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Transferencia de Momentum

1740-2

2014-02-20 7ª

2014-02-20

Contenido

1. Observaciones de algunas operaciones entre escalares, vectores y

tensores…

2. Balance de momentum…

Elemento de Control, EC

• Región del espacio de interés: transferencia de propiedades conservativas

z

x y

• ΔA…área diferencial del EC

• ΔF…fuerza diferencial aplicada sobre ΔA

• ΔV volumen diferencial del EC

• Vm (t)… volumen material del EC

ii ij ik ii ij ik

ji jj jk ji jj jk

ki kj kk ki kj kk

T T T 100

T T T T 010 P

001T T T

Esfuerzos que actúan sobre un cubo

Resumen de algunas anotaciones de vectores y tensores [1, 2].

Las cantidades que se manejan en el estudio de la transferencia de

propiedades conservativas pueden clasificarse como:

• Tensores de orden cero, escalares (volumen, energía, tiempo,

temperatura);

•Tensores de primer orden, vectores (velocidad, momentum,

aceleración, fuerza);

•Tensores de segundo orden, tensores (esfuerzo cortante o flux de

momentum).

Multiplicación:

• De escalares… convencional;

• De vectores y tensores:

a) Producto punto;

b) Producto de doble punto :

c) Producto cruz: x

[1] Bird, Stewart and Lightfoot, Transport Phenomena.

[2] W.M. Deen, Analysis of transport phenomena

Orden del Tensor

Tipo de Propiedad

Numero de

Componentes

Notación vía

Índices

Notación

Tensorial

Tensor orden 0:

Escalar

1 a a

Tensor orden 1:

Vectorial

3 ai a

Tensor orden 2:

Tensorial

9 aij

✓ Número de elementos que se requieren para hacer la representación

matemática de una propiedad en un elemento de control

Numero de componentes , donde es el orden del Tensorn3 n

✓ No todos los arreglos de nueve componentes constituyen un tensor de

segundo orden… matriz ≠ tensor… los componentes de un tensor de segundo

orden tienen dirección, y se transforman de una manera particular, de acuerdo

con sistema coordenado que se use para representar al sistema en cuestión.

a

Signo de multiplicar Orden del resultado

Ninguno Σ

x Σ-1

. Σ-2

: Σ-4

Ejemplos:

(escalar)(vector)… (dA)(f)… 0+1=1… tensor de primer orden, vector

(escalar)(tensor)… (P)(δ)… 0+2=2… tensor de segundo orden, tensor

(vector)(vector)… (v)(v)… 1+1=2… tensor de segundo orden, tensor

(vector)(vector)… (v)(ndA)… 1+1-2=0… tensor de orden cero, escalar

(vector)(tensor)… (n)(T)… 1+2-2=1… tensor de primer orden, vector

(tensor)x(tensor)… (τ)x(σ)… 2+2-4=0… tensor de orden cero, escalar

Por lo tanto, el término ρvv representa al flux de momentum por

convección;

El término vv representa a un tensor de segundo orden, cuyos

componentes son vivi, etc.:

Nota cerca del término:

vv

Momentum

Flux de momentum por convección Velocidad de FlujoVolumen

mv m

v v v vvV V

... o bien:

i i i j i k 1 1 1 2 1 3

j i j j j k 2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3k i k j k k

v v v v v v v v v v v v

vv v v v v v v v v v v v v

v v v v v vv v v v v v

Dicho producto es de orden 1+1=2, es decir que es un tensor de

segundo orden; consecuentemente, tiene nueve componentes: vivi…

Nota cerca del término: vv

... o bien:

i i i j i k 1 1 1 2 1 3

j i j j j k 2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3k i k j k k

v v v v v v v v v v v v

vv v v v v v v v v v v v v

v v v v v vv v v v v v

Momentum

Velocidad de Flujo Flux de momentum por convecciónVolumen

m mv

vv v v vV V

Considerando lo anterior, el término ρvv también es un tensor de

segundo orden (0+1+1), y representa al flux de momentum por

convección;

Vector de esfuerzos ( t ) y Tensor de Esfuerzos ( T )

Vector de esfuerzos t es aquel que cumple con la condición:

δ es el tensor unitario (Kronecker), indica cuales son los esfuerzos

estáticos que resultan cuando se ejerce una presión P sobre el EC;

T representa el tensor de esfuerzos (estáticos y dinámicos) que actúan

sobre la superficie del EC; n es el vector normal a dicha superficie.

T = Esfuerzos Estáticos + Esfuerzos Dinámicos

τ es el tensor de los esfuerzos dinámicos que actúan sobre EC.

En notación con índices: 2

1

3

T12

T13

T11

t T n

T P

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

T T T 100

T T T 010 P

001T T T

En coordenadas cartesianas

kkkjki

jkjjji

ikijii

v z

x y

P

001

010

100

Esfuerzos dinámicos (v ≠ 0);

se deforma el EC

Esfuerzos estáticos (v = 0)

ii ij ik ii ij ik

ji jj jk ji jj jk

ki kj kk ki kj kk

T T T 100

T T T T 010 P

001T T T

Obtención de la Ecuación de Movimiento o Balance de Momentum

Fundamento

1ª Ley de Euler

2ª Ley de Newton, modificada para el caso

de fluidos en movimiento:

La rapidez de cambio del momentum

(cantidad de movimiento) que tiene un

cuerpo se debe a la fuerzas que actúan

sobre él.

3. El elemento de control esta fijo (necesario especificarlo, pero esto no

cambia la forma del Balance de Momentum).

Características de la deducción del Balance de Momentum:

1. Suposición del continuo; por lo tanto, las propiedades del sistema (ρ,

T, µ …) y las fuerzas que interaccionan con él (τ, P …) son continuas. 2. Momentum es una propiedad conservativa;

Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo determinan su cantidad de

movimiento

1a. Ley de Euler; 2a. Ley de Newton

Fundamento

La rapidez de cambio del momentum (cantidad de movimiento) que

tiene un cuerpo se debe a la fuerzas que actúan sobre él.

ma f

dv d d

ma m mv pdt dt dt

d

ma p fdt

Rapidez de cambio del Suma de fuerzas que

momentum del EC actúan sobre el EC

Obtención de la Ecuación de Movimiento o Balance de Momentum

Balance momentum:

Acumulación

Elemento diferencial de masa:

→ Cantidad diferencial de momentum:

→ Cantidad de momentum en todo el volumen de contro, VC:

Acumulación de momentum en el volumen de control VC:

Acumulación de Flujo Neto de momentum Fuerzas que actúan

momentum en el EC por convección en el EC sobre el EC

dm dV

vdm v dV

CV

v dV

CV

dv dV

dt

Obtención de la Ecuación de Movimiento o Balance de Momentum

Acumulación

Acumulación de la Cantidad de momentum en el volumen de control VC:

Por el Teorema de transporte, la Acumulación de momentum en VC esta

definida como:

Como se consideró que VC está fijo w=0,

Por lo tanto, la Acumulación de momentum en el volumen de control es:

CV

dv dV

dt

C C CV V A

dv dV v dV n wv dV

tdt

Acumulación de

momentum en el ECC CV V

dv dV v dV

tdt

Flujo neto de momentum por convección

Entonces, el flujo neto de momentum a través del área total, AC de EC es:

Momentum:

Flujo másico a través de un elemento diferencial de área dA:

Por lo tanto, el Flujo de momentum a través de dicha área diferencial es:

El flujo de momentum a través del área total de Entrada AE:

El flujo de momentum a través del área total de Salida AS:

p mv

v ndA

( v ndA)v vv ndA

EA

vv ( n )dA

SA

vv ( n )dA

E S CA A A

vv ( n )dA vv ( n )dA vv ndA

Obtención de la Ecuación de Movimiento o Balance de Momentum

Flujo neto de Momentum

1. vv representa el tipo de producto simple de dos vectores (vector =

tensor de primer orden), y da lugar a un tensor de segundo orden

2. vv∙n es el producto punto de un tensor (vv) y un vector (n), y da lugar a

un vector.

Flujo Neto de momentum

por convección en el ECCA

vv ndA

Fuerzas que actúan sobre el EC

Fuerzas de Campo:

Fuerzas de Superficie:

i) Gravitacionales: g;

ii) Magnéticas: B …

i) Estáticas (normales): P

ii) Dinámicas (cortantes y normales): τ

Asumiendo que la aceleración de la gravedad g representa a las fuerzas

de campo que afectan al EC, la fuerza de gravedad que afecta a un

elemento diferencial de masa del EC se expresa como: (dm)g

Fuerza Gravitacional:

Por lo tanto, la fuerza que afecta a todo el EC es:

pero como: dm dV

Fuerza de gravedad (Campo)

que afecta al ECCV

g dV

Fuerzas Superficiales

Por lo tanto, las fuerzas superficiales que actúan sobre un elemento

diferencial de área del EC se pueden expresar en términos del vector de

esfuerzos: tdA

Por definición, el esfuerzo resulta de aplicar una fuerza sobre un área:

Por lo tanto, las fuerzas superficiales que actúan sobre toda el área del EC

son:

fuerza Esfuerzo

área

Fuerzas de superficie

que afectan al EC

tdA

AC

Para representar a las fuerzas que actúan sobre la superficie del EC se

utilizará el vector de esfuerzos t :

Además, el vector de esfuerzos t está definido como:

Donde T representa el tensor de los esfuerzos estáticos (δP) y dinámicos

(τ) que actúan sobre la superficie del EC, y n es el vector normal a dicha

superficie.

Por lo tanto, las fuerzas superficiales que actúan sobre todo el EC son:

Fuerzas de superficieComo:

que afectan al ECCA

tdA

t T n

T P

Fuerzas de superficie

que afectan al ECC C CA A A

T ndA P ndA ndA

El balance momentum fue expresado como:

De acuerdo con las ecuaciones antes obtenidas, se tiene:

Acumulación de

momentum en el ECCV

v dVt

Flujo Neto de

momentum en el ECCA

vv ndA

Fuerza de gravedad (Campo)

que afecta al ECCV

g dV

Fuerzas de superficie

que afectan al ECC CA A

P ndA ndA

Acumulación de Flujo Neto de momentum Fuerzas que actúan

momentum en el EC por convección en el EC sobre el EC

Aplicando el Teorema de Divergencia:

Por lo tanto, el Balance de momentum queda:

Por lo tanto:

C C C C CV A V A A

v dV vv ndA g dV P ndA ndAt

C CA V

vv ndA vvdV

C CA V

P ndA PdV

C CA V

ndA dV

C C C C CV V V V V

v dV vvdV g dV PdV dVt

CV

v vv g P dV 0t

Balance de Momentum

Acumulación

Flujo por Convección

Fuerzas de Campo (Gravitación)

Fuerzas Estáticas (Presión)

Fuerzas Dinámicas (Deformación)

¿Donde quedó el transporte de momentum por difusión molecular?

CV

v vv g P dV 0t

v vv g P 0t

Bibliografía

R. B. Bird, W. E. Stewart, and E. N. Lightfoot, Transport Phenomena, John Wiley

& Sons, Inc., 1960.

S. Whitaker, Introduction to Fluid Mechanics, Prentice Hall, Inc. 1976.

R. S. Brodkey and H. C. Hershey, Transport Phenomena. A Unified Approach,

McGraw Hill, Inc. 1988.

W. J. Thompson, Introduction to Transport Phenomena, Prentice Hall, Inc. 2000.

J. L. Plawsky, Transport Phenomena Fundamentals, Marcel Dekker, Inc. 2001.

W. M. Deen, Analysis of Transport Phenomena, Oxford University Press, Inc.,

1998.

J. C. Slattery, Momentum, Energy, and mass transfer in continua, McGraw Hill, Inc.

1960.

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Transferencia de Momentum

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Fin de 2014-02-20 7ª