Transformée hyperbolique en ondelettes pour la...

Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes

Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie

Autres modeles

Transformee hyperbolique en ondelettes pour lacaracterisation d’images autosimilaires anisotropes

Roux, S.G.1; Clausel, M.2; Vedel, B. 3; Jaffard, S. 4; Abry, P.1

1 Laboratoire de Physique, CNRS, UMR 5672, Ecole Normale Superieure de Lyon.

2 Laboratoire Jean Kuntzmann, Universite de Grenoble, UMR 5224 Grenoble.

3 LMAM, Universite de Bretagne Sud, Universite Europeenne de Bretagne,Campus de Tohannic, Vannes.

4 Departement de Mathematiques, Unversite Paris XII, CNRS, UMR 8050, Creteil.08/05/11 16:49UMR CNRS 8050 - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées

sur 2http://cms-math.univ-mlv.fr/archive.umr8050/index.html

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Solidum" reproduits ici sont deux dessinsde ...

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Directeur François BOUCHUT

Téléphone +33 (0)1 60 95 76 85

Fax +33 (0)1 60 95 75 45

Directeur adjoint Raphaël DANCHIN

Téléphone +33 (0)1 45 17 65 93

Le Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées est une Unité Mixtede Recherche CNRS (UMR 8050) et se situe sur deux sites géographiquesdistincts:

Noisy-Champs (Marne-la-Vallée)

Créteil (Paris-XII)

Journee ANR Mataim Paris, 3 juillet 2012Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite



Autres modeles

Outline

Anisotropie et autosimilarite.

Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropes.

Transformee Hyperbolique en Ondelettes.

Estimation : procedure, performance ....

Bootstrap et test statistique d’isotropie.

Conclusions et perspectives.

Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite



Autres modeles

Anisotropie et autosimilarite

Image anisotrope : caracteristiques dependantes de la direction.

x = (x1, x2) ∈ R2

Autosimilarite classique : {X (ax)} L= {aH0X (x)}.H0 indice d’autosimilarite

(Mouvement Brownien Fractionnaire)

Autosimilarite matricielle : {X (aE0x)} L= {aH0X (x)}.E0 matrice d’anisotropie,

(Schertzer et Lovejoy, 1985)

Tr(E0) = m ⇒ unicite de H0.E0=Id : champ isotrope, autosimilarite classique.




Autres modeles

Champs aleatoires gaussiensautosimilaires

etanisotropes




Autres modeles

OSRGF : definition

Champs 2D : x = (x1, x2) ∈ R2 et ξ = (ξ1, ξ2) ∈ R2

Xf ,E0,H0(x) =

∫R2

(e i〈x , ξ〉 − 1)f (ξ)−(H0+1)dW (ξ) ,

• f fonction positive, continue telle que

f (aE0ξ) = af (ξ) ξ ∈ R2, Tr(E0) = 2.∫(1 ∧ |ξ|2)f (ξ)dξ < +∞

• W mesure de Wiener 2D.

(Bonami et Estrade, 2003)

(Bierme, Meerschaert et Scheffler, 2009)




Autres modeles

OSRGF : definition

Xθ0,α0,H0(x) =

∫R2

(e i〈x , ξ〉 − 1)fθ0,α0(ξ)−(H0+1)dW (ξ) ,

• fθ0,α0(ξ) = (|ζ1|1/α0 + |ζ2|1/(2−α0)),

ζ = (ζ1, ζ2) = Rθ0ξ, Rθ0 =

(cos(θ0) − sin(θ0)sin(θ0) cos(θ0)

).

• E0 =

(α0 00 2− α0

), 0 < α0 < 2.

• 0 < H0 < min(α0, 2− α0).

⇒ autosimilarite : {Xθ0,α0,H0(aE0x)} L= {aH0Xθ0,α0,H0(x)}, ∀a > 0.

(Clausel et Vedel, 2010)




Autres modeles

OSRGF : synthese

Xθ0,α0,H0(x) =

∫R2

(e i〈x , ξ〉 − 1) fθ0,α0(ξ)−(H0+1) dW (ξ) ,

θ0 = 0, α0 = 0.7, H0 = 0.6.Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite



Autres modeles

OSRGF : synthese

Xθ0,α0,H0(x) =

∫R2

(e i〈x , ξ〉 − 1) fθ0,α0(ξ)−(H0+1) dW (ξ) ,

θ0 = π/3, α0 = 0.7, H0 = 0.6.Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite

OSRGF : synthese(θ0 = 0, α = 1, H = 0.2) (θ0 = 0, α = 0.7,H = 0.2) (θ0 = 0, α = 0.3, H = 0.2)

(θ0 = π/6, α = 0.7, H = 0.2) (θ0 = π/4, α = 0.7, H = 0.2) (θ0 = π/3, α = 0.7, H = 0.2)



Autres modeles

Transformee Hyperbolique enOndelettes




Autres modeles

Transformee en ondelettes Dyadique 2D

TOD 1D : ϕ fonction d’echelle (filtre L) , ψ ondelette mere (filtre H).

TOD 2D : 1 fonction d’echelle, 3 ondelettes (4 filtres LL, HL, LH, HH).

(H,L) (H,H)

(L,L) (L,H)

0 12

12

ξ2

ξ1

Support frequentiel carre de taille (2j , 2j).




Autres modeles


TOD 1D : ϕ fonction d’echelle (filtre L) , ψ ondelette mere (filtre H).TOD 2D : 1 fonction d’echelle, 3 ondelettes (4 filtres LL, HL, LH, HH).

(H,L) (H,H)

(L,L) (L,H)

0 12

12

ξ2

ξ1





Autres modeles


TOD 1D : ϕ fonction d’echelle (filtre L) , ψ ondelette mere (filtre H).TOD 2D : 1 fonction d’echelle, 3 ondelettes (4 filtres LL, HL, LH, HH).

(H,L) (H,H)

(L,L) (L,H)

0 12

12

ξ2

ξ1

(H,L) (H,H)

(L,H)

0 12

12

(LH,LH)

(LL,LL) (LL,LH)

(LH,LL)

ξ2

ξ1





Autres modeles


TOD 1D : ϕ fonction d’echelle (filtre L) , ψ ondelette mere (filtre H).TOD 2D : 1 fonction d’echelle, 3 ondelettes (4 filtres LL, HL, LH, HH).Base de L2(R) :

ψ(1)j ,k1,k2

(x1, x2) = 2jψ(2jx1 − k1)ψ(2jx2 − k2),

ψ(2)j ,k1,k2

(x1, x2) = 2jϕ(2jx1 − k1)ψ(2jx2 − k2),

ψ(3)j ,k1,k2

(x1, x2) = 2jψ(2jx1 − k1)ϕ(2jx2 − k2),

ϕk1,k2(x1, x2) = ϕ(x1 − k1)ϕ(x2 − k2),

∀(x1, x2) ∈ R2, ∀(k1, k2) ∈ Z2 et ∀j ∈ N.


Coefficient en ondelettes : d(i)j ,k1,k2

=< ., ψ(i)j ,k1,k2

> pour i = 1, 2, 3.




Autres modeles

Transformee Hyperbolique en ondelettes

1 etape THO = 1 etape TOD

+TOD 1D des colonnes de (L,H);+TOD 1D des lignes de (H,L);

(H,L) (H,H)

(L,L) (L,H)

0 12

12

ξ2

ξ1

(H,H)

(L,L)

(LH,H)

(LLH,H)

(H,LH)

0 12

12

ξ2

ξ1

Support frequentiel de taille (2j1 , 2j2).

(DeVore, Konyagin et Temlyakov, 1998)




Autres modeles


1 etape THO = 1 etape TOD+TOD 1D des colonnes de (L,H);+TOD 1D des lignes de (H,L);

(H,L) (H,H)

(L,L) (L,H)

0 12

12

ξ2

ξ1

(H,H)

(L,L)

(LH,H)

(LLH,H)

(H,LH)

0 12

12

ξ2

ξ1

Support frequentiel de taille (2j1 , 2j2).(DeVore, Konyagin et Temlyakov, 1998)




Autres modeles



(H,H)

(LH,H)

(LLH,H)

(H,LH)

0 12

12

ξ2

ξ1

(LH,LH)

(LL,LL) (LL,LH)

(LH,LL)

(H,H)

(L,L)

(LH,H)

(LLH,H)

(H,LH)

0 12

12

ξ2

ξ1





Autres modeles



(H,H)

(LH,H)

(LLH,H)

(H,LH)

0 12

12

ξ2

ξ1

(LH,LH)

(LL,LL) (LL,LH)

(LH,LL)

(H,H)

(LH,LH)

(LL,LL)

0 12

12

ξ2

ξ1





Autres modeles


Base de L2(R) :

ψj1,j2,k1,k2(x1, x2) = 2(j1+j2) ψ(2j1x1 − k1)ψ(2j2x2 − k2),

ψ0,j2,k1,k2(x1, x2) = 2j2 ϕ(x1 − k1)ψ(2j2x2 − k2),

ψj1,0,k1,k2(x1, x2) = 2j1 ψ(2j1x1 − k1)ϕ(x2 − k2),

ψ0,0,k1,k2(x1, x2) = ϕ(x1 − k1)ϕ(x2 − k2),

∀(x1, x2) ∈ R2, ∀(k1, k2) ∈ Z2 et ∀(j1, j2) ∈ N2.

Support frequentiel de taille (2j1 , 2j2).Coefficient en ondelettes : dj1,j2,k1,k2 =< ., ψj1,j2,k1,k2 >, j1, j2 ≥ 0.

(DeVore, Konyagin et Temlyakov, 1998)




Autres modeles

For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu

Estimation




Autres modeles


Invariance d’echelle

Coefficient en ondelettes : dj1,j2,k1,k2 =< ., ψj1,j2,k1,k2 >.Fonctions de structure :

S(q, j1, j2) =1

Nj1,j2

∑(k1,k2)∈Z2

|dj1,j2,k1,k2 |q ∼ 2τ(q,j1,j2),

Nj1,j2 nombre de coefficients aux echelles (j1, j2),q ∈ R, q > −2.

On montre :

S(q, αj , (2− α)j) ≈ 2j qα

(1−(H+1) max( α

α0, 2−α

2−α0)).




Autres modeles


Estimation : theorie

Soit l’anisotropie α :

τ(q, α) = lim infj→∞

−α log2(S(q, [αj ], [(2− α)j ]))

j,

([jα] partie entiere de jα)Estimateurs : {

αq = argmaxατ(q, α);

Hq = τ(q, αq)/q.


θ0 = 0 : procedure d’estimation

Image

log2(S(q = 2, j1, j2))

j 1

j21 3 5 7

1

3

5

7

α = 1.5;

αj1 +1 = (2−α)j2 +1;

γ =2− αα

;

Interpolation

j

αlog2(S

(q,α

j,[(2−

α)j]))

1 3 5 7

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

α

H

.0 1 2

−0.5

0

0.5

1

• Regression nonponderee

• toutes les echellessont utilisees.


Image log2(S(q = 2, j1, j2))

j 1j2

1 3 5 7

1

3

5

7

α = 1.5;

αj1 +1 = (2−α)j2 +1;

γ =2− αα

;

Interpolation

j

αlog2(S

(q,α

j,[(2−

α)j]))

1 3 5 7

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

α

H

.0 1 2

−0.5

0

0.5

1





j 1j2

1 3 5 7

1

3

5

7

α = 1.5;

αj1 +1 = (2−α)j2 +1;

γ =2− αα

;

Regression

j

αlog2(S

(q,α

j,[(2−

α)j]))

H(α)

1 3 5 7

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

α

H

.0 1 2

−0.5

0

0.5

1





j 1j2

1 3 5 7

1

3

5

7

α = 1;

αj1 +1 = (2−α)j2 +1;

γ =2− αα

;

Regression

j

αlog2(S

(q,α

j,[(2−

α)j]))

H(α)

1 3 5 7

−1

0

1

2

3

α

H

.0 1 2

−0.5

0

0.5

1





j 1j2

1 3 5 7

1

3

5

7

α = 1.5;

αj1 +1 = (2−α)j2 +1;

γ =2− αα

;

Interpolation

j

αlog2(S

(q,α

j,[(2−

α)j]))

1 3 5 7

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

α

H

.0 1 2

−0.5

0

0.5

1





j 1j2

α

1 3 5 7

1

3

5

7

α = 1;

αj1 +1 = (2− α)j2 +1;

γ =2− αα

;

Regression

j

αlog2(S

(q,α

j,[(2−

α)j]))

H

1 3 5 7

−2

−1

0

1

2

3

α

H

.α

H

0 1 2

−0.5

0

0.5

1


H = τ(q, αq)/q;



j 1j2

α

α0

1 3 5 7

1

3

5

7

α = 1;

αj1 +1 = (2−α)j2 +1;

γ =2− αα

;

Regression

j

αlog2(S

(q,α

j,[(2−

α)j]))

H H0

1 3 5 7

−2

−1

0

1

2

3

α

H

.α

H

α0

H0

0 1 2

−0.5

0

0.5

1


H = τ(q, αq)/q;



Autres modeles


θ0 = 0 : performances d’estimation

100 realisations de Xθ0=0,α0,H0 de taille (210 × 210):

moyenne et ecart type des estimes (H et α)

H = 0.2 H = 0.7

Hα

α

H

α

α

0.7 0.8 0.9 10.2 0.4 0.6 0.8 10.6

0.7

0.8

0.7

0.8

0.9

1

0.2

0.4

0.6

0.8

10.1

0.2

0.3

0.4

Estimation de H se degrade quand l’anisotropie augmente;Bonne estimation de α quelque soit la rugosite.




Autres modeles


θ0 = 0 : performances d’estimation

100 realisations de Xθ0=0,α0,H0 de taille (N × N) :Eα

−α0

log2(N)

8 9 10 11 12 13−0.1

0

0.1

log2(N)

EH−

H0

8 9 10 11 12 13−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

log 2(σ

α)

log2(N)

8 9 10 11 12 13−8

−6

−4

−2

log 2(σ

H)

log2(N)

8 9 10 11 12 13

−8

−6

−4

α0 = 1, α0 = 0.8, α0 = 0.6H0 = 0.3 (◦), H0 = 0.5 (?), H0 = 0.7 (.).




Autres modeles


θ0 6= 0 : procedure d’estimation

Appliquer :

1) Rotation : Iθ = RθI ;

2) Estimation de H et α sur Iθ ⇒ (Hθ, αθ) ;

Remarquer :

i) α(θ) fonction π-periodique;

ii) α(θ0 + θ) = α(θ0 − θ);

iii) θ = θ0, α ' α;

iv) θ = θ0 + π/2, α ' 2− α;

v) θ = θ0 + π/4, α ' 1.




Autres modeles


θ0 6= 0 : performance d’estimation

100 realisations de Xθ0,α0,H0 de taille (210 × 210).

α

(α0 = 0.7, H0 = 0.6)

H

θ

(α0 = 0.3, H0 = 0.2)

θ

(α0 = 0.7, H0 = 0.2)

θ

0 π

4

π

23π

4

π0 π

4

π

23π

4

π0 π

4

π

23π

4

π

0.2

0.3

0.4

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.70.2

0.6

1

1.4

1.8

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.7

0.9

1.1

1.3

θ0 = π/3

θ0 = 0




Autres modeles




α

(α0 = 1, H0 = 0.6)

H

θ

(α0 = 1, H0 = 0.2)

θ

(α0 = 1, H0 = 0.2)

θ

0 π

4

π

23π

4

π0 π

4

π

23π

4

π0 π

4

π

23π

4

π

0.2

0.3

0.4

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.70.2

0.6

1

1.4

1.8

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.7

0.9

1.1

1.3

θ0 = π/3

α0 = 1




Autres modeles




α

(α0 = 0.7, H0 = 0.6)

H

θ

(α0 = 0.3, H0 = 0.2)

θ

(α0 = 0.7, H0 = 0.2)

θ

0 π

4

π

23π

4

π0 π

4

π

23π

4

π0 π

4

π

23π

4

π

0.2

0.3

0.4

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.70.2

0.6

1

1.4

1.8

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.7

0.9

1.1

1.3

θ0 = π/3

α0 = 1




Autres modeles




(θ0, α0,H0)〈θ〉 − θ0

〈α〉 − α0 〈H〉 − H0 % rej.

(std,MSE)

(std,MSE) (std,MSE)

(π/3, 0.7, 0.6)0.01

0.00 -0.10100

(0.03,0.00)

(0.04,0.00) (0.02,0.01)

(π/3, 0.7, 0.2)0.01

0.01 -0.05100

(0.03,0.00)

(0.04,0.00) (0.02,0.00)

(π/3, 0.3, 0.2)-0.01

0.01 -0.09100

(0.02,0.00)

(0.05,0.00) (0.09,0.02)

(0, 1, 0.6)0.07

0.00 -0.01

(0.31,0.01)

(0.08,0.01) (0.03,0.00)8

(0, 1, 0.2)0.08

-0.01 -0.01

(0.25,0.01)

(0.08,0.01) (0.03,0.00)11




Autres modeles




(θ0, α0,H0)〈θ〉 − θ0 〈α〉 − α0

〈H〉 − H0 % rej.

(std,MSE) (std,MSE)

(std,MSE)

(π/3, 0.7, 0.6)0.01 0.00

-0.10100

(0.03,0.00) (0.04,0.00)

(0.02,0.01)

(π/3, 0.7, 0.2)0.01 0.01

-0.05100

(0.03,0.00) (0.04,0.00)

(0.02,0.00)

(π/3, 0.3, 0.2)-0.01 0.01

-0.09100

(0.02,0.00) (0.05,0.00)

(0.09,0.02)

(0, 1, 0.6)0.07 0.00

-0.01

(0.31,0.01) (0.08,0.01)

(0.03,0.00)8

(0, 1, 0.2)0.08 -0.01

-0.01

(0.25,0.01) (0.08,0.01)

(0.03,0.00)11




Autres modeles




(θ0, α0,H0)〈θ〉 − θ0 〈α〉 − α0 〈H〉 − H0

% rej.

(std,MSE) (std,MSE) (std,MSE)

(π/3, 0.7, 0.6)0.01 0.00 -0.10

100

(0.03,0.00) (0.04,0.00) (0.02,0.01)

(π/3, 0.7, 0.2)0.01 0.01 -0.05

100

(0.03,0.00) (0.04,0.00) (0.02,0.00)

(π/3, 0.3, 0.2)-0.01 0.01 -0.09

100

(0.02,0.00) (0.05,0.00) (0.09,0.02)

(0, 1, 0.6)0.07 0.00 -0.01

(0.31,0.01) (0.08,0.01) (0.03,0.00)

8

(0, 1, 0.2)0.08 -0.01 -0.01

(0.25,0.01) (0.08,0.01) (0.03,0.00)

11




Autres modeles

Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie

Bootstrapet

test d’isotropie




Autres modeles


Bootstrap : procedure

THO coefficients dj1,j2,k1,k2

Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2

(H,H)

(LH,H)

(LLH,H)

(H,LH)

(LH,LH)

(LL,LL)

.

.

- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);




Autres modeles



THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2

.

.

.

.





Autres modeles




.

.

.

.

- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);

- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);




Autres modeles




.

.

.

.





Autres modeles



THO coefficients dj1,j2,k1,k2

Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2

For r=1, · · · , R :

S∗(r)(q, j1, j2) = 1Nj1,j2

∑ |d∗(r)j1,j2,k1,k2

|q,

S∗(r)(q, j1, j2) ∼ 2τ∗(r)(q,α),{

α∗(r)q = argmaxατ

∗(r)(q, α),

H∗(r)q = τ∗(r)(q, ˆα∗(r)

q)/q.

=⇒{σ∗α = stdr{α∗(r)

q }σ∗H

= stdr{H∗(r)q }

.

.





Autres modeles


Bootstrap : resultats

100 realisations de Xθ0=0,α0,H0 : R = 100 bootstraps ⇒ (α, H, σ∗α, σ∗H

)

P(α), P(α∗)

P(H)

P(α

)

α

P(α

)

0.5 0.8 1 1.2 1.5

0

50

100

0

50

100

α = 1, α = 0.8, α = 0.3.

α0 = 0.75;

α0 = 1;




Autres modeles




)

P(α), P(α∗)

P(H)

P(α

)

α

P(α

)

0.5 0.8 1 1.2 1.5

0

50

100

0

50

100

α = 1, α = 0.8, α = 0.3.

σMC(α), σBS(α) =< σ∗α >

EσBS(α

)/σMC(α

)

H0

.

0.3 0.5 0.7

0.5

1

1.5

α0 = 1, α0 = 0.8, α0 = 0.3.




Autres modeles




)

P(H), P(H∗)

P(H

)

H

P(H

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

50

100

0

50

100

α =1, α = 0.8, α = 0.3.

H0 = 0.7;

H0 = 0.3;




Autres modeles




)

P(H), P(H∗)

P(H

)

H

P(H

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

50

100

0

50

100

α =1, α = 0.8, α = 0.3.

σMC(H), σBS(H) =< σ∗H>

PSfrag

EσBS(H

)/σMC(H

)

H0

.

0.3 0.5 0.70.5

1

1.5

2

α0 = 1, α0 = 0.8, α0 = 0.3.




Autres modeles


Test d’isotropie

H0 : α0 − 1 = 0 (isotrope) et l’alternative : α0 − 1 6= 0.

100 real. (210 × 210), R = 100.

Soit t = α− 1,

et {t∗(r) = α∗(r) − α}Rr=1 ⇒ σ∗t.

Hypothese : t gaussien et σt = σ∗t

δ quantile ⇒ intervalle de confiance :T1−δ =

[−tδ/2σ

∗t, tδ/2σ

∗t

].

t ∈ T1−δ, H0 acceptee;

t /∈ T1−δ, H0 refusee.

δ = 0.1

t

−t∗(δ/2) t∗(δ/2)

RejectionRegions

AcceptanceRegion

P(t)

t.

−4 −2 0 2 40

5

10

15

20

25

30

H0 = 0.3, H0 = 0.5, H0 = 0.7




Autres modeles


Test d’isotropie

H0 : α0 − 1 = 0 (isotrope) et l’alternative : α0 − 1 6= 0.

100 real. (210 × 210), R = 100.Soit t = α− 1,

et {t∗(r) = α∗(r) − α}Rr=1 ⇒ σ∗t.

Hypothese : t gaussien et σt = σ∗t

δ quantile ⇒ intervalle de confiance :T1−δ =

[−tδ/2σ

∗t, tδ/2σ

∗t

].

t ∈ T1−δ, H0 acceptee;

t /∈ T1−δ, H0 refusee.

δ = 0.1

Pow

erof

test

β

α

.

.

0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H0 = 0.3, H0 = 0.5, H0 = 0.7




Autres modeles


Test d’isotropieQuantile δ = 0.1 (10%) :

100 realisations (R = 100) de Xθ0,α0,H0 de taille (210 × 210).

(θ0, α0,H0)〈θ〉 − θ0 〈α〉 − α0 〈H〉 − H0 % rej.

(std,MSE) (std,MSE) (std,MSE)

(π/3, 0.7, 0.6)0.01 0.00 -0.10

100(0.03,0.00) (0.04,0.00) (0.02,0.01)

(π/3, 0.7, 0.2)0.01 0.01 -0.05

100(0.03,0.00) (0.04,0.00) (0.02,0.00)

(π/3, 0.3, 0.2)-0.01 0.01 -0.09

100(0.02,0.00) (0.05,0.00) (0.09,0.02)

(0, 1, 0.6)0.07 0.00 -0.01

(0.31,0.01) (0.08,0.01) (0.03,0.00)8

(0, 1, 0.2)0.08 -0.01 -0.01

(0.25,0.01) (0.08,0.01) (0.03,0.00)11




Autres modeles

Another OSGRF

X(a,β) =

∫R2

(e i〈x , ξ〉 − 1)f (ξ)dW (ξ) ,

f (ξ) = (ξ21 + ξ

2H2H1

2 )−(H1+(1+

H12H2

)), 0 < H1 < H2 < 1.

⇐⇒

Xθ0,α0,H0 with α0 = 2a/(1 + a), H0 = 2aH1/(1 + a) and θ0 = 0.

isotropie quand H2 = H1




Autres modeles

Another OSGRF

X(a,β) =

∫R2

(e i〈x , ξ〉 − 1)f (ξ)dW (ξ) ,

f (ξ) = (ξ21 + ξ

2H2H1

2 )−(H1+(1+

H12H2

)), 0 < H1 < H2 < 1.

PSfrag

α.

H(α

)

0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

100 real.(210, 210)

H1 = 0.8 et H2 = 0.2, H2 = 0.4, H2 = 0.6, H2 = 0.8.Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite



Autres modeles

Extended Fractional Brownian Fields (EFBF)

X(a,β) =

∫R2

(e i〈x , ξ〉 − 1)f (ξ)dW (ξ) ,

f (ξ) = |ξ|−2h(arg(ξ))−2,

H1 = max h(arg(ξ)), H2 = min h(arg(ξ)). H2 = H1 ⇒ isotropie.

H(α

)

.α

0.8 1 1.2

0 0.5 1 1.5 2

0.4

0.6

−1

−0.5

0

0.5

1

100 real.(210, 210)

H1 = 0.8 et H2 = 0.2, H2 = 0.4, H2 = 0.6, H2 = 0.8.Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite



Autres modeles

Fractional Brownian Sheet (FBS)

BH1,H2(x) =

∫R2

(e i<x1,ξ1> − 1)(e i<x2,ξ2> − 1)

|ξ1|H1+ 12 |ξ2|H2+ 1

2

dWξ1,ξ2 ,

PSfrag

α.

H(α

)

.

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

100 real.(210, 210)

H1 = 0.8 et H2 = 0.2, H2 = 0.4, H2 = 0.6, H2 = 0.8.




Autres modeles

Test d’anisotropie

Quantile δ = 0.1 (10%) :

100 realisations (R = 100) de Xθ0,α0,H0 de taille (210 × 210).

Taux de rejection (en %)

H1 0.7 0.4H2 0.5 0.6 0.7 0.2 0.3 0.4

OSGRF II 100 84 15 100 99 7

EFBF 42 31 15 49 28 10

FBS 89 78 58 92 87 61




Autres modeles

Anisotropie ”built-in” versus ”superposee”

Xθ0=0,α0=1,H0=0.5

+ sinus (θ = π/8)

Xθ0=π/8,α0=0.6,H0=0.5

α

θ

.

0 π

4

π

23π

4

π

0.8

1

1.2

1.4

H

θ

.

0 π

4

π

23π

4

π0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2




Autres modeles

Conclusions et perspectives

Analyse de champs autosimilaires anisotropes

- pertinence de la Transformee Hyperbolique en Ondelettes;

- procedures d’estimations rapides et efficaces;

- bonne estimation des differents parametres :angle de rotation, anisotropie et autosimilarite;

- test d’isotropie efficace.

Perspectives :

- multifractal anisotrope :synthese : sur base de triebel anisotrope;analyse : coefficients Leaders.

- Anisotropie ”built-in” versus ”superposee” ?


Transformée hyperbolique en ondelettes pour la...

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