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l fattore di distribuzione longitudinale del carico KΗβ, che nel-le equazioni di valutazione rappresenta la distribuzione del cari-co sulla larghezza di fascia di ruote dentate accoppiate, è uno dei più importanti parametri per il calcolo della resistenza degli ingra-naggi. Nella norma internazionale per la valutazione degli ingra-naggi cilindrici ISO 6336-1 [1], con il metodo C si propongono al-cune formule per ottenere un valore di questo fattore. Tuttavia, da-to che le formule sono semplifi cate, il risultato è spesso non mol-to realistico. Anche la norma AGMA 2001 (o AGMA 2101) [2] pro-pone una formula per KΗβ, differente da quella dell’ISO 6336, ma anche non sempre appropriata. Pertanto in una nota della norma si dichiara che “può essere auspicabile usare un approccio analiti-co per determinare il fattore di distribuzione del carico”. Nell’ultima

edizione di ISO 6336 (2006) è stato aggiunto il nuovo allegato E: “Deter-minazione analitica della distribuzione del carico”. Quest’ allegato si basa interamente su AGMA 927-A01 [3]. Si tratta di una procedura ben docu-mentata per ottenere un valore accurato del fattore di carico longitudina-le. Al presente un numero crescente di progettisti di ingranaggi usa meto-di di analisi del contatto dei denti (TCA) [4] per ottenere informazioni accu-rate sulla distribuzione del carico sull’intero fi anco dell’ingranaggio. L’anali-si del contatto richiede molto tempo e non permette di ottenere un valore per KΗβ, come defi nito dalla norma ISO o AGMA. Il risultato dell’analisi del contatto combina diversi fattori di ISO 6336, quali KΗβ, KΗα, Zε, Zβ, ZΒ, ZD ed effetti come ‘buttressing’, ecc., per cui non è possibile ricavare KΗβ da un’analisi del contatto. L’utilizzo dell’algoritmo, come proposto da AGMA 927, è una buona soluzione per ottenere valori appropriati per KΗβ; è più semplice e quindi molto più rapido che il calcolo dell’analisi del contatto. L’articolo spiega come questo algoritmo possa essere applicato per la clas-sica procedura di valutazione di una coppia di ingranaggi, per valutazio-ni con collettivo di carico complessi e anche per sistemi epicicloidali con accoppiamenti interdipendenti tra ruota solare, tutti i satelliti e la corona.

Tutto è iniziato sulle Alpi svizzereDal 1999 è in costruzione nelle Alpi svizzere la più lunga galleria del mon-do (57 km). Nel 2002 durante una verifi ca si è scoperto un problema nel-le perforatrici della galleria. L’azionamento principale della macchina è co-stituito da una grande corona dentata trascinata da 2-12 pignoni. L’anel-lo esterno di alcuni dei cuscinetti dell’albero dei pignoni ruotava nella sua sede e pertanto quest’ultima risultava usurata. Le sedi cilindriche dei cu-

scinetti sono state riparate sottoterra in galleria quanto meglio possibile e la verifi ca fi nale ha indicato che la coassialità presentava un errore fi no a 0,2 mm. Per compensare l’errore di coassialità ci è stato chiesto di pro-porre la migliore modifi ca possibile della linea del fi anco. Per motivi logi-stici tutti i pignoni dovevano essere sostituiti e dovevano subire la stessa modifi ca. Pertanto il nostro lavoro è stato quello di proporre una modifi ca che potesse compensare nel modo migliore possibile un errore di coas-sialità compreso tra –0,2 e +0,2 mm e di provare che con i pignoni mo-difi cati potevano essere effettuate senza cedimenti le restanti 1500 ore di lavoro fi no all’ incontro tra i due rami di perforazione della galleria. Il pro-blema d’ ingegneria presentava alcuni nuovi aspetti interessanti. Nel no-stro calcolo degli alberi [5] avevamo da molto tempo una voce particola-re per calcolare la distanza tra la fascia dell’ingranaggio e una parete rigi-da. Questa utile particolarità ci ha consentito di trovare facilmente la mo-difi ca ottimale della linea del fi anco. Ma il problema in questione richie-deva un miglioramento del software perché per il calcolo della durata se-condo ISO 6336 bisognava determinare il fattore KΗβ e quindi si doveva calcolare la distribuzione del carico sulla larghezza di fascia consideran-do la rigidezza dei denti.

Determinazione della distribuzione del carico sulla larghezza di fasciaIl gap tra le linee del fi anco sul piano di contatto delle due ruote dentate sono la causa della non uniforme distribuzione del carico sulla larghez-za di fascia. Il gap é dovuto principalmente alle deformazioni elastiche degli al be ri, alla rigidezza e al gioco tra cuscinetti e sede, alle tolleranze di fabbricazione e alle deformazioni termiche. La determinazione della distribuzione del carico viene effettuata in due fasi, come documentato nella teoria degli ingranaggi. Nella prima fase si calcola il gap nel con-tatto tra i denti. Poi con la rigidezza d’ingranamento dei denti (cγβ [1]) si determina la distribuzione del carico lineare (N/mm). Questo approc-cio è ben documentato in ISO 6336-1. La norma semplifi ca la situa-zione reale supponendo una distribuzione lineare del carico (fi gura 1).

Determinazione del gap nel contatto dei dentiNel manuale della MAAG [6], la diminuzione del gap viene spiegata con la sovrapposizione delle deformazioni da fl essione e da torsione (fi gura 2). Come semplifi cazione aggiuntiva si suppone che l’ingranaggio accoppiato sia infi nitamente rigido.

Ulrich Kissling KISSsoft AG

UN ALGORITMO PRECISO E RAPIDO PER CALCOLARE LA DISTRIBUZIONE LONGITUDINALEDEL CARICO PER IL CLASSICO PAIO DI RUOTE DENTATE E PER I SISTEMI EPICICLOIDALI,

COMPRESA L’ANALISI CON GLI SPETTRI (O COLLETTIVI) DI CARICO.

IL FATTORE DI DISTRIBUZIONEDEL CARICO

SULLA BASE DI AGMA 927

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In figura 4 è illustrata l’interfaccia utente. Il software riconosce automati-camente tutti gli ingranaggi montati sull’albero e ricava le coordinate del punto di accoppiamento W e la normale N al fianco.

Distribuzione del carico sul contatto dei denti e fattore di distribuzio-ne longitudinale del carico KHbLa determinazione della distribuzione del carico (in N/mm) secondo ISO 6336-1 è semplice, perché la rigidezza di ingranamento dei denti cγb vie-ne considerata costante sulla larghezza di fascia. Il calcolo viene effettua-to come indicato in figura 1. La larghezza di fascia viene suddivisa in step (11 .. 100). Per iniziare l’iterazione si assume una distanza iniziale d tra i denti. Quindi con cγb si calcola il carico parziale Fti per ogni step. La som-ma di tutti gli Fti deve essere uguale al carico tangenziale trasmesso Ft.

F Ft

!

tii∑= (1)

La distanza d viene perciò cambiata (per iterazione) finché non vie-ne soddisfatta l’equazione 1. Il risultato è la distribuzione del carico li-neare come illustrato in figura 5. Il fattore KHb è quindi il quoziente del carico lineare massimo diviso per il carico lineare medio, come defi-niti in ISO 6336 [1].

Kww

maximum loadper unit face width

average loadper unit face widthHmax

m

=β

(2)

= carico massimo lineare/carico medio lineare

Nell’esempio presentato in figura 2 senza la modifica del fianco, il cari-co sarebbe maggiore sul lato di entrata della coppia. Se viene applicata una modifica come indicato in figura 2 sulla linea del fianco del pigno-ne, il risultato finale diventa una distribuzione uniforme del carico. Ciò è vero se l’ingranaggio accoppiato è effettivamente molto rigido o se an-che sul fianco dell’ingranaggio accoppiato si applica una modifica della linea del fianco appropriata. Nelle formule per KHb di ISO 6336-1 (Capi-tolo 7) si suppone che l’albero del pignone sia molto più sottile dell’albe-ro della ruota, per cui la deformazione dell’albero della ruota è molto in-feriore e può essere trascurata. Per coppie d’ ingranaggi con riduzione i > 2, questa è in molti casi un’ipotesi realistica.In figura 3 si spiega l’espressione “gap nel piano di contatto”. La de-formazione in ogni parte dell’albero deve essere determinata sul punto di contatto sul diametro operativo (W). Uno spostamento del punto W dovuto a flessione o torsione parallele al fianco dei denti cambierà leg-germente la velocità di strisciamento tra i fianchi, ma per il resto non ha assolutamente alcun effetto. Per ottenere i dati che occorrono per la de-terminazione del gap si richiedono le componenti della deformazione nel punto W (coordinate x, z) normali al fianco, fbn e fbt. Con questi dati può essere direttamente identificato il gap tra i fianchi accoppiati.Gli errori di fabbricazione, le deformazioni delle sedi e la rigidità dei cusci-netti danno normalmente luogo a una deviazione lineare sulla larghezza di fascia. Questi effetti possono essere valutati con lo spostamento di un cuscinetto rispetto a un altro e con la valutazione della rigidità dei cusci-netti quando si calcola la deflessione dell’albero. Questa procedura è sta-ta implementata nel nostro software per il calcolo degli alberi [5] nel 1997.

Fig. 1 - Presentazione del gap (‘gap’) e della corrispondente distribuzione del carico secondo ISO 6336-1 [1].

Fig. 3 - Determinazione del gap nell’accoppiamento degli ingranaggi (in una sezione dell’albero).

Fig. 2 - Determinazione del gap mediante le componenti della deformazione e derivazione della corrispondente modifica della linea del fianco [6].

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una banda di tolleranza predefi nita dipendente dalla classe di tolle-ranze adottata. Gli errori di fabbricazione sono stocastici; possono ri-durre o aumentare il gap. Una buona pratica progettuale è quella di ottenere il carico massimo al centro della larghezza di fascia, così l’u-nico modo per compensare gli errori di fabbricazione è di aumenta-re la bombatura (o di applicare una spoglia d’estremità aggiuntiva). La proposta di ISO 6336-1 [1], allegato B, è di aumentare la bomba-tura di 0,75 .. 1,0 • fHb (deviazione dell’inclinazione d’elica). Se si usa questa tecnica, che è raccomandata, il fattore KHb sarà teoricamen-te maggiore di 1,0 ma assicurerà in pratica un’esecuzione migliore.

Modifi ca della linea del fi anco per la perforatrice della galleriaL’approccio per determinare la distribuzione del carico descritta in questa sede si basa su un singolo albero e normalmente è applicata all’albero dei pignoni; si suppone perciò che l’albero della ruota accoppiata sia infi nitamente rigido. L’approccio è quindi paragonabile, ma meno gene-rale del metodo descritto in AGMA 927 [3] che considera la fl essione di entrambi gli alberi. Ancora, per il problema scoperto nella perforatrice, nella quale l’enorme corona dentata è molto più rigida dei pignoni di azionamento, si può usare benissimo questa procedura più semplice.Per compensare meglio la deviazione fi no a 0,2 µm degli alberi pignoni sono state calcolate differenti varianti delle modifi che (modifi che con bombatura e con spoglia d’estremità), sempre supponendo la deviazione massima. Si è trovato che la soluzione migliore [9] era una lunga spoglia d’estremità (sul 30% della larghezza di fascia per entrambi i lati) con Cb = 40 µm.

Per compensare la non uniforme distribuzione del carico, come si vede in fi gura 5, si devono effettuare modifi che adattate della linea del fi anco. Come indicato nella teoria (Manuale MAAG, fi gura 1), la modifi ca ottima-le della linea del fi anco è identica alla curva invertita del gap. Un esempio è riportato in fi gura 4.

Ottimizzazione della distribuzione del carico con modifi che della linea del fi ancoNella maggior parte dei casi, la modifi ca ottimale della linea del fi an-co può essere composta da una modifi ca dell’an go lo d’elica più una bombatura (in alcuni casi si aggiunge una spoglia d’estremità). Se questi due tipi fondamentali di modifi ca sono correttamente combi-nati, la distribuzione del carico può diventare quasi uniforme. Nell’in-terfaccia utente abbiamo perciò aggiunto la possibilità di input dei da-ti per la bombatura (Cb) e la modifi ca dell’angolo d’elica (fHb). Quan-do il calcolo viene eseguito con le modifi che, il gap viene determinato (come prima), ma compensato con la modifi ca del profi lo. Quindi vie-ne calcolata e presentata la distribuzione del carico, compresa la mo-difi ca del profi lo. Il KHb viene ancora defi nito secondo l’equazione 2.Nell’esempio di fi gura 5, una bombatura Cb = 1,8µm e una modifi -ca dell’angolo d’elica fHb = -7,6µm darebbe una distribuzione unifor-me del carico (fi gura 6). Con queste modifi che il fattore KHb è teorica-mente KHb = 1,0. Comunque, in un ingranaggio reale non deve esse-re compensata soltanto la deformazione. A causa degli errori di fab-bricazione, l’ingranaggio avrà un errore sulla linea del fi anco, che è in

Fig. 4 - Presentazione del gap e della proposta di KISSsoft per una modifi ca ottimale della linea del fi anco (In alto: rappresentazione dell’albero e parametri per la determinazione del gap sul piano di contatto. In basso: fl essione, torsione e deformazione totale sulla larghezza di fascia).

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Nel caso peggiore (tabella 1), il pignone senza alcuna modifica sarebbe durato soltanto 500 ore. Con la modifica della linea del fianco la durata pre-vista è aumentata del 1350%, raggiungendo 6750 ore. La durata richiesta per poter finire il lavoro nella galleria era di 3000 ore, perciò è stato possibile raggiungere l’obiettivo. I pignoni sono stati prodotti secondo le raccoman-dazioni e la galleria è stata nel frattempo terminata con successo.

Determinazione della distribuzione del carico e del fattore KHb L’idea basilare di AGMA 927 è esattamente la stessa di quella descritta nel capitolo precedente, ma applicata sulla coppia di ingranaggi, perciò molto più generale. Dato che questa norma è stata aggiunta nella più recente edizione di ISO 6336-1:2006 [1], allegato E, questa procedura è ora disponibile in una norma internazionale. Si tratta, come sarà indicato con alcuni esempi in questo articolo, di un utilissimo metodo di calcolo. È perciò sorprendente che dal 2006 nessuno in Europa (e neanche negli USA) abbia implementato questo algoritmo in uno strumento software di mercato. Nel 2008 KISSsoft ha deciso di implementare l’algoritmo com-pleto nel nostro software.Rispetto al più semplice algoritmo descritto nel capitolo precedente, ISO 6336/AGMA 927 propongono alcuni miglioramenti molto importanti:

Fig. 5 - Distribuzione del carico e valori per il carico lineare massimo e medio e per KHb.

Fig. 6 - Stesso albero della figura 5, ma (in alto) con modifiche ottimali del profilo longitudinale e (in basso) con modifica pratica comprendente una bombatura supplementare per compensare le tolleranze di fabbricazione.

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con il simbolo cym; ma non c’è riferimento a questo simbolo in altre parti di ISO6336. È fondamentale che la rigidezza usata sia esattamente la rigidezza cγb defi nita in ISO 6336-1, capitolo 9. In AGMA 927 viene data un’indicazione aggiuntiva sostenendo che cym è pari a circa 11 N/mm/µ per gli ingranaggi di acciaio; 11 N/mm/µ è un valore molto basso, normalmente la rigidezza calcolata con precisione per una vasta gamma di ingranaggi è di 16-24 N/mm/µ. Un basso valore di rigidezza (quale è 11 N/mm/µ) darà luogo a un basso valore di KHb; perciò l’ipo-tesi di 11 N/mm/µ NON si trova sul lato della sicurezza. Si è deciso di lasciare la scelta al tecnico dei calcoli: se scegliere la rigidezza cγb come in ISO, o 11 come in AGMA, o qualsiasi altro valore calcolato con un algoritmo più accurato.e) Per il calcolo della fl essione degli alberi, il diametro esterno equivalente dei denti è a metà tra il diametro di testa e il diametro di piede. Ciò è corretto per alberi massicci. Per tipici ingranaggi, o collegamenti calettati a caldo, il diametro esterno equivalente è inferiore. Per questa situazione ISO 6336 propone al capitolo 5 di usare un diametro a metà tra il dia-metro dei mozzi e il diametro interno del foro. Abbiamo deciso di lasciare la scelta completa al tecnico dei calcoli. A seconda del calettamento a caldo, l’effetto di irrigidimento può variare largamente, perciò questo è un diffi cile argomento da trattare.

- Si considera l’accoppiamento degli ingranaggi (si tiene conto di entram-bi gli alberi del pignone e della ruota).- Viene iterata la distribuzione del carico sulla larghezza di fascia. La fa-scia dei denti viene divisa in dieci porzioni uguali. La prima serie di calcoli viene eseguita con una distribuzione uniforme del carico per ottenere la deformazione degli alberi. A partire dal gap iniziale si calcola una distribu-zione non uniforme del carico. Questa nuova distribuzione viene quindi usata per calcolare una nuova deformazione degli alberi. Questo proces-so iterativo viene ripetuto fi nché i nuovi gap calcolati non differiscono da quelli precedenti soltanto per un piccolo valore. Di solito si richiede poche iterazioni, 2 o 3, per ottenere un errore accettabile (meno di 3,0 µm di variazione dei giochi calcolati).Questa procedura per ottenere KHb deve essere inclusa nel calcolo del-la resistenza degli ingranaggi e deve essere effettuata automaticamente all’inizio del calcolo, seguendo ISO 6336. In fi gura 7 è rappresentato l’in-put di dati necessari al software per calcolare il gap nell’accoppiamento e la distribuzione del carico. Se la deviazione degli assi viene calcolata con un programma esterno (per esempio con un metodo FE per ottenere il cedimento del carter), la deviazione può essere introdotta direttamente come errori di deviazione e di inclinazione. L’altra variante (e in rigoroso accordo con la fi losofi a di AGMA 927) è di introdurre modelli di entrambi gli alberi della ruota e dei pignoni.

Miglioramento dell’algoritmo proposto in AGMA 927 (ISO 6336-1, allegato E)L’algoritmo proposto in AGMA 927 presenta alcune limitazioni che devo-no essere superate per aumentare l’accuratezza dei risultati:a) Non sono incluse le deformazioni da taglio dell’albero. Ciò non risulta critico sugli alberi lunghi, ma può essere importante sugli alberi corti di grande diametro. Pertanto nel calcolo della fl essione abbiamo incluso la deformazione da taglio.b) L’iterazione viene ripetuta fi nché non si ottiene una variazione del gap calcolato inferiore a 3,0 µm. Questo è un buon criterio per gran-di riduttori, ma non per ingranaggi con modulo inferiore a 2,0 mm. Il criterio è stato cambiato per ottenere risultati più precisi per qualsiasi dimensione dell’albero; l’iterazione viene arrestata se la variazione del gap è inferiore allo 0,1%.c) Quando si calcolano le fl essioni degli alberi, l’area dei denti degli in-granaggi viene divisa in dieci porzioni uguali. Se si applicano modifi che come lo scarico di estremità corto o simili modifi che di rapido cambia-mento lungo la linea del fi anco, l’effetto della modifi ca non può essere simulato con solamente dieci parti dell’area dei denti. Le parti sono state aumentate fi no a 41 (e più se necessario).d) La rigidezza dei denti è chiamata “costante di rigidezza” in N/mm/µ

TAB. 1 Anticipazione della durataModi� ca Deviazione supposta

dell’alberoDeviazione dell’albero

(massima) (mm)KHb Durata (ore)

Senza modi� ca Caso peggiore 0.2 (0.008) 2.53 499

Senza modi� ca Caso ragionevole 0.1 (0.004) 1.05 … 2.53 1’200

Con modi� ca Nessuna deviazione 0.0 1.05 2’800’000

Con modi� ca Caso peggiore 0.2 (0.008) 1.77 6’750

Con modi� ca Caso ragionevole 0.1 (0.004) 1.28 … 1.77 14’500

Con modi� ca Nessuna deviazione 0.0 1.28 113’000

Fig. 7 - Nel calcolo degli ingranaggi la defi nizione dell’allineamento degli assi è possibile in due modi; a) input diretto delle deformazioni degli assi e della direzione della coppia; b) combinazione del calcolo degli ingranaggi con i dati degli alberi precedentemente memorizzati.

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separatamente per il pignone e per la ruota (usando soltanto il calcolo degli alberi). Con quel metodo si trova facilmente la modifi ca ottimale della linea del fi anco per ogni ingranaggio. Chiaramente, se lo si desi-dera, la modifi ca totalizzata può essere applicata anche a uno soltanto degli ingranaggi. La proposta deve essere poi verifi cata usando il metodo di ISO6336-1 allegato E sull’accoppiamento degli ingranaggi. Nella stra-grande maggioranza di tutti i casi, questo approccio fornisce direttamen-te ottimi risultati con KΗβ inferiore a 1,1; di conseguenza, spesso non c’è necessita di ulteriori passi di ottimizzazione.

Modifi che della linea del fi anco per applicazioni con spettri di caricoPer ingranaggi soggetti a collettivo di carico, l’approccio per la modifi ca ottimale della linea del fi anco è molto più complicato. Per quale degli elementi del collettivo di carico la modifi ca deve essere ottimale? Ciò è in molti casi piuttosto diffi cile da sapere. Se la modifi ca è ottimale per l’elemento con il carico massimo (che ha normalmente un tempo di funzionamento breve), spesso gli altri elementi (che hanno un tempo di funzionamento più alto) subiscono un aumento di KΗβ, per cui la durata totale può diminuire! Come primo passo, il metodo ISO6336-1 allegato E è stato combinato con il calcolo della durata con collettivo di carico de-scritto in ISO 6336-6 [8]. Per ogni elemento del collettivo di carico è stata ricalcolata la deformazione degli alberi dovuta alla coppia dell’elemento ed è stato ricavato il singolo KΗβ. Quindi si adotta il “normale” approccio di calcolo. In un secondo passo, abbiamo combinato questa procedura con uno strumento avanzato di ottimizzazione, che per una coppia di ruote dentate può automaticamente variare differenti combinazioni di modifi che della linea del fi anco. Il modo migliore per spiegare la linea di azione è quello di descrivere un recente esempio. L’azionamento del timone di una grande nave è costituito da una grossa corona dentata mossa da più pignoni. Il collettivo di carico di questo dispositivo è defi nito in tabella 2. Si tratta di un collettivo di carico speciale che ha un carico molto alto per un breve tempo e un carico basso per la maggior parte del tempo. Un primo controllo dei differenti casi di carico, calcolati singolar-mente, dà luogo ai KΗβ e ai fattori di sicurezza riportati in tabella 3. Il caso più critico è il numero 3 che ha il massimo KΗβ e la minima si-curezza a pitting. Ma quando si calcola la durata totale, con la regola di Palmgren-Miner (ISO 6336-6 [8]) e si trova il danneggiamento dei diffe-renti casi di carico, è evidente che il caso critico è il numero 2 che limita

Applicazione dell’algoritmoCon questi miglioramenti aggiuntivi, l’algoritmo fornisce prestazioni molto buone e, rispetto ai risultati dell’analisi del contatto e del metodo FE, é molto preciso. Come si vede in fi gura 8, per ottenere risultati più accurati è necessaria l’iterazione del gap. Se è possibile, come nel moderno calco-lo degli alberi, introdurre i cuscinetti con rigidezza calcolata secondo ISO 16281 [7] (sulla base della geometria interna del cuscinetto e del gioco di funzionamento) i risultati sono ancora più precisi. Comunque, anche se si includono tutti questi miglioramenti, il metodo è ancora relativamente semplice rispetto all’analisi del contatto e pertanto il tempo di calcolo risulta molto breve. Ad esempio, anche per spettri di carico di 100 e più elementi, se per ogni elemento si analizza la distribuzione del carico, il tempo di cal-colo richiesto è di qualche secondo. La tendenza attuale nel software degli ingranaggi è di usare programmi, che siano in grado di trattare una catena completa di trasmissione della potenza. In queste applicazioni (fi gura 8) sono disponibili tutti i dati (alberi, cuscinetti, giunti e ingranaggi) necessari per compiere un’analisi di distribuzione del carico secondo AGMA 927, pertanto per eseguire questo tipo di calcolo non si richiede alcun input aggiuntivo da parte dell’utente, il che rende il lavoro più facile.

Tolleranze di fabbricazioneAGMA 927 e ISO 6336-1, allegato E, consigliano di tenere conto delle tolleranze di fabbricazione (fHb per la variazione del profi lo longitudinale degli ingranaggi (fHb1 + fHb2) e fma per il disallineamento degli assi). KΗβ deve essere calcolato 5 volte:• Senza tolleranza;• +fHb e +fma;• +fHb e -fma;• -fHb e +fma;• -fHb e -fma.Come risultato fi nale deve essere usato il massimo valore trovato di KΗβ. Questo è un approccio logico per ottenere il KΗβ che rifl ette la peggiore si-tuazione possibile, per cui il valore di KΗβ possa essere usato in un calcolo di resistenza. L’algoritmo può essere anche usato per trovare la modifi ca ottimale della linea del fi anco. In questo caso è molto meglio non consi-derare le tolleranze di fabbricazione, perché la modifi ca per compensare la deformazione é così molto più facile da trovare. Com’è stato spiegato in precedenza, dopo aver trovato le modifi che per compensare la defor-mazione e le tolleranze di fabbricazione, solo la bombatura deve essere aumentata. Perciò è importante che siano disponibili entrambi i metodi di calcolo: con e senza tolleranze di fabbricazione.

Impostazione e ottimizzazione delle modifi che della linea del fi ancoModifi che della linea del fi anco per la coppia nominale (senza spettro di carico)La combinazione delle modifi che del fi anco e del profi lo è una cosa che deve essere fatta nella corrente progettazione di ingranaggi. Le modifi che della linea del fi anco hanno lo scopo di ottenere una distribuzione del carico uniforme sulla larghezza di fascia per migliorare la durata dell’in-granaggio. La prima impostazione delle modifi che viene tipicamente fatta sulla base dell’e spe rien za; per verifi care che le modifi che portino ai risul-tati richiesti deve essere usata l’analisi del contatto. Il calcolo dell’analisi del contatto è estremamente complesso, quindi anche i programmi di software specializzati richiedono fi no a un minuto e più di tempo di calco-lo; perciò qualsiasi ottimizzazione richiede tempo. Per paio d’ingranaggi con un dato carico, il modo più rapido per progettare la linea del fi anco ottimale è quello di usare il semplice metodo descritto in precedenza,

Fig. 8 - Calcolo di KΗβ dello stadio di entrata di un riduttore; con (come proposto da AGMA 927) e senza iterazione del gap. Normalmente con l’iterazione si ottiene un KΗβ più accurato e più basso (in questo caso 11%).

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la durata totale (tabella 4). Così non è facile decidere per quale caso di carico si deve ottimizzare la linea del fi anco. Recentemente al software di calcolo è aggiunto uno strumento chiamato “Ottimizzazioni delle modifi -che” per rendere più facile il trovare le migliori soluzioni per le modifi che del fi anco e del profi lo. Questo strumento calcola automaticamente la durata risultante con collettivo di carico, defi nendo per ogni elemento del collettivo di carico il KHb sulla base di ISO6336-1 allegato E. Dato che i disallineamenti dipendono dalle tolleranze di fabbricazione, possono essere positivi o negativi (tabella 2), perciò si devono usare solamente modifi cazioni simmetriche per la linea del fi anco. Un primo controllo ha indicato che lo scarico di estremità con i 95 µm dell’esecuzione originale è troppo piccolo. Come prima prova è stata usata una bombatura che varia il Cb da 10 a 400 µm in passi di 10 µm, vedere fi gura 9.I risultati dello strumento “Ottimizzazioni delle modifi che” sono riportati in un grafi co radar (fi gura 10) [12], che indica che la durata massima può essere raggiunta con un Cb di circa 290 µm. La durata stimata è di 305.000 ore. Rispetto all’esecuzione corrente (spoglia d’estremità con 95 µm e 26.000 ore), la durata stimata rappresenta un aumento della durata di oltre il 1000%. È stato possibile aumentare il risultato con una seconda prova, nella quale è stata tentata una combinazione di scarico di estremità e bombatura. La bombatura è stata variata da Cb = 125 a 225 µm in passi di 10 µm, in combinazione incrociata con uno scarico di estremità di 100 µm con lunghezza variata da 5% a 45%, passo di 5%. La tabella dei risultati riporta un piccolo aumento della durata (26%) quando si usa una combinazione di bombatura Cb = 205 µm con uno scarico di estremità di 100 µm (lunghezza 45% della fascia).

Adattamento del metodo per ingranaggi epicicloidaliPer stadi d’ingranaggi epicicloidali l’applicazione dell’algoritmo deve essere adattata alle specifi che proprietà della combinazione di albero della ruota solare, portatreno con perni e satelliti e corona. Devono essere combinati (fi gura 11) la deformazione e l’inclinazione del portatreno calcolate con il

TAB. 4 Danneggiamento (%) dei differenti casi di carico nell’analisi della durata totale con la regola di Palmgren-Miner

Caso di carico Danneggiamento (%)

1 0.00

2 71.93

3 27.19

4 0.88

TAB. 3 KHb, SF e SH calcolati singolarmente per ogni caso di carico con i dati disponibili

Caso di carico KHb (AGMA 927)

Fattore di sicurezza a � essione, SF

Fattore di sicurezza a pitting, SH

1 2.22 2.96 1.38

2 2.23 2.73 1.27

3 2.28 2.78 0.97

4 2.40 2.80 0.94

TAB. 2 Collettivo di carico con disallineamento degli assi di un riduttore per muovere il timone di una naveNumero dell’elemento

(caso di carico) Frequenza Carico su un

pignone, kNmVelocità, giri/min

Disallineamento dell’ingranamento radiale, fSd,

mm

Disallineamento dell’ingranamento trasversale,

fSb, mm

1 0.980097 33.5 5.5 ± 0.143 (5.6 mil) ± 0.183 (7.2 mil)

2 0.019602 67.0 5.5 ± 0.121 (4.8 mil) ± 0.411 (16.2 mil)

3 0.000294 111.6 5.5 ± 0.084 (3.3 mil) ± 0.686 (27.0 mil)

4 0.000007 111.6 5.5 ± 0.078 (3.1 mil) ± 0.754 (29.7 mil)

Durata totale richiesta 32.000 ore

Fig. 9 - Trovare la migliore bombatura per l’azionamento del timone di una nave con collettivo di carico estremo.

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ingranaggi; si può perciò verificare la validità delle modifiche proposte sull’intera area di contatto. L’analisi del contatto comprende anche l’ef-fetto delle modifiche del profilo. Il processo di calcolo è più complesso e richiede molto più tempo, ma produce molti risultati utili quali l’errore di trasmissione per l’ottimizzazione del rumore o lo spessore del film lubrifi-cante per la determinazione del rischio di micropitting [11].È pertanto logico che l’esito della distribuzione del carico calcolata secondo ISO6336-1 allegato E non sia identico ai risultati dell’analisi del contatto, ma quando si confronta il carico lineare nella regione del diametro primitivo operativo, i risultati sono molto simili. In poche parole, l’allegato E effettua un’analisi monodimensionale del contatto, considerando soltanto la situa-zione nel punto operativo di ogni sezione. Il risultato è un grafico 2D che mostra la distribuzione del carico lineare sulla larghezza di fascia, che è più facile da capire che i risultati che mostrano il carico su tutta la fascia del dente in 3D (figura 15). Una differenza che va ricordata quando si usano ingranaggi elicoidali, o ingranaggi ad alto profilo dei denti, è quella che il carico lineare calcolato con l’allegato E tende a dare valori più elevati del

metodo FE e la flessione/torsione dell’albero della ruota solare e il sistema perno/cuscinetto/satellite. L’algoritmo descritto in ISO6336-1 allegato E è de-finito per un solo accoppiamento di ingranaggi. In uno stadio epicicloidale la ruota solare si accoppia con tre o più satelliti. La distribuzione del carico in uno degli accoppiamenti della ruota solare interagisce con gli altri ac-coppiamenti. Ciò vale anche per i due accoppiamenti su ogni satellite e gli accoppiamenti dei satelliti con la corona. Per questo si richiede uno specifi-co approccio di calcolo con un’iterazione concorrente su tutti gli accoppia-menti, come è documentato in figura 12. In sostanza deve essere aggiunta una seconda iterazione a livello di sistema. Nei casi normali si richiedono circa 5 iterazioni a livello di sistema. Quindi per ottenere la soluzione fina-le per uno stadio epicicloidale con 3 satelliti si devono calcolare 5 volte i 6 accoppiamenti del sistema. Ciò richiede un tempo di circa 20 secondi che, se confrontato con il tempo richiesto dal metodo FE o dall’analisi del contatto, è molto breve. Perciò, come in precedenza, è possibile valutare rapidamente differenti modifiche della linea del fianco. A titolo di esempio si analizza la distribuzione del carico di uno stadio epicicloidale di un riduttore moltiplicatore per turbina eolica. Nei moderni moltiplicatori epicicloidali, è ben nota [10] (ma non frequentemente usata) l’esecuzione cosiddetta a “perno-flessibile” per gli alberi dei satelliti. Con questo concetto i satelliti si possono adattare meglio all’in cli na zio ne del portatreno, migliorando così la distribuzione del carico sulla larghezza di fascia. Nell’esempio vengono con-frontate un’esecuzione convenzionale e un’esecuzione a perno flessibile. In entrambe le esecuzioni viene applicata una modifica ottimale della linea del fianco per cui, senza inclinazione del portatreno, KHb è prossimo all’u ni tà. La figura 14 mostra la differenza nella distribuzione del carico quando il portatreno si inclina di 0,02 mm sull’asse z, vedere figura 13. L’inclinazione del portatreno genera in ogni accoppiamento una differente distribuzione del carico, quindi anche un differente KHb. L’esecuzione convenzionale pre-senta un aumento di KHb da 1,04 (senza inclinazione) fino a un massimo di 1,83 (nell’accoppiamento del satellite in posizione 0°); la versione a perno flessibile presenta un aumento da 1,04 (senza inclinazione) fino a 1,60. Questa è un’ottima dimostrazione che il concetto “perno flessibile” si adatta all’inclinazione del portatreno meglio dell’esecuzione convenzionale.

Confronto con l’analisi del contattoTutti i dati di input usati per l’ottimizzazione della linea del fianco possono essere usati direttamente per l’analisi del contatto [4]. L’analisi del con-tatto presenta la distribuzione del carico sul contatto completo tra due

No

Il sistema èin equilibrio

Un ingranamento ha

Confronta la distribuzione del carico i con i -1Confronta in tutti gli ingranamenti con

SìΔKi

Hβ

KiHβ

Ki-1- >0.01Hβ

Ki-1Hβ

Nuovo ciclousando

distribuzionedel carico i

i = i +1Risulta una nuova distribuzione

del carico, passo i, per ogniingranamento

Passo i =1:Assumere una distribuzione del

carico costante sulla fascia di tuttigli ingranamenti

Per tutti gli ingranaggi del sistemaepicicloidale:

Dividere l’area del dente in (41)sezioni uguali

Inizio

Dati sulla deformazionedi ogni singolo

ingranamento delsistema ciclico

(distribuzione delcarico i)

Richiamare il metodo AGMA 927singolarmente per ogni

ingranamento del sistema ciclico

Fig. 10 - Miglioramento aggiuntivo della distribuzione del carico con una combinazione di bombatura variata e scarico di estremità con lunghezza variata.

Fig.12 - Applicazione dell’algoritmo di AGMA 927 agli stadi epicicloidali.

Fig.11 - Definizione della formazione e dell’inclinazione dei diversi elementi del sistema epicicloidale.

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METODI DI CALCOLOO

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carico calcolato con analisi del contatto. La differenza dipende dal rapporto di ricoprimento elicoidale eb e dal rapporto di ricoprimento del profi lo ea, perché ISO6336-1 allegato E effettua il calcolo supponendo εγ = εα + εb = 1 (fi gura 15). Perciò il valore assoluto prodotto non è accurato in que-sto caso, ma l’andamento della curva è preciso per cui il valore di KHb è corretto. Stiamo attualmente studiando ulteriormente questo argomento, confrontando alcuni esempi anche con i risultati del metodo FE. Quindi una buona tecnica di progettazione è: usare per prima cosa AGMA 927 per trovare una modifi ca della linea del fi anco prossima all’optimum, poi usare l’analisi del contatto per trovare la combinazione ottimale di modifi ca del fi anco e del profi lo. KISSsoft usa questa tecnica da qualche anno in differenti progetti di ingegneria e abbiamo potuto ridurre notevolmente (fi no al 70%) il tempo per trovare la migliore modifi ca del profi lo. L’azienda non ha mai trovato un caso in cui i risultati di allegato E fossero in contrasto con i risultati dell’analisi del contatto. Perciò l’esito dell’algoritmo defi nito in allega-to E è normalmente molto soddisfacente. In un esempio (fi gura 15) si vede bene, come è stato spiegato, che il carico lineare con l’allegato E è mag-giore (Wmax = 192 N/mm) che nell’analisi del contatto (circa 140 N/mm) per effetto di εb; ma l’andamento della distribuzione del carico è lo stesso.

ConclusioneL’allegato E di ISO 6336, “Determinazione analitica della distribuzione del carico”, si basa interamente sulla norma AGMA 927-A01. È un metodo molto utile per ottenere un valore realistico per il fattore di distribuzione del carico longitudinale KHb e molto più rapido che l’analisi del contatto. In sostanza, l’algoritmo è un’analisi monodimensionale del contatto che for-nisce buone informazioni sulla distribuzione del carico sulla larghezza di fascia. Per stadi elicoidali, a causa del rapporto di ricoprimento elicoidale εb, il valore assoluto del carico lineare è troppo alto, ma l’andamento della curva è ancora preciso. Come input si richiede la geometria di entrambi gli alberi (compresi cuscinetti e carichi). La tendenza attuale per il software degli ingranaggi è di usare programmi di calcolo che prendono in consi-derazione sistemi completi, che sono in grado di trattare tutta la catena di trasmissione di potenza. In queste applicazioni sono disponibili tutti i dati necessari per effettuare un’analisi della distribuzione del carico secondo allegato E. Così il metodo è facile da usare e fornisce rapidamente il valore preciso di KHb richiesto nei calcoli secondo la norma ISO 6336. Il risultato di questo metodo è la distribuzione del carico lineare sulla larghezza di fascia e questa informazione è molto utile nel processo di progettazione degli ingranaggi per trovare rapidamente una proposta quasi perfetta per la migliore modifi ca della linea del fi anco. Come indicato con un esempio, an-che per spettri di carico complicati è possibile trovare la modifi ca migliore, aumentando quindi notevolmente la durata totale. Per stadi epicicloidali, l’applicazione dell’algoritmo di ISO 6336, allegato E, deve essere adattata alle specifi che proprietà della combinazione di albero del solare, portatreno con perni e satelliti e corona. Si spiega come ciò può essere effettuato con un’iterazione aggiuntiva a livello di sistema. Per gli stadi epicicloidali è mol-to più diffi cile trovare la migliore modifi ca della linea del fi anco e ottenere informazioni precise sul fattore di distribuzione del carico nei diversi accop-piamenti, perciò l’uso di questo metodo è molto utile nella progettazione di riduttori a ingranaggi epicicloidali. © RIPRODUZIONE RISERVATA

Fig. 15 - Ingranaggio elicoidale (angolo d’elica 14°; εb = 1,02; εα = 1,57).

Fig. 13 - Defi nizione dell’inclinazione del portatreno.

Fig. 14 - Distribuzione del carico in uno stadio epicicloidale con 2 differenti esecuzioni di supporto dei cuscinetti dei satelliti.

Articolo tratto da una relazione presentata all’AGMA FTM 2013 e stampato con l’autorizzazione dell’American Gear Manufacturers Association, proprietaria dei diritti d’autore.American Gear Manufacturers Association, 1001 N. Fairfax Street, 5th Floor, Alexandria, Virginia 22314. Le dichiarazioni e le opinioni espresse in questo testo sono quelle degli autori e non sono da considerarsi uffi ciali dell’ American Gear Manufacturers Association.Si ringrazia l’AGMA per la gentile autorizzazione alla pubblicazione (NdR).

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