Trigonometría 01

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Trigonometría 1 G. Edgar Mata Ortiz

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Trigonometría 1G. Edgar Mata Ortiz

¿Qué es trigonometría?

• La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medida.

El Teorema de Pitágoras

• Teorema de Pitágoras• En todo triángulo rectángulo el cuadrado

de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos

El Teorema de Pitágoras

a

b c

a2

b2

c2

a2 + b2 = c2

El Teorema de Pitágoras

a=3

b=

4

c=5

a2 = 32

b2 = 42

c2 = 52

32 + 42 = 52

9 + 16 = 25

El Teorema de Pitágoras

• Un aspecto interesante del teorema de Pitágoras es que funciona en dos sentidos:

• “Si un triángulo es rectángulo, sus lados cumplen con la propiedad señalada”

• “Si en un triángulo los lados cumplen con la propiedad indicada, entonces dicho triángulo es rectángulo”

El Teorema de Pitágoras

• Veamos algunos ejemplos:• “Si un triángulo es rectángulo, sus lados

cumplen con la propiedad señalada”• En un triángulo rectángulo, los catetos

miden 5 y 12 cm respectivamente, ¿cuánto mide la hipotenusa?

El Teorema de Pitágoras2 2 2

2 2 2

2

2

2

5 12

25 144

169

169

169

13

a b c

c

c

c

c

c

c

El Teorema de Pitágoras

• En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 y 12 cm respectivamente, ¿cuánto mide la hipotenusa?

• Ya tenemos la respuesta:• La hipotenusa mide 13 cm.

c = 13

El Teorema de Pitágoras

• Este procedimiento puede aplicarse para calcular la hipotenusa si se conocen los catetos o para determinar uno de los catetos si se conoce la hipotenusa y el otro cateto.

• Sólo es necesario despejar.• Por ejemplo:

El Teorema de Pitágoras

• En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 7 cm y la hipotenusa, 25. ¿Cuánto mide el otro cateto?

Va a ser necesario despejar.

*EL cateto conocido puede ser identificado por cualquiera de las incógnitas a ó b.

El Teorema de Pitágoras2 2 2

2 2 2

2

2

2

7 25

49 625

625 49

576

576

24

a b c

b

b

b

b

b

b

El Teorema de Pitágoras

• En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 7 cm y la hipotenusa, 25. ¿Cuánto mide el otro cateto?

• Ya tenemos la respuesta:• El otro cateto mide: 24 cm

b = 24

El Teorema de Pitágoras

• Habíamos comentado que el teorema de Pitágoras funciona en dos sentidos:

• “Si un triángulo es rectángulo, sus lados cumplen con la propiedad señalada”

• “Si en un triángulo los lados cumplen con la propiedad indicada, entonces dicho triángulo es rectángulo”

El Teorema de Pitágoras

• Veamos ahora como aplicar la segunda afirmación

• “Si en un triángulo los lados cumplen con la propiedad indicada, entonces dicho triángulo es rectángulo”

• Ejemplo

El Teorema de Pitágoras

• Determina cuáles de las siguientes ternas de números son los lados de un triángulo rectángulo:

A. 12, 36, 37

B. 12, 35, 37

C. 20, 21, 29

D. 20, 22, 29

El Teorema de Pitágoras

• Para elegir las ternas correctas deben cumplir con:

• La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

A. 12, 36, 37

B. 12, 35, 37

C. 20, 21, 29

D. 20, 22, 29

El Teorema de Pitágoras

• Elevamos al cuadrado cada terna y verificamos que cumplan con dicha propiedad:

A. 12, 36, 37: ¿144 + 1296 = 1369?

B. 12, 35, 37: ¿144 + 1225 = 1369?

C. 20, 21, 29: ¿400 + 441 = 841?

D. 20, 22, 29: ¿400 + 484 = 841?

El Teorema de Pitágoras

• Solamente los incisos B y C cumplen con la propiedad señalada, por lo tanto, son las ternas que son los lados de triángulos rectángulos.

A. 12, 36, 37: ¿144 + 1296 = 1369?

B. 12, 35, 37: ¿144 + 1225 = 1369?

C. 20, 21, 29: ¿400 + 441 = 841?

D. 20, 22, 29: ¿400 + 484 = 841?

Ternas Pitagóricas

• Nos hemos estado refiriendo a grupos de tres números que sean los lados de un triángulo rectángulo.

• Estos grupos de tres número se llaman ternas Pitagóricas y son motivo de numerosas investigaciones en matemáticas.

Ternas Pitagóricas

• Algunos sitios interesantes acerca de ternas Pitagóricas son:

• http://gaussianos.com/generando-ternas-pitagoricas/

• http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/pitagoricas-ternas.html

• http://www.astroseti.org/articulo/3626/

• Tablilla Babilónica Plimpton 322• Primeras ternas Pitagóricas de la historia