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Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

35

Triangolo rettangolo

Dato il triangolo rettangolo

OPA sappiamo che:

adadiacentecateto

adoppostocateto

OA

PAtg

ipotenusa

adadiacentecateto

OP

OA

ipotenusa

adoppostocateto

OP

PAsen

==

==

==

cos

Possiamo perci utilizzare sen , cos , tg per determinare gli elementi del triangolo (lati ed angoli).

a) Conoscendo lipotenusa OP e langolo (cio sen , cos , tg )

cateto opposto ad = =PA ipotenusa sen cateto adiacente ad = =OA ipotenusa cos

b) Conoscendo il cateto AP e langolo opposto

c) Conoscendo il cateto OA e langolo adiacente

d) Conoscendo il cateto PA e lipotenusa OP posso trovare

cos=

=

ipotenusaadadiacentecateto

ipotenusa

adoppostocatetoipotenusa

senipotenusaadoppostocateto

adadiacentecatetoipotenusa

=

=cos

OP

PAsen = e quindi anche cos e tg

Dalla conoscenza di sen posso risalire allangolo (tasto di inversione della calcolatrice)

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

36

Per determinare OA posso utilizzare il teorema di Pitagora oppure cos poich cos= OPOA

e) Conoscendo il cateto OA e lipotenusa OP abbiamo

f) Conoscendo i due cateti PA e OA possiamo determinare

Nota

Naturalmente in tutti questi esempi dalla conoscenza di si pu ricavare anche =

2OPA

In conclusione, dalla conoscenza di 2 elementi di un triangolo rettangolo, che per non siano due

angoli, posso determinare tutti gli altri (si dice risolvere il triangolo).

Conoscere equivale a conoscere sen o cos o tg .

Osserviamo che si ha

=OP

OAcos

con il teorema di Pitagora oppure AP senOPAP =

=OA

PAtg (anche sen e cos )

OP con il teorema di Pitagora oppure senPA

OP =

tgtg

senipotenusa

aoppostocateto

ipotenusa

adadiacentecateto

ipotenusa

aadiacentecateto

ipotenusa

adoppostocatetosen

1

cos

cos

=

===

===

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

37

Esempi

a) Nel triangolo rettangolo

OPA sia lipotenusa 2=OP e 3

1=sen

=

POA . Determinare

gli altri elementi del triangolo.

Per determinare OA posso anche utilizzare il teorema di Pitagora oppure ricavo

23

42

3

22cos2

3

2

9

11cos ===== OPOA

Se ==

2OPA abbiamo

sen

sen

==

cos

cos

Per avere unidea della misura degli angoli e possiamo utilizzare la calcolatrice premendo, per esempio, il tasto 1SIN che permette di risalire allangolo che ha come valore del seno il

numero indicato.

Prendendo

3

1sin 1 otteniamo 47,19 .

Infine ( )= 53,7090

b)

Se 5

4cos = abbiamo

5

3

25

161 ==sen

3

1

2

=

=

sen

OP

3

2

3

12 === senOPAP

5

4cos

3

=

=

AP

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

38

Quindi 53

53

5

3=== APOP

e 45

45cos === OPOA (oppure con il teorema di Pitagora)

Per ricavare utilizzando per esempio il tasto 1cos della calcolatrice abbiamo

( ) 86,365

4cos 1

e quindi ( )==

14,5390 OPA

c)

Se 4

2=tg posso ricavare sen e cos dal sistema

=+

=

1cos

4

2

cos22

sen

sen

oppure ricordare che 12

22

+=

tg

tgsen e

2

2 1costg

=

Si ottiene, in ogni caso, che 3

1=sen e 3

22cos = da cui

2

3

3

22

2

cos===

OA

OP

e 2

2

2

1

3

1

2

3 ==== senOPAP

Utilizzando la calcolatrice ( )= 47,194

21tg e = 90

Nota: il problema poteva essere risolto anche cos

e OP si pu trovare con il teorema di Pitagora.

4

2

2

=

=

tg

OA

2

2

4

22 ==== tgOAAPtg

OA

AP

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

39

d)

Posso determinare 8

5=sen e con la calcolatrice ( ) 68,38 e per determinare OA posso

utilizzare il teorema di Pitagora oppure calcolare 8

39

64

251cos == e

398

398cos === OPOA

e)

Determino 5

2

10

4cos == (con la calcolatrice ( ) 42,66 ).

Se non voglio utilizzare il teorema di Pitagora per determinare AP , baster calcolare

5

21

25

91 ==sen e avr

f)

Posso determinare 15

1

152

2 ===OA

APtg (con la calcolatrice ( ) 47,14 ).

Se non voglio utilizzare il teorema di Pitagora per determinare OP basta ricavare sen (o cos ) da tg .Risoluzione Per esempio

.

5

8

=

=

AP

OP

4

10

=

=

OA

OP

152

2

=

=

OA

AP

8

4

1

2

4

1

16

1

16

15

15

1

115

115

1

12

22

===

===+

=+

=

sen

APOP

sentg

tgsen

2125

2110 === senOPAP

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

40

Problemi sul triangolo rettangolo

1. In un triangolo isoscele ABC la base aAB 2= e 5

3=sen (

= ABC ). Determina perimetro

e area del triangolo.

[2p = a2

9 ; A = 2

4

3a ]

2. In un triangolo isoscele ABC di base AB , il lato obliquo lCB = e 2=tg (

= ABC ). Determina perimetro e area del triangolo ABC. Determina infine la misura dellaltezza AK

relativa al lato obliquo.

[ llp 255

22 += ; 2

5

2lA = ; lAK

5

4= ]

3. In un trapezio isoscele ABCD il lato obliquo e la base minore misurano a e 4

1cos = dove

uno degli angoli adiacenti alla base maggiore. Determina perimetro e area del trapezio.

[ ap2

92 = ; 2

16

155aA = ]

4. In un trapezio rettangolo ABCD la diagonale minore AC misura a , forma un angolo retto con

il lato obliquo BC e 5

3=sen dove langolo acuto adiacente alla base maggiore.

Determina perimetro e area del trapezio.

[ ap5

222 = ; 2

75

68aA = ]

5. In un triangolo isoscele ABC di base AB il lato obliquo misura a2 e 5

1cos = dove

langolo alla base. Determina la misura delle altezze CH e AK del triangolo.

[ aCH5

54= ; aAK5

8= ]

6. In un trapezio rettangolo ABCD il lato obliquo BC misura 20 e la base minore DC misura 10.

Sapendo che 5

3cos = , dove langolo ottuso adiacente alla base minore, determina

perimetro e area del trapezio.

[ 682 =p ; 256=A ]

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -

41

7. In una semicirconferenza di diametro rAB 2= si prolunga il diametro dalla parte di B e si considera un punto P tale che, tracciata da P la tangente t alla semicirconferenza e detto T il

punto di tangenza, si abbia 5

3)( =

APTsen . Tracciata la tangente t alla semicirconferenza in A

e detto Q il punto di intersezione tra t e t, determina perimetro e area del triangolo

APQ .

[ rp 82 = ; 23

8rA = ]

8. Dato un trapezio rettangolo ABCD avente laltezza aAD = , 5

3)( =

BACsen (AB base

maggiore, AC diagonale minore), 2

3)cos( =

ABC , determina perimetro e area di ABCD.

[2p= aa 33

17 + ; 26

338aA

+= ]

9. In un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa aBC 2= si consideri il punto medio O di BC e si tracci la perpendicolare a BC per O, indicando con M lintersezione di questa con il cateto

AB. Sapendo che 4

3)( =

ABCtg , determinare il perimetro del quadrilatero ACOM.

[ ap10

332 = ]

10. In un trapezio rettangolo ABCD, la diagonale minore AC perpendicolare al lato obliquo

BC. Sapendo che aAD = e che 4

3)( =

ABCtg , determina perimetro e area del trapezio.

[ ap2

112 = ; 2

12

17aA = ]

11. Laltezza relativa allipotenusa di un triangolo rettangolo misura a e langolo che essa forma

con uno dei due cateti ha coseno uguale a 5

4. Calcola perimetro e area del triangolo.

[ ap 52 = ; 224

25aA = ]

Appunti di Matematica 4

- Triangolo rettangolo -