Trasformata di Laplace14 1. TRASFORMATA DI LAPLACE Tutto il semipiano è formato da punti nei quali...

Trasformata di Laplace

Giovanni Torrero

[email protected]

Indice

Capitolo 1. Trasformata di Laplace 51.1. Definizione 51.2. Proprietà 141.3. Prodotto di convoluzione 221.4. Funzioni di ordine esponenziale γ 261.5. Trasformata di Laplace di alcune funzioni 421.6. Antitrasformata di Laplace 471.7. Antitrasformata delle funzioni razionali 511.8. Materiale usato 57

Indice analitico 59

Bibliografia 61

Bibliografia 63

3

CAPITOLO 1

Trasformata di Laplace

1.1. Definizione

Definizione 1.1. (trasformata di Laplace) Sia f (t) una funzione reale o com-plessa della variabile reale t , consideriamo la funzione complessa F (s) dellavariabile complessa s = σ + iω così definita:

F (s) =

+∞ˆ

0

e−stf (t) dt(1.1.1)

Che cosa possiamo dire circa la funzione F (s) , precedentemente definita?Esisterà per ogni funzione f (t) e per ogni valore della variabile complessa s ?Boooh.

Facciamo un esempio poniamo che f (t) = 1 ∀t ∈ <+ mentre f (t) =0 ∀t < 0 , questa funzione viene chiamata scalino sca (t) ed ha il seguentegrafico:

la corrispondente trasformata di Laplace sarà la seguente:

L [f (t)] =

+∞ˆ

0

e−stdt

5

6 1. TRASFORMATA DI LAPLACE

Osserviamo che

ˆe−stdt = −

1

s

ˆe−std (−st) =

= −1

σ + iωe−(σ+iω)t

Pertanto si potrà scrivere:

L [f (t)] = −1

σ + iωe−(σ+iω)t

∣∣∣∣∣+∞

0

=

= −1

σ + iω

[e−σt (cos ωt − i sin ωt)

]∣∣∣∣∣+∞

0︸︷︷︸σ>0

=

= −1

σ + iω[0− 1] =

(1.1.2)

=1

σ + iω=

1

s

In questo caso abbiamo dovuto supporre che la parte reale σ , della variabile

complessa s , sia positiva perché altrimenti l’integrale indefinito

+∞ˆ

0

e−stdt

sarebbe stato divergente.

Dopo l’esempio precedente possiamo scrivere che:

Data una funzione reale o complessa f (t) , della variabile reale t , se

l’integrale

+∞ˆ

0

e−stdt è convergente, allora la funzione complessa F (s)

della variabile complessa s = σ + iω così definita:

F (s) =

+∞ˆ

0

e−stf (t) dt(1.1.3)

è la trasformata di Laplace della funzione f (t) .

La funzione trattata nell’esempio precedente è chiamata funzione a scalino e la siindica in questo modo sca (t) , la sua trasformata di Laplace la si indica medianteil simbolo: L [sca (t)] , da quanto detto in precedenza potremo scrivere che:

1.1. DEFINIZIONE 7

L [sca (t)] =1

s

Facciamo un secondo esempio, molto interessante, che è quello della ramparam (t) , la rampa è una funzione così definita:

ram (t) =

t se t ≥ 0

0 se t < 0

il cui grafico è il seguente:

La trasformata di Laplace della rampa sarà:

L [ram (t)] =

+∞ˆ

0

te−stdt

Osserviamo che:


ˆte−stdt = −

1

s

ˆtd(e−st

)=

= −1

s

{t e−st −

ˆe−stdt

}=

= −1

s

{t e−st +

1

s

ˆe−std (−st)

}=

= −1

s

{t e−st +

1

se−st

}=

= −st+ 1

s2e−(σ+iω)t =

= −st+ 1

s2e−σt [cos (ωt) + i sin (ωt)]

Dopo aver scritto tutte queste belle cose possiamo riprendere il calcolo dellatrasformata di Laplace della rampa:

L [ram (t)] = −st+ 1

s2e−σt [cos (ωt) + i sin (ωt)]

∣∣∣∣∣+∞

0︸︷︷︸σ>0

=

(1.1.4)

=1

s2

Anche in questo caso abbiamo dovuto supporre che σ ≥ 0 altrimenti l’integrale+∞ˆ

0

te−stdt non sarebbe stato convergente. La questione della convergenza è

quindi molto importante, definire una funzione e poi scoprire che essa dove servenon esiste è cosa che fa soffrire intensamente i matematici.

Sul testo del Tricomi [1, Istituzioni di analisi superiore a pag. 400 ] è riportato unbellissimo teorema che copierò integralmente cercando pure di dimostrarlo.

Teorema 1.2. Data una funzione reale o complessa di variabile reale f (t) , se

l’integrale di Laplace

xˆ

0

e−stf (t) dt converge per x → +∞ quando s = s0

allora converge a fortiori in tutti i punti del semipiano <s > <s0 (frontiera esclusa)(vedere la figura sottostante)

1.1. DEFINIZIONE 9

DIMOSTRAZIONE. Consideriamo la seguente funzione complessa di variabilereale:

Φ (x) =

xˆ

0

e−s0tf (t) dt(1.1.5)

Per cose arcinote la funzione Φ (x) è una funzione continua su tutto l’asse reale,inoltre, per ipotesi, si ha che

limx→+∞

Φ (x) = A

questo significa che fissato un numero reale positivo ε esiste un X0 tale che∀x > X0 si ha che |Φ (x)−A| < ε , inoltre nell’intervallo [0 ; X0] la funzioneΦ (x) è continua quindi limitata cioè esiste un numero reale positivo L tale che|Φ (x)| < L ∀x ∈ [0 ; X0] .


Riprendiamo la disuguaglianza |Φ (x)−A| < ε ∀x > X0 , poniamoci nelpiano complesso:

1.1. DEFINIZIONE 11

Essendo il cerchio di centro A e raggio ε tutto interno al cerchio di centrol’origine e raggio |A|+ ε possiamo scrivere |Φ (x)| ≤ |A|+ ε .

Ponendo H > max (L , |A|+ ε) si ha che

(1.1.6) ∀x > 0 |Φ (x)| < H

.

Derivando l’equazione 1.1.5 a pagina 9 si ottiene:

dΦ (x)

dx= e−s0xf (x)

(1.1.7)

f (x) = es0xdΦ (x)

dx

Consideriamo la seguente funzione di x

Λ (x) =

xˆ

0

e−stf (t) dt

Si ha che


Λ (x) =

xˆ

0

e−(s−s0+s0)tf (t) dt =

=

xˆ

0

e−s0t e−(s−s0)t es0tdΦ (t)

dt︸︷︷︸vedi 1.1.7 a pag. 11

dt =

=

xˆ

0

e−(s−s0)tdΦ (t) =

= e−(s−s0)tΦ (t)

∣∣∣∣∣x

0

+ (s− s0)

xˆ

0

e−(s−s0)t Φ (t) dt =

= e−(s−s0)xΦ (x) + (s− s0)

xˆ

0

e−(s−s0)t Φ (t) dt

Supponiamo che <s−<s0 > 0 se poniamo

Υ (x) = e−(s−s0)xΦ (x)

Ψ (x) = (s− s0)

xˆ

0


possiamo scrivere che

Λ (x) = Υ (x) + Ψ (x)

pertanto

limx→+∞

Λ (x) = limx→+∞

Υ (x) + limx→+∞

Ψ (x)

Ricordando che limx→+∞

Φ (x) = A abbiamo che:

limx→+∞

Υ (x) = limx→+∞

e−(s−s0)xΦ (x)

= limx→+∞

e−[(<s−<s0)+i(=s−=s0)]xΦ (x) =

= limx→+∞

e−[(<s−<s0)]x [cos (=s0 −=s)x+ i sin (=s0 −=s)x] Φ (x) =

= 0

1.1. DEFINIZIONE 13

Per quanto riguarda la Ψ (x) possiamo osservare che :

|Ψ (x)|︸︷︷︸x>0

=

∣∣∣∣∣∣(s− s0)

xˆ

0


∣∣∣∣∣∣ ≤≤ |s− s0|

xˆ

0

e−(<s−<s0)t |Φ (t)| dt ≤

≤ H |s− s0|xˆ

0

e−(<s−<s0)t dt =

= −H |s− s0|<s−<s0

∣∣∣∣∣e−(<s−<s0)t

∣∣∣∣∣x

0

=

= −H |s− s0|<s−<s0

[e−(<s−<s0)x − 1

]Pertanto se esiste il lim

x→+∞|Ψ (x)| avremo che 0 ≤ lim

x→+∞|Ψ (x)| ≤

H |s− s0|<s−<s0

, ora |Ψ (x)| è una funzione continua se non assumesse un particolare valore

limite dovrebbe oscillare infinite volte tra 0 eH |s− s0|<s−<s0

e quindi anche la derivata

non dovrebbe assumere un particolare valore limite 1 ma

dΨ (x)

dx= (s− s0) Υ (x)

pertanto

limx→+∞

dΨ (x)

dx= 0

tutto ciò dovrebbe garantire l’esistenza di limx→+∞

Ψ (x) . Trovati i due limiti prece-

denti siamo sicuri che limx→+∞

Λ (x) esiste. �

Il teorema precedente ci consente di scrivere la seguente definizione.

Definizione 1.3. ( ascissa di convergenza ) Data una funzione reale o com-

plessa di variabile reale f (t) , se l’integrale di Laplace

xˆ

0

e−stf (t) dt converge

per x → +∞ per un insieme I di valori di s , allora indichiamo con αl’estremo inferiore delle parti reali <s con s ∈ I , α si chiamerà ascissa diconvergenza.

1Su quanto sto dicendo le mie convinzioni vacillano un po’


Tutto il semipiano <s > α è formato da punti nei quali l’integrale di Laplacexˆ

0

e−stf (t) dt converge e viene chiamato semipiano di convergenza

1.2. Proprietà

Teorema 1.4. (linearità della trasformata di Laplace) Siano f (t) e g (t) duefunzioni della variabile reale t , siano αf e αg rispettivamente le ascissedi convergenza delle funzioni f (t) e g (t) , che supporremo entrambe finite,e siano c1 e c2 due parametri reali, avremo allora che la funzione h (x) =c1f (x) + c2g (x) ha ascissa di convergenza α = max (αf + αg) e si ha che:

Ls [h (t)] = c1Ls [f (t)] + c2Ls [g (t)]

DIMOSTRAZIONE. Per la definizione 1.1.1 a pagina 5 abbiamo che

1.2. PROPRIETÀ 15

Ls [h (t)] =

+∞ˆ

0

e−sth (t) dt =

=

+∞ˆ

0

e−st [c1f (x) + c2g (x)] dt =

= c1

+∞ˆ

0

e−stf (t) dt+ c2

+∞ˆ

0

e−stg (t) dt =

= c1Ls [f (t)] + c2Ls [g (t)]

�

Teorema 1.5. Sia f(t) una funzione di variabile reale trasformabile secondoLaplace e sia α la sua ascissa di convergenza, che supporremo finita, se hè un qualsiasi numero complesso la funzione f1 (t) = ehtf (t) è trasformabilesecondo Laplace con ascissa di convergenza α+ <h , inoltre si ha che:

Ls [f1 (t)] = Ls[ehtf (t)

]=

= Ls−h [f (t)]

DIMOSTRAZIONE. Infatti si ha che

Ls [f1 (t)] =

+∞ˆ

0

e−stf1 (t) dt =

=

+∞ˆ

0

e−stehtf (t) dt =

=

+∞ˆ

0

e−(s−h)tf (t) dt

︸︷︷︸pongo s−h=σ

=

=

+∞ˆ

0

e−σtf (t) dt =

= Lσ [f (t)] =

= Ls−h [f (t)]


Siccome l’ascissa di convergenza di Lσ [f (t)] è α se <σ > α

+∞ˆ

0

e−σtf (t) dt

converge, ma <σ = <s−<h

<σ > α =⇒ <s−<h > α =⇒=⇒ <s > α+ <h

Quindi α+ <h è l’ascissa di convergenza di f1 (t) . �

Congettura 1.6. Che cosa succede se moltiplichiamo una trasformata di Laplaceper un esponenziale?

Precisiamo meglio, sia f (t) una funzione trasformabile con ascissa di conver-genza α e sia Ls [f (t)] la sua trasformata , se e−hs è un esponenziale conh un parametro reale positivo, considerando la funzione F1 (s) = e−hsLs [f (t)] ,h ∈ < ∧ h > 0

si ha che:

F1 (s) = e−hs+∞ˆ

0

e−stf (t) dt =

=

+∞ˆ

0

e−s(t+h)f (t) dt =

Nell’integrale precedente poniamo t+ h = z da cui si deduce che t = z − h .Ai fini dei calcoli di cui sopra non cambia nulla se si suppone che f (z) = 0 sez ≤ 0 .

La funzione f (z − h) è la funzione f (z) traslata di h :

1.2. PROPRIETÀ 17

L’integrale precedente diventa:

F1 (s) =

+∞ˆ

h

e−szf (z − h) dz =

=

+∞ˆ

0

e−szf (z − h) dz

︸︷︷︸f(z−h)=0 se 0≤z≤h

=

= Ls [f (z − h)]

Dopo questa congettura possiamo enunciare il seguente importante teorema, delquale la congettura ne fornisce una dimostrazione. 17-06-2012

Teorema 1.7. (2a proprietà di traslazione) Sia f (t) una funzione trasformabilecon ascissa di convergenza α e sia Ls [f (t)] la sua trasformata, se h ∈ <+ èun numero reale positivo si ha che:


Ls [f (t− h)] = e−hsLs [f (t)]

Congettura 1.8. Supponiamo che f (t) sia una funzione complessa di variabilereale t trasformabile con ascissa di convergenza α , che cosa possiamo direcirca la funzione f (at) dove a ∈ < .

Osserviamo che:

Ls [f (at)] =

+∞ˆ

0

e−stf (at) dt =

=1

a

+∞ˆ

0

e−sza f (z) dz

︸︷︷︸posto at=z

=

=1

a

+∞ˆ

0

e−szf (z) dz

︸︷︷︸posto s= s

a

=

=1

aLs [f (t)] =

=1

aL sa

[f (t)]

Possiamo quindi enunciare il seguente teorema:

Teorema 1.9. (proprietà del cambiamento di scala ) Sia f (t) una funzionetrasformabile con ascissa di convergenza α e sia Ls [f (t)] la sua trasformata,se a ∈ < è un numero reale si ha che:

Ls [f (at)] =1

aL sa

[f (t)](1.2.1)

Congettura 1.10. Supponiamo che f (t) sia una funzione complessa di variabilereale t trasformabile con ascissa di convergenza α , che cosa possiamo dire

circa la funzione I (t) =

tˆ

0

f (z) dz ?

Intanto cominciamo con l’osservare che I (t) è una funzione continua e deriv-

abile su tutto l’asse reale positivo e che ivi si hadI (t)

dt= f (t) , tutto ciò è già

una bella cosa.

Vediamo se si può dire qualcosa circa la trasformata di Laplace della funzioneI (t), a tal uopo consideriamo il seguente integrale:

1.2. PROPRIETÀ 19

zˆ

0

e−stf (t) dt = e−stI (t)

∣∣∣∣∣z

0

+ s

zˆ

0

e−stI (t) dt

︸︷︷︸integrazione per parti

=

(1.2.2)

= e−szI (z) + s

zˆ

0

e−stI (t) dt

Supponiamo che s sia tale per cui 0 < α < <s questo ci assicura, grazie alleipotesi fatte, che

limz→+∞

zˆ

0

e−stf (t) dt = Ls [f (t)]

Che cosa possiamo dire circa la parte destra dell’uguaglianza 1.2.2? É ovvio chela cosa che crea maggiori problemi è I (z) , per toglierci questo fastidio osser-viamo che sicuramente esiste un numero reale r0 tale che α < r0 < <s allorapossiamo scrivere che:

I (z) =

zˆ

0

f (t) dt =

=

zˆ

0

er0te−r0tf (t) dt =

=

zˆ

0

er0tdΦ (t)

dtdt

︸︷︷︸f(t)=er0t

dΦ(t)dt vedi 1.1.7 a pag. 11

=

= er0tΦ (t)

∣∣∣∣∣z

0

− r0

zˆ

0

er0tΦ (t) dt

︸︷︷︸integrazione per parti

=

= er0zΦ (z)− r0

zˆ

0

er0tΦ (t) dt

con Φ (z) =

zˆ

0

e−r0tf (t) dt


Dopo quanto abbiamo scritto si può dire che:

|I (z)| ≤ er0z |Φ (z)|+ r0

zˆ

0

er0t |Φ (t)| dt

︸︷︷︸r0 e z sono numeri reali positivi

≤

≤ er0zH + r0

zˆ

0

er0tH dt

︸︷︷︸Per la (1.1.6) pag. 11 |Φ(z)|≤H ∀z∈<+

≤

≤ H

er0z + r0

zˆ

0

er0t dt

=

= H{er0z +

[er0t]z0

}=

= H {er0z + er0z − 1} <

< 2Her0z =

= K er0z︸︷︷︸Posto K=2H

La limitazione trovata è molto interessante perché ci consente di dire che:

limz→+∞

e−szI (z) = 0

allora la 1.2.2 nella pagina precedenteci assicura che anche la funzione I (z) ètrasformabile e che vale la seguente importante relazione:

Ls [f (t)] = sLs [I (t)]

Ls [f (t)] = sLs

tˆ

0

f (z) dz

Tenuto conto che f (t) =dI (t)

dt, si può anche scrivere che:

Ls

[dI (t)

dt

]= sLs [I (t)](1.2.3)

1.2. PROPRIETÀ 21

La formula testé trovata ha una applicazione vasta oppure ci sono delle limitazioni?

Si ci sono delle limitazioni infatti a causa della definizione I (t) =

tˆ

0

f (z) dz , deve

succedere che I (0) = 0 . Supponiamo di avere una funzione J (t) , derivabilesu tutto l’asse reale positivo ma tale che J (0) = J0 6= 0 , allora J (t)− J0 godedella limitazione precedente, pertanto si può scrivere:

Ls

[d [J (t)− J0]

dt

]= sLs [J (t)− J0]

Ls

[dJ (t)

dt

]= s

+∞ˆ

0

e−st [J (t)− J0] dt

Ls

[dJ (t)

dt

]= s

+∞ˆ

0

e−stJ (t) dt+ J0

+∞ˆ

0

e−std (−st)

Ls

[dJ (t)

dt

]= sLs [J (t)] + J0

+∞ˆ

0

e−std (−st)

Ls

[dJ (t)

dt

]= sLs [J (t)]− J0

C’è un alone di confusione che va prontamente dissipato, le ipotesi iniziali di tuttoquesto tormentone erano che f (t) fosse una funzione trasformabile con ascissadi convergenza α > 0 , nel caso di cui sopra il ruolo di f (t) è giocato dadJ (t)

dt, quindi se

dJ (t)

dtè trasformabile e ha ascissa di convergenza α > 0

allora anche J (t) è trasformabile con ascissa di convergenza α > 0 .

Possiamo quindi sintetizzare il tutto nel seguente succulento teorema: 22-06-2012

Teorema 1.11. Supponiamo che f (t) sia una funzione reale o complessa divariabile reale, derivabile su tutto il semiasse reale positivo (t ≥ 0) e che laderivata prima f ′ (t) sia trasformabile secondo Laplace con ascissa di conver-genza α > 0 , allora anche la funzione f (t) sarà trasformabile con ascissa diconvergenza α e si ha inoltre che

Ls

[df (t)

dt

]= sLs [f (t)]− f (0)(1.2.4)

La dimostrazione del teorema sta ovviamente in quanto scritto nella congetturaprecedente, l’ultima formuletta scritta è molto interessante perché applicata ripetu-tamente conduce a risultati molto goduriosi.


Congettura 1.12. La formula 1.2.4 nella pagina precedente serve per la derivataprima, potremo usare quella formula per avere risultati che coinvolgano le derivatedi ordine superiore.

Supponendo che le derivate seconde, terze, etc , soddisfino alle ipotesi del teore-ma precedente possiamo scrivere:

Ls

[d2f (t)

dt2

]= sLs

[df (t)

dt

]− f ′ (0) =

= s2Ls [f (t)]− s f (0)− f ′ (0)

Ls

[d3f (t)

dt3

]= sLs

[d2f (t)

dt2

]=

= s{s2Ls [f (t)]− s f (0)− f ′ (0)

}− f ′′ (0) =

= s3Ls [f (t)]−3∑i=1

s3−if i−1 (0)

Avendo posto fk (t) =dkf (t)

dtkk = 1, 2, 3, 4, · · · · · · e f0 (t) = f (t) .

Procedendo per induzione si può evidentemente arrivare alla seguente formula:

Ls

[dnf (t)

dtn

]= snLs [f (t)]−

n∑i=1

sn−if i−1 (0)

1.3. Prodotto di convoluzione

Definizione 1.13. (prodotto di convoluzione) Siano f (t) e g (t) due funzionireali di variabile reale, si definisce loro prodotto di convoluzione, e lo si indica conf (t) ∗ g (t) , una terza funzione reale di variabile reale così definita:

f (t) ∗ g (t) =

tˆ

0

f (z) g (t− z) dz

Sorgono dei dubbi su questa definizione perché non è detto che l’integrale dellaparte destra dell’uguaglianza precedente esista. L’integrale precedente non esistequando la funzione integranda diventa improvvisamente infinita: +∞ oppure−∞ , tutto questo fa venire in mente la seguente congettura:

1.3. PRODOTTO DI CONVOLUZIONE 23

Congettura 1.14. Supponiamo che esistano i due integrali

+∞ˆ

0

|f (t)| dt e

+∞ˆ

0

|g (t)| dt

vediamo che cosa succede all’integrale

tˆ

0

f (z) g (t− z) dz .

Osserviamo che:

∣∣∣∣∣∣+∞ˆ

0

tˆ

0

f (z) g (t− z) dz

dt∣∣∣∣∣∣ ≤

+∞ˆ

0

∣∣∣∣∣∣tˆ

0

f (z) g (t− z) dz

∣∣∣∣∣∣ dt ≤≤

+∞ˆ

0

tˆ

0

|f (z)| |g (t− z)| dz

dt =

≤+∞ˆ

0

+∞ˆ

0

|f (z)| |g (t− z)| dz

dt =

=

+∞ˆ

0

+∞ˆ

0

|g (t− z)| dt

|f (z)| dz =

=

+∞ˆ

0

+∞ˆ

−z

|g (t)| dt

|f (z)| dz ≤

≤+∞ˆ

0

+∞ˆ

0

|g (t)| dt

|f (z)| dz =

=

+∞ˆ

0

|f (z)| dz

+∞ˆ

0

|g (t)| dt

Quindi

∣∣∣∣∣∣+∞ˆ

0

tˆ

0

f (z) g (t− z) dz

dt∣∣∣∣∣∣ converge, questo significa che

tˆ

0

f (z) g (t− z) dz

può anche divergere all’infinito per un certo insieme I di valori di t ma lamisura2 di I deve essere nulla, quindi se sono vere le ipotesi della congettura ilprodotto di convoluzione è quasi dappertutto definito in <+ .

2Il concetto di misura di un insieme qui utilizzato è quello riportato su [1, a pag. 62 e seguenti] dove si considerano tutti i plurintervalli (unione, al più numerabile di intervalli aperti a due a duedisgiunti) che formano una coperture dell’insieme I , l’estremo inferiore delle misure di ciascuno diquesti plurintervalli è la misura esterna di I e la si indica con I , successivamente si consideranotutti i plurintervalli contenuti in I l’estremo superiore delle misure di tali plurintervalli è la misurainterna di I e la si indica con I . Se I = I = I avremo che I è la misura di I e questoinsieme si dirà misurabile.


Teorema 1.15. Siano f (t) e g (t) due funzioni reali di variabile reale le cuitrasformate di Laplace siano assolutamente convergenti 3 per σ ∈ I ⊆ C , Cè l’insieme dei numeri complessi, allora anche la trasformata di Laplace di f (t) ∗g (t) converge assolutamente per gli stessi valori di σ e si ha:

L [f (t) ∗ g (t)] = L [f (t)] · L [g (t)]

DIMOSTRAZIONE. Osserviamo che

L [f (t)] · L [g (t)] =

+∞ˆ

0

e−stf (t) dt

+∞ˆ

0

e−svg (v) dv

=

=

+∞ˆ

0

+∞ˆ

0

e−svg (v) dv

e−stf (t) dt =

=

+∞ˆ

0

+∞ˆ

0

e−stf (t) e−svg (v) dv

dt =

=

+∞ˆ

0

+∞ˆ

0

e−s(t+v)f (t) g (v) dv

dt =

=

+∞ˆ

0

+∞ˆ

t

e−szf (t) g (z − t) dz

dt︸︷︷︸

posto t+v=z

L’ultimo passaggio può essere considerato lo sviluppo di un integrale doppio chenel piano z , t è esteso al seguente dominio:

3Questo significa che sono convergenti gli integrali

+∞ˆ

0

e−<σt |f (t)| dt e

+∞ˆ

0

e−<σt |g (t)| dt

1.3. PRODOTTO DI CONVOLUZIONE 25

Se noi scambiamo l’ordine di integrazione succede questo:

L [f (t)] · L [g (t)] =

+∞ˆ

0

+∞ˆ

t

e−szf (t) g (z − t) dz

dt︸︷︷︸

posto t+v=z

=

=

+∞ˆ

0

zˆ

0

e−szf (t) g (z − t) dt

dz =

=

+∞ˆ

0

e−sz

zˆ

0

f (t) g (z − t) dt

dz =

=

+∞ˆ

0

e−sz [f (z) ∗ g (z)] dz =

= L [f (t) ∗ g (t)]

�

In realtà non abbiamo dimostrato il teorema enunciato ma bensì quest’altro teore-ma:

Teorema 1.16. Siano f (t) e g (t) due funzioni reali di variabile reale le cuitrasformate di Laplace siano a convergenti per σ ∈ I ⊆ C , C è l’insiemedei numeri complessi, allora se anche la trasformata di Laplace di f (t) ∗ g (t)converge per gli stessi valori di σ e si ha:


L [f (t) ∗ g (t)] = L [f (t)] · L [g (t)]

Il teorema inizialmente enunciato avrà probabilmente un’altra dimostrazione inIntegralmente scopiazzato a pag.

415 di [1] questa non compare mai l’assoluta convergenza, molto probabilmente il Tricomiquando ha scritto quella pagina aveva davanti a se tutta una serie di bottiglie dibarolo e ha esagerato con gli assaggi.

1.4. Funzioni di ordine esponenziale γ

Definizione 1.17. (funzioni generalmente continue) Una funzione reale di variabilereale si dice generalmente continua su un intervallo [a ; b] se essa è continua in[a ; b] tranne che in un numero finito di punti x1 x2 x3 · · · xi · · · xne per ciascuno di essi esiste il limite destro e sinistro e sono entrambi finiti.

FIGURA 1.4.1. Esempio di funzione generalmente continua

1.4. FUNZIONI DI ORDINE ESPONENZIALE γ 27

Definizione 1.18. (funzione di ordine esponenziale γ ) Data una funzione realedi variabile reale f (t) diremo che questa funzione è una funzione di ordine espo-nenziale γ se esistono due numeri reali γ e M , con M > 0 , e un terzonumero reale positivo t0 ≥ 0 tali che ∀t ≥ t0 si abbia |f (t)| < eγtM .

Osservazione 1.19. Dalla figura seguente

si deduce che per t > 0 si ha che eγ1t > eγet se γ1 > γ2 pertanto si deduceche se una funzione f (t) è di ordine γ per t > t0 sarà anche di ordine γ′

, con lo stesso t0 , ∀γ′ > γ .

Esempio 1.20. Un esempio di funzione di ordine esponenziale è f (t) = tn ∀n ∈N , essendo N l’insieme dei numeri naturali.

Infatti osserviamo che lo sviluppo in serie di potenze di ent è il seguente:

(vedi Wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor)

pertanto

http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor

http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor


ent = 1 + nt+n2t2

2+n3t3

6+n4t4

24+ · · ·+

nntn

n!+nn+1tn+1

(n+ 1)!+ · · · · · ·

siccome per t > 0 tutti i termini della serie sono positivi potremo scrivere

ent >nntn

n!

per t > 0

di conseguenza per t > 0︸︷︷︸t0

si ha che

ent >nntn

n!

tn <n!

nn︸︷︷︸M

e

n︸︷︷︸γ

t

tn < eγtM

avendo posto

M =

n!

nn

γ = n

Teorema 1.21. Siano f1 (t) e f2 (t) di ordine esponenziale rispettivamente:γ1 per t > t1 e γ2 per t > t2 , allora f (t) = c1f1 (t)+c2f2 (t) (c1 e c2 ∈ <)è una funzione di ordine esponenziale γ con t > t0 , dove γ = max (γ1 , γ2)e t0 = max (t1 , t2) .

DIMOSTRAZIONE. Osserviamo che:

|f (t)| = |c1f1 (t) + c2f2 (t)| ≤

≤ |c1| |f1 (t)|+ |c2| |f2 (t)| ≤

≤ |c1| eγ1tH1 + |c2| eγ2tH2︸︷︷︸t>t0

≤

≤ |c1| eγtH1 + |c2| eγtH2 =

= eγt (|c1|H1 + |c2|H2)︸︷︷︸H


�

Teorema 1.22. Sia f (t) una funzione reale di variabile reale di ordine espo-nenziale γ per t > t0 , inoltre f (t) sia generalmente continua nell’intervallo[0 ; t0] allora esiste Ls [f (t)] per ogni s = σ + iω con σ > γ .4

DIMOSTRAZIONE. Osserviamo che:

Ls [f (t)] =

+∞ˆ

0

e−(σ+iω)t f (t) dt =

=

+∞ˆ

0

e−σte−iωt f (t) dt =

=

+∞ˆ

0

e−σt [cos (ωt)− i sin (ωt)] f (t) dt

︸︷︷︸vedi 1.4.1 a pag. 29

=

=

+∞ˆ

0

e−σt cos (ωt) f (t) dt − i+∞ˆ

0

e−σt sin (ωt) f (t) dt

Nelle relazioni precedenti abbiamo usato la Formula di Eulero

e−iωt = cos (−ωt) + i sin (−ωt) =

= cos (ωt)− i sin (ωt)(1.4.1)

Prendiamo in considerazione il primo dei due integrali precedenti, prendendone ilvalore assoluto si ha:

4Supponiamo inoltre che f (t) = 0 ∀t < 0 .


∣∣∣∣∣∣+∞ˆ

0

e−σt cos (ωt) f (t) dt

∣∣∣∣∣∣ ≤+∞ˆ

0

∣∣e−σt cos (ωt) f (t)∣∣ dt =

=

+∞ˆ

0

e−σt |cos (ωt)| |f (t)| dt ≤

≤+∞ˆ

0

e−σt |f (t)| dt

︸︷︷︸|cos(ωt)|≤1

=

=

t0ˆ

0

e−σt |f (t)| dt +

+∞ˆ

t0

e−σt |f (t)| dt

Il primo dei due integrali

t0ˆ

0

e−σt |f (t)| dt esiste finito perché la funzione e−σt |f (t)|

è una funzione generalmente continua in [0 , t0] e quindi ivi integrabile per coseassai note.

Il secondo integrale lo trattiamo come segue :

+∞ˆ

t0

e−σt |f (t)| dt ≤+∞ˆ

t0

e−σt eγtH dt

︸︷︷︸f(t) e di ordine esponenziale γ

≤

≤ H

+∞ˆ

0

e(γ−σ)t dt =

=H

γ − σ

+∞ˆ

0

e(γ−σ)t d [(γ − σ) t] =

=H

γ − σ[−1]︸︷︷︸

σ>γ

=

=H

σ − γ


quindi anche il secondo integrale esiste ed è finito, pertanto esiste ed è finito∣∣∣∣∣∣+∞ˆ

0

e−σt cos (ωt) f (t) dt

∣∣∣∣∣∣ il che significa che esiste finito

+∞ˆ

0

e−σt cos (ωt) f (t) dt ,

in modo analogo si procede con

+∞ˆ

0

e−σt sin (ωt) f (t) dt , in conclusione dobbi-

amo ammettere che per ogni σ > γ esiste Ls [f (t)] . �

Osservazione 1.23. Se una funzione reale di variabile reale f (t) ha, rispettoalla sua trasformata di Laplace ascissa di convergenza x0 e contemporanea-mente f (t) è , per t > t0 , una funzione di ordine esponenziale γ ed ègeneralmente continua in [0 , t0] allora deve essere γ > x0 .. Quanto scritto èovvia conseguenza della definizione stessa di ascissa di convergenza e di quantoscritto nelle righe precedenti.

Teorema 1.24. Sia f (t) una funzione reale di variabile reale di ordine espo-nenziale γ per t > t0 , inoltre f (t) sia generalmente continua nell’intervallo[0 ; t0] allora

lim<s→+∞

Ls [f (t)] = 0

DIMOSTRAZIONE. Infatti si ha che

lim<s→+∞

Ls [f (t)] = lim<s→+∞

limp→+∞

pˆ

0

e−(<s+iIs)tf (t) dt

=

= lim<s→+∞

t0ˆ

0

e−(<s+iIs)tf (t) dt+ limp→+∞

pˆ

t0


=

= lim<s→+∞

t0ˆ

0


+ lim<s→+∞

limp→+∞

pˆ

t0


(1.4.2)

Osserviamo che essendo f (t) generalmente continua in [0 , t0] è ivi limitata,cioè |f (t)| ≤ K ∀t ∈ [0 , t0] quindi:


0 ≤

∣∣∣∣∣∣t0ˆ

0


∣∣∣∣∣∣ ≤t0ˆ

0

e−<st |f (t)| dt

0 ≤

∣∣∣∣∣∣t0ˆ

0


∣∣∣∣∣∣ ≤ Kt0ˆ

0

e−<stdt

0 ≤

∣∣∣∣∣∣t0ˆ

0


∣∣∣∣∣∣ ≤ − K<st0ˆ

0

e−<std (−<st)

0 ≤

∣∣∣∣∣∣t0ˆ

0


∣∣∣∣∣∣ ≤ − K<s [e−<st0 − 1]

0 ≤

∣∣∣∣∣∣t0ˆ

0


∣∣∣∣∣∣ ≤ K

<s[1− e−<st0

]

Passando al limite per <s→ +∞ si ottiene

0 ≤ lim<s→+∞

∣∣∣∣∣∣t0ˆ

0


∣∣∣∣∣∣ ≤ lim<s→+∞

{K

<s[1− e−<st0

]}︸︷︷︸

K+∞

0 ≤ lim<s→+∞

∣∣∣∣∣∣t0ˆ

0


∣∣∣∣∣∣ ≤ 0

quindi

lim<s→+∞

t0ˆ

0

e−(<s+iIs)tf (t) dt = 0

Passiamo ora al secondo limite della 1.4.2 nella pagina precedente


∣∣∣∣∣∣ lim<s→+∞

limp→+∞

pˆ

t0


∣∣∣∣∣∣ = lim

<s→+∞

∣∣∣∣∣∣ limp→+∞

pˆ

t0

e−(<s+iIs)tf (t) d

∣∣∣∣∣∣ t ≤

≤ lim<s→+∞

limp→+∞

pˆ

t0

∣∣∣e−(<s+iIs)tf (t)∣∣∣ dt ≤

≤ lim<s→+∞

lim

p→+∞

pˆ

t0

e−(<s)t eγtM dt

︸︷︷︸f(t) e di ordine esponenziale γ

=

= M lim<s→+∞

limp→+∞

pˆ

t0

e−(<s−γ)tdt

=

= −M lim<s→+∞

limp→+∞

1

<s− γ

pˆ

t0

e−(<s−γ)td [− (<s− γ) t]

=

= −M lim<s→+∞

limp→+∞

1

<s− γ

[e−(<s−γ)p − 1

]︸︷︷︸

<s>γ

=

= M lim<s→+∞

[1

<s− γ

]= 0

Pertanto abbiamo

0 ≤∣∣∣lim<s→+∞

{limp→+∞

´ pt0e−(<s+iIs)tf (t) dt

}∣∣∣ ≤ 0

da tutto ciò segue che

lim<s→+∞

limp→+∞

pˆ

t0


= 0

Ritornando alla 1.4.2 a pagina 31 possiamo finalmente, con un po’ di gongolamen-to, affermare che:

lim<s→+∞

Ls [f (t)] = 0


�

Teorema 1.25. (derivata della trasformata) Sia f (t) una funzione di variabilereale assumente valori reali, di questa funzione ne consideriamo la trasformata diLaplace con il parametro s reale e non più complesso, questo significa che

Ls [f (t)] =

+∞ˆ

0

e−stf (t) dt con s ∈ <

sia x0 l’ascissa di convergenza , allora Ls [f (t)] sarà una funzione reale divariabile reale definita su tutto ]xo ; +∞[ derivabile, e quindi continua, in tuttoquesto intervallo ed inoltre si avrà: 5

dLs [f (t)]

ds= −Ls [tf (t)]

DIMOSTRAZIONE. Utilizzando il nuovo modo per indicare la trasformata

Ls [f (t)] = Lf (s)

, dalla definizione di derivata si ha:

5Per chiarezza di scrittura, d’ora in poi, la trasformata di Laplace la indichiamo, quando loriteniamo opportuno, nel seguente modo:

Ls [f (t)] = Lf(t) (s)

così è più evidente che la trasformata è una funzione di s che in questo teorema supponiamosia un numero real


dLf(t) (s)

ds= lim

h→0

Lf(t) (s+ h)− Lf (s)

h=

= limh→0

+∞ˆ

0

e−(s+h)tf (t) dt−+∞ˆ

0

e−stf (t) dt

h=

= limh→0

+∞ˆ

0

f (t)[e−(s+h)t − e−st

]dt

h=

=

+∞ˆ

0

f (t)

[limh→0

e−(s+h)t − e−st

h

]dt =

=

+∞ˆ

0

∂e−st

∂sf (t) dt =

= −+∞ˆ

0

t e−st f (t) dt =

= −Ls [tf (t)]

nota 6 �

Osservazione 1.26. Si può procedere con la derivata seconda

d2Ls [f (t)]

ds2= (−1)

1 dLs [tf (t)]

ds=

= (−1)2Ls[t2f (t)

]Più in generale, procedendo per induzione, si può dimostrare che vale la seguenteformula:

dnLs [f (t)]

dsn= (−1)

nLs [tnf (t)](1.4.3)

Teorema 1.27. (della divisione per t ) Sia f (t) una funzione reale di variabilereale di ordine esponenziale γ per t > t0 , inoltre f (t) sia generalmentecontinua nell’intervallo [0 ; t0] , se esiste finito il

limt→0

f (t)

t= K

6Non sono sicuro che il passaggio al limite sotto integrale sia lecito.


allora, supponendo che nella definizione della trasformata di Laplace s sia unnumero reale e non più complesso, si può scrivere

Ls

[f (t)

t

]=

+∞ˆ

s

Lp [f (t)] dp

DIMOSTRAZIONE. Per chiarezza di scrittura, d’ora in poi, la trasformata diLaplace la indichiamo, quando lo riteniamo opportuno, nel seguente modo:

Ls [f (t)] = Lf(t) (s)

così è più evidente che la trasformata è una funzione di s che in questo teoremasupponiamo sia un numero reale 7 .

Poniamo

g (t) =f (t)

t

quindi

f (t) = t g (t)

Passando alle trasformate si ottiene

Ls [f (t)] = Ls [t g (t)]

usando le notazioni introdotte precedentemente si ha

Lg(t) (s) =

+∞ˆ

0

e−stf (t)

tdt

passando alle derivate si ottiene

7É evidente che essendo il campo reale una restrizione del campo complesso tutti i teoremi chevalgono con s complesso valgono anche con s reale.


dLg(t) (s)

ds= lim

h→0

+∞ˆ

0

e−(s+h)t f (t)

tdt−

+∞ˆ

0

e−stf (t)

tdt

h=

= limh→0

+∞ˆ

0

f (t)

t

[e−(s+h)t − e−st

]dt

h=

=

+∞ˆ

0

[limh→0

e−(s+h)t − e−st

h

]f (t)

tdt =

= −+∞ˆ

0

�t e−st f (t)

�tdt =

= − Lf(t) (s)

Integrando si ottiene

+∞ˆ

s

dLg(t) (p)

dpdp = −

+∞ˆ

s

Lf(t) (p) dp

(1.4.4)

limp→+∞

Lg(t) (p)− Lg(t) (s) = −+∞ˆ

s

Lf(t) (p) dp

Vediamo ora le caratteristiche di

g (p) =f (p)

p

osserviamo che per quanto riguarda la continuità generale l’unico punto dolenteè p = 0 in quanto per gli altri punti se f (p) è generalmente continua lo sarà

anchef (p)

p, ma siccome, per ipotesi, esiste finito il lim

p→0

f (p)

pallora g (p) è

generalmente continua in tutto [0 , t0] 8 , inoltre se f (p) è una funzione diordine esponenziale γ significa che esiste un numero reale t0 ≥ 0 tale che∀p > t0 ⇒ |f (p)| ≤ Heγp , ma allora

8Sarebbe sufficiente l’esistena di limp→0+

f (p)

p= K con K finito


|g (p)| =

∣∣∣∣∣f (p)

p

∣∣∣∣∣ ≤≤

|f (p)|t0

≤

≤H

t0eγp

quindi anche g (p) è di ordine esponenziale γ .

Dopo tutto quanto detto succede che alla funzione g (p) possiamo applicare ilteorema 1.24 9 e scrivere che

limp→+∞

Lg(t) (p) = 0

pertanto l’uguaglianza 1.4.4 nella pagina precedente diventa

limp→+∞

Lg(t) (p)− Lg(t) (s) = −+∞ˆ

s

Lf(t) (p) dp

0− Lg(t) (s) = −+∞ˆ

s

Lf(t) (p) dp

Lg(t) (s) =

+∞ˆ

s

Lf(t) (p) dp

e quindi, ritornando alle notazioni originali

Ls

[f (t)

t

]=

+∞ˆ

s

Lp [f (t)] dp

che è quello che volevamo dimostrare. �

Teorema 1.28. (trasformata di Laplace delle funzioni periodiche) Sia f (t) unafunzione reale di variabile reale , periodica con periodo T 10 , supponiamo inoltreche il parametro s sia un numero reale e che l’ascissa di convergenza sia α ,allora per ogni s > α si ha:

9I due modi di indicare le trasformate di Laplace fanno un po’ di confusione e danno un po’ difastidio.

10Tutto ciò significa che f (t + T ) = f (t) ∀t ∈ < .


Ls [f (t)] =

T

0

e−stf (t) dt

1− e−sT

DIMOSTRAZIONE. Infatti abbiamo che:

Ls [f (t)] =

+∞ˆ

0

e−stf (t) dt =

=

T

0

e−stf (t) dt+

2Tˆ

T

e−stf (t) dt

︸︷︷︸poniamo t=z+T

+ · · ·+(n+1)Tˆ

nT

e−stf (t) dt

︸︷︷︸poniamo t=z+nT

+ · · · =

=

T

0

e−szf (z) dz +

T

0

e−s(z+T )f (z + T ) dz + · · ·+T

0

e−s(z+nT )f (z + nT ) dt+ · · · =

=

T

0

e−szf (z) dz + e−sTT

0

e−szf (z) dz + · · ·+ e−nsTT

0

e−szf (z) dz + · · ·

︸︷︷︸f(z) e periodica con periodo T

=

=

[+∞∑n=0

e−nsT

] T

0

e−szf (z) dz

Prendiamo in considerazione la somma della serie+∞∑n=0

e−nsT , se indichiamo

con Sm la sua mesima ridotta, abbiamo che:

Sm =

m∑n=0

e−nsT =

= 1 +

m∑n=1

e−nsT =

= 1 + e−sTm−1∑n=0

e−nsT =

= 1 + e−sT Sm−1

passando al limite per m→ +∞ si ottiene


S = 1 + e−stS

S(1− e−sT

)= 1

S =1

1− e−sT

dove con S abbiamo indicato la somma della serie. Sostituendo nella relazioneprecedente si ottiene

Ls [f (t)] =

T

0

e−stf (t) dt

1− e−sT(1.4.5)

�

Teorema 1.29. (Teorema del valore iniziale e del valore finale) Sia f (t) unafunzione reale di variabile reale di ordine esponenziale γ per t > t0 , inoltref (t) sia continua nell’intervallo [0 ; t0] , allora supponendo che il parametro s

sia un numero reale , che la derivata primadf (t)

dtsia sia generalmente continua

nell’intervallo [0 ; t0] che di ordine esponenziale β per t > t0 e che i limitisottoindicati esistano, allora si ha:

limt→0

f (t) = lims→+∞

sLf(t) (s)

limt→+∞

f (t) = lims→0

sLf(t) (s)

.

DIMOSTRAZIONE. Infatti dalla 1.2.4 a pagina 21

Ls

[df (t)

dt

]= sLf(t) (s)− f (0)

Passando al limite per s→ +∞ si ha che:

lims→+∞

Ls

[df (t)

dt

]= lim

s→+∞

[sLf(t) (s)

]− f (0)

Ricordando il teorema 1.24 a pagina 31, applicato alla funzionedf (t)

dt, abbiamo

che:


0 = lims→+∞

[sLf(t) (s)

]− f (0)

f (0) = lims→+∞

[sLf(t) (s)

]limt→0

f (t)︸︷︷︸f(t) continua in [0;t0]

= lims→+∞

[sLf(t) (s)

]

Dimostriamo la seconda relazione, osserviamo che:

lims→0+

Lf′ (s) = lims→0+

+∞ˆ

0

e−std f (t)

dtdt =

=

+∞ˆ

0

d f (t)

dtdt =

︸︷︷︸Lf′ (s) e continua

= limt→+∞

tˆ

0

d f (u)

dudu =

= limt→+∞

[f (t)− f (0)] =

= limt→+∞

f (t)− f (0)

Calcolando lo stesso limite usando la 1.2.4 a pagina 21 si ottiene

lims→0+

Lf′ (s) = lims→0+

Ls

[df (t)

dt

]=

= lims→0+

Ls

[df (t)

dt

]=

= lims→0+

[sLf(t) (s)− f (0)

]=

= lims→0+

sLf(t) (s)− f (0)

uguagliando i due risultati ottenuti


limt→+∞

f (t)−��f (0) = lims→0+

sLf(t) (s)−��f (0)

limt→+∞

f (t) = lims→0+

sLf(t) (s)

il teorema risulta completamente dimostrato. �

1.5. Trasformata di Laplace di alcune funzioni

Abbiamo già visto che la trasformata dello scalino sca (t) , definita nel seguentemodo f (t) = 1 ∀t ∈ <+ mentre f (t) = 0 ∀t < 0 , è la seguente:(vedi 1.1.2 a pagina 6)

Lsca(t) (s) =1

s

mentre la trasformata della rampa

ram (t) =

t se t ≥ 0

0 se t < 0

è 1.1.4 a pagina 8:

Lram(t) (s) =1

s2

Problema 1.30. Consideriamo ora la seguente funzione:

potn (t) =

tn ∀t ≥ 0

0 ∀t < 0

ossia potn (t) = tn sca (t)

Calcolare Lpotn(t) (s) .

RISOLUZIONE:

Utilizziamo la seguente formula 1.2.4 a pagina 21

Ls

[df (t)

dt

]= sLs [f (t)]− f (0)

dove

f (t) =

t2 ∀t ≥ 0

0 ∀t < 0

ossia f (t) = t2 sca (t)

sostituendo si ottiene

1.5. TRASFORMATA DI LAPLACE DI ALCUNE FUNZIONI 43

Ls [2t] = sLs[t2]

2Ls [t]︸︷︷︸L e lineare

= sLs[t2]

2

s2= sLs

[t2]

Ls[t2sca (t)

]=

2

s3

Ripetiamo il tutto usando

f (t) =

t3 ∀t ≥ 0

0 ∀t < 0

ossia f (t) = t3 sca (t)

si ottiene

Ls[3t2]

= sLs[t3]

3Ls[t2]︸︷︷︸

L e lineare

= sLs[t3]

3 · 2 · 1s2

= sLs[t3]

Ls[t3sca (t)

]=

3!

s4

L’ultima uguaglianza trovata ci suggerisce la regola per calcolare la trasformata dif (t) = tn

Ltn (s) =n!

sn+1(1.5.1)

per dimostrare questa regola in modo rigoroso procediamo per induzione, sup-poniamo che essa sia vera per l’esponente uguale a n e dimostriamo che lastessa formula vale anche quando l’esponente è n + 1 . Infatti con l’esponenteuguale a n+ 1 , utilizzando sempre la 1.2.4 a pagina 21, si ottiene:


Ls

[dtn+1

dt

]= sLs

[tn+1

]+ 0

(n+ 1)Ls [tn] = sLs[tn+1

](n+ 1)n!

sn+1= sLs

[tn+1

]Ls[tn+1

]=

(n+ 1)!

sn+2

La formula 1.5.1 nella pagina precedente risulta così completamente dimostrata.

Osserviamo che la formula di cui sopra vale anche per s complesso, inoltre,grazie alla linearità della trasformata, ci consente di trovare la trasformata di unpolinomio, infatti si ha.

Ls

[n∑i=0

aiti

]=

n∑i=0

aiLs[ti]

︸︷︷︸linearita

=

=

n∑i=0

aii!

si+1=︸︷︷︸

applicata la (1.5.1) di pag. 43

=

n∑i=0

ai i! sn−i

sn+1


sen (t) · sca (t) =

sin (t) ∀t ≥ 0

0 ∀t < 0

Calcolare Lsen(t) (s) .

RISOLUZIONE:

Utilizziamo la 1.4.5 a pagina 40 ed abbiamo che

Lsen(t) (s) =

2πˆ

0

e−st sin (t) dt

1− e−2πs(1.5.2)

1.5. TRASFORMATA DI LAPLACE DI ALCUNE FUNZIONI 45

Calcoliamoê−st sin (t) dt =

ê−std [− cos (t)]

= −e−st cos (t)− sê−st cos (t) dt︸︷︷︸

per parti

=

= −e−st cos (t)− e−st cos (t)− sê−std [sin (t)]

= −e−st cos (t)− s

e−st sin (t) + s

ê−st sin (t) dt︸︷︷︸

per parti

=

= −e−st cos (t)− se−st sin (t)− s2

ê−st sin (t) dt

ê−st sin (t) dt = −e−st cos (t)− se−st sin (t)− s2

ê−st sin (t) dt

[ê−st sin (t) dt

] (1 + s2

)= −e−st cos (t)− se−st sin (t)

ê−st sin (t) dt =

− e−st

1 + s2[cos (t) + s sin (t)]

11

Dal risultato ottenuto si deduce che:

2πˆ

0

e−st sin (t) dt =− e−2πs

1 + s2[cos (2π) + s sin (2π)]−

− e−s 0

1 + s2[cos (0) + s sin (0)] =

=− e−2πs

1 + s2−− e−s 0

1 + s2=

=1− e−2πs

1 + s2

Pertanto la 1.5.2 nella pagina precedente diventa:

11Lo stesso calcolo fatto con Maxima produce il seguente risultato


Lsen(t) (s) =

2πˆ

0

e−st sin (t) dt

1− e−2πs=

=��1− e−2πs

1 + s2

1

��1− e−2πs

=

=1

1 + s2

Che cosa possiamo dire circa Lsen(ωt) (s) , a tal uopo possiamo utilizzare laformula 1.2.1 a pagina 18

Ls [f (at)] =1

aL sa

[f (t)]

ed ottenere che

Lsen(ωt) (s) =1

ωL sω

[sen (t)] =

=1

ω

1

1 +(sω

)2 =

=1

ω

1ω2+s2

ω2

=

=1

�ω

ω �2

ω2 + s2=

(1.5.3)

=ω

ω2 + s2


cos (t) · sca (t) =

cos (t) ∀t ≥ 0

0 ∀t < 0

Calcolare Lcos(t) (s) .

RISOLUZIONE:

Osserviamo che

cos (t) =d sen (t)

dt

1.6. ANTITRASFORMATA DI LAPLACE 47

possiamo pertanto utilizzare la 1.2.3 a pagina 20

Ls

[dsen (t)

dt

]= sLs [sen (t)]

e pertanto

Lcos(t) (s) = s1

1 + s2

=s

1 + s2

Come nel caso precedente avremo:

Lcos(ωt) (s) =1

ωLcos(t)

[ sω

]=

=1

ω

sω

1 +(sω

)2 =

=

s

ω2

ω2 + s2

ω2

=

=s

��ω2

��ω2

ω2 + s2=

(1.5.4)

=s

ω2 + s2

Mi sono stufato di calcolare trasformate di funzioni quindi passiamo all’antitrasfor-mata di Laplace.

1.6. Antitrasformata di Laplace

L’antitrasformata di Laplace è il processo inverso della trasformata di Laplace e sipuò definire nel seguente modo:

Definizione 1.33. (Antitrasformata di Laplace) Sia F (s) una funzione che operatra l’insieme C dei numeri complessi e se stesso, se esiste una funzione f (t) ,che opera tra l’insieme dei numeri reali < e se stesso, tale che Lf(t) (s) = F (s)

allora f (t) definisce l’antitrasformata di F (s) e si pone f(t) = L−1F (s) (t), oppure

f (t) = L−1t [F (s)].


Data una qualunque funzione F (s) di C → C non è detto che esista unafunzione f (t) di < → < tale che Ls [f (t)] = F (s) inoltre se per casoesiste non è detto che essa sia unica.

I problemi di esistenza ed unicità sono molto interessanti dal punto di vista pu-ramente matematico ma dal punto di vista delle applicazioni pratiche non rive-stono poi tutto questo interesse, per cui noi soprassediamo su questa questione,vediamo invece alcune semplici proprietà dell’antitrasformata.

Teorema 1.34. (Linearità dell’antitrasformata) Siano date due funzioni di C→ CF (s) e G (s) le quali ammettano una ed una sola antitrasformata f (t) =L−1t [F (s)] e g (t) = L−1

t [G (s)] allora anche la funzione F (s) + G (s) am-mette almeno una antitrasformata e vale la seguente formula:

L−1t [F (s) +G (s)] = L−1

t [F (s)] + L−1t [G (s)]

DIMOSTRAZIONE. Infatti

Ls [f (t) + g (t)] = Ls [f (t)] + Ls [g (t)] =

= F (s) +G (s)

dalla definizione precedente si può pertanto dedurre che

L−1t [F (s) +G (s)] = f (t) + g (t) =

= L−1t [F (s)] + L−1

t [G (s)]

Manca la dimostrazione che F (s) + G (s) ammetta una sola antitrasformata ,cosa che molto probabilmente è possibile dimostrare. �

Teorema 1.35. (Linearità dell’antitrasformata) Siano data una funzione di C→ CF (s) la quale ammetta una ed una sola antitrasformata f (t) = L−1

t [F (s)]allora anche la funzione aF (s) ammette almeno una antitrasformata e vale laseguente formula:

L−1t [aF (s)] = aL−1

t [F (s)]

DIMOSTRAZIONE. Infatti

Ls [af (t)] = aLs [f (t)] =

= aF (s)

1.6. ANTITRASFORMATA DI LAPLACE 49

pertanto, dalla definizione di antitrasformata

L−1t [aF (s)] = af (t) =

= aL−1t [F (s)]

�

Congettura 1.36. Partiamo dalla proprietà della trasformata espressa dal seguenteteorema ( 1.5 a pagina 15)

Teorema. Sia f(t) una funzione di variabile reale trasformabile secondoLaplace e sia α la sua ascissa di convergenza, che supporremo finita, esia h un qualsiasi numero complesso, allora la funzione f1 (t) = ehtf (t) ètrasformabile secondi Laplace con ascissa di convergenza α + <h inoltre si hache:

Ls [f1 (t)] = Ls[ehtf (t)

]=

= Ls−h [f (t)]

Per semplicità poniamo:

F1 (s) = Ls [f1 (t)]

F (s) = Ls [f (t)]

pertanto possiamo scrivere

f1 (t) = L−1t [F1 (s)]

f (t) = L−1t [F (s)]

inoltre, ricordando il teorema 1.5 a pagina 15 possiamo scrivere:

F1 (s) = F (s− h)

Pertanto

L−1t [F (s− h)] = L−1

t [F1 (s)] =

= f1 (t) =

= ehtf (t) =

= ehtL−1t [F (s)]

In conclusione possiamo affermare che è valida la seguente formula:


L−1t [F (s− h)] = ehtL−1

t [F (s)](1.6.1)

Congettura 1.37. Partiamo dal seguente teorema 1.9 a pagina 18

Teorema. Sia f (t) una funzione trasformabile con ascissa di convergenza αe sia Ls [f (t)] la sua trasformata, se a ∈ < è un numero reale si ha che:

Ls [f (at)] =1

aL sa

[f (t)](1.6.2)

Se poniamo at = z si ottiene che t =z

ae pertanto l’uguaglianza del teorema

diventa:

Ls [f (z)] =1

aL sa

[f

(z

a

)](1.6.3)

Poniamo, come al solito,

F (s) = Ls [f (z)]

f (z) = L−1z [F (s)]

Da quanto detto deduciamo che

F (as) = Las [f (z)] =

=1

aLs

[f

(z

a

)]︸︷︷︸

vedi 1.6.3

=

= Ls

[1

af

(z

a

)]di conseguenza abbiamo che

L−1z [F (as)] =

1

af

(z

a

)Congettura 1.38. Partiamo dalla seguente formula (vedi 1.4.3 a pagina 35):

dnLs [f (t)]

dsn= (−1)

nLs [tnf (t)]

che si può anche scrivere nel seguente modo:

1.7. ANTITRASFORMATA DELLE FUNZIONI RAZIONALI 51

Ls [tnf (t)] = (−1)n dnLs [f (t)]

dsn

Se poniamo F (s) = Ls [f (t)] otteniamo che:

dnF (s)

dsn= Ls

[(−1)

ntnL−1

t [F (s)]]

e quindi dalla definizione di antitrasformata si ottiene:

L−1t

[dnF (s)

dsn

]= (−1)

ntnL−1

t [F (s)]

L−1t

[dnF (s)

dsn

]= (−1)

ntnf (t)

Dagli esempi di trasformata di Laplace prima svolti si è visto che i risultati ottenutisono sempre delle frazioni algebriche proprie nella variabile s , ne consegue chele antitrasformate più interessanti saranno proprio le antitrasformate delle frazionialgebriche proprie, cioè quelle frazioni algebriche che, ridotte ai minimi termini,hanno il numeratore di grado inferiore a quello del denominatore.

1.7. Antitrasformata delle funzioni razionali

Consideriamo le funzioni razionali del tipo

F (s) =

n∑i=0

aisi

m∑i=0

bisi

dove ai e bi sono numeri reali ed il grado del numeratore n è stretta-mente minore del grado del denominatore m .

Definizione 1.39. (zeri e poli) Data una funzione razionale F (s) si chiamanozeri della funzione gli zeri del numeratore, mentre si chiamano poli gli zeri deldenominatore. I poli e gli zeri hanno un certo grado di molteplicità, un polo o unozero si dice semplice se ha molteplicità pari a 1.Per cose ormai note la somma della molteplicità dei poli sarà uguale a m , mentrela somma della molteplicità degli zeri sarà pari a n , inoltre gli eventuali poli o zericomplessi si presentano sempre a coppie di numeri complessi coniugati.

Problema 1.40. Antitrasformata di una frazione algebrica propria avente tuttipoli reali e semplici. Per essere più concreti scegliamo il seguente es-empio


F (s) =2s+ 1

s2 − s− 12

Scomponiamo il denominatore ed eventualmente anche il numeratore ottenendo

F (s) =2s+ 1

(s− 4) (s+ 3)

Esistono due numeri reali A e B tali che

F (s) =A

s− 4+

B

s+ 3

infatti abbiamo che

2s+ 1

(s− 4) (s+ 3)=

A

s− 4+

B

s+ 3

2s+ 1

(s− 4) (s+ 3)=

A (s+ 3) +B (s− 4)

(s− 4) (s+ 3)

2s+ 1

(s− 4) (s+ 3)=

As+ 3A+Bs− 4B

(s− 4) (s+ 3)

2s+ 1

(s− 4) (s+ 3)=

As+ 3A+Bs− 4B

(s− 4) (s+ 3)

2s+ 1

(s− 4) (s+ 3)=

s (A+B) + 3A− 4B

(s− 4) (s+ 3)

Per il principio di identità dei polinomi dovrà essere

A+B = 2

3A− 4B = 1

Risolvendo questo sistema otteniamo

A =

9

7

B =5

7

Quindi possiamo scrivere


F (s) =9

7

(1

s− 4

)+

5

7

(1

s+ 3

)

Per le note proprietà di linearità dell’antitrasformata possiamo scrivere che:

L−1t [F (s)] =

9

7L−1t

[1

s− 4

]+

5

7L−1t

[1

s+ 3

]=

=9

7e4tL−1

t

[1

s

]+

5

7e−3tL−1

t

[1

s

]︸︷︷︸

applicata la 1.6.1 di pag. 50

=

= L−1t

[1

s

]{9

7e4t +

5

7e−3t

}=

= sca (t)

{9

7e4t +

5

7e−3t

}

Problema 1.41. Antitrasformata di una frazione algebrica propria avente tuttipoli reali ma non tutti semplici. Per essere più concreti scegliamo ilseguente esempio

F (s) =s2 + 2

s3 − 3s− 2


F (s) =s2 + 2

(s− 2)(s+ 1)2

Il polo −1 ha molteplicità 2 .

Esistono tre numeri reali A , B e C tali che

F (s) =A

s− 2+

B

s+ 1+

C

(s+ 1)2

infatti abbiamo che


s2 + 2

(s− 2)(s+ 1)2=

A

s− 2+

B

s+ 1+

C

(s+ 1)2

s2 + 2

(s− 2)(s+ 1)2=

A (s+ 1)2

+B (s− 2) (s+ 1) + C (s− 2)

(s− 2)(s+ 1)2

s2 + 2

(s− 2)(s+ 1)2=

(s− 2)C + (s2 − s− 2)B + (s2 + 2s+ 1)A

(s− 2)(s+ 1)2

s2 + 2

(s− 2)(s+ 1)2=

sC − 2C + s2B − sB − 2B + s2A+ 2sA+A

(s− 2)(s+ 1)2

s2 + 2

(s− 2)(s+ 1)2=

s2 (A+B) + s (2A−B + C) +A− 2B − 2C

(s− 2)(s+ 1)2

Per il principio di identità dei polinomi dovrà essere

A+B = 1

2A−B + C = 0

A− 2B − 2C = 2

Risolvendo questo sistema otteniamo

A =2

3

B =1

3

C = −1

Pertanto si può scrivere

F (s) =2

3

(1

s− 2

)+

1

3

(1

s+ 1

)−

1

(s+ 1)2

Grazie alla linearità dell’antitrasformata possiamo scrivere


L−1t [F (s)] =

2

3L−1t

[1

s− 2

]+

1

3L−1t

[1

s+ 1

]− L−1

t

[1

(s+ 1)2

]=

=2

3e2tL−1

t

[1

s

]+

1

3e−tL−1

t

[1

s

]− e−tL−1

t

[1

s2

]︸︷︷︸


=

= L−1t

[1

s

]{2

3e2t +

1

3e−t

}− e−tL−1

t

[1

s2

]=

= sca (t)

{2

3e2t +

1

3e−t

}− e−tt sca (t) =

= sca (t)

{2

3e2t +

1

3e−t − e−tt

}Problema 1.42. Antitrasformata di una frazione algebrica propria avente policomplessi coniugati . Per essere più concreti scegliamo il seguente esem-pio

F (s) =s+ 2

s3 + s2 + 3s− 5


F (s) =s+ 2

(s− 1)(s2 + 2s+ 5)

Esistono tre numeri reali A , B e C tali che

F (s) =A

s− 1+

Bs+ C

s2 + 2s+ 5

quindi:

s+ 2

(s− 1)(s2 + 2s+ 5)=

A

s− 1+

Bs+ C

s2 + 2s+ 5

s+ 2

(s− 1)(s2 + 2s+ 5)=

A(s2 + 2s+ 5

)+ (Bs+ C) (s− 1)

(s− 1) (s2 + 2s+ 5)

s+ 2

(s− 1)(s2 + 2s+ 5)=

s2 (A+B) + s (2A−B + C) + (5A− C)

(s− 1) (s2 + 2s+ 5)

pertanto dovrà essere soddisfatto il seguente sistema


A+B = 0

2A−B + C = 1

5A− C = 2

che produce i seguenti risultati

A =3

8

B = −3

8

C = −1

8

ne consegue che si potrà scrivere:

F (s) =3

8 (s− 1)−

3s

8 (s2 + 2s+ 5)−

1

8 (s2 + 2s+ 5)

F (s) =3

8

1

(s− 1)−

3

8

(s+ 1)− 1[(s+ 1)

2+ 22

]− 1

8[(s+ 1)

2+ 22

]F (s) =

3

8

1

(s− 1)−

3

8

(s+ 1)[(s+ 1)

2+ 22

]+1

8

2[(s+ 1)

2+ 22

]Dopo aver scritto tutte queste belle cose possiamo finalmente passare all’anti-trasformata:

L−1t [F (s)] =

3

8L−1t

[1

s− 1

]−

3

8L−1t

(s+ 1)[(s+ 1)

2+ 22

]+

1

8L−1t

2[(s+ 1)

2+ 22

]

L−1t [F (s)] =

3

8etL−1

t

[1

s

]−

3

8e−tL−1

t

(s)[(s)

2+ 22

]+

1

8e−tL−1

t

8[(s)

2+ 22

]

︸︷︷︸applicata la 1.6.1 di pag. 50

L−1t [F (s)] =

3

8etsca (t)−

3

8e−tcos (2t) sca (t) +

1

8e−tsen (2t) sca (t)︸︷︷︸


1.8. MATERIALE USATO 57

1.8. Materiale usato

Scrittura: LYX [LyX]

Disegno: • Inkscape [Inkscape]

• Libre Office Draw [Libre Office Draw]

Matematica: • GeoGebra [Geogebra]

• Maxima [wxMaxima]

Indice analitico

Antitrasformata di Laplace, 47ascissa di convergenza, 13

derivata della trasformata, 34

funzione di ordine esponenziale gamma, 27funzioni generalmente continue, 26

insieme misurabile, 23

Linearità dell’antitrasformata, 48Linearità dell’antitrasformata, prodotto, 48linearità della trasformata di Laplace, 14

prodotto di convoluzione, 22proprietà del cambiamento di scala, 18

Seconda proprietà di traslazione, 17semipiano di convergenza, 14

Teorema del valore iniziale e del valore finale,40

Teorema della divisione per t, 35trasformata di Laplace, 5trasformata di Laplace delle funzioni

periofiche, 38

zeri e poli, 51

59

Bibliografia

[1] Francesco G. Tricomi. Istituzioni di Analisi superiore. CEDAM, Padova, 1970.

61

Bibliografia

[Geogebra] GeoGebra - Dynamic Mathematics for Everyone http://www.geogebra.org/[wxMaxima] wxMaxima è un’interfaccia utente grafica basata sui wxWidgets per il

sistema algebrico computerizzato Maxima. http://andrejv.github.com/wxmaxima/

[Inkscape] Vector Drawing Program http://inkscape.org/[LyX] LYX : sistema per la preparazione di documenti http://www.lyx.org/[Libre Office Draw] Parte dedicata al disegno della suite LibreOffice http://www.libreoffice.

org/

63

http://www.geogebra.org/

http://andrejv.github.com/wxmaxima/

http://andrejv.github.com/wxmaxima/

http://inkscape.org/

http://www.lyx.org/

http://www.libreoffice.org/

http://www.libreoffice.org/

Trasformata di Laplace14 1. TRASFORMATA DI LAPLACE Tutto il semipiano è formato da punti nei quali...

Documents

Transcript of Trasformata di Laplace14 1. TRASFORMATA DI LAPLACE Tutto il semipiano è formato da punti nei quali...