Trigonometría · 2021. 6. 22. · `ngulos y su medición Dadas dos semirectas OA y OB, si hacemos...

Trigonometría

Carlos Hernández Garciadiego

Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias UNAM

Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 1 / 23

Ángulos y su medición

Dadas dos semirectas OA y OB, si hacemos girar OA hasta llegar aOB, decimos que se generó un ángulo ]AOB.

Medidas de ángulosUna vuelta completa mide:

360 grados2π radianes (el perímetro de un círculo de radio 1 es 2π)

360 grados → 2π radianes

x grados → y radianes

360 grados

2π radianes (el perímetro de un círculo de radio 1 es 2π)

x grados → y radianesCarlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 2 / 23

Cuando se mide en grados, se pueden utilizar grados minutos ysegundos, o grados y fracción decimal

32.5892◦ = 32◦ 35′ 21′′

Si el giro se hace en contra del mov de las manecillas del reloj, elángulo es positivo

Si el giro se hace a favor del mov de las manecillas del reloj, el ánguloes negativo

32.5892◦ = 32◦ 35′ 21′′

Trigonometría del triángulo rectángulo

senB = bc =

c. opuestohipotenusa

cosB = ac =

c. adyacentehipotenusa

tanB = ba =

c. opuestoc. adyacente

cscB = cb =

hipotenusac. opuesto

secB = ca =

hipotenusac.adyacente

cotB = ab =

c. adyacentec.opuesto

Un avión de control remoto se eleva formando un ángulo de 15◦ conrespecto al piso. si se desploma a 35 m del punto de partida (medidohorizontalmente) ¿qué altura alcanzó?

Una señora con estatura de 1.6 m proyecta una sombra del doble desu estatura. ¿qué ángulo forma el sol con el suelo?

Deseamos encontrar la altura de una montaña. Junto a su base hayuna reserva ecológica. La distancia entre los puntos de la reserva máscercano y más lejano a la montaña es de 1500 m. Si los ángulostomados desde esos puntos y la punta de la montaña miden 40◦ y55◦, ¿qué altura tiene la montaña a partir de su base?

Resolución de triángulos rectángulos

Dado un triángulo rectángulo, para determinarlo completamente,basta conocer

Dos ladosUn ángulo agudo y un lado

En el primer caso, con T. Pitágoras se conoce el tercero y concualquier razón. trigonométrica se conocen los ángulos

En el segundo caso, con alguna razón trigonométrica se conoce otrolado y se aplica el primer caso.

Dos lados

Un ángulo agudo y un lado

Ángulos 30◦, 45◦ y 60◦

sen 45◦ = 1√2cos 45◦ = 1√

2tan 45◦ = 1

sen 30◦ = 12 cos 30◦ =

√32 tan 30◦ = 1√

sen 60◦ =√32 cos 60◦ = 1

2 tan 60◦ =√3

Círculo unitario y razones trigonométricas

Si P (x , y) está sobre el círculo unitario y en el primer cuadrante, elsegmento OP forma un ángulo agudo B con el eje X , entonces,sabemos que

cosB =Px1= x senB =

Py1= y

así que las coordenadas de P son (cosB, senB)

Extendemos las definiciones de coseno y seno para cualquier ángulo Bconsiderando un punto P en el círculo unitario, tal que el segmentoOP forme un ángulo B con el eje X

cosB = primera coord de P

senB = segunda coord de P

Si el ángulo B es negativo, lo medimos a favor de las manecillas delreloj.

Extendemos las definiciones de coseno y seno para cualquier ángulo Bconsiderando un punto P en el círculo unitario, tal que el segmentoOP forme un ángulo B con el eje X

cosB = primera coord de P

senB = segunda coord de P

Si el ángulo B es negativo, lo medimos a favor de las manecillas delreloj.

Algunas Identidades Trigonométricas

Pitagórica: cos2 (B) + sen2 (B) = 1

Demostración: El punto

P (cosB, senB)

está en el círculo unitario.

Algunas Identidades Trigonométricas

Pitagórica: cos2 (B) + sen2 (B) = 1Demostración: El punto

P (cosB, senB)

está en el círculo unitario.

Reflexiones

Ángulos negativos:

cos (−B) = cos (B)

sen (−B) = − sen (B)

Demostración: El punto Q (cos (−B) , sen (−B)) es el reflejo delpunto P (cosB, senB) sobre el eje X

Reflexiones

Ángulos negativos:

cos (−B) = cos (B)

sen (−B) = − sen (B)

Demostración: El punto Q (cos (−B) , sen (−B)) es el reflejo delpunto P (cosB, senB) sobre el eje X

Angulos suplementarios:

cos (180◦ − B) = − cos (B)sen (180◦ − B) = sen (B)

Demostración: El punto Q(cos

(180◦ − B |

), sen (180◦ − B)

)es el

reflejo del punto P (cosB, senB) sobre el eje Y

Angulos suplementarios:

cos (180◦ − B) = − cos (B)sen (180◦ − B) = sen (B)

(180◦ − B |

), sen (180◦ − B)

)es el

reflejo del punto P (cosB, senB) sobre el eje Y

Ángulos complementarios

cos (90◦ − B) = sen (B)sen (90◦ − B) = cos (B)

(90◦ − B |

), sen (90◦ − B)

)es el

reflejo del punto P (cosB, senB) sobre la recta y = x

Ángulos complementarios

cos (90◦ − B) = sen (B)sen (90◦ − B) = cos (B)

(90◦ − B |

), sen (90◦ − B)

)es el

reflejo del punto P (cosB, senB) sobre la recta y = x

Reflexión respecto al origen

cos (180◦ + B) = − cos (B)sen (180◦ + B) = − sen (B)

Demostración: El punto Q (cos (180◦ + B) , sen (180◦ + B)) es elreflejo del punto P (cosB, senB) sobre el origen

Reflexión respecto al origen

cos (180◦ + B) = − cos (B)sen (180◦ + B) = − sen (B)

Demostración: El punto Q (cos (180◦ + B) , sen (180◦ + B)) es elreflejo del punto P (cosB, senB) sobre el origen

Suma y resta de ángulos

cos (A+ B) = cosA cosB − senA senBcos (A− B) = cosA cosB + senA senB

Demostración: Se calcula la distancia de Q a U de dos formasdistintas

Suma y resta de ángulos

cos (A+ B) = cosA cosB − senA senBcos (A− B) = cosA cosB + senA senB

Demostración: Se calcula la distancia de Q a U de dos formasdistintas

Consecuencias

sen (A+ B) = senA cosB + cosA senBsen (A− B) = senA cosB − cosA senB

cos (2A) = cos2 A− sen2 Asen (2A) = 2 senA cosA

senA cosB =12

sen (A+ B) +12

sen (A− B)

tan (A+ B) =tanA+ tanB1− tanA tanB

Consecuencias

senA cosB =12

sen (A+ B) +12

sen (A− B)

Consecuencias

senA cosB =12

sen (A+ B) +12

sen (A− B)

Consecuencias

senA cosB =12

sen (A+ B) +12

sen (A− B)

Ley de los SenosEn un triángulo 4ABC

Problema: Si dos de los ángulos de un triángulo miden 75◦ y 25◦, y siel lado opuesto al ángulo de 25◦ mide 6 cm, encontrar todos los otroselementos.

Problema: Si en un triángulo 4ABC , |AC | = 5 cm y |BC | = 9 cm y]B = 30◦, encontrar los demás elementos.

Ley de los CosenosEn un triángulo 4ABC

a2 = b2 + c2 − 2bc cosA

Problema Dos personas salen de la farmacia una caminando y otra enbicicleta. La que camina va a 1.8 km/h, y la que va en bicicleta va a8 km/h. Si ambas siguen trayectorias rectas y el ángulo entre lastrayectorias es de 70◦, ¿a qué distancia están después de 30 minutos?

Ley de los CosenosEn un triángulo 4ABC

a2 = b2 + c2 − 2bc cosA

Problema Dos personas salen de la farmacia una caminando y otra enbicicleta. La que camina va a 1.8 km/h, y la que va en bicicleta va a8 km/h. Si ambas siguen trayectorias rectas y el ángulo entre lastrayectorias es de 70◦, ¿a qué distancia están después de 30 minutos?

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