Transport thermique

1

Contexte• Miniaturisation de transistors → Problème auto-échauffement local + due à l’émission de phonon par électrons chauds + Réduction de mobilité d ’électrons (Si : μe~ T-3/2) et performance non-optimale de dispositifs

• Méthode pour résoudre problème thermique : + Echelle macroscopique : Loi de Fourrier + Echelle micro à nano : BTE + Echelle nano (qqs nm) : Fonction de Green→ BTE est un candidat approprié pour décrire le transport de phonon

- MC simulation pour le transport d’électrons à l’équilibre et hors-équilibre et pour évaluer la génération de phonon par interaction électron-phonon.*- BTE pour la transport de phonons

1

10

100

1000

104

105

106

107

1980 1990 2000 2010

Nb transistors(/1000)

Horloge (MHz)

Puissance (W)

CPU Intel (tendances)Source : Intel, Wikipedia, K. Olukotun

2

Quantités physiques obtenues de E-MC

6 nm

20nm 100nm20nm

5x1019 cm-3 5x1019 cm-31015 cm-3

TSiO2 = 1.2nm

3

6 nm

20nm 100nm20nm

5x1019 cm-3 5x1019 cm-31015 cm-3TSiO2 = 1.2nm

Vg = 0.7V

Génération donnée par E-MC

4

Vds = 1.0V Puissance - Vds

Longueur de relaxation

Plus la polarisation est forte, plus le scattering est important et plus le transport est hors-équilibre.

Distribution spatiale de phonons émis6 nm

20nm 100nm20nm

5x1019 cm-3 5x1019 cm-31015 cm-3

TSiO2 = 1.2nm

Vg = 0.7V, Vds = 1.2V

• Emission de phonon principalement dans le drain.

• Elargissement de plage d’énergie émise à fort champ (au début du drain).

5

Equation de Boltzmann (BTE)

• Approximation semi-classique -> Fonction de distribution f(r,k,t)• Evolution de f(r,k,t) -> BTE

• Résolution directe vs. Résolution stochastique + Pour électrons : 3D dans l’espace réciproque (même dans l’espace réelle 2D) -> coût de ressource informatique -> résolution stochastique + Pour phonons : pas de force F -> 2D en espace réelle (film) -> résolution directe

, ,r kcoll

f fv f F f G r k tt t

kFt

1

kv E k

Ou E(k) est la relation de dispersion

Variation de f dûe aux collisions

Taux net de génération (E-P interaction)

Approx. de temps de relaxation (RTA)

equilibrium

coll

f fft

6

Approximation RTA

1

( ) exp 1scattT

B scatt

qN q

k T

BTE par mode en utilisant Relaxation Time Approximation

Equation de Fourier . ( ) ( ) 0r rr scatt thT P

( , ) ( , )( ). ( , ) ( )

( )Tscatt

r e ph

N r q N r qv q N r q G q

q

, ,

( )Tscatt

coll

N r q N r qNt q

Eq. de Fourier -> Tscatt utilisé dans RTA pour BTE

BTE « directe » : (rx,ry,rz,qx,qy,qz) ex : matrice 306 X306 = 7290000002

7

Harmoniques sphériques d’ordre 1

2.

1 ( , ) ( , ) ( , )3 r

scatt

v q qN r q N r q G r q qs T e ph

Développement harmoniques sphériques : ordre 1

Eq. de Fourier -> Tscatt -> BTE « directe ou harmonique »

=> distribution de phonons

( , ) ( , ) ( , )s p p g r sN r q N r q V q N r q

BTE «  harmoniques  » : (rx,ry,q) ex : matrice 303 X303 = 270002

,N r q

8

Et la température ?

• Mais hors équilibre ????? Ici, nombre de phonons par mode -> Tmode , nb. total de phonons -> Teff

• Autre inversion N(q) avec la distribution de Bose-Einstein

• En physique, elle se définit de plusieurs manières : comme fonction croissante du degré d’agitation thermique des particules (en théorie des gaz) (T=2/3.Ec/kb), par l’équilibre des transferts thermiques entre plusieurs systèmes ou à partir de l’entropie (en thermodynamique et en physique statistique) (T=dU/dS|V,n)

(cf wikipedia)

1

( ) exp 1scattT

B scatt

qN q

k T

9

Nécessiter :• ζ(q) : temps de relaxation• : relation de dispersion v q

• Relation de dispersion (Pop JAP 2004) • Temps de relaxation (Holland PRB 1963)

• Libre parcours moyen

20 sw w v q cq

q v q q

10

( , ) ( , )( ). ( , ) ( )

( )Tscatt

r e ph

N r q N r qv q N r q G q

q

1, 1, 1, 1,

1 1

, 1 , 1 , 1 , 1

1 1

2 ( )

2 ( )

i j i j i j i j

i i

i j i j i j i j

j j

n n n nn

x x x x in n n n

ny y y y j

01, 1, , 1 , 1 ,

,1

3 2 ( ) 2 ( )g i j i j i j i j i j

i j

V n n n n nn

x i y j

• Discrétisation :• Décompositions spatiales:+ Nœud selon x : 1, 2, 3, … Nx+ Nœud selon y : 1, 2, 3, … Ny

Le vecteur n dimensions Nx*Ny :nt = n1,1 n1,2… n1,Ny n2,1 … n2,Ny … ni,j …nNx,1 …nNx,Ny

• Décomposition de dérivée :

On peut maintenant écrire l’équation (2) sous la forme discrétisée :

avec i = 2 :(Nx-1) et j = 2 :(Ny-1).

Mise sous forme matricielle

+ Condition aux limites 11

Tg

Td

adiabatique

Résolution numérique

1 12

1 2

1 2

1 2

1

0 0 00 0

0 00 0 00 0

0

0 0 Nx Nx

Q RR Q R

H R Q R

R Q R

R Q

H.N=C => N=H-1.C

12

BTE directe : Température vs longueur

• Nous : résultats en cohérence avec les résultats de BTE transitoire.• Le transport est moins balistique dans notre résolution de BTE

(numérique) que dans le modèle de Lacroix (méthode Monte Carlo)

Nous LacroixNarumanchiPRB 2005

Résoudre BTE ss approx. par méthode MC

Trans. ASME 2004

Résoudre BTE transitoire pour énergie

Résoudre BTE directe en utilisant Tscatt donnée par

Eq. de Fourrier

13

BTE directe : Régime DiffusifL = 4 μm

Spectres en q quasi symétriques, quasi équilibres

Spectres en q

14

BTE directe : Régime balistique

L = 2 nmSpectres en q

• Spectres en q dissymétriques, hors équilibres

15

BTE harmonique

16

Profil de température le long du barreau

L = 2 μm L = 2 nm

• Régime diffusif - > Ok• Régime balistique -> BTE harmonique n’est pas validé.

Longueur du drainVds = 1.5 V, Vg = 0.7 V

S20-C20-D100 S20-C20-D50 S20-C20-D20

17

Effet de la longueur de drain

S20-C20-D100 S20-C20-D50 S20-C20-D20

Vds = 1.0 V, Vg = 0.7 VBTE directe

BTE harmonique

18

Effet de la longueur de drain

S20-C20-D100 S20-C20-D50S20-C20-D20

Vds = 1.5 V, Vg = 0.7 VBTE directe

BTE harmo

19

Comparaison T – S20-C20-D100

20

Vds BTE Teff Tfour TLA TTA TLO TTO

Vds1.0 Vg0.7

Directe 342.2 340,6 344.1 341.0 341.2 334.4Harmo 342,4 340,6 344,3 341,3 342 346,2

Vds1.5 Vg0.7

Directe 371.0 363 379.8 366.1 364.2 369.3Harmo 369,4 363 376,4 365,1 363 387

Dans le cas d’un dispositif avec le drain assez longue (voir bien la longueur de relaxation), températures obtenues par BTE directe et BTE harmonique sont près.

Comparaison T – S20-C20-D20

Vds BTE Teff Tfour TLA TTA TLO TTO

Vds1.0 Vg0.7

Directe 309,5 305,2 313,8 307,1 307.8 308,9Harmo 312,5 305,2 312,1 309,5 311,2 321,3

Vds1.5 Vg0.7

Directe 331,1 313,7 344,9 324,1 322 342.5Harmo 337 313,7 336 329 330 368

BTE harmonique : sur- estime les températures des 4 types de phonons et en conséquence Teff par rapport à BTE directe.

21

Transport hors-équilibreVds=1.5, Vg = 0.7

• Les 2 BTE montre l’effet hors- équilibre le long du dispositif.• Au point « chaud », les 4 modes sont loin d’état équilibre. Ils tendent au régime équilibre

au fur et à mesure le long du dispositif.• Le fait que LA est plus favorisé par BTE directe que par BTE harmonique, le transport de LA

est plus hors- équilibre en résolvant BTE directe .

BTE directe BTE harmonique

22

BTE directe : transport hors-équilibre Vds

S20-C20-D20Vds=1.5, Vg = 0.7 Vds=1.0, Vg = 0.7

Plus champ est fort, plus transport est hors équilibre. 23

BTE directe : Flux thermiqueS20-C20-D50

Vds=1.5, Vg = 0.7( ) ( , ) ( ) ( )x gxq

J r n r q q V q

• Importance de LA • Rapport de flux + Le long du dispositif :

+ Au point « chaud » :

2LA TA

LO TO

JJ

3LA TA

LO TO

JJ

24

A faire …Couplage électron-phonon dans Monaco

eMC

Scattering E-PTaux net de

génération de phonon

Entrées pour BTEP

Scattering p-pDistribution de phonons

Scattering e-p pour

eMC

Convergence de courant

… ?

25