Trabajo Y Energia

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    04-Aug-2015
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1. Cuaderno de Trabajo: Fsica I 3)Trabajo y Energa 68 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 2. Cuaderno de Trabajo: Fsica I3) Trabajo y Energa r 3,1) Trabajo de una fuerza, w F A r F Br rAB m rdr rr rr rB r F dr F W A B {rA 1 2443 wFes una integral de lnea a travs de la . El trabajo de una fuerza rr F F(r) Fen cada punto de la , elw Eldepender del conocimiento der dr vector es un desplazamiento elemental. Como toda integral de lnea se deber parametrizar .El w F se puede entender como la evaluacin total del efecto de la fuerza F en el desplazamiento del cuerpo.r uur F cte CASO PARTICULAR:rrr F .rAB F W AB FF F//69 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo A BrAB 3. Cuaderno de Trabajo: Fsica I r W + ,Si F // rAB r W 0 ,Si F rAB r W - ,Si F// rAB[W] Nm Joule J 3,2) Energa, E Es la capacidad que posee un cuerpo o sistema para realizar trabajo.Tipos de Energa: i) Energa Cintica, EkEnerga vinculada a la velocidad que poseen los cuerpos.rv12 Ek = mvm2 0 ii) Energa Potencial, EpEnerga asociada a la configuracin del sistema para la cual se define. Es una energa que corresponde al sistema. Depende de cmo estn distribuidos los elementos del sistema.70 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 4. Cuaderno de Trabajo: Fsica Ii) Ep Gravitacional: Epg m2 r m1 G m1 m2 E pg =rCaso Particular de Epg:mE pg = mgh h NIVEL Ep: ; El nivel es irrelevante!ii) Ep Elstica, Epe Sistema Elsticos Sistema m k idealPE: Posicin de equilibrio kmF 0 xm x x Configuracin del sistema: x{x deformacin del resorte) 1 E pe kx 2 2 71 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 5. Cuaderno de Trabajo: Fsica IEpe: Nuevamente la cantidad importante son los cambios de esta energa, conlo cual la referencia no es importante.Es posible lograr una ecuacin similar de Epe para todo sistema elstico. iii) Energa Mecnica, EMEs la energa constituida por la energa cintica y la energa potencial de una partcula. Observar que no es una energa que describa alguna propiedad de la partcula. Resulta una definicin conveniente, como veremos.EM E K + E P EKT + EKR + E pg + E pe 3.3) Relaciones entre W y E, R R (W,E) El trabajo y la energa estn ntimamente conectados, reflejndose dicha conexin en sendas relaciones comparables a la Segunda Ley de Newton por un lado, y a Leyes de Conservacin, por otro.( )rR R W , EKFR i) Esta relacin es una forma elegante de la Segunda ley de Newton. r2 rrrW12 FR .drFRr1r r dv rdv r r m .dr m .dr FR W12 dt dt 12443*r v = v x i + v y + vz k jr dr = dxi + dyj + dzk72 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 6. Cuaderno de Trabajo: Fsica I dvx dv y dvz{} dt i + dt j + dt (*) =k . dxi + dyj + dzk dx = vx dt dv y dvxdvz = dx +dy + dy = v y dtdz dt 3 dt dt dz = v dt12 z dv d 1 2 12 x vx dt = vx dt = vx dt 2 dt 2Y por simetra operacional, 121{} vx + v y + v z v 2 2 2 2 2 2 1 2 r dv r r m .dr m v FR W12 dt 21 2= Ek 1 = EkrW = EkFRr r r = Ek FR = ma FK Wii) R = R (WFNC, EM)Esta relacin muestra como las Fnc son capaces de cambiar la EM mostrando claramente su carcter no conservativo. Sin embargo, esto proporcionara las condiciones para que dicha energa se conserve.Fnc = Fuerza no conservativa: Esta fuerza no conserva la EM. 73 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 7. Cuaderno de Trabajo: Fsica I r= Trabajo de la FncFNCWQ; EM 50 J de Ek a 50J de Q (forma de energa no mecnica)Conoceremos mejor a estas fuerzas mediante las Fc: Fuerzas conservativas.Fc = Son fuerzas que conservan la EM.Estn definidas por Fc = - U: Operador NablaU: Funcin potencial escalarU = Ep (Energa Potencial)Toda Fc tendr asociada una energa potencial: Fc EprEp Fc Fg WEpg Felsticas Epe Esto debe ser as debido a que el rotor del gradiente siempre es nulo, lo cual significa que el trabajo de estas fuerzas, en cualquier trayectoria cerrada, siempre es cero, r r r F = (U ) (U ) = 0 (U ) = 0El operador nabla se define as, d d d i +j + k dxdydz rrF = Fc , entonces, deber satisfacer de Ahora, si una fuerza es conservativa, la condicin de rotor nulo,74 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 8. Cuaderno de Trabajo: Fsica I Fx Fy Fx Fz Fy Fz y x z x z y rrrrF = Fxi + Fy + Fz kj Esto es, la fuerzadeber de cumplir simultneamente las tres ecuaciones en derivadas parciales cruzadas.r ()Fc Otra forma equivalente de identificar a las fuerzas conservativas es mediante la independencia de su W segn cualquier trayectoria . 1Fc rrr r F cte r2 1 Fc .dr W1 222 rr1 3 Finalmente, podramos decir segn la definicin de estas fuerzas, que el r W FC E p ,ecuacin que ser muy til para efecto de determinar relaciones importantes. Regresando a la FNC: No estn definidas por la ecuacin Fnc = - U U = E p asociada W FNC depende de la r E pFNC no es evaluable por la ecuacin W WFNC De todo lo anterior,75 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 9. Cuaderno de Trabajo: Fsica IW FNC M E? Probar esta relacin partiendo de la primera relacin donde la rrr FR = Fc + Fnc . Conservacin de la EM: Para que la energa mecnica se conserve, EM 0 W FNC 0rr FNC FNC rEMi EMf En general, EM EMf EMi , entonces,FNC Como W EMf EMi +W FNC 3,4) Potencia, P Es la cantidad fsica escalar que informa la rapidez de realizar trabajo o energa. i) Potencia media, PM:76 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 10. Cuaderno de Trabajo: Fsica IW Pm =t ii) Potencial Instantnea, P:W dW P ( t ) lim = t 0 t dtrv ( t)r F ( t) rr P ( t ) F .vJ u [ P] = = watt Ws S3P18) Una pequea piedra de 0,10 kg se deja enlibertad desde su posicin de reposo en elpunto A, en el borde de un tazn hemisfrico A Rde radio R = 0,60 m. Suponga que la piedra espequea en comparacin con R, as queVpuede tratarse como una partcula. El trabajoefectuado por la friccin sobre la piedra albajar de A y B en el fondo del tazn es 0,22J,Qu rapidez tiene la piedra al llegar a B?,B 77 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 11. Cuaderno de Trabajo: Fsica I SOLUCION: AR Rw = 0,1R = 0,6 VB =? nivel m r vB Brf N r w:fuerza conservativaf, N : fuerzas no conservativas.rwWFnc = EM, FNC fr= EMB EMAf W A BEM = Ek + Epg 12r= EkB E pgA = mvB mgRf W A B 2( )2 r vB = WAB + mgR ?f mr EkFRW ? Se podr resolver usando2 FRr vB = WABm r r r r=W + W+W FRw N f W 78 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 12. Cuaderno de Trabajo: Fsica I rrr ww w.r = wR 2 FRr vB = WAB ?mS3P1) Sobre una partcula acta la fuerza()r F ( x, y , z ) 3 x y 2 z i + 3 x 2 yz + zy N:j r a) Es F una fuerza conservativa? b) Si a) es afirmativo, halle la funcin potencial escalar, U (x,y,z). c) Halle la energa potencial si para un problema particular U (1,0,1) 1. d) El movimiento es en el plano? Discuta. SOLUCION:rr{ }{ } F ( r ) = F ( x, y , z ) = 3xy 2 z i + 3x 2 yz + zy j 1244 3 14243 Fx Fy r rF Fc ? a) rr F = 0 derivadas parciales cruzadas Fx Fy Fx Fz Fy Fz=== y x z x z y6xyz = 6xyz 3xy2 0La ultima ecuacin no es correctala fuerza es noconservativa! ? Como modifica el problema para que F sea conservativa y terminar elproblema. S3P2) Dado el siguiente campo de fuerzas,r F ( x, y, z ) ( x + x ) i + ( 2 y + 1) + ( z + z )k ,2 3 j a) Demuestre que el campo de fuerzas es conservativo. b) Halle la energa potencial asociada para U (1,1,1) 0. c) De una curva de energa potencial que represente un caso fsicoconcreto.79 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 13. Cuaderno de Trabajo: Fsica ISOLUCION:( )() F ( x, y , z ) x 2 + x i + ( 2 y + 1) + z 3 + z k j4 3 12443 124124 43 Fx Fy Fy Fz Fx Fz 0 0,00 0 0, a) yxz y z xrF Fc U { E p } / F Ub) U U(x,y,z) F Fc - U r r F .dr U .dr123U U U r U i+j+ k dr = dxi + dyj + dzk xyzr U UU U .dr dx +dy +dz dU x yzrr F .dr dUrr : U F .dr r F tal como lo indica la Ec anterior, Para determinar U se puede integrar U { Fx dx + Fy dy + Fz dz} Analizando la por cada componente e introduciendo una cte funcional en cada caso:x : U Fxdx80 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 14. Cuaderno de Trabajo: Fsica I x3 x 2 {} x + x dx + + cx ( y, z )U 2 3 2y : U Fy dy{ }U { 2 y + 1} dy y 2 + y + c y ( x, z ) z : U Fz dz z4 z2 { } z + z dz + + cz ( x, y )U 3 4 2Ahora, comparando los resultados parciales, se obtiene, x3 x 2 z4 z2 { } U ( x, y , z ) + y + y + + c E p ( x, y , z )2 324 2 r Fc U Fx i + Fy + Fz kjDonde la constante c se determina por la condicin que caracteriza al problema fsico, Ep (1,1,1) 01 1 1 1 c + + { 1 + 1} + + 3 2 4 2 Ep (x,y,z) / c 43/12 c) c1) Ep de un ncleo atmico Ep0Rr81 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 15. Cuaderno de Trabajo: Fsica I c2) Ep de sistema m - kEp -A A xc3) Ep de sistema planetario o sistema atmico Epr? Podra proponer dos curvas ms de Ep. S3P34) El cuerpo A que pesa 4 kg se suelta A desde el reposo sobe una superficie circular lisa AB para despus moverse sobre la superficie horizontal BC, cuyo k8mCD 12 m B 82 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 16. Cuaderno de Trabajo: Fsica I coeficiente de rozamiento es = 0,2. En el punto C est colocado un resorte de constante k = 103 N/m:a) Halle la normal sobre el cuerpo al pasar por B.b) Cunto se comprime el resorte?SOLUCION:k = 103 m=4AB = liso = 0,2 VA = 0 BC = rugosoa) NB=?0A k0B DCL (m) al pasar por B, 02 mvB Fcp N B w =RFcp w2 vB BN B = w + m , w = mg RNBvB = ?Analizando de A B: WFnc 0, Fnc = NEmA EmB 12 EMA Epg A mgR EMB mvB vB 2 gR2 2 2 gR N B mg + mx= 3mg Rb) Sea la compresin dada por DE, DE=x? 83 Lic. Percy Vctor Caote FajardoCED 17. Cuaderno de Trabajo: Fsica I rrr D E : FNC f ;W FNC = f EM -f (12 + X) EME - EMB 1 1 k { x} m ( 2 gR )2 2 2 a (x) 2 + bx + c 0 / f k mg x ?84 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo