Transiciones Electromagnéticas · que veriﬁcan Φ = 0 y el gauge de Coulomb caracterizados como:...

Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica

Transiciones Electromagnéticas

Rodolfo M. Id Betan1,2

1Instituto de Física Rosario - Conicet. Argentina2Facultad de Ciencias Exactas - Universidad Nacional de Rosario. Argentina

Curso: Física Nuclear20/05/2014


Outline

1 Motivacion

2 Hamiltoniano

3 Hamiltoniano del campo

4 Operadores de Transición

5 Probabilidades de Transición

6 Momentos multipolares

7 Práctica


Decaimiento gamma

Los decaimientos gamma(γ) son transiciones electromagnéticas

entre diferentes estados del núcleo.

En el decaimiento gamma no se emite ninguna partícula con masa.

AZ X∗ →A

Z X + γ AZ X∗ →A

Z (X∗)′ + γ

La radiación gamma es una partícula sin masa con spin intrínsico

S = 1.

Un estado excitado del núcleo decae a otro estado de menor enegía

emitiendo un fotón γ.


Decaimiento gamma

La energía de la partícula γ es igual a la diferencia de energía entre

los estado inicial y final.

La emisión de la partícula γ suele aparecer en las desintegracionesalfa y beta.

Crédito: wikipedia


Decaimiento gamma

El decaimiento gamma puede utilizarce para confirmar la asignación

de configuraciones.

Definición de Q

Momento cuadrupolar (L = 2) eléctrico Q de una partícula.

Definición de µ

Momento dipolar (L = 1) magnético µ de una partícula.


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1 Motivacion

2 Hamiltoniano





7 Práctica


Hamiltoniano

Hamiltoniano de un nucleón con carga e y momento magnético µµN

en presencia de un campo electromagnético:

H =1

2m

(

p − e

cA)2

−µe~

2mcσ ·(∇×A)+V (r)+f (r)σ ·

[

r ×(

p − e

cA)]

con eproton = e, eneutron = 0, µproton = 2.79, µneutron = −1.91,

µN = e~/2mc.

Intensidad del campo eléctrico y magnético

E = −1

c

∂A

∂tB = ∇× A


Hamiltoniano

H =1

2m

(

p − e

cA)2

−µe~

2mcσ ·(∇×A)+V (r)+f (r)σ ·

[

r ×(

p − e

cA)]

Interacción del momento dipolar del nucleón con el campomagnético:

−µe~

2mcσ · B

Interacción electromagnética debido a la presencia de la interacción

spin-orbit:

−e

cf (r)σ · (r × A)


Hamiltoniano

Hamiltoniano total de interacción para la emisión de radiación:

H = Hnucl + Hfield + Hint

Nuclear

Hnucl |Ψi〉 = Ei |Ψi〉

Campo

Hfield =1

8π

∫

[

E2 +B

2]

d3r

(usando unidades de Gauss)


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1 Motivacion

2 Hamiltoniano





7 Práctica


Hamiltoniano del campo

Campo

Hfield =1

8π

∫[

1

c2A

2+ (∇× A)2

]

d3r

Ecuación de onda

∇2A − 1

c2

∂2

∂t2A = 0

Transformada de Fourier: ecuación de Helmholtz

(∇2 + k2)A = 0



Separación de la radiación eléctrica y magnética en el potencial del

campo (P. Ring and P. Schuck. The nuclear Many-Body Problem.2004):

Momento angular del fotón

El fotón tiene espin S = 1 con autofunción eSMS

También tiene momento angular L con autofunción YLM

El momento angular total del fotón es I = L + S con autofunción

[eSYL]IMI= L√

L(L−1)YIMI

⇒ L = I − 1, I, I + 1.

Condición de transversabilidad

Se buscan soluciones con Φ = 0 y ∇A = 0 (gauge de Coulomb).



Soluciones parciales

Exiten dos soluciones de la ecuación de Helmholtz (∇2 + k2)A = 0

que verifican Φ = 0 y el gauge de Coulomb caracterizados como:

Radiación eléctrica AEkLM con ΠAE

kLM = (−)LAEkLM .

Radiación radiación magnética AMkLM con ΠAM

kLM = (−)L−1AMkLM .

El número de onda k se discretiza usando las condiciones de

contorno E‖ = 0 y B⊥ = 0 en la superficie de una esfera de radio

mucho mayor que el radio nuclear.

Solución general

A(r , t) =∑

ξkLM

{

a∗ξkLMA

ξkLM(r)e−ikct + c.c

}

con ξ = {E ,M}




Hfield =∑

ξkLM

(~ck)1

2

(

a∗ξkLMaξkLM + c.c

)

Cuantificación del campo electromagnéctico

Hfield es el Hamiltoniano del oscilador armónico Hho = ~ωa∗a, al quese le puede aplicar las reglas de cuantización canónica: las variables

a∗ y a son reemplazadas por operadores de creación a† y de

destrucción a con:

[aξkLM , aξ′k ′L′M′ ] = 0 [aξkLM , a†ξ′k ′L′M′ ] = δξξ′δkk ′δLL′δMM′



Fotón eléctrico

a†EkLM

Fotón magnético

a†MkLM

Hamiltoniano del campo en segunda cuantificación

Hfield =∑

ξkLM

(~ck)

(

a†ξkLMaξkLM +

1

2

)


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2 Hamiltoniano





7 Práctica


Aproximación de Longitud de Onda Larga

El potencial vector A(r) se expande en la base:

uLM = jL(kr)YLM(θ, φ)

siendo jL las funciones de Bessel esféricas (regular en cero) y ~k elmomento del fotón emitido (con energía E = ~ck ).

Aproximación de longitud de onda larga

kr =E

~cR ∼= E

~cr0A1/3 = 0.036E ≪ 1

para A=208 (208Pb) y E del orden del MeV.

Base en la aproximación de longitud onda larga

uLM∼= (kr)L

(2L + 1)!!YLM(θ, φ)


Operador Transición Eléctrica

Operador que describe la emisión de la radiación multipolar eléctrica

del nucleón i (Theory of the Nuclear Shell Model. R. D. Lawson.1980)

(T(E)LM )i = ei r

LYLM(θ, φ) + iµiµNE

~c

(

1

L + 1

)

σ × r ·{

∇rLYLM(θ, φ)}

ei es la carga del nucleón con eproton = e, eelectron = 0; µiµN es elmomento magnético con µproton = 2.79, µneutron = −1.91,

µN = e~/2mc.

Usando la identidad (σ × r)ν = −i√

8π3

r [σ × Y1]1ν ,...

y utilizando el teorema de Wigne-Eckart...

y evaluando los elementos de matriz reducido:



(T(E)LM )i = ei r

LYLM(θ, φ) − µiµNE

~crL

√

L

L + 1[YL(θ, φ) × σ]LM

Donde E es la energía del rayo gamma e igual a la diferencia entre

las energías de los niveles inicial y final.

El término de spin-orbit, que contiene f (r) en el Hamiltoniano de

interacción, no está presente en el operador de transión eléctrica (R.G. Sachs and N. Austern, Phys. Rev. 81, 705. 1951).

Relación entre el primer y segundo término:

R =µiE

2mc2∼= 1.5 × 10−3

con E = 1MeV y µi = µproton.



Operador multipolar eléctrico

T(E)LM =

A∑

i=1

(T(E)LM )i =

A∑

i=1

ei rLi YLM(θi , φi )

eproton = e, eneutron = 0.

Reglas de selección

Las reglas de selección son válidas tanto para el momento angular y

paridad total como para cada nucleón individual:

|Ji − Jf | 6 L.

∆(parity) = (−1)L.

L = 0 prohibido (T(E)00 =cte).

Ejemplo

(p1/2, g9/2)5− E1−−−→ (g9/2)24+ : prohibida (total: ok, parcial: no ok)


Operador Transición Magnética

(T(M)LM )i =

{

ei~

(L + 1)mc

}

l · (∇rLYLM) + µiµNσ · (∇rLYLM)

− ei

~c

[

f (r)

L + 1

]

{

r × (r ×∇rLYLM)}

Utilizando argumentos similares que para el caso eléctrico (Theory ofthe Nuclear Shell Model. R. D. Lawson. 1980)


Operador Transición Magnética

Operador multipolar magnético

T(M)LM =

A∑

i=1

(T(M)LM )i

=µN

~c

A∑

i=1

[

2

L + 1gl(i)l i + gs(i)si

]

· ∇i [rLi YLM(θi , φi)]

g son los factores giromagnéticos que redefinen las constantes en la

ecuación original de (T(M)LM )i : gl(proton) = 1, gl(neutron) = 0,

gs(proton) = 5.586, gs(neutron) = −3.826.

Reglas de selección radiación ML

|Ji − Jf | 6 L.

∆(parity) = (−1)L−1.

L = 0 prohibido (∇rL=0 = 0).


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2 Hamiltoniano





7 Práctica


Probabilidad de Transición por unidad de tiempo

Definición (From Nucleons to Nucleus. J. Suhonen. 2007)

El sistema núcleo más campo interactúan en forma débil, de modo

que la interacción puede ser tratada como una perturbación.

La transición desde un estado inicial ΨJiMia un estado final ΨJf Mf

es

mediada por uno de los términos de la expansión multipolar del

campo electromagnético: T(E)LM o T

(M)LM .

La probabilidad de transición por unidad de tiempo, calculada con la’golden rule’ de la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo,

da (en unidades Gaussiana. Para pasar al SI: 8π~

→2

ǫ0~)

T(ξLM)fi =

8π

~

L + 1

L[(2L + 1)!!]2

(

Eγ

~c

)2L+1

|〈ΨJf Mf|T (ξ)

LM |ΨJi Mi〉|2



Promediando sobre los estados iniciales, sumados sobre los estados

finales y M resulta:

T(ξL)fi =

1

2Ji + 1

∑

Mi Mf M

T(ξLM)fi

Como la probabilidad de transición depende de la energía del rayo

gamma emitido es conveniente definir la probabilidad de transiciónreducida B(ξL; Ji → Jf )

T(ξL)fi =

8π

~

L + 1

L[(2L + 1)!!]2

(

Eγ

~c

)2L+1

B(ξL; Ji → Jf )



Probabilidad de Transición reducida

B(ξL; Ji → Jf ) =1

2Ji + 1

∑

Mi Mf M

|〈ΨJf Mf|T (ξ)

LM |ΨJi Mi〉|2

=1

2Ji + 1|〈ΨJf

||T (ξ)L ||ΨJi

〉|2

Propiedad de la emisión de la radiación gamma

(2J1 + 1)B(ξL; J1 → J2) = (2J2 + 1)B(ξL; J2 → J1)

Unidades

[B(EL)] = e2fm2L

[B(ML)] =(

µN

c

)2fm2L−2



Cociente entre la probabilidad de transición por unidad de tiempo

T (ξL) y la probabilidad de transición reducidad B(ξL) para distintas

transiciones multipolares: ω(ξL) = T (ξL)/B(ξL) (Theory of theNuclear Shell Model. R. D. Lawson. 1980)

L 2L ω(EL) ω(ML)

1 Dipolar 1.59 × 1015 E3 1.76 × 1013 E3

2 Cuadrupolar 1.23 × 109 E5 1.35 × 107 E5

3 Octupolar 5.72 × 102 E7 6.31 × 100 E7

4 Hexadupolar 1.70 × 10−4 E9 1.88 × 10−6 E9

5 3.47 × 10−11 E11 3.82 × 10−13 E11

6 5.12 × 10−18 E13 5.65 × 10−20 E13

La transición más probable es la de menor multipolaridad 2L.

Con frecuencia la trasición cuadrupolar eléctrica compite con ladipolar magnética: se define E2/M1 mixing ratio

∆(E2/M1) =〈ΨJf

||T(E)

2||ΨJi

〉

〈ΨJf||T

(M)1

||ΨJi〉.


Probabilidad de Transición

Tiempo de vida

El recíproco de la probabilidad de transición por unidad de tiempo Tif

del decaimiento gamma del estado inicial i al estado final f define eltiempo de vida T (en segundos) de la transición :

T =1

Tif

Tiempo de vida media se define como

τ =ln2

Tif

Tiempo de vida media cuando existen muchos estados finales

Usando la aditividad de Tif resulta:

1

τ=

∑

f

1

τ fcon τ f el tiempo de vida medio parcial


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1 Motivacion

2 Hamiltoniano





7 Práctica


Momentos multipolares

Los momentos multipolares son sensibles a las funciones de onda

usada para calcularlos.

Momentos electromagnéticos multipolares: Definición

T (ξL) ≡ 〈JMJ = J |T (ξ)L0 |JMJ = J〉

se lo define con MJ = J y M = 0.

Ejemplo: momento dipolar magnético µ

µ

c≡

√

4π

3T (M1)

Ejemplo: momento cuadrupolar elétrico Q

eQ ≡√

16π

5T (E2)


2L momentos de una partícula

Momento dipolar (2L=1 = 2) magnético µ de una partícula en elestado j

µ =

√

4π

3

√

j

(j + 1)(2j + 1)〈j||T (M1)||j〉

µ = µN1 − (−)l+j+ 1

2 (2j + 1)

4(j + 1)

{

gs − gl

[

2 + (−1)l+j+ 12 (2j + 1)

]}

La integral radial es 1 porque las funciones están normalizadas (verdetalles en la sección Práctica:

∫

Rj(r) rL−1 Rj(r) r2dr ).



Momento dipolar (2L=1 = 2) magnético µ de una partícula en elestado j

µ(j = l +1

2) = µN

{

gl j +1

2(gs − gl)

]

µ(j = l − 1

2) = µN

{

gl j − j

2j + 2(gs − gl)

]

(1)

Se define como Schmidt lines la gráfica de µ(j = l ± 12) versus j.

Los valores experimentales de los momentos dipolares de todos los

núcleos impares (no sólo los de una partícula) se encuentrancomprendidos entre las lineas de Schmidt. Los valores

experimentales pueden reproducirse usando µ(j = l ± 12) con valores

efectivos de los factores g.



Momento cuadrupolar (2L=2 = 4) eléctrico Q de una partícula enel estado j

Q =

√

16π

5

√

j(2j − 1)

(j + 1)(2j + 1)(2j + 3)〈j||T (E2)||j〉

Q =3 − 4j(j + 1)

2(j + 1)(2j + 3)

∫

R2(r) r4dr

Q es sensible a la función de onda.


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1 Motivacion

2 Hamiltoniano





7 Práctica


Transiciones electromagnéticas en núcleos de una partícula

Estados de una partícula

|ΨJi〉 = |ji〉 = c†

i |0〉 |ΨJf〉 = |jf 〉 = c†

f|0〉


T(ξL)fi =

2

ǫ0~

L + 1

L[(2L + 1)!!]2

(

Eγ

~c

)2L+1

B(ξL; Ji → Jf )

Probabilidad de Transición reducida

B(ξL; Ji → Jf ) =1

2Ji + 1|〈ΨJf

||T (ξ)L ||ΨJi

〉|2


Transiciones electromagnéticas en núcleos de una partícula

Elemento de matriz reducido

〈ΨJf||T (ξ)

L ||ΨJi〉 = L−1

∑

ab

〈a||T (ξ)L ||b〉〈jf ||[c†

acb]L||ji〉

con 〈jf ||[c†a cb]L||ji〉 = Lδaf δbi

〈Ψjf ||T(ξ)L ||Ψji 〉 = 〈jf ||T (ξ)

L ||ji 〉


Transiciones electromagnéticas en núcleos de una partícula o un agujero

Probabilidad de transición reducida en núcleos de una partícula

B(ξL; Ji → Jf ) =1

2ji + 1|〈jf ||T (ξ)

L ||ji 〉|2

con |ΨJi〉 = c

†i |0〉; |ΨJf

〉 = c†f |0〉 y ξ = {E ,B}

Probabilidad de transición reducidad en núcleos con un agujero

B(ξL; Φji → Φjf ) =1

2ji + 1|〈jf ||T (ξ)

L ||ji〉|2

con |Φi〉 = h†i |0〉; |Φf 〉 = h

†f |0〉 y ξ = {E ,B}

Queda pendiente dar los valores de los elemento de matriz reducido

〈a||T (ξ)L ||b〉


Elemento de matriz reducido eléctrico

Elemento de matriz reducido eléctrico de una partícula

〈a||T (E)L ||b〉 =

e

4π(−)jb+L− 1

21 + (−)la+lb+L

2Lja jb

(

ja jb L12

− 12

0

)

∫

Ra(r) rL Rb(r) r2dr

Para tener en cuenta correlaciones partícula-agujero se suele utilizarvalores efectivos para las cargas: eproton = (1 + χ)e, eneutron = χdonde χ se la define como la constante de polarización eléctrica.


Elemento de matriz reducido magnético

Elemento de matriz reducido magnético de una partícula

〈a||T (B)L ||b〉 =

µN

c√

4π(−)jb+L− 1

21 + (−)la+lb+L

2Lja jb

(

ja jb L12

− 12

0

)

(L − κ)

[

gl

(

1 +κ

L + 1

)

− 1

2gs

]

∫

Ra(r) rL−1 Rb(r) r2dr

con κ = (−1)la+ja+12 (ja +

12) + (−1)lb+jb+

12 (jb + 1

2)

Utilizando valores efectivos para los coeficientes giromagnéticos se

pueden reproducir los valores experimentales del momento dipolar

magnético.


Niveles de energía de los núcleos 15N y 15O

Crédito: J. Suhonen, From Nucleons to Nucleus. 2007.


Probabilidad de transición reducida

J. Suhonen, From Nucleons to Nucleus. 2007:

Transición E2

B(E2; (0p3/2)−1 → (0p1/2)

−1) =1

4(〈0p1/2||T (E)

2 ||0p1/2〉)2

B(E2;15 N) = 4.270e2fm4

B(E2;15 O) = 0

utilizando oscilador armónico como función de onda con longitud del

oscilador b = 1.1712 fm.

B(E2;15 O) sería no nulo usando carga efectiva.


Probabilidad de transición reducida

J. Suhonen, From Nucleons to Nucleus. 2007:

Transición M1

B(M1; (0p3/2)−1 → (0p1/2)

−1) =1

4(〈0p1/2||T (M)

1 ||0p1/2〉)2

=1

4(−0.564gl + 0.564gs)

2(µN

c

)2

no depende de la función de onda.

B(M1;15 N) = 1.673(

µN

c

)2

B(M1;15 O) = 1.164(

µN

c

)2


Probabilidad de transición

Utilizando la relación entre la probabilidad de transición y la

probabilidad de transición reducida:

T(ξL)fi =

2

ǫ0~

L + 1

L[(2L + 1)!!]2

(

Eγ

~c

)2L+1

B(ξL; Ji → Jf )

y utilizando la enegía experimental Eγ = ε0p3/2 − ε0p1/2, calculamosla probabilidad de transición por untidad de tiempo para cada

decaimiento T(M1)fi y T

(E2)fi (J. Suhonen, From Nucleons to Nucleus.

2007):

T(E2)fi (15O) = 0 s−1

T(M1)fi

(15O) = 4.878 × 1015 s−1

T(E2)fi (15N) = 5.282 × 1013 s−1

T(M1)fi (15N) = 7.527 × 1015 s−1


Tiempo de vida medio

Finalmente, utilizando la relación entre el tiempo de vida medio y laprobabilidad de transición: τ = ln2

T(ξL)

if

Obtenemos:

15O

τ(M1;15 O) = ln2

T(M1)

fi(15O)

= 1.421 × 10−16 s = 0.14 fs

τexp(15O) < 1.74 fs (www.nndc.gov).

15N

τ(E2+M1;15 N) = ln2

T(E2)

fi(15N)+T

(M1)

fi(15N)

= 9.145×10−17 s = 0.09 fs

τexp(15N) = 0.146 ± 0.008 fs (www.nndc.gov).

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