Transferencia de Calor

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INTRODUCCIÓN ¤ El método de diferencias finitas pasa de ecuaciones diferenciales a ecuaciones lineales. Se divide el sistema en Δy = Δx. La solución es discreta en los puntos de interés. Cada punto discreto es un punto nodal. A cada uno se le asigna una temperatura T mn . Esta temperatura será “igual” en un pequeño alrededor de dicho nodo. Se estará hablando de un rango de acción del nodo. ¤ { B } ¤ PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ¤ Se tiene el siguiente horno visto desde la parte de arriba. Para resolver el problema, vemos que dicho plástico se puede dividir simétricamente por medio de los ejes de simetría destacados por las líneas de color rojo en el gráfico. Estos ejes dividen la placa en 4 partes iguales. Podemos observar que, la temperaturas en los nodos que están marcados con puntos son idénticos. Esta es la razón fundamental por la cual podemos reducir el número de nodos

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INTRODUCCIÓN ¤

El método de diferencias finitas pasa de ecuaciones diferenciales a ecuaciones lineales.

Se divide el sistema en Δy = Δx. La solución es discreta en los puntos de

interés. Cada punto discreto es un punto nodal. A cada uno se le asigna una temperatura

Tmn. Esta temperatura será “igual” en un pequeño alrededor de dicho nodo. Se estará hablando de un rango de acción del nodo.

¤ { B } ¤ PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ¤

Se tiene el siguiente horno visto desde la parte de arriba. Para resolver el problema, vemos que dicho plástico se puede dividir simétricamente por medio de los ejes de simetría destacados por las líneas de color rojo en el gráfico. Estos ejes dividen la placa en 4 partes iguales. Podemos observar que, la temperaturas en los nodos que están marcados con puntos son idénticos. Esta es la razón fundamental por la cual podemos reducir el número de nodos por simetrías, al sector demarcado con color azul. El sistema que, finalmente vamos a trabajar es el que se esquematiza a continuación:

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Aquí se va a trabajar Δx = Δy = 25 cm. También hay que tener en cuenta que los nodos se enumerarán en orden creciente, de izquierda a derecha y de arriba abajo. Así, los nodos se comienzan a enumerar desde la esquina superior izquierda y se sigue hacia la derecha, y luego se sigue con la siguiente fila de nodos. Tal como se ve en la gráfica anterior.

Nodos convectivos internos a T0

157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 189, 198, 207,216, 225, 234, 243, 252, 261,

270, 279, 288 Nodos convectivos internos

esquina168, 297

Nodos convectivos internos esquina de la placa

156

Nodos convectivos exterior2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 43, 64, 85, 106, 127, 148, 169, 190, 199, 208, 217, 226, 235, 244, 253, 262, 271, 280

Nodos convectivos esquina exterior

1

Nodos aislados por simetría21, 42, 63, 84, 105, 126, 147, 168, 289, 290, 291,

292, 293, 294, 295, 296, 297

Nodos internosCualquier nodo diferente a los listados

anteriormente.

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¤ { C } ¤ SOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN GENERAL ¤

Inicio Se divide el sistema en Δx = Δy = 25cm (entre más divisiones se hagan, mejor).

A cada nodo se le asigna una temperatura Tm,n. El rango de acción tiene esa temperatura

Se analiza nodo a nodo el balance de energía, dependiendo el tipo de nodo que se esté trabajando.

Desarrollando el balance de energía se obtiene una ecuación en diferencias finitas para cada nodo. Así se establece una red nodal.

Se resuelve esta red nodal como un sistema de ecuaciones lineales, para establecer la distribución de temperaturas.

Se halla el calor perdido al medio, por la totalidad del plástico.

Fin

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¤ { D } ¤ ECUACIONES SIMULTANEAS ¤

Todos los nodos deben cumplir el siguiente balance de energía:

EENTRA + EGENERADA = ESALE + EACUMULA

Para nuestro caso de estudio se desprecia la energía acumulada, por considerarse estado estable, , y como todo el calor entra a cada nodo, la energía que sale será nula, luego el balance de energía quedará:

EENTRA = – EGENERADA

NODOS INTERNOSQm-1,nm,n = kl (Tm-1,n – Tm,n)Qm+1,nm,n = kl (Tm+1,n – Tm,n)Qm,n-1m,n = kl (Tm,n-1 – Tm,n)Qm,n+1m,n = kl (Tm,n+1 – Tm,n)Qgen = q* Δx2 l

Tm-1,n + Tm+1,n + Tm,n-1 + Tm,n+1 – 4Tm,n = -q* Δx2/k

NODO CONVECTIVOQm-1,nm,n = (kl)(Tm-1,n – Tm,n)Qm,n+1m,n = (kl/2)(Tm,n+1 – Tm,n)Qm,n+1m,n = (kl/2)(Tm,n+1 – Tm,n)Qconvm,n = ho Δx l (To – Tm,n)Qgen = q* Δx2 l /2

2Tm-1,nm,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 – Tm,n(4+(2hoΔx/k)) = -(2ho ΔxT0/k + q* Δx2 /k)NODO CONVECTIVO ESQUINA INTERNAQm-1,nm,n = (kl/2)(Tm-1,n – Tm,n)Qm,n+1m,n = (kl)(Tm,n+1 – Tm,n)Qm+1,nm,n = (kl)(Tm+1,n – Tm,n)Qm,n-1m,n = (kl/2)(Tm,n-1 – Tm,n)Qconv = ho Δx l (To – Tm,n)Qgen = q* (3 Δx2l / 4)

2Tm-1,n + 2Tm,n-1 + Tm+1,n + Tm,n+1 – Tm,n(-2*(-3+hoΔx/k)) = -(2ho ΔxTo/k + 3q*Δx2/2k)

¤ { E } ¤ METODOLOGÍA EMPLEADA PARA RESOLVER PROBLEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS ¤

Para este fin se utilizará el programa MATLAB. En este programa, se armó un archivo que contiene el programa que resolverá el sistema de ecuaciones. A continuación explicaremos un poco el código y simultáneamente explicaremos el método de resolución.

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Al inicio, el programa pedirá los datos necesarios para poder calcular las temperaturas nodales y el calor perdido al medio. Estos datos deberán estar en Sistema Internacional. Como se dijo antes, el sistema se dividirá en Δx = Δy = 1cm. Se presenta un vector fila, en el cual se van a llenar con el número total de nodos en el sistema, resultando en total 193 nodos.

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Luego se definen vectores filas con los nodos correspondientes a cada tipo de nodo en el sistema, en decir, los que se clasifican en nodos convectivos, nodos adiabáticos, nodos internos, entre otros. Aquí se define una matriz A y una matriz B. La primera es la que va a guardar los coeficientes del sistema de ecuaciones a resolver, y B es el vector que contiene la solución para cada una de las ecuaciones involucradas en el sistema de ecuaciones.

El siguiente paso es llenar la matriz A y el vector B de la siguiente manera. Hay un ciclo FOR que recorrerá todos los nodos, y para cada nodo, se le asigna el tipo de nodo que le corresponde, y a partir de ahí se asignan los coeficientes de la ecuación asociada a ese nodo. La posición de estos coeficientes en la matriz A es tal que este se encuentre en la posición del plástico. Así, por ejemplo, para el fragmento de código anterior, se intentará llenar el nodo de la esquina externa convectiva, cuando la variable contadora está en 1, accederá al ciclo “IF” correspondiente al tipo de nodo considerado. Las posiciones en A corresponderán a los nodos 2, 20 y 1. En estos nodos se asignan los coeficientes 1, 1 y –2((inf.*Dx/k)+1), respectivamente. Estos coeficientes corresponden

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a los coeficientes de la ecuación para nodo convectivo esquina externa. El valor de B en la posición i corresponderá al lado derecho de la ecuación del nodo asociado. Se sigue trabajando con todos los nodos, de tal manera que el ciclo recorra absolutamente todos los nodos, y cada nodo se le asigne una ecuación nodal.

Cuando se tenga la matriz A y el vector solución B, se procede a resolver el sistema:

AX = B

Donde el vector X contendrá TODAS las temperaturas de cada uno de los 193 nodos del sistema, es decir:

X = (A– 1)*(B)

Después el programa arrojará el número de todos los nodos, con sus respectivas temperaturas.

¤ { F } ¤ TEMPERATURA EN CADA NODO ¤

Utilizando las variables propuestos en el problema:

Q* = 10000 W/m3,. K = 1,5 W/mK; To = 593K; ho = 45 W/m2K; Tinf = 300K; hinf = 30 W/m2K; T1 = 773K, y se de ja un espeso de plástico apropiado (puede ser de 0,01 m)

Se pone a correr el programa y este arroja las siguientes temperaturas nodales:

El número que está encerrado con un círculo azul indica que cada columna hay que multiplicarla por 103 para obtener el nodo y temperatura correctos. Las temperaturas halladas para los primeros 25 nodos fueron:

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Las otras temperaturas se pueden apreciar cuando se ejecute el programa.

¤ { G } ¤ CALOR PERDIDO AL MEDIO ¤

El calor perdido al medio por un solo nodo convectivo, se da mediante la expresión:

Qm,n = (h)(H)(Δx)(Tmn – Tinf)

Donde h dependerá de la ubicación del nodo (exterior o interior). En este caso sólo se consideran los nodos convectivos exteriores. H es el espesor del plástico. El calor perdido por la pieza en consideración será

Qpieza = Σ Qm,n

Como se pide el calor perdido por toda la placa, esta será igual a:

QtOTAL = 4 Qpieza

Este cálculo se puede apreciar correctamente en el siguiente fragmento del código:

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Aquí vemos que se asigna un vector Q, lleno inicialmente con ceros. Este vector va a guardar el aporte de calor perdido por nodo. Teniendo el vector X resuelto anteriormente (recordemos que X tendrá los valores de la temperaturas nodales), se buscan aquellos nodos que sean convectivos externos, por medio de una variable contadora i. Para cada uno de estos nodos se le busca su respectiva temperatura, y se calcula el calor perdido por cada uno de los nodos convectivos externos. Estos valores se guardan en el vector Q. Para hallar el calor total perdido por la placa (Qtotal), se halla la suma de todos los valores que tenga el vector Q, y a este resultado se le multiplica por 4. (recordemos que el sistema se dividió en 4 partes simétricas, cuando se comenzó a plantear el problema).

Para las variables propuestas en el problema, el calor que arroja el programa es 288.5902 Watios

Sin embargo, podemos fijarnos que TODAS las variables del problema pueden tomar los valores que el usuario más le convenga. Al final se mostrarán algunas muestras de cálculo para diferentes datos.

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¤ { H } ¤ ALGUNAS ISOTERMAS ¤

Finalmente, el programa acaba con distribuir las temperaturas a traves de TODA la malla nodal de toda la placa en consideración. Para esto se define una matriz R, de tal

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manera que cubra todos los nodos posibles en la placa, y por medio de ciclos IF y FOR, se asignan las temperaturas por simetría de la figura. Finalmente se deja listo la red nodal para ser graficada. Por cuestiones de la antigua versión del programa, no fue posible hallar las isotermas en la placa, pero si se puede trazar una grafica que me relacione la variación de las temperaturas de cada nodo.

¤ { I } ¤ ALGUNAS MUESTRAS DE CALCULO ¤

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