde parte destetrabalho foi escrito, pelo ambiente cientfico de excelente qualidade.

Finalmente agradeco a minha famlia, Elisete, Batista, Kathy eBeto, que me dao o suporte necessario para o dia-a-dia e minha diletaesposa Marcela.

Krerley

25coloquiotext2005/5/4page 2

25coloquiotext2005/5/4page 3

Prefacio

Ao longo dos ultimos anos diversas aplicacoes da Teoria Ergodicatem sido feitas para resolver problemas em areas das mais diversas,desde problemas em Teoria dos Numeros e Topologia a aplicacoesem Geometria Diferencial e Probabilidade. Numa outra direcao, ariqueza da motivacao geralmente oriunda da Fsica, torna a areapromissora e transportar resultados e heurstica obtidos atraves deexperimentos e simulacoes de problemas fsicos para uma linguagemmatematica precisa e uma tarefa ardua e que pode gerar excelentesresultados do ponto de vista matematico. Apesar da importanciae do apelo de tal disciplina, os estudantes a nvel de graduacao emestrado nao dispoem de muitos textos e cursos elementares sobreo assunto com intencao de promover o primeiro contato com a dis-ciplina. Em geral, somente em cursos de doutorado o aluno podetomar conhecimento dos mecanismos da area.

Este livro foi escrito com o objetivo de ser uma introducao aTeoria Ergodica para leitores com conhecimentos equivalentes aos deum estudante do ultimo ano de graduacao em matematica ou incio demestrado. Todo o texto foi focalizado em dois resultados principais:o Teorema de Recorrencia e o Teorema Ergodico.

Para tornar todo o texto auto-suficiente ate mesmo para leitoresmenos experientes, introduzimos um captulo tratando dos principaisresultados de Teoria da Medida utilizados. O leitor mais experientepode dispensar a leitura deste captulo, recorrendo a ele eventual-mente quando lhe for necessario.

3

25coloquiotext2005/5/4page 4

4

Ao longo do texto, obteremos varias aplicacoes do Teorema deRecorrencia e do Teorema Ergodico a alguns exemplos concretos.Em particular, serao estudados os algoritmos de expansao decimalde um numero e expansao em fracoes contnuas. Veremos tambemos importantes exemplos de fluxos que preservam volume e fluxosHamiltonianos. O Captulo 7 esta especialmente dedicado ao es-tudo de duas aplicacoes interessantes e profundas em Teoria dosNumeros, que tratam da existencia de progressoes aritmeticas de com-primento arbitrario num conjunto dado e da distribuicao de valoresde polinomios.

Krerley Oliveira 1

1Departamento de Matematica, Universidade Federal de Alagoas, Campus A.C. Simoes s/n, 57072-090 Maceio, Brasil. [email protected]

25coloquiotext2005/5/4page 5

Captulo 1

Elementos de Teoria daMedida

Neste captulo inicial recordamos algumas nocoes e resultadosbasicos da Teoria da Medida que sao uteis para o que segue. Asdemonstracoes podem ser encontradas nos livros de Castro [Cas04],Fernandez [Fer02] ou Rudin [Rud87].

1.1 Espacos mensuraveis

Comecamos por introduzir as nocoes de algebra e -algebra de sub-conjuntos. Em seguida definimos espacos mensuraveis e apresenta-mos uma tecnica de construcao de -algebras. Seja M um conjunto.

Definicao 1.1. Uma algebra de subconjuntos de M e uma famliaB de subconjuntos que contem M e e fechada para as operacoes ele-mentares de conjuntos:

A B implica Ac = M \A B A B e B B implica A B B.Entao A B = (Ac Bc)c e A \ B = A Bc tambem estao em

B, quaisquer que sejam A,B B. Alem disso, por associatividade,

5

25coloquiotext2005/5/4page 6

6 [CAP. 1: ELEMENTOS DE TEORIA DA MEDIDA

a uniao e a interseccao de qualquer numero finito de elementos de Btambem estao em B.Definicao 1.2. Uma algebra diz-se uma -algebra de subconjuntosde M se tambem for fechada para unioes enumeraveis:

Aj B para j = 1, 2, . . . , n, . . . implica

j=1

Aj B.

Observacao. B tambem e fechada para interseccoes enumeraveis:se Aj B para j = 1, 2, . . . , n, . . . entao

j=1

Aj =(

j=1

Acj)c B.

Definicao 1.3. Um espaco mensuravel e uma dupla (M,B) ondeM e um conjunto e B e uma -algebra de subconjuntos de M . Oselementos de B sao chamados conjuntos mensuraveis.

Em seguida apresentamos alguns exemplos de -algebras reme-tendo para os exerccios o estudo de outros exemplos.

Exemplo 1.4. Seja M um conjunto qualquer.

1. Denotemos por 2M a famlia de todos os subconjuntos de M .Entao B = 2M e claramente uma -algebra.

2. B = {,M} e tambem uma -algebra.Note que se B e uma algebra de um conjunto M entao {,M}

B 2M . Portanto {,M} e a menor algebra e 2M e a maior algebrade um conjunto M . Considere uma famlia nao-vazia {Bi : i I}qualquer de -algebras (I e um conjunto qualquer, que serve apenaspara indexar os elementos da famlia). Entao a interseccao

B =iI

Bi

e tambem uma -algebra (veja o Exerccio 1.1). Agora, dado umconjunto qualquer E de subconjuntos de M , podemos aplicar estaideia a famlia de todas as -algebras que contem E . Note que estafamlia e nao vazia, uma vez que contem a -algebra 2M , pelo menos.De acordo com a observacao anterior, a interseccao de todas estas

25coloquiotext2005/5/4page 7

[SEC. 1.2: ESPACOS DE MEDIDA 7

-algebras e tambem uma -algebra, e e claro que contem E . Alemdisso, do modo que e construda, ela esta contida em todas as -algebras que contem E . Portanto e a menor -algebra que contemE .Definicao 1.5. A -algebra gerada por uma famlia E de subconjun-tos de M e a menor -algebra que contem a famlia E .

No caso em queM vem munido da estrutura de espaco topologico,ha uma escolha natural para E , nomeadamente, o conjunto dos sub-conjuntos abertos. Isto nos conduz a nocao de -algebra de Borel.

Definicao 1.6. Seja (M, ) um espaco topologico, isto e, M umconjunto e a famlia dos subconjuntos abertos de M . Entao a -algebra de Borel de M e a -algebra gerada por , ou seja, a menor-algebra que contem todos os subconjuntos abertos.

1.2 Espacos de medida

Agora introduzimos o conceito de medida e analisamos algumas dassuas propriedades fundamentais. Em seguida apresentamos alguns re-sultados sobre construcao de medidas. Finalmente, analisamos duasimportantes classes de medidas: medidas de Lebesgue em espacoseuclideanos e medidas produto em espaco de sequencias.

Definicao 1.7. Uma medida num espaco mensuravel (M,B) e umafuncao : B [0,+] que satisfaz:

1. () = 0;2. (

j=1 Aj) =

j=1 (Aj) para quaisquer Aj B disjuntos

dois-a-dois.

A tripla (M,B, ) e chamada espaco de medida. Quando (M) = 1dizemos que e uma medida de probabilidade e (M,B, ) e um espacode probabilidade.

A segunda propriedade na definicao de medida e chamada a -aditividade. Dizemos que uma funcao : B [0,+] e finitamenteaditiva se:

(N

j=1

Aj) =N

j=1

(Aj)

25coloquiotexto2005/5/4page 8

8 [CAP. 1: ELEMENTOS DE TEORIA DA MEDIDA

para qualquer famlia finita A1, . . . , AN B de subconjuntos disjun-tos dois-a-dois. Note que toda medida e, automaticamente, finita-mente aditiva.

Exemplo 1.8. Seja M um conjunto e consideremos a -algebra B =2M . Dado qualquer p M , consideremos a funcao p : 2M [0,+]definida por:

p(A) =

{1 , se p A0 , se p / A .

Temos que p e uma medida, que e usualmente designada por deltade Dirac no ponto p.

Em seguida apresentamos um resultado muito util na construcaode medidas.

Teorema 1.9 (Extensao). Seja B0 uma algebra de subconjuntos deM e seja 0 : B0 [0,+] uma funcao finita, finitamente aditiva.Entao existe uma unica funcao finita, finitamente aditiva : B [0,+] que e uma extensao de 0 (isto e, restrita a B0 coincidecom 0) a -algebra B gerada por B0. Se 0 e -aditiva entao tambem o e.

Em geral, ao aplicar este resultado o mais difcil e verificar a-aditividade. O criterio mais usado para esse efeito e expressono seguinte resultado. A sua demonstracao e proposta como Ex-erccio 1.7.

Teorema 1.10 (-aditividade). Seja B0 uma algebra e seja 0 :B0 [0,+] uma funcao finitamente aditiva com 0(M) = 1.Suponha que

limn0(

nj=1

Aj) = 0 (1.1)

para toda a sequencia A1 Aj de conjuntos mensuraveistal que

j=1 Aj = . Entao 0 e -aditiva.

O resultado seguinte nos diz que todo o elemento B da -algebragerada por uma algebra e aproximado por algum elemento B0 daalgebra, no sentido em que a medida da diferenca simetrica BB0 =B \B0 B0 \B e pequena.

25coloquiotext2005/5/4page 9

[SEC. 1.2: ESPACOS DE MEDIDA 9

Teorema 1.11 (Aproximacao). Seja (M,B, ) um espaco de prob-abilidade e seja B0 uma algebra que gera a -algebra B. Entao paratodo o > 0 e todo B B existe B0 B0 tal que (BB0) < .

1.2.1 Medida de Lebesgue

A medida de Lebesgue corresponde ao que entendemos por volumede subconjuntos de Rd. Para constru-la, recorremos ao Teorema deExtensao 1.9. Consideremos M = [0, 1] e seja B0 a famlia de todosos subconjuntos da forma B = I1 IN onde I1 , . . . , IN saointervalos disjuntos dois-a-dois. E facil ver que B0 e uma algebra desubconjuntos de M . Alem disso, temos uma funcao 0 : B0 [0, 1]definida nesta algebra por

0(I1 IN

)= |I1| + + |IN | ,

onde |Ij | representa o comprimento de Ij . Note que 0(M) = 1.Alem disso, a -algebra gerada por B0 coincide com a -algebra deBorel de M , ja que todo aberto pode ser escrito como uniao enu-meravel de intervalos disjuntos dois-a-dois. Pelo Teorema 1.9, existeuma unica probabilidade definida na -algebra de [0, 1] que e umaextensao de 0 a -algebra B gerada por B0. Chamamos de me-dida de Lebesgue em [0, 1]. Mais geralmente, definimos medida deLebesgue no cubo M = [0, 1]d de qualquer dimensao d 1 daseguinte maneira: chamamos retangulo em M qualquer subconjuntoda forma R = I1 Id onde os Ij sao intervalos, e definimos

0(R) = |I1| |Id| .

Em seguida, consideramos a algebra B0 dos subconjuntos de [0, 1]d daforma B = R1 RN , onde R1 , . . . , RN sao retangulos disjuntosdois-a-dois, e definimos

0(B) = 0(R1) + 0(RN )

para todo B nessa algebra. A medida de Lebesgue em M = [0, 1]d ea extensao de 0 a -algebra gerada por B0 , que coincide com a -algebra de Borel de M . Finalmente, definimos a medida de Lebesgue

25coloquiotext2005/5/4page 10

10 [CAP. 1: ELEMENTOS DE TEORIA DA MEDIDA

num espaco euclidiano Rd decompondo o espaco em cubos de ladounitario

Rd =

m1Z

mdZ

[m1,m1 + 1) [md,md + 1)

e definindo, para cada subconjunto mensuravel E,

(E) =

m1Z

mdZ

(E [m1,m1 + 1) [md,md + 1)

).

Exemplo 1.12 (Medida de Volume em S1). Considere a aplicacaosobrejetora : [0, 1] S1 definida por:

(t) = e2it.

A medida de Lebesgue em S1 e a medida definida por (A) =m(1(A)). Observe que com esta definicao, a medida de A e iguala medida de R(A), onde R : S1 S1 denota a rotacao de angulo. Na verdade, modulo multiplicacao por um numero positivo, e aunica medida que satisfaz essa condicao para todo .

Exemplo 1.13. Seja : [0, 1] R uma funcao contnua e positiva.Defina a medida num intervalo [a, b] por:

([a, b]) = b

a

(x) dx.

Observe que e aditiva e com o auxlio dos Teoremas 1.10 e 1.9podemos estender para toda -algebra dos Borelianos de [0, 1].A medida tem a seguinte propriedade especial: se um conjuntoA [0, 1] tem medida de Lebesgue 0 entao (A) = 0. Essa pro-priedade nos diz que e absolutamente contnua com respeito amedida de Lebesgue. A densidade de em relacao a m e igual a .Estudaremos tais medidas com mais detalhes na Seccao 1.3.2.

Exemplo 1.14. Vamos agora exibir uma medida que, apesar deser positiva em qualquer aberto, nao e absolutamente contnua comrespeito a medida de Lebesgue. Para isso, considere uma enumeracao{r1, r2, . . . } do conjunto Q dos racionais. Defina por:

(A) =riA

12i.

25coloquiotext2005/5/4page 11

[SEC. 1.2: ESPACOS DE MEDIDA 11

Observe que a medida de qualquer aberto da reta e positiva, poisnecessariamente A contem algum i, e, apesar disso, (Q) = 1. Emparticular, nao e absolutamente contnua com respeito a medida deLebesgue.

O exemplo anterior nos motiva a definir o suporte de uma medida:

Definicao 1.15. Seja (M,B, ) um espaco de medida e M um espacotopologico. O suporte da medida e o fecho do conjunto de pontosx M tais que para qualquer vizinhanca aberta Vx contendo x,temos que (Vx) > 0.

Fica como exerccio para o leitor mostrar que o suporte de umamedida e sempre um conjunto fechado (1.17).

1.2.2 Medida produto no espaco das sequencias

Consideremos os espacos de probabilidade (Mi,Bi, i), com i Z.Vamos construir uma probabilidade no conjunto

M =

i=Mi

das sequencias bilaterais (xi)i= com xi Mi para cada i. Maisprecisamente, a medida sera definida na -algebra produto B das-algebras Bi, que e caracterizada do seguinte modo: dados inteirosm n e conjuntos Aj Bj para m j n, consideremos

[m;Am, . . . , An] = {(xi)iZ : xj Aj para m j n}.Estes subconjuntos de M sao chamados cilindros. A famlia B0 dasunioes finitas de cilindros disjuntos dois-a-dois e uma algebra. Pordefinicao, a -algebra produto B e a -algebra gerada por B0. Paraconstruir a medida procedemos do seguinte modo: primeiramente,consideramos a aplicacao definida na famlia dos cilindros por

([m;Am, . . . , An]) =n

j=m

j(Aj).

Em seguida estendemos a algebra B0, estipulando que a imagemde qualquer uniao finita de cilindros disjuntos dois-a-dois e igual a

25coloquiotext2005/5/4page 12

12 [CAP. 1: ELEMENTOS DE TEORIA DA MEDIDA

soma das imagens dos cilindros. Esta extensao esta bem definida ee finitamente aditiva. Entao, recorrendo aos Teoremas 1.10 e 1.9,obtemos uma medida de probabilidade em (M,B) que estende .Definicao 1.16. O espaco de probabilidade (M,B, ) construdoacima e designado produto direto dos espacos (Mi,Bi, i).

Existe um caso particular importante, que corresponde a situacaoonde os espacos (Mi,Bi, i) sao todos iguais a um dado (X, C, ), emque X = {1, . . . , d} e um conjunto finito e C = 2X e a -algebrade todos os subconjuntos de X . Neste caso basta considerar apenascilindros elementares, isto tais que cada Aj consiste de um unicoponto de X . De fato, todo cilindro e uma uniao finita disjunta detais cilindros elementares. Obtemos entao subconjuntos de M daforma

[m; am, . . . , an] = {(xi)i= M : xm = am, . . . , xn = an}

onde aj {1, . . . , d}. A medida e designada medida de Bernoullidefinida por e e caracterizada por ([m; am, . . . , an]) = ({am}) ({an}).

1.3 Integracao em espacos de medida

Nesta secao definimos a nocao de integral de uma funcao em relacaoa uma medida e apresentamos teoremas fundamentais da Teoria daMedida. Para tanto, introduziremos algumas classes de funcoes. Aolongo desta secao (M,B, ) sera sempre um espaco de medida.Definicao 1.17. Seja B(R) a -algebra de Borel de R. Uma funcaof : M R diz-se mensuravel se f1(D) B para todo D B(R).

O espaco das funcoes mensuraveis possui diversas propriedadesmuito uteis. Vamos enuncia-las como proposicao:

Proposicao 1.18. Sejam f1, f2 funcoes mensuraveis e c1, c2 R.Entao tambem sao mensuraveis as seguintes funcoes:

1. entao (c1f1 + c2f2)(x) = c1f1(x) + c2f2(x)

2. (f1 f2)(x) = f1(x) f2(x)

25coloquiotext2005/5/4page 13

[SEC. 1.3: INTEGRACAO EM ESPACOS DE MEDIDA 13

3. max{f1, f2}(x) = max{f1(x), f2(x)}

Dizemos que uma funcao s : M R e simples se existem con-stantes 1, . . . , k R e conjuntos A1, . . . , Ak B disjuntos dois-a-dois tais que

s =k

j=1

kXAk ,

onde XA e a funcao caracterstica do conjunto A, isto e, XA(x) eigual a 1 se x A e zero caso contrario. Introduzimos agora a nocaode integral. Para tal comecamos por definir integral de uma funcaosimples.

Definicao 1.19. Seja s uma funcao simples da forma acima. Entaoa integral de s em relacao a e dado por:

s d =

kj=1

k(Ak).

E facil verificar que esta definicao e coerente: se duas combinacoeslineares de funcoes caractersticas definem uma mesma funcao sim-ples, os valores das integrais obtidos a partir das duas combinacoescoincidem. O proximo passo e definir integral de uma funcao men-suravel qualquer. Para isso, trataremos primeiro do caso da funcaoser nao-negativa. Necessitamos do seguinte resultado, que nos diz quequalquer funcao mensuravel e o limite de uma sequencia de funcoessimples mensuraveis:

Teorema 1.20. Seja f : M [,] uma funcao mensuravel.Entao existe uma sequencia s1, s2, . . . de funcoes simples mensuraveistal que

limk

sk(x) = f(x) para todo o x M.

Se f 0 entao a sequencia pode ser escolhida de modo que 0 s1 s2 .

A demonstracao deste teorema e proposta como Exerccio 1.16.Ele torna possvel a seguinte

25coloquiotext2005/5/4page 14

14 [CAP. 1: ELEMENTOS DE TEORIA DA MEDIDA

Definicao 1.21. Seja f : M [0,] uma funcao mensuravel nao-negativa. Entao

fd = limn

snd,

onde s1 s2 . . . e uma sequencia de funcoes simples crescentespara f , isto e, lim

n sn(x) = f(x) para todo x M .

E facil verificar que o valor da integral nao depende da escolhada sequencia de funcoes simples, e portanto esta definicao e coer-ente. Para estender a definicao de integral a quaisquer funcoes men-suraveis, observemos que dada uma funcao f : M R sempre pode-mos escrever f = f+ f onde f+(x) = max{f(x), 0} e f(x) =max{f(x), 0} sao nao-negativas. Mostra-se tambem que f+ e fsao mensuraveis se e so se, f e mensuravel.

Definicao 1.22. Seja f : M [0,] uma funcao mensuravel. Entaof d =

f+ d

f d,

desde que alguma das integrais do lado direito seja finita.

Definicao 1.23. Dizemos que uma funcao e integravel se for men-suravel e tiver integral finita. Denotamos o conjunto das funcoesintegraveis por L1(M,B, ) ou, mais simplesmente, por L1(M,).

Dada uma funcao mensuravel f : M R e um conjunto men-suravel E definimos a integral de f sobre E por

E

fd =fXE d,

onde XE e a funcao caracterstica do conjunto E.Exemplo 1.24. Sejam x1, . . . , xm M e p1, . . . , pm > 0 com p1 + +pm = 1. Consideremos a medida de probabilidade : 2M [0, 1]dada por:

(A) =xiA

pi.

25coloquiotext2005/5/4page 15

[SEC. 1.3: INTEGRACAO EM ESPACOS DE MEDIDA 15

Notemos que =m

i=1 pixi , onde xi e a medida delta de Dirac emxi. Neste caso temos que se f e uma funcao integravel entao

f d =m

i=1

f(xi)pi.

1.3.1 Teorema de derivacao de Lebesgue

Comecemos por introduzir a nocao de quase em toda a parte emrelacao a uma medida. Dizemos que uma propriedade e valida em -quase todo ponto se e valida em todo o M exceto, possivelmente, numconjunto de medida nula. Por exemplo, dizemos que duas funcoes f, gsao iguais em -quase todo ponto se existe um conjunto mensuravelN com (N) = 0 tal que f(x) = g(x) para todo x M \N .Teorema 1.25 (Derivacao de Lebesgue). Seja M = Rd, B a -algebra de Borel e a medida de Lebesgue em Rd. Seja f : M Ruma funcao localmente integravel, isto e, tal que fXK e integravelpara todo compacto K Rd. Entao

limr0

1(B(x, r))

B(x,r)

|f(y) f(x)|d = 0.

em -quase todo ponto x Rd. Em particular, em -quase todo oponto x Rd tem-se

limr0

1(B(x, r))

B(x,r)

f(y)d = f(x).

Dado um subconjunto mensuravelA de Rd, dizemos que um pontoa A e um ponto de densidade de A se este conjunto preenche a maiorparte de qualquer pequena vizinhanca de a, i.e,

lim0

(B(a, ) A)(B(a, )

= 1. (1.2)

O proximo resultado e uma consequencia direta do teorema dederivacao de Lebesgue. No Exerccio 1.13 sugerimos uma demon-stracao.

25coloquiotext2005/5/4page 16

16 [CAP. 1: ELEMENTOS DE TEORIA DA MEDIDA

Teorema 1.26. Seja A um subconjunto mensuravel de Rd com me-dida de Lebesgue (A) maior que zero. Entao -quase todo pontoa A e ponto de densidade de A.

Muitos dos resultados envolvendo funcoes vao se apoiar no chamadoTeorema da Convergencia Dominada, que garante que se uma sequenciade funcoes convergente e menor que uma funcao integravel, entao olimite das suas integrais converge e podemos tomar o limite sob osinal da integral. Mais precisamente:

Teorema 1.27 (Teorema da Convergencia Dominada). Con-sideremos fn : M R uma sequencia de funcoes mensuraveis e guma funcao integravel tal que |fn(x)| |g(x)| para -quase todo xem M. Se para -quase todo x M a sequencia fn(x) converge parao valor f(x), entao a funcao f e integravel e vale:

limn

fn d =

f d.

1.3.2 Teorema de Radon-Nikodym

Sejam e duas medidas num espaco mensuravel (M,B). Dizemosque e absolutamente contnua em relacao a se (E) = 0 implica(E) = 0, qualquer que seja o conjunto mensuravel. Nesse casoescrevemos . O Teorema de RadonNikodym afirma que nessecaso a medida pode ser vista como o produto de por algumafuncao mensuravel, que e chamada densidade ou derivada de Radon-Nikodym de relativamente a .

Teorema 1.28 (Radon-Nikodym). Se e sao medidas finitastais que entao existe uma funcao mensuravel : M [0,+]tal que = , ou seja, tal que

(E) =

E

d para todo o conjunto mensuravel E M.

Alem disso, essa funcao e essencialmente unica: duas quaisquer co-incidem quase em toda a parte.

25coloquiotext2005/5/4page 17

[SEC. 1.4: EXERCICIOS 17

1.4 Exerccios

1.1. Seja M um conjunto e, para cada i pertencente a um conjuntode ndices I, seja Bi uma -algebra de subconjuntos de M . Mostreque

B =iI

Bi

e uma -algebra.

1.2. Seja M um conjunto e considere a famlia de conjuntos

B0 = {A M : A e finito ou Ac e finito}.Mostre que B0 e uma algebra. Alem disso, B0 e uma -algebra se esomente se o conjunto M e finito.

1.3. Seja M um conjunto e considere a seguinte famlia de conjuntos

B1 = {A M : A e finito ou enumeravel ou Ac e finito ou enumeravel}.Mostre que B1 e uma -algebra. De fato, B1 e a -algebra geradapela algebra B0 do Exerccio 1.2.1.4. Seja E uma famlia de subconjuntos de um conjunto M . Mostreque existe a menor algebra B0 que contem E . Que relacao existe entreB0 e a -algebra B gerada por E?1.5. Seja (M,B, ) um espaco de medida. Mostre que se A1,A2,. . . estao em B entao

(

j=1

Aj)

j=1

(Aj).

1.6. Seja B = 2M e considere : 2M [0,+] definido por:

(A) =

{#A , se A e finito se A e infinito .

Mostre que e uma medida. Esta medida e designada medida decontagem.

25coloquiotext2005/5/4page 18

18 [CAP. 1: ELEMENTOS DE TEORIA DA MEDIDA

1.7. Demonstre o Teorema 1.10. Dica: Dados quaisquer conjuntosdisjuntos dois a dois B1, . . . , Bn, . . . em B0 tais B =

j=1 Bj tambem

esta em B0, defina Cj = B1 Bj para cada j 1. Verifique queos conjuntos Aj = B\Cj satisfazem a hipotese (1.1) no Teorema 1.10.1.8. Seja (M,B) um espaco mensuravel.

1. Mostre que se : B [0,+] e uma medida entao

(

j=1

Aj) = limj

(Aj).

para qualquer sequencia crescente A1 A2 An deelementos de B.

2. Reciprocamente, mostre que se 0 : B [0,+] e uma funcaofinitamente aditiva que satisfaz a condicao do item anteriorentao 0 e -aditiva.

1.9. Seja (M,B) um espaco mensuravel, onde o conjunto M e nao-enumeravel e a -algebra B e definida como no Exerccio 1.3. Mostreque : B [0,+] definida por:

(A) =

{0 se A e finito ou enumeravel1 se Ac e finito ou enumeravel

e uma medida de probabilidade.

1.10. Sejam f e g funcoes mensuraveis. Mostre que f e integravel see somente se |f | e integravel e, nesse caso,

f d

|f | d.

Alem disso, se f e integravel e |f | |g| entao g e integravel.1.11. Seja E um conjunto mensuravel com (E) = 0. Mostre que

Ef d = 0 para qualquer funcao mensuravel f .

25coloquiotext2005/5/4page 19

[SEC. 1.4: EXERCICIOS 19

1.12. Mostre que a e um ponto de densidade do conjunto A se e sose

lim0

inf{(B A)(B)

: B bola contida em B(a, ) e contendo a}

= 1

1.13. Demonstre o Teorema 1.26.

1.14. Seja x1, x2 M e p1, p2, q1, q2 > 0 com p1 + p2 = q1 + q2 = 1.Considere as medidas de probabilidade e dadas por

(A) =xiA

pi, (A) =

xiAqi,

ou seja, = p1x1 + p2x2 e = q1x1 + q2x2 . Mostre que e e calcule as respectivas derivadas de Radon-Nikodym.1.15. Seja f : M R. Mostre que se f1((, c)) B para todoc R entao f e mensuravel. Dica: Mostre que a famlia C = {A R : f1(A) B} e uma -algebra e contem todos os subconjuntosabertos.

1.16. Prove o Teorema 1.20. Dica: Trate primeiro o caso onde f enao-negativa.

1.17. Mostre que o suporte de uma medida e sempre um conjuntofechado. Conclua que seM e compacto, o suporte de qualquer medidatambem e compacto.

1.18. Mostre que toda funcao f : Rm Rn contnua e mensuravel.De exemplo de uma funcao mensuravel que nao e contnua em nen-hum ponto.

1.19. Seja T : M M uma funcao mensuravel e uma medida.Defina T(A) = (T1(A)). Mostre que T e uma medida.

25coloquiotext2005/5/4page 20

Captulo 2

Teorema de Recorrenciade Poincare

Entenderemos por sistemas dinamicos as transformacoes f : M Mem algum espaco metrico ou topologico M . Heuristicamente, pen-samos em f como associando a cada estado x M do sistema oestado f(x) M em que o sistema se encontrara uma unidade detempo depois. Um dos principais objetivos do estudo dos sistemasdinamicos e descrever o comportamento assintotico de um ponto xsegundo acao de f . Entretanto, na maioria dos casos, esse trabalhofeito com total generalidade e tarefa impossvel. E a que entra aTeoria Ergodica, disciplina que a grosso modo estuda o comporta-mento assintotico para quase todo ponto x, num sentido que iremosprecisar.

Um ponto x M diz-se recorrente se a sua trajetoria pelo sistemadinamico f : M M volta arbitrariamente perto de x quando otempo vai para infinito. A dinamica no conjunto dos pontos nao-recorrentes e, em certo sentido, sempre a mesma, independentementedo sistema dinamico. Por isso, e fundamental compreender o conjuntodos pontos recorrentes, ja que ele contem toda a dinamica interessantedo sistema.

O resultado que estudaremos nesta captulo, enunciado por Poincareperto do final do seculo XIX, afirma que quase todo ponto e recor-

20

25coloquiotexto2005/5/4page 21

[SEC. 2.1: VERSAO MENSURAVEL 21

rente, relativamente a qualquer medida invariante finita do sistemadinamico. Daremos duas versoes deste resultado, a primeira numalinguagem mensuravel e a segunda de natureza mais topologica. Tambemcomentaremos que a hipotese de finitude da medida nao pode ser omi-tida.

2.1 Versao mensuravel

Sempre consideraremos medidas definida na -algebra de Borel doespaco M . Dizemos que e uma probabilidade se (M) = 1. Namaior parte dos casos trataremos com medidas finitas, isto e, taisque (M) < . Neste caso sempre podemos transformar numaprobabilidade : para isso basta definir

(E) =(E)(M)

para cada conjunto mensuravel E M.

Em geral, uma medida diz-se invariante pela transformacao fse

(E) = (f1(E)) para todo conjunto mensuravel E M. (2.1)Heuristicamente, isto significa que a probabilidade de um ponto es-tar num dado conjunto e a probabilidade de que a sua imagem estejanesse conjunto sao iguais. Note que a definicao (2.1) faz sentido, umavez que a pre-imagem de um conjunto mensuravel por uma trans-formacao mensuravel ainda e um conjunto mensuravel.

No caso de fluxos, substitumos (2.1) por

(E) = (ft(E)) para todo mensuravel E M e todo t R.(2.2)

Teorema 2.1. Seja f : M M uma transformacao mensuravele uma medida invariante finita. Seja E M qualquer conjuntomensuravel com (E) > 0. Entao, -quase todo ponto x E temalgum iterado fn(x), n 1, que tambem esta em E.

Em outras palavras, o teorema afirma que quase todo ponto deE regressa a E no futuro. Antes mesmo de demonstrar este fato,podemos mostrar que ele implica outro aparentemente mais forte:quase todo ponto de E regressa a E infinitas vezes:

25coloquiotext2005/5/4page 22

22 [CAP. 2: TEOREMA DE RECORRENCIA DE POINCARE

Corolario 2.2. Nas condicoes do Teorema 2.1, para -quase todoponto x E existem infinitos valores de n 1 tais que fn(x) estaem E.

Demonstracao. Para cada k 1 vamos representar por Ek o conjuntodos pontos x E que regressam a E exatamente k vezes: existemexatamente k valores de n 1 tais que fn(x) E. Observe que oconjunto dos pontos que regressam a E apenas um numero finito devezes e precisamente

k=1

Ek .

Portanto, para provar o corolario, basta mostrar que (Ek) = 0 paratodo k 1. A demonstracao sera por contradicao.

Suponhamos que (Ek) > 0 para algum k 1. Entao, aplicandoo Teorema 2.1 com este Ek no lugar de E, obtemos que quase todoponto x Ek tem algum iterado fn(x) que esta em Ek. Fixemosum tal x e denotemos y = fn(x). Por definicao, y tem exatamentek iterados futuros que estao em E. Como y e um iterado de x, issoimplica que x tem k + 1 iterados futuros em E. Mas isso contradizo fato de que x Ek . Esta contradicao prova que Ek tem medidanula, relativamente a , e portanto o corolario esta demonstrado.

Vamos agora dar a

Demonstracao do Teorema 2.1. Representemos porE0 o conjunto dospontos x E que nunca regressam a E. O nosso objetivo e provar queE0 tem medida nula. Para isso, comecamos por afirmar que as suaspre-imagens fn(E0) sao disjuntas duas-a-duas. De fato, suponha-mos que existem m > n 1 tais que fm(E0) intersecta fn(E0).Seja x um ponto na interseccao e seja y = fn(x). Entao y E0e fmn(y) = fm(x) E0, que esta contido em E. Isto quer dizerque y volta pelo menos uma vez a E, o que contradiz a definicao deE0. Esta contradicao, prova que as pre-imagens sao disjuntas duas-a-duas, como afirmamos.

Isto implica que

(

n=0

fn(E0))

=

n=0

(fn(E0)) =

n=0

(E0).

25coloquiotext2005/5/4page 23

[SEC. 2.2: VERSAO TOPOLOGICA 23

Na ultima igualdade usamos a hipotese de que e invariante, queimplica que (fn(E0)) = (E0) para todo n 1. Como supomosque a medida e finita, a expressao do lado esquerdo e finita. Por outrolado, a direita temos uma soma de infinitos termos, todos iguais.O unico jeito desta soma ser finita e que as parcelas sejam nulas.Portanto, devemos ter (E0) = 0, tal como foi afirmado.

2.2 Versao topologica

Dizemos que um ponto x M e recorrente para uma transformacaof : M M se, para toda vizinhanca U de x, existe algum iteradofn(x) que esta em U . A definicao para fluxos e analoga, apenas nessecaso o tempo n e um numero real.

Na formulacao topologica do teorema de recorrencia supomos queo espaco M admite uma base enumeravel de abertos, ou seja, umfamlia enumeravel {Uk : k N} de abertos tal que todo aberto deM pode ser escrito como uniao de elementos Uk dessa famlia. Estahipotese e satisfeita na maioria dos exemplos interessantes.

Teorema 2.3. Suponhamos que M admite uma base enumeravel deabertos. Seja f : M M uma transformacao mensuravel e umamedida invariante finita. Entao, -quase todo ponto x M e recor-rente para f .

Demonstracao. Para cada k representamos por U0k o conjunto dospontos x Uk que nunca regressam a Uk. De acordo com o Teo-rema 2.1, todo U0k tem medida nula. Consequentemente, a uniaoenumeravel

U =kN

U0k

tem medida nula. Portanto, para demonstrar o teorema sera sufi-ciente que mostremos que todo ponto x que nao esta em U e recor-rente. Isso e facil, como vamos ver.

Seja x M \ U e seja U uma vizinhanca qualquer de x. Adefinicao de base de abertos implica que existe algum k N tal quex Uk e Uk U . Como x nao esta em U , tambem x / U0k . Emoutras palavras, x tem algum iterado fn(x), n 1 que esta em Uk.Em particular, fn(x) tambem esta em U . Como a vizinhanca U e

25coloquiotext2005/5/4page 24

24 [CAP. 2: TEOREMA DE RECORRENCIA DE POINCARE

arbitraria, isto prova que x e um ponto recorrente, como havamosafirmado.

2.3 Recorrencia para medidas infinitas

As conclusoes dos Teoremas 2.1 e 2.3 nao sao verdadeiras, em geral,se omitirmos a hipotese de que a medida e finita. O exemplo maissimples e o seguinte:

Exemplo 2.4. Seja f : R R a translacao de 1 unidade, isto e,f(x) = x+1 para todo x R. E facil verificar que f deixa invariantea medida de Lebesgue em R (que e infinita). Por outro lado nenhumponto e recorrente para f .

No entanto, e possvel estender estes enunciados para certos casosde medidas infinitas como, por exemplo, no Exerccio 2.2.

Uma transformacao f : M M diz-se invertvel se e uma bijecaoe a sua inversa e tambem uma transformacao mensuravel. Uma me-dida diz-se -finita se existe uma sequencia crescente de subcon-juntos Mk cuja uniao e o espaco M inteiro e tal que cada (Mk)e finito. Neste caso, diremos que um ponto x vai para infinitose,para qualquer k, existe apenas um numero finito de iterados de x queestao em Mk.

2.4 Exerccios

2.1. Mostre que o seguinte enunciado e equivalente ao Teorema 2.1,isto e, qualquer um dos dois pode ser deduzido a partir do outro:Seja f : M M uma transformacao mensuravel e uma medidainvariante finita. Seja E M qualquer conjunto mensuravel com(E) > 0. Entao existe N 1 e um conjunto D E com medidapositiva, tal que fN (x) E para todo ponto x D.2.2. Suponha que f : M M e invertvel e que e uma medida-finita invariante por f . Mostre que, dado qualquer conjunto men-suravel E M com (E) > 0, quase todo ponto x E ou regressaa E ou vai para infinito.

25coloquiotext2005/5/4page 25

[SEC. 2.4: EXERCICIOS 25

Dica: Considere o conjunto E0,k dos pontos x E que nuncaregressam a E e tem um numero infinito de iterados em Mk. Comecepor mostrar que os seus iterados fn(E0,k) sao dois-a-dois disjuntos.Usando que (Mk) e finito, deduza que (Ek,0) = 0 para todo k.

2.3. Dadas funcoes f : M M e : M N, defina o mapa induzidoF por F (x) = f (x)(x). Mostre que:

1. Se f e invertvel e e uma medida f -invariante, entao eF -invariante. De exemplo de alguma funcao onde e f -invariante mas nao e F -invariante.

2. Se F e uma medida F invariante, entao a medida

f =

j=0

f j (F | {f > j})

e medida f -invariante.

3. Mostre que se e F integravel, entao a medida f acima efinita.

Definicao 2.5. Chama-se L2() o espaco das funcoes 1 mensuraveis : S1 C cujo quadrado e integravel:

||2 d = d, mostre que

L2 e um espaco vetorial normado completo (i.e., toda sequencia deCauchy converge).

2.5. Mostre que f preserva uma medida se, e somente se, Uf :L2() L2() definida por Uf ()(x) = (f(x)) e uma isometriacom respeito a norma que provem do produto interno definido noexerccio anterior.

1Quando lidamos com L2() sempre identificamos funcoes que diferem apenasnum conjunto de medida nula.

25coloquiotext2005/5/4page 26

26 [CAP. 2: TEOREMA DE RECORRENCIA DE POINCARE

2.6. De exemplo de transformacao f preservando uma medida talque Uf : L2() L2() nao seja sobrejetora.

25coloquiotext2005/5/4page 27

Captulo 3

Exemplos de MedidasInvariantes

Neste captulo vamos descrever alguns exemplos simples de medidasinvariantes por transformacoes ou por fluxos. Antes porem, vamosmostrar uma proposicao caracterizando quando uma medida e invari-ante:

Proposicao 3.1. Seja f : M M uma transformacao e umamedida. Entao f preserva se, e somente se, para toda funcao in-tegravel : M R vale:

d = f d.

Demonstracao. Assuma que f preserva a medida . Se e funcaocaracterstica de algum conjunto, digamos = A, e imediato ver-ificar que (f1(A)) =

f d, ja que f1(A) = f . Assim,

fica provado qued =

f d, quando e uma funcao carac-

terstica. Observe que segue diretamente da linearidade da integralque se e uma funcao simples, entao a igualdade ainda vale. Fi-nalmente, se e uma funcao integravel qualquer, pela definicao deintegral

d = limn

n d,

27

25coloquiotexto2005/5/4page 28

28 [CAP. 3: EXEMPLOS DE MEDIDAS INVARIANTES

onde n e uma sequencia de funcoes simples crescendo para . Poroutro lado, n f e uma sequencia de funcoes simples crescendo para f . Logo,

f d = limn

n f d.

Comon d =

n f d, tomando o limite em ambos os lados,

vem que d =

f d.

A recproca e imediata, desde que dado um boreliano A, tomando = A, entao

(A) = (f1(A)) d =

f d.

3.1 Expansao decimal

O nosso primeiro exemplo e

f : [0, 1] [0, 1], f(x) = 10x [10x]onde [10x] representa o maior inteiro menor ou igual a 10x. Emoutras palavras, f associa a cada x [0, 1] a parte fracionaria de10x. O grafico da transformacao f esta descrito na Figura 3.1.

Afirmamos que a medida de Lebesgue no intervalo e invariantepela transformacao f , isto e, satisfaz a condicao (2.1). Comecemospor supor que E e um intervalo. Entao, como ilustrado na Figura 3.1,a pre-imagem f1(E) consiste de dez intervalos, cada um deles dezvezes mais curto do que E. Logo, a medida de Lebesgue de f1(E)e igual a medida de Lebesgue de E. Isto mostra que (2.1) e satisfeitano caso de intervalos. Por outro lado, a famlia dos intervalos gera a-algebra de Borel de [0, 1]. Portanto, para concluir a demonstracaobasta usar o seguinte fato geral (veja o Exerccio 3.1):

Lema 3.2. Seja f : M M uma transformacao mensuravel e uma medida finita em M . Suponha que existe uma sub-algebra ger-adora I da -algebra de M tal que (E) = (f1(E)) para todo

25coloquiotext2005/5/4page 29

[SEC. 3.1: EXPANSAO DECIMAL 29

0 2/5 4/5 6/5 8/5

1

1

E

Figura 3.1: Transformacao parte fracionaria de 10x

E I. Entao o mesmo vale para todo conjunto mensuravel E, istoe, a medida e invariante por f .

Agora vamos explicar como, a partir do fato de que a medidade Lebesgue e invariante pela transformacao f , podemos obter con-clusoes interessantes e nao-triviais usando o teorema de recorrenciade Poincare.

Comecemos por observar que f tem uma expressao muito simplesem termos de expansoes decimais: se x e dado por

x = 0, a0a1a2a3

com ai {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entao a sua imagem e dada por

f(x) = 0, a1a2a3 .

Com isso, fica muito facil escrever a expressao do iterado n-esimo,para qualquer n 1:

fn(x) = 0, anan+1an+2 (3.1)

Agora, seja E o subconjunto dos x [0, 1] cuja expansao decimalcomeca com o dgito 7, ou seja, tais que a0 = 7. De acordo com o

25coloquiotext2005/5/4page 30

30 [CAP. 3: EXEMPLOS DE MEDIDAS INVARIANTES

Corolario 2.2, quase todo elemento de E tem infinitos iterados quetambem estao em E. Levando em conta a expressao (3.1), isto querdizer que existem infinitos valores de n tais que an = 7. Portanto,provamos que quase todo numero x cuja expansao decimal comecapor 7 tem infinitos dgitos iguais a 7!

Claro que no lugar de 7 podemos considerar qualquer outro dgito.Alem disso, podemos considerar blocos de dgitos mais complicados.Veja os Exerccios 3.23.3.

Mais tarde iremos provar resultados mais fortes: para quase todonumero x [0, 1], todo dgito aparece com frequencia 1/10 na suaexpansao decimal. O enunciado preciso aparecera na Proposicao 6.2,que sera provada a partir do teorema ergodico de Birkhoff.

3.2 Sistemas conservativos

Seja U um aberto em algum espaco euclidiano Rd, d 1 e sejaf : U U um difeomorfismo de classe C1. Isto quer dizer que fe uma bijecao e tanto ele quanto a sua inversa sao derivaveis comderivada contnua.

Representaremos por vol a medida de Lebesgue, ou volume, emRk. Em outras palavras,

vol(B) =

B

dx1 . . . dxd e

B

d vol =

B

(x1, . . . , xd) dx1 . . . dxd

para qualquer conjunto mensuravel B e qualquer funcao integravel.

A formula de mudanca de variaveis afirma que, para qualquerconjunto mensuravel B U ,

vol(f(B)) =

B

| detDf | d vol (3.2)

Daqui se deduz facilmente

Lema 3.3. Um difeomorfismo f : M M de classe C1 deixa in-variante o volume se e somente se o valor absoluto | detDf | do seujacobiano e constante igual a 1.

25coloquiotext2005/5/4page 31

[SEC. 3.2: SISTEMAS CONSERVATIVOS 31

Demonstracao. Suponha primeiro que o valor absoluto do jacobianoe igual 1 em todo ponto. Considere um conjunto mensuravel E e sejaB = f1(E). A formula (3.2) da que

vol(E) =

B

1 d vol = vol(B) = vol(f1(E)).

Isto significa que f deixa invariante o volume e, portanto, provamosa parte sedo enunciado.

Para provar a parte somente se, suponha que | detDf | fossemaior que 1 em algum ponto x. Entao, como o jacobiano e contnuo,existiria uma vizinhanca U de x e algum numero > 1 tais que

| detDf(y)| para todo y U.Entao a formula (3.2) aplicada a B = U daria

vol(f(U))

U

d vol vol(U).

Denotando E = f(U), isto implica que vol(E) > vol(f1(E)) e, por-tanto, f nao deixa invariante o volume. Do mesmo modo se mostraque se o valor absoluto do jacobiano e menor que 1 em algum pontoentao f nao deixa invariante o volume.

Os Exerccios 3.43.5 estendem este lema para transformacoes naonecessariamente invertveis e tambem para uma classe mais ampla demedidas. As suas conclusoes nos serao uteis mais tarde.

Agora vamos considerar o caso de fluxos f t : U U , t R.Suporemos que o fluxo e de classe C1. Claro que o Lema 3.3 se aplicaneste contexto: o fluxo deixa invariante o volume se e somente se

detDf t(x) = 1 para todo x U e todo t R. (3.3)Facamos duas observacoes simples antes de prosseguirmos. A primeirae que segue da definicao de fluxo que todo f t e invertvel (um difeo-morfismo, neste caso): a sua inversa e ft. A segunda observacao eque o jacobiano de f t e sempre positivo. Isso e claro quando t = 0porque, outra vez por definicao de fluxo, f0 e a identidade. Segueque o mesmo e verdade para todo t R, porque o jacobiano variacontinuamente com t e, como acabamos de ver, nunca se anula.

25coloquiotext2005/5/4page 32

32 [CAP. 3: EXEMPLOS DE MEDIDAS INVARIANTES

Embora a resposta que acabamos de dar esteja inteiramente cor-reta, ela nao e muito util na pratica porque em geral nao temos umaexpressao explcita para f t, e portanto nao e claro como verificara condicao (3.3). Felizmente, existe uma expressao razoavelmenteexplcita para o jacobiano, de que iremos falar em seguida, que podeser usada em muitas situacoes interessantes.

Suponhamos que o fluxo f t corresponde as trajetorias de umcampo de vetores F : U U de classe C1, quer dizer f t(x) e ovalor no tempo t da solucao da equacao diferencial

dx

dt= F (x) (3.4)

(quando tratando de equacoes diferenciaveis sempre suporemos queas suas solucoes estao definidas para todo tempo). A formula deLiouville exprime o jacobiano de f t em termos do divergente divFdo campo de vetores F :

detDf t(x) = exp( t

0

divF (fs(x)) ds).

Lembre que o divergente de um campo de vetores F e o traco da suamatriz jacobiana, isto e

divF =F

x1+ + F

xd. (3.5)

Combinando esta formula com (3.3) obtemos

Lema 3.4. O fluxo f t associado a um campo de vetores F de classeC1 deixa invariante o volume se e somente se o divergente de F eidenticamente nulo.

O Exerccio 3.6 e uma aplicacao deste fato no caso, muito impor-tante, de fluxos hamiltonianos.

3.3 Deslocamentos (shifts) de Bernoulli

Estes sistemas modelam sequencias de experimentos aleatorios emque o resultado de cada experimento e independente dos demais.

25coloquiotext2005/5/4page 33

[SEC. 3.3: DESLOCAMENTOS (SHIFTS) DE BERNOULLI 33

Supoe-se que em cada experimento ha um numero finito de resultadospossveis, designados por 1, 2, . . . , d, com probabilidades p(1), p(2), . . . , p(d)de ocorrerem, sendo

p(1) + p(2) + + p(d) = 1 .O conjuntoM das sequencias = (n)nZ com cada n {1, 2, . . . , d}contem os possveis resultados da sequencia de experimentos. Chamam-se cilindros os subconjuntos da forma

[k, l; ak , . . . , al] = { M : k = ak , . . . , l = al}onde k, l Z, com k l, e cada aj {1, 2, . . . , d}. Definimos

([k, l; ak , . . . , al]) = p(ak) p(al) (3.6)Heuristicamente, isto significa que a probabilidade do evento com-posto

k = ak e k+1 = ak+1 e e l = ale o produto das probabilidades de cada um deles. Isto traduz, pre-cisamente, que os resultados sucessivos sao independentes entre si.

Consideramos em M a -algebra B gerada pelos cilindros. Afamlia B0 das unioes disjuntas finitas dos cilindros e uma algebra(por convencao, M e um cilindro e (M) = 1). Estendemos demodo a que seja finitamente aditiva: se E B0 e a uniao disjunta decilindros C1 , . . . , CN , definimos

(E) = (C1) + + (CN ).Verifica-se que esta funcao e, de fato, -aditiva em B0 ; por exemplo,isso pode ser feito usando o Teorema 1.10. Portanto existe uma unicaprobabilidade na -algebra B gerada por B0 que e uma extensaode , isto e, que coincide com ela restrita a B0 . Chamamos essaprobabilidade medida de Bernoulli definida por p(1), p(2), . . . , p(d) e,para nao complicar desnecessariamente a notacao, a representamostambem por .

No espacoM consideramos a transformacao deslocamento (shift)a esquerda

f : M M f((n)nZ) = (n+1)nZ

25coloquiotext2005/5/4page 34

34 [CAP. 3: EXEMPLOS DE MEDIDAS INVARIANTES

que corresponde a fazer uma translacao no tempo. Observe que amedida de Bernoulli e invariante por essa transformacao. De fato,se E = [k, l; ak , . . . , al] entao f1(E) = [k + 1, l + 1; ak , . . . , al] e adefinicao (3.6) da que

(E) = (f1(E))

neste caso. Como a famlia dos cilindros gera a -algebra B, istojuntamente com o Lema 3.2, prova que a medida e invariante paraf .

3.4 Transformacao de Gauss

A transformacao de Gauss G : (0, 1] [0, 1] e definida por G(x) =parte fracionaria de 1/x, ou seja,

G(x) =1x

[1x

].

O grafico de G pode ser esbocado facilmente, a partir da seguinteobservacao.

...

0 1

1

1/21/31/4

Figura 3.2: Transformacao de Gauss

25coloquiotext2005/5/4page 35

[SEC. 3.4: TRANSFORMACAO DE GAUSS 35

Se x (1/2, 1] entao 1/x [1, 2) e portanto a sua parte in-teira [1/x] e igual a 1. Isto quer dizer que neste intervalo atransformacao e dada por G(x) = (1/x) 1.

Mais geralmente, se x (1/(k+1), 1/k) para algum k N entaoa parte inteira de 1/x e igual a k, e tem-se G(x) = 1/x k.Veja tambem a Figura 3.2.

Note que G nao esta definida no ponto x = 0. Alem disso,G(1/k) = 0 para todo k N e portanto o segundo iterado G2(1/k)nao esta definido nestes pontos (e o terceiro iterado nao esta definidonas suas pre-imagens, etc). Isto quer dizer, a rigor, que G nao e umsistema dinamico segundo a definicao que demos antes. No entanto,isto nao coloca nenhum problema para o que pretendemos fazer. Defato, todos os iterados estao bem definidos no conjunto dos numerosirracionais: basta observar que a imagem de um irracional tambeme irracional. Isto e suficiente para os nossos objetivos porque sem-pre tratamos de propriedade que valem para quase todo ponto, e oconjunto dos numeros irracionais tem medida de Lebesgue total nointervalo.

O que torna esta transformacao interessante do ponto de vistaergodico e que G admite uma probabilidade invariante que e equiva-lente a medida de Lebesgue no intervalo. De fato, considere a medidadefinida por

(E) =

E

c

1 + xdx para cada mensuravel E [0, 1]

onde c e uma constante positiva. Note que a integral esta bemdefinida, ja que a funcao integranda e contnua no intervalo [0, 1].Note tambem que

c

2m(E) (E) cm(E) para todo mensuravel E [0, 1].

Em particular, e de fato equivalente a medida de Lebesgue m: asduas medidas tem os mesmos conjuntos com medida nula.

Proposicao 3.5. A medida e invariante por G. Alem disso, seescolhermos c = 1/log2 entao e uma probabilidade.

25coloquiotext2005/5/4page 36

36 [CAP. 3: EXEMPLOS DE MEDIDAS INVARIANTES

Demonstracao. Vamos usar o criterio dado pelo exerccio 3.5: a me-dida e invariante por G se tivermos

xf1(y)

(x)|G(x)| = (y) onde (x) =

c

1 + x(3.7)

para todo y. Comece por observar que cada y tem exatamente umapre-imagem xk em cada intervalo (1/(k + 1), 1/k], dada por

G(xk) =1xk

k = y xk = 1y + k

.

Note tambem que G(x) = (1/x) = 1/x2. Portanto, (3.7) se ree-screve como

k=1

cx2k1 + xk

=c

1 + y

k=1

1(y + k)(y + k + 1)

=c

1 + y(3.8)

Para verificar que esta igualdade e realmente satisfeita, observe que

1(y + k)(y + k + 1)

=1

y + k 1y + k + 1

.

Isto quer dizer que a ultima soma em (3.8) pode ser escrita na formatelescopica: todos os termos, exceto o primeiro, aparecem duas vezes,com sinais contrarios, e portanto se cancelam. Logo a soma e igualao primeiro termo, que e precisamente o que se afirma em (3.8). Istoprova a invariancia.

Finalmente, usando a primitiva c log(1+x) da funcao (x) vemosque

([0, 1]) = 1

0

c

1 + xdx = c log 2.

Logo, escolhendo c = 1/ log 2 obtemos que e uma probabilidade.

A transformacao de Gauss tem um papel muito importante emteoria dos numeros, devido a sua relacao com o processo de expansaodos numeros em fracao contnua. Recordemos do que se trata.

Dado um numero x0 (0, 1), seja

a1 =[

1x0

]e x1 =

1x0

a1 = G(x0).

25coloquiotext2005/5/4page 37

[SEC. 3.4: TRANSFORMACAO DE GAUSS 37

Note que a1 e um numero natural, x1 [0, 1) e tem-se

x0 =1

a1 + x1.

Agora, supondo que x1 seja diferente de zero, podemos repetir oprocesso, definindo

a2 =[

1x1

]e x2 =

1x1

a2 = G(x1).

Entaox1 =

1a1 + x2

portanto x0 =1

a1 +1

a2 + x2

.

Por recorrencia, para cada n 1 tal que xn1 (0, 1) se define

an =[

1xn1

]e xn =

1xn1

an = G(xn1)

e tem-sex0 =

1

a1 +1

a2 +1

+ 1an + xn

. (3.9)

Nao e difcil mostrar (verifique!) que a sequencia

zn =1

a1 +1

a2 +1

+ 1an

.

converge para x0 quando n , e e usual traduzir este fato es-crevendo

x0 =1

a1 +1

a2 +1

+ 1an +

1

, (3.10)

25coloquiotext2005/5/4page 38

38 [CAP. 3: EXEMPLOS DE MEDIDAS INVARIANTES

que e chamada expansao em fracao contnua de x0.Note que a sequencia zn consiste de numeros racionais. De fato

se mostra que estes sao os numeros racionais que melhor aproximamo numero x0, no sentido de que zn esta mais proximo de x0 do quequalquer outro numero racional com denominador menor ou igual queo denominador de zn (escrito em forma irredutvel). Observe tambemque para obter (3.10) supusemos que xn (0, 1) para todo n N.Se encontramos algum xn = 0, o processo para nesse momento econsideramos (3.9) a expansao em fracao contnua de x0. Claro queeste ultimo caso ocorre somente se x0 e um numero racional.

Estas ideias de Teoria Ergodica podem ser usadas para obter con-clusoes nao triviais em Teoria dos Numeros. Por exemplo (veja oExerccio 3.7), para quase todo numero x0 (1/8, 1/7) o numero 7aparece infinitas vezes na sua expansao em fracao contnua, isto e,tem-se an = 7 para infinitos valores de n N.

De fato, mais tarde provaremos um fato muito mais preciso: paraquase todo x0 (0, 1) o numero 7 aparece com frequencia

1log 2

log6463

na sua expansao em fracao contnua. Tente intuir desde ja de ondevem este numero!

3.5 Exerccios

3.1. Demonstre o Lema 3.2. Dica: mostre que a famlia de todos osconjuntos E tais que (E) = (f1(E)) e uma -algebra.

3.2. Prove que, para quase todo numero x [0, 1] cuja expansaodecimal contem o bloco 617 (por exemplo x = 0, 3375617264 ),esse bloco aparece infinitas vezes na expansao.

3.3. Prove que o dgito 7 aparece infinitas vezes na expansao decimalde quase todo numero x [0, 1]. Dica: Comece por mostrar que oconjunto dos numeros cuja expansao decimal nunca exibe o dgito 7tem medida nula.

25coloquiotext2005/5/4page 39

[SEC. 3.5: EXERCICIOS 39

3.4. Suponha que f : U U e um difeomorfismo local (isto e: oseu jacobiano e nao nulo em todo ponto) de classe C1. Mostre que fdeixa invariante o volume se e somente se

xf1(y)

1| detDf(x)| = 1 para todo y U.

3.5. Dada uma funcao : U [0,), denotamos por = vol amedida definida por (E) =

E d vol. Suponha que f : U U e

um difeomorfismo local de classe C1 e que e uma funcao contnua.Mostre que f deixa invariante a medida = vol se e somente se

xf1(y)

(x)| detDf(x)| = (y) para todo y U.

Em particular, no caso em que f e invertvel, f deixa invariante amedida se e somente se (x) = (f(x))| detDf |(x) para todo x U .3.6. Seja U um aberto de R2d e H : U R uma funcao de classe C2.Denotamos as variaveis em R2d por (p1, q1, . . . , . . . , pd, qd). O campode vetores hamiltoniano associado a H e definido por

F (p1 , . . . , pd , q1 , . . . , qd) =(H

q1, . . . ,

H

qd,H

p1, . . . ,H

pd

).

Verifique que o fluxo definido por F preserva o volume.

3.7. Para (Lebesgue) quase todo numero x0 (1/8, 1/7) o numero7 aparece infinitas vezes na sua expansao em fracao contnua, isto e,tem-se an = 7 para infinitos valores de n N.3.8. Considere a sequencia 1, 2, 4, 8, . . . , an = 2n, . . . . Mostre quedado um dgito i 0, . . . , 9, existe uma quantidade infinita de valoresn tal que an comeca com este dgito.

3.9. Mostre que se A e uma matriz n n com coeficientes inteiros,entao a transformacao induzida [A] : n Pin definida por [A](x) =

A(x) preserva a medida de Lebesgue de n.

3.10. Mostre que o deslocamento definido na Seccao 3.3 e transitivoe que o conjunto de suas orbitas periodicas e denso.

25coloquiotext2005/5/4page 40

Captulo 4

Existencia de MedidasInvariantes

Neste captulo provaremos o seguinte resultado, que garante a ex-istencia de medidas invariantes em grande generalidade:

Teorema 4.1. Seja f : M M uma transformacao contnua numespaco metrico compacto. Entao existe pelo menos uma probabilidadeinvariante por f . O mesmo resultado vale para fluxos.

Antes de demonstrarmos este resultado, mencionemos alguns ex-emplos que mostram que nenhuma das duas hipoteses, continuidadee compacidade, podem ser omitidas.

4.1 Alguns exemplos simples

Considere f : (0, 1] (0, 1] dada por f(x) = x/2. Suponha quef admite alguma probabilidade invariante (o objetivo e mostrar queisso nao acontece). Pelo Teorema de Recorrencia 2.3, relativamentea essa probabilidade quase todo ponto de (0, 1] e recorrente. Mas eimediato que nao existe nenhum ponto recorrente: a orbita de qual-quer x (0, 1] converge para zero e, em particular, nao acumula noponto inicial x. Isto mostra que f e um exemplo de transformacao

40

25coloquiotext2005/5/4page 41

[SEC. 4.1: ALGUNS EXEMPLOS SIMPLES 41

contnua num espaco nao compacto que nao admite nenhuma medidaprobabilidade invariante.

Modificando um pouco o exemplo, podemos mostrar que o mesmofenomeno pode ocorrer em espacos compactos, se a transformacao naoe contnua. Considere f : [0, 1] [0, 1] dada por f(x) = x/2 se x = 0e f(0) = 1. Pela mesma razao que antes, nenhum ponto x (0, 1] erecorrente. Portanto, se existe alguma probabilidade invariante elatem dar peso total ao unico ponto recorrente que e x = 0. Em outraspalavras, precisa ser a medida de Dirac 0 suportada em zero, quee definida por

0(E) = 1 se 0 E e 0(E) = 0 se 0 / E.

Mas a medida 0 nao e invariante por f : tomando E = {0} temosque E tem medida 1 mas a sua pre-imagem f1(E) e o conjuntovazio, que tem medida nula. Portanto, esta transformacao tambemnao tem nenhuma probabilidade invariante.

O nosso terceiro exemplo e de natureza um pouco diferente. Con-sideremos f : [0, 1] [0, 1] dada por f(x) = x/2. Trata-se de umatransformacao contnua num espaco compacto. Logo, pelo teoremaque iremos demonstrar, admite alguma probabilidade invariante. Pe-los mesmos argumentos que usamos no caso anterior, se conclui quede fato ha uma unica probabilidade invariante, que e a medida deDirac 0 suportada no ponto zero. Note que neste caso 0 e de fatoinvariante.

Mencionamos este ultimo caso para enfatizar as limitacoes do Teo-rema de Existencia (que sao inerentes a sua grande generalidade): asmedidas que ele garante existirem podem ser bastante triviais; porexemplo, neste caso quando falamos de quase todo pontoestamosnos referindo apenas ao ponto x = 0. Por isso, um objetivo impor-tante e obter resultados mais sofisticados de existencia de medidascom propriedades adicionais que as tornem mais interessantes, porexemplo serem equivalentes a medida de Lebesgue.

25coloquiotext2005/5/4page 42

42 [CAP. 4: EXISTENCIA DE MEDIDAS INVARIANTES

4.2 A topologia fraca no espaco das me-didas

Nesta secao vamos introduzir uma topologia importante no conjuntoM1(M) das probabilidades borelianas do espacoM , chamada topolo-gia fraca , que sera muito util para provar o Teorema 4.1. A ideia dadefinicao e a seguinte: duas medidas estao proximas se dao integraisproximas para muitas funcoes contnuas. Procuremos exprimir estaideia de modo preciso.

Dada uma medida M1(M), um conjunto finito F = {1, . . . , N}de funcoes contnuas j : M R, e um numero > 0, definimos

V (, F, ) = { M1(M) :j d

j d

< para todo j F}.Entao a topologia fraca e definida estipulando que estes conjuntosV (, F, ), com F e variavel, constituem uma base de vizinhancasda medida . O seguinte lema deveria ajudar a compreender o sig-nificado desta topologia:

Lema 4.2. Uma sequencia (n)nN em M1(M) converge para umamedida M1(M) na topologia fraca se e somente se

dn d para toda funcao contnua : M R.

Demonstracao. Para provar a parte somente se, considere qualquerfuncao contnua e forme o conjunto F = {}. Como n , temosque dado qualquer > 0 existe uma ordem a partir n da qual n estana vizinhanca V (, F, ). Mas isto significa, precisamente, que

dn

d

< para todo n n. Em outras palavras, a sequencia dn convergepara

d.

A recproca afirma que sedn converge para

d, para toda

funcao contnua, entao dado qualquer F e existe uma ordem a partir

25coloquiotext2005/5/4page 43

[SEC. 4.2: A TOPOLOGIA FRACA NO ESPACO DAS MEDIDAS 43

da qual n V (, F, ). Para ver isso, escrevemos F = {1, . . . , N}.A hipotese garante que para cada 1 j N existe nj tal que

j dn

d

< para todo n nj .Tomando n = max{n1, , . . . , nN}, temos n V (, F, ) para n n.

Outra proposicao muito util que caracteriza a convergencia demedidas e dada na:

Proposicao 4.3. Assuma que a sequencia n converge para natopologia fraca . Entao:

1. lim supn

n(K) (K) para cada conjunto compacto K M ;

2. lim infn n(U) (U) para cada conjunto aberto U M .

Em particular, se o bordo de A tem medida zero, temos que limnn(A) =

(A).

Demonstracao. Seja U um aberto e vamos mostrar o item (b). TomeK um compacto em U e escolha : [0, 1] uma funcao contnuaqualquer tal que |K 1 e |Uc 0. Por exemplo, basta tomar(x) = d(x, U c)/(d(x,K) + d(x, U c)). Entao:

(K) d = lim

n

dn lim inf

n n(U).

Como vale que (U) = supK(K), onde o supremo e tomado sobre

todos os compactos K U provamos o item (b). O item (a) einteiramente analogo, observando que (K) = inf (U), onde o nfimoe tomado sobre todos os abertos U contendo K.

As principais propriedades desta topologia de que necessitamosestao dadas no seguinte

Teorema 4.4. M1 munido da topologia fraca e metrizavel e com-pacto.

25coloquiotext2005/5/4page 44

44 [CAP. 4: EXISTENCIA DE MEDIDAS INVARIANTES

Vamos comecar por demonstrar a metrizabilidade, isto e, que ex-iste uma distancia d que gera a topologia fraca em M1(M). Paraisso usamos o resultado seguinte, cuja prova pode ser encontrada em[Rud87]. Como e usual, denotamos por C0(M) o espaco das funcoescontnuas : M R, munido da norma da convergencia uniforme:

1 2 = sup{|1(x) 2(x)| : x M}.Proposicao 4.5. Se M e um espaco metrico entao C0(M) tem sub-conjuntos enumeraveis densos.

Logo, podemos escolher um subconjunto enumeravel F = {n :n N} denso na bola unitaria do espaco C0(M). Feito isso, definimos

d(1, 2) =

n=1

12n

n d1

n d2

, (4.1)para qualquer par de medidas 1 e 2.

Proposicao 4.6. A expressao d esta bem definida, e uma distancia,e gera a topologia fraca em M1(M).Demonstracao. Como as funcoes estao na bola unitaria de C0(M),ou seja, sup || 1, e as medidas i sao probabilidades, o termogeral da soma e limitado por 2 2n. Isto garante que a serie em (4.1)converge.

O unico passo nao trivial na prova de que d e uma distancia emostrar que

d(1, 2) = 0 1 = 2 .A hipotese d(1, 2) = 0 significa que

j d1 =

j d2 para toda

j F . Agora, dada qualquer na bola unitaria de C0(M) podemosencontrar uma sequencia de elementos de F convergindo uniforme-mente para . Como consequencia, a igualdade continua valendopara :

d1 =d2 (4.2)

para toda na bola unitaria de C0(M). Como todo elemento deC0(M) tem algum multiplo na bola unitaria, isto implica que a igual-dade (4.2) e verdadeira para toda funcao contnua . Isto quer dizerque 1 = 2 , como pretendamos mostrar.

25coloquiotext2005/5/4page 45

[SEC. 4.2: A TOPOLOGIA FRACA NO ESPACO DAS MEDIDAS 45

Para provar que d gera a topologia, devemos mostrar que todabola B(, ) = { M1(M) : d(, ) < } contem alguma viz-inhanca V (, F, ) e reciprocamente. Dado > 0 fixemos N 1suficientemente grande para que

n=N

2n 0 podemos encontrar n F tal que n .Entao dj

n dj

para todo j. Como

n dj converge (para n), seque que

lim supj

dj lim inf

j

dj 2.

Como e arbitrario, conclumos que limjdj existe. Isto prova

(4.3) quando a funcao esta na bola unitaria. O caso geral reduz-seimediatamente a esse, substituindo por /. Assim, completa-mos a prova de (4.3).

Finalmente, e claro que o operador : C0(M) R definidopor (4.3) e linear e positivo: () min > 0 para todo funcao C0(M) positiva em todo ponto. Alem disso, (1) = 1. Logo,pelo Teorema 4.7, existe alguma probabilidade boreliana em M talque () =

d para toda funcao contnua . Agora a igualdade

em (4.3) pode ser reescrita = lim

j

dj para toda C0(M).

De acordo com o Lema 4.2, isto quer dizer que a subsequencia (j )jNconverge para na topologia fraca . Isto completa a demonstracaodo Teorema 4.4.

4.3 Demonstracao do Teorema de Existencia

Comecemos por introduzir uma notacao util. Dado f : M M equalquer medida em M denota-se por f e chama-se imagem de por f a medida definida por

f(E

)=

(f1(E)

)para cada conjunto mensuravel E M .

Note que e invariante por f se e somente se f = .

25coloquiotext2005/5/4page 48

48 [CAP. 4: EXISTENCIA DE MEDIDAS INVARIANTES

Lema 4.9. A aplicacao f : M1(M) M1(M) e contnua relativa-mente a topologia fraca .

Demonstracao. Para mostrarmos o lema acima, basta mostrar quese n converge para na topologia fraca , entao para toda funcaocontnua temos que

limndfn =

df.

De fato, se uma medida qualquer, afirmamos quedf =

f d.

Com efeito, podemos aproximar por uma sequencia de funcoes sim-ples n com n . Observe que isso implica, em particular,que n f f. Observe que se A e funcao caracterstica,entao

A df = (f1(A)) =A f d.

Por linearidade, a igualdade acima se estende para as funcoes sim-ples n. Para finalizar, temos que pelo Teorema da ConvergenciaDominada,

df = limn

n df = lim

n

n f d =

f d,

o que termina a prova da afirmacao. Para completar a prova doLema, basta observar que a funcao f tambem e contnua, uma vezque f e contnua. Assim,

limn

dfn = lim

n

f dn

f d =

df,

como queramos provar.

Voltando a prova do Teorema de Existencia, considere qualquerprobabilidade em M : por exemplo, a medida de Dirac em um pontoqualquer. Forme a sequencia de probabilidades

n =1n

n1j=0

f j (4.4)

25coloquiotext2005/5/4page 49

[SEC. 4.3: DEMONSTRACAO DO TEOREMA DE EXISTENCIA 49

onde f j e a imagem de pelo iterado f j . Pelo Teorema 4.4,esta sequencia tem algum ponto de acumulacao: existe alguma sub-sequencia (nj)jN e alguma probabilidade M1(M) tais que

= limknk = lim

k

1nk

nk1j=0

f j . (4.5)

Agora e suficiente provar o seguinte

Lema 4.10. Todo ponto de acumulacao de uma sequencia (n)nNe uma probabilidade invariante por f .

Demonstracao. A partir de (4.5), e usando o Lema 4.9, obtemos que

f = f(lim

k

1nk

nk1j=0

f j)

= limkf

( 1nk

nk1j=0

f j)

= limk

1nk

nkj=1

f j .

A expressao do lado direito pode ser reescrita como

limk

( 1nk

nk1j=0

f j + fnk ).

Afirmamos que limk

1nk = 0 e lim

k

1nkfnk = 0. A primeira afirmacao

e obvia, e para a segunda basta observar que

1nkfnk (E) =

1nk(fnk(E)) 1

nk

para todo conjunto mensuravel E F . Deste modo obtemos que

f = limk

1nk

nk1j=0

f j =

e portanto e invariante por f .

Isto completa a demonstracao do Teorema de Existencia 4.1.

Corolario 4.11 (Teorema de Recorrencia de Birkhoff). Sef : M M e uma transformacao contnua num espaco metricocompacto entao f tem algum ponto recorrente.

25coloquiotext2005/5/4page 50

50 [CAP. 4: EXISTENCIA DE MEDIDAS INVARIANTES

Demonstracao. Pelo Teorema 4.1, existe alguma probabilidade f -invariante . Por outro lado, todo espaco metrico compacto admiteuma base enumeravel de abertos (verifique!). Portanto, podemosaplicar o Teorema 2.3, para concluir que -quase todo ponto e recor-rente. Em particular, o conjunto dos pontos recorrentes e nao vazio,conforme foi afirmado.

4.4 Exerccios

4.1. Prove a seguinte generalizacao do Lema 4.10: Seja f : M Muma transformacao contnua num espaco compacto, uma probabil-idade em M e (In)n uma sequencia de intervalos de numeros naturaistais que #In converge para infinito quando n vai para infinito. Entaoqualquer ponto de acumulacao da sequencia

n =1

#In

jIn

f j

e uma probabilidade f -invariante.

4.2. Dizemos que uma sequencia (n)nN de probabilidades convergepontualmente (ou fortemente) para M1(M)

n(E) (E) para todo conjunto mensuravel E M.

1. Mostre que se (n)nN converge pontualmente para entaotambem converge para na topologia fraca . Mostre, atravesde um exemplo, que a recproca e falsa.

2. Mostre que (n)nN converge para na topologia fraca see somente se n(E) (E) para todo conjunto mensuravelE M cujo bordo E satisfaz (E) = 0.

Dica para (2): Dado o mensuravel E e > 0 encontre funcoescontnuas 1 e 2 tais que 1 XE 2 e

1 d

2 d < .

4.3. Fixe um subconjunto enumeravel denso F = {n : n N}da bola unitaria de C0(M). Mostre que uma sequencia (k)kN de

25coloquiotext2005/5/4page 51

[SEC. 4.4: EXERCICIOS 51

probabilidades em M converge na topologia fraca para alguma M1(M) se e somente se, para todo n N,

n dk converge paran d.

4.4. Seja f1, f2, . . . , fN : M M uma famlia finita qualquer detransformacoes contnuas num espaco metrico compacto que comu-tam entre si: fi fj = fj fi para todo i e todo j em {1, 2, . . . , N}.Prove que existe alguma probabilidade que e invariante por fi paratodo i {1, 2, . . . , N}.Definicao 4.12. Dizemos que uma transformacao f : M M eunicamente ergodica se admite exatamente uma probabilidade in-variante.

Os exerccios a seguir tratam de transformacoes unicamente ergodicas.Esta terminologia e justificada pelo Exerccio 4.7 abaixo, que afirmaque nesse caso a probabilidade invariante e necessariamente ergodica.No que segue suporemos que M e um espaco metrico compacto ef : M M e contnua.4.5. Seja R e uma rotacao irracional do crculo. Mostre que R eunicamente ergodica.

4.6. Seja f : M M uma transformacao unicamente ergodica.Mostre que se : S1 R e uma funcao contnua qualquer, entao:

(x) = limn

1n

n1j=0

(Rj(x))

existe em todo ponto e, de fato, o limite e uniforme. Justifique que e constante em todo ponto.

Dica: Verifique que a sequencia do lado direito e equicontnua euse o teorema de Ascoli-Arzela.

4.7. Mostre que f e uma transformacao unicamente ergodica se esomente se

lim1n

n1j=0

(f j(x)) =d

25coloquiotext2005/5/4page 52

52 [CAP. 4: EXISTENCIA DE MEDIDAS INVARIANTES

para toda funcao contnua : M R e todo x M . Obtenha que, seuma transformacao e unicamente ergodica entao a sua probabilidadeinvariante e ergodica.

25coloquiotext2005/5/4page 53

Captulo 5

Teorema Ergodico deBirkhoff

O teorema fundamental da Teoria Ergodica afirma que, para qualquersubconjunto mensuravel e para quase todo ponto, existe um tempomedio de permanencia da orbita do ponto nesse conjunto. Este resul-tado e devido a von Neumann, que provou um enunciado mais fraco,e sobretudo a Birkhoff, que o provou na forma definitiva que iremosestudar.

Em muitos casos, esse tempo medio de permanencia e precisa-mente igual a medida do subconjunto, ou seja, orbitas tpicas pas-sam em cada subconjunto um tempo que e exatamente igual a im-portanciaque a probabilidade invariante atribui ao conjunto. Istoe o que se chama de ergodicidade, uma propriedade que remonta aBoltzmann, e que estudaremos mais tarde.

5.1 Enunciados e comentarios

Comecemos por explicar o que entendemos por tempo medio de per-manencia de uma orbita num conjunto. Dado x M e um conjuntomensuravel E M , vamos tomar um certo numero (grande) de itera-dos iniciais da orbita de x e vamos considerar a fracao desses iterados

53

25coloquiotext2005/5/4page 54

54 [CAP. 5: TEOREMA ERGODICO DE BIRKHOFF

que estao em E:

n(E, x) =1n

#{j {0, 1, . . . , n 1} : f j(x) E}.

Observe que isto e o mesmo que

n(E, x) =1n

n1j=0

XE(f j(x)),

onde XE designa a funcao caracterstica do conjuntoE, isto e, XE(x) =1 se x E e XE(x) = 0 caso contrario.

Em seguida, fazemos n ir para infinito e chamamos tempo mediode permanencia da orbita de x em E o limite destas fracoes:

(E, x) = limn n(E, x).

Em geral, este limite pode nao existir. Iremos ver um exemplo dessefato daqui a pouco. No entanto, o teorema ergodico afirma que,relativamente a qualquer probabilidade invariante, o limite realmenteexiste para quase todo ponto:

Teorema 5.1. Seja f : M M uma transformacao mensuravele uma probabilidade invariante por f . Dado qualquer conjuntomensuravel E M , o tempo medio de permanencia (E, x) existeem -quase todo ponto x M . Alem disso,

(E, x) d(x) = (E).

Antes de passarmos a demonstracao deste resultado notavel, e aalgumas das suas aplicacoes, vamos fazer alguns comentarios rela-cionados. O primeiro deles e que se (E, x) existe para um certoponto x M entao

(E, f(x)) = (E, x). (5.1)

25coloquiotext2005/5/4page 55

[SEC. 5.2: DEMONSTRACAO DO TEOREMA ERGODICO 55

De fato, por definicao,

(E, f(x)) = limn

1n

nj=1

XE(f j(x))

= limn

1n

n1j=0

XE(f j(x)) 1n

[XE(x) XE(fn(x))]

= (E, x) + limn

1n

[XE(x) XE(fn(x))]Como a funcao caracterstica e limitada, o ultimo limite e igual azero. Isto prova a igualdade (5.1).

O teorema ergodico pode ser enunciado de modo um pouco maisgeral:

Teorema 5.2. Seja f : M M uma transformacao mensuravel e uma probabilidade invariante por f . Dada qualquer funcao integravel : M R o limite

(x) = limn

1n

n1j=0

(f j(x))

existe em -quase todo ponto x M . Alem disso,(x) d(x) =

(x) d(x).

Observe que o Teorema 5.1 e o caso particular = funcao car-acterstica XE do conjunto E. Este enunciado mais geral pode serprovado usando uma versao um pouco mais elaborada do argumentoda secao 5.2, que nao apresentaremos aqui.

5.2 Demonstracao do teorema ergodico

A estrategia da prova e a seguinte. Seja E M um conjunto men-suravel qualquer. Para cada x M , definimos

(E, x) = lim sup1n

#{j {0, . . . , n 1} : f j(x) E

} (E, x) = lim inf

1n

#{j {0, . . . , n 1} : f j(x) E

}.

25coloquiotext2005/5/4page 56

56 [CAP. 5: TEOREMA ERGODICO DE BIRKHOFF

Note que, para todo x M , (E, f(x)) = (E, x) e (E, f(x)) = (E, x) (5.2)

A justificacao e analoga a da relacao (5.1).O principal passo da demonstracao consiste em mostrar que

(E, x) = (E, x) para -quase todo ponto x. (5.3)

E claro que (E, x) e sempre maior ou igual que (E, x). Portanto,para mostrar (5.3) sera suficiente que provemos

(E, x) d(x) (E) (E, x) d(x). (5.4)

Vamos provar a primeira desigualdade em (5.4). A segunda segue deum argumento inteiramente analogo 1.

Fixemos qualquer > 0. Por definicao de lim sup, para cadax M existem inteiros t 1 tais que

1t#

{j {0, . . . , t 1} : f j(x) E

} (E, x) . (5.5)

Representaremos por t(x) o menor inteiro com esta propriedade. Paratornar a demonstracao mais transparente, consideraremos primeiro ocaso particular em que a funcao x t(x) e limitada, isto e,Caso particular: Existe T N tal que t(x) T para todo x M .

Dado qualquer x M , definimos uma sequencia x0, x1, . . . , xs depontos em M e uma sequencia t0, t1, . . . , ts de numeros naturais, doseguinte modo:

1. Primeiramente, tomamos x0 = x.

2. Supondo que xi ja foi definido, tomamos ti = t(xi) e xi+1 =f ti(xi).

3. Terminamos quando encontramos xs tal que t0+t1+ +ts1+ts n.

1Alternativamente, a segunda desigualdade pode ser deduzida da primeira,aplicada ao complementar Ec, observando que (E) = 1 (Ec) e (E, x) =1 (Ec, x).

25coloquiotext2005/5/4page 57

[SEC. 5.2: DEMONSTRACAO DO TEOREMA ERGODICO 57

Note que todo xi e iterado do ponto x: de fato xi = f t0++ti1(x).Aplicando (5.2) conclumos que (E, xi) = (E, x) para todo i. Adefinicao de t(xi) implica que, dos ti primeiros iterados de xi, pelomenos

ti( (E, xi) ) = ti

( (E, x) ) (5.6)

estao em E. Isto vale para cada i = 0, 1, . . . , s 1. Portanto, pelomenos

(t0 + t1 + + ts1)( (E, x) )dos n primeiros iterados de x, estao em E. Alem disso, a ultima regrana definicao das nossas sequencias implica que

t0 + t1 + + ts1 n ts n T.Deste modo, mostramos que pelo menos (n T )( (E, x) ) dos nprimeiros iterados de x estao em E. Em outras palavras,

n1j=0

XE(f j(x)) (n T )((E, x) ) (5.7)

para todo x M e todo n 1. Integrando a relacao (5.7), obtemosque

n1j=0

XE(f j(x)) d(x) (n T )

(E, x) d(x) (n T ).

Todas as parcelas no membro da esquerda sao iguais a (E), uma vezque a probabilidade e invariante por f . Portanto, esta desigualdadepode ser escrita como

n(E) (n T )(E, x) d(x) (n T ).

Dividindo os dois termos por n e fazendo n ir para infinito, conclumosque

(E) (E, x) d(x)

Como > 0 e qualquer, isto implica a primeira desigualdade em (5.4).Isto termina a demonstracao neste caso.

25coloquiotext2005/5/4page 58

58 [CAP. 5: TEOREMA ERGODICO DE BIRKHOFF

Caso geral: Vamos indicar as modificacoes que devem ser feitasrelativamente ao caso particular.

Dado > 0, comecamos por fixar T 1 suficientemente grande,de modo que a medida do

B = {y M : t(y) > T }

seja menor que . Em seguida, na definicao das sequencias sub-stitumos a regra 2 por

2a. Se t(xi) T , tomamos ti = t(xi) e xi+1 = f ti(xi).2b. Se t(xi) > T , tomamos ti = 1 e xi+1 = f(xi).

As regras 1 e 3 permanecem inalteradas. A estimativa referente a(5.6) continua valida, para os valores de i aos quais se aplica a regra2a:

ti1j=0

XE(f j(xi)) ti( (E, x) ).

E claro que esta desigualdade implica a seguinte:

ti1j=0

XE(f j(xi)) ti( (E, x) )

ti1j=0

XB(f j(xi)). (5.8)

A vantagem e que (5.8) e valida tambem para os valores de i aos quaisse aplica a regra 2b. De fato, nesse caso tem-se ti = 1, o membro daesquerda e maior ou igual que zero e o membro da direita e menorque zero, uma vez que (E, x) e sempre menor ou igual que 1. Issosignifica que, no lugar de (5.7), tem-se

n1j=0

XE(f j(x)) (n T )( (E, x) ) n1j=0

XB(f j(x)).

Integrando, como fizemos anteriormente, obtemos

n(E) (n T )(E, x) d(x) (n T ) n(B).

25coloquiotext2005/5/4page 59

[SEC. 5.2: DEMONSTRACAO DO TEOREMA ERGODICO 59

Dividindo por n e fazendo n , deduzimos que (lembre que(B) < )

(E) (E, x) d(x) (B)

(E, x) d(x) 2.

Como > 0 e arbitrario, segue que

(E) (E, x) d(x).

Isto completa a demonstracao do Teorema 5.1.

25coloquiotext2005/5/4page 60

60 [CAP. 5: TEOREMA ERGODICO DE BIRKHOFF

5.3 Exerccios

5.1. Considere a transformacao f : M M , f(x) = 10x [10x]introduzida na secao 3.1. Considere

x = 0, 335533335555555533333333333333335 . . . .

Ou seja: a expansao decimal de x consiste de blocos de 3s e 5s,alternados, cada bloco (exceto o segundo) com duas vezes mais dgitosque o anterior. Considere tambem E = [0, 3, 0, 4). Mostre que

2(E, x) = 1, 8 =34, . . . 22k1(E, x)

23,

enquanto que

4(E, x) =12, 16 =

38, . . . 22k(E, x)

13,

e portanto o tempo medio de permanencia da orbita de x em E naoexiste.

5.2. Mostre que, para qualquer funcao integravel , a media tempo-ral satisfaz f = em -quase todo ponto.

25coloquiotext2005/5/4page 61

Captulo 6

Ergodicidade

Uma transformacao f : M M diz-se ergodica para uma probabili-dade invariante (tambem dizemos que a medida e ergodica paraf , ou que o sistema (f, ) e ergodico) se as medias temporais dadaspelo Teorema de Birkhoff 5.2 coincidem em quase todo ponto com asrespectivas medias espaciais:

limn

1n

n1j=0

(f j(x)) =d ,

para toda funcao -integravel : M R e -quase todo x M .Na proxima proposicao vamos reescrever esta condicao de varias

maneiras equivalentes, para ajudar a entender o seu significado. Umconjunto mensuravel A M diz-se invariante se f1(A) = A. Umafuncao mensuravel : M R diz-se invariante se f = .

Proposicao 6.1. Seja uma probabilidade invariante de uma trans-formacao f : M M mensuravel. As seguintes condicoes sao equiv-alentes:

1. O sistema (f, ) e ergodico.

2. Para todo subconjunto invariante A tem-se (A) = 0 ou (A) =1.

61

25coloquiotext2005/5/4page 62

62 [CAP. 6: ERGODICIDADE

3. Toda funcao invariante e constante num conjunto de medidatotal.

Demonstracao. (1) implica (2): Considere = XA. Por um lado,a hipotese (1) significa que

(x) =d = (A)

para quase todo x M . Por outro lado, como A e invariante, temosque x A se e somente se f(x) A. Isto implica que (f j(x)) = (x)para todo j 0 e para todo x. Portanto,

(x) = (x) = XA(x)para todo x M . Como a funcao caracterstica so toma os valores 0e 1, estas duas igualdades implicam que (A) = 0 ou (A) = 1, comoe afirmado em (2).

(2) implica (3): Seja uma funcao invariante qualquer. Entao,a pre-imagem 1(I) de qualquer intervalo I R e um conjuntoinvariante. Portanto, pela hipotese (2), essa pre-imagem tem medidazero ou um. Como o intervalo I e qualquer, isto prova que econstante num conjunto com probabilidade total.

(3) implica (1): Seja uma funcao integravel qualquer. Comovimos no exerccio 5.2, a media temporal e uma funcao invariante.Logo, pela hipotese (3), e constante em quase todo ponto. Entao,usando o teorema ergodico,

(x) = d =

d

em quase todo ponto. Isto e, o sistema e ergodico.

6.1 Exemplos e aplicacoes

Nesta secao descrevemos diversos exemplos de sistemas ergodicos.

6.1.1 Expansao decimal

Considere a transformacao f : [0, 1] [0, 1], f(x) = 10x [10x] dasecao 3.1. Afirmamos que f e ergodica para a medida de Lebesgue

25coloquiotext2005/5/4page 63

[SEC. 6.1: EXEMPLOS E APLICACOES 63

. Tendo em vista a proposicao 6.1, para mostrar isto so temos queprovar que se A e um conjunto invariante com medida positiva entaoA tem medida total.

Suponhamos entao que A e invariante e (A) > 0. O ingredienteprincipal e o teorema de derivacao 1.25. No nosso caso, como estamostratando com subconjuntos de R, a condicao (1.2) torna-se

lim0

inf{(I A)

(I): I (a , a+ ) intervalo contendo a} = 1 .

(6.1)Fixemos um ponto de densidade a A qualquer. Consideremos asequencia de intervalos

Ik =(mk10k

,mk + 1

10k), mk Z, k N,

que contem o ponto a. Como a e um ponto de densidade de A, apropriedade (6.1) implica que

(Ik A)(Ik)

1 quando k .

Observe tambem que cada fk e uma bijecao afim de Ik sobre o in-tervalo (0, 1). Isso tem a seguinte consequencia, que e crucial para onosso argumento:

(fk(E1))(fk(E2))

=(E1)(E2)

(6.2)

para quaisquer subconjuntos mensuraveis E1 e E2 de Ik . Aplicandoeste fato a E1 = Ik A e E2 = Ik obtemos que

(fk(Ik A)

)((0, 1)

) = (Ik A)(Ik)

.

Claro que ((0, 1)

)= 1. Alem disso, como estamos supondo que A e

invariante, fk(Ik A) esta contido em A. Deste modo obtemos que

(A) (Ik A)(Ik)

.

25coloquiotexto2005/5/4page 64

64 [CAP. 6: ERGODICIDADE

Como a sequencia do lado direito converge para 1, segue que (A) =1, como queramos demonstrar. Ficou provado que a transformacaof e ergodica para a medida de Lebesgue .

Em seguida vamos dar uma aplicacao deste fato no contexto daTeoria dos Numeros. Dizemos que um numero x R e balanceado setodo dgito aparece com a mesma frequencia, 1/10, na sua expansaodecimal. E facil dar exemplos de numeros balanceados. Mas em gerale muito difcil decidir se um dado numero irracional e balanceado ounao. Por exemplo, nao e sabido ate hoje se o numero e balanceado.

No entanto, a conclusao da secao anterior nos permite deduzir quequase todo numero e balanceado:

Proposicao 6.2. O conjunto dos numeros x R nao balanceadostem medida de Lebesgue nula.

Demonstracao. Como o fato de ser balanceado e independente daparte inteira do numero, so precisamos mostrar que quase todo x [0, 1] e balanceado. Considere f : [0, 1] [0, 1] definida por f(x) =10x [10x]. Para cada dgito j {0, 1, . . . , 9} considere o intervaloEj = [j/10, (j + 1)/10). Recorde que se x = 0, a0a1 akak+1 entao fk(x) = 0, akak+1 . Portanto, fk(x) Ej se e somentese o k-esimo dgito da expansao decimal de x e igual a j. Conse-quentemente, o tempo medio de permanencia (Ej , x) e exatamentea frequencia do dgito j na expansao decimal de x. Usando o teoremaergodico e o fato de que a transformacao e ergodica para a medidade Lebesgue , conclumos que para cada j {0, 1, . . . , 9} existe umsubconjunto Bj de M com (Bj) = 1 tal que

(Ej , x) = (Ej) =110

para todo x Bj .

Entao B = B0 B1 B9 tambem tem (B) = 1, e todo numerox B e balanceado.

6.1.2 Deslocamentos (shifts) de Bernoulli

Vamos agora voltar a discussao dos deslocamentos de Bernoulli, in-troduzidos na Seccao 3.3 do Captulo 3. Mostraremos que as medidasde Bernoulli sao ergodicas. Para isso, a seguinte propriedade das me-didas de Bernoulli vai ser util :

25coloquiotext2005/5/4page 65

[SEC. 6.1: EXEMPLOS E APLICACOES 65

Lema 6.3. Se A e B sao elementos da algebra B0 , isto e, unioesfinitas de cilindros disjuntos, entao tem-se

(A fm(B)) = (A)(fm(B)) = (A)(B),

para todo m suficientemente grande.

Demonstracao. Expliquemos porque esta propriedade e verdadeiraquandoA e B sao cilindros, A = [k, l; ak , . . . , al] eB = [u, v; bu , . . . , bv].Para cada m tem-se fm(B) = [u+m, v+m; bu , . . . , bv]. Escolhendom suficientemente grande garantimos que u+m > l e, entao,

A fm(B) = { : k = ak , . . . , l = al , u+m = bu , . . . , v+m = bv}=

[k, v +m; ak , . . . , al , cl+1 , . . . , cu+m1 , bu , . . . , bv],

onde a uniao e sobre todos os valores possveis de cl+1 , . . . , cu+m1.Usando (3.6), conclumos que (A fm(B)) = (A)(B). Isto provao lema quando os conjuntos envolvidos sao cilindros. O caso geralsegue pelo fato de ser finitamente aditiva.

Proposicao 6.4. Seja f : M M um deslocamento e uma medidade Bernoulli em M , como antes. Entao o sistema (f, ) e ergodico.

Demonstracao. Seja A um conjunto mensuravel invariante qualquer.Queremos mostrar que (A) = 0 ou (A) = 1. Para tornar a ideia daprova mais clara, comecemos por um caso particular: suponhamosque A esta na algebra B0 das unioes finitas de cilindros disjuntosdois-a-dois. Nesse caso podemos aplicar o lema anterior, com B = A.Conclumos que (A fm(A)) = (A)2 sempre que tomemos msuficientemente grande. Mas, como A e invariante, fm(A) = A paratodo m. Entao a igualdade anterior quer dizer que (A) = (A)2, oque so pode acontecer se (A) = 0 ou (A) = 1.

Agora vamos fazer a prova quandoA B e um conjunto invariantequalquer. A ideia e aproximarA por elementos da algebra B0 , usandoo Teorema de Aproximacao 1.11: dado qualquer > 0 existe A0 B0tal que (AA0) < . Escolha m como no caso anterior, de modoque

(A0 fm(A0)) = (A0)(fm(A0)) = (A0)2. (6.3)

25coloquiotext2005/5/4page 66

66 [CAP. 6: ERGODICIDADE

Observe que

(A fm(A))(A0 fm(A0)) (AA0) (fm(A)fm(A0)) (AA0) fm(AA0).

Isto, junto com o fato de que e invariante por f , implica que(A fm(A)) (A0 fm(A0)) 2(AA0) < 2. (6.4)Alem disso,(A)2(A0)2 ((A)+(A0))((A)(A0)) 2(A)(A0) < 2.

(6.5)Juntando as relacoes (6.3), (6.4), (6.5), conclumos que |(A)(A)2| 1 ta